Series Numericas (1)

Captulo 6

Series Numericas.

Problemas resueltosSalvador Vera Ballesteroswww.satd.uma.es/matap/svera

6.1 Series numericas. Deniciones

Denicion 6.1 (Serie) Dada una sucesion numerica innita:

fang = fa1; a2; a3; ; an; g donde an = f(n)se llama serie numerica a la suma indicada de los innitos terminos de dicha sucesion:

1Xn=1

an = a1 + a2 + a3 + + an +

los numeros a1; a2; a3; ; an; se llaman terminos de la serie y an se denomina terminogeneral.

Denicion 6.2 (Suma parcial) Se llama suma parcial n-sima a la suma de los n primerosterminos de la serie

Sn = a1 + a2 + a3 + + an =nXk=1

ak

Denicion 6.3 (Convergencia y Suma de la serie) Una serie se dice convergente si lasucesion formada con sus sumas parciales fSng es convergente.Se llama suma de la serie al lmite de la sucesion formada con sus sumas parciales.

limn!1Sn = S ,

1Xn=1

an = S

1

2 CAPITULO 6. SERIES NUMERICAS.

Por el contrario, si la sucesion de las sumas parciales fSng no tiene un lmite nito, entonces sedice que la serie es divergente. (Se distinguen las series divergentes innitas, cuando el lmitees innito; de las oscilante, cuando el lmite no existe.)

Denicion 6.4 (Resto de la serie) Se llama resto de la serie a la suma indicada de losterminos de la serie desde un lugar en adelante.

Rn = an+1 + an+2 + =1X

k=n+1

ak =1Xk=1

an+k

Se tiene:1Xn=1

an = a1 + a2 + + an + = [a1 + a2 + + an] + [an+1 + an+2 + ] = Sn +Rn

6.1.1 Dos series notables

Denicion 6.5 (Serie geometrica) Se llaman series geometricas aquellas series en las quecada termino (salvo el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constantellamada razon:

an+1 = r anEs decir:1Xn=0

an = a0 + a1 + a2 + + an + = a0 + r a0 + r2 a0 + + rn a0 + =1Xn=0

a0rn

Teorema 6.1 La serie geometrica es convergente para jrj < 1 y su suma es

S =1Xn=0

a0rn = a0

1Xn=0

rn =a0

1 r

Para jrj 1 la serie geometrica es divergente.

Denicion 6.6 (Serie armonica) Se llama serie armonica a la serie:

1Xn=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ + 1

n+

Y, en general, se llaman series armonicas (generalizadas) a las que son del siguiente tipo:

1Xn=1

1

np= 1 +

1

2p+

1

3p+ + 1

np+ para p > 0

(a estas series tambien se les llama p-series).

6.2. TEOREMAS DE CONVERGENCIA 3

Teorema 6.2 La serie armonica es convergente para p > 1 y divergente para p 1

Ejemplo 6.1 De la serie1Xn=1

an se sabe que la sucesion de las sumas parciales fSng vienedenida por:

Sn =2n + 3

n + 48n 2 N

Hallar:(a) El termino general an de la serie.(a) El caracter y la suma de la serie.

Solucion:

(a) El primer termino de la serie a1 coincide con S1, luego:

a1 = S1 = 1

El resto de los terminos, para n 2, se obtienen de la diferencia:

an = Sn Sn1 = 2n + 3n + 4

2n + 1n + 3

=5

(n + 3)(n + 4)

Notese que, en este caso, el primer termino no sigue la regla general, es decir, la serie propuestavendra dada por la expresion:

1Xn=1

an = 1 +1Xn=2

5

(n + 3)(n + 4)

(b) La serie converge, ya que se puede calcular su suma.

S = limn!1

Sn = limn!1

2n+ 3

n + 4= 2

6.2 Teoremas de convergencia

Teorema 6.3 (Convergencia del resto) Si una serie converge, entonces cualquiera de susrestos tambien converge. Y si uno de los restos converge entonces toda la serie converge.

a1 + a2 + a3 + convergente () an+1 + an+2 + an+3 + convergente1Xn=1

an convergente , Rn convergente

Es decir, la convergencia de una serie no se altera si se le suprimen los n primeros terminos


Teorema 6.4 (Producto por un numero) La convergencia de una serie no se altera si to-dos sus terminos se multiplican por un mismo numero distinto de cero, ademas dicho numerose puede sacar factor comun.

a1 + a2 + a3 + convergente () r a1 + r a2 + r a3 + convergente1Xn=1

(r an) = r1Xn=1

an

Teorema 6.5 (Suma de series) La suma termino a termino de dos series convergentes esotra serie convergente, y su suma coincide con la suma de las sumas de las dos series sumandos.

1Xn=1

an convergente

1Xn=1

bn convergente

9>>>=>>>;)8>>>>>:

1Xn=1

(an + bn) convergente

1Xn=1

(an + bn) =1Xn=1

an +1Xn=1

bn

Si alguna de las dos series anteriores no es convergente entonces el teorema no es aplicable.En tal caso solo podemos armar que la suma termino a termino de una serie convergente conotra divergente es divergente, mientras que la suma termino a termino de dos series divergentespuede dar convergente o divergente, segun los casos.

Teorema 6.6 (Criterio del termino general) Si una serie converge, entonces su terminogeneral tiende a cero.

1Xn=1

an convergente =) limn!1an = 0

A este teorema tambien se le conoce como criterio necesario de convergencia. El recproco no escierto, ya que existen series cuyo termino general tiende a cero y, sin embargo, son divergentes,como, por ejemplo, la serie armonica. Por lo tanto, este es un criterio para la divergencia y nopara la convergencia, ya que:

limn!1

an6= 0 =)1Xn=1

an divergente

Pero limn!1an = 0 no nos da ninguna informacion sobre la convergencia de la serie.

Ejemplo 6.2 Estudia el caracter de las siguientes series numericas:

(i)1Xn=1

2n2 + n

3n2 + 5n 1 (ii)1Xn=1

n + 1

n

n(iii)

1Xn=1

n2 + 7n 3n + 1

6.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 5

Solucion:

Las tres series son divergentes. En efecto:

(i) limn!1an = limn!1

2n2 + n

3n2 + 5n 1 =2

36= 0

(ii) limn!1an = limn!1

n + 1

n

n= lim

n!1

1 +

1

n

n= e6= 0

(iii) limn!1

an = limn!1

n2 + 7n 3n + 1

= 16= 0

Ejemplo 6.3 Sea1Xn=1

an una serie de terminos positivos convergente. Hallar el caracter de la

serie1Xn=1

anRn1

Solucion:

Sea Rn el resto de orden n de la nueva serie. Se tiene:

Rn =an+1Rn

+an+2Rn+1

+an+3Rn+2

+ > an+1 + an+2 + an+3 + Rn

=RnRn

= 1

Como el resto Rn no converge a 0, la serie1Xn=1

anRn1

no es convergente, y al ser de terminos

positivos, es divergente.

6.3 Criterios de convergencia

6.3.1 Series de terminos positivos (no negativos)

Teorema 6.7 (Criterio de comparacion) Si los terminos de una serie de terminos positivosson menores o iguales que los terminos correspondientes de otra serie, entonces, si converge lasegunda serie tambien converge la primera y si diverge la primera tambien diverge la segunda.

an bn ) P

bn convergente)Pan convergenteP

an divergente)Pbn divergente

El criterio sigue siendo valido aunque los primeros terminos no cumplan la relacion an bn,siempre que se cumpla desde un lugar en adelante.

Teorema 6.8 (Criterio de comparacion de innitesimos) Si los terminos generales dedos series son innitesimos del mismo orden, entonces las dos series tienen el mismo caracter(es decir convergen simultaneamente o divergen simultaneamente).

limn!1

anbn

= k

k6=1k6= 0

)X

an X

bn


Para que una serie converja su termino general tiene que tender a cero, es decir, ha de serun innitesimo. Dos innitesimos son del mismo orden cuando el lmite de su cociente es unnumero nito distinto de cero. En particular, dos innitesimos equivalentes son del mismoorden, ya que el lmite de su cociente es la unidad, por lo tanto podemos enunciar el siguientecriterio consecuencia del anterior.

Teorema 6.9 (Criterio de innitesimos equivalentes) Si los terminos generales de dosseries son innitesimos equivalentes entonces las dos series tienen el mismo caracter (es decirconvergen simultaneamente o divergen simultaneamente).

an bb )X

an X

bn

Teorema 6.10 (Criterio del cociente. D'Alembert) Dada una serie de terminos positivos,si existe el lmite limn!1(an+1=an) = d, entonces esta serie converge cuando d < 1 y divergecuando d > 1. Si d = 1 el criterio no decide sobre la convergencia de la serie

limn!1

an+1an

= d )8 1!P an divergented = 1! duda

Podemos anar un poco mas en el criterio y resolver parte de la duda. Si limn!1(an+1=an) = 1+

entonces la serie es divergente. Es decir la duda se resuelve solo por el lado de la divergencia.Aunque la indeterminacion suele resolverse por el criterio de Raabe.

Teorema 6.11 (Criterio de la raiz. Cauchy) Dada una serie de terminos positivos, si exis-te el lmite limn!1 n

pan = c, entonces esta serie converge cuando c < 1 y diverge cuando c > 1.

Si c = 1 el criterio no decide sobre la convergencia de la serie

limn!1

npan = c)

8 1!Pan divergentec = 1! duda

Teorema 6.12 (Criterio de Raabe) Supongamos que

limn!1

an+1an

= 1

Entonces la indeterminacion puede resolverse con el siguiente lmite:

limn!1

n

1 an+1

an

= R )

8 1!Pan convergenteR = 1! duda

Observa que la comparacion con la unidad es contraria a los dos casos anteriores.


Teorema 6.13 (Criterio de Condensacion de Cauchy) Sea fang una sucesion decrecientede terminos no negativos, entonces las siguientes series tienen el mismo caracter.

1Xn=1

an 1Xk=0

2k a2k

Teorema 6.14 (Criterio de la integral) Si f(x) para x 1 es una funcion continua, posi-tiva y monotono decreciente, entonces la serie

1Xn=1

an

donde an = f (n), converge o diverge simultaneamente con la integralZ 11

f(x)dx


(i)1Xn=2

1

lnn(ii)

1Xn=1

sen2 n

2n(iii)

1Xn=1

2 + sen3(n+ 1)

2n + n2

Solucion:

(i) Teniendo en cuenta que ln n < n resulta la desigualdad:

1

lnn>

1

npara n = 2; 3;

Y como la serie armonica1Xn=1

1

ndiverge, entonces tambien diverge la serie

1Xn=2

1

n, y por lo tanto,

aplicando el criterio de comparacion la serie dada tambien es divergente.(ii) Teniendo en cuenta que 0 < sen2 n < 1 resulta la desigualdad:

sen2 n

2n 0


Solucion:

Aplicando el criterio del cociente, resulta:

limn!1

an+1an

= limn!1

pn+1(n + 1)!

(n + 1)n+1:pnn!

nn= lim

n!1pnp(n + 1)n! nn

pnn! (n + 1)n(n + 1)= lim

n!1p nn

(n + 1)n=

= limn!1

pn + 1

n

n = limn!1

p1 +

1

n

n = peCon lo cual resulta:

Sip

e< 1, p < e la serie dada es convergente.

Sip

e> 1, p > e la serie dada es divergente.

Sip

e= 1, p = e el criterio no decide.

Si p = e resolvemos la duda teniendo en cuenta que1 +

1

n

n< e) lim

n!1e

1 +1

n

n = ee = 1+ ) la serie es divergente


(i)1Xn=1

1

(lnn)n(ii)

1Xn=1

2n

lnn(n + 1)(iii)

1Xn=1

1

2n

1 +

1

n

n2Solucion:

Aplicando el criterio de la raiz, resulta:

(i) limn!1

npan = lim

n!11

lnn= 0 < 1 luego la serie dada es convergente.

(ii) limn!1

npan = lim

n!12

ln(n + 1)= 0 < 1 luego la serie dada es convergente.

(ii) limn!1

npan = lim

n!11

2

1 +

1

n

n=e

2> 1 luego la serie dada es divergente.

Ejemplo 6.11 Estudiar el caracter de la serie:

1Xn=1

1 4 7 (3n 2)

3 6 9 3n

2Solucion:

Aplicando el criterio del cociente se tiene

limn!1

an+1an

= limn!1

1 4 (3n + 1)3 6 (3n + 3)

2:

1 4 (3n 2)

3 6 3n2

= limn!1

3n + 1

3n + 3

2= 1


Luego el criterio del cociente no decide sobre la convergencia.Aplicamos, entonces, el criterio de Raabe:

limn!1

n

1

3n + 1

3n + 3

2!= lim

n!1n

(3n + 3)2 (3n + 1)2(3n + 3)2

= limn!1

n18n + 9 6n 1

(3n + 3)2=

= limn!1n

12n + 8

(3n + 3)2= lim

n!112n2 + 8n

9n2 + 18n + 9=

12

9=

4

3> 1

Luego la serie es convergente.

6.3.2 Series alternadas

Denicion 6.7 (Series alternadas) Una serie se dice que es alternada cuando sus terminoscambian consecutivamente de signo.

1Xn=1

(1)n+1an = a1 a2 + a3 + (1)n+1an +

Las series alternadas pueden comenzar por un positivo o por un negativo, aunque supondremosque siempre empiezan con un positivo, en caso contrario bastara con sacar factor comun elsigno negativo.

Teorema 6.15 (Criterio de convergencia para series alternadas. Leibniz) Una serie al-ternada converge si los valores absolutos de sus terminos decrecen y el termino general tiendea cero. P an alternada

janj #janj ! 0

9=; =)X an convergeEl recproco de este teorema no es cierto, ya que solo podemos asegurar que si el terminogeneral no tiende a cero, entonces la serie es divergente, por no cumplir la condicion necesariade convergencia; pero si la sucesion de los valores absolutos no es decreciente, entonces nopodemos asegurar nada.

Teorema 6.16 (Suma de la serie alternada) La suma de la serie alternada es siempre menorque su primer termino. S a1

Teorema 6.17 (El error en la serie alternada) Si tomamos como aproximacion de la sumatotal de una serie alternada una suma parcial, entonces el error que cometemos en esta aproxi-macion, en valor absoluto, es menor que el primer termino que no se suma.

S Sn ! jRnj < an+1



(i)1Xn=1

(1)n+1 n2n 1 (ii)

1Xn=1

(1)n+1 1n

(iii)1Xn=1

(1)n ln nn

Solucion:

Aplicando el criterio de Leibniz, resulta:

(i) limn!1 janj = limn!1

n

2n 1 =1

26= 0 luego la serie dada es divergente.

(ii) Para la segunda serie tenemos:

limn!1janj = lim

n!11

n= 0

n + 1 > n! 1n + 1

e

Luego la sucesion janj sera decreciente para n 3. Lo que signica que al eliminar los dosprimeros terminos de la serie, se cumplen las condiciones de Leibniz. Por lo tanto,

1Xn=3

an convergente )1Xn=1

an convergente

6.3.3 Series de terminos de signo cualesquiera

Denicion 6.8 (Convergencia absoluta) Una serie se dice que es absolutamente conver-gente si la serie formada por los valores absolutos de sus terminos es convergente.

1Xn=1

an absolutamente convergente()1Xn=1

janj convergente


Denicion 6.9 (Convergencia condicional) Una serie se dice que es condicionalmente con-vergente si ella es convergente pero la serie formada por los valores absolutos de sus terminoses divergente.

1Xn=1

an condicionalmente convergente()

8>>>>>:1Xn=1

an convergente

1Xn=1

janj divergente

Teorema 6.18 (Criterio de la convergencia absoluta) Si una serie es absolutamente con-vergente, entonces es convergente.

1Xn=1

janj convergente =)1Xn=1

an convergente

Este criterio es valido para todo tipo de series, incluidas las alternadas.

Teorema 6.19 (Reordenacion de terminos) Si una serie es absolutamente convergente,entonces la serie obtenida despues de cualquier reordenacion de sus terminos tambien convergeabsolutamente y tiene la misma suma.

Es decir, la suma de una serie absolutamente convergente no se altera por una reordenacion desus terminos.Si la serie converge solo condicionalmente, entonces al reordenar sus terminos la suma de laserie puede cambiar. En particular, reordenando los terminos de una serie condicionalmenteconvergente se puede transformar en divergente.

Ejemplo 6.13 Estudia la convergencia absoluta de las siguientes series:

(i)1Xn=1

cos n

n2(ii)

1Xn=1

(1)n 2n

n!(iii)

1Xn=1

(1)n lnnn

Solucion:

Se trata de series con terminos positivos y negativos. Aplicando el criterio de la convergenciaabsoluta, resulta:

(i) janj =cos nn2

=j cos njn2

1n2

luego, por el criterio de comparacion, la serie dada es

absolutamente convergente, y por tanto ella es convergente.

(ii) Para la segunda serie tenemos:

janj = 2n

n!

Y aplicando el criterio del cociente resulta:


limn!1

jan+1jjanj = limn!1

2n+1

(n + 1)!:

2n

n!= lim

n!12n+1n!

2n(n + 1)!= lim

n!12

n + 1= 0 < 1

luego, por el criterio del cociente, la serie dada es absolutamente convergente, y por tanto ellaes convergente.

(iii) Para la tercera serie tenemos.

janj= lnnn

Y aplicando el criterio de comparacion, resulta:

lnn > 1 ! janj = lnnn

>1

n

Luego, por el criterio de comparacion, la serie formada con los valores absolutos de sus terminoses divergente. Por tanto, la serie dada no es absolutamente convergente.Estudiemos su convergencia condicional. Se trata de una serie alternada, luego podemos apli-carle el crierio de Leibniz,

limn!1janj = lim

n!1lnn

n= [11] = limn!1

1=n

1= lim

n!11

n= 0

(hemos tratado la sucesion como una funcion).Para estudiar el crecimiento de janj = f(n) recurrimos a la funcion

f(x) =lnx

x

y estudiamos su crecimiento, a partir de su derivada.

f 0(x) =1xx lnxx2

=1 lnxx2

teniendo en cuenta que la funcion f(x) sera decreciente all donde su derivada f 0(x) sea negativa,resulta:

f 0(x) < 0! 1 lnxx2

< 0! 1 lnx < 0! 1 < lnx! x > e

Luego la sucesion janj sera decreciente para n 3. Lo que signica que al eliminar los dosprimeros terminos de la serie, se cumplen las condiciones de Leibniz. Por lo tanto,1X

n=3

an convergente )1Xn=1

an convergente

Luego la serie dada es condicionalmente convergente.

Ejemplo 6.14 Estudia la convergencia absoluta de la siguiente serie:

1Xn=0

(1)np

n + 1pn


Solucion:

El estudio de esta serie resulta mas facil si transformamos su termino general, multiplicando ydividiendo por el conjugado del denominador, con lo cual resulta:

1Xn=0

(1)np

n + 1 pn

=1Xn=0

(1)n n + 1 npn+ 1 +

pn

=1Xn=0

(1)npn + 1 +

pn

Con lo cual tenemos

janj = 1pn + 1 +

pn

Y para estudiar la convergencia de esta serie buscamos una serie conocida que nos sirva decomparacion. Para valores grandes de n podemos esperar que los siguientes innitesimos seandel mismo orden:

janj = 1pn + 1 +

pn 1p

n

Y como la serie armonica1Xn=1

1pn

diverge, entonces, aplicando el criterio de comparacion de

innitesimos, tambien diverge la serie formada por los valores absolutos de los terminos de laserie dada.No obstante, el proceso necesita de la siguiente comprobacion:

limn!1

anbn

= limn!1

1pn + 1 +

pn

:1pn

= limn!1

pnp

n + 1 +pn

=1

2

6= 16= 0

Estudiemos su convergencia condicional. Se trata de una serie alternada, luego podemos apli-carle el crierio de Leibniz,

limn!1 janj = limn!1

1pn+ 1 +

pn

= 0

pn + 1 +

pn

1pn + 2 +

pn + 1

!

! janj> jan+1j ! janj #

Luego la serie es convergente y, por tanto, condicionalmente convergente.

6.4 Suma de series

Lo normal es que no exista un procedimiento para calcular el valor exacto de la suma de unaserie y tengamos que conformarnos con un valor aproximado de la suma, sumando los primerosterminos de la serie. Sin embargo podemos intentar calcular el valor exacto de la suma de laserie utilizando los siguientes procedimientos:

6.4. SUMA DE SERIES 17

6.4.1 Aplicando la denicion

S = limn!1Sn

6.4.2 Series geometricas

1Xn=k

arn =a rk1 r si jrj < 1

(el numerador de la fraccion es el primer termino de la serie)

6.4.3 Series aritmetico-geometricas

Sa llaman series aritmetico-geometricas aquellas cuyo termino general es de la forma

an = (a n + b)rn

Es decir es el producto de dos terminos: uno va en progresion aritmetica y el otro en progresiongeometrica.Si la serie esta expresada en forma canonica (comienza en n=1 y el exponente de r es n,entonces su suma se puede calcular por la formula:

1Xn=1

(a n + b)rn = (a+ b)r br2

(1 r)2

Tambien podemos repetir el proceso completo de deduccion de la formula en cada caso,Sn = (a + b)r + (2a+ b)r2 + (3a + b)r3 + + (an+ b)rn

rSn = (a+b)r2(2a+b)r3(3a+b)r4 (an+b)rn+1

(1 r)Sn = (a + b)r + ar2 + ar3 + + arn (an + b)rn+1de donde

(1 r)Sn = (a + b)r + a (r2 + r3 + + rn) (an+ b)rn+1y tomando lmites:

(1 r)S = (a + b)r + a r2

1 r 0 =(a + b)r (a + b)r2 + ar2

1 r =(a+ b)r br2

1 rde donde, despejando S

S =(a + b)r br2

(1 r)2


6.4.4 Series hipergeometricas

Las series hipergeometricas se detectan al aplicar el criterio del cociente en la convergencia.

Una serie1Xn=1

an se llama hipergeometrica cuando:

an+1an

=a n+ ba n+ c ! 1

Notese que numerador y denominador han de ser polinomios de primer grado con el mismocoeciente de n.La serie hipergeometrica es equivalente a una serie geometrica de razon

r =a+ b

c

Por lo tanto su convergencia viene determinada por jrj < 1 y su suma por

S =a1

1 rHay que hacer notar que para poder aplicar esta equivalencia la serie tiene que comenzar enn = 1. Si la serie comienza en n = n0 no esta permitido sustituir en la formula de S , a1 por an0.En este caso habra que calcular la suma total desde n = 1 y restar los terminos que no gurenen la serie, o bien, manipular la formula del termino general para que comience en n = 1

6.4.5 Series telescopicas

Son aquellas cuyo termino general se puede descomponer en la diferencia de dos terminosconsecutivos, de manera que en las sumas parciales se simplican todos los terminos intermedios

1Xn=1

an =1Xn=1

(bn bn+1)

Tenemos:

Sn = b1 b2 + b2 b3 + b3 b4 + + bn bn+1 = b1 bn+1de donde

S = limn!1

Sn = limn!1

(b1 bn+1)

6.4.6 Descomposicion en factores simples

Se aplica en aquellas series cuyo termino general es el cociente de dos polinomios.


6.4.7 Series que se obtienen a partir del numero e

Cuando el denominador es un factorial y el numerador un polinomio intentamos relacionar laserie con el numero e, manipulando para ello el numerador con objeto de expresar el terminogeneral como suma de fracciones con numeradores numericos y denominadores factoriales, ycomparamos el resultado con el desarrollo del numero e. Si en el proceso aparecen factorialesde terminos negativos lo resolvemos sacando del sumatorio los terminos necesarios para evitarlos negativos.Por tanto, tenemos que las series del tipo:

1Xn=1

p(n)

(n + b)!son siempre convergentes

y para hallar su suma las descomponemos en fracciones simples, teniendo en cuenta el desarrollo:

e = 1 + 1 +1

2+

1

3!+

La descomposicion en fracciones simples tambien puede hacerse por identicacion de coecietes

Ejemplo 6.15 Sumar la serie:

1Xn=2

5

(n + 3)(n + 4)

(a) Como telescopica,(b) Como hipergeometrica (restando a1),(c) Como hipergeometrica manipulando an para que comience en n = 1

(d) Comprobar que la formula S =a2

1 r conduce a un resultado erroneoSolucion:

(a) Se trata de una serie telescopica, en efecto, tenemos:

1

(n + 3)(n + 4)=

A

n + 3+

B

n + 4=A(n + 4) + B(n + 3)

(n + 3)(n + 4)

de donde:n = 3 ! 1 = An = 4 ! 1 = B

A = 1B = 1

Con lo cual, la serie se puede expresar de la forma:

1Xn=2

5

(n+ 3)(n + 4)= 5

1Xn=2

1

(n + 3)(n + 4)= 5

1Xn=2

1

n + 3 1n + 4

resultando:

Sn = 5

1

5 1

6+

1

6 1

7+ 1

n + 3 1n + 4

= 5

1

5 1n + 4


Cuyo lmite es la suma de la serie propuesta

S = limn!1

Sn = limn!1

5

1

5 1n+ 4

= 5

1

5 0

= 1

(b) Para sumarla como hipergeometrica tiene que comenzar en n = 1. Para ello sumamos yrestamos a1.

1Xn=2

5

(n + 3)(n + 4)= 5

4 5 +1Xn=1

5

(n + 3)(n + 4)=14

+1Xn=1

5

(n + 3)(n + 4)

Veamos que se trata de una serie hipergeometrica:

an+1an

=5

(n + 4)(n + 5):

5

(n + 3)(n + 4)=n + 3

n + 5) r = 1 + 3

5=

4

5

y la suma de la serie es:

1Xn=2

5

(n + 3)(n + 4)=14

+

5

4 51 4

5

= 14

+1=4

1=5=14

+5

4= 1

(c) El mismo efecto puede conseguirse manipulando el termino general para que la serie comienceen n = 1

1Xn=2

5

(n + 3)(n+ 4)=

5

5 6 +5

6 7 + =1Xn=1

5

(n+ 4)(n + 5)

que se trata de una serie hipergeometrica de razon diferente, en efecto:

an+1an

=5

(n + 5)(n + 6):

5

(n + 4)(n + 5)=n + 4

n + 6) r = 1 + 4

6=

5

6

y la suma de la serie es:

1Xn=2

5

(n + 3)(n + 4)=1Xn=1

5

(n + 4)(n + 5)=

5

5 61 5

6

=1=6

1=6= 1

(d) Es evidente que la formula S =a2

1 r , aplicada a la serie inicial, conduce a un resultadoerroneo, en efecto:

S =a2

1 r =5

5 61 4

5

=1=6

1=5=

5

66= 1


Ejemplo 6.16 Estudiar el caracter y sumar en su caso las siguientes series numericas:

(i)1Xn=1

n

2n1+

3

2n

(ii)

1Xn=1

1

(2n 1)(2n+ 1)(2n + 3) (iii)1Xn=0

n2 7n 3(n + 3)!

Solucion:

(i) La serie puede expresarse de la siguiente manera:

1Xn=1

n

2n1+

3

2n

=1Xn=1

2n + 3

2n=1Xn=1

(2n + 3)

1

2

nque es una serie aritmetico-geometrica, de razon 1=2 y por tanto convergente.Para sumarla podemos aplicar la formula, o bien repetir el proceso completo:

Sn = 51

2+ 7

1

2

2+ 9

1

2

3+ + (2n + 3)

1

2

n12Sn = 5

1

2

27

1

2

39

1

2

4 (2n+3)

1

2

n+11

2Sn =

5

2+ 2

1

2

2+ 2

1

2

3+ + 2

1

2

n (2n + 3)

1

2

n+1de donde

1

2Sn =

5

2+ 2

"1

2

2+

1

2

3+ +

1

2

n# (2n + 3)

1

2

n+1y tomando lmites:

1

2S =

5

2+ 2

1=4

1 1=2 0 =5

2+ 2

1=4

1=2=

5

2+ 1

de donde, despejando SS = 5 + 2 = 7

Tambien podemos aplicar la formula para sumar las series aritmetico geometricas, una vez quela serie esta expresada en forma canonica.

1Xn=1

(an + b)rn =(a + b)r br2

(1 r)2 )1Xn=1

(2n + 3)

1

2

n=

(2 + 3)1

2 3(1

2)2

(1 12 )2=

52 34

14

= 7

(ii) Para estudiar la convergencia de la segunda serie aplicamos el criterio del cociente:

an+1an

=(2n 1)(2n + 1)(2n + 3)(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)

=2n 12n + 5

! 1

Se trata de una serie hipergeometrica de razon r =2 1

5=

1

5, luego es convergente, y su suma

es:

S =

1

1 3 51 1

5

=1

12


Esta serie tambien puede tratarse como telescopica.

(iii) Esta serie es del tipoP P (n)

n!que siempre es convergente, y su suma es del tipo del numero

e. Para sumarla manipulamos el numerador con objeto de eliminar todas las n. Teniendo encuenta que (n + 3)(n+ 2) = n2 + 5n+ 6 resulta.

n2 7n 3(n + 3)!

=n2 + 5n + 6 12n 9

(n + 3)!=n2 + 5n + 6 12n 36 + 27

(n + 3)!=

=(n + 3)(n + 2) 12(n + 3) + 27

(n + 3)!=

1

(n + 1)! 12

(n + 2)!+

27

(n + 3)!

Y teniendo en cuenta que:

e = 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

resulta:1Xn=0

n2 7n 3(n+ 3)!

=1Xn=0

1

(n + 1)! 12

(n + 2)!+

27

(n + 3)!

=

= [e 1] 12[e 2] + 27[e 2 12] = e 1 12e + 24 + 27e 54 27

2=

= 31 272

+ 16e =89 + 32e

2

La descomposicion tambien poda haberse hecho mediante la identicacion de coecientes:En efecto, haciendo:

n2 7n 3(n + 3)!

=A(n + 3)(n + 2) + B(n+ 3) +C

(n + 3)!

resulta:

n = 3! 9 + 21 3 = Cn = 2! 4 + 14 3 = B + Cn = 0 !3 = 6A+ 3B + C

9=;C = 27B = 15 C = 17 27 = 12A = 16 (3 3B C) = 16 (3 + 36 27) = 1

Ejemplo 6.17 Estudia el caracter y sumar en su caso las siguientes series numericas:

(i)1Xn=1

n 2n+1n2 + 5n 3 (ii)

1Xn=1

1 cos 1p

n

(iii)

1Xn=1

n2 + 7n 3(n + 1)!

Solucion:

(i)1Xn=1

n 2n+1n2 + 5n 3 la serie diverge ya que an !1

(ii)1Xn=1

1 cos 1p

n

1Xn=1

1

2

1pn

21Xn=1

1

2ndivergente (armonica)


Hemos tenido en cuenta que (1 cosx x2

2)

(iii)1Xn=1

n2 + 7n 3(n + 1)!

La serie es convergente, puede comprobarse por el criterio del co-

ciente. Su suma es:

1Xn=1

n2 + 7n 3(n + 1)!

=1Xn=1

n2 + n + 6n + 6 9(n + 1)!

=1Xn=1

(n + 1)n

(n + 1)!+

6(n + 1)

(n + 1)! 9

(n + 1)!=

=1Xn=1

1

(n 1)! +6

n! 9

(n+ 1)!= e + 6(e 1) 9(e 2) = 12 2e

Ejemplo 6.18 Estudia el caracter de las siguientes series numericas y calcular, si es posible,su suma:

(a)1Xn=1

ln

n2 + n + 1

n2 + 2

(b)

1Xn=1

3n + n2 + n

3n+1n(n + 1)

(c) 1 12

+1

3 1

22+

1

32 1

23+

1

33 1

24+

1

34

Solucion:

(a)X

lnn2 + n + 1

n2 + 2=X

ln(1 +n 1n2 + 2

) X n 1

n2 + 2X 1

nDivergente

Hemos aplicado innitesimos equivalentes ln(1 + z) z cuando z ! 0, e innitesimos delmismo orden lim

n!1anbn

= k (k6= 0; k6= 1).

(b)1Xn=1

3n + n2 + n

3n+1n(n+ 1)=1Xn=1

3n + n(n + 1)

3n+1n(n + 1)=1Xn=1

3n

3n+1n(n + 1)+

n(n + 1)

3n+1n(n + 1)=

=1Xn=1

1

3n(n + 1)+1Xn=1

1

3n+1

Ahora bien, la primera serie es una serie telecopica

1Xn=1

1

n(n+ 1)=1Xn=1

1

n 1n + 1

que podemos sumar aplicando la denicion

Sn = 1 12 +1

2 1

3+

1

3+ + 1

n 1n + 1

= 1 1n + 1

! 1

y por otro lado, la segunda serie es una serie geometrica

1Xn=1

1

3n+1=

1

3

1Xn=1

1

3

n=

1

3

13

1 13

=1

3

1

2=

1

6


Con lo cual, la suma pedida es

1Xn=1

3n + n2 + n

3n+1n(n + 1)=

1

3 1 + 1

6=

1

2

(c) La suma pedida puede descomponerse en dos series geometricas,

1 12

+1

3 1

22+

1

32 1

23+

1

33 =

1 +

1

3+

1

32+

1

33+

1

2+

1

22+

1

23+

=

=1

1 13

12

1 12=

3

2 1 = 1

2

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