Ejemplo 5: Ecuacin y polinomios de Legendre (1752-1833)

La ecuacin de Legendre de parmetro m 0 es:

0y)1m(myx2y)x1( 2 3

Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x0= 0.

Es

2

2

x1)1m(m)x(q

x1x2)x(p

Ambas analticas en x0 = 0 con radio de convergencia de los

respectivos desarrollos: R1 = R2 = 1

Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solucin en serie de potencias de x, vlida, al menospara x 1 .

Sea

0n

nn xay . Sustituyendo en la ecuacin:

2n

2nn xa)1n(n -

2n

nnxa)1n(n -2

1nn

n xan +

0n

nn xa)1m(m 0

Habrn de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x.

x0 : 0a)1m(ma12 02 02 a12)1m(m

a

x1 : 0a)1m(ma2a23 113 113 a!3)2m)(1m(

a23

2)1m(ma

..... ............................................................................................xn : 0a)1m(man2a1nna1n2n nnn2n

n2n a)1n)(2n(

)1nm)(nm(a 2na)1n(n

)1nm)(2nm(a 2nn

Luego:

1x...x!5

)4m)(2m)(1m)(3m(x

!3)2m)(1m(

xa

...x!4

)3m)(1m(m)2m(x

!2)1m(m1ay

531

420

Es decir: )x(ya)x(yay 2110 Si m = 0, 1, 2,... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos polinomios pn(x) sonrespectivamente:

p0 = 1 p1(x) = x p2(x) = 1 - 3 x2 p3(x) = x - 35 x3 ......

Se llama polinomio de Legendre de orden m y se designa con Pm(x), a la solucin polinmicade la ecuacin de Legendre de parmetro m (o sea, el mltiplo de pn(x), tal que Pm(1) = 1.Ser:

P0(x) = 1 P1(x) = x 21

x23)x(P 22 x2

3x

25)x(P 33

Algunas propiedades: (Sin demostraciones)

Los polinomios de Legendre pueden darse mediante la frmula de Rodrigues :

n2n

n

n )1x(xd

d!)!n2(

1)x(P

O mediante una funcin generadora, debida a Legendre :

...t)x(Pt)x(P)x(Ptxt21 22102 21

Tambin mediante frmulas de recurrencia:

n1n1n

1nn1n

P)1n(2PP)x(P

1nn)x(Px

1n1n2)x(P

Cumplen la relacin de ortogonalidad :

nm

1n22

nm0xd)x(P)x(P1

1 nm 4

La ecuacin de Legendre aparece en varios problemas de la Fsica dotados de simetra esfrica.

Ejemplo 6: Ecuacin y polinomios de Hermite (1822 -1901)

La ecuacin de Hermite es:0y2yx2y 5

Aparece esta ecuacin, por ejemplo en la mecnica cuntica, a partir de la ecuacin de

Schrdinger para un oscilador armnico.

Se trata ahora de obtener su solucin por el mtodo de series, en torno a x0= 0.

El x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuacin 5, pues p(x) = -2x y q(x) = 2 son analticas enx = 0. Adems los radios de convergencia de los respectivos desarrollos, son ambos infinitos.

Luego existe solucin de 5 , de la forma

0n

nn xay , vlida para todo x real.

Sustituyendo en la 5 :

x0xa2xna2xa)1n(n

2n

nn

2n

nn

2n

2nn

Luego:

Coeficiente de 1: 0a2a2 02 02 aa --------------------------------------------------------------------------------------

Coeficiente de xn-2: n(n-1)an-2(n-2)an-2+2an= 0

Relacin de recurrencia: )1n(na)n2(2

a 2nn

n 2

Luego:

x...x!7

)5)(3)(1(2x

!5)3)(1(2

x!3

)1(2xa

...x!6

)4)(2(2x

!4)2(2

x!2

21a)x(y

73

52

31

63

42

20

Para = 0, 1,2,... una de las dos series es un polinomio. Dichos polinomios hn(x), para =n = 0, 1,2,... son respectivamente:

...,x32

-x=)x(h,x2-1=)x(h,x)x(h,1)x(h 332210

Se llama polinomio de Hermite de grado n, y se designa Hn(x), a la solucin polinmica de laecuacin de Hermite de parmetro = n (o sea el mltiplo de hn(x)), cuyo coeficiente de xn es 2n.Ser por tanto:

...,x12-x8=)x(H2,-x4=)x(H,x2)x(H,1)x(H 332210

Algunas propiedades: (sin demostracin)

Los polinomios de Hermite pueden darse mediante la frmula de Rodrigues :

22 xn

nxn

n eexd

d)1()x(H

Tambin por medio de la funcin generadora :

0n

nnttx2 t!n

)x(H2e

O mediante las frmulas de recurrencia :

)x(Hn2)x(H)x(Hn2)x(Hx2)x(H

1n'

n

1nn1n

Cumplen la relacin de ortogonalidad:

nm!n2

nm0xd)x(H)x(H

nnmx2e

SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS DE E.D.O. LINEALES

Introduccin:

Hasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden o

de orden superior, cuando las ecuaciones tenan coeficientes constantes. Sin embargo, en las

aplicaciones, se puede observar que las ecuaciones lineales con coeficientes variables tienen la

misma importancia, si no ms, que las de coeficientes constantes, y que ecuaciones sencillas de

segundo orden, como por ejemplo + = 0, no tienen soluciones expresables en trminos defunciones elementales. Por esta razn vamos a dedicar este tema a la bsqueda de soluciones

linealmente independientes que vienen representadas por lo que se denominan series de

potencias.

As, en la primera parte del tema introduciremos algunas nociones y propiedades de las series de

potencias para posteriormente, observar una de sus aplicaciones importantes como es la obtencin

de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Previamente, antes de definir y estudiar las

propiedades elementales de las series de potencias, daremos algunos conceptos y resultados

bsicos relativos a las series numricas que nos sern necesarios para abordar el estudio de las

series de potencias.

Series numricas:

Se llama serie de nmeros reales a todo par ordenado ({an}, {Sn}) en el que {an} es una sucesin de

nmeros reales arbitraria y {Sn} es la sucesin definida por:

S1 = a1Sn+1 = Sn + an+1 = a1 + + an+1 para todo n N.A {an} se le llama trmino general de la serie mientras que a la sucesin {Sn} se llamar sucesin

de sumas parciales de la serie. En adelante denotaremos por trmino general {an}.

Se dice que la serie de nmeros reales an es convergente cuando su sucesin de sumasparciales es convergente (esto es, cuando su sucesin de sumas parciales tiene lmite finito), en

cuyo caso el lmite de la sucesin de sumas parciales recibe el nombre de suma de la serie y se le

representa por:

= lim = lim ( + + ).Cuando la sucesin de sumas parciales no es convergente (esto es, no tenga lmite o bien el lmite

sea ), diremos que la serie es divergente, en cuyo caso no hablaremos de suma de la serie.

Ejemplos:

1) Se denomina serie geomtrica de razn r y primer trmino a, siendo a y r dos nmeros

reales no nulos, a la = + + +Esta serie es convergente si y slo si | r |< 1. En efecto, para r 1, se tiene:

= + ++ = 1y por tanto:

a) Cuando | | < 1, entonces = 1 y la serie converge independientementedel valor de siendo su suma .

b) Cuando | | > 1, la serie es divergente ya quelim = lim =c) Cuando | | = 1, como la sucesin de sumas parciales es a, 0, a, 0,. . . y el nmero

a es no nulo, entonces la serie es divergente.

d) En el caso = 1, se tiene que = . y de ah que la serie diverja paracualquier valor de a.

2) La serie se denomina serie armnica. Dicha serie es divergente pues se verifica que= +, ya que, como se puede comprobar, la sucesin de sumas parciales {Sn} esestrictamente creciente y no est acotada superiormente.

3) Para cada nmero real , la serie recibe el nombre de serie armnica de orden . Elestudio de la convergencia de esta serie pone de manifiesto que, para 1, dicha serie es

divergente y para > 1, la serie es convergente.

Veremos ahora dos propiedades generales de las series numricas.

Teorema 2.1 (Condicin necesaria de convergencia) Una condicin necesaria para que la serie sea convergente es que lim = 0.

+ Si > 1 > 0 Si > 1 < 0No existe Si < 1

Teorema 2.2 (Propiedad de linealidad) Si las series y son convergentes, entonces laserie ( + ) con , es convergente y se cumple:

( + ) = +A continuacin daremos algunos resultados importantes en el estudio de la convergencia de

algunos tipos de series.

Series de trminos no negativos:Definicin: Una serie tal que an 0 para todo n , se denomina serie de trminos nonegativos.

La sucesin de sumas parciales de una serie de este tipo es creciente, luego la serie es

convergente si, y slo si, la sucesin de sumas parciales est acotada superiormente. Este hecho

hace que las series de trminos no negativos sean especialmente fciles de tratar, y aunque se

dispone de numerosos criterios de convergencia para las mismas, nicamente veremos los

criterios de comparacin, de DAlembert, de Raabe y de Pringsheim.

Teorema 2.3 (Criterio de comparacin) Si, para las series de nmeros reales no negativos y se cumple la desigualdad an bn para todo n p, entonces se verifica:Si la serie es convergente, la serie es convergente.Y en consecuencia: si la serie es divergente, la serie es divergente.

Teorema 2.4 (Criterio de DAlembert o del cociente) Si es una serie de trminos positivos talque existe: lim = Se verifica:

1) Si < 1, entonces es convergente.2) Si > 1, pudiendo ser = +, entonces la serie es divergente.3) Si = 1, el criterio no afirma nada, salvo que sea > 1 para todo n a partir de un

cierto p en cuyo caso la serie es divergente.

Teorema 2.5 (Criterio de Raabe) Si para la serie de trminos positivos existe el lmiteentonces: lim (1 ) =

1) Si 1 < , la serie converge.2) Si < 1, la serie diverge.3) Si = 1 el criterio no afirma nada, salvo que sea 1 < 1 para todo n p en

cuyo caso la serie diverge.

Teorema 2.6 (Criterio de Pringsheim) Si es una serie de trminos no negativos, y existe unnmero real tal que la sucesin { } converge a un nmero real positivo, entonces: converge si y solo si > 1.Series alternadas:

Definicin: Las series cuyos trminos consecutivos alternan el signo se llaman alternadas. As,

suponiendo > 0 para todo n , las series alternadas aparecen de dos maneras: (1)o (1)Teorema 2.7 (Criterio de Leibnitz) Una condicin suficiente para que converja la serie alternada(1) es que = 0 y la sucesin {an} sea decreciente.Series absolutamente convergentes:Definicin: Una serie de trminos arbitrarios es absolutamente convergente (absolutamentedivergente) cuando la serie de trminos no negativos | | es convergente (divergente).Teorema 2.8 Toda serie absolutamente convergente, es convergente. El recproco del teoremaanterior no es en general cierto. Por ejemplo, la serie de trmino general = ( ) esconvergente pero no absolutamente convergente.

Definicin: Las series que son convergentes pero no absolutamente convergentes, se llaman

series condicionalmente convergentes.

Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia:

Una serie de potencias centrada en un punto x0 R es una expresin de la forma:( + ) = + ( ) + ( ) + Donde , , son constantes reales. La serie anterior tambin se denomina serie de potenciasde .Obsrvese que en las series de potencias adoptaremos el convenio de hacer variar el ndice de la

suma desde cero, en lugar de comenzar con 1 como ha sido habitual hasta ahora, con el objeto de

que el subndice de cada monomio coincida con el grado de ste.

Cuando se toma = 0, se obtiene como caso particular una serie de potencias de x.= + + +

Puesto que un simple cambio de variables, tomando como nueva variable , permite reducircualquier serie de potencias considerada a otra anloga con = 0 , en lo sucesivo slomanejaremos este ltimo caso particular, que abrevia la escritura, sin que ello suponga restriccin

a los resultados que obtengamos.

Asociada a dicha serie de potencias tenemos la sucesin de funciones { ( )} definida as:( ) = 0+ 1 + 2 2 ++

que recibe el nombre de sucesin de sumas parciales. Diremos que la serie converge(diverge) en un punto c cuando la serie numrica sea convergente (divergente). Aspues, la serie de potencias es convergente en el punto c cuando existe y es finitolim ( ),cuyo valor se llama suma de la serie en el punto c.