Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ingeniería

Ingeniería Industrial

Probabilidad y estadística

Serie V

Serie V

2

1. En un grupo de nueve ejecutivos de cierta empresa, cuatro están casados, tres nunca han

estado casados y dos están divorciados. Se debe seleccionar a tres de los ejecutivos para un

ascenso. Sea X el número de ejecutivos casados y Y el número de ejecutivos que nunca se

han casado entre los tres elegidos para el ascenso. Obtener la distribución de probabilidad

conjunta de X y Y, suponiendo que se seleccionan aleatoriamente los tres ejecutivos. Calcular

el coeficiente de correlación.

( ) ( )(

)(

)

( )

( ) ( )(

)(

)

( )

( ) ( )(

)(

)

( )

( ) ( )(

)(

)

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( ) ( )

√ ( ) ( )

√( ) (

)

( ) √

2. Dos amigos se reunirán en una biblioteca. Cada uno llega en forma independiente a

instantes seleccionados al azar dentro de un período fijo de una hora (en cada instante se

tiene la misma probabilidad de llegada). Acuerdan que ninguno esperará al otro más de 10

minutos. Determinar la probabilidad de que se encuentren.

( )

( )

( ) ( )

Serie V

3

3. Si dos variables tienen la densidad conjunta

a) Calcular la probabilidad de que ambas variables aleatorias tomen valores menores que 1.

( ) ∫ ∫

∫ |

b) Calcular la probabilidad de que la suma de los valores asumidos por las dos variables sea

menor que 1.

( ) ∫ ∫ ( )

∫ |

( )

∫ ( )

c) Obtener las densidades marginales.

( ) ∫

|

( ) ∫

|

d) Determinar la función de distribución conjunta.

( ) ∫ ∫

∫ |

e) Determinar las funciones de distribución de cada una de las variables.

( ) (

)

f) Determinar si las variables aleatorias son independientes.

Son independientes

4. La función de densidad de probabilidad conjunta de las variables X, Y y Z es:

Serie V

4

a) Obtener la función de densidad marginal conjunta de Y y Z.

( ) ∫

( ) {

b) Obtener la densidad marginal de Y.

∫ ∫

( ) {

c) Calcular

∫ ∫ ∫

d) Calcular

∫

5. Sean X1 y X2 las proporciones de dos sustancias distintas que se encuentran en una muestra

de una mezcla de reactivos que se usa como insecticida. Supóngase que X1 y X2 tienen una

densidad de probabilidad conjunta representada por:

a) Calcular

Serie V

5

∫ ∫

∫ ∫

b) Determinar

∫ ∫

c) Calcular

(

)

( )

⁄

∫ ∫

6. Supóngase que X y Y tienen la siguiente función de probabilidad conjunta

a) Obtener el valor esperado de g(x,y)=xy2.

( ) ∑ ∑ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b) Obtener y μx μy.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Serie V

6

7. Una compañía dulcera distribuye cajas de chocolates con una mezcla de tres tipos de

chocolate: cremas, chiclosos y envinados. Supóngase que el peso de cada caja es de un

kilogramo, pero los pesos individuales de las cremas, de los chiclosos y de los envinados varían

de una caja a otra. Para una caja seleccionada aleatoriamente, X y Y representan los pesos

de las cremas y de los chiclosos, respectivamente, y supóngase que la función de densidad

conjunta de estas variables es:

Obtener el peso esperado de las cremas y los chocolates de chiclosos si se compra una de

estas cajas de chocolate.

( ) ∫∫( ) ( ) ∫ ∫ ( )

8. Dos componentes de una microcomputadora tienen la siguiente función de densidad

conjunta para sus duraciones X y Y

( ) ∫ ( ) ∫

∫ (

)

( ) {

( ) ∫ ( ) ∫

( )

( )

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración X del primer componente sea mayor de tres?

( ∫

b) ¿Son estadísticamente independientes las duraciones? Justificar la respuesta.

Serie V

7

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de por lo menos un componente sea mayor

de tres?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ( ))

9. Dada la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X y Y

a) Calcular la probabilidad del evento

(

) ∫ ∫ (

)

( )

b) Determinar la probabilidad

(

|

)

(

)

( )

∫

( )

⁄

c) ¿Son independientes? ¿Por qué sí o no?

( ) ∫

( ) ∫

( ) ( )

10. Sean X1 y X2 dos variables aleatorias que tienen la siguiente función de densidad conjunta:

a) Determinar las funciones de densidad marginal de X1 y X2

Serie V

8

( ) ∫ ( ) ∫ ( )

|

( ) {

( ) ∫ ( )

|

( ) {

b) Determinar si las vv.aa. X1 y X2 son independientes.

( ) ( ) ( )

(

) (

)

c) Establecer la función de densidad condicional de X1 dado X2=x2

|

| ( | ) ( )

( )

| ( | ) {

11. La distribución de probabilidad conjunta del número de automóviles y el número de

autobuses, por ciclo de señal en un carril propuesto de vuelta a la izquierda, aparece en la

tabla siguiente de probabilidad conjunta:

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9

a) Calcular el coeficiente de correlación.

( ) ( )

√ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo sumo un automóvil y un autobús durante un

ciclo?

( ) ( ) ( )

12. Obtener la covariancia de las variables aleatorias y , con función de densidad conjunta dada

por:

∫ ∫ ( )

∫ ∫ ( )

( )

( ) {

( )

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( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∫ ∫ [

( ) ]

( ) ∫ ∫ [

( ) ]

( ) ∫ ∫ [

( ) ]

( )

(

) (

)