Serie de Fourier en TD
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Serie de Fourieren tiempo discreto
Integrantes:Henrry UgartecheKevin Molina MonteroJuan Carlos Yepez Benitez
Una señal x[n] en TD puede representarse para un intervalo de tiempo discreto finito para un intervalo : n0≤n<n0+NF
La primera diferencia que debe notarse entre los casos de TD y en TC es que la sumatoria en tiempo discreto no necesita ir
hasta infinito ,esto se debe a que n y k son enteros y:
y puesto que FF=1/NF
Cualquier conjunto de numero de k, que abarque el intervalo k0≤k<k0+NF donde k0 es arbitrario genera un conjunto completo
funciones exponenciales.
Es la sumatoria de cualquier intervalo de numero k consecutivos
Multiplicando ambos lados
Invirtiendo el orden de la sumatoria
El intervalo angular entre senoides complejas es la fracción (k-q)/NF
Cuando graficamos todas la senoides podemos observar que la sumatoria de todas las senoides es cero.
Se cuenta con un procedimiento analítico para este resultado que utiliza una formula muy útil ,para la sumatoria de una serie geométrica finita
Aplicando a la formula y haciendo un cambio de variable a m=n-n0
Y como k-q es un entero
En el caso de k=q la serie se simplifica
Y resolviendo para X[q],se tiene: La representación original de la SFTD de una señal en TD es
X[K] esta dada por :
La Representación de la SFTD de una señal x[n] es periódica con periodo fundamental NF.
La representación de la SFTD de una señal XF[n] es periódica en tiempo discreto con periodo fundamental NF. En el caso mas común en el que se representa una señal periódica x[n] para exactamente un periodo fundamental N0,x[k] y X[k] son periódicas con periodo fundamental N0.
Si se conocen un conjunto de N0 número y los valores de la X[k],es posible reconstruir la señal completa utilizando la relación.
Determine la función armónica de la SFTD de la señal en TD x[n]=rect2[n]*comb8[n] para exactamente un periodo fundamental:
Ejemplo:
El intervalo de la sumatoria puede ser cualquiera de m ≤n< m+8,donde m es cualquier entero.
Se puede determinar la función dejando que k ,sea cada uno de los enteros en el intervalo de q ≤k< q+8donde q es cualquier entero ,uno a la vez, y sumando los términos en la sumatoria para cada k.
Para sumar una serie geométrica ,primero se efectúa el cambio de variable m=n+2 .
Y recordando la función de dirichlet esta definida por :
Ahora para ilustrar mejor el concepto de la serie de Fourier vamos a usar otro ejemplo:
PROPIEDADES DE LA SERIE DE FOURIER
• Es posible encontrar la función armónica de la SFTD para estas dos señales dado su periodo fundamental.
• La función armónica SFTD se encuentra a partir de las siguientes relaciones de transformación
LINEALIDAD
DESPLAZAMIENTO EN FRECUENCIA
La demostración es similar que en TC
CONJUGACIÓN
INVERSION EN EL TIEMPO
x[ - n ] X[ - k]
DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPOSea z[n] = x[n – n0] y Nx0 = Nz0 = N0
Considere que q = n – n0
Decimos que
Esta propiedad es parecida a la SFTC salvo que el Tiempo es Discreto
ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO Diferente a las funciones en TC
Sea z[n] = x[ an ], a>0
Si a no es un entero, entonces algunos valores de z[n] estarán indefinidos
Si a es un entero, entonces z[n] es un versión diezmada de x[n]
No existe una relación única entre x[n] y z[n] a través de la transformación n an
ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO Existe una operación relacionada para la cual la relación entre x[n] y z[n] es única. Sea m un entero positivo y considérese que
Periodo Fund. z[n] es N0z = m N0 Periodo Fund. x[n] es N0x
Entonces la F.A de SFTD es:
ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO
Puesto que todos los valores de z son cero cuando n/m no es un entero,
Sea p = n/m, donde n/m es un entero. Entonces
ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO
Y z[mp] = x[p] con todos los otros valores de z[n] iguales a cero. Por lo tanto,
no quiere decir que la representación de la SFTD de z sea igual que la de la SFTD de x pero dividida entre m, porque los periodos de las dos señales no son iguales. La representación de la SFTD de z es
CAMBIO DE PERIODO
Se puede encontrar la función armónica de x[n], Xq[k], para el periodo de representación qN0, donde q es un entero positivo. Esta es
DUALIDAD MULTIPLICACION-CONVOLUCION
Salvo que q se extiende por intervalo finito, esta es uns suma de convolucion periodica
Z(k)
PRIMERA HERENCIA HACIA ATRAS
Sea z[n] – x[n – 1] y Nx0 = Ny0 = N0. Entonces
Si se utiliza la propiedad de desplazamiento en el tiempo deducida anteriormente,
ACUMULACIONLa propiedad de la primero deferencia hacia atrás demostró que X[k] = (1 – e-j2π(kF0)) Z[k]. Por consiguiente
SEÑALES PARES E IMPARES
Si x[n] es una señal par, x[n] = x[ -n ]
Si x[n] = - x[ -n ], entonces la derivación es exactamente la misma salvo por un signo
TEOREMA DE PARSEVALLa energía de señal de x[n] es infinita. La energía de señal para un periodo Nx0 = N0 se define como
CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
La convergencia es una sumatoria finita es la igualdad exacta entre una función y su representación en SFTD se consigue con un numero finito de términos de No Una señal en TD x[n] y su función armónica de la SFTD junto con su similar a la onda cuadrada en TC y su función armónica de la SFTD X[k] para comparar
Señal de TD, x[n]
1
Señal de TC, x(t)
n
X(t)
1
Sumas parciales
Para N=1,2,3, los errores asociados y los errores cuadráticos .
1
0.4
-0.4
n
n
n
Error cuadrático medio = 0.033033
Error
Suma parcial, N = 1
0.15
Suma parcial, error y error cuadrático para N=1
=
= 0.03124 – j0.3173
= ==
=
Por comparación, esta misma armónica para la señal en TD fue:X[1]=-j0.3173
Una diferencia de fase en la función armónica de la SFTD corresponde a un desplazamiento en el tiempo. La figura ilustra la relación entre la señal original en TD y su suma parcial N=1 para ambas señales en TD.
Para ambas señales en TD, la suma parcial N=1 consta del valor 1/2 , más un seno cuyo periodo fundamental es igual que la onda cuadrada . Para la primera señal en TD, la onda seno fundamental tiene su cero cruzando los puntos n=0 y n=16. También tiene sus picos en los puntos n=8 y n=24 que son los puntos de simetría del primero y segundo periodo.
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS LIT CON EXCITACION PERIODICA
La razón para estudiar la serie de Fourier es que constituya una herramienta para el análisis de la respuesta de un sistema LIT a una excitación. Puesto que solo las señales periódicas pueden expresarse en todo tiempo como una serie de Fourier, el análisis se limitara a una excitación periódica
La ecuación diferencial que describe la relación entre la señal de voltaje de entrada y la señal la señal de voltaje de salida
La señal es periódica y esta expresada como una SFTC compleja
= (frecuencia fundamental de la excitación)Este en un sistema LIT, es posible encontrar la respuesta determinando de manera individual la respuesta a cada snoide compleja y sumándolas después.
La ecuación para la senoide compleja de la señal de voltaje de entrada k-esima es:
La señal de voltaje de salida será la misma forma que la señal de con la misma frecuencia
Entonces a la ecuación se convierte en:
La ecuación diferencial cambia por una ecuación algebraica, al despejar
La solución de estado estable es:
y es una función de frecuencia kfo.Si la frecuencia fundamental fo es pequeña en comparación con entonces para k pequeños, y son aproximadamente iguales
Este circuito no realza las frecuencias mas altas en la señal de voltaje de entrada y por esta razón se recibe el nombre de filtro pasabajas.Como puede observarse en la siguiente figura, el cociente de las magnitudes es aproximadamente uno para bajas frecuencias y disminuye hacia cero a frecuencias altas
1
Kfo
Kfo
Magnitud y fase del cociente en función de la frecuencia
Entonces la solución se encuentra utilizando impedancias y del resistor y del capacitor.
La similitud entre este resultado y el de análisis de la SFTC