Separata-Enfoque Resolucion de Problemas-sustento

8/17/2019 Separata-Enfoque Resolucion de Problemas-sustento

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"TENDENCIAS ACTUALES DE LA RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS"

D. Claude Gaulin

(…)Un resultado, que aparece en las conclusiones, es que, la mayoría de losprofesores de la mayoría de los países, d!e #$e o se se%e !apa!%adose la resol$!& de pro'lemas y #$e o es%( !&modos !o ese %ema. No saben

muy bien cómo implementar esas ideas que circulan sobre la resolución de problemas.Esto es otra señal de que, aunque es una idea bonita, muy buena, es de di!cilimplementación en la pr"ctica. #o creo que estoy dando e$plicaciones, no como cr!ticaal proesorado, sino para intentar %er de qu& manera se podr!an me'orar las cosas,porque ay que dianosticar donde est"n las di*cultades para intentar me'orar lascosas.

+oy a e$plicar el que, a mi entender, y en opinión tambi&n de otros in%estiadores es elprimer actor de estas di*cultades. El e$perto en resolución de problemas, eremy-ilpatric, publicó un te$to muy amoso donde &l ablaba en inl&s del /ban banle/,la moda de la resolución de problemas, que la ente quer!a seuir la moda sin saber loque sini*caba y que, muca ente, dec!a que seu!a la moda, pero ablaban de %arias

cosas, no sab!an en qu& consist!a la moda. Entonces, yo ab!a dado una conerencia en 0enerie, en el 12 ó 13, y aluien preparó un resumen que ue publicado en la re%ista/N4meros/. +oy a repetir alunas ideas que mencion& ya entonces, y %amos a %eralunas interpretaciones que se encontraban en 5m&rica y en otros pa!ses sobre laresolución de problemas. 6ecuerden lo que di'e antes...., que en el año 17 en 5m&ricadel Norte ubo un documento, en el que la primera recomendación era que laresolución de problemas debe ser el ob'eti%o principal de la pró$ima d&cada en laenseñan8a de la matem"tica escolar.

9Cómo era interpretado esto: #o in%estiu& ese tema en el 1;or e'emplo, ab!a ente que dec!a? @5A,...@s!A.., @s!A , yo enseño 5ritm&tica, Blebra, yo doy la teor!a y, al *nal del cap!tulo, ay

alo que se llama problemas. Entonces lo que quieren decir es que aora %amos a darm"s importancia a esa sección al *nal del cap!tulo. ección que conten!aprincipalmente e'ercicios, no problemas enuinos. Este ue el modo como el mensa'eue entendido por ciertas personas, ya que el mensa'e no era claro y es "cil consultarlos te$tos de la &poca y %er que, yo creo de una manera intencional, eran escritos demanera %aa y un poco ambiua, para que toda la ente se sintiera capa8 de aplicarlos.

tros proesores, y ab!a mucos, dec!an? s!, s!,.... yo entiendo....., citaban a >olya.....

Entonces la idea es que aora, cuando %oy a enseñar, de %e8 en cuando, yo tendr& quedar a mis alumnos problemas enuinos, yo utili8o mucos e'ercicios...., demasiados...,yo %oy a introducir alunos problemas de %e8 en cuando.. y eso es lo que sini*ca darm"s importancia a la resolución de problemas. 5ntes ab!a muy pocos problemas y

aora abr" m"s. Es "cil %eri*car que ab!a ente escribiendo art!culos o cartas ye$plicando que eso era la interpretación de la recomendación.

tros, en uebec ab!a mucos, que dec!an.... s!.... s!, enati8ar la resolución deproblemas aora..., aora sini*ca que, al *nal, en luar de dar problemas abstractos%amos a dar mucos m"s problemas reales, realistas, de la realidad de la %ida de cadad!a. # entendieron la recomendación en este sentido. 5l *nal nos dice el NC0F, terminarconH los problemas abstractos, mucos m"s de la %ida cotidiana, entendieron larecomendación de esta manera y para ellos esto era lo esencial ol%idando el resto. 0odaesa ente ten!a un ob'eti%o com4n? /es que enseñar para la resolución de problemassini*ca que ay que enseñar la manera que nuestros alumnos, al *nal, sean capacesde resol%er problemas, problemas enuinos, no importa que sean matem"ticos o de la

%ida real o problemas del *nal del cap!tulo...., que son m"s o menos problemas%erbales, en inl&s Iord


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tras personas, que ab!an escucado a in%estiadores o ab!an le!do a >olya,interpretaron la misma recomendación de otra manera diciendo? /enati8ar la resoluciónde problemas en nuestra enseñan8a sini*ca aora que %amos a enseñar estrateiasde resolución de problemas, porque sin estrateias los alumnos no saben cómo resol%erproblemas, entonces, como ay %arias estrateias, %amos a enseñarlas con mucose'emplos. Eso era muy popular, ay libros enteros en el mercado que circulan aoratambi&n, todos son libros donde el contenido es /Cómo aprender tal estrateia/, talotra, etc. y el &nasis est", casi completamente en este tema y, claro, que la persona

que piensa as!, piensa que es una manera e%idente de me'orar la enseñan8a de laFatem"tica y de aplicar la recomendación de enati8ar la resolución de problemas.

Kay otros que, tambi&n, conoc!an el modelo de >olya. No s& si ay muca ente queconoce el amoso modelo de >olya.... Cuatro etapas al enrentarse a un problema?

JL E%apa) *ay #$e e%eder el pro'lema, ay que leer, leer.... y entenderlo.

;L E%apa) De+r $a es%ra%ea, de+r $ pla de resol$!& .... 0iene mucosentido.

=L E%apa) Apl!ar el pla. 0ambi&n tiene muco sentido.

ML E%apa) Re-sar s %odo es%( 'e.

Es m"s o menos la idea, ay %ariaciones..., todo es muy lóico. >olya en sus art!culosen %!deos presentaba ese modelo diciendo a la ente? /es un modelo muy "cil, puedenaplicarlo/.

Kay ente, ay proesores, que interpretaron la recomendación de acer m"sresolución de problemas, como que /aora %amos a enseñar el modelo de >olya anuestros alumnos, porque as!, en luar de no saber lo que acer enrente de unproblema, tendr"n un plan, un instrumento. i siuen todo el plan todo ir" bien/ peroesto no es %erdad. Oa ente que pensaba as!, interpretaban la recomendación /que ayque enseñar a los alumnos alo sobre el proceso de resolución de problemas/, /lo quesini*ca que ay que darles instrumentos para que sean me'ores en la resolución deproblemas/. >ueden ser estrateias de resolución, se llaman tambi&n procesoseur!sticos en el libro de >olya, o pueden ser modelos o pueden ser otras cosas.Kab!a otra cateor!a de pedaoos, especialmente los m"s ambiciosos, que dec!an? /loimportante para realmente enati8ar la resolución de problemas, no es resol%er m"sproblemas o aplicarlos en la %ida cotidiana, lo importante es utili8ar la resolución deproblemas como el me'or %e!culo para enseñar todo, enseñar a tra%&s de resol%erproblemas/. Kay pedaoos que dicen que eso es la solución para enseñar me'or, queson capaces de acerlo porque es di!cil.

Enseñar las Fatem"ticas a tra%&s de problemas, incluso la teor!a, en luar de e$ponerOa teor!a y dar e'ercicios, partir de los problemas, y poco a poco, sure la teor!a,cristali8ar un poco la teor!a, dar nue%os problemas para aplicar y consolidar.

Es una perspecti%a que tiene muco sentido, pero es di!cil de aplicar, y ay docentesque interpretaron la recomendación de esta manera.

Es decir, cuando dec!a que ay una alta de consenso y una cierta conusión sobre loque sini*ca enati8ar la resolución de problemas, quiero decir que e$isten personasque piensan e interpretan de dierentes maneras. No es muy ra%e...., lo importante esme'orar las cosas pero, si un obierno o una asociación quieren proponer un mensa'e,diundirlo e implementar esas ideas, se necesita un m!nimo de coerencia y, en estecaso, alta la coerencia. Este es el problema.

6esumiendo, podemos apreciar que estoy distinuiendo entre?

JP Enseñar "PARA" la resolución de problemas

;P Enseñar "SOBRE" la resolución de problemas

=P Enseñar "A TRAVÉS" de la resolución de problemas

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on tres perspecti%as y, en realidad, las tres son importantes. En los dos primeros casosla resolución de problemas est" considerada como un ob'eti%o y, en el tercer caso,como %e!culo para enseñar o desarrollar otras cosas. Fi opinión es que esta alta decoerencia es el primer moti%o por el que ay di*cultades de implementación de estasbuenas ideas sobre la resolución de problemas.

#o presento $ se$do fa!%or #$e, en mi opinión, e$plica porque es tan di!cil tratarde me'orar las cosas. Este seundo actor es que ay una alta de %isión sist&mica de la

resolución de problemas, o un &nasis e$aerado de un aspecto particular.>or e'emplo, si se obser%an los tres apartados anteriores, en realidad, todos sonimportantes. Kay personas que dicen que para me'orar, para implementar lasrecomendaciones ay que acer solo una de las cosas, el resto no importa. Es lo quellamo una insistencia e$aerada en un aspecto. En realidad abr!a que acer un pocode todo esto, enseñar un poco sobre estrateias o modelos, tambi&n acer que losalumnos sean capaces de acer m"s problemas reales o enseñar a tra%&s de resol%erproblemas.

0ener una %isión sist&mica o lobal para m! sini*ca, tener en cuenta todo esosimult"neamente... y es complicado porque, primero, ay que entender los detalles yay que pensar cómo interar todo eso... y cómo enseñar en la realidad teniendo todo

eso en cuenta...., es complicado........El tema de la resolución de problemas es comple'o, tiene mucos aspectos y, aqu!,pretendo señalar alunos m"s.

El ran in%estiador coeneld, que es uno de los que a in%estiado muco sobre laresolución de problemas en Fatem"ticas en los años 17, ab!a intentado aplicar lasideas de >olya y se encontró con obst"culos. 5l *nal publicó muco sobre lo que llamóaspectos metaconiti%os.

u idea era la siuiente? para que un alumno aprenda a resol%er problemasmatem"ticos, de una manera correcta, no es su*ciente que resuel%a m"s y m"sproblemas, no es su*ciente conocer m"s y m"s estrateias. 0ener estrateias es como

un obrero que tiene una ca'a de instrumentos, por e'emplo, un carpintero que, cuandotiene que acer un traba'o utili8a un instrumento u otro y, a %eces, no sabe si utili8aruno u otro, no sabe si ir" bien o no.

>ara una persona que resuel%e problemas, conocer dos, tres,..., die8 estrateias, estener estrateias en una ca'a a su disposición. Qrente a un nue%o problema puedeutili8ar tal estrateia, y si no unciona, probar con otra, como el carpintero. # la personaque no conoce ninuna estrateia, tiene una ca'a %ac!a, con lo que no es "cil quelleue a resol%er el problema por el contrario, si tiene, si conoce estrateias, si tienem&todos de resolución de problemas, conoce el modelo, conoce %arias cosas, entoncessabe alo de cómo enrentarse a los problemas y sabe que alternati%as puede utili8arpara resol%er un problema.

coeneld, en sus in%estiaciones, descubrió que eso no es su*ciente, incluso lapersona que tiene una ran ca'a, con mucos instrumentos, mucas estrateias...., noes su*ciente. e necesitan otras cosas para ser un buen resolutor de problemas.

Oa idea de coeneld es que ay que tener, diamos, $ !o%rol e.e!$%-o, ay quecontrolar la acti%idad de la resolución de problemas. i se toma una estrateia, uninstrumento de la ca'a, y se usa para intentar resol%er un problema, ay que controlarlo que pasa y, en cierto momento, decir? bastaA, no %a bien con este instrumento y%amos a intentar utili8ar otro. Oa decisión de tomar tal estrateia en luar de tal otra, ladecisión de continuar la in%estiación con tal estrateia en luar de cambiarla, o ladecisión de parar el traba'o y de cambiar de ruta para resol%er todo esto esme%a!o%-o.

Es una parte de lo que se llama metaconición, contiene una parte que sir%e paracontrolar, para super%isar el traba'o y tambi&n para e%aluar.

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>ero la metaconición tambi&n contiene otra cosa que son las /creencias/. Oascreencias inRuyen sobre la acti%idad de la resolución de problemas. >or e'emplo, unapersona que tiene e$periencia en la resolución de problemas, tiene que aprender que, a%eces, en un problema se necesita muco tiempo, que ay que parar y continuar otrod!a, o ay que esperar que durante la noce el cerebro traba'e un poco se aprende queno ay que ser demasiado impulsi%o y ay que ser paciente que, a %eces, ay uncamino para resol%er un problema que parece muy bonito y que, al *nal, no unciona yay que recomen8ar en otra dirección.

Entonces ay actitudes, creencias sobre esta acti%idad que ay que desarrollar y que%an a ayudar a un buen resolutor de problemas.

coeneld e$plica en un art!culo que su idea anterior, se4n >olya, de aprenderestrateias, de aprender un modelo y aplicarlo no era su*ciente. 5ora sabemos,porque se icieron mucos m"s traba'os de in%estiación, que ay una componentemetaconiti%a muy importante.

Esto sini*ca que, cuando enseñamos a nuestros alumnos, de %e8 en cuando, enrentede la clase ay que simular (e$plicar) lo que pasa? 5A.... s!A s!A..., emos intentado esem&todo.......,umA... %amos a continuar o cambiar de m&todo.....,9qu& piensan ustedes:,para que los alumnos puedan %er que es normal tomar ese tipo de decisiones y que, a

%eces, es normal tambi&n conser%ar su paciencia y todo esoOa componente metaconiti%a, entonces, ay que añadirla y, cuando dio una %isiónsist&mica de la resolución de problemas, se debe incluir esto y, esta parte, es muydi!cil. Una %e8, dando yo cursos de resolución de problemas en mi uni%ersidad, unproesor me dec!a? muy bien...., est" bien....... pero aora en mi aula, 9qu& %oy a acerpara aseurar que estar"n bien cuidados esos aspectos: #o no teno una soluciónm"ica porque ay que tener en cuenta la metaconición y, al mismo tiempo, otrasmucas cosas. Es como un director de orquesta que tiene que controlar %arias cosas yno ay un aloritmo para eso. Es solamente despu&s de ser consciente de lacomple'idad del proceso, de las di%ersas %ariables que ay que controlar un poco,cuando cada uno aprende su camino.

+ayamos aora a re%isar otro aspecto interesante?

Los aspe!%os afe!%-os.

Kay traba'os recientes de Gouldin sobre la aecti%idad en la resolución de problemas.on muy importantes la aecti%idad positi%a y la neati%a. Oa aecti%idad positi%a, pore'emplo, cuando emos resuelto un problema estamos muy contentos realmente......loe conseuidoA...., estamos contentos y, a %eces, durante el proceso tenemos alunosestados de e$citación positi%a, pero ay tambi&n una a*nidad neati%a, a %eces, nounciona nada, no sabemos cómo continuar, parece que nunca %amos a encontrar unasolución. , a %eces, tenemos una solución que, en el 4ltimo momento, no %a y ay(aparece) una aecti%idad neati%a.

Gouldin a desarrollado un modelo muy interesante para e$plicar todo eso y %er larelación entre la aecti%idad y el aspecto coniti%o y metaconiti%o.

Kabla de representación de tipo aecti%o. Es otro aspecto a añadir en la %isión sist&micade la resolución de problemas? sini*ca tambi&n tener en cuenta la aecti%idad, porqueno es %erdad que se pueda ablar de resolución de problemas sin tener en cuenta laaecti%idad. i un alumno no tiene moti%ación no %a a resol%er un problema, no %a areali8ar esuer8os,...., entonces, ay que saber cómo estimular la aecti%idad y cómocontrolarle un poco, cómo comprender las consecuencias de %arios tipos de emocionesque se encuentran en la acti%idad de la resolución de problemas.

tro e'emplo, que mencionar& aqu!, para tener una %isión sist&mica que tambi&n ayque tener en cuenta, es el caso de cuando resol%emos problemas %erbales, unproblema con una istoria, con rases, que se re*eren a un conte$to, problemas deenunciados. En este caso ay una complicación añadida? la comprensión del te$to y lacreación de un modelo mental de lo que sini*ca el enunciado, para poder tener una

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representación mental correcta de la solución y del proceso de resolución. # tambi&ne$isten traba'os para aprender sobre eso.

#o dio que mucas %eces es lamentable, pero es la realidad? obser%& en mi pro%incia yen otros luares que, mucas personas, mucos docentes, tienen una idea muyreducida de la resolución de problemas. Snsisten en unos aspectos ol%idando el resto y,eso, tiene por consecuencia que no ay un proreso notable porque se ol%idan deaspectos esenciales. 0ener una %isión sist&mica es esencial pero es muy di!cil cómo dar

una %isión de este tipo a los proesores.Un %er!er fa!%or es la tendencia a tratar la resolución de problemas como uncontenido a enseñar, y la di*cultad de interar la resolución de problemas con el restode las Fatem"ticas o la creencia que los problemas deben %enir despu&s de la teor!a.Oo que abitualmente obser%amos es que, con muca buena %oluntad, ay proesoresque quieren aplicar esas buenas ideas de la resolución de problemas, pero siuenpensando en resolución de problemas como un contenido. Kay Blebra, ay Fedida,ay Geometr!a, y ay 6esolución de >roblemas, y a %eces, %an a enseñar a tener orasde traba'o sobre este tema. Koras separadas del resto, pero eso no ayuda porque elob'eti%o *nal es interar la resolución de problemas con toda la Fatem"tica que seenseña. No es "cil porque no es contenido sino que es un proceso. #, ayudar a los

alumnos para que sean me'ores en resolución de problemas, no es enseñarles alocomo enseñar un aloritmo, es ayudarles a desarrollar abilidades intelectuales,procesos de %arios tipos, actitudes, etc.

Oa creencia, que los problemas deben %enir despu&s de la teor!a, pro%iene tambi&n denuestra concepción tradicional de la enseñan8a. 0radicionalmente acemos la teor!a ylueo la aplicamos y, al *nal del cap!tulo, ay los problemas o e'ercicios para aplicar.

0enemos esa idea tradicional de un problema como la de un e'ercicio que debe %enir al*nal. Oo que no entendemos bien sin una ormación o preparación es que es posiblepartir de un problema para abordar una nue%a idea o una nue%a teor!a.

Comen8ar con un problema, o a %eces utili8ar un problema, mientras los alumnos est"naprendiendo alo que no controlan bien. Un problema no sólo sir%e para aplicarlo al*nal, puede ser%ir para e$plorar una nue%a idea, consolidar un problema, puede %enirantes, durante o despu&s de la /teor!a/. 0enemos esa di*cultad, se debe eliminar esaidea de que primero es la teor!a y lueo abr" problemas. Eso %a bien con los e'ercicios,porque un e'ercicio tiene como papel e'ercitarse, entonces, se aprende alo y lueo see'ercita, es normal, pero un problema tiene ob'eti%os mayores.

tra di*cultad, < !$ar%o fa!%or < que e$plica que no tenamos muco &$ito en laimplementación de la resolución de problemas es que ay personas que piensanacerlo y plantean? yo quiero enseñar estrateias a mis alumnos. Est" bienA pore'emplo, una estrateia ser!a, ante el enunciado linT!stico de un problema, dibu'ar una*ura o acer una ilustración (boceto) de la situación, acer una representación r"*cao un dibu'o. Es una manera de ayudarme y puede ser que me ayudara a continuar, se

llama una estrateia..., al acer un dibu'o de la situación representada en el problema.Kay personas que dicen? muy bienA, %oy a enseñar esa estrateia, %oy a tomar =, M ó 2problemas que pueden usar esta estrateia y %amos a acer una secuencia deproblemas, todos con la misma estrateia. Kacen de una estrateia un contenido aenseñar a tra%&s de e'ercicios pero la e$periencia muestra que no es as! como seaprende me'or, sino que ay que aprender %arias estrateias simult"neamente y, en uncierto momento, cuando los alumnos conocen un poco sobre el tema, se cristali8an lascosas con de*niciones, con descripciones, etc..., lo mismo con el modelo.

Ke lleado a %er personas que preparaban una *ca, una o'a con cuatro casillas, lascuatro etapas del modelo de >olya. Kab!a una parte para el enunciado del problema,

lueo una parte de la o'a reser%ada para la primera etapa (ase del problema), para laseunda, tercera y cuarta. Oos alumnos ten!an la obliación de completar cada casilla yde seuir las cuatro etapas en este orden. No ten!an la posibilidad de %ol%er, dereresar a otra etapa anterior, etc.

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Esto es una e$aeración y, tratar el modelo como un contenido que se enseña como unaloritmo u otra cosa tambi&n lo es.

Una di*cultad muy importante < #$%o fa!%or < que nuestros docentes nos mencionanes la e%aluación. Dicen? /estoy de acuerdo en enati8ar la resolución de problemas perono s& cómo e%aluar/. Es un problema real y ay, al menos, dos tipos de e%aluación.>rimero, cuando enati8amos en la resolución de problemas, estamos interesados en%er los proresos de cada alumno en el sentido que puedan resol%er problemas y, en el

sentido que cono8can m"s y m"s estrateias y que sean m"s y m"s capaces de acerciertas cosas. >or esto se necesitan m&todos, instrumentos,... para obser%ar a losalumnos y comprobar el proreso, a tra%&s de las semanas, el proreso de cadaalumno. Esos instrumentos e$isten pero mucos docentes no los conocen.

Oa seunda cuestión en la e%aluación es que, si pretendemos que en la resolución deproblemas no solamente sea importante la respuesta sino que tambi&n lo sean elproceso y el m&todo, abr" que considerar esa perspecti%a. Cuando %amos a dar notasal alumno que resuel%e el problema, abr" que dar notas para el proceso, no sólo parala respuesta. Kay maneras de acer eso...., ay %arias maneras...., pero ay quepracticar....., ay que aprender...., pero ay proesores que nunca an aprendido. Estosini*ca que necesitan m"s ormación en este sentido. Kay que ser coerente. Enati8ar

en la resolución de problemas sini*ca poner m"s &nasis en el proceso, en el m&todode resol%er y no solamente en el resultado..., en el producto.

>ara ser coerentes como pedaoos tenemos que e%aluar de manera coerente,entonces, e%aluar el proceso y no sólo el resultado. Esto es, en mi opinión, otra cosaque e$plica que aya problemas de implementación.

# mencionar& como se/%o fa!%or, la alta de ormación de los docentes y la alta derecursos adecuados. >or e'emplo, a %eces, recuerdo cuando empe8amos a traba'ar eneste tema en el 11, de los te$tos que e$ist!an en el mercado, la mayor!a erantradicionales, se pod!a %er, al abrir un te$to, que no ab!a casi nin4n problema, muypocos....., casi todos eran e'ercicios.

>or tanto, con tales instrumentos es di!cil...., el proesor tiene que construir su propiobanco de problemas, porque no ay bastantes en el libro o ay que consultar otroste$tos. Estos son actores que e$plican las di*cultades.

Es decir, como conclusión de esta seunda parte? la resolución de problemaspermanece importante y, en mi opinión, ser" cada %e8 importante en el nue%o silopero ay di*cultades que e$plican que los 4ltimos %einte años no ayamos proresadomuco. Oa 4nica manera, en mi opinión, es que ay que comen8ar a traba'ar en laormación de los docentes…

_______________________________________________________ ( Extracto del documento: TENDENCIAS ACTUALES DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS". D. Clude !uln. P#$n% &'

')*

*ANS 0REUDENT*AL, $ ma%em(%!o e Dd(!%!a y %eoría !$rr!$lar

123 La ma%em(%!a !omo $a a!%-dad 4$maa

Qreudental ue un oponente e$pl!cito a la nue%a matem"ticaV de los W37, que tomasus puntos de partida como adesión a las matem"ticas modernas, especialmente lateor!a de con'untos.

Con esta posición cr!tica se mostró a s! mismo como un e$ponente de la pedao!atradicional en el sentido de que su cr!tica ab!a nacido de una discusión acerca de loque deb!a ser enseñado y cómo.

>or lo tanto reconoce eneralidad y amplia aplicabilidad como una de las especialescaracter!sticas de las matem"ticas, y tambi&n reconoce que las matem"ticasmodernas, son matem"ticas abstractas iualmente le'anas mientras al mismo tiempo

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encarecen Re$ibilidad. in embaro, en esta %isión, la abstracción es la uente delproblema pedaóico.

En un sentido ob'eti%o la matem"tica m"s abstracta es sin duda tambi&n la m"sRe$ible. >ero no sub'eti%amente, desde que es desperdiciada en indi%iduos que noest"n en condiciones de a%alar por s! mismos esta Re$ibilidad (Qreudental JX31? 2)

Desde que la aplicabilidad de la matem"tica es recuentemente problem"tica, &lconcluye que las matem"ticas deben ser pensadas para ser 4tiles. bser%a que esto no

puede ser alcan8ado simplemente por la enseñan8a de erramientas matem"ticasVdebe ser ine%itablemente resultado de una clase de matem"ticas que puede ser 4til enun con'unto limitado de conte$tos. in embaro, &l reca8a la alternati%a? i estosini*ca enseñar matem"tica pura y despu&s mostrar cómo aplicarla, me temo que noestemos en me'ores condiciones. Creo que es 'ustamente emplear el orden equi%ocadoV(Qreudental JX31?2). En cambio, las matem"ticas deben ser enseñadas comomatemati8ación. Esta %isión de la tarea matem"tica escolar no est" moti%adasolamente por importancia de su utilidad para Qreudental las matem"ticas son enprimer luar y principalmente una acti%idad, una acti%idad umana, como &l sueleenati8ar. Como un in%estiador matem"tico, acer matem"tica es m"s importantepara Qreudental que la matem"tica como un producto terminado. En su %isión, esto

tambi&n es %"lido en la educación matem"tica? la educación matem"tica es un procesode acer matem"ticas que condu8can a un resultado, matem"ticas como un producto.

En la educación matem"tica tradicional, el resultado de la acti%idad matem"tica deotros es tomado como punto de partida de la enseñan8a, y Qreudental (JXY=b)caracteri8a a esto como una in%ersión anti


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Es la acti%idad de orani8ar en s! misma la idea central en la concepción deQreudental.

Oiteralmente, matemati8ar est" %iente en acer m"s matem"ticamenteV. >araclari*car qu& quiere decir m"s matem"ticamenteV, se puede pensar en ciertascaracter!sticas de las matem"ticas como su eneralidad, certe8a, e$actitud y bre%edad.>ara clari*car qu& se debe entender por matemati8ar podemos considerar lassiuientes estrateias espec!*cas con estas caracter!sticas (Gra%emei'er JXXM %er

tambi&n 0reZers JX1Y)?• para eneralidad? enerali8ación (obser%ar analo!as, clasi*car, estructurar)• para certe8a? reRe$ionar, 'usti*car, probar (usando un aborda'e sistem"tico,

elaborando y testeando con'eturas, etc.)• para e$actitud? modeli8ar, simboli8ar, de*nir (limitando interpretaciones y

%alide8) y• para bre%edad? simboli8ar y esquemati8ar (desarrollando procedimientos

est"ndar y notaciones).

+isto desde este "nulo, matemati8ar ob'etos matem"ticos y matemati8ar temas de larealidad comparten las mismas caracter!sticas. # esto es undamental para Qreudental,

ya que en esta perspecti%a, la educación matem"tica de los niños debe apuntar amatemati8ar la realidad de todos los d!as. Oos niños no pueden matemati8ar lamatem"tica, ya que, en un principio, no ay ob'etos matem"ticos que sean de sue$periencia real. 5dem"s, matemati8ar ob'etos disciplinares de la realidad tambi&namiliari8a a los alumnos con una apro$imación matem"tica a las situaciones de la %idacotidiana. >odemos tambi&n decir aqu! que la acti%idad de encontrar problemasV,mencionada por Qreudental, que implica una actitud matem"tica que abarcaconocimiento de las posibilidades y limitaciones de un aborda'e matem"tico, pore'emplo, saber cu"ndo un aborda'e matem"tico es apropiado y cuando no lo es.

El &nasis en matemati8ar la realidadV se instala en lo que se llama matem"ticas paratodosV (%er DameroI y [estbury JX12, -eitel JX1Y). Qreudental destaca que no todoslos estudiantes son uturos matem"ticos? para la mayor!a, toda la matem"tica queusar"n por siempre debiera ser la que usen para resol%er problemas en las situacionesde la %ida diaria. in embaro, amiliari8ar a los estudiantes con un aborda'ematem"tico de este tipo de resolución de problemas merece ser de la m"s altaprioridad en la educación matem"tica. Este ob'eti%o se puede combinar con el ob'eti%ode tener estudiantes que matematicen situaciones que puedan pertenecer ae$periencias reales para ellos.

(ueremos destacar que el punto de partida no es que los problemas de la %ida cotidiana sean, por de*nición,de la e$periencia real de los alumnos, ni tampoco deben corresponderse con situaciones de la %ida real. Estees un malentendido bastante com4n, pro%ocado por el t&rmino educación matem"tica realistaV. 5qu!,real!stica debe interpretarse como reerida a la e$periencia real, no a la %ida real de todos los d!as).

En esta perspecti%a, no debe sorprender que Qreudental ataque uertemente la

transposición did"ctica, e$puesta por el educador ranc&s Ce%allard (JX12), que tomacomo punto de partida el conocimiento e$perto de los matem"ticos?

Oas matem"ticas que la mayor!a de nuestros uturos ciudadanos aprenden en laescuela no debe reRe'ar ninuna clase de traducción < con propósitos did"cticos o deotra clase \ de ideas *losó*cas o cient!*cas, a menos que sean de una &poca muyanterior (Qreudental JX13? =;3)

De acuerdo con -eitel (JX1Y), la cuestión central es reali8ar una matem"tica paratodosV que permane8ca como matem"ticasV. En consecuencia, ella arumenta, esnecesario a %eces para los docentes de'ar atr"s los problemas de la %ida cotidiana yreerirse a la ciencia matem"tica \ para mostrar constelaciones de conceptos,estructuras y sistemas que ayan sido in%entados y testeados dentro de ella.

6eelaborando la idea de Qreudental de matemati8ar, 0reZers (JX1Y) ace unadistinción entre matemati8ación ori8ontal y %ertical. Oo primero implica con%ertir unproblema conte$tual en un problema matem"tico, lo seundo implica tomar ladisciplina matem"tica en un plano m"s alto. Oa matemati8ación %ertical puede ser

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inducida planteando problemas que admitan soluciones matem"ticas en dierentesni%eles matem"ticos.

Qreudental (JXXJ?MJ,M;) caracteri8a esta distinción como siue?

Oa matemati8ación ori8ontal conduce desde el mundo de la %ida al mundo de loss!mbolos. En el mundo de la %ida se %i%e, se act4a, se sure en el otro se crean loss!mbolos, se recrean y manipulan, mec"nicamente, comprensi%amente, reRe$i%amente?esto es matemati8ación %ertical. El mundo de la %ida es lo que se e$perimenta como

realidad (en el sentido que lo us& antes) como el mundo simbólico se re*ere a laabstracción. Con seuridad, las ronteras entre estos mundos est"n %aamentede*nidas. 5mbos mundos pueden e$pandirse o tambi&n reducirse uno a e$pensas delotro.

Como dice Qreudental, las ronteras entre lo que conocemos como matemati8aciónori8ontalV y matemati8ación %erticalV no est"n claramente de*nidas. El punto cr!ticoest" en lo que entendemos como realidadV y &l (JXXJ?JY) da la siuiente aclaración?yo pre*ero aplicar el t&rmino realidad a lo que la e$periencia del sentido com4n tomacomo real en un cierto escenarioV. Oa realidad es entendida como una me8cla deinterpretación y e$periencia sensible, lo que implica que la matem"tica tambi&n puedeormar parte de la realidad de una persona. 6ealidad y lo que cuenta como sentido

com4n para una persona no son cosas est"ticas sino que crecen y son aectadas por losprocesos indi%iduales de aprendi8a'e. 5s! es tambi&n como debe ser entendida ladeclaración de Qreudental (JXXJ?J1) la matem"tica comien8a en y permanece con larealidadV.

Debe quedar claro que, en la %isión de Qreudental, sentido com4nV y realidad sonconstruidos desde el punto de %ista del actor. Esto implica que la rontera entrematemati8ación %ertical y ori8ontal debe ser tambi&n e%aluada desde el punto de %istadel actor. ue cierto aspecto de la acti%idad matem"tica de una persona sea llamada%erticalV u ori8ontalV depende tanto de la cuestión que la acti%idad implique, comode aluna e$tensión de la realidad matem"tica de esa persona.

(6e%isar p"rrao). Una acti%idad simbólica, por e'emplo, puede ser una acti%idad derutina para un estudiante. Esto puede ser un caso de matemati8ación ori8ontal. inembaro, si la misma orma de simboli8ación in%olucra para otro estudiante una nue%ain%ención, esto implica matemati8ación %ertical.

Oa matemati8ación %ertical es m"s claramente %isible si un estudiante e$pl!citamentereempla8a su m&todo de resolución, o su modo de describir por otro que es m"sso*sticado, me'or orani8ado, o, m"s bre%emente, m"s matem"tico (de acuerdo con lascaracter!sticas que e$pusimos antes).

0ales cambios pueden ser inducidos por la reRe$ión sobre m&todos de resolución ysubrayar la comprensión. Oa discusión de toda la clase acerca de los m&todos desolución, interpretación, e ideas aumentar" la probabilidad de estos cambios

especialmente si el problema entre manos da luar a una %ariedad de m&todos desolución en dierentes ni%eles. >or e'emplo, cuando comparan y discuten sus m&todosde solución, alunos estudiantes pueden encontrar otros m&todos de solución quetienen %enta'as sobre sus m&todos corrientes. Este papel crucial del di"loo comoaplicación a interpretaciones, ideas y m&todos muestra una %e8 m"s que un &nasis enmatemati8ar no implica una acti%idad solitaria de parte del alumno indi%idual.

>ero el di"loo necesita no solamente tomar la orma de una discusión de toda laclase, Qreudental tambi&n abla del traba'o rupal. u primer aleato sobre elaprendi8a'e en pequeños rupos es de JXM2, durante un simposio en el NeIEducational QelloIsip. F"s tarde, aboó por la educación matem"tica en ruposetero&neos (Qreudental JX1Y, JXXJ). En su opinión, los alumnos traba'adores y los

Ro'os, ambos pueden me'orar en colaboración. #, como señaló Qreudental (JX1Y? ==1),en una relectura de los traba'os que ab!a producido desde JXM2 en adelante, encontró,para su propia sorpresa, cu"n consistentemente a partir de los años ]M7 &l ab!a sido unprotaonista de aprendi8a'e cooperati%o en pequeños rupos etero&neos.

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( Extracto del documento: +. CURRICULUM STUDIES, )---, ol. /), n0. ', 111 12'. 3n% 45eudent6l: mt6emtcnon ddctc% nd cu55culum t6eo57. 8. !5eme9e5. P#$n% / &*

La Resol$!& de Pro'lemas Ma%em(%!os) A-a!es yPerspe!%-as e la Cos%r$!!& de $a Aeda de

I-es%a!& y Pr(!%!aFanuel antos 0rio

Centro de Sn%estiación y de Estudios 5%an8ados, Cin%esta%N

msantos_cin%esta%.m$

La s%r$!!& y el dse5o !$rr!$lar6

El curr!culum y las pr"cticas de instrucción que se sustentan ba'o los principios de laresolución de problemas an sido un tema dominante en el "mbito internacional. 9u&es lo que distinue una propuesta de instrucción que reRe'e los principios de laresolución de problemas: 9u& tipo de problemas o acti%idades de instrucciónpromue%en la construcción del conocimiento matem"tico de los estudiantes: Oa NC0F(;777) propone un marco con una %isión lobal de las matem"ticas que se debenestudiar a ni%el preortual, y F&$ico entre otros.

Oa pertinencia y consistencia entre las metas, el esp!ritu del documento (losest"ndares) y las propuestas del curr!culum que emeren al incorporar los principios yla %isión que se promue%e es un tema importante que debe abordarse directamenteentre educadores y proesores de matem"ticas. Una reRe$ión inicial implica discutir loscambios que demandan la estructura y orani8ación de los contenidos en unapropuesta que reRe'en de manera clara los principios y %isión matem"tica de losest"ndares. Es com4n encontrar propuestas donde se introduce el uso del lenua'e de

los est"ndares y se mantiene la riide8 y estructura de los contenidos en ormatradicional o se suman a propuestas tradicionales ciertos apartados que acenreerencia a los propósitos de los est"ndares (antos


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puede omentarse en el salón de clases o cómo un curr!culum intentado esimplementadoV (p. =3=).

En los >a!ses a'os (Kolanda) se reconoce la importancia de implementar un curr!culumorientado en problemas de acuerdo a los principios de la educación matem"ticarealista. Oa relación de la educación matem"tica realista con la resolución de problemasse mani*esta en el reconocimiento que el mundo real es una uente o punto de partidapara el desarrollo de los conceptos matem"ticos.

>roblemas conte$tuales bien seleccionados orecen oportunidades para que losestudiantes desarrollen estrateias de solución inormales, altamente conte$tuali8adas,y se utili8an en la construcción de conceptos matem"ticos…el conte$to puede a4n serno realista o ubicarseH dentro de las matem"ticas, si el desarrollo del concepto lorequiere. in embaro, el conte$to del problema debe ser e$perimentado como real porlos estudiantes…El mundo real se utili8a como un dominio en el cual podemos usarnuestros conceptos matem"ticos en la orma que deseemos (Doorman, Dri'%ers,Deer, +an den Keu%elanui8en, de Oane ` [i'ers, ;77Y, p.M73


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construcción de modelos que permitan matemati8ar di%ersas situaciones. El reporteCoccrot (JX1;) (citado en urardt ` ell, ;77Y, pp. =X1


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Oa resolución de problemas e$itosa requiere del conocimiento del contenidomatem"tico, del conocimiento de estrateias de resolución de problemas, de unautomonitoreo eecti%o, y una disposición producti%a a plantear y resol%er problemas.Oa enseñan8a de la resolución de problemas requiere a4n m"s de los proesores, ya quedeben ser capaces de promo%er tal conocimiento y actitudes en sus estudiantes. …Oaenseñan8a en s! misma es una acti%idad de resolución de problemas (NC0F, ;777, p.=MJ).

En este conte$to, la resolución de problemas es una orma de interactuar y pensaracerca de las situaciones que demandan el empleo de recursos y estrateiasmatem"ticas. 5rca%i (;777) utili8a acti%idades de la resolución de problemas paraidenti*car, anali8ar, reRe$ionar sobre sus e$periencias y ormas de reali8arin%estiación en la educación matem"tica. En este proceso, ormula y discutepreuntas como? 9Cómo seleccionar preuntas de in%estiación: 9Cómo e%aluar supertinencia y rele%ancia: 9Cómo ormular preuntas de in%estiación: 9u& tipos dediseños o m&todos de in%estiación seleccionar: Es decir, la resolución de problemasconlle%a al desarrollo o construcción de un pensamiento inquisiti%o donde elconocimiento matem"tico se conceptuali8a en t&rminos de dilemas o preuntas quedemandan el uso y ormas de pensar consistentes con el queacer de la disciplina. 5s! la resolución de problemas es un dominio inquisiti%o donde los estudiantes

constantemente ormulan preuntas, identi*can con'eturas o relaciones, buscan %ariasmaneras de sustentarlas (incluyendo arumentos ormales), y comunican resultados.Smplica el desarrollo de una disposición a cuestionar, e$plorar preuntas y desarrollaruna comprensión matem"tica dentro de una comunidad que %alore y aprecie el traba'oindi%idual y de colaboración, y la necesidad de constantemente reRe$ionar sobre elmismo proceso de construcción del conocimiento.

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(E/%ra!%o del documento? >erspecti%as en la Construcción de una 5enda de Sn%estiación y >r"ctica. Fanuel antos 0rio. >"inas J2

Separata-Enfoque Resolucion de Problemas-sustento

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