FUNCIN CUADRTICA

En matemticas una funcin cuadrtica o funcin de segundo grado es una funcin polinmica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.La representacin grfica en el plano XY haciendo:

esto es:

es una parbola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo segn el signo de a.

CRITERIO DE LA FUNCIN CUADRTICASea

CONCAVIDAD DE LA FUNCIN CUADRTICA

La concavidad en una funcin cuadrtica est determinado por el valor que tome la variable a, veamos: S a > 0

La funcin es cncava hacia arriba

S a < 0La funcin es cncava hacia abajo

DOMINIO, CODOMINO, PREIMAGEN E IMAGENTal y como lo establece su definicin el Dominio y Codominio de una funcin lineal es: IR.Por otra parte las preimgenes sern los diferentes valores que tome la variable x, mientras que las imgenes sern los diferentes valores que tome la variable y.Sea f(x) una funcin real tal que f(x) = x2 - 1BA

5

2

63

0

-1

f210-1-2

Valores yIMAGENESValores xPREIMAGENES

mbitof(A)={-1,0,3}CodominioB={-1,0,2,3,5,6}DominioA={-2,-1,0,1,2}

INTERSECCIN CON LOS EJES DEL PLANO CARTESIANO

Las intersecciones con los ejes del plano cartesiano XY, estn dadas por las siguientes condiciones y frmulas:

EJE X:

S > 0

Interseca al eje x en 2 puntos,

S = 0

Interseca al eje x en un punto,

S < 0

No hay interseccin con el eje x

EJE Y : La interseccin con el eje y, corresponde al par ordenado

VRTICE DE LA FUNCIN CUADRTICA

El punto mximo o mnimo de la grfica de una funcin cuadrtica se demoniza vrtice, este es el puntodado por el par ordenado:

NOTA: S a < 0, V es el punto mximo. S a > 0, V es el punto mnimo.

EJE DE SIMETRA DE LA FUNCIN CUADRTICAEl eje de simetra de una parbola es una recta que divide simtricamente a la curva, es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Puede ser entendido como un espejo que refleja la mitad de la parbola en cuestin. La ecuacin asociada al eje de simetra viene dada por la relacin:

MONOTONA Y MBITO DE LA FUNCIN CUADRTICALa representacin de las funciones cuadrticas es siempre una parbola con eje de simetra paralelo al eje de ordenadas, que la divide en dos ramas, una creciente y otra decreciente, veamos:

S a > 0 cncava hacia arriba

S a < 0 cncava hacia abajo

f. decrece:

f. crece:

f. crece:

f.decrece:

Por otra parte, el mbito de una funcin cuadrtica se puede determinar mediante los siguientes casos:

S a > 0 cncava hacia arriba

S a < 0 cncava hacia abajo

mbito de f:

mbito de f:

REPRESENTACIN GRFICA DE LA FUNCIN CUADRTICAEJEMPLO Considere la funcin cuadrtica g(x) = x2 + 9x, realice el estudio completo y grfica.Solucin: 1. Determine su concavidada=-1b=9c=0 R/ la funcin dada es cncava hacia abajo porque a0, la interseccin con el eje x se da en dos puntos:

R/ las intersecciones con el eje x son los pares ordenados (0,0) y (9,0).

3.2) EJE Y

R/ La interseccin con el eje y es el par ordenado (0,c); por lo tanto como c =0 entonces la interseccin buscada corresponde al par ordenado (0,0).

4. Eje de simetra: R/ El eje de simetra es x=9/2.

5. Sentido de variacin o monotona:Como a0, se dice que la parbola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a 0 ); mientras que en las funciones b) y c) el vrtice es un punto mximo, por ende, son funciones cncavas hacia abajo ( a< 0 ).

Adems, note como la funcin a) es decreciente al lado izquierdo del eje de simetra lnea punteada y como se vuelve creciente al lado derecho de este eje simtrico. En caso contrario para las funciones b) y c) se tiene que estas son crecientes del lado izquierdo del eje de simetra y decrecientes del lado derecho del eje simtrico.

APLICACIONES

En ocasiones para enfrentar una situacin en particular en nuestro diario vivir, se hace necesario la utilizacin de funciones cuadrticas para dar respuestas a inquietudes como las dimensiones de un terreno, la altura alcanzada por cierto objeto o el tiempo de recorrido de este objeto. Veamos algunos casos a manera de ejemplo.

EJEMPLO

Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros, en funcin del tiempo, medido en segundos, se calcula a travs de la siguiente frmula: h (t) = -5t2 + 20t.a) Cul es la altura mxima que alcanza la pelota y en qu momento lo hace? b)Despus de cunto tiempo cae la pelota al suelo? c) Cmo se contestan las preguntas anteriores si la pelota se lanza a 25m del suelo?

Solucin:Primero analicemos la situacin planteada, el problema dice que se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba pero sabemos que por accin de la gravedad de la tierra la pelota debe regresar. Tambin el problema nos da la frmula, que es una funcin cuadrtica, la cual relaciona la altura que alcanza la pelota en funcin del tiempo a partir de su lanzamiento. Entonces, la trayectoria de la pelota si la queremos dibujar ser una parbola como la siguiente:

Ahora si, empecemos a contestar las preguntas:La pregunta a) nos pide que hallemos la altura mxima que alcanza la pelota y en que momento lo hace. O sea, tenemos que averiguar el vrtice y sus respectivas coordenadas v = (xv , yv), cada una de ellas me dar xv = el tiempo en que alcanza la altura mxima y yv = la altura mxima.

Para hallar el vrtice podemos utilizar dos posibilidades:- Como tenemos races, podemos calcularlas y luego calcular el vrtice. - La segunda opcin es usar la frmula que permite calcular el vrtice.

Utilizar para calcular el vrtice la segunda opcin. Entonces, en la frmula reemplazar las variables por los valores de la funcin que estamos analizando.funcin: h (t) = -5t2 + 20t. a = -5; b = 20 y c = 0 , reemplazo en la frmula:

Calcul xv , ahora tengo que calcular yv pero como ya tenemos el valor de x lo reemplazo en la funcin para obtener el valor de y. Entonces quedara as:

h (2) = -5(2)2 + 20(2) h (2) = -5 . 4 + 40h (2) = -20 + 40h (2) = 20.

Ahora si podemos responder la pregunta: la altura mxima que alcanza la pelota es de 20 m a los 2 segundos de ser lanzada.

La pregunta b) es despus de cunto tiempo cae la pelota en el suelo. Lo que tenemos que averiguar es una de las races de la parbola. Ya que, el movimiento empieza en el suelo y termina en el suelo, dicho de otra manera empieza en el eje x y termina en el eje x ( races).

Para hallar las races igualamos la funcin a cero y obtenemos:

-5t2 + 20t = 0t (-5t+ 20) = 0 factor comn t = 0 o -5t + 20 = 0 producto igual a 0 - 5t = - 20 despejamos t t = 4

Calculamos las dos races t = 0 y t =4, pero nuestra respuesta es t =4 nos indica que la pelota cae al piso luego de 4 segundos.Nos falta contestar la pregunta c), la cual dice que contestemos las preguntas anteriores pero ahora la pelota es lanzada desde 25 m del suelo. La trayectoria de la pelota podemos representarla por la siguiente parbola:

Notamos ya con el grfico que hay una diferencia y es que en la parbola anterior c = 0 m en cambio en sta c = 25 m. Entonces la nueva funcin que tenemos que analizar es h (t) = -5t2 + 20t +25.

Ahora respondamos nuevamente las preguntas a) y b):Para calcular la altura mxima y en que momento lo hace, nuevamente tenemos que calcular xv,

y para calcular yv tenemos que reemplazar el valor en la nueva funcin:

h (t) = -5t2 + 20t +25.h (2) = - 5(2)2 + 20.2 + 25.h (2) = 45.

Ahora, respondemos la primera pregunta: la mxima altura que alcanza son 45 m., alcanzando esa altura a los 2 segundos.La pregunta b) plantea: despus de cunto tiempo la pelota cae al suelo?Como ya sabemos tenemos que igualar la funcin a cero.-5t2 + 20t +25 = 0Para resolver tenemos que usar la frmula:

reemplazamos

x = 1, x = 5

Por el contexto del problema, el valor negativo no tiene sentido: la pelota cae al piso despus de 5 segundos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Representa las funciones cuadrticasa). y = -x + 4x - 3b). y = x + 2x + 1c). y = x +x + 1

2) Halla el vrtice y la ecuacin del eje de simetra de las siguientes parbolas:a). y= (x-1) + 1b). y= 3(x-1) + 1c). y= 2(x+1) - 3 d). y= -3(x - 2) - 5e). y = x - 7x -18 f). y = 3x + 12x - 5

3) Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parbolas:a). y = x - 5x + 3b). y = 2x - 5x + 4 c). y = x - 2x + 4 d). y = -x - x + 34) Una funcin cuadrtica tiene una expresin de la forma y = x + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.5) Se sabe que la funcin cuadrtica de ecuacin y = ax + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (-1,1). Calcula a, b y c.6) Una parbola tiene su vrtice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0,2). Halla su ecuacin.