Series de Fourier
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TRATAMIENTO DE SEALES
DIGITALES
Series de Fourier
MIGUEL SERRANO LOPEZ
-
Contenido
1. Funciones Peridicas
2. Serie trigonomtrica de Fourier
3. Componente de directa, fundamental y armnicos
4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno
5. Clculo de los coeficientes de la Serie de Fourier
6. Simetras en seales peridicas
7. Fenmeno de Gibbs
8. Forma Compleja de las Series de Fourier
9. Espectros de frecuencia discreta
10. Potencia y Teorema de Parseval
11. De la serie a la Transformada de Fourier.
12. Obtencin de la serie de Fourier usando FFT
13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales
-
Prembulo
El anlisis de Fourier fue introducido en 1822 en la
Thorie analyitique de la chaleur para tratar la
solucin de problemas de valores en la frontera en la
conduccin del calor.
Ms de siglo y medio despus las aplicaciones de esta
teora son muy bastas: Sistemas Lineales,
Comunicaciones, Fsica moderna, Electrnica,
ptica y por supuesto, Redes Elctricas entre
muchas otras.
-
Funciones Peridicas
Una Funcin Peridica f(t) cumple la siguiente
propiedad para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mnima para la cual se cumple lo
anterior se le llama el periodo de la funcin
Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...
-
Funciones Peridicas
Ejemplo: Cul es el perodo de la funcin
Solucin.- Si f(t) es peridica se debe cumplir:
Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que
T/3=2k1p, T/4=2k2p
Es decir,
T = 6k1p = 8k2p
Donde k1 y k2 son enteros,
El valor mnimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24p
)?cos()cos(f(t)4t
3t
)cos()cos(T)f(t4Tt
3Tt )cos()cos(f(t)
4t
3t
-
Funciones Peridicas
Grfica de la funcin
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24p
T
)cos()cos(f(t)4t
3t
-
Funciones Peridicas
Podramos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una funcin peridica.
Esto no es as, por ejemplo, consideremos la funcin
f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).
Para que sea peridica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que
w1T= 2pm, w2T=2pn
De donde
Es decir, la relacin w1/ w2 debe ser un nmero racional.n
m
2
1 w
w
-
Funciones Peridicas
Ejemplo: la funcin cos(3t)+cos(p+3)t no es peridica, ya que no es un nmero racional.
p
w
w
3
3
2
1
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
t
f(t)
-
Funciones Peridicas
ACTIVIDAD 1: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son
peridicas:
1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2) f(t)= sen2(2pt)
3) f(t)= sen(t)+sen(t+p/2)
4) f(t)= sen(w1t)+cos(w2t)
5) f(t)= sen(2 t)
-
Serie Trigonomtrica de Fourier
Algunas funciones peridicas f(t) de periodo T
pueden expresarse por la siguiente serie, llamada
Serie Trigonomtrica de Fourier
f(t) = a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...
+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...
Donde w0=2p/T.
Es decir,
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021 ww
-
Serie Trigonomtrica de Fourier
Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el trmino ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como
Podemos encontrar una manera ms compacta para expresar estos coeficientes pensando en un tringulo rectngulo:
w
w
)tn(sen
ba
b)tncos(
ba
aba 02
n2n
n02
n2n
n2n
2n
-
Serie Trigonomtrica de Fourier
Con lo cual la expresin queda
n2n
2n
n
n2n
2n
n
senba
b
cosba
a
an
bn
2
n
2
nn baC
n
)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn ww
)tncos(C n0n w
-
Serie Trigonomtrica de Fourier
Si adems definimos C0=a0/2, la serie de Fourier
se puede escribir como
As,
y
w1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
2
n
2
nn baC
n
n1n
a
btan
-
Serie Trigonomtrica de Fourier
ACTIVIDAD 2:
Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y
n, de manera que la serie de Fourier se pueda
escribir como
w1n
n0n0 )tn(senCC)t(f
-
Componentes y armnicas
As, una funcin peridica f(t) se puede escribir como la
suma de componentes sinusoidales de diferentes
frecuencias wn=nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0:
Cncos(nw0t+n) se le llama la ensima armnica de f(t).
A la primera armnica (n=1) se le llama la componente
fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular
fundamental.
-
Componentes y armnicas
A la componente de frecuencia cero C0, se le
llama componente de corriente directa (cd) y
corresponde al valor promedio de f(t) en cada
periodo.
Los coeficientes Cn y los ngulos n son
respectiva-mente las amplitudes y los ngulos
de fase de las armnicas.
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Componentes y armnicas
Ejemplo: La funcin
Como ya se mostr tiene un periodo T=24p, por lo tanto
su frecuencia fundamental es w0=1/12 rad/seg.
Componente fundamental es de la forma:
0*cos(t/12).
Tercer armnico:
cos(3t/12)=cos(t/4)
Cuarto armnico:
Cos(4t/12)=cos(t/3)
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24p
)cos()cos(f(t)4t
3t
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Componentes y armnicas
Ejemplo: Como puede verse, la funcin anterior tiene
tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su
componente de cd es cero, en cambio
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24p
)cos()cos(1f(t)4t
3t
Tiene tantas partes
arriba como abajo
de 1 por lo tanto,
su componente de
cd es 1.
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Componentes y armnicas
ACTIVIDAD 3
: Cul es la componente fundamental, las
armnicas distintas de cero y la componente de
directa de
a) f(t) = sen2t
b) f(t) = cos2t ?
Justifcalo adems mostrando la grfica de las
funciones y marcando en ellas el periodo
fundamental y la componente de cd.
-
Ortogonalidad de senos y cosenos
Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son
ortogonales en el intervalo a
-
Ortogonalidad de senos y cosenos
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el
intervalo 1< t
-
Ortogonalidad de senos y cosenos
ACTIVIDAD 4:
Dar un ejemplo de un par de funciones que sean
ortogonales en el intervalo:
a) 0
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Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2
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Ortogonalidad de senos y cosenos
2.- f(t)=1 Vs. sen(mw0t):
3.- cos(mw0t) Vs. cos(nw0t):
0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m
1
m
t)(mcost)dtsen(m
00
0
2/T
2/T
0
02/T
2/T0
www
w
w w
ww
0nmpara2/T
nmpara0t)dtt)cos(ncos(m
2/T
2/T00
-
Ortogonalidad de senos y cosenos
4.- sen(mw0t) Vs. sen(nw0t):
5.- sen(mw0t) Vs. cos(nw0t):
n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2/T
2/T00 ww
ww
0nmpara2/T
nmpara0t)dtt)sen(nsen(m
2/T
2/T00
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Ortogonalidad de senos y cosenos
Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5, son tiles las siguientes identidades trigonomtricas:
cos A cos B = [cos(A+B)+cos(A-B)]
sen A sen B = [-cos(A+B)+cos(A-B)]
sen A cos B = [sen(A+B)+sen(A-B)]
Adems:
sen2 = (1-cos2)
cos2 = (1+cos2)
-
Clculo de los coeficientes de la Serie
Dada una funcin peridica f(t) cmo se obtiene su serie de Fourier?
Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021 ww
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Clculo de los coeficientes de la Serie
Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e
integrando de T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e
integrando de T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, integrando de T/2 a T/2,
obtenemos:
,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2/T
2/T0T
2n w
,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2/T
2/T0T
2n w
2/T
2/TT2
0 dt)t(fa
-
Clculo de los coeficientes de la Serie
El intervalo de integracin no necesita sersimtrico respecto al origen.
Como la ortogonalidad de las funciones seno ycoseno no slo se da en el intervalo de T/2 aT/2, sino en cualquier intervalo que cubra unperiodo completo:
(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)
las frmulas anteriores pueden calcularse encualquier intervalo que cumpla este requisito.
-
Clculo de los coeficientes de la Serie
Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la
siguiente funcin de periodo T:
Solucin: La expresin para f(t) en T/2
-
Clculo de los coeficientes de la Serie
Coeficientes an: w
2/T
2/T0T
2n dt)tncos()t(fa
w w
2/T
00
0
2/T0T
2 dt)tncos(dt)tncos(
w
ww
w
0
2/T
0
02/T
0
0
0T2 )tn(sen
n
1)tn(sen
n
1
0npara0
-
Clculo de los coeficientes de la Serie
Coeficiente a0:
2/T
2/TT2
0 dt)t(fa
2/T
0
0
2/TT2 dtdt
0
2/T
2/T
0
T2 tt
0
-
Clculo de los coeficientes de la Serie
Coeficientes bn: w
2/T
2/T0T
2n dt)tn(sen)t(fb
w w
2/T
00
0
2/T0T
2 dt)tn(sendt)tn(sen
w
ww
w
0
2/T
0
02/T
0
0
0T2 )tncos(
n
1)tncos(
n
1
)1)n(cos())ncos(1(n
1pp
p
0npara))1(1n
2 n p
-
Clculo de los coeficientes de la Serie
Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: lacomponente fundamental y los armnicos 3, 5 y7 as como la suma parcial de estos primeroscuatro trminos de la serie para w0=p, es decir,T=2:
...)t5(sen)t3(sen)t(sen4)t(f 0510310 wwwp
-
Clculo de los coeficientes de la Serie
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
Co
mp
on
en
tes
Suma
fundamental
tercer armnico
quinto armnico
septimo armnico
-
Clculo de los coeficientes de la Serie
ACTIVIDAD 5: Encontrar la serie de Fourier
para la siguiente seal senoidal rectificada de
media onda de periodo 2p.
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f(t)
-
Funciones Pares e Impares
Una funcin (peridica o no) se dice funcin par
(o con simetra par) si su grfica es simtrica
respecto al eje vertical, es decir, la funcin f(t) es
par si f(t) = f(-t)
p 2p
f(t)
t p 2p
-
Funciones Pares e Impares
En forma similar, una funcin f(t) se dice
funcin impar o con simetra impar, si su grfica
es simtrica respecto al origen, es decir, si
cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
p 2p
f(t)
t p 2p
-
Funciones Pares e Impares
Ejemplo: Las siguientes funciones son pares oimpares?
f(t) = t+1/t
g(t) = 1/(t2+1),
Solucin:
Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) esfuncin impar.
Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lotanto g(t) es funcin par.
-
Funciones Pares e Impares
Ejemplo: La funcin h(t)=f(1+t2) es par oimpar?, donde f es una funcin arbitraria.
Solucin:
Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))
Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),
Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),
finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) esfuncin par, sin importar como sea f(t).
-
Funciones Pares e Impares
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todaslas siguientes funciones son pares:
h(t) = sen (1+t2)
h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)
h(t) = cos (2+t2)+1
h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2
etc...
Ya que todas tienen la forma f(1+t2)
-
Funciones Pares e Impares
Como la funcin sen(nw0t) es una funcin imparpara todo n0 y la funcin cos(nw0t) es unafuncin par para todo n, es de esperar que:
Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrtrminos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n
Si f(t) es impar, su serie de Fourier nocontendr trminos coseno, por lo tanto an= 0para todo n
-
Funciones Pares e Impares
Por ejemplo, la seal cuadrada, ya analizada enun ejemplo previo:
Es una funcin impar, por ello su serie deFourier no contiene trminos coseno:
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2T . . .
-1
...)t5(sen)t3(sen)t(sen4)t(f 0510310 wwwp
-
Simetra de Media Onda
Una funcin periodica de periodo T se dice
simtrica de media onda, si cumple la propiedad
Es decir, si en su grfica las partes negativas son
un reflejo de las positivas pero desplazadas
medio periodo:
)t(f)Tt(f21
f(t)
t
-
Simetra de Cuarto de Onda
Si una funcin tiene simetra de media onda yadems es funcin par o impar, se dice que tienesimetra de cuarto de onda par o impar
Ejemplo: Funcin con simetra impar de cuartode onda:
f(t)
t
-
Simetra de Cuarto de Onda
Ejemplo: Funcin con simetra par de cuarto deonda:
f(t)
t
-
Simetra de Cuarto de Onda
ACTIVIDAD 6: Qu tipo de simetra tiene la
siguiente seal de voltaje producida por un triac
controlado por fase?
f(t)
t
-
Simetras y Coeficientes de Fourier
Simetra CoeficientesFunciones
en la serie
NingunaSenos y
cosenos
Par bn=0nicamente
cosenos
Impar an=0nicamente
senos
media
onda
Senos y
cosenos
impares
w2/
0
04 )cos()(
T
Tndttntfa
w2/
0
04 )()(
T
Tndttnsentfb
w
imparndttntf
parn
aT
Tn
2/
0
04 )cos()(
0
w
imparndttnsentf
parn
bT
Tn
2/
0
04 )()(
0
w2/
2/
02 )cos()(
T
T
Tndttntfa
w2/
2/
02 )()(
T
T
Tndttnsentfb
-
Simetras y Coeficientes de Fourier
Simetra CoeficientesFunciones
en la serie
NingunaSenos y
cosenos
de
onda par
an=0 (n par)
bn=0
Slo
cosenos
impares
de
onda
impar
an=0
bn=0 (n par)Slo
senos
impares
w2/
2/
02 )cos()(
T
T
Tndttntfa
w2/
2/
02 )()(
T
T
Tndttnsentfb
)(
)cos()(
4/
0
08
imparn
dttntfaT
Tn w
)(
)()(
4/
0
08
imparn
dttnsentfbT
Tn w
-
Simetras y Coeficientes de Fourier
Por ejemplo, la seal cuadrada, ya analizada enun ejemplo previo:
Es una funcin con simetra de de onda impar,por ello su serie de Fourier slo contienetrminos seno de frecuencia impar:
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2T . . .
-1
...)t5(sen)t3(sen)t(sen4)t(f 0510310 wwwp
-
Fenmeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una funcin f(t) se trunca para
lograr una aproximacin en suma finita de senos y
cosenos, es natural pensar que a medida que
agreguemos ms armnicos, la sumatoria se aproximar
ms a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t),
en donde el error de la suma finita no tiende a cero a
medida que agregamos armnicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos anterior:
-
Fenmeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 1 armnico
-
Fenmeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 3 armnicos
-
Fenmeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 5 armnicos
-
Fenmeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 7 armnicos
-
Fenmeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 13 armnicos
-
Fenmeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 50 armnicos
-
Fenmeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 100 armnicos
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una
funcin periodica f(t), con periodo T=2p/w0.
Es posible obtener una forma alternativa usando
las frmulas de Euler:
Donde
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021 ww
)ee()tn(sen
)ee()tncos(
tjntjn
j21
0
tjntjn
21
0
00
00
ww
ww
w
w
1j
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Sustituyendo
Y usando el hecho de que 1/j=-j
Y definiendo:
Lo cual es congruente con la frmula para bn, ya
que b-n=-bn, ya que la funcin seno es impar.
])ee(b)ee(a[a)t(f1n
tjntjn
j21
n
tjntjn
21
n021 0000
wwww
]e)jba(e)jba([a)t(f1n
tjn
nn21tjn
nn21
021 00
ww
)jba(c),jba(c,ac nn21
nnn21
n021
0
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
La serie se puede escribir como
O bien,
Es decir,
)ecec(c)t(f1n
tjn
n
tjn
n000
w
w
w
w 1n
tjn
n
1n
tjn
n000 ececc)t(f
wn
tjn
n0ec)t(f
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
A la expresin obtenida
Se le llama forma compleja de la serie deFourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse apartir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, obien:
Para n=0, 1, 2, 3, ...
w
T
0
tjn
T1
n dte)t(fc0
wn
tjn
n0ec)t(f
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Los coeficientes cn son nmeros complejos, y
tambin se pueden escribir en forma polar:
Obviamente,
Donde ,
Para todo n0,
Para n=0, c0 es un nmero real:
nj
nn ecc
nj
n
*
nn eccc
2
n
2
n21
n bac )a
barctan(
n
nn
021
0 ac
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de laserie de Fourier para la funcin ya tratada:
Solucin 1. Como ya se calcularon loscoeficientes de la forma trigonomtrica (an y bn):
an=0 para todo n
y
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2T . . .
-1
ntodopara])1(1[b nn2
n p
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Podemos calcular los coeficientes cn de:
Entonces la Serie Compleja de Fourier queda
])1(1[j]jba[c nn2
21
nn21
n p
])1(1[jc nn1
n p
...)eee
eee(...j)t(f
t5j
51t3j
31tj
tjt3j
31t5j
512
000
000
www
www
p
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Solucin 2. Tambin podemos calcular loscoeficientes cn mediante la integral
w
T
0
tjn
T1
n dte)t(fc0
)dtedte(
T
2/T
tjn
2/T
0
tjn
T1 00
ww
)ee(2/T
T
tjn
jn1
0
2/T
tjn
jn1
T1 0
o
0
o
w
w
w
w
)]ee()1e[(2/TjnTjn2/Tjn
Tjn1 000
o
www
w
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Como w0T=2p y adems
Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.
jsencose j
)])1(1()1)1[(c nnTjn
1n o
w
])1(1[j nTn
2
o w
])1(1[j nn1 p
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier
ACTIVIDAD 7: Calcular los coeficientes cnpara la siguiente funcin de periodo 2p.
a) A partir de los coeficientes an,bnb) Directamente de la integral
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f(t)
-
Espectros de Frecuencia Discreta
A la grfica de la magnitud de los coeficientes cn contra
la frecuencia angular w de la componente
correspondiente se le llama el espectro de amplitud de
f(t).
A la grfica del ngulo de fase n de los coeficientes cncontra w, se le llama el espectro de fase de f(t).
Como n slo toma valores enteros, la frecuencia angular
w=nw0 es una variable discreta y los espectros
mencionados son grficas discretas.
-
Espectros de Frecuencia Discreta
Dada una funcin peridica f(t), le corresponde
una y slo una serie de Fourier, es decir, le
corresponde un conjunto nico de coeficientes
cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en
el dominio de la frecuencia de la misma manera
que f(t) especifica la funcin en el dominio del
tiempo.
-
Espectros de Frecuencia Discreta
Ejemplo. Para la funcin ya analizada:
Se encontr que
Por lo tanto,
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2T . . .
-1
])1(1[jc nn1
n p
])1(1[c nn1
n p
-
Espectros de Frecuencia Discreta
El espectro de amplitud se muestra a continuacin
Observacin: El eje horizontal es un eje de frecuencia,
(n=nmero de armnico = mltiplo de w0).
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7Espectro de Amplitud de f(t)
n
C
n
Frecuencia negativa (?) Frecuencia
-
Espectros de Frecuencia Discreta
ACTIVIDAD 8. Dibujar el espectro de amplitud
para la funcin senoidal rectificada de onda.
-
Potencia y Teorema de Parseval
El promedio o valor medio de una seal
cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede
calcular como la altura de un rectngulo que
tenga la misma rea que el rea bajo la curva de
f(t)
1f(t)
t
h=Altura
promedio
T
0
dt)t(fArea
T
Area=Th
-
Potencia y Teorema de Parseval
De acuerdo a lo anterior, si la funcin peridica
f(t) representa una seal de voltaje o corriente, la
potencia promedio entregada a una carga
resistiva de 1 ohm en un periodo est dada por
Si f(t) es peridica, tambin lo ser [f(t)]2 y el
promedio en un periodo ser el promedio en
cualquier otro periodo.
2/T
2/T
2
T1 dt)]t(f[
-
Potencia y Teorema de Parseval
El teorema de Parseval nos permite calcular la
integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes com-
plejos cn de Fourier de la funcin peridica f(t):
O bien, en trminos de los coeficientes an, bn:
n
2
n
2/T
2/T
2
T1 cdt)]t(f[
1n
2
n
2
n212
041
2/T
2/T
2
T1 )ba(adt)]t(f[
-
Potencia y Teorema de Parseval
Una consecuencia importante del teorema de Parseval
es el siguiente resultado:
El valor cuadrtico medio de una funcin peridica f(t)
es igual a la suma de los valores cuadrticos medios de
sus armnicos, es decir,
Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0 es
la componente de directa.
1n
2
n2
0
2/T
2/T
2
T1
2
CCdt)]t(f[
-
Potencia y Teorema de Parseval
Para aclarar el resultado anterior es convenienteencontrar la relacin entre los coeficientescomplejos cn de la serie
Y los coeficientes reales Cn de la serie
Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo yC0 es la componente de directa.
wn
tjn
n0ec)t(f
w1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
-
Potencia y Teorema de Parseval
Por un lado
Mientras que
Entonces, Por lo tanto,
Adems, para el armnicoSu valor rms es , por lo tanto su valorcuadrtico medio es
Para la componente de directa C0, su valor rmses C0, por lo tanto su valor cuadrtico medioser C0
2.
,baC 2n2
nn
2
n
2
n21
n bac
n21
n Cc 2
n41
2
n Cc
)tncos(C)t(f n0nn w2/Cn
2/C2n
-
Potencia y Teorema de Parseval
Ejemplo. Calcular el valor cuadrtico medio de
la funcin f(t):
Solucin.
Del teorema de Parseval
y del ejemplo anterior
sustituyendo
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2T . . .
-1
n
2
n
2/T
2/T
2
T1 cdt)]t(f[
])1(1[c nn1
n p
p
...49
1
25
1
9
11
8c
2n
2
n
-
Potencia y Teorema de Parseval
La serie numrica obtenida converge a
Por lo tanto,
Como era de esperarse.
2337.1...49
1
25
1
9
11
1)2337.1(8
cdt)]t(f[2
n
2
n
2/T
2/T
2
T1
p
-
Potencia y Teorema de Parseval
ACTIVIDAD 9.
Calcular el valor cuadrtico medio para la seal
senoidal rectificada de media onda de periodo
2p.
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una
representacin en el dominio de la frecuencia
para funciones peridicas f(t).
Es posible extender de alguna manera las series
de Fourier para obtener el dominio de la
frecuencia de funciones no peridicas?
Consideremos la siguiente funcin periodica de
periodo T
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo
T:
1f(t)
t
. . . -T -T/2 0 T/2
T . . .
p
-p/2 p/2
2T
2
p
2
p
2
p
2
p
2T
t0
t1
t0
)t(f
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier
en este caso resultan puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo
obtenemos (en este caso) graficando cn contra
w=nw0.
)n(
)n(sen)(c
2
p
0
2
p
0T
p
nw
w
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
cn
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Si el periodo del tren de pulsos aumenta:
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=2
t
f(t)
t-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=5
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=10
t
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=20
t
f(t)
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
En el lmite cuando T, la funcin deja de ser
peridica:
Qu pasa con los coeficientes de la serie de
Fourier?
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=
t
f(t)
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
-50 0 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
p=1, T=5
-50 0 50-0.05
0
0.05
0.1
0.15
p=1, T=10
-50 0 50-0.02
0
0.02
0.04
0.06p=1, T=20
-50 0 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6p=1, T=2
w=nw0
cn
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Si hace T muy grande (T): El espectro se
vuelve continuo!
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderarla expresin de una funcin f(t) no peridica enel dominio de la frecuencia, no como una sumade armnicos de frecuencia nw0, sino como unafuncin continua de la frecuencia w.
As, la serie
Al cambiar la variable discreta nw0 (cuandoT) por la variable continua w, se transformaen una integral de la siguiente manera:
wn
tjn
n0ec)t(f
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Como
La serie queda
O bien,
cuando T, nw0w y w0dw y la sumatoria
se convierte en
w
w
n
tjn
2/T
2/T
tjn
T1 00 edte)t(f)t(f
w2/T
2/T
tjn
T1
n dte)t(fc0
w
w
p w
n
tjn
0
2/T
2/T
tjn
21 00 edte)t(f)t(f
w
w
p w
dedte)t(f)t(f tjtj
21
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Es decir,
Donde
Estas expresiones nos permiten calcular laexpresin F(w) (dominio de la frecuencia) apartir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa
w
p ww de)(F)t(ftj
21
ww dte)t(f)(F tj
Identidad
de Fourier
Transformada
De Fourier
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Notacin: A la funcin F(w) se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se denota porF, es decir
En forma similar, a la expresin qu enos permite
obtener f(t) a partir de F(w) se le llama
transformada inversa de Fourier y se denotapor F 1 ,es decir
w
p
www de)(F)t(f)](F[ tj211F
ww dte)t(f)(F)]t(f[ tjF
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso
rectangular f(t) siguiente
Solucin. La expresin en el dominio del tiempo
de la funcin es
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
t0
t1
t0
)t(f
2
p
2
p
2
p
2
p
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
Integrando
Usando la frmula de Euler
Obsrvese que el resultado es igual al obtenido
para cn cuando T , pero multiplicado por T.
w
w w
2/p
2/p
tjtj dtedte)t(f)(F
2/p
2/p
tj
j1 e
w
w
)ee( 2/pj2/pjj1 ww
w
2/p
)2/p(senp)(F
w
ww
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
En forma Grfica
-50 0 50
0
0.5
1
F(w) con p=1
w
F(w
)
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
ACTIVIDAD 10. Calcular la Transformada deFourier de la funcin escaln unitario u(t):
Graficar U(w)=F[u(t)]Qu rango de frecuencias contiene U(w)?Cul es la frecuencia predominante?
u(t)
0
1
t
-
La Transformada Rpida de Fourier
Cuando la funcin f(t) est dada por una lista de N
valores f(t1), f(t2), ...f(tN) se dice que est discretizada o
muestreada, entonces la integral que define la
Transformada de Fourier:
Se convierte en la sumatoria
(Donde k es la frecuencia discreta)
Llamada Transformada Discreta de Fourier
ww dte)t(f)(F tj
Nn1para,e)t(f)n(FN
1k
)1k(j
kN
n2
p
-
La Transformada Rpida de Fourier
La Transformada Discreta de Fourier (DFT)requiere el clculo de N funciones exponencialespara obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo declculo enorme para N grande.
Se han desarrollado mtodos que permitenahorrar clculos y evaluar de manera rpida laTransformada discreta, a estos mtodos se lesllama
Transformada Rpida de Fourier (FFT)
-
La FFT y la Serie de Fourier
Podemos hacer uso de la FFT para calcular los
coeficientes cn y c-n de la Serie compleja de
Fourier como sigue:
Ejemplo: Sea f(t) el tren de pulsos de ancho p y
periodo T.1
f(t)
t
. . . -T -T/2 0 T/2
T . . .
p
-p/2 p/2
-
La FFT y la Serie de Fourier
La versin muestreada f(k) de f(t) slo puede
tomar un nmero finito de puntos. Tomemos por
ejemplo N=32 puntos cuidando que cubran el
intervalo de 0 a T (con p=1, T=2):
0 1 20
0.5
1
1.532 muestras de f(t), de 0 a T
k
f(k)
-
La FFT y la Serie de Fourier
Para obtener estas 32 muestras usando Matlab se
puede hacer lo siguiente:
k=0:31
f=[(k23)]
Plot(k,f,o)
-
La FFT y la Serie de Fourier
Con los 32 puntos f(k) calculamos F(n) mediante
la FFT, por ejemplo, en Matlab:
F=fft(f)/N;
Con lo que obtenemos 32 valores complejos de
F(n). Estos valores son los coeficientes de la
serie compleja ordenados como sigue:
n 1 2 3 4 ... 16 17 18 19 ... 32
F(n) c0 c1 c2 c3 ... c15 c-16 c-15 c-14 ... c-1
-
La FFT y la Serie de Fourier
Podemos graficar el espectro de amplitud
reordenando previamente F(n) como sigueaux=F;
F(1:16)=aux(17:32);
F(17:32)=aux(1:16);
F(n) queda:
Y para graficar el espectro de amplitud:stem(abs(F))
Obtenindose:
n 1 ... 13 14 15 16 17 18 19 ... 32
F(n) c-16 ... c-3 c-2 c-1 c0 c1 c2 c3 ... c15
-
La FFT y la Serie de Fourier
Si deseamos una escala horizontal en unidadesde frecuencia (rad/seg):
0 10 20 300
0.2
0.4
0.6Para el tren de pulsos p=1,
T=2
n
|F(n
)
|
Espectro de Amplitud |F(n)|
-
La FFT y la Serie de Fourier
w0=2*pi/T;
n=-16:15;
w=n*w0;
Stem(w,abs(F))
Obteniendo:
-50 0 500
0.2
0.4
0.6para el tren de pulsos, p=1,T=2
w
|F(w
)|
Espectro de Amplitud |F(n)|
-
La FFT y la Serie de Fourier
Tambin podemos obtener los coeficientes de la
forma trigonomtrica, recordando que:
Podemos obtener
Para el ejemplo se obtiene: a0=0.5, an=bn=0 (para
n par), adems para n impar:
)jba(c),jba(c nn21
nnn21
n
)cIm(2b),cRe(2a,ca nnn00
n 1 3 5 7 9 11 13 15
an 0.6346 -0.2060 0.1169 -0.0762 0.0513 -0.0334 0.0190 -0.0062
bn -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625
-
La FFT y la Serie de Fourier
Como el tren de pulsos es una funcin par, se
esperaba que bn=0; (el resultado obtenido es
errneo para bn, pero el error disminuye para N
grande):
0 10 20 30-0.5
0
0.5
1
Coeficientes bnCoeficientes an
a0
-
La FFT y la Serie de Fourier
ACTIVIDA 11: Usar el siguiente cdigo para generar128 puntos de una funcin peridica con frecuenciafundamental w0=120p (60 hertz) y dos armnicosimpares en el intervalo [0,T]:N=128;
w0=120*pi;
T=1/60;
t=0:T/(N-1):T;
f=sin(w0*t)+0.2*sin(3*w0*t)+0.1*sin(11*w0*t);
Usando una funcin peridica diferente a la subrayada:a) Graficar la funcin.b) Obtener y graficar el espectro de amplitud de la sealusando la funcin FFT
-
Medidores Digitales
La FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo
electrnico digital con la capacidad de clculo de
espectros de frecuencia para seales del mundo
real, por ejemplo:
1) Osciloscopio digital Fuke 123 ($ 18,600.00 M.N.)
2) Osc. digital Tektronix THS720P ($3,796 dls)
3) Power Platform PP-4300
-
Medidores Digitales
El Fluke 123 scope meter
-
Medidores Digitales
Tektronix THS720P (osciloscopio digital)
-
Medidores Digitales
Analizador de potencia PP-4300
Es un equipo especializado en monitoreo de la
calidad de la energa: permite medicin de 4
seales simultneas (para sistemas trifsicos)
-
QUIZ 1
1.REALIZAR LAS ACTIVIDADES 1 A 11.
2 DESCRIBA EL PROCESO DE CONVOLUCION DIGITAL Y
ANALOGICO.
3 DESCRIBA LAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE
FOURIER Y FFT .
4. REPRESENTE EN MATLAB, LAS FUNCIONES TRIANGULAR,
EXPONENCIAL UN SOLO PULSO CUADRADO, Y UNA SEAL
ALEATORIA
5.DIGA COMO OBTIENE NUMEROS ALEATORIOS DE 1 A 1000 CON
MATLAB.