SERIES

. .CB---

CÁLCULO IIMirna Cuautle Aguilar

SERIES

1

111111n

n

1 2

1161

81

41

21

nn

1

cos4cos43cos32cos2cosn

nn

1

13210n

n

1 10

310000

31000

3100

3103

nn

SERIESSi intentamos sumar los términos de una sucesión infinita obtenemos una expresión de la forma la cual se llama serie infinita, o sólo serie, y se representa con el símbolo

o

Definición: Dada una serie se denotará

mediante el símbolo a su n-ésima suma parcial:

1nna

naaaa 321

1nna na

321

1

aaaan

n

ns

n

inin aaaas

121

naSi la sucesión es convergente y si existe el como

un número real, entonces la serie se llama convergente y se

escribe o

El número s se denomina suma de la serie. Si es el otro caso, la serie se llamará divergente.Ejemplo: Un ejemplo importante de serie infinita es la serie geométrica

Converge si y su suma es

Si , la serie geométrica diverge.

ns ssnn

lim

saaaa n 321sa

nn

1

0 1

1132

aarararararan

nn

1r

1r 1 11

1

rraar

n

n

Definición.

Una serie es llamada absolutamente convergente si la serie de valores absolutos es convergente.

Definición.Una serie se llama condicionalmente convergente si es convergente pero no absolutamente convergente.

Teorema.Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.

na

Definición.

na

na

na

(i) Si , entonces la serie es absolutamente

convergente (y en consecuencia convergente).

(ii) Si , o bien entonces la serie

es divergente.

(iii) Si , la regla de comparación no es concluyente, es

decir, no se puede sacar conclusión alguna con respecto a la convergencia o divergencia de .

Prueba de la razón.

1lim 1

L

aa

n

n

n

1lim 1

L

aa

n

n

n

n

n

n aa 1lim

1nna

1nna

1lim 1

n

n

n aa

1nna

(i) Si , entonces la serie es absolutamente

convergente (y por lo tanto convergente).

(ii) Si , o bien entonces la serie

es divergente.

(iii) Si , la prueba de la raíz no es concluyente, es decir, no

se puede sacar conclusión alguna con respecto a la convergencia o divergencia de .

Prueba de la raíz.

1nna

1nna

1nna

1lim

Lannn

1lim

Lannn

n

nnalim

1lim n

nna

Una serie de potencias es aquella que tiene la forma

en donde x es una variable y los son constantes, llamadas coeficientes de la serie. Para cada x, fija, la serie anterior es una serie de constantes que podemos probar para ver si es convergente. Una serie de potencias puede converger ante ciertos valores de x y divergir ante otros. La suma de la serie es una función

Cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las que converge la serie. Observará que se parece a un polinomio. La única diferencia es que tiene una cantidad infinita de términos.

33

2210

0

xcxcxccxcn

nn

nc

)( 33

2210 xcxcxccxf

ff

Series de Potencias.

Por ejemplo, con para todo n, la serie de potencias se transforma en la serie geométrica

que converge cuando y diverge cuando

De una manera más general, una serie de la forma

se llama serie de potencias en , o serie de potencias centrada en o serie de potencias alrededor de .

Ejemplo. Consideremos la serie geométrica con y ,

tenemos entonces que

esta ecuación expresa a la función en forma de una suma de una serie de potencias.

1nc

111 32

0 xxxxx

n

n

11 x 1x

)()()()( 33

2210

0

axcaxcaxccaxcn

nn

xxxxx

n

n

111 32

0

)( ax a

1a xr a

xxf

11)(

(i) La serie converge sólo cuando .

(ii) La serie converge para toda .

(iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge si

y diverge si .

0

)(n

nn axc

ax

x

Rax Rax

Teorema.

Para una serie de potencias dada hay sólo tres posibilidades:

Teorema. Si la serie de potencias tiene el radio de convergencia , la función definida por

Es derivable (y en consecuencia, continua) en el intervalo y

Los radios de convergencia de las series de potencias en las ecuaciones anteriores son R.

nn axc )(

0R f )()()()()(

0

33

2210

n

nn axcaxcaxcaxccxf

),( RaRa

)()(3)(2)(1

12321

n

nn axncaxcaxccxf

1)(

3)(

2)()()(

0

13

2

2

10

n

n

n naxcCaxcaxcaxcCdxxf

Teorema. Si tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en , esto es si

los coeficientes están expresados por la fórmula

Al sustituir esta fórmula de de nuevo en la serie, si tiene un desarrollo en serie de potencias en , ha de ser de la forma

f

0

)()(n

nn axcxf Rax

!)()(

nafc

n

n

nc f

32

0

)(

)(!3

)()(!2

)()(!1

)()(

)(!

)()(

axafaxafaxafaf

axnafxf

n

nn

a

a

La serie anterior se llama Serie de Taylor de la función en ( alrededor de o centrada en ). En el caso especial en que la serie se transforma en

Este caso se da con frecuencia y se le nombra Serie de Maclaurin.

Ejemplo. Algunas funciones tienen una representación en serie de Maclaurin, por ejemplo

para toda x

para toda x

para toda x

0

2

!!2!11

n

nx

nxxxe

0

12753

)!12()1(

!7!5!3 n

nn

nxxxxxsenx

0

2642

)!2()1(

!6!4!21cos

n

nn

nxxxxx

faa

a0a

32

0

)(

!3)0(

!2)0(

!1)0()0(

!)0()( xfxfxffx

nfxf

n

nn

Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias, los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.Esta representación tiene tres ventajas importantes:La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Evalúe ,

Usando el hecho de que , podemos

reemplazar por , tendremos

Integrando término a término

0

2

!!2!11

n

nx

nxxxe

dxe x2

...!3!2!1

1!

1!

642

0

2

0

22

xxxnx

nxe

n

nn

n

nx

dx

nxxxxdxenn

x ...!

1...!3!2!1

12642

2

...

!121...

!37!25!13

12753

nnxxxxxCnn

Ejemplos de aplicación de las series de Taylor

0

2

!!2!11

n

nx

nxxxe

2xx

Evalúe ,

Utilizando que

tendremos

Ejemplos de aplicación de las series de Taylor

20

1limx

xex

x

2

32

020

1!3!2!1

1lim1lim

x

xxxx

xxe

x

x

x

0

2

!!2!11

n

nx

nxxxe

21

!4!3!21lim!4!3!2lim

2

02

432

0

xxx

xxx

xx