Series Tiempo
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Valeria del Rosario Moscoso Carpio UNSA | INGENIERIA DE SISTEMAS
SERIES DE TIEMPO PROCECOS ESTOCASTICOS
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO
GUIA PARA TRABAJAR SERIES DE TIEMPO
PREGUNTA 1: ELECCION DEL MODELO QUE DESCRIBE A LA SERIE TEMPORAL
Los siguientes datos corresponden al nmero de bolsas de cemento vendidas
trimestralmente por cierta fbrica
Se llama diferencia estacional dij a la diferencia entre dos datos de la misma estacin j
correspondiente a dos aos consecutivos i-1 e i:
= 1 ,
Donde yij es el valor de la serie en el ao i y estacin j.
De manera similar, se define los cocientes estacionales kij como los cocientes entre dos datos de la
misma estacin correspondientes a dos aos consecutivos:
= / 1 ,
Una vez calculados los valores dij y kij, se calculan los coeficientes de variacin sobre cada uno de
ellos, cv(d) y cv(k). Si cv(d) < cv(k) se elegir esquema aditivo, en caso contrario se optara por el
multiplicativo.
MODELO ADITIVO = T+S+C+R
MODELO MULTIPLICATIVO = T*S*C*R
Fecha t Bolsas
mar-99 1 213.831
jun-99 2 231.682
sep-99 3 205.904
dic-99 4 197.817
mar-00 5 252.445
jun-00 6 249.015
sep-00 7 220.373
dic-00 8 239.846
mar-01 9 271.026
jun-01 10 271.922
sep-01 11 231.696
dic-01 12 269.232
mar-02 13 311.13
jun-02 14 309.742
sep-02 15 240.937
dic-02 16 248.5
mar-03 17 264.408
jun-03 18 322.819
sep-03 19 254.99
dic-03 20 218.562
mar-04 21 194.56
jun-04 22 285.707
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO
sep-04 23 248.664
dic-04 24 271.553
mar-05 25 279.705
jun-05 26 322.256
sep-05 27 271.391
dic-05 28 326.649
mar-06 29 378.126
jun-06 30 391.593
sep-06 31 315.817
dic-06 32 394.482
mar-07 33 449.777
jun-07 34 447.015
sep-07 35 376.372
dic-07 36 421.067
mar-08 37 446.748
jun-08 38 460.553
sep-08 39 377.197
dic-08 40 427.247
mar-09 41 448.989
jun-09 42 488.183
sep-09 43 403.402
dic-09 44 452.817
mar-10 45 513.582
jun-10 46 509.548
sep-10 47 437.249
dic-10 48 543.437
mar-11 49 566.815
jun-11 50 535.833
sep-11 51 440.147
dic-11 52 565.609
mar-12 53 632.318
jun-12 54 646.656
sep-12 55 547.793
dic-12 56 601.651
mar-13 57 660.525
jun-13 58 653.024
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO
Paso 1: Como se deben compara los datos de la misma estacin correspondientes dos aos consecutivos hay que reordenar la tabla
AO MARZO JUNIO SEPTIEMBRE DICIEMBRE
1999 213.831 231.682 205.904 197.817
2000 252.445 249.015 220.373 239.846
2001 271.026 271.922 231.696 269.232
2002 311.13 309.742 240.937 248.5
2003 264.408 322.819 254.99 218.562
2004 194.56 285.707 248.664 271.553
2005 279.705 322.256 271.391 326.649
2006 378.126 391.593 315.817 394.482
2007 449.777 447.015 376.372 421.067
2008 446.748 460.553 377.197 427.247
2009 448.989 488.183 403.402 452.817
2010 513.582 509.548 437.249 543.437
2011 566.815 535.833 440.147 565.609
2012 632.318 646.656 547.793 601.651
2013 660.525 653.024 0 0
Reordenamos los datos como se muestra en la tabla
Paso 2: Calcular los dij (se facilita usando la misma estructura de tabla)
AO MARZO JUNIO SEPTIEMBRE DICIEMBRE
1999 - 2000 38.614 17.333 14.469 42.029
2000 - 2001 22.581 22.907 11.323 29.386
2001 - 2002 40.104 37.82 9.241 -20.732
2002 - 2003 -46.722 13.077 14.053 -29.938
2003 - 2004 -69.848 -37.112 -6.326 52.991
2004 - 2005 85.145 36.549 22.727 55.096
2005 - 2006 98.421 69.337 44.426 67.833
2006 - 2007 71.651 55.422 60.555 26.585
2007 - 2008 -3.029 13.538 0.825 6.18
2008 - 2009 2.241 27.63 26.205 25.57
2009 - 2010 64.593 21.365 33.847 90.62
2010 - 2011 53.233 26.285 2.898 22.172
2011 - 2012 65.503 110.823 107.646 36.042
2012 - 2013 28.207 6.368 -547.793 -601.651
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO
Paso 3: Calcular el coeficiente de variacin de los dij
MEDIA 8.291339286
DESV. ESTANDAR 118.8106638
COEF. DE VARIACION 14.32949005
Paso 4: Calcular los Kij (se facilita usando la misma estructura de tabla)
AO MARZO JUNIO SEPTIEMBRE DICIEMBRE
1999 1.18058186 1.07481375 1.07027061 1.21246405
2000 1.08944919 1.09199044 1.05138107 1.12252028
2001 1.13127486 1.139084 1.03988416 0.92299578
2002 0.84983126 1.04221901 1.05832645 0.87952515
2003 0.7358325 0.88503775 0.97519118 1.24245294
2004 1.4376285 1.12792476 1.09139642 1.20289225
2005 1.3518743 1.21516124 1.1636974 1.20766327
2006 1.18948975 1.1415296 1.19174079 1.06739218
2007 0.99326555 1.03028534 1.00219198 1.014677
2008 1.00501625 1.0599931 1.06947298 1.05984828
2009 1.14386321 1.04376433 1.0839039 1.200125
2010 1.10365044 1.05158493 1.0066278 1.04079958
2011 1.11556328 1.20682377 1.24456829 1.06372247
2012 1.04460888 1.00984759 0 0
Paso 5: Calcular el coeficiente de variacin de los Kij
MEDIA 1.04961735
DESV. ESTANDAR 0.23472068
COEF. DE VARIACION 0.223625
Paso 6: Comparar los coeficientes de variacin y elegir el modelo que explica el
comportamiento de la serie temporal
CV (dit ) < CV (cit )Esquema multiplicativo
0.223625 < 14.32949005
Luego de comparar los coeficientes de variacin, podemos notar que el coef. De variacin de los es menor
al de los . Por lo que el modelo que explica el comportamiento de la serie temporal es el ESQUEMA
MULTIPLICATIVO =
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO PREGUNTA 2: ANALISIS DE LA TENDENCIA MEDIANTE ENFOQUE GLOBAL Consiste en el ajuste de las observaciones a una funcin matemtica (usualmente por el mtodo de
mnimos cuadrados) para la obtencin de la tendencia
Este procedimiento adems de ser el ms exacto, tiene la ventaja de disponer de una medida de la
bondad del ajuste, que viene dada por el coeficiente de determinacin.
Para eliminar las oscilaciones propias de factores estacionales, calcularemos valores medios anuales
y sobre estos realizaremos el ajuste, evitndose as que se recoja en la tendencia movimientos de la
serie de tipo estacional si el esquema de la serie resulta ser aditivo, se ajusta a una recta, y si resulta
multiplicativo a una exponencial.
Paso 1: Construir una nueva tabla donde se consignen las ventas promedio por ao
AO PROMEDIO VENTAS
1999 212.3085
2000 240.41975
2001 260.969
2002 277.57725
2003 265.19475
2004 250.121
2005 300.00025
2006 370.0045
2007 423.55775
2008 427.93625
2009 448.34775
2010 500.954
2011 527.101
Paso 2: Sobre los datos del paso 1 hacer el anlisis de correlacin y regresin correspondiente
Estadsticas de la regresin
Coeficiente de correlacin mltiple 0.829663634
Coeficiente de determinacin R^2 0.688341745
R^2 ajustado 0.664368033
Error tpico 2.590876172
Observaciones 15
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO
ANLISIS DE VARIANZA
Grados de
libertad Suma de
cuadrados Promedio de los
cuadrados F
Valor crtico de F
Regresin 1 192.7356886 192.7356886 28.7123557
2 0.000130104
Residuos 13 87.26431142 6.71263934
Total 14 280
Coeficientes Error tpico Estadstico t Probabilidad Inferior 95% Superior
95% Inferior 95.0%
Superior 95.0%
Intercepcin 1994.84385 2.186828128 912.2087946 1.24735E-32 1990.119495 1999.568205 1990.119495 1999.568205
PROMEDIO VENTAS
0.030761538 0.005740816 5.358391151 0.000130104 0.018359259 0.043163818 0.018359259 0.043163818
Paso 3: Elegir el modelo que mejor ajuste los datos. Esta funcin seria la tendencia de la serie temporal.
TENDENCIA LINEAL = +
y = 22.377x - 44525R = 0.6883
0
100
200
300
400
500
600
700
1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014
Tendencia Lineal
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO
TENDENCIA EXPONENCIAL
Segn las grficas podemos observar que la que mejor ajusta a los datos es la tendencia lineal
PREGUNTA 3: ANALISIS DE LA TENDENCIA MEDIANTE ENFOQUE LOCAL
Este mtodo es ms flexible y no exige la suposicin de una forma funcional para la tendencia al
contrario que el anterior.
Este mtodo se usa bien para la obtencin de la tendencia secular o bien como una tcnica de
transformar las observaciones en otras ms suavizadas (la tpica representacin grfica con dientes
de sierra presentara altibajos menos pronunciados) para posteriormente ajustar una curva a estos
valores.
Generalmente entenderemos por suavizamiento de la serie la obtencin de unos valores
transformados con menos fluctuacin.
y = 1E-52e0.0624x
R = 0.7344
0
100
200
300
400
500
600
700
1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014
Tendencia Exponencial
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO ESTACIONALIDAD
Tomamos estaciones sobre 3 aos por lo tanto la tabla previa quedara as
DATOS SUAVIZADOS
AO PROMEDIO VENTAS PROMEDIOS MOVILES (3)
1999 212.3085 150.9094167
2000 240.41975 237.8990833
2001 260.969 259.6553333
2002 277.57725 267.9136667
2003 265.19475 264.2976667
2004 250.121 271.772
2005 300.00025 306.7085833
2006 370.0045 364.5208333
2007 423.55775 407.1661667
2008 427.93625 433.2805833
2009 448.34775 459.0793333
2010 500.954 492.13425
2011 527.101 545.0531667
2012 607.1045 487.5309167
2013 328.38725 311.8305833
La serie formada por las medias de Yt, nos indica la lnea amortiguada de la tendencia
Series 1 : Promedio de ventas
Series 2 Datos suavizados
0
100
200
300
400
500
600
700
1995 2000 2005 2010 2015
Aos
Grafico Suavizado
Series1
Series2
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO PREGUNTA 4: ANALISIS DE ESTACIONALIDAD
La variacin estacional nos indica el incremento o disminucin que se ha experimentado en un
periodo estacional dado respecto del valor medio referido a todo el ao.
En el modelo multiplicativo, la componente estacional se una serie temporal, se mide con un ndice
(adimensional) denominado ndice de variacin estacional, expresado en porcentaje y que significa
la fluctuacin del valor de la serie respecto al valor de la tendencia media del ao. Por ejemplo un
ndice de variacin estacional del 86% significa una disminucin del 14% respecto del valor de la
tendencia.
En el modelo aditivo, para cada estacin, la componente estacional indica en trminos absolutos la
cantidad en que se ha superado o no se ha alcanzado el valor de la tendencia media anual. En este
caso la componente estacional se expresa en las mismas unidades que las observaciones.
La determinacin de la variacin estacional, es un aspecto fundamental en el anlisis de una serie,
principalmente para estudios comparativos y efectuar predicciones.
Se usar el Mtodo de la razn(o diferencia) a la media mvil para trabajar la estacionalidad
Dado que en el rea econmica la mayor parte de las series siguen un esquema multiplicativo,
estudiaremos el mtodo de la razn a la media mvil, si el esquema fuera aditivo operaramos de
modo anlogo pero en lugar de con cocientes (razones) con diferencias (mtodo de la diferencia a
la media mvil).
Este procedimiento, utiliza el suavizamiento de la serie proporcionado por las medias mviles
Paso 1: Reordenar las medias mviles de orden 3 bajo la siguiente estructura cuadro de medias mviles
AO MARZO JUNIO SEPTIEMBRE DICIEMBRE
1999 155.4253333 160.2323333 142.092333 145.8876667
2000 245.7673333 276.893 219.324333 235.6316667
2001 278.2003333 301.4943333 231.002 252.526
2002 282.188 306.0893333 242.541 245.4313333
2003 256.6993333 310.2606667 248.197 246.205
2004 246.2243333 333.1853333 258.348333 272.2546667
2005 284.1303333 386.9546667 278.624 330.8946667
2006 369.2026667 433.0536667 321.193333 380.7326667
2007 424.8836667 465.2503333 356.462 414.2653333
2008 448.5046667 486.0946667 385.657 433.7103333
2009 469.773 511.188 405.949333 474.5003333
2010 509.7953333 564.0123333 426.932667 520.621
2011 570.905 611.8376667 475.063 570.2323333
2012 619.886 649.84 329.313333 389.0866667
2013 646.4215 653.024 273.8965 300.8255
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO
Paso 2: Se dividen los valores originales de la serie por las medias mviles obtenidas (razones a las medias
mviles) y se calculan las medias sobre dichos cocientes (razones) para cada una de las estaciones:
las medias de cada columna representan la variacin estacional (st)
AO MARZO JUNIO SEPTIEMBRE DICIEMBRE
1999 1.375779581 1.44591291 1.44908592 1.35595424
2000 1.027170684 0.89931851 1.00478135 1.01788526
2001 0.974211629 0.90191413 1.0030043 1.06615556
2002 1.10256283 1.01193334 0.99338669 1.01250316
2003 1.030029944 1.04047672 1.02736939 0.88772364
2004 0.79017373 0.85750173 0.96251443 0.99742276
2005 0.984424988 0.8328004 0.97404028 0.98716913
2006 1.024169201 0.90425975 0.98326138 1.03611283
2007 1.058588586 0.96080533 1.05585448 1.01641862
2008 0.996083281 0.94745537 0.97806341 0.98509758
2009 0.955757355 0.95499699 0.993725 0.95430281
2010 1.007427817 0.90343414 1.02416384 1.04382459
2011 0.992835936 0.87577642 0.92650238 0.99189219
2012 1.0200553 0.99510033 1.66344009 1.54631616
2013 1.021817808 1 0 0
MEDIAS (ST) 1.024072578 0.96877907 1.00261286 0.9932519
Paso 3: Se promedian las variaciones estacionales st
MEDIAS (ST) 1.024072578 0.96877907 1.00261286 0.9932519
PROMEDIO (ST)
1.01227913
Paso 4: Obtener los ndices de variacin estacional
(. . ): . . . = ( / () ) 100
Esto dar un i.v.e. para cada periodo (marzo, junio, etc)
I1 1.01165039
I2 1.01669504
I3 0.99045099
I4 0.98120358
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PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO
Paso 5: A los cocientes de las observaciones por el ndice de variacin estacional se le denomina
componente extra estacional y recogen los valores que presentara La serie si esta no se viera
afectada por los periodos estacionales. Haga un anlisis de la componente extra estacional.
AO MARZO JUNIO SEPTIEMBRE DICIEMBRE
1999 211.368474 227.8775749 207.8891357 201.606481
2000 249.537787 244.9259515 222.4976324 244.440609
2001 267.904804 267.4567982 233.9297983 274.389542
2002 307.546957 304.65576 243.2598915 253.260389
2003 261.363018 317.518024 257.4483775 222.748882
2004 192.319403 281.0154362 251.061388 276.755004
2005 276.483854 316.964269 274.0075007 332.90645
2006 373.771416 385.1626936 318.8618151 402.038893
2007 444.597267 439.6746149 380.0006303 429.133168
2008 441.603149 452.9903088 380.8335842 435.431555
2009 443.818342 480.1665996 407.2912285 461.491387
2010 507.667474 501.1807672 441.46455 553.847349
2011 560.287431 527.0341441 444.3904898 576.444086
2012 625.036083 636.0373315 553.0743129 613.176525
2013 652.918245 642.3007633 0 0
PREGUNTA 5: PREDICCION
Conociendo las cuatro componentes de una serie, as como el modelo segn el cual se relacionan,
podramos conocer el valor de la serie en cualquier momento. La componente irregular (residuos) es
desconocida por naturaleza, del resto de las componentes tenemos a lo sumo una estimacin, y el
modelo es un tipo de esquema que imponemos artificialmente para facilitar la aproximacin al estudio
de la serie. Por lo tanto no se podr conocer exactamente el valor de la serie en un momento futuro
y nos conformaremos con poder hacer una prediccin lo mejor posible. Dado que la componente
cclica es la menos estudiada la prediccin se har en base al tipo de modelo (aditivo o multiplicativo)
y a las componentes tendencia y variacin estacional.
En un esquema aditivo () = () + () + () + (), la estimacin de valor de la serie en un
momento futuro estar dada por:
() = () + ()
En un esquema multiplicativo () = () () () (), la estimacin de valor de la
serie en un momento futuro estar dada por:
() = () ()
-
PROCESOS ESTOCASTICOS
TEMA: SERIES DE TIEMPO
Paso 1: Usar la funcin de regresin (tendencia ajustada) obtenida en la pregunta 2 para obtener el
comportamiento medio de los trimestres correspondientes al ao 2013
Ao 2013 = .
= . () = ,
Paso 2: El comportamiento de la serie para el tercer y cuarto trimestre del 2013 diferirn del valor medio,
segn la variacin estacional para dicho trimestre Por tanto, multiplicar Y(t) del paso anterior por el
i.v.e. respectivo
Marzo Junio Septiembre Diciembre
ive MEDIAS (ST) 0.98866687 0.927355411 0.960379832 0.959255324
AO 2013 660.525 653.024 499302.4352 498717.8023