Series Infinitas

Cleiver EscalonaCI:26199367 Matemática III

San Cristóbal, Agosto 2017

Teorema

si es una sucesión monótona decreciente con límite 0, la serie alternada

Converge.

Si S designa su suma y Su suma parcial n- sima, se tienen

las desigualdades.

SERIES ALTERNANTES

ES UN TIPO DE SERIES INFINITAS QUE CONSTA DE

TERMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS, CUYOS

TERMINOS SON ALTERNADAMENTE ,POSITIVOS Y NEGATIVOS .

Si para todos los números enteros positivos n,entonces la series pueden ser con su primer términoPositivo:

Y con su primer número negativo:

EJEMPLOS

1) . Cuando su primer término es positivo:

2) . Cuando su primer término es negativo:

Una serie alternante es convergente si los valores absolutos

De sus términos decrecen y el límite n- esimo término es cero.

Este criterio también se le conoce como el Criterio de Leibniz para series alternantes

debido a que fue formulado por él en 1705.

TEOREMA DEL CRITERIO DE LAS SERIES ALTERNANTES

Suponga que se tiene la serie alternante:

Para todos los números enteros positivos n.

Entonces la serie alternante es convergente.

DEMOSTRACION

Se tiene la serie alternante:

Consideramos la suma parcial:

Por hipótesis se tiene que:

Cada cantidad en la hipótesis es positiva :

También se puede escribir como :

Como , cada cantidad dentro de los paréntesis es positiva. Por lo tanto:

Para cada número positivo n.

De (3) y (4) :

Para cada número positivo n.

De modo que la sucesión es monótona acotada entoncesES CONVERGENTE.

Suponga que el límite de esta sucesión es , esto es:

entonces

como

Por hipótesis

0entonces

entonces

Por lo tanto, la sucesión de sumas parciales de los términosPares y la sucesión de sumas de los términos impares

Tienen el mismo límite S.

Ahora demostrare que el

como

Para cualquier

/ Si

como

/si

Si N es el mayor de los números enteros

Entonces de reduce a que si entonces

Por lo tanto Es convergente.