Series de Fourier -...

1

Series de Series de FourierFourier

Contenido

1. Funciones Periódicas

2. Serie trigonométrica de Fourier

3. Componente de directa, fundamental y armónicos

4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno

5. Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier

6. Simetrías en señales periódicas

PrePreáámbulombulo

El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la “Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la solución de problemas de valores en la frontera en la conducción del calor.

Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta teoría son muy bastas: Sistemas Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y por supuesto, Redes Eléctricas entre muchas otras.

2

Funciones PeriFunciones Perióódicasdicas

Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.

f(t)=f(t+T)

A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función

Repitiendo la propiedad se puede obtener:

f(t)=f(t+nT), donde n=0,±1, ± 2, ±3,...


Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función

Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:

Pero como se sabe cos(x+2kπ)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que

T/3=2k1π, T/4=2k2πEs decir,

T = 6k1π = 8k2πDonde k1 y k2 son enteros,El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24π

)?cos()cos(f(t) 4t

3t +=

)cos()cos(T)f(t 4Tt

3Tt ++ +=+ )cos()cos(f(t) 4

t3t +==

3


Gráfica de la función

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24π

T

)cos()cos(f(t) 4t

3t +=


Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica.

Esto no es así, por ejemplo, consideremos la funciónf(t) = cos(ω1t)+cos(ω2t).

Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que

ω1T= 2πm, ω2T=2πnDe donde

Es decir, la relación ω1/ ω2 debe ser un número racional.nm

2

1 =ωω

4


Ejemplo: la función cos(3t)+cos(π+3)t no es periódica, ya que no es un número racional.

π+=

ωω

33

2

1

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)

t

f(t)


Tarea: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas:

1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.

2) f(t)= sen2(2πt)

3) f(t)= sen(t)+sen(t+π/2)

4) f(t)= sen(ω1t)+cos(ω2t)

5) f(t)= sen(√2 t)

5

Serie TrigonomSerie Trigonoméétrica de trica de FourierFourier

Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier

f(t) = ½ a0 + a1cos(ω0t)+a2cos(2ω0t)+...

+ b1sen(ω0t)+b2sen(2ω0t)+...

Donde ω0=2π/T.Es decir,

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021 ∑ ω+ω+=

∞

=


Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nω0t)+bnsen(nω0t) se puede escribir como

Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:

ω

++ω

++ )tn(sen

ba

b)tncos(

ba

aba 02

n2n

n02

n2n

n2n

2n

6


Con lo cual la expresión queda

n2n

2n

n

n2n

2n

n

senba

b

cosba

a

θ=+

θ=+

an

bn

2n

2nn baC +=

θn

[ ])tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn ωθ+ωθ

[ ])tncos(C n0n θ−ω=


Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourierse puede escribir como

Así,

y

[ ]∑∞

=

θ−ω+=1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

2n

2nn baC +=

=θ −

n

n1n a

btan

7


Tarea:

Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y θn, de manera que la serie de Fourier se pueda escribir como

[ ]∑∞

=

θ+ω+=1n

n0n0 )tn(senCC)t(f

Componentes y armComponentes y armóónicasnicas

Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias ωn=nω0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nω0: Cncos(nω0t+θn) se le llama la enésima armónicade f(t).

A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia ω0=2πf0=2π/T se le llama frecuencia angular fundamental.

8


A la componente de frecuencia cero C0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.

Los coeficientes Cn y los ángulos θn son respectiva-mente las amplitudes y los ángulos de fase de las armónicas.


Ejemplo: La función

Como ya se mostró tiene un periodo T=24π, por lo tanto su frecuencia fundamental es ω0=1/12 rad/seg.

Componente fundamental es de la forma:

0*cos(t/12).

Tercer armónico:

cos(3t/12)=cos(t/4)

Cuarto armónico:

Cos(4t/12)=cos(t/3)

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24π

)cos()cos(f(t) 4t

3t +=

9


Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su componente de cd es cero, en cambio

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24π

)cos()cos(1f(t) 4t

3t ++=

Tiene tantas partes

arriba como abajo de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1.


Tarea: ¿Cuál es la componente fundamental, las armónicas distintas de cero y la componente de directa de

a) f(t) = sen2t

b) f(t) = cos2t ?

Justifícalo además mostrando la gráfica de las funciones y marcando en ellas el periodo fundamental y la componente de cd.

10

OrtogonalidadOrtogonalidad de senos y de senos y cosenoscosenos

Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son ortogonales en el intervalo a<t<b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen

=

≠=∫

nmparar

nmpara0dt(t)(t)ff

n

b

anm


Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1< t <1, ya que

Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –π/2< t <π/2, ya que

04t

dttdttt1

141

1

31

1

2 ==∫=∫−−−

02tsen

sentcostdt2

==∫π−

ππ

π−

11


Tarea:

Dar un ejemplo de un par de funciones que sean ortogonales en el intervalo:

a) 0<t<1

b) 0<t<π


Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2<t< T/2.1,cos1,cosωω00t, cos2t, cos2ωω00t, cos3t, cos3ωω00t,...,sent,...,senωω00t,sen2t,sen2ωω00t,sen3t,sen3ωω00t,...t,...(para cualquier valor de ω0=2π/T).

Para verificar lo anterior podemos probar por pares:1.- f(t)=1 Vs. cos(mω0t):

Ya que m es un entero.

0m

)(msen2m

T/2)(msen2m

t)(msent)dtcos(m

00

0

2/T

2/T

0

02/T

2/T0 =

ωπ

=ωω

=ωω

=∫ ω−−

12


2.- f(t)=1 Vs. sen(mω0t):

3.- cos(mω0t) Vs. cos(nω0t):

0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m

1

mt)(mcos

t)dtsen(m

000

2/T

2/T

0

02/T

2/T0

=ωωω−

=

=ω

ω−=∫ ω

−−

≠=

≠=∫ ωω

− 0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)cos(ncos(m

2/T

2/T00


4.- sen(mω0t) Vs. sen(nω0t):

5.- sen(mω0t) Vs. cos(nω0t):

n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2/T

2/T00 =∫ ωω

−

≠=

≠=∫ ωω

− 0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)sen(nsen(m

2/T

2/T00

13


Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5, son útiles las siguientes identidades trigonométricas:

cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]

Además:sen2θ = ½ (1-cos2θ) cos2θ = ½ (1+cos2θ)

CCáálculo de los coeficientes de la Serielculo de los coeficientes de la Serie

Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?

Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021 ∑ ω+ω+=

∞

=

14


Multiplicando ambos miembros por cos(nω0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, multiplicando por sen(nω0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2/T

2/T0T

2n =∫ ω=

−

,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2/T

2/T0T

2n =∫ ω=

−

∫=−

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa


El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen.

Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:

(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)

las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.

15


Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:

Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es

1f(t)

t. . . -T/2 0 T/2 T . . .

-1

<<

<<−−=

2T

2T

t0para1

0tpara1)t(f


Coeficientes an: ∫ ω=−

2/T

2/T0T

2n dt)tncos()t(fa

∫ ω+∫ ω−=

−

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tncos(dt)tncos(

ω

ω+ω

ω−=

− 0

2/T

002/T

0

00

T2 )tn(sen

n1

)tn(senn1

0npara0 ≠=

16


Coeficiente a0: ∫=−

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

∫+∫ −=

−

2/T

0

0

2/TT2 dtdt

+−=

− 0

2/T

2/T

0

T2 tt

0=


Coeficientes bn: ∫ ω=−

2/T

2/T0T

2n dt)tn(sen)t(fb

∫ ω+∫ ω−=

−

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tn(sendt)tn(sen

ω

ω−ω

ω=

− 0

2/T

002/T

0

00

T2 )tncos(

n1

)tncos(n1

[ ])1)n(cos())ncos(1(n1

−π−π−π

=

[ ] 0npara))1(1n2 n ≠−−π

=

17


Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourierqueda como

En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para ω0=π, es decir, T=2:

[ ]...)t5(sen)t3(sen)t(sen4

)t(f 051

031

0 +ω+ω+ωπ

=


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Componentes de la Serie de Fourier

t

Componentes

Suma

fundamental

tercer armónico

quinto armónico

septimo armónico

18


Tarea: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente señal senoidal rectificada de media onda de periodo 2π.

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

Funciones Pares e ImparesFunciones Pares e Impares

Una función (periódica o no) se dice función par(o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)

ππππ 2π2π2π2π

f(t)

t −π−π−π−π −2π−2π−2π−2π

19


En forma similar, una función f(t) se dice función impar o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

ππππ 2π2π2π2π

f(t)

t −π−π−π−π −2π−2π−2π−2π


Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t+1/tg(t) = 1/(t2+1), Solución:Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.

20


Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t2) es par o impar?, donde f es una función arbitraria.Solución:Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).


Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares:h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2)+1h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2)

21


Como la función sen(nω0t) es una función imparpara todo n≠0 y la función cos(nω0t) es una función par para todo n, es de esperar que:

• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrátérminos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n

• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n


Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:

Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:

1f(t)

t. . . -T/2 0 T/2 T . . .

-1

[ ]...)t5(sen)t3(sen)t(sen4

)t(f 051

031

0 +ω+ω+ωπ

=

22

• Filtro: Circuito que actúa de forma selectiva sobre las distintas componentes armónicas de una señal, según sea su frecuencia. Puede ser:Frecuemcia de corte: a) Paso baja

|T(wc)|=Tmax/√2 b) Paso altac) Paso bandad) Elimina banda

• Ejemplo:

C

R

+

-

Vs

vo

C

S

o

jV

VT

ωω

ω+

==1

1~

~)( con

RCC

1=ω

∑∞

=

+=1

0 )sin()(n

nnS tnVtv φω

Aplicamos el principio de superposición: Si suponemos que sólo actúa el armónico n-ésimo,

−

+

=+

== −

C

n

C

nj

n

C

j

non

n

n

VeV

nj

eVnTV nn

ωω

φ

ωω

ωω

ω φφ 01

2

020

0 tan

11

1)(

~

( )

−=+

+

== −∞

=

∞

=∑∑

C

nnn

n

C

n

n

ono

ncontn

n

Vtvtv

ωω

φθθω

ωω

010

12

021

tansin

1

)()(

Señal periódica, no armónica

Entrada onda cuadrada y filtro con :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

C

R

+

-

Vs

vo

0ωω =C

23

1E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000log(ω/ω

c)

Fa

se

(ra

d)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

01E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000

log(ω/ωc)

|T|

(dB

)

0

2/π−

Ejemplo 1:

C

R

+

-

Vs

vo

C

S

o

jV

VT

ωω

ω+

==1

1~

~)( con

RCC

1=ω

0111

1)( =≈

+=⇒<<

C

C

j

T

ωω

ωωω

−=≈+

=⇒>>2

1

1

1)(

πωω

ωω

ωω

ωωω C

CC

C

jj

T

−=+

=⇒=42

111

)(π

ωωωj

TC

0,0)(log20 ≈≈⇒ TT ϕω

( ) ( )2

,log20log20)(log20π

ϕωωω −≈−≈⇒ TCT

( )4

,32log20)(log20π

ϕω −≈−=−=⇒ TdBT

(recta de pendiente –20 dB/década)

Respuesta paso baja

-60

-50

-40

-30

-20

-10

01E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000

log(ω/ωc)

|T|

(dB

)

1E-3 0,01 0,1 1 10 100 1000log(ω/ω

c)

Fa

se

(ra

d)

0

2/π

Ejemplo 2:

L

R

+

-

Vs

vo

C

C

S

o

j

j

V

VT

ωω

ωω

ω+

==1

~

~)( con

L

RC =ω

0111

)( =≈+

=⇒>>

C

CC

j

j

T

ωω

ωω

ωωω

=≈+

=⇒<<21

)(π

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωωCC

C

CC j

j

j

T

=

−=+

=⇒=42

1422

11

)(πππ

ωωωj

jTC

0,0)(log20 ≈≈⇒ TT ϕω

( ) ( )2

,log20log20)(log20π

ϕωωω ≈−≈⇒ TCT

( )4

,32log20)(log20π

ϕω +≈−=−=⇒ TdBT

(recta de pendiente +20 dB/década)

Respuesta paso alta

24

2.0=δ1=δ

2

1=δ

2.0=δ

1=δ2

1=δ

0

π−

0,01 0,1 1 10 100-80

-60

-40

-20

0

20

log(ω/ω0)

|T|

(dB

)0,01 0,1 1 10 100

log(ω/ω0)

Fa

se

(ra

d)

Ejemplo 3:LR

+

-

Vs C

vo

RCjLC

CjjLR

Cj

V

VT

S

O

ωωω

ω

ωω+−

=++

== 211

1

1

~

~)(

020

20

21

1)(

2,

1

ωω

δωω

ωδωj

TL

CR

LC +−=⇒≡≡

• Asíntotas: 011)(0 =≈⇒<< ωωω T

πωω

ωω

ωωω 2

20

2

20

0 )( =−≈⇒>> T

( ) ( )ωωω log40log40)(log20 0 −≈⇒ T

(Recta de pendiente -40 dB/década)

• Máximo: 0)(

,

41

1)(

max

20

22

2

20

2

=

+

−

=ω

ω

ω

ωω

δωω

ωd

TdT

1,02

1maxmax ==⇒≥ Tωδ

2max2

0max12

1,21

2

1

δδδωωδ

−=−=⇒< T

Frecuencia de resonancia

3 dB

2/π

2/π−

2.0=δ1=δ

2

1=δ

2.0=δ

1=δ

2

1=δ

0,01 0,1 1 10 100-60

-40

-20

0

log(ω/ω0)

|T|

(dB

)

0,01 0,1 1 10 100log(ω/ω

0)

Fa

se

(ra

d)

Ejemplo 4: vo

LC

R

+

-

Vs

020

20

221

2

1)(

ωω

δωω

ωω

δ

ωω

ω

ωj

j

R

jLLC

R

jL

T

+−=

+−=

C

L

R

LC

21

10

=

=

δ

ω

Respuesta paso banda

• Asíntotas:0

0 2)(ωω

δωωω jT ≈⇒<<

• Máximo en ω = ω0: 1)( 0 =ωT

ωω

δωωω 00 2)( jT −≈⇒>>

|T(ω)| ≈ Rectas de pendiente +20 dB/década y –20 dB/década que se cortan en

2

1

41

2)(

20

22

2

20

2

0 =

+

−

=

ωω

δωω

ωω

δωT

( )δ2log20

• Ancho de banda:

⇒ Dos soluciones: ωL y ωH

( ) ( )δωωδωωδ +≈−≈⇒<< 1,11 00 HLSi

RCR

LQ

Q

BW LH

0

0

00

1,

12

ωω

δω

ωωω

====−

=

Q = Factor de calidad

25

4.7.- Potencia en el régimen sinusoidal permanente. Potencia activa y reactiva. Factor de potencia• Potencia instantánea:

• Potencia media o activa:

)()()( tvtitp =

∫==T

dttvtiT

tpP0

)()(1

)(

)cos()cos()()cos()(,)cos()( θωωθωω −=⇒−== ttVItptItitVtv mmmm

[ ]θωωθω sin)sin()cos(cos)(cos)( 2 tttVItp mm +=

⇒=⇒ θcos21

)( mmVItp θcosrmsrmsVIP = cosθ = Factor de potencia

• Con fasores:

( )VISeIIVVSi j

rmsrms

~~~~,

~ *≡⇒== − θ

Definimos el fasor Potencia Aparente: θθ j

rmsrms

j

mm eVIeVISVIS ==⇒=2

1~~~2

1~ *

0)sin()cos(,21

)(cos2 == ttt ωωω

Potencia activa:

Potencia reactiva:

[ ] θcos~

Re rmsrmsVISP ==

[ ] θsin~

Im rmsrmsVISQ ==

• Resistor:

• Condensador:

• Inductor:

0,0 ==⇒= QVIP rmsrmsθ

rmsrmsVIQP −==⇒−= ,02

πθ

rmsrmsVIQP ==⇒= ,02

πθ

4.7.- Acoplamiento magnético. Transformador lineal

• Existe acoplamiento magnético entre dos o más inductores que comparten un núcleo común: la corriente que circula por uno de ellos genera un campo magnético en el interior del núcleo. Si el flujo de ese campo magnético es variable en el tiempo, induce una diferencia de potencial en los demás inductores• El elemento resultante del acoplamiento de dos o más inductores se llama transformador• El transformador es lineal si las características de su núcleo no dependen del valor del campo magnético que fluye en su interior

• Modelo: + +

− −1v 2v

1i 2i

1L 2L

M

dt

diM

dt

diLv

dt

diM

dt

diLv

1222

2111

+=

+= 121

≤

=

k

LLkM

Transformador sin pérdidas de flujo: k = 1

• Con fasores:

1222

2111

~~~

~~~

IjMIjLV

IjMIjLV

ωω

ωω

+=

+=

221

22

1

2 nN

N

L

L==

26

+

-

V1Z

21 :NN

1I 2I

−

+

2V1222

2111

22

~~~

~~~

~~

IjMIjLZI

IjMIjLV

ZIV

ωω

ωω

+=−

+=

−=

( ) 221

2111

~~0

~~~

IZjLIjM

IjMIjLV

++=

+=

ωω

ωω

( ) ( ) ( ) ZjLkLLMZjLjLZjLjM

jMjLωωωωω

ωωωω

122

212

212

1 1 +−−=++=+

=∆

( )( ) ZjLkLL

ZjLVZjL

jMV

Iωω

ωωω

122

21

212

1

1 1

~0

~

~+−−

+=

∆

+=

( ) ZjLkLL

MVjjM

VjL

Iωω

ωωω

122

21

1

11

2 1

~0

~

~+−−

−=

∆=

• Transformador sin pérdidas: ( )ZjL

ZjLVIk

ωω

1

211

~~

1+

=⇒=ZL

MVI

ωω

1

12

~~ −

=

nN

N

V

V

L

LV

L

LLV

L

MVZIV ==⇒===−=

1

2

1

2

1

21

1

211

1

122 ~

~~

~~~~

• Transformador ideal:

ZL

LVIZjLk

1

2112

~~

,1 ≈⇒>>= ωnN

N

L

L

I

I

ZL

MVI

1~

~~~

2

1

2

1

1

2

1

12 ===−⇒

−=

• Impedancia vista desde el primario en un transformador ideal:2

2

1

1

11 ~

~

n

ZZ

L

L

I

VZ ==≡

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