Serie 7-2015-12-16
2
EPN> FISICA+INGENIERIA MATEMATICA+MATEMATICA > ALGEBRA 1 1. Se considera la aplicación definida en ℝ 3 mediante () = 1 2 + 3 2 2 + 8 3 2 − 4 1 2 + 6 1 3 − 10 2 3 a) Demostrar que es una forma cuadrática y dar su forma polar asociada b) Expresar usando la descomposición de cuadrados c) La forma es ¿definida positiva? ¿definida negativa? ¿indefinida? d) Dar su forma reducida respecto a una base ortonormal 2. Sea =℘ [] , coeficientes reales. Se considera la forma cuadrática () = ∫ − 2 2 ()(−) +∞ −∞ a) Dar la fórmula de la forma bilineal simétrica asociada b) Mostrar que los polinomios 0 () = 1, 1 () = , 2 () = 2 −1 son ortogonales respecto al producto escalar definido por 3. Sea la forma cuadrática en ℝ 3 () = 3 1 2 + 2 1 2 + 2 1 3 + 3 2 2 + 2 2 3 + 3 3 2 a) Clasificar () según lo valores de A partir de aquí = b) ¿A partir de a) se puede decir que 1 () definida positiva? Confirmar con el criterio de los valores propios c) Reducir 1 () explicitando la nueva base d) Aplicación Evaluar =∭ −(3 1 2 +2 1 2 +2 1 3 +3 2 2 +2 2 3 +3 3 2 ) ℝ 3 1 2 3 Hacer cambio de variables (usar el resultado de d)) Recordar que ∫ − 2 = ( ) 1 2 ⁄ ∞ −∞ 4. En los siguientes casos determinar a) Los valores de a par los cuales la matriz =[ 1 1 1 ] es definida positiva b) Los valores de a y b para los cuales la matriz =[ ] es definida positiva Diagonalizar la matriz.
description
cuadratica
Transcript of Serie 7-2015-12-16
EPN> FISICA+INGENIERIA MATEMATICA+MATEMATICA > ALGEBRA 1
1. Se considera la aplicación 𝑞 definida en ℝ3 mediante
𝑞(𝒙) = 𝑥12 + 3𝑥2
2 + 8𝑥32 − 4𝑥1𝑥2 + 6𝑥1𝑥3 − 10𝑥2𝑥3
a) Demostrar que 𝑞 es una forma cuadrática y dar su forma polar asociada b) Expresar 𝑞 usando la descomposición de cuadrados c) La forma 𝑞 es ¿definida positiva? ¿definida negativa? ¿indefinida? d) Dar su forma reducida respecto a una base ortonormal
2. Sea 𝐸 = ℘𝑛[𝑡] , coeficientes reales. Se considera la forma cuadrática
𝑞(𝑃) = ∫ 𝑒−𝑡2
2 𝑃(𝑡)𝑃(−𝑡)+∞
−∞
𝑑𝑡
a) Dar la fórmula de la forma bilineal simétrica asociada 𝜑 b) Mostrar que los polinomios 𝑃0(𝑡) = 1, 𝑃1(𝑡) = 𝑡, 𝑃2(𝑡) = 𝑡2 − 1 son ortogonales
respecto al producto escalar definido por 𝜑
3. Sea la forma cuadrática en ℝ3 𝑞𝛼(𝒙) = 3𝑥1
2 + 2𝑎𝑥1𝑥2 + 2𝑥1𝑥3 + 3𝑥22 + 2𝑥2𝑥3 + 3𝑥3
2 a) Clasificar 𝑞𝛼(𝒙) según lo valores de 𝛼
A partir de aquí 𝜶 = 𝟏 b) ¿A partir de a) se puede decir que 𝑞1(𝒙) definida positiva? Confirmar con el criterio de los
valores propios c) Reducir 𝑞1(𝒙) explicitando la nueva base d) Aplicación
Evaluar 𝐼 = ∭ 𝑒−(3𝑥12+2𝑎𝑥1𝑥2+2𝑥1𝑥3+3𝑥2
2+2𝑥2𝑥3+3𝑥32)
ℝ3 𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥3
Hacer cambio de variables (usar el resultado de d))
Recordar que ∫ 𝑒−𝑘𝑡2𝑑𝑡 = (
𝜋
𝑘)
12⁄∞
−∞
4. En los siguientes casos determinar
a) Los valores de a par los cuales la matriz 𝐴 = [1 𝑎 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 𝑎 1
] es definida positiva
b) Los valores de a y b para los cuales la matriz 𝐴 = [𝑎 𝑏 𝑏𝑏 𝑎 𝑏𝑏 𝑏 𝑎
] es definida positiva
Diagonalizar la matriz.
5. Dada una forma cuadrática 𝑞(𝑥) = 𝑥𝑇𝐴𝑥 donde 𝐴 = [𝑎 𝑏𝑏 𝑑
]. Completar el siguiente cuadro
justificando los resultados.
𝑞(𝑥) 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) 𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎(𝐴) Signatura si b=0
Indefinida
Semi-definida positiva > 0
Semi-definida negativa 0
Definida positiva
Definida negativa
6. Sea 𝐴 una matriz con coeficientes reales 𝑚 × 𝑛. Demostrar que
a) 𝐴𝑇𝐴 es una matriz simétrica semidefinida positiva b) Si 𝐴 es de rango 𝑛, 𝐴𝑇𝐴 es una matriz simétrica definida positiva c) Hallar resultados similares si 𝐴 tiene coeficientes complejos
