Separata Integrales Impropias

7/23/2019 Separata Integrales Impropias

1/38

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

Departamento Acadmico de Matemtica

SEPARATA

Y

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Rosa N. Llanos Vargas

Nuevo Chimbote- Per

2012

INDICE

1dx

1x

0

1(x+1)dx

x1

1

+dx

(x1

)

3


2/38

Contenido Pa!"

#ntroducci$n 2

#nte!ra%e& impropia& con %'mite &uperior in(inito )

#nte!ra%e& impropia& con ambo& %'mite& in(inito *#nte!ra%e& impropia& con di&continuidad en e% %'mite in(erior +

#nte!ra%e& impropia& con di&continuidad en e% %'mite &uperior ,

A%!una& inte!ra%e& con %'mite in(inito" #nte!ra% p y exponencia%

./emp%o& y e/ercicio& re&ue%to& 10

./ercicio& Propue&to& 1)

A%!una& inte!ra%e& con inte!rando di&continuo 1*

./ercicio& Propue&to& 1

Criterio& de conver!encia de comparaci$n 1+

Criterio de% cociente 1

3eorema& 1

Criterio de conver!encia ab&o%uta 21

4unci$n !amma 2

4unci$n beta 2

./ercicio& propue&to& )0

5ib%io!ra('a )2

1


3/38

INTRODUCCIN

.xi&ten do& condicione& 6ue !aranti7an %a exi&tencia de %a inte!ra% de(inida" 8a

(unci$n 6ue e& parte de% inte!rando &ea continuay 6ue e% interva%o de inte!raci$n &eacerrado" Cuando a%!una de e&ta& condicione& no &e cump%en9 &e extiende %a de(inici$n

de inte!ra% de(inida para con&iderar %'mite& de inte!raci$n in(inito& y:o di&continuidade&

de %a (unci$n &obre e% interva%o de inte!raci$n; a e&ta& inte!ra%e& &e %e& %%ama i!ro!ias"

8a pre&ente &eparata pre&enta un en(o6ue de %a& inte!ra%e& impropia& de modo

6ue a% (ina%i7ar &u e&tudio %o& e&tudiante& de in!enier'a de %a


4/38

INTE"RALES I#PROPIAS $ I . I %

8a de(inici$n de inte!ra% de(inida exi!e 6ue %a (unci$n inte!rando &ea

continua y de(inida &obre un interva%o cerrado @ a , b Cuando uno o ambo&extremo& de% interva%o de de(inici$n de %a (unci$n no &on (inito& o cuando %a (unci$n

pre&enta un nmero (inito de punto& de di&continuidad inevitab%e &obre e% interva%o

@ a9 b ; e& decir

1.

b

f(x ) dx2 .a

+

f(x )dx 3.

+

f(x ) dx 4.a

b

f(x ) dx

.n *"8a (unci$n ( pre&enta di&continuidad in(inita en a%!n puntoBc de% interva%o @a , b

3oda& e%%a& &on %%amada&integrales impropias 9 para cuyo c%cu%o &e emp%ear

un proce&o de %'mite "8a& inte!ra%e& como 1929)9 &on %%amada& inte!ra%e& impropia& con

%'mite in(inito9 mientra& 6ue %a& inte!ra%e& como *9 &on inte!ra%e& impropia& con

di&continuidad"

DE&INICIN DE INTE"RAL I#PROPIA CON LI#ITE SUPERIOR IN&INITO

1"- =i ( e& continua en @ a9 E F 9 y &i e% %'mite exi&te 9 entonce&

+

+=

+

a

b

adxxf

b

dxxf Lim GHGH

)


5/38

DE&INICIN DE INTE"RAL I#PROPIA CON LI#ITE IN&ERIOR IN&INITO

=b b

a

dxxf

a

dxxf Lim GHGH

2- =i ( e& continua en I - E9 b 9 y &i e% %'mite

exi&te 9 entonce&

=i %o& %'mite& en cada ca&o exi&ten9 &e dice 6ue %a inte!ra% impropia es con'ergente y e%

'alor de la integral es el 'alor del l(ite 9 en ca&o contrario &e dice 6ue %a inte!ra%

impropiaes di'ergente"

DE&INICIN DE INTE"RAL I#PROPIA CON LI#ITE SUPERIOR EIN&ERIOR IN&INITO

+

++

=

+

adxxf

a

dxxfdxxf GHGHGH

)"- =i ( e& continua en I - E9 E F 9

entonce&

.&ta& &e reducen a %o& ca&o& 1 y 29 re&pectivamente "

*


6/38

8a inte!ra%

+

f(x ) dx Conver!e &i amba& inte!ra%e& conver!en" J diver!e &i a%!una

de e%%a& diver!e"

E)e!lo * . .va%uar %a inte!ra%9 &i e& conver!ente 1

+

1

x2dx

=o%uci$n

Por de(inici$n 1"

1

+1

x2dx= lim

b+1

b1

x2dx

.n primer %u!ar9 ca%cu%amo& %a inte!ra% 1

b1

x2dx 6ue aparece dentro de% %'mite

1x

1

b1

x2dx=

.n &e!undo %u!ar9 ca%cu%amo& e% %'mite de %a %tima expre&i$n

limb +

[1b1]=1

Por con&i!uiente

1

+1

x2dx=1

E)e!lo +"ca%cu%ar %a inte!ra%9 en ca&o de &er conver!ente

0

ex dx

=o%uci$n

Por %a de(inici$n 2"9 &e tiene9

0

ex dx=lima

a

0

ex dx

Ca%cu%amo& %a inte!ra% a

0

ex dx 6ue &e encuentra dentro de% %'mite

a

0

ex dx=

a

0

ex /2

dx=2 ex/2 ]a0

=2 (e0ea /2 )


7/38

Ca%cu%amo& e% %'mite de %a expre&i$n anterior

lima

2 (1ea /2 )=2

Por %o tanto9

0

ex dx=2

E)e!lo ,. .va%uar %a inte!ra%9 &i e& conver!ente9

+1

x2+4x+8

dx

=o%uci$n

Por de(inici$n )"

+1

x2+4x+8

dx=

01

x2+4x+8

dx+0

+1

x2+4x+8

dx. . . . .()

Ca%cu%amo& %a primera inte!ra%

0

1

x2+4x+8

dx

01

x2+4x+8

dx= lima

a

01

x2+4x+8

dx= lima

a

01

(x+2)2+4dx

1

2Arctg

x+22

a0

lima

.ntonce&

01

x2+4x+8

dx=1

2 [4(2)]=38 . . . . . . . . .. . .. . .(1)

Ca%cu%amo& %a &e!unda inte!ra% 0

+1

x2+4x+8

dx

0

+1

x2+4x+8

dx= limb+

0

b1

x2+4x+8

dx= limb+[ 12Arctg(x+22)]0

b

limb +

1

2 [Arctg( b+22)Arctg(1)]=12 [ 2 4]= 8.ntonce&

0

+1

x2+4x+8

dx=

8. . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... . .. (2)

>eemp%a7ando H 1 G y H 2 G en HK G 9 re&u%ta

+


8/38

+1

x2+4x+8

dx=

8

DE&INICIN DE INTE"RAL I#PROPIA CON DISCONTINUIDAD IN&INITA

EN SU L-#ITE IN&ERIOR

*"- =i ( e& continua en I a9 b y &i

+=+

xf

axLim GH

entonce&

+

=b

t

dxxf

at

b

adxxf Lim GHGH

=iempre 6ue e% %'mite exi&ta

4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

E)e!lo ..va%uar %a inte!ra%9 &i e& conver!ente 0

11

1xdx

=o%uci$n

( HxG L 1

1x pre&enta una di&continuidad in(inita en e% punto x L19 6ue e& e% %'mite

&uperior de %a inte!ra% a ca%cu%ar" Por de(inici$n9

t 1

0

t1

1xdx

0

1

1

1xdx=lim

Ca%cu%amo& %a inte!ra% de(inida

0

t1

1xdx=2[ (1x )

1

2 ]0

t

=2[ (1t)1

21]

Por con&i!uiente

t 12[ (1t)

1

21]=2

0

1

1

1xdx= lim

a b

J

,


9/38


EN SU L-#ITE SUPERIOR

=

t

adxxf

bt

b

adxxf Lim GHGH

"- =i ( e& continua en @a9 b F y &i

GHGH +=

xf

bxLim

entonce&


EN UN PUNTO INTERIOR DEL INTERVALO DE INTE"RACIN

+"- =i ( e& continua en @ a 9 b 9 excepto en c9 donde a I c I b y &i

limx c

f(x)=+

.ntonce&

a

b

f(x ) dx=a

c

f(x ) dx+c

b

f(x ) d x

=i %a& do& inte!ra%e& &on conver!ente&"

E)e!lo /"Ca%cu%ar %a inte!ra%9 &i e& conver!ente9 I=0

4dx

x22x3


10/38

xL)

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

x1

24dx

0

t

.ntonce&

t3[14ln|t3t+1|14ln 3]=

lim

Por con&i!uiente %a inte!ra%

x1

24dx

0

3

diver!e

.n conc%u&i$n

0

41

(x1)2

4

diver!e

=o%uci$n

8a (unci$n (H x G L1

x22x3

= 1

(x1 )24

.& di&continua en x L )9 como &e

ob&erva en %a !r(ica por %o 6ue

x1

24

x1

24


11/38

Algunas integrales i!ro!ias con l(ite in0inito

*.1 La integral ! para a F 0 y p un nmero rea%2 con'erge si ! 3 *y diver!e &i p1

a

+1

xp

dx

Para eva%uar %a inte!ra% debemo& con&iderar do& ca&o& p 1 9 p L 1

1

xpdx= lim

b+a

b

xp

dx= limb +[ x

p+1

p+1 ]ab

= 1

1p limb+

(b1pa1p)

a Si p1,a

+

el trmino a1p

es constante , el lmite existe limb+

(b1p)1p1

.% va%or de% %'mite en e&te ca&o &er

a1p

p1

Por otro %ado9

1

xpdx= lim

b+ln

a

b1

xdx= lim

b +ln ( ba )=+

bSi p=1,a

+

Por con&i!uiente %a inte!ra% p conver!e &i p F 1 y diver!e &i p 1

+.1 La integral e4!onencial.

009; >+

ksidivergeyksiconvergeIRkdxa

kxe

E)e!lo 5. .va%uar %a&

&i!uiente& inte!ra%e&9 &i &on conver!ente&

1.0

+

x e

x

dx

=o%uci$n

0

+

x ex

dx= limb+

0

b

x ex

dx

.n primer %u!ar ca%cu%amo& 0

b

x ex

dx 9 uti%i7amo& e% mtodo de inte!raci$n por

parte&

u=x , d=ex dx

10


12/38

du=dx =ex

ex

e

(b1)

0

b

x ex dx=x ex ]0b+0

b

ex dx=(b eb0 )0b=b eb

.n &e!undo %u!ar9 ca%cu%amo& e% %'mite de %a %tima expre&i$n

bebeb

(+1)=limb+

(b

eb

1

eb+1)

limb+

Como

limb +

(be

b )esdela forma

,aplicamos lareglade ! " #ospital

limb +(beb )=limb+(

1

eb )=0

8ue!o

limb +

(b

eb

1

eb+1)=1

0

+

x ex

dx=1

2.$alcular

+

Senxdx

=o%uci$n

+

Senx dx=

0

Senx dx+0

+

Senx dx

.va%uamo& %a primera inte!ra%

cosx1+cos (a)

0

Senx dx= lima

a

0

Senxdx= lima

a0= lim

a

Pero

11


13/38

lima

cos(a)no existe , entonces

0

senx dxes diergente &

+

Senx dx

e& diver!ente"

,.Calcular

limr +

r

r

senx dx

=o%uci$n"

$osx

(r )cos (r )cos

limr+

r

r

senxdx= limr+

rr = lim

r +

8ue!o

limr +

r

r

senxdx=0

*"Calcular e

+1

x (lnx )ndx

=o%uci$n

e

+1

x (lnx )ndx= lim

b+

e

b1

x (lnx )ndx

Para ca%cu%ar %a inte!ra%9 hacemo& e% cambio de variab%e u L %nx9 de donde du L1

xdx

e

b1

x (lnx )ndx=

1

lnb1

undu=

{

un+1

n+1 ]1lnb

=[(lnb )1n

1n

(1)1n

1n

] , s in1lnu]1

lnb

=ln ( lnb )ln (1 ) si n=1

Para e% primer ca&o n1

e

+1

x (lnx )ndx= lim

b+

1

1n[( lnb )1n1 ]= 1

n11n1

Para e% &e!undo ca&o

e

+1

x (lnx )ndx= lim

b+

ln (lnb )=+

=e conc%uye 6ue %a inte!ra% dada e& conver!ente &i y &o%o &i n F 1

12


14/38

/.6Para 7u8 'alores de ncon'erge la integral 1

+

( n x2

x3+1

1

3x+1 )dx

1

+

( n x2

x3+1

1

3x+1 )dx= limb+1b

( n x2

x3+1

1

3x+1 )dxCa%cu%amo& %a inte!ra%

1

b

(n x2

x3+1

1

3x+1 )dx=n31b

( 3x2

x3+1 )dx131

b

( 13x+1 )dx

[n3ln (x3+1)13ln (3x+1)]1b

[n3ln (b3+1)13ln (3b+1)][n3ln213ln 4 ]

1

b

( n x2

x3+1

1

3x+1 )dx=ln [( b3+1)

n3

(3b+1 )1

3]( n23 ) ln 2Ana%i7amo& e% %'mite de %a %tima expre&i$n

1

+

( n x2

x3+1

1

3x+1 )dx= limb+ {ln[(b3+1)n

3

(3b+1 )1

3]( n23 ) ln 2}. . . . . . . .()Pue&to 6ue ( n23 ) ln2 e& con&tante Hno depende de bG entonce& %a conver!encia de%a inte!ra% depende de %a exi&tencia de% %'mite

limb+

ln [(b3+1 )n

3

(3b+1)1

3]el grado del polinomiodelnumerador es igualalrado de% po%inomio de% denominador 3(

n3 )=13n=13 9 en e&te ca&o

limb +

ln[( b3+1 )n

3

(3b+1 )1

3]=ln [ limb+ [(b3+1)1

9

(3b+1 )1

3]]=ln [ limb+ [(b3+1)1

9

(3b+1 )1

3]]

1)


15/38

ln

[ limb+

[

b

1

3 (1+ 1b3 )1

9

b1

3 (3+ 1b )1

3

] ]=ln [

1

3

1

3]=13 ln 3

limb+

ln [(b3+1)n

3

(3b+1 )1

3]=13 ln 3n=13>eemp%a7ando nL1:) y e% va%or de% %'mite en H K G9 re&u%ta

1

+

( n x2

x3+1

1

3x+1 )dx=13 ln 3+ 59ln2

E9ERCICIOS *.

Ca%cu%ar %a& &i!uiente& inte!ra%e& en ca&o de &er conver!ente&

+

+

++

+

++

++

+

+

+

+

1 2G12H

)"10

0

co&"-

0 1"

0

",

0

"+

0

N""*

1 21

")

1 ):1

"2

1

"1

x

dxxxdxxe

dx

x

dx

xexe

dx

dxxexCosx

dx

x

dx

x

dx

x

dx

Resoluci:n de e)ercicios so;re integrales i!ro!ias con discontinuidades

*. 0

1

xlnx dx

=o%uci$n

Ob&ervamo& 6ue %a (unci$n (HxG L x %nx no e&t de(inida en x L 09 por %o tanto e& di&continua

a%%'"

t 0+

t

1

xlnxdx

0

1

xlnx dx=lim

1*


16/38

Primero ca%cu%amo& %a inte!ra% de(inida t

1

xlnxdx mediante %a inte!raci$n por parte&

u=lnx,d=xdx

du=1

xdx, =x

2

2

lnx

x

2dx=

t2

2lnt

x2

4]t1

=t2

2 lnt

1

4+

t2

4

t

1

xlnxdx=x

2

2 t

1t

1

Ca%cu%amo& e% %'mite9

t 0

+

(t2

2 lnt

1

4 +

t2

4

)

t

1

xlnxdx=lim

Como

t 0+lnt

(2t2 )esde la formaindeterminada( )

t 0+t

2

2

lnt= lim

lim

Ap%icando %a re!%a de 8Qo&pita%

t 0+t

2

4=0

t 0+

1

t

(4t3 )=lim

t 0+lnt

(2t2 )=lim

lim

Por %o tanto

0

1

xlnxdx=14

+. Calcular2 si e4iste 1

+1

xx21 dx

1


17/38

=o%uci$n

1

+1

xx21dx tienelmite superior infinito & la funcin f(x )=

1

xx21presenta

di&continuidad en x L 19 por %o 6ue

1

+1

xx21dx=

1

21

x x21dx+

2

+1

x x21dx

%a inte!ra% inde(inida e& inmediata9

1xx21

dx=arcsecx

arcsec (2 )arcsec (t)

t 1+

t 1

+arcsec(x)]t

2=lim

t 1+

t

2

1

x x21dx=lim

1

21

xx21dx=lim

Por otro %ado9

arcsec (x )]2b=

2

b 1

xx21dx= lim

b +

2

+1

x x21dx=lim

b+

limb+

arcsec (b )arcsec (2)=2arcsec (2)

1

+1

xx21dx=

2

AL"UNAS INTE"RALES CON INTE"RANDO DISCONTINUO

Demo&trar 6ue %a inte!ra% impropia

a

b1

(xa)pdxconergesi0


18/38

ta+

t

b1

(xa )pdx

a

b1

(xa )pdx=lim

aG =i 0 I p I 1

t

b1

(xa )pdx=

t

b

(xa )p dx= 1p+1

(xa )p+1 ]tb

= 1

1p[(ba )p+1( ta )p+1 ]

t a+ 1

1p[(ba )p+1(ta )p+1 ]

a

b1

(xa )pdx=lim

8a exi&tencia de% %'mite depende de %a exi&tencia de% %'mite9

ta+ ( ta )p+1=0p+1>0p


19/38

Con'erge si = > ! > * ? di'erge si ! *

E9ERCICIOS +.

1"=e de(ine

a( (b )=1

+1

(1+xb ) (1+x2 )dx , calcular( (0)

b( (a )=1

+1

1+a2x2dx ,$alcular ( (a ) ,s ia>0

c I=1

+1cosx

xn dx , )*ara+u aloresde nla integralconerge

d I=1

+

( nx+1 3x1+x2 )dx, ) *ara+u aloresden laintegral es conergente2"Ca%cu%ar %a& &i!uiente& inte!ra%e&9 en ca&o de &er conver!ente&

a

0

e2x

dxb

0

xe2x

dxc

+1

x2+1

dxd 0

+x

3

(x2+1)2dx

x

x( 29)dx-

e0

2

tgxdx f0

+

ex

dx g0

+

2

01

3x+1dx

i1

4

1

xx21dx

0

senu

31+cosu

du/1

+1x

21x+1

dxl 0

+1

x (1+ ln2x )dx

CRITERIOS DE CONVER"ENCIA

I. Criterio de co!araci:n @ =i ( y ! do& (uncione& ta%e& 6ue 0 ( H x G ! HxG 9

x [a, b] y si a

b

f(x ) dx ,a

b

g (x )dx &on do& inte!ra%e& impropia&9 donde a

puede &er - y b puede ser + , entonces

aSia

b

g (x ) dx conerge, entoncesa

b

f(x )dx conerge

1


20/38

bSia

b

f(x ) dxdierge , entoncesa

b

g (x ) dxdierge

NOTA.=i a

b

g (x )dx diver!e9 e% criterio no permite conc%uir acerca de %a conver!encia o

diver!encia de a

b

f(x ) dx " An%o!amente &i a

b

f(x ) dx conver!e9 e% criterio no o(rece

in(ormaci$n acerca de %a conver!encia o diver!encia de a

b

g (x )dx

E)e!lo*.Ana%i7ar %a conver!encia o diver!encia de %a inte!ra%

1

+1

x4x3+1

dx

=o%uci$n

8a (unci$n (HxG L 1

x4x3+1

F 0 9 x1, adems

x3'1x

3+1'2x3+1'2 1x3+1

0 1

200 ,x1 ,3 " =abemo& 6ue

a

b1

(xa)pdx conver!e para 0 I p

I 1 y diver!e para p1" .n e&te ca&o aL 19 b L )"

21


23/38

(x1)p( x+1x31 )= limx 1+

(x1)p (x+1)

(x1)(x2+x+1)

x1+

x+1

x311

(x1)p

= lim

x1+

f(x)g (x)

= lim

x1+

A=lim

A L

2

3 9 &i p L19 entonce& %a inte!ra% a

b

g (x )dx=1

31

(x1)p diver!e y por e% criterio

de% cociente %a inte!ra%

1

3x+1x

31dx tambiendierge 8o& &i!uiente& teorema& re&umen e% criterio de% cociente

III. Teorea *.1 &i ( H x G 0 9 x ]a , b ] y presenta una discontinuidad

en x = a

xa+ (xa )p f(x )=ASealim

9 &i A 9 A0 9 entonce&

aa

b

f(x ) dxconerge si 0


24/38

ba

b

f(x ) dx, dierge si p'1(A puedeser infinito)

Teorea,.- &i ( H x G 0 9 x [a , + [

Sea limx+

(x )p f(x )=A 9 &i A 9 A0 9 entonce&

aa

+

f(x ) dx conerge si p>1

ba

+

f(x ) dx dierge si p01(A puede ser infinito)

E)e!lo /"Ana%i7ar %a conver!encia o diver!encia de %a inte!ra% 1

+2x

3x4

+2x2

+5

dx

=o%uci$n

(HxG L2x

3x4+2x2+5

F 0 9 para x 1! Ap%icamo& e% teorema ) 9

xp

f(x )= limx +

xp( 2x3x4+2x2+5 )= limx +x

p

[ x (2)

x4(3+ 2x2 +

5

x4 ) ]=

limx +

xp

x3 [

2

3+2

x2+5

x4]=

2

3, si p=3

lim

x +

8ue!o A L2

30p=3>1 9

.ntonce&

1

+2x

3x4+2x2+5

dxconerge

E)e!lo 5" Determinar %a conver!encia o diver!encia de 1

41

x21dx

=o%uci$n

8a (unci$n (HxG L1

x21 F 0 9 x1 9 * 9 pre&enta di&continuidad en x L 1La

Ap%icamo& e% teorema 19

2)


25/38

x1+ (x1 )

p 1

(x1)1/2(x+1)1 /2=2

2 , si p=

1

2

(x1 )p 1

x21= lim

x 1+

(xa )p f(x )= lim

x a+

lim

8ue!o A L 22

y p L1

2I 1 9 entonce& %a inte!ra%

1

4

1

x21dx e& conver!ente

E)e!lo " Determinar %a conver!encia o diver!encia de 0

3x

(3x)2dx

=o%uci$n

8a (unci$n (HxG Lx

(3x )2 F 0 9 x@ 0 9 ) 9 pre&enta di&continuidad en x L ) L b


x3 (3x )p

x

(3x )2=3 , si p=2

(bx )p f(x )= lim

x b

lim

8ue!o A L ) y p L 2 F 19 en con&ecuencia 0

3x

(3x)2dx diver!e

E)e!lo B. Ana%i7ar %a conver!encia o diver!encia de %a inte!ra% 0

senx

x3

dx

=o%uci$n

8a (unci$n (H x G Lsenx

x3 e& po&itiva y pre&enta di&continuidad en e% punto xL 0


x0+(x )p

1

x2(senxx )=1 , si p=2

x 0+(x0)p(senxx3 )=lim

x a+ (xa )p f(x )=lim

A=lim

3enemo& AL 10 9 pL2F1

2*


26/38

Por %o tanto9

0

senx

x3

dxdierge

IV. Criterio de Con'ergencia A;soluta

Sia

b

|f(x)|dx conerge , entoncesa

b

f(x )dx conerge

.% criterio de conver!encia ab&o%uta no re6uiere 6ue %a (unci$n (HxG &ea no ne!ativa como

%o exi!en %o& dem& criterio&"

NOTA

*. Sia

b

|f(x)|dx conerge, entonces se dice +uea

b

f(x ) dxes absolutamente

con'ergente

+. =i a

b

f(x ) dx e& conver!ente pero a

b

|f(x )|dx e& diver!ente9 entonce& &e dice

6ue

a

b

f(x ) dx e& condicionalente con'ergente

E)e!lo .Ana%i7ar %a conver!encia o diver!encia de # L 0

+

ex

cosxdx

=o%uci$n

=e ob&erva 6ue %a (unci$n (HxG L ex cosx toma va%ore& po&itivo& y ne!ativo& en e%

interva%o @0 9 @ 9 &in embar!o S(H x G S0 9 x 9 y S (H x G S L S ex

cosx S Lex|cosx| entonce&

|f(x )|0 excosx

Por otro %ado9 como 0 S co&x S 19 x " se tiene #ue $ %& x ' $ ex

(a inte)ra* 0

+

ex

dx es coner)ente & inte)ra* exponencia* con = 1'

-n consecuencia , por e* criterio de comparaci.n 0

+

|f(x )|dx coner)e ,

entonces

2


27/38

0

+

ex

cosxdxconerge

Ejemplo 10! /na*i0ar *a coner)encia o dier)encia de = 0

+senx

x dx

2o*uci.n

0

+senx

x dx=

0

1senx

x dx+

1

+senx

x dx . . . . . . . . . . . . .()

-n *a primera inte)ra* 0

1senx

x dx *a %unci.n f(x )=

senx

x es una %unci.n

secciona*mente continua en e* intera*o [ 3 , 1 ] , puesto #ue

x

0

+senx

x =1,por lo tantola integral0

1senx

x dxconerge

lim

.n %a &e!unda inte!ra%

1

+senx

x dx=lim

b+1

bsenx

x dx . . . . . . . . . . .(1)

Ca%cu%amo& %a inte!ra% de(inida mediante %a inte!raci$n por parte&

u=1

x, d=senxdx

du=1

x2dx ,=cosx

1

bsenx

x dx=

.1x

cosx ]1b

1

bcosx

x2

dx=1b

$osb+cos11

bcosx

x2

dx

1

+senx

x dx=lim

b+[1b $osb+cos11b

cosx

x2

dx ]. . . . . . . . . . . .(2)lim

b+1

b cosb se puede obtenermedianteel teoremadel sand1ic-

Ob&rve&e 6ue 0 |1bcosb|01bpor lo +uelim

b+1

b cosb=0

-n & 4 ' limb+

1

bcosx

x2

dx=1

+cosx

x2

dx , por *os criterios de coner)encia

abso*uta y comparaci.n, se tiene,

f(x )= cosxx

2 00|f(x )|=|

cosx

x2 |0

1

x2

2+


28/38

=e conoce 6ue 1

+1

x2dx conerge, por lo+ue

1

+

|f(x)|dx conerge y por ende

1

+

f(x)dx=1

+cosx

x2

dx conergeaunalor !

Por H2G &e obtiene 6ue

1

+senx

x dx=(cos1 )2 !

.& decir %a inte!ra% e& conver!ente y por H K G &e conc%uye 6ue 0

+senx

x dx conver!e

E)e!lo **"Ana%i7ar %a conver!encia o diver!encia de

0

11

e3x1

dx

=o%uci$n

f(x )= 1

e3x1

no e& continua en x L 0

0 I x 1 0 I 3x 1 1 I e3x 0 ee

3x1>0 9 por %o 6ue (HxG F 0 9

x@091

Por e% criterio de% cociente9 &ea !HxG L1

xp

x 0+ x

p

e3x1

x0+f(x)

g (x)=lim

A= lim

Para p F 0 9 e% %'mite anterior e& de %a (orma0

0

9 ap%icamo& %a re!%a de 8Qo&pita%

x0+3p x

p13

e3x

=1, si p=1

3A=10 , *=

1

3


29/38

0

1

g(x )dx=0

11

xp

dx=0

11

x1/3 dx conerge

0

11

e3x1

dxtambien conerge

La trans0orada de La!lace .1 =i ( e& una (unci$n de(inida para todo& %o& va%ore&

po&itivo& de t 9 %a tran&(ormada de 8ap%ace de %a (unci$n ( &e de(ine por

dttfts

esF GH

0

GH + =

=i e&ta inte!ra% impropia exi&te"

E)e!lo *+" Qa%%e %a tran&(ormada de 8ap%ace de

1G ( H t G L 19 2G ( H t G L t 9 )G ( H t G L t 9 *G ( H t G L Co& a t 9 G ( H t G L e

a t

=o%uci$n

e

[sb1]=1

s

10

+

est(1 ) dt= lim

b+0

b

est

dt=1

s limb +

est]0

b

=1s lim

b+

3I=0

+

est(t2)dt=lim

b+0

b

t2est

dt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

#nte!rando por parte&

u L t2 9 dv L e-&tdt

du L 2tdt 9 v L - 1

se

st

0

b

t2est

dt=t2(1s est)]0b

0

b1s

est(2 tdt)=1

s (b2 esb)+ 2

s0

b

t est

dt

#nte!ramo& por parte& %a %tima inte!ra%

< L t 9 d? L eT&tdt

d


30/38

Por %o tanto 4H&G L1

s2

e

( (as ) b1)= 1sa

50

+

est(eat)dt= lim

b+0

b

e(as)t

dt=lim

b +1

as e

( as )t]0b

= 1

as limb+

Por %o tanto

0

+

est(eat)dt= 1

sa

&UNCION "A##A

D.4#N#C#UN "- 8a (unci$n amma 9 e&t de(inida para todo nmero rea% po&itivo y &u

re!%a de corre&pondencia e& %a &i!uiente 9

+ =0

1GH dtetx

tx

9 conver!e para x F 0

8a (unci$n (HtG Ltx et 1 ; e& continua en 09 @ " ( e& di&continua en t L 0 &i

x - 1 I 0 ; e& decir &i x I 1" =i a V 0 9 @ 9 entonce&

+ ++=

0

21

0 GHGHGH a

a

dttfdttfdttf

donde (HtG Ltx et 1

Para H1G 9 &i t 5 0 9 entonce& e-t W1 9 %o cua% imp%ica 6ue %a (unci$n

dtt

egrallaperot

ttf a

xx

x

=0 11

1 1int1

GH

9 conver!e &i 1-x I 1 X x F 0 "

.& decir %a inte!ra% H 1G conver!e &i x F 0

2


31/38

A% ana%i7ar H2G &e %%e!ar a una conc%u&i$n &imi%ar H =e de/a como e/ercicio para e% %ectorG

P>OP#.DAD.=

1G 3(n)= (n1 ) 4 ,n'12G 3(0 )=04=1)G 3(x+1 )=x 3(x ) ; &e obtiene inte!rando por parte&

3(x )=0

+

tx1

et

dt= limb+

1

xt

xet]

0

b

+1

x0

+

tx

et

dt=0+1

x3(x+1)

x 3(x )=3(x+1)

*G 6 ( 12 )=3( 12 )=0

+

t

1

21

et

dt=0

+

t

12 e

tdt=

0

+et

tdt=

G 3(a)3(a1 )= sen(a)

; 0 I a I 1

OSERVACION"- =i en %a re!%a de corre&pondencia de %a (unci$n !amma 9 &e hace

u L e - t entonce& t L %n H u T 1G L - %nu ; %ue!o dt L -uT 1du 9 en con&ecuencia

duu

x

x 11

0

1%nGH

=

E)e!lo *," Ca%cu%ar 6H:2G

=o%uci$n

6H 5

2G L 3( 32 +1)=323( 32 )=323( 12+1)=32 .123( 12 )=34

7 6H 5

2G L

3

4

E)e!lo *" Ca%cu%ar 6H1:+G 6&89:'

2o*uci.n;or *a propiedad 8' de *a %unci.n )amma, se tiene

6H1:+G 6&89:'=

sen( .1

6)=2

Ejemplo 15!


32/38

x = ?94 , entonces

0

+

x2e5x2

dx= 1

1050

+

t

1

2 et

dt= 1

1053( 32 )= 1105 .

1

2=5

100

0

+

x2e5x2

dx=5100

E)e!lo *. Ca%cu%ar 0

+

ex2

dx

=o%uci$n

=ea t L x2x=t ,dx=

1

2tdt

=i x L 0 t L 0

=i x L t = +

.ntonce&

0

+ex2

dx=0

+et

. 1

2tdt=1

20

+t1/2

et

dt=12

3(1

2 )=1

2

)1


33/38

E)e!lo *B" Ca%cu%ar 0

+

(x )5

2n1

exn

dx en (unci$n de n

=o%uci$n

=ea t L xnx=t1

n , dx=1

n(t

1

n1)dt ; %a variab%e t var'a en e% mi&mo interva%o 6ue x9

.ntonce&

0

+

(x )5

2n1

ex

n

dx=0

+

(t1

n )5

2n1

( et) 1n( t

1

n1)dt= 1

n0

+

t

3

2 et

dt=1

n3( 52 )

0

+

(x)5

2n1

exn

dx= 3

4n

&UNCIN ETA

De0inici:n.1%a (unci$n beta e& de(inida para va%ore& po&itivo& de m y n por

dxn

xm

xnm

= 1

0

1G1H

1G9H

y conver!e &i m F 0 y n F 0

8a (unci$n (H x G L x m - 1 H 1 T x G n - 1 e& continua en I 0 9 1 F "

( H x G e& di&continua en x L 0 &i m -1 I 0 $ en x L 1 cuando n T 1 I 0 ; en e&to&

ca&o& 9 &i &e e%i!e un nmero A I 0 9 1 F

dxn

xm

xdxn

xm

xnmA

A

+

= 1

0

1G1H

1

1G1H

1G9H

=i x L 0 9 ( Hx Gmx

1

1

; %a inte!ra%

A

mdx

x0 11

conver!e &i 1 T m I 1 ; e& decir &i m F 0

=i x L 19 ( Hx Gnx

1G1H

1

; %a inte!ra%

1

1G1H

1

A ndx

x conver!e &i 1 T n I 1@m F 0

PROPIEDADES @

*. 6 (m ,n )=6 (n ,m)=3(m )3(n)

3(m+n)

)2


34/38

+. 0

/2

(sen7)2m1(cos7)2n1 d7

Para comprobar %a &e!unda propiedad

=ea x L sen27dx=2 sen7cos7d7

sen

( 27)m1

xm1=

7=0x=0

A L

2x=1

en %a inte!ra%9 &e tiene

0

/2

(sen7 )2m1

( cos7 )2n1

d7=1

20

1

xm1

(1x )n1

dx=1

26 (m , n)

E)e!lo *" Ca%cu%ar 0

1

x6(1x )3dx

=o%uci$n

Pue&to 6ue %a inte!ra% e& %a (unci$n beta con m-1 L+ 9 y 9 n-1 L ); e& decir mL,9 nL*

0

1

x6 (1x )3 L BH, 9 * G L

3(7 )3(4)3(11)

=6 4 .4 4

10 4 =

1

210

0

1

x6(1x)3=

1

210

E)e!lo +="ca%cu%ar 0

11

5

1x5dx

=o%uci$n

Qacemo& e% &i!uiente cambio de variab%e

u=x5x= 5u,dx=1

5

u54 du

xL 0 u L 0 9 x L 1 u L 1

.ntonce&

0

11

5

1x5dx=

0

11

51u

.1

5u

5 /4du=

1

50

1

u5 /4(1u)1/5du=6 ( 15 ,45 )

Pue&to 6ue en %a %tima inte!ra% &e tiene

m T 1 L -:* m L 1: ; tambin n T 1 L -1: n L *:

como

))


35/38

6 ( 15,45 )=3(1 /5 ) . 3(4 /5 )

3(1) =3(1/5 ) . 3(4 /5 )=

sen (15 ).n con&ecuencia

0

11

5

1x5dx=

sen( 5)E)e!lo +*" Ca%cu%ar %a inte!ra%

0

/2

sen

3

2 (x)cos1

2 (x )dx

=o%uci$n

Para ap%icar %a &e!unda propiedad de %a (unci$n beta9 en %a inte!ra% dada reconocemo&

2m T 1 L ):2 m L :*

2n T 1 L Y n = C

-ntonces

0

/2

sen3

2 (x)cos1

2 (x )dx=1

26 ( 54, 34 )=12

3(1

4+1)3(

3

4)

3(2) =

1

2.1

43(14 )3(34 )=18

sen(

4)

0

/2

sen3

2 (x )cos1

2 (

E)e!lo ++"#nte!rar

ln (1/x )

6

0

1

=o%uci$n

=ea u L %n ( 1x )=lnx x L eu, dx=eu du=i x L 0 u L

=i x L 1 u L 0

ln (1/x )6

0

1

)*


36/38

ln (1/x )6

0

1

E9ERCICIOS

#"C%a&i(icar %a& &i!uiente& inte!ra%e&

10

+1

(x+1)(x+2)dx2

0

+e

t

1+etdt3

1

21

2tdt4

0

1lnu

u du

50

+et

t+1dt6

0

21

3t1

dt7 1

39

x2+x2

dx 8

1x+2

x (x+1)dx

##" Determinar para 6ue va%ore& de %a con&tante rea% R 9 conver!e cada inte!ra%

1 : 2 1

)1 0 0 0

N 1 11G 2G )G *G %n NH G

) 11 1 N

kk

k

kx x Cosxdx dx x x dx

xx xx

+ ++

###" .&tudiar %a conver!encia de%a& &i!uiente& inte!ra%e&

* * 2 ))0 2 2

2 : 2 2 )

0 1 0 0

*

0 2 0 0

N 1 1 21G 2G )G *G G

1 * 1 H%n G1

N 1 %n N 2+G ,G G -G

H 1G 1

co&10G 11G 12G 1)G

N 1 ) 2 1 co&

x

x

x x senx xdx dx dx dx dx

x x x xx

x x sen x sen xdx dx dx dx

x x x e x x

x x senxdx dx dx e sen x

x x x x

+ ++ + +

++ + + +

+ + +

*,2 2

0 1 2

1 1 1 1

)0 0 0 0 1

2 : 2 1 1: 2

) )0 0 0 0

1*G 1G arctanH G 1+G,

1 co& 1 %n1,G 1G 1-G 20G 21G

N %nH 1G 1 N 2

%n 1 N N %n22G 2)G %nH G 2*G 9 : : 1 2G

1 N

xx

dx

ex e dx x x dx

x

x x sendxdx dx dx dx

x x xx x x

x k x xdx senx dx dx k dx

x xx

+

+ +

"

2G Ca%cu%ar

1

0

1

1dx

x

)G .% e(ecto de %a &uper(icie %ibre de un e&tan6ue &obre %a temperatura en &u (ondo

e& dado por una expre&i$n 6ue imp%ica %a inte!ra%

N

11 9 0

N

xk e dx k x

+ > 9

mue&tre 6ue a inte!ra% e& conver!ente"

ILIO"RA&-A

)+


38/38

*. D.M#DO?#CQ95" H10G Prob%ema& y ./ercicio& de An%i&i& Matemtico" .ditoria%M#>" Mo&c

+. >AN?#88.9 Z.$1+G C%cu%o Di(erencia% e #nte!ra%" .ditoria% 8imu&a" Mxico"

,. 8.#3QO8D9 8" H200*G .% C%cu%o con eometr'a Ana%'tica" .ditoria% Qar%a" Mxico"

. =3.ZA>39 [" H2002G C%cu%o de una ?ariab%e" .ditoria% 3homp&on 8earnin!" Ne\ JorR

/. 3QOMA=9 " H200+G C%cu%o de una ?ariab%e" .ditoria% Pear&on-Addi&on Ze&%ey%atinoamericana" Mxico"

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