Servicio de Publicaciones de la Universidad de Navarra ... · ecci on por calen tamien to lateral...

Ondas hidrotermales en sistemas

connados

Trabajo de investigacion presentado porMiguel Angel Pelacho Ajapara optar al grado de

Doctor en Ciencias Fsicas

Departamento de Fsica y Matematica Aplicada

Facultad de Ciencias

Universidad de Navarra

25 de mayo de 2000

Servicio de Publicaciones de la Universidad de Navarra

ISBN 84-8081-087-4

D. Javier Burguete Mas yD. Angel GarcimartnMontero, Doctoresen Ciencias Fsicas.

CERTIFICAN:

Que el presente trabajo de investigacion, Ondas hidrotermales en sistemas

connados, ha sido realizado bajo nuestra direccion en el Departamento deFsica y Matematica Aplicada de la Universidad de Navarra, por D. MiguelAngel Pelacho Aja para optar al grado de Doctor en Ciencias Fsicas.

Para que conste, en cumplimiento de la legislacion vigente, rmamos lapresente certicacion en Pamplona, el dos de mayo de dos mil.

Javier Burguete Mas Angel Garcimartn Montero

Indice

Agradecimientos v

Notacion vii

I Introduccion 3

1 Introduccion general 5

2 Conveccion por calentamiento lateral 11

2.1 Fuerzas termocapilares y termogravitatorias . . . . . . . . . . . 11

2.2 Ecuaciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Condiciones de contorno ideales . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Solucion del ujo basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Numeros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Resultados anteriores 21

3.1 Trabajos teoricos y simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Trabajos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Objetivos y problemas tratados 41

II Sistema experimental 43

5 Introduccion 45

6 Dispositivos experimentales 47

6.1 Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2 Celda de geometra ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.3 Celda de geometra variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

i

ii INDICE

7 Tecnicas experimentales 57

7.1 Metodos de visualizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.1 Ombroscopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.2 Sistema optico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Medidas de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.3 Filtrado de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.3.1 Transformada de Fourier en dos dimensiones . . . . . . . 65

III Resultados 69

8 Inestabilidades convectivas 71

8.1 Flujo basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.1.1 Ruptura del ujo basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.2 Rollos corrotativos. Umbrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.2.1 Variacion de la anchura y numero de los rollos . . . . . . 77

8.2.2 Rollos inclinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.3 Ondas hidrotermales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.3.1 Umbrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.3.2 Caractersticas fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.3.3 Amplitud de las oscilaciones de la temperatura . . . . . . 86

8.3.4 Mecanismos de inestabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.4 Inestabilidades para Pr = 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.4.1 Umbrales y caractersticas de las ondas . . . . . . . . . . 92

9 In uencia de la geometra 95

9.1 Connamiento en la direccion x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.1.1 Umbral de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.1.2 Perles de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.2 Numero de Marangoni local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.3 Connamiento en la direccion y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.3.1 Efecto del tama~no nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.3.2 Variacion de las caractersticas fsicas de las ondas . . . . 102

9.4 In uencia de la relacion de aspecto lx=ly . . . . . . . . . . . . . 104

IV Conclusiones 107

10 Conclusiones 109

10.1 Cuestiones abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

INDICE iii

V Apendice 113

A Ondas planas en una ecuacion de amplitud 115

Bibliografa 119

iv INDICE

Agradecimientos

En primer lugar agradezco lo mucho que he aprendido de mis directores detesis, D. Javier Burguete y D. Angel Garcimartn. Ellos han sabido ense~narmea pensar como un fsico debe hacerlo a traves de sus comentarios y de su ayudadiaria.

A D. Carlos Perez Garca le debo el haberme trado a trabajar a la Univer-sidad de Navarra con este equipo de investigacion de tan alto nivel, cientcoy humano, y a D. Hector Mancini en gran medida haber podido concluir es-te trabajo. Quiero reconocer aqu tambien la ayuda inicial de Johnny Millancuando aterrice en este departamento.

La disponibilidad y consejo atinado que he recibido de Diego Maza y deBlas Echebarra han sido siempre muy valiosos.

Podra seguir as dando las gracias a cada uno de los miembros del De-partamento de Fsica y Matematica Aplicada porque cada uno de ellos hacolaborado de alguna manera en esta tesis. Con Mara Luisa Ramon y losque ahora siguen siendo Ayudantes del Departamento he pasado muy buenosmomentos: Bego~na Pe~na, Sergio Casado, Andrea Vallone, Carolina Mendoza,Santiago Madruga, Alejandro Godoy y Cecilia Wolluschek. Y tambien contodos los demas: Pedro Elizalde (al que debo su amistad y su ayuda tecnica),Mara Jose Collados (secretaria del Departamento), Diego Valladares, Ines Pe-rez Mari~no, Stefano Boccaletti, Wenceslao Gonzalez (gracias tambien por laayuda para escribir estas paginas y, en general, para dominar a los ordena-dores), Antonio Pelaez, Carmen Palacios, Ana Mancho, Mara Jesus Chasco,Emilio Daz Calavia y Santiago de San Roman.

Mi reconocimiento a La Asociacion de Amigos de la Universidad de Na-varra que me ha permitido la realizacion de este trabajo. Parte de la nan-ciacion tambien fue posible por la participacion en el proyecto PB95-0578 dela DGICYT y en la Accion Integrada Hipano-Italiana HI 97-30. Agradezco laayuda que he encontrado en el grupo de Saclay (Pars) liderado por FrancoisDaviaud, por las ideas y comentarios que me han servido de mucho.

A toda mi familia: mis padres, hermanos, tos y prima pamploneses y ami prima Maite. El apoyo de todos ellos ha sido insustituible. Especialmentea mi padre, tambien colega en la profesion, por la ilusion que ha puesto y elanimo que siempre he recibido de el. A todos los amigos que he tenido cerca

v

vi AGRADECIMIENTOS

estos a~nos en Pamplona.

Pamplona, 2 de mayo de 2000

Notacion

DensidadT Temperatura Coeciente de expansion termica Tension supercial = @

@TCoeciente de variacion de la tension supercialcon la temperatura

Difusividad termica Viscosidad cinematica Viscosidad dinamica = @T

@xGradiente de temperatura en la direccion x

a Conductividad termica del airef Conductividad termica del uido~r Operador nabla4 Laplacianot Tiempo caracterstico termicot Tiempo caracterstico viscosoh Altura de la capa de uidop Presion~u Velocidadux; uy; uz Componentes de la velocidad en las direcciones x; y; z

Angulo de propagacion de las ondas con respecto algradiente de temperatura

Longitud de onda~k Vector de ondakx; ky Componentes (x, y) del vector de onda

j~kj Numero de onda! Frecuencialx Distancia entre las paredes conductoras (direccion x)ly Distancia entre las paredes no conductoras (direccion y)x = lx=h Relacion de aspecto en la direccion xy = ly=h Relacion de aspecto en la direccion y

n Indice de refraccion

vii

A mis padres y hermanos

Parte I

Introduccion

Captulo 1

Introduccion general

Las formas y estructuras complejas que aparecen por todas partes en la natu-raleza han sido siempre motivo de una gran fascinacion para el hombre. Lagente ha estado desde hace mucho tiempo intrigada, por ejemplo, en como seforman los copos de nieve, cual es el origen de las manchas en la piel de algunosanimales, por que las colonias de bacterias se agrupan en determinadas formas,o cual es el mecanismo que causa la forma de las olas en el mar. El asombroes aun mayor al contemplar la elegancia de la organizacion de los sistemas devida, incluso de los mas simples [1].

En a~nos recientes se ha aprendido mucho sobre la formacion de estructuraso patrones 1; se ha descubierto la riqueza de comportamientos y estructuraspresentes en la naturaleza y se intuye cuanto queda aun por entender. Estedesarrollo ha llevado a especular sobre la existencia de una ciencia general dela complejidad, y a proponer cuestiones mas profundas sobre la capacidad depredecir y controlar los fenomenos naturales.

Aunque la formacion de patrones |la morfogenesis| siempre ha sido unasunto central en la Filosofa de la Naturaleza, este interes ha resurgido en lafsica de no equilibrio en el ultimo cuarto del siglo XX. Esto se ha debido, enparte, al auge del interes de los fsicos y cientcos que estudian la estructurade la materia en las transiciones de fase. Muchos de los ejemplos mas familia-res de formacion de patrones ocurren en situaciones en las cuales un sistemaesta pasando de una fase a otra: desde un lquido hacia un patron solido, porejemplo, desde un estado paramagnetico a uno ferromagnetico, o la transicionentre un estado conductor de un material a superconductor, cuando se alcanzauna temperatura crtica de unos pocos grados por encima del cero absoluto.Cuando en las transiciones de fase se libera energa, en cierto sentido se puededecir que la materia pasa de un estado desordenado a uno mas ordenado |por

1La palabra inglesa pattern no tiene una adecuada correspondencia con alguna palabraespa~nola que incluya todos los matices. Sin embargo, en todo este trabajo se utilizara algunade estas palabras que se aproxima a su signicado: estructura, patron, forma.

5

6 CAPITULO 1. INTRODUCCI ON GENERAL

ejemplo cuando un lquido se transforma en solido al liberar el calor latentede fusion|. La materia se comporta de una manera caracterstica en las con-diciones de no equilibrio formandose unas estructuras disipativas ocasionadaspor la liberacion de esa energa y la interaccion con el mundo exterior. Co-mo explica I. Prigogine [2] con una analoga, una ciudad tiene una estructurapeculiar distinta al campo que la rodea gracias a las relaciones que estable-ce precisamente con el campo colindante. Una propiedad interesante de lospatrones disipativos es la coherencia que se alcanza en la estructura, como silas partculas supieran del comportamiento de las demas. As, se puede decirque los avances en esta lnea de investigacion de transiciones de fase, y en losprocesos de no equilibrio que las acompa~nan, han llevado directamente haciael planteamiento de cuestiones relacionadas con la formacion de patrones.

Otra direccion desde la cual los fsicos han llevado a cabo el estudio deformacion de patrones es la teora de sistemas dinamicos no lineales. Durantemucho tiempo prevalecio en fsica la idea segun la cual los efectos observadosen la naturaleza estaban ligados a sus causas de una manera directamente pro-porcional, lineal. La imagen del mundo que se tena era mayoritariamente la deun mundo cuyo comportamiento esencial estaba determinado por ecuacionescon terminos lineales. Hasta principios del siglo XX se pensaba que las solu-ciones de los sistemas dinamicos no lineales no a~nadan diferencias cualitativasa las de los lineales y por tanto su resolucion supondra simplemente obtenermejores aproximaciones a las soluciones ya conocidas. Es a partir del avanceen la rapidez y potencia de calculo de los ordenadores cuando se tienen encuenta las interpretaciones de Poincare [3] y se toma conciencia de la riquezade situaciones que se tiene en la dinamica no lineal. Variando los parametrosde control estos sistemas pueden dar lugar a comportamientos complejos, aunteniendo pocos grados de libertad. Entender estos sistemas, que son deter-ministas, ha supuesto tambien un paso crucial hacia la compresion del caosdeterminista |uno de los mas intrigantes y profundos conceptos fsicos queha surgido en este siglo|: sistemas que poseen una gran sensibilidad a lascondiciones iniciales e incapacidad de prediccion a largo plazo.

En este contexto se impone introducir el concepto de estado inestable: sonaquellos en los que hay soluciones que crecen ante peque~nas perturbaciones,a consecuencia de un mecanismo intrnsecamente no lineal. Inicialmente elsistema esta en un estado de equilibrio, con una conguracion espacial deter-minada, y va cambiando su energa a medida que aumenta un parametro decontrol (por ejemplo una diferencia de temperatura, un campo magnetico o unadiferencia de potencial, etc). Llega un momento en que el sistema se vuelveinestable y la estructura que tenamos desaparece. Si la energa suministradaes compensada con la disipacion se llega a una situacion de equilibrio dinamicoen la que surge una nueva estructura. Esta estructura puede llegar a ser esta-ble aunque este alejada del equilibrio inicial. Se dice entonces que el sistema

7

ha sufrido una bifurcacion: la estructura primaria se ha vuelto inestable y seobtiene otra estructura estable con cierto grado de complejidad.

(a) (b)

(d)(c)

Figura 1.1: Imagenes de algunas estructuras que se forman en la naturaleza. (a)Morfologa densa tpica del crecimiento de una colonia de bacterias [4]; (b) Patronregular tridimensional causado por la inestabilidad no lineal que surge de un trende ondas mecanicas de supercie [5]; (c) Patron estacionario obtenido en un sistemaqumico de reaccion-difusion. La imagen muestra una mezcla de bandas y hexagonos[6]; (d) Estructura hexagonal con defectos, para una altura de 2 mm de aceite desilicona, en un sistema de Benard-Marangoni [7].

Un tipo de sistemas en los que se observa este comportamiento son los uidos. Por ejemplo, uidos sometidos a diferencias de temperatura o a rota-cion gobernados por la ecuacion de Navier-Stokes. Aunque no se conocen lassoluciones exactas de esta ecuacion para cualquier valor de los parametros, sepueden analizar mediante un analisis perturbativo |por ejemplo, resolvien-do la estabilidad lineal de la solucion trivial ~v = 0 (el estado conductivo enconveccion)| o mediante modelos no lineales en los que se procura conservarla fsica que se considera relevante.

Los sistemas hidrodinamicos constituyen ciertamente un campo en el queeste metodo es ampliamente desarrollado: conveccion en uidos puros y mix-tos, inestabilidades termocapilares, calentamiento lateral, uidos sometidos arotacion, ondas superciales no lineales en la interfase de dos uidos, cristaleslquidos sometidos a campos electromagneticos o diferencias de temperatura,


etc. Pero tambien los patrones que surgen en otros sistemas fuera de equi-librio son objeto de estudio: sistemas qumicos de reaccion-difusion, mediosgranulares, fenomenos de optica no lineal, solidicacion de dendritas, sistemasbiologicos, etc (ver g. 1.1). Un buen compendio de la variedad de forma-cion de estructuras en procesos de este tipo puede verse en la referencia [8].Lo realmente interesante de estos sistemas alejados del equilibrio tan diferen-tes, es que la dinamica puede describirse cerca del umbral de la inestabilidadmediante modelos de caracter universal, como son las ecuaciones de amplitud[9, 10].

En nuestro trabajo vamos a estudiar las estructuras que se forman en unsistema convectivo en el que una capa de uido, cuya supercie esta en contac-to con el aire, es sometida a un gradiente horizontal de temperatura. Variosmotivos han impulsado la investigacion de un sistema de este tipo. Por unlado, la mejora de la tecnica de crecimiento de cristales de semiconductores,llamada de zona otante, ha llevado a estudiar los efectos que tienen las oscila-ciones de temperatura sobre la formacion del cristal que surge en el proceso desolidicacion del material. En la medida en que sea posible el control de estasoscilaciones se puede conseguir una mejora cualitativa del cristal [11, 12]. Entrelos primeros trabajos encaminados a este objetivo se encuentran, por ejemplo,los de Schwabe et al. [13, 14]. Sin embargo, mas alla de las implicaciones detipo tecnico el sistema tiene un interes intrnseco en el estudio de formacionde patrones en sistemas disipativos fuera del equilibrio. Mientras que el sis-tema Benard-Marangoni clasico |con gradiente vertical de temperatura| hasido ampliamente estudiado desde hace un siglo, solamente en a~nos recientesse ha emprendido el estudio, tanto teorico como experimental, de este tipo desistemas. El conocimiento creciente sobre teora de bifurcaciones y la incom-prension de las causas que originan las transiciones han ocasionado duranteestos a~nos un incremento de las investigaciones experimentales y teoricas.

En la naturaleza existen numerosos fenomenos que ponen de maniesto lapresencia de un gradiente horizontal de temperatura: las corrientes oceanicas,el movimiento magmatico en el manto de la tierra, los ujos formados en laatmosfera, etc. El mecanismo de este tipo de movimiento, cuando es debido ala dependencia de la tension supercial con la temperatura, es conocido comoefecto Marangoni. La variacion de la tension supercial no solo se debe alcambio de la temperatura sino tambien a la variacion de las concentraciones.En este caso se habla de doble difusion: difusion de calor y difusion de materia[15].

En la primera parte de esta tesis se explican las principales fuerzas queactuan en el uido y los parametros que determinan su comportamiento. Sehace una extensa mencion de los trabajos anteriores que hemos consideradomas relevantes, tanto teoricos como numericos y experimentales. Seguidamentese describen las tecnicas experimentales que hemos manejado. En la parte III

9

exponemos los resultados y en la ultima parte se citan las conclusiones deltrabajo.

Captulo 2

Conveccion por calentamiento

lateral

A diferencia de lo que ocurre en una capa de uido calentada por debajo[16, 17], cuando una capa de uido con su supercie libre es sometida a unadiferencia de temperatura horizontal el uido comienza a moverse sin que exis-ta previamente un estado basico conductivo (~u 6= 0). Cuando la diferenciade temperatura se incrementa el sistema pasa por distintas situaciones fueradel equilibrio inicial, que pueden mostrar estructuras del ujo como rollos es-tacionarios, oscilaciones, ondas viajeras, caos espacio-temporal y turbulencia.En nuestro experimento se analizan unicamente las transiciones que generanondas, sin considerar situaciones muy alejadas del equilibrio. Estas formas oestructuras dependen de las fuerzas que actuan en el sistema, de las propieda-des del uido, de las condiciones termicas que afectan a la disipacion, e inclusode la geometra del contenedor. Como en este trabajo se van a obtener algunasde estas estructuras es conveniente explicar ahora las fuerzas que las originan.

2.1 Fuerzas termocapilares y termogravitato-

rias

Consideremos una capa de uido incompresible sometida a un gradiente ho-rizontal de temperatura. En la interfaz entre el uido y el aire aparece unatension interfacial que vara con la temperatura, segun la ley:

(T ) = (T0) + (T T0) (2.1)

donde T0 es una temperatura de referencia y es el coeciente de la variacionde la tension supercial con la temperatura. Habitualmente en la mayorade los materiales el coeciente es negativo, por lo que la tension supercial

11

12 CAPITULO 2. CONVECCI ON POR CALENTAMIENTO LATERAL

disminuye al aumentar la temperatura (T > T0)1.

Si la temperatura vara en la supercie lo hara tambien, de acuerdo conla ley previa. Por tanto:

@

@x=@

@T

@T

@x=

@T

@x(2.2)

Es decir, si existe un gradiente de temperatura en la supercie, en algunadireccion, se forma un gradiente de tension supercial en sentido contrario.

Esta fuerza genera un ujo supercial que lleva el uido desde el lado T+al T |ya que la zona de la supercie con mayor tension supercial tira dela zona con menor tension supercial| y en sentido contrario por el fondo,a causa de la conservacion de la masa. La variacion de la tension supercialcon la temperatura genera una fuerza horizontal responsable del movimientohorizontal en la supercie del uido. Por continuidad y conservacion de lamasa, se establece un ujo de retorno en el fondo, en sentido contrario al de lasupercie. Esto se puede ver en la gura 2.1,

Figura 2.1: Esquema del ujo basico en un sistema de calentamiento lateral.

Esta fuerza, llamada fuerza termocapilar, es una de las fuerzas desestabili-zantes presentes en este problema.

Consideremos ahora el comportamiento de la densidad del uido que, enla mayora de los materiales, sigue la ley

= 0(1 (T T0)) (2.3)

donde es el coeciente de expansion termica y 0 la densidad del uidoa la temperatura de referencia.

1Solo en algunos uidos tiene signo contrario por lo que al aumentar la temperaturatambien aumenta la tension supercial. Por ejemplo, en una solucion de agua y etanol conuna concentracion determinada de este [18].

2.2. ECUACIONES BASICAS 13

Cerca del extremo donde la temperatura aumenta (T+) la densidad del uido disminuye. Por el contrario, en el extremo donde la temperatura decrece(T < T+) las partculas sufren un aumento de la densidad.

La fuerza total, por unidad de volumen, que experimenta el uido al variarla densidad es:

~Fz = ~g 0~g = ~g0(T T0)

donde se considera que 0 es la densidad del uido circundante.Como en la direccion x la temperatura vara, el valor de esta fuerza tambien

cambia en esa direccion, de tal manera que:

@ ~F

@x= 0~g@T

@x

Por tanto, debido al empuje, en cuanto existe un gradiente @T@x6= 0 se forma

un ujo vertical que refuerza al debido a las fuerzas interfaciales (ver gura2.1).

2.2 Ecuaciones basicas

Las ecuaciones fundamentales que describen el comportamiento de un uidoincompresible son:

La ecuacion de Navier-Stokes, que establece el balance de momentos

@~u

@t+ (~u ~r)~u = 1

0~rp+

0~g + 4~u (2.4)

La ecuacion de balance de la energa

@T

@t+ (~u ~r)T = 4T (2.5)

La ecuacion de continuidad

~r ~u = 0 (2.6)

donde ~u = (ux; uy; uz) es la velocidad del uido, p es la presion, la viscosidad

cinematica, la difusividad termica, ~r el operador nabla y 4 el Laplaciano.En estas ecuaciones se ha supuesto que es valida la aproximacion de Bous-

sinesq, segun la cual las propiedades del uido permanecen constantes al variarla temperatura excepto la tension supercial y el termino de la densidad queda lugar al empuje [19].


2.2.1 Condiciones de contorno ideales

Estas ecuaciones generales estan acotadas por unas condiciones de contornocinematicas y termicas. En la supercie del uido el gradiente horizontal detemperatura ocasiona un ujo supercial de las zonas mas calientes hacia lasmas fras, y en el fondo un ujo de retorno en sentido contrario debido a lapresencia de paredes verticales. Habitualmente en los modelos de este sistemase situan las paredes verticales en el innito, el ujo es bidimensional y sebuscan soluciones en forma de onda plana, lo cual simplica enormemente loscalculos. Por comodidad se normaliza la altura de la capa de uido de talmanera que en la supercie z = 1 y en el fondo z = 0. Si suponemos que lasupercie es plana y no deformable, igualando el esfuerzo viscoso con el queprovoca la tension supercial, se cumple que en la supercie (z = 1):

@ux@z

=@

@x(2.7)

siendo la viscosidad dinamica. Para simplicar hemos considerado que solohay variacion de la componente en x de la velocidad, pero en un caso masgeneral habra que incluir el termino de la componente y, puesto que en estadireccion tambien habra cambios de la tension supercial. Sin embargo, comoaqu se buscan soluciones con simetra de traslacion en la direccion y podemosconsiderar relevante unicamente la dinamica en el eje x.

Ademas, en el fondo de la cavidad la condicion de adherencia, o de nodeslizamiento, da lugar a que all la componente en x de la velocidad seaux = 0. La supercie no deformable ocasiona que la componente en z en lasupercie sea uz = 0.

Respecto de las condiciones termicas se suelen distinguir dos situaciones ysus combinaciones.

1. Que el fondo sea conductor y su perl de temperatura no se vea afectadopor las variaciones de la temperatura del uido, y que en la supercie nohaya transferencia de calor. La temperatura en el fondo es lineal:

T (x) = T+ x

donde = T+Tlx

= Tlx

siendo lx la distancia entre las dos paredes cuyastemperaturas son T+ y T. En la supercie se cumple que:

@T

@z= 0

2. Que haya transferencia de calor en la supercie y el fondo sea adiabatico.En la supercie se cumple entonces:

@T

@z+

ah

fha(T Taire) = 0 (2.8)

2.2. ECUACIONES BASICAS 15

En esta ecuacion h es la altura de uido, Ta es la temperatura del aire ala distancia caracterstica ha de la interfaz en la que se produce la trans-ferencia termica, y a y f son, respectivamente, las conductividadestermicas del aire y del uido. El valor resultante de la fraccion ah

fhaha

sido obtenido en varios casos de una forma emprica (ver seccion 2.3).

2.2.2 Solucion del ujo basico

Consideremos una capa de uido con supercie plana e indeformable y un ujo estacionario bidimensional (uy = 0, @T

@y= 0; @~u

@t= @T

@t= 0). En una zona

sucientemente alejada de las paredes se cumple:

uzjz=1 = 0;@ux@x

= 0

A partir de la ecuacion 2.5, de balance de la energa, se obtiene:

ux@T

@x=

@2T

@x2+@2T

@z2

!(2.9)

y a partir de la ecuacion 2.4 tenemos, para la componente x:

1

0

@p

@x=

@2ux@z2

y para la componente z:

1

0

@p

@z=(T )

0(g) (2.10)

Manejando adecuadamente estas expresiones se llega a las ecuaciones delcampo de temperatura y de la velocidad (para un calculo mas detallado se pue-den ver las referencias [18] y [20]), teniendo en cuenta las siguientes condicionesde contorno:

En el fondo de la celda (z = 0) se tiene la condicion de no deslizamiento:

ux = 0

Como el ujo es de retorno, se cumple que en cualquier plano vertical:Z 1

0ux(z)dz = 0

Debido a la condicion expresada en la ecuacion 2.7, en z = 1:

@ux@z

=@

@x=@

@T

@T

@x


los perles de velocidad y temperatura vienen expresados por las ecuacio-nes:

ux = U"1

6z3 +

(12q + 1)

40z2 (2q + 1)

10z

#(2.11)

T (z) =(U)2g

"1

120z5 +

(12q + 1)

480z4 (2q + 1)

60z3#

(2.12)

donde:

q =

g

@

@TU =

g

@T

@x

Es interesante darse cuenta de que tanto el perl de la velocidad como el detemperatura solamente dependen del gradiente de temperatura en un terminomultiplicativo (U), por lo que la forma de estos perles no cambia al aumentaro disminuir la diferencia de temperatura. Esta forma s que vara, en cambio,al cambiar alguna de las propiedades del uido contenidas en la denicion deq.

2.3 Numeros adimensionales

A continuacion se explica el signicado de algunos numeros adimensionalesque son de especial relevancia para este trabajo. Estos numeros nos permitencomparar la in uencia de determinadas fuerzas o magnitudes fundamentales.Para ello es necesario saber los parametros que intervienen en el experimentoy a partir del analisis dimensional podemos averiguar cuales de estos son inde-pendientes. Una buena referencia en la que se explican con detalle cada unode estos numeros es la referencia [21].

Numero de Marangoni

Relaciona los efectos estabilizantes |disipacion termica y viscosa| con losefectos desestabilizantes de la tension supercial. Comparando los tiemposcaractersticos de ambos se obtiene el numero de Marangoni. El tiempo deestabilizacion (te) sera el debido a los tiempos termico (t ) y viscoso (t):

t = L2= t = L2= ) t2e = t t = L4

(2.13)

En esta denicion L es la altura de uido. El tiempo caracterstico de deses-tabilizacion (td) esta asociado a la tension supercial. Si a es la aceleracion de

2.3. N UMEROS ADIMENSIONALES 17

una partcula, este tiempo sera:

t2d =L

a=

L

(T T0)L=L3=

L3

(T T0)

El numero de Marangoni viene dado por la relacion:

Ma =t2et2d

=L (T T0)

=j jL2

(2.14)

siendo L la longitud caracterstica, = TT0L

un gradiente de temperatura,y = la viscosidad dinamica. En adelante utilizaremos esta manera deescribir el numero de Marangoni, con L = h y = TT0

lx, para comparar su

valor con otros resultados encontrados en los experimentos de calentamientolateral. El valor de lx es la distancia entre los lados con temperatura T+ y T.A veces, en lugar de esta expresion, puede ser conveniente escribir el numerode Marangoni de la forma siguiente:

Ma =j jl2x

(2.15)

con = @T@x

En esta denicion el parametro que se tiene en cuenta es l2x, porque el tiem-po de difusion que se considera hace referencia a la estabilizacion en la mismadireccion que actuan las fuerzas desestabilizantes, es decir en la direccion delgradiente de temperatura que es horizontal [22].

Numero de Rayleigh

Ahora se considera como efecto desestabilizante el empuje de Arqumedes. Esteempuje, para una partcula de uido de volumen ÆV cuya densidad vara en 0, es:

jÆF j = j( 0) ÆV gj = 0 ÆV g(T T0)

La aceleracion de la partcula sera:

jÆF j0 ÆV = g(T T0) =

L

t2des

Luego el tiempo caracterstico de desestabilizacion es:

t2des =L

g(T T0)(2.16)

y el numero de Rayleigh:

Ra =t2et2des

=L4=

L=g(T T0)=L3g(T T0)

(2.17)


Igualmente este numero se puede escribir de una forma mas adecuada quesera la utilizada:

Ra =gL4

(2.18)

Si se tiene en cuenta que para el empuje el gradiente vertical de temperaturacobra mucha mas importancia que el gradiente horizontal, podemos escribir elnumero de Rayleigh como:

Ra =gvh

4

(2.19)

donde v =@T@z.

Numero de Prandtl

Proporciona la relacion entre las dos fuerzas disipativas: termica y viscosa. Aspues, segun los valores de los tiempos caractersticos denidos en la ecuacion2.13 tenemos que el numero de Prandtl es:

Pr =tt

=

(2.20)

Este numero es especialmente interesante en nuestro experimento porque esel que permite distinguir los mecanismos de las inestabilidades en el uido.Cuando el numero de Prandtl es Pr << 1 entonces >> y el mecanismoprincipal de estabilizacion vendra dado por el dominio de la disipacion termicasobre la viscosa. Las perturbaciones de temperatura relajaran mas rapidamen-te que las de la velocidad, por lo que el uido seguira en movimiento despuesde que hayan decado las primeras. En cambio, cuando el numero de Prandtles Pr >> 1 tenemos que >> y las perturbaciones de velocidad relajanmas rapidamente que las de temperatura.

Numero de Bond

Normalmente, con las deniciones clasicas, el numero de Bond es la relacionentre los numeros de Rayleigh y Marangoni:

Bo =Ra

Ma= cte L2 (2.21)

Por tanto la razon entre las fuerzas gravitatorias y termocapilares varacomo L2. Si la longitud caracterstica es la altura h, para alturas de uidograndes el numero de Bond es grande, con lo que dominan las fuerzas gravi-tatorias (Ra >> Ma). Cuando la altura es peque~na el numero Bo es tambienpeque~no y dominan las fuerzas del empuje (Ma >> Ra).

2.3. N UMEROS ADIMENSIONALES 19

En algunos trabajos en vez de este numero lo que se utiliza es el inversoBo1 [20, 23] o la razon entre los numero de Rayleigh y Marangoni denidosen las expresiones 2.15 y 2.19, que dan lugar a un numero Bo directamenteproporcional a h3=lx. Con esta ultima denicion, en esos experimentos quecumplen lx ly, parece re ejarse mejor la competicion que existe entre lasfuerzas termocapilares y el empuje en ondas hidrotermales [22].

Numero de Reynolds

Una vez establecido el regimen convectivo en un uido podemos diferenciar en-tre las fuerzas de origen viscoso y las de inercia. En las primeras la aceleraciones a =

VL2

donde V es una velocidad caracterstica del uido. La aceleracion

de las fuerzas de inercia es ai =V 2

L. El numero de Reynolds es entonces:

Re =aia

=V 2=L

V =L2=LV

(2.22)

Tiene gran importancia para estimar la anchura de la capa lmite viscosaen contacto con la supercie de un solido. Esta anchura \l" depende de estenumero de la siguiente manera:

l LpRe

Cuando es peque~na, comparada con LV , el numero Re es grande y por tantola anchura de la capa lmite viscosa es peque~na.

Numero de Grashof

Es una medida de la importancia relativa de las fuerzas del empuje frente a lasviscosas. Como hemos visto anteriormente el tiempo caracterstico del empujeesta expresado en la ecuacion 2.16 y el tiempo caracterstico viscoso en la 2.13.Entonces el numero de Grashof es:

Gr =t2t2des

=g(T T0)L

3

2=gL4

2(2.23)

Numero de Biot

En una capa de uido con supercie libre hay un ujo de calor entre el uido yel aire. Esta comunmente admitido que esta transferencia de calor se aproximaa la relacion de Newton, que se expresa de la siguiente manera:

@T

@z+Bi(T Ta) = 0


donde Ta es la temperatura del aire a una distancia peque~na ha de la interfazy Bi el numero de Biot [24, 25]. Dependiendo del tipo de transferencia decalor en esta interfaz lquido-aire |conductivo y/o convectivo|, se encuentraempricamente un valor del coeciente de este intercambio termico: el numerode Biot. En una capa lmite termica de espesor ha, en el aire, y hf , en el uido,se podra suponer que el intercambio de calor es conductivo (ver gura 2.2).

Figura 2.2: Capas de uido y de aire en las que los perles de temperatura sonlineales.

Teniendo en cuenta que el calor transferido desde el uido \Qf" es igual alrecibido por el aire \Qa", a partir de la ley de Fourier tenemos que:

Qa = Qf = aTaha

= fTfhf

donde Ta = jTB TC j y Tf = jTA TBj son las diferencias de temperaturaen la capa de aire y en la de uido, respectivamente. La relacion entre estasdiferencias de temperatura es el numero de Biot, que estaba ya expresado enla ecuacion 2.8:

Bi =TfTa

=hfafha

Es decir, cuando la diferencia de temperatura en la capa de aire es muy pe-que~na respecto a Tf , el numero Bi es muy grande, y la interfaz es muyconductora. Por el contrario, cuando el numero Bi es peque~no, la superciepuede considerarse practicamente aislante. Habitualmente en experimentossimilares al desarrollado aqu el valor de Bi suele ser mucho menor que uno[26]. Sin embargo, hay otros trabajos en los que se discute la validez de estaexpresion [27, 28].

Captulo 3

Resultados anteriores

Antes de analizar el trabajo realizado, es conveniente llevar a cabo una sntesisde los trabajos anteriores en conguraciones similares. Aunque todos estandirigidos al estudio de la conveccion termocapilar debida a un calentamientolateral, las condiciones teoricas y experimentales varan en gran medida deunos a otros.

En los estudios teoricos la relacion entre la disipacion viscosa y la termica(numero de Prandtl), es un parametro cuyo valor causa comportamientos biendiferentes. En este sentido parece haber una frontera entre aquellos uidos quetienen Pr < 15 y aquellos con un Pr mayor.

En los experimentos la variedad de resultados es especialmente notable.Hay que tener en cuenta que las conguraciones de las celdas utilizadas varanapreciablemente en dimensiones y formas. Si llamamos lx a la distancia entrelas dos paredes cuyas temperaturas son T+ y T (T+ > T) |es decir, en ladireccion del gradiente de temperatura|, y a ly la distancia entre las otrasdos paredes verticales colocadas perpendicularmente a las primeras, se tienenexperimentos para todos los casos: lx ly; ly lx; lx ly. Tambien aqu,como en los trabajos teoricos, se encuentran diferencias de las soluciones segunel valor escogido del numero de Prandtl: peque~no Pr < 1, mediano 1 < Pr <15, o grande Pr 15.

3.1 Trabajos teoricos y simulaciones

Smith y Davis

Estos autores realizan el primer analisis de estabilidad lineal [29] para una capahorizontal de uido de extension innita, no sometida a las fuerzas gravitatorias(Ra = 0). Consideran dos casos: cuando el ujo es abierto y tiene un unicosentido hacia la direccion x positiva| ujo lineal|, y cuando el ujo es cerradoy el sentido es de ida y vuelta en este mismo eje | ujo de retorno| (gura

21

22 CAPITULO 3. RESULTADOS ANTERIORES

T+ T-

k1

ky

1

ky

2

kx

2

kx

1

k2

x

y

∆

T ψ

Figura 3.1: Componentes de los vectores de onda ~k1 y ~k2.

3.2).El ujo lineal conduce el uido desde el extremo cuya temperatura es T+

hacia aquel con temperatura T. Es decir, en sentido contrario al gradientede temperatura. Este ujo es una solucion del estado basico determinadopor las ecuaciones de Navier-Stokes (2.4), de balance de la energa (2.5) yde la continuidad (2.6). Los campos de velocidad y de temperatura que seencuentran en este caso son los siguientes:

~u = (ux; uy; uz) = (z; 0; 0)

T = x + 1

6Ma(1 z3)

Las coordenadas x; y; z escritas aqu y en todo nuestro experimento corres-ponden a las denidas en la gura 2.1.

Cuando el fondo del contenedor no es conductor y la supercie no es defor-mable, se encuentran las siguientes soluciones (colocando las paredes verticalesen el innito):

* Pr < 0:6: Un par de ondas viajeras hidrotermales simetricas (~k1 y ~k2),

formando angulos con el gradiente de temperatura ( ~kx1 = ~kx2 ;~ky1 =

~ky2) (gura 3.1). Cuando el numero de Pr tiende a cero el angulo tiendea 90Æ.

* 0:6 < Pr < 1:6: Un par de ondas viajeras hidrotermales propagandoseen la misma direccion que el ujo supercial (contrario al gradiente detemperatura, = 180Æ).

* Pr > 1:6: Rollos estacionarios longitudinales, es decir, con su eje paraleloal gradiente.

3.1. TRABAJOS TE ORICOS Y SIMULACIONES 23

xx

T+ T-

xxxx

T+ T-

z

z

z

z

x x

x x

ux ux

T(z) T(z)

(a) (b)

(a.1)

(a.2)

(a.3)

(b.1)

(b.2)

(b.3)

Figura 3.2: (a): Esquema basico del ujo lineal (a.1), campo de velocidad (a.2)y campo de temperatura (a.3); (b): Esquema del ujo de retorno (b.1), campo develocidad (b.2) y campo de temperatura (b.3).


T+ T- T-T+T+ T-

ψk

T

Figura 3.3: Propagacion de las ondas hidrotermales para numeros Pr peque~nos(izquierda), grandes (derecha) y medianos (centro). El angulo se~nala el angulocomprendido entre el vector de onda y el gradiente de temperatura.

Las ondas que estos autores llaman aqu hidrotermales reciben su nombreporque tienen un origen termico distinto del mecanico que origina las ondasde supercie.

El ujo de retorno lleva el uido desde el lado caliente al fro por la superciey del lado fro al caliente por el fondo, conservandose la masa en cualquier planovertical. Las ecuaciones de la temperatura y la velocidad son las siguientes(gura 3.2):

~ux =3

4z2 1

2z; uy = uz = 0 (3.1)

T = x +Ma1

16(1 z4) 1

12(1 z3)

Para todo numero de Prandtl aparecen dos ondas hidrotermales cuyo vector

de onda forma angulos con el gradiente. El angulo vara de la forma:

* Pr! 0 entonces ! 90Æ

* Pr!1 entonces ! 8Æ (ver gura 3.3).

Estas soluciones surgen cuando el numero de Marangoni supera cierto valorque es funcion del numero Pr. En particular, para el ujo de retorno y unnumero de Prandtl intermedio |Pr ' 10| tenemos que Ma ' 300. Tambiense deduce que los valores del numero de onda y del angulo de propagacion de las ondas dependen del numero de Prandtl.

En un trabajo posterior Smith [30] da una posible explicacion fenomeno-logica de los mecanismos de aparicion de las ondas. Como el ujo de retornose adecua mas a la realidad del experimento, consideramos este tipo de ujoen esta explicacion. Esta no pretende ser cuantitativa sino que indica lo quepuede ocurrir para que se establezcan las ondas, sin descartar otras posiblescausas.

Segun el valor del numero de Prandtl sea grande o peque~no se dan dosmecanismos diferentes:


Mecanismo para numeros Pr peque~nos.

Cuando el numero de Prandtl es peque~no las fuerzas de inercia dominansobre las fuerzas viscosas, pues la viscosidad es peque~na comparada con ladifusividad termica. Puede verse un esquema graco de este mecanismoen la gura 3.4. En el dibujo (a) de este diagrama las echas indican lavelocidad del ujo basico que es simetrico en la direccion y. Las lneascontinuas representan el ujo supercial y las discontinuas el de retorno.

Supongamos que la perturbacion original del estado basico sea una lneacaliente paralela a la direccion x (gura 3.4 (b)). Debido a la variacion dela tension supercial con la temperatura, la lnea caliente esta sometidaa una tension menor que en los alrededores, lo cual genera una fuerza queinduce un ujo supercial, perpendicular a la lnea caliente y hacia fue-ra. Como ha de conservarse la masa, este ujo ocasiona otro ascendentejusto debajo de la lnea, desde el interior del volumen del uido (gura3.4 (b)). Este ujo ascendente arrastra uido mas fro y con una veloci-dad horizontal en la direccion x mas peque~na que la de la supercie, yaque el campo de temperatura del estado basico y la velocidad tienen unvalor menor debajo de la supercie. Visto en el sistema de referencia del uido, se forma entonces un ujo contrario al ujo basico. Y visto desdeun sistema de referencia situado en el exterior del uido el ujo se frena(g. 3.4 (c)). El enfriamiento, provocado por el ujo ascendente, reducela temperatura de la lnea y consigue enseguida que esta sea eliminada.Sin embargo, como el numero de Prandtl es peque~no, las fuerzas viscosasson tambien peque~nas y no pueden frenar el ujo contrario al ujo basicoen la supercie. Al seguir subiendo uido desde debajo continua enfrian-dose la lnea haciendo que se sobrepase la temperatura de equilibrio yse forme una lnea fra. Ahora esta lnea fra origina un ujo supercialhacia ella, como consecuencia de la termocapilaridad, pues la tension dela lnea fra es mayor que la del entorno. Como resultado de la conser-vacion de la masa tiene lugar un ujo descendente (gura 3.4 (d)), demanera inversa a lo que pasa con la lnea caliente. Debido a la tensionsupercial el ujo es acelerado en la direccion del ujo basico (hacia lapared fra). Rapidamente el ujo contrario es eliminado y se consigue unmnimo del campo de temperatura. A partir de aqu, la lnea comienza acalentarse, queda eliminada la fra y, debido a la inercia, otra vez se so-brepasa el punto de equilibrio de temperatura, formandose otra vez unalnea caliente (gura 3.4 (e)). Si el gradiente de temperatura impuestoes lo sucientemente grande las perdidas de energa por conduccion sonmenores que la energa que llega a la lnea caliente por conveccion en ladireccion del ujo. As, la siguiente lnea tendra una temperatura mayorque la anterior y el proceso sera amplicado. Los efectos de la inercia


T+

T-x

a)

b) c)

e)d)

f)

y

Figura 3.4: Mecanismo de inestabilidad para numero Pr ! 0.


facilitan el acoplamiento entre el ujo de base y el ujo vertical, de talmanera que se puede extraer energa del campo horizontal de tempera-tura del estado basico y la perturbacion progresa. Por tanto, sobrevivela inestabilidad que viaja en la direccion perpendicular al ujo de base,y se tienen las ondas hidrotermales. El vector de onda forma 90Æ conla direccion del gradiente (gura 3.4 (f)). Evidentemente, unas fuerzasviscosas lo sucientemente grandes (Pr grande) haran que este procesono fuera posible, pues reduciran la inercia del uido al disipar la energa,quedando as amortiguadas rapidamente las perturbaciones de velocidaden cuanto las fuerzas que las generan desparecezcan.

Mecanismo para numeros Pr grandes.

Los efectos viscosos son ahora los que dominan en el ujo frente a lasfuerzas de inercia. Si consideramos primero una lnea caliente en la direc-cion x, las fuerzas termocapilares y la continuidad haran que ascendiera uido mas fro pero, debido a la ausencia de fuerzas de inercia la per-turbacion de la velocidad se amortigua rapidamente y la temperaturase hace homogenea. Por tanto, la lnea se enfriara y desaparecera, eli-minandose la perturbacion. Es decir, las fuerzas viscosas impiden queel movimiento de inercia continue una vez que desaparece la lnea, y laperturbacion no progresa. Por eso, cuando surge una inestabilidad enforma de lnea mas caliente, se enfra, desaparece, y no se llega a formaruna lnea fra al no sobrepasarse el equilibrio de temperatura.

En cambio, si consideramos una lnea caliente en la direccion perpendicu-lar (direccion y), la situacion es distinta (gura 3.5 a y b). La termocapi-laridad y la conservacion de la masa causan que el ujo ascendente enfrela lnea, de la manera que ya se explico en el apartado anterior. Debido ala continuidad de la masa, a la vez que sube uido enfriando la lnea, ba-ja uido desde la supercie con una temperatura mayor que la que tieneel uido en el interior, pues la temperatura del estado basico disminuyecon la profundidad. Este mecanismo de calentamiento del volumen del uido a traves de la conveccion vertical constituye la forma en la que seextrae energa desde el estado basico de la temperatura hacia la pertur-bacion. De esta manera, se formaran zonas calientes en el interior del uido, justo debajo de la supercie fra (gura 3.5 (c)). Sin embargo, lasperturbaciones de temperatura del ujo descendente interaccionan conel campo de velocidades del ujo de base, que trae uido hacia la paredfra, y esto origina que las regiones calientes se desplacen hacia la derechay mas abajo (vease la gura 3.5 (d)). Es decir, la posicion de la zonacaliente depende de un equilibrio entre el enfriamiento por la convecciondel ujo basico, el calentamiento por el ujo vertical descendente y laconduccion en la capa de uido. La posicion nal de esa zona es a media


T+

T-x

T+

T+

a)

b) c)

e)d)

y

Figura 3.5: Mecanismo de inestabilidad para numero Pr ! 1. La circunferenciaque contiene T+ indica las zonas calientes del interior del uido.


profundidad de la capa.

Cuando el numero de Marangoni es lo sucientemente grande el ujovertical descendente extrae la energa necesaria del campo vertical detemperatura del estado basico, causando que la temperatura de la regioncaliente del interior sea muy elevada. Entonces, al haber tanta diferenciade temperatura entre esta region del interior y la supercie, se calientapor conduccion el uido situado en la supercie (gura 3.5 (d)). La lneacaliente anterior decrece su temperatura, debido al ujo ascendente de uido fro, y la nueva lnea aparece a la izquierda de la primera comoconsecuencia del calentamiento conductivo (gura 3.5 (e)). Los efectosviscosos hacen que el ujo ascendente se situe justo debajo del maximode temperatura y el proceso se repite propagandose la inestabilidad en ladireccion contraria al ujo de base en la supercie. La clave del mecanis-mo esta en la zona caliente en el interior, pues es la que provoca que lainestabilidad se propague a la supercie al calentar esta por conduccion.Debido a esta zona caliente interna la amplitud de la temperatura esmaxima cerca del fondo. La energa se extrae del campo basico verticalde temperatura a traves de la conveccion vertical. Las ondas resultan-tes se propagan con su vector de onda casi alineado con el gradiente detemperatura.

Mecanismo para numeros Pr intermedios.

En este caso el mecanismo que origina las ondas sera una combinacionde los dos anteriores y estas se propagaran en una direccion contrariaal ujo basico en la supercie (direccion del eje x), formando ciertoangulo con el gradiente. Han de tenerse en cuenta las fuerzas viscosas ylas de inercia, pues actuan las dos inestabilidades antes explicadas.

Unos a~nos despues Smith [31] lleva a cabo un analisis de estabilidad de-bilmente no lineal utilizando el metodo de escalas multiples. Las ecuacionesque encuentra son una version generalizada del modelo de Ginzburg-Landau[32]. Deduce que, para la mayora de los valores del numero de Prandtl y delnumero de Biot, solo es estable una de las dos ondas oblicuas. Para los valoresPr = 0:001 o Pr = 0:01 y Bi = 1 ambas ondas son estables.

En los resultados que siguen de otros autores se consideran las solucionespara el ujo de retorno, que es mas cercano a las condiciones experimentales.

Laure y Roux

Estudian la estabilidad lineal de un ujo de retorno con una longitud innitaen la direccion x, cuando los lmites superior e inferior de la capa de uido sono bien conductores, o bien aislantes [33]. Se tienen en cuenta ambas fuerzas:


interfaciales (Ma 6= 0) y empuje (Ra 6= 0). El rango del numero de Prandtlconsiderado va desde Pr = 0.001 hasta Pr = 1. Obtienen modos oscilato-rios bidimensionales cuyo origen es principalmente termico. Tras realizar unanalisis debilmente no lineal observan que la evolucion de las perturbacionescorresponde a ondas viajeras propagandose en sentido contrario al gradientede temperatura (del lado T+ al T).

Parmentier et al.

Mediante una formulacion matematica en tres dimensiones estos autores deter-minan las ecuaciones linealizadas de la perturbacion inducida por un gradientehorizontal de temperatura [34]. Como el trabajo anterior, tienen en cuenta elacoplo entre las inestabilidades termocapilares y las que provienen del empu-je, pero amplian el rango de uidos con numeros de Prandtl entre 102 y 10.Consideran fondo y supercie adiabaticos. Para el caso Ra = 0 y Ma 6= 0recuperan los resultados de Smith y Davis [29], y para Ra 6= 0 y Ma = 0los de Laure y Roux [33]. Cuando Ra 6= 0 y Ma 6= 0 no encuentran modosestacionarios sino unicamente ondas viajeras, que para uidos con numero Printermedio forman un angulo algo mayor que el de Smith y Davis = 33Æ. Lasperturbaciones en forma de onda propagandose con un angulo = 0Æ aparecencuando las fuerzas del empuje son dominantes, mientras que en condiciones demicrogravedad y con peque~no numero Pr las ondas se propagan con un angu-lo 90Æ. El comportamiento es dependiente de los valores del numero dePrandtl.

Mercier y Normand

Buscan un modelo que explique los resultados experimentales hallados porDaviaud y Vince [23] para un uido con Pr = 7 [20]. En particular, quierenencontrar la transicion que se observa de ondas viajeras a rollos estacionariosal aumentar la altura de uido. Para ello introducen un numero de Biot |condicion termica en la supercie del uido| y encuentran que la relacionentre las fuerzas termocapilares y gravitatorias, Bo1 = Ma

Ra, es funcion de este

numero Bi. Como condicion termica aislante en el fondo de la celda imponenuna temperatura que vara linealmente a lo largo del eje x.

El analisis de la estabilidad lineal proporciona diferentes perles verticalesde temperatura (gura 3.6) que varan de acuerdo con los valores del parametro = Bi

1+Bi. La forma del perl de la temperatura muestra una dependencia con

el valor del numero Bi de la siguiente manera:

T (z) =Ra

48z1

20

8z4 25z3 + 20z2 3

Ma

Ra

3z3 4z2 +


Las inestabilidades que se obtienen, producidas al desestabilizarse el ujobasico, se explican a continuacion.

Cuando el numero Bi es grande y el empuje dominante se tienen modosestacionarios en forma de rollos longitudinales. Cuando el numero Bi es pe-que~no y las fuerzas termocapilares son las que dominan, entonces los modosson oscilatorios en forma de ondas oblicuas. Para el regimen estudiado en elque las fuerzas termocapilares dominan sobre las gravitatorias (Bo1 = 8) yel numero de Biot es Bi = 1, el angulo de propagacion encontrado para lasondas es = 47Æ.

Para Bi > 7 se distinguen dos tipos de oscilaciones viajeras, segun la re-lacion entre los numeros Bi y Bo1, y los valores crticos adimensionales delnumero de onda (j~kj), la frecuencia (w) y angulo de propagacion ( ). Justopor encima de la transicion entre los modos estacionarios hacia los oscilatoriosaparecen los modos oscilatorios de tipo II, no observados experimentalmente,para los que los valores del numero de onda, frecuencia y angulo, respectiva-mente, al variar Bo1, son: 5:5 < j~kj < 8; 100 < w < 200; 160Æ 180Æ.La oscilacion de tipo I tiene un numero de onda y una frecuencia menores,3 < j~kj < 5:5, w < 100 y un angulo < 80Æ. Las caractersticas y el anguloencontrados para la onda de tipo I estan en buen acuerdo con los de Smith yDavis [29] y Parmentier et al. [34].

Figura 3.6: Analisis de Mercier y Normand [20]. Izquierda: Perles verticales detemperatura para distintos valores de = Bi

1+Bi . Derecha: Transicion entre losmodos estacionarios y oscilatorios (lnea continua) y entre los dos tipos de modososcilatorios (lnea discontinua), segun la relacion entre W = Bo1 y Bi.

En la tabla 3.1 se ofrece un resumen de los principales resultados teoricosque se acaban de explicar. Una agrupacion de estos trabajos tambien puedeleerse en la referencia [35].


Fuerzas Tipo de analisis Cond. de contorno Pr

SD Interfaciales Lineal Fondo aislante 0 1

S Interfaciales Debilmente no lineal Fondo aislante 0 1

LREmpuje e Lineal y Fondo y supercie

0.001 1interfaciales debilmente no lineal conductores y/o aislantes

PEmpuje e

LinealFondo y supercie

0.01 10interfaciales aislantes

MNEmpuje e

LinealFondo y supercie

7interfaciales aislantes

Inestabilidades obtenidas

SDFlujo lineal: 2 ondas oblicuas. Rollos estacionarios longitudinales

Flujo de retorno: 2 ondas viajeras oblicuas ( )S En la mayora de los casos solamente es estable una onda oblicua

LRModos oscilatorios 2D y 3D

Ondas viajeras en la direccion del gradiente de temperaturaP Solo ondas viajeras oblicuas

MNSi Bi grande y empuje dominante: Rollos longitudinales estacionarios

Si Bi peque~no y fuerzas interfaciales dominantes: Ondas oblicuas viajeras

Tabla 3.1: Resumen de los principales resultados teoricos. SD: Smith y Davis [29];S: Smith [31]; LR: Laure y Roux [33]; P: Parmentier et al. [34]; MN: Mercier yNormand [20].


Simulaciones de la desestabilizacion del ujo basico

Se agrupan en este apartado los estudios numericos dirigidos a tratar la deses-tabilizacion del ujo bidimensional en tridimensional y los posibles mecanismosdependientes del valor del numero de Marangoni. Los resultados de algunosestudios numericos [36, 37, 38] ponen de maniesto tambien la extremada sen-sibilidad del ujo termocapilar al valor del numero Pr.

Utilizando un numero Pr = 6.78, Peltier y Biringen [39] encuentran unapulsacion del ujo basico para un valor crtico del numero de Marangoni que esfuncion de la relacion de aspecto x = lx=h. Hallan un valor mnimo x = 2.3a partir del cual el ujo es ocilatorio (gura 3.7). Es decir, para que se puedanobservar inestabilidades oscilatorias la distancia lx tiene que ser como mnimo2.3 veces la altura del uido. Los autores van algo mas lejos al explicar elmecanismo que origina la aparicion de la pulsacion: la interaccion de un dedofro de uido, que surge en el lado caliente, con un rollo central mas grande.Este dedo fro hace que el rollo central se retraiga y se forme otro rollo mascerca de la pared fra. Despues el dedo va desapareciendo y el rollo centralvuelve a ocupar toda la celda. El proceso se repite y da lugar a oscilaciones.

Aunque el mecanismo de esta oscilacion se basa en la presencia de capaslmites termicas cerca de las paredes, los autores no llegan a investigar situa-ciones en las que h lx (por tanto x grande), que son los casos para los quese obtienen ondas hidrotermales.

En otro trabajo, Priede y Gerbeth [40], tambien muestran que el umbral delas ondas esta frecuentemente in uido por las condiciones de contorno (fondoy supercie conductores o aislantes).

Por ultimo, como veremos mas adelante, la simulacion llevada a cabo porXu y Zebib [41] proporciona unos resultados bastante similares a los que ob-tenemos en nuestro experimento. Cuando el numero de Prandtl es Pr = 6.78obtienen la misma dependencia entre x y Ma que la mostrada en la gura3.7, pero cuando Pr < 6:78 obtienen unas curvas equivalentes en las que losvalores mnimos de Ma y x son mayores que en el caso anterior: la mnimarelacion de aspecto x para obtener modos oscilatorios es mayor que 2.3 aldisminuir el Pr. Para los valores de los parametros x = 20 y Pr = 10 semuestra que las ondas viajeras son generadas cerca del centro de la celda yviajan hacia el lado caliente. Al incrementar la diferencia de temperatura |ypor tanto el numero Ma| las ondas van ocupando toda la celda hasta que lallenan completamente. En el umbral de aparicion de las ondas, en el centrode la celda, la variacion de la temperatura es lineal (gradiente de temperaturaconstante) y el numero crtico Ma = 283 es semejante al calculado por Smithy Davis [29]. Ademas, se observa que para x = 3 y Pr = 4:4 el connamientode la cavidad desplaza el umbral de las ondas debido probablemente a efectostridimensionales (gura 3.8).


Figura 3.7: Peltier y Biringen [39]. Valores del numero de Marangoni, en el umbralde los modos oscilatorios, para una relacion de aspecto variable (Ar = x). Losvalores numericos sobre cada curva representan incrementos de cinco en cinco de laamplitud de las uctuaciones.

3.2 Trabajos experimentales

Hasta ahora la mayora de los trabajos experimentales se han encaminado a ladeterminacion del diagrama de estabilidad y al estudio de posibles mecanismosque ocasionan la aparicion de modos estacionarios y oscilatorios. Los parame-tros que in uyen en la seleccion de las estructuras son numerosos: numero dePrandtl, diferencia de temperatura entre los extremos de la celda, condicionestermicas en el fondo y en la supercie, relaciones de aspecto. As, la variedadde experimentos que tienen en cuenta alguno de estos parametros es elevada.

Sin embargo, debido a las dicultades experimentales, no todos los casosposibles han sido abordados de manera sistematica. Por ejemplo, existe di-cultad para tratar con uidos con Pr < 1 (metales lquidos), pues no sontransparentes y ademas pueden aparecer campos electromagneticos al moverseel uido. A pesar de eso en algunos experimentos han sido utilizados este tipode uidos [42], recogiendose oscilaciones de temperatura en la supercie.

En lo que respecta a la in uencia de la geometra de la celda, hasta ahorano se ha hecho un estudio sistematico para averiguar esta in uencia.

Se seleccionan seguidamente los que entre esta variedad reunen resultadosmas relevantes.

Schwabe et al.

En este experimento se utilizan celdas con geometra anular y rectangular, conun uido cuyo numero de Prandtl es 17 [14]. La altura de la capa de uido es

3.2. TRABAJOS EXPERIMENTALES 35

Figura 3.8: Xu y Zebib [41]. Dependencia del numero de Reynolds (Re = MaPr )

con la relacion de aspecto en el eje y. El parametro Ay de la gura es lo que aqullamamos y.

variable con valores en torno a 1.4 mm, por lo que los efectos del empuje frentea los termocapilares son peque~nos. Tanto para fondo conductor como aislante,observan una transicion, al aumentar la diferencia de temperatura horizontal,desde un rollo estacionario hacia una estructura dependiente del tiempo |ondas viajeras| pasando por un estado multicelular de rollos estacionarioscorrotativos.

En el caso de las ondas viajeras en la conguracion anular (fondo con-ductor), es especialmente interesante la obtencion de dos inestabilidades convalores muy diferentes del numero de onda, frecuencia y angulo de propaga-cion. Para una altura de uido h < 1:4 mm la inestabilidad encontrada tieneuna longitud de onda corta y una frecuencia peque~na (Short Wavelength Ins-

tability, SWI), y la direccion de propagacion es azimutal. En cambio, parah > 1:4 mm la longitud de onda es grande, la frecuencia es cuatro veces la dela inestabilidad SWI, y la direccion de propagacion es radial, y tambien azi-mutal cuando aumenta la diferencia de temperatura mas alla del umbral (LongWavelength Instability, LWI). A partir de estos valores identican la inestabili-dad SWI como la encontrada por Smith y Davis [29]: las ondas hidrotermales.Sin embargo, los valores del numero de Marangoni en el umbral son muy su-periores a los hallados por Smith y Davis, y el angulo de propagacion = 90Æ

es claramente mayor que el teorico, segun Smith y Davis (para Pr = 17 sera 15Æ).


Villers y Platten

Para una celda rectangular de dimensiones lx= 30 mm y ly= 10 mm, y acetona(Pr = 4.4), obtienen una transicion de conveccion estacionaria unicelular amulticelular y despues a una oscilatoria, aunque no viajera [43]. Se observaque la transicion depende de los valores de la altura de uido y de la diferenciade temperatura T = T+ T. El estado multicelular esta formado porrollos corrotativos (giran segun la direccion del uido que sube por el lado mascaliente y baja por el mas fro), que surgen de la desestabilizacion del ujoprimario y su numero se modica al variar la relacion de aspecto (cuando secambia la altura de uido). Basicamente, el trabajo se centra en la obtenciondel perl de velocidad mediante Velocimetra Laser Doppler.

Probablemente, la imposibilidad de observar ondas viajeras se deba al con-namiento provocado por las paredes laterales, aunque no se determina cual esexactamente esta in uencia. Cuando el parametro aumenta (altura h), apareceuna segunda inestabilidad que evoluciona hacia una estructura compleja de-pendiente del tiempo. En algunas simulaciones con relacion de aspecto grandesobservan unos rollos viajeros. La discrepancia entre el comportamiento obte-nido entre cavidades de gran longitud y aquellas mas estrechas es mas acusadacuando el uido tiene un numero de Prandtl mas peque~no.

Ezersky et al.

Este grupo ha llevado a cabo dos experimentos: uno con una conguracionanular [44] y otro con una celda rectangular [45]. Las dimensiones de estaultima son lx = 70 mm y ly = 50 mm y los uidos en ambos casos tienen unnumero Pr entre 30 y 50.

En el primer caso, para h < 0:3 cm se detectan dos bifurcaciones: prime-ro una en la que un unico rollo toroidal, que aparece nada mas imponer unadiferencia de temperatura, evoluciona hacia varios rollos estacionarios concen-tricos que aparecen cerca de la zona donde el uido tiene mayor temperatura,de manera similar a los rollos corrotativos que obtienen Villers y Platten. Lasegunda bifurcacion tiene lugar cuando los rollos desaparecen y surgen ondastermocapilares, tambien concentricas, propagandose desde el centro hacia elexterior, en direccion radial. Si la altura es h > 0:3 cm no se observan ro-llos concentricos, y la transicion tiene lugar entonces directamente entre elrollo toroidal y las ondas que viajan en la direccion contraria al gradiente detemperatura (desde el centro hacia el exterior).

La cavidad rectangular del segundo experimento ha sido provista en unasocasiones de un fondo y paredes conductores y en otras de un fondo y paredesaislantes. La diferencia en los resultados para cada caso es la curvatura delfrente de onda, que en un caso es concava y en otro convexa, aunque en ambos


casos las ondas se propagan en la direccion contraria al gradiente de tempe-ratura ( = 180Æ). Aunque estas ondas son de origen termico el mecanismode inestabilidad que las causa parece ser distinto del descrito por Smith y Da-vis. Segun otro trabajo realizado algo despues por Garcimartn et al. [46] estetipo de ondas pueden provenir de una inestabilidad de la capa lmite termicavertical del lado caliente. Efectivamente, a partir de estos resultados se podrapensar en un tipo de inestabilidad diferente, cuando los uidos tienen numerosde Prandtl elevados, de aquella que aparece cuando el numero Pr es peque~no.

De Saedeleer et al.

Un experimento en el que se consideran varias ditancias (lx = 30, lx = 50,lx = 74) es el llevado a cabo por De Saedeleer et al. [47] con decano (Pr = 15).En este trabajo se pretende averiguar hasta que punto la teora que consideracapas de uido de longitud innita es valida para valores de lx nitos. En else determina el campo de velocidades y se obtienen unos rollos estacionariosque surgen cerca de la pared caliente con su eje perpendicular al gradiente detemperatura.

A medida que aumenta el gradiente de temperatura los rollos van ocu-pando una zona mas grande de la celda y crece su amplitud cerca del ladocaliente. Como en otros trabajos aqu tambien se pone enfasis en la in uenciadel connamiento de la celda, en particular al encontrar rollos estacionariostransversales no predichos por la teora de estabilidad de una capa innita.Sin embargo, no se determina como afecta cuantitativamente a la aparicion oretraso de las inestabilidades.

Daviaud y Vince

La longitud de este contenedor, rectangular y cerrado, es muy corta en ladireccion x comparada con la distancia en el eje y: lx = 10 mm y ly = 200mm [23]. Para una altura h < 2:8 mm se observan ondas propagandose endireccion aproximadamente perpendicular al gradiente ( ' 80Æ). Para h >2:8 mm se obtienen rollos estacionarios con su eje paralelo al gradiente detemperatura. Justo en la transicion h = 2:8 mm, la relacion entre el numerode Marangoni y el de Rayleigh es W = Ma

Ra= cte h2 = 1. Por tanto, cuando

las fuerzas del empuje dominan W 1 se tienen modos estacionarios. Alcontrario, cuando W 1 (dominan las fuerzas interfaciales), se tienen ondasviajeras. En la gura 3.9 se muestra el umbral de las ondas y de los modosestacionarios para una altura de uido variable. La diferencia con la mayorade los estudios teoricos, en los que Ra = 0, es que en estos no se encuentranmodos estacionarios (ver por ejemplo [29]). Sin embargo, como ya se ha dicho,otros autores [20] que llevan a cabo un analisis de estabilidad lineal, teniendo


Altura (mm)

Dif

eren

cia

de te

mpe

ratu

ra (

ºC)

Figura 3.9: Crculos: Umbrales de las ondas hidrotermales encontrados por Daviaudy Vince [23] para lx = 10 mm y ly = 200 mm. Rombos: Umbrales para estas ondascuando lx = 30 mm y ly = 250 mm encontrados por Burguete et al. [22]. TW :ondas viajeras (Travelling Waves); SR: rollos estacionarios (Stationary Rolls).

en cuenta el valor de Ra, muestran que el numero de Biot y la relacion entrelos numeros Ma y Ra in uyen en la seleccion de la estructura, que en algunoscasos es estacionaria.

El numero de Marangoni en el umbral es muy superior al deducido ana-lticamente, lo cual puede deberse a la cercana tan grande entre las paredescaliente y fra (lx = 10 mm). Los resultados para y j~kj parecen encajar masbien con los encontrados por Smith y Davis cuando el ujo es lineal y no deretorno.

Burguete et al.

Con un uido que tiene numero Pr = 10 [22] estudian las inestabilidades via-jeras y estacionarias que surgen en tres contenedores con geometras diferentes:lx= 10, 20 y 30 mm, ly = 250 mm, y ven su buen acuerdo con los resultadosde Smith y Davis [29] y Mercier y Normand [20]. Uno de los resultados masrelevantes es el hallazgo del mismo comportamiento de las caractersticas delas ondas (Tumbral; j~kj; !) cuando se considera la razon h3=lx como parametro


del sistema. Esta eleccion proviene de que cuando la altura de uido h es muypeque~na dominan las fuerzas interfaciales y entonces la diferencia de tempe-ratura efectiva en la capa de uido es la diferencia de temperatura horizontal.En cambio, para alturas grandes el empuje tiene gran in uencia en la dinamicay ha de escogerse la diferencia de temperatura vertical en la capa de uido.De esta manera queda mas clara la competicion entre las fuerzas de superciey el empuje.

Estos autores tambien observan que el origen de las ondas para alturas de uido peque~nas es una fuente puntual, mientras que para grandes alturas lafuente es lineal [22] (ambas en la vecindad de la pared con menor temperatura).

Riley y Neitzel

La caracterizacion de las inestabilidades estacionarias y oscilatorias en estecaso va dirigida a la supresion de las ondas hidrotermales para mejorar la ca-lidad en la tecnica de crecimiento de cristales [48]. Los autores estudian elcomportamiento de un uido con Pr = 13:9 introducido en un contenedor conrelaciones de aspecto variables 12 < x < 40 y 20 < y < 67. Para grandesrelaciones de aspecto se minimizan los efectos de las paredes verticales. Ob-tienen ondas hidrotermales propagandose oblicuamente que provienen de unadesestabilizacion del ujo basico. A diferencia de otros autores, aseguran quelas oscilaciones de temperatura que provienen de una desestabilizacion de un ujo estacionario multicelular |y no de uno unicelular| no son ondas hidro-termales, ya que esta transicion ocurre para numeros de Rayleigh demasiadoelevados, y as el empuje jugara un papel principal en la desestabilizacion.Solamente las ondas oblicuas observadas a partir de la bifurcacion del ujobasico unicelular seran ondas hidrotermales.

Para mayor claridad se muestran en la tabla 3.2 las geometras de los prin-cipales experimentos explicados en este captulo y en la tabla 3.3 los angulosde propagacion de las ondas.


EXPERIMENTO GEOMETRIA lx (mm) ly (mm) PrVillers y Platten rectangular 30 10 4.4Braunsfurth y Homsy rectangular 10.61 10.18 4.44Gillon y Homsy rectangular 10 38 8.4Mukolobwiez et al. anular 10 500 10Favre y Blumenfeld anular 35 10 10Daviaud y Vince rectangular 10 200 10Burguete et al. rectangular 10, 20, 30 250 10Riley y Neitzel rectangular 30 30 13.9De Saedeleer et al. rectangular 74 10 15Garcimartn et al. rectangular 100 10 10,15,30Schwabe et al. anular 57 305 17Kamotani et al. [49] anular 2-15 6-47 27Ezersky et al. anular 40 188 30-50Ezersky et al. rectangular 70 50 30-50

Tabla 3.2: Dimensiones de los principales experimentos ordenados segun el valordel numero Pr. Para la geometra anular: ly = (R0 +Ri), lx = (R0 Ri), siendoR0 y Ri los radios externo e interno.

TEORICOS Pr Angulo Smith y Davis 10 20Æ

Parmentier et al. 7 33Æ

Mercier y Normand 7 47Æ

EXPERIMENTALES Pr Angulo Garcimartn et al. 10,15,30 0Æ

Ezersky et al. 30-50 0Æ

Ezersky et al. 30-50 0Æ

Schwabe et al. 17 90Æ

Riley y Neitzel 13.9 23Æ

Burguete et al. 10 30ÆDaviaud y Vince 10 80Æ

Tabla 3.3: Algunos valores de los angulos obtenidos en trabajos teoricos y experi-mentales.

Captulo 4

Objetivos y problemas tratados

A partir de los analisis de estabilidad y de los experimentos ya realizados puedeobservarse que existe un comportamiento cualitativamente distinto entre los uidos que tienen un Pr grande (Pr > 15) y aquellos con Pr peque~no (Pr <1). Esto nos lleva a pensar que para uidos con Pr intermedio podra darseuna combinacion de los mecanismos que gobiernan ambos comportamientos.Utilizaremos, pues, uidos cuyo Pr tenga estos valores intermedios (1 < Pr <15).

Como las fuerzas interfaciales juegan un papel principal en el origen de lasondas, la relacion que se busca entre el numero de Marangoni y de Rayleigh esMa Ra, y la altura de uido escogida debe ser peque~na. La mayora de lostrabajos que se han mencionado, y el nuestro tambien, se centran por tantoen los casos en que 0 mm< h < 3:5 mm puesto que con estas condiciones lasfuerzas termocapilares dominan al empuje.

Ya que el origen de las ondas es termico, un primer paso para averiguarel mecanismo de inestabilidad es obtener el comportamiento del campo detemperatura. En particular, es interesante conocer como surge la oscilacion detemperatura, donde aparece la maxima amplitud, como se propaga y si es unfenomeno localizado o se extiende a toda la capa de uido. Un aspecto queha ser aclarado es si las ondas afectan solamente a la supercie o a todo elvolumen del uido.

Habitualmente, en los trabajos analticos y numericos se considera unadistancia innita entre las paredes verticales de la celda, lo que lleva a un de-sacuerdo con los resultados de los experimentos en los que logicamente se notala presencia de estas paredes. El gradiente no es constante cerca de ellas puestoque, debido a la existencia de capas lmite, la temperatura cambia all abrupta-mente. Los resultados analticos con ujo de retorno proporcionan unos valoresde la frecuencia (!), del numero de onda (j~kj) y del angulo de propagacion ( )dependientes del numero de Prandtl para una capa de uido de longitud in-nita y T variable. Ademas, experimentalmente se encuentran discrepancias

41

42 CAPITULO 4. OBJETIVOS Y PROBLEMAS TRATADOS

entre los valores de estas soluciones (j~kj; !; ) en contenedores con dimensio-nes diferentes. La variedad de dimensiones y geometras de celdas utilizadasen los experimentos diculta tener una idea clara de cual es la in uencia queejercen las dimensiones del contenedor sobre los umbrales. Trataremos de versi hay alguna dependencia entre estos valores y la geometra del contenedor.Tambien se encuentran desacuerdos entre los angulos de propagacion de lasondas obtenidos en los diferentes casos. En primer lugar, parece haber unadependencia clara con el numero de Prandtl. Pero incluso cuando se utiliza elmismo uido se obtienen valores divergentes que pueden estar ocasionados poralguna in uencia de la geometra de la cavidad. Como ejemplo, en la tabla 3.3se muestran los valores de los angulos hallados por algunos autores.

En todos los trabajos se insiste en que es el valor del numero de Marangoni,para un Pr determinado, el que dicta la aparicion de modos oscilatorios. Sinembargo, este numero de Marangoni, que en los trabajos analticos es constanteen el espacio, no lo es en los experimentales, ya que las paredes de la celdaocasionan que el gradiente de temperatura cambie bruscamente en su cercana.Al medir la diferencia de temperatura T = T+ T, el gradiente es global =Tlx

y por tanto el valor del numero Ma es sobreestimado respecto al calculado

considerando un gradiente = @T@x. Tiene especial importancia averiguar si

hay un valor crtico de algun parametro local a partir del cual el ujo sedesestabiliza originando ondas hidrotermales. Para obtener el valor del numeroMa en el umbral de las ondas hidrotermales y armonizar teora y experimentoshay entonces dos posibilidades. Una de ellas es realizar las medidas en el centrode la celda, lejos de las paredes, donde practicamente el gradiente es constante,para lo cual hace falta tener una cavidad con lx; ly h. La otra posibilidades encontrar un numero de Marangoni local, en cada punto del uido. Habraentonces un valor crtico a partir del cual las ondas apareceran localizadas enzonas del uido cuyo numero de Marangoni local superara este valor crtico.

Por ultimo, queda todava por aclarar la naturaleza de las inestabilidades.Si se considera la estabilidad de un paquete de ondas y se calcula la veloci-dad de grupo y la direccion de propagacion, as como la constante de difusion,las ondas hidrotermales solamente se observan cuando se alcanza el umbral deuna inestabilidad absoluta en vez de convectiva [28, 50, 51]. Esta distincion en-tre inestabilidad convectiva y absoluta ha sido observada de hecho en algunosexperimentos [22, 52, 53]. Para describir la evolucion de la amplitud utilizare-mos una ecuacion de amplitud de Ginzburg-Landau, de la cual se hallaran losparametros relevantes.

Parte II

Sistema experimental

Captulo 5

Introduccion

Como hemos visto en la parte de la introduccion parece haber dos mecanismosdiferentes segun Pr sea grande o peque~no. En varios experimentos que utilizan uidos con un numero Pr 15 se observa un comportamiento cualitativamentedistinto de los uidos que tienen un numero de Prandtl menor: la direccionde propagacion de las ondas vara apreciablemente, as como los valores dealgunas caractersticas, como la frecuencia. Por tanto, utilizaremos uidoscuyos numeros de Prandtl esten en este rango de valores (Pr = 10 y Pr = 4:4).Para estudiar el mecanismo de inestabilidad es fundamental averiguar el campode temperatura en todo el volumen ya que, aunque el origen de las ondas pareceser debido a la variacion de la temperatura en la supercie, la inestabilidad sepropaga a todo el volumen de la capa de uido.

Un aspecto que hemos de tener en cuenta para estar seguros de que lainestabilidad es de origen termocapilar es la altura de uido. Se necesita quelas fuerzas termocapilares dominen claramente a las termogravitatorias, lo cualse consigue con una altura de uido peque~na. A partir de las deniciones 2.14y 2.18 vemos que la relacion entre Ma y Ra es directamente proporcional ah2:

Ra

Ma= cte h2

donde la constante depende de las propiedades del uido. Por tanto, cuantomayor es h, mayor es el aumento del numero de Ra respecto al numero deMa,y por tanto la in uencia del empuje aumenta. Cuanto menor sea hmayor es, encambio, la in uencia de las fuerzas termocapilares. Veamos entonces para unaaltura h = 1.5 mm, que es la empleada en el experimento, cual es la relacion deambas fuerzas. Para ello hemos hecho una estimacion basandonos en el teorade Nield [54] para un uido calentado por debajo con supercie libre. Segunesta, para que haya conveccion los numeros de Rayleigh (Ra) y Marangoni(Ma) deben superar unos valores crticos Rac y Mac que, en aproximacion,

45

46 CAPITULO 5. INTRODUCCI ON

cumplen la relacion:RacRa0

+MacMa0

= 1

donde Ra0= 695 corresponde al valor crtico del numero de Rayleigh cuandono hay tension supercial y Ma0 ' 90 al numero de Marangoni crtico cuandono hay gravedad. En tanto por ciento la suma de las dos fracciones es

RacRa0

(%) +MacMa0

(%) = 100%

Con los uidos que vamos a utilizar, en el caso h = 1.5 mm, tenemos: MacMa0

=

96:5% y RacRa0

= 3:5%, para = 0:65cSt y MacMa0

= 97:4% y RacRa0

= 2:6%, parala acetona. Por tanto, en ambos uidos las fuerzas termocapilares dominanclaramente a las del empuje. Aunque estos calculos son aplicables para un casode calentamiento por debajo en vez de lateral, nos sirven para ver cualitativa-mente que los efectos de la tension supercial son importantes.

Otro de los objetivos que nos hemos propuesto consiste en averiguar sihay alguna in uencia de la geometra de la celda en los umbrales y en losangulos de propagacion de las ondas. Por este motivo una de las celdas seha construido de tal manera que las dimensiones horizontales lx y ly sean va-riables. Ademas, para acercarnos al caso lmite de paredes sucientementealejadas |teoricamente en el innito|, estas longitudes horizontales de lacelda tienen unos valores maximos con relaciones de aspecto tambien grandes(max

x = lx=h = 66 = maxy = ly=h). Esta aproximacion de las condiciones

experimentales a las analticas, o a las utilizadas en las simulaciones, aumentaal colocar un fondo conductor. El fondo provoca que la variacion de la tempe-ratura en este sea mas lineal, y por tanto que el gradiente de temperatura seapracticamente constante en la region central de la capa de uido.

Para observar la desestabilizacion del ujo basico utilizaremos la tecnica deombroscopa. Este metodo esta basado en que la variacion de la luz de salida,una vez que los rayos atraviesan el uido, es proporcional a la segunda derivadade la temperatura. Ademas de las medidas opticas realizaremos medidas detemperatura con termopares colocados en el interior y en la supercie de lacapa de uido. Con esto se determinaran las amplitudes de las oscilaciones detemperatura y su evolucion temporal y espacial. Para medir la temperatura enla supercie utilizaremos tambien un sensor infrarrojo situado a cierta distanciade ella.

Captulo 6

Dispositivos experimentales

6.1 Fluidos

Los uidos utilizados son aceite de silicona y acetona. El primero, suminis-trado por Dow Corning, tiene viscosidad cinematica peque~na, = 0.65 cSt,y difusividad termica = 6.3 108m2s1, lo que da lugar a un numero dePrandtl intermedio Pr = 10:3. En la tabla 6.1 se muestran el resto de lasprincipales caractersticas fsicas. En el rango de temperaturas aplicado |esdecir hasta 6 ÆC por encima y por debajo de la temperatura ambiente en elcaso maximo| es valida la aproximacion de Boussinesq, segun la cual estaspropiedades fsicas mantienen sus valores constantes, excepto en los terminosde la tension supercial y del empuje que dan lugar a la conveccion. En laeleccion del uido se ha tenido en cuenta su transparencia, que permite el pasode luz a su traves, y la peque~na susceptibilidad de la tension supercial frentea sustancias contaminantes.

La acetona, con Pr = 4.4, tiene las propiedades que se muestran en latabla 6.2. La eleccion de este segundo uido se debe a la necesidad de continuar

ACEITE DE SILICONA Smbolo Valor UnidadViscosidad cinematica 0:65 cStTension supercial 1:59 102 Nm1

Conductividad termica 0:1 Wm1K1

Difusividad termica 6:3 108 m2s1

Densidad 760 Kgm3

Variacion de la tension supercial @T 0:08 103 (?) Nm1K1

Coeciente de dilatacion termica 1:34 103 K1

Tabla 6.1: Propiedades fsicas del aceite de silicona a 25ÆC, facilitados por Dow

Corning Corporation. El valor se~nalado por ? procede del experimento de Gillonand Homsy [37].

47

48 CAPITULO 6. DISPOSITIVOS EXPERIMENTALES

ACETONA Smbolo Valor UnidadViscosidad cinematica 0:42 cStTension supercial 2:5 102 Nm1

Conductividad termica 0:165 Wm1K1

Difusividad termica 9:66 108 m2s1

Densidad 798 Kgm3

Variacion de la tension supercial @T 0:124 103 Nm1K1

Coeciente de dilatacion termica 1:43 103 K1

Tabla 6.2: Propiedades fsicas de la acetona. Datos recogidos en Handbook of

Chemistry and Physics (CRC, 66 th edition).

experimentando con uidos cuyo numero de Prandtl tenga un valor intermedioy sean transparentes. Por claridad, cuando a partir de ahora no hagamosmencion explcita del uido nos referiremos al aceite de silicona. En los casosen que se haga referencia a la acetona se dira expresamente.

6.2 Celda de geometra ja

Esta celda (gura 6.1) es un recipiente rectangular, abierto por arriba, en elque se introduce el uido. El fondo y las paredes son de metacrilato, cuya con-ductividad termica es m = 0.17 Wm1K1. Dos de las paredes, enfrentadas,estan formadas por dos bloques de cobre (Cu = 401 Wm1K1) de dimen-siones 50 20 20 mm3. Debido a la diferencia apreciable en los valores de laconductividad del cobre y del metacrilato en relacion con el uido, en adelantellamaremos a estas paredes conductoras y a las de metacrilato no conductoras.Tanto la distancia entre las paredes conductoras (lx) como la que hay entre lasparedes no conductoras (ly), se mantienen constantes, con valores lx = 60 mmy ly = 50 mm. El valor de la conductividad termica del fondo de metacrilatoes similar al de la conductividad del uido (tabla 6.1). Sin embargo, como elsistema esta en regimen convectivo, el calor disipado por conveccion es muchomayor que el disipado por conduccion, y por tanto puede considerarse que elfondo no impone un cambio brusco en la temperatura del uido que lo rodea.Hemos estimado que solamente un 1 % de la potencia suministrada es disipadapor conduccion a traves del fondo.

En la gura 6.1 puede observarse que en la parte de arriba se ha colocadouna tapa, tambien de metacrilato, para reducir la evaporacion del uido. Conesta tapa, en las condiciones experimentales, se hizo una estimacion de lasperdidas de uido por evaporacion, para una altura h = 2 mm, que resultoser un 1 % en una hora, lo cual da un error de un 2 % durante el tiempo deejecucion del experimento.

6.2. CELDA DE GEOMETRIA FIJA 49

Tapa

Tubos de agua

Cobre

Cobre

TapaConductos deagua fría

Conductos deagua caliente

60 mm

50 mm

xy

xz

Figura 6.1: Celda utilizada para el caso lx y ly jos.


El metodo de regulacion termica de cada pared es el siguiente. Una co-rriente de agua, que proviene de un ba~no termico atraviesa el bloque de co-bre imponiendo a este una temperatura determinada, que es regulada por untermostato en el ba~no termico. Como la conductividad del cobre es lo su-cientemente grande, esta temperatura es estable (0:02ÆC) en toda la paredconductora. La masa de estas piezas es lo sucientemente grande para que sucapacidad calorca sea tambien grande y as su temperatura no se vea afecta-da por las oscilaciones del uido. En el montaje de la celda se ha introducidoun termopar en cada uno de los bloques de cobre para leer la temperatura enel interior, a 2 mm de la cara interna del bloque que esta en contacto con el uido. Para evitar perturbaciones, el hueco por donde se introduce el termo-par se rellena con una pasta conductora. Conociendo la lectura del termoparsituado en el interior de la pared de cobre variamos la temperatura del ba~noy ajustamos la de la pieza de cobre en pasos de 0:1ÆC, que es el lmite dela resolucion del ba~no termico, cuya estabilidad es 0.02ÆC. De esta manera,obtenemos una diferencia de temperatura en el eje x, T = T+ T, dondehemos llamado T+ a la temperatura mas alta y T a la mas baja. Durantetodo el experimento la temperatura ambiente (Ta) es el promedio de T+ y T(Ta ' T++T

2' 22 ÆC). Para medir esta temperatura se coloca un termopar en

el aire dentro del contenedor, por encima del uido, a la misma distancia decada una de estas dos paredes conductoras.

Junto con la diferencia de temperatura horizontal, T = T+ T, el otroparametro del experimento en esta celda es la altura de la capa de uido:h. Esta vara entre h = 1.25 mm y h = 3.5 mm, pues para alturas menoresque 3.5 mm las fuerzas interfaciales son superiores al empuje. Cuando h esmayor que 3.5 mm las fuerzas termogravitatorias tienen un efecto considerableen la dinamica del sistema, por lo que las fuerzas termocapilares ya no sonclaramente dominantes. La relacion de aspecto x = lx=h cambia desde 17,para grandes alturas, hasta 48, cuando h es peque~na. La medicion de h serealiza con un micrometro que tiene una resolucion de 10 m.

6.3 Celda de geometra variable

El motivo de la utilizacion de una segunda celda (gura 6.2), se debe princi-palmente al interes de introducir cambios de geometra, tanto en el eje x comoen el eje y. Mientras que en el caso anterior lx y ly se mantenan constantes,ahora ambos van a tener un rango de longitudes entre 41 mm y 100 mm enambas direcciones (tabla 6.3 y gura 6.3). Para una altura constante h = 1.5mm la relacion de aspecto x vara entre 27 y 66.

El contenedor mostrado en la gura 6.2 es de nylon porque este materialtiene una buena resistencia qumica a los dos uidos utilizados. Sobre el fondo,

6.3. CELDA DE GEOMETRIA VARIABLE 51

T+resistencia

fluido

tubo conagua

z

x

T-PID

y

x

T+ T-termopares

Figura 6.2: Celda con geometra variable.


lx = 100 mm

ly100 mm95 mm90 mm85 mm80 mm75 mm70 mm65 mm60 mm55 mm50 mm41 mm

ly= 100 mm

lx88 mm82 mm75 mm71 mm62 mm56 mm50 mm41 mm

Tabla 6.3: Valores utilizados de ly, para lx= 100 mm (izquierda), y de lx, para ly=100 mm (derecha).

cuya rugosidad es menor que 0.1 mm, se ha colocado una lamina de aluminiode 8 mm de grosor, la cual favorece que en el fondo de la cavidad haya unadistribucion lineal de la temperatura. Este fondo esta nivelado con un error delorden de 2 miliradianes. Los dos bloques conductores, cuyas dimensiones son1002020 mm3 se colocan en el interior de la celda, junto a las dos paredesopuestas en el eje x. Enfrentadas en el eje y tenemos dos piezas de metacrilato(cuando el uido es aceite de silicona) o de nylon (cuando se utiliza acetona),con dimensiones 120 20 10 mm3. Con la movilidad de estas piezas se jala distancia ly. Sustituyendo las piezas de metacrilato por otras de la longitudadecuada, para cada caso, y desplazando una de las paredes de cobre (gura6.3) se ja la distancia lx. Como el caso anterior, tambien se hizo necesariala construccion de una tapa transparente, esta vez de policarbonato |mas exible que el metacrilato|, que cierra hermeticamente la celda mediante unajunta torica. Se estimo que la evaporacion del uido reduce la altura alrededorde un 2% durante el tiempo necesario para hacer la ejecucion del experimento.

La tapa tiene una ranura en su centro que permite introducir y desplazarun termopar en el eje x, dentro del uido, tal como aparece en el esquema dela guras 6.4 y 6.5. Esta ranura permanece siempre cubierta por una barratransparente de metacrilato que se desliza sobre ella al mismo tiempo que eltermopar. El movimiento de ambos se consigue gracias a un desplazador mi-crometrico motorizado controlado por ordenador. Con un programa se puedenvariar el recorrido del termopar, los tiempos de espera entre medidas, el nu-mero de datos a leer y la velocidad y aceleracion del motor. El motor puedetambien manejarse directamente con el software proporcionado con la tarjeta


-T T+ -T

T+

x

y

lx=100 mmly variable

lx variablely=100 mm

Figura 6.3: Geometras con lx y ly variables.

controladora de la marca Physic Instrumente. Se utilizaron dos desplazadoresmicrometricos: uno para los ejes x e y, de 100 mm de recorrido, y otro parael eje z, de 25 mm de recorrido. Los dos tienen una resolucion de 0.1 micras.Para mover el termopar en el eje y y obtener as medidas de la temperatura alo largo de esta direccion hicieron falta otras tapas similares con varias ranu-ras en esta direccion. As pudimos obtener la temperatura en cualquier punto(x; y; z) del uido.

Adheridos a la cara interna de las paredes de cobre, sendos termoparesmiden su temperatura a 2 mm por encima del uido. Otro termopar situadopor encima del uido, en el aire, mide la temperatura ambiente, Ta ' 22 ÆC.La parte externa de uno de los bloques de cobre lleva pegada una resistenciaMINCO de 30.6 , con un aislante de kapton, y de dimensiones 19:1 127mm2. La potencia suministrada en la ejecucion del experimento fue de 10.2watios como maximo.

El control de la temperatura T+ se realiza por medio de un bucle PID (Pro-porcional Integral Derivativo), que es un lazo de control entre la temperaturay una resistencia electrica adherida al bloque de cobre. El PID tiene una pre-cision de 0.1ÆC y una resolucion de aproximadamente una centesima de grado.Con este metodo el ajuste entre la temperatura leda y la de referencia se lograen un tiempo muy rapido (habitualmente unos pocos minutos). El ajuste serealiza con un controlador CN76000 de Omega. La idea es la siguiente. Latemperatura leda por el termopar adherido al bloque es comparada con laque introducimos en el PID (temperatura de referencia). Dependiendo de ladiferencia que haya, la resistencia adherida a la pieza T+ se calienta en mayoro menor grado para que la temperatura del bloque sea la de referencia. Peroeste control proporcional queda mejorado con dos ajustes adicionales: integraly derivativo. El integrador acerca el valor de la temperatura del proceso a lade referencia de la manera mas ajustada posible, pero para esto emplea un


xz

y

Figura 6.4: Fotografa de la celda con el desplazador motorizado.

y

z

Termopar

T+

T-

x

y

MOTOR

Termopar

x

Figura 6.5: Izquierda: montaje de motor con desplazamiento micrometrico, vistodesde arriba. Derecha: vista lateral del mismo montaje. El motor mueve el termoparen el sentido negativo del eje x.


tiempo grande. Por el contrario, el derivador consigue que la se~nal desviada seacerque rapidamente a la de referencia pero el valor de la temperatura de refe-rencia no se alcanza con tanta precision como lo hace el integrador. Por tanto,con la combinacion de ambos parametros se consigue un buen ajuste al valorde la temperatura deseada en el menor tiempo posible. Logicamente la buenaecacia del procedimiento requiere una adecuada eleccion de los parametros,que se puede hacer manualmente mediante un metodo de prueba y error.

El control de la temperatura T se consigue, como en la celda anterior,mediante un ba~no termico regulado con un termostato. De esta forma, contro-lando T+ y T es posible ajustar T de forma que la temperatura es establecon una precision de 0.02ÆC.

Captulo 7

Tecnicas experimentales

Las tecnicas que se utilizan en este experimento estan dirigidas fundamen-talmente a obtener informacion del campo de temperatura. Como ya hemosmencionado a la hora de estudiar las transiciones que experimenta el sistema,dado que el origen de las ondas hidrotermales es termico, es necesario conocerel comportamiento de la temperatura: nacimiento y evolucion de oscilaciones,umbrales, caractersticas de las ondas generadas, etc.

Un primer grupo de medidas se reere a la visualizacion de las ondas hi-drotermales y rollos estacionarios mediante un sistema optico que no invade el uido. Este metodo fue desarrollado inicialmente en nuestro laboratorio porH. Mancini y colaboradores [55].

El segundo conjunto de medidas cuantitativas se logra introduciendo ter-mopares en el interior del uido. Para reducir las perturbaciones que puedacausar la intrusion del termopar se han escogido en algunos casos unos termo-pares extremadamente nos.

Ademas, en algunas ocasiones se han obtenido medidas de la temperaturade la supercie con un sensor infrarrojo colocado a cierta distancia de ella.

Una vez recogidos los datos experimentales, tanto las imagenes como latemperatura, se han utilizado ltros para extraer la informacion, reduciendoen lo posible las perturbaciones.

Este captulo se divide en los metodos de visualizacion, las medidas detemperatura y el tratamiento de las imagenes.

7.1 Metodos de visualizacion

7.1.1 Ombroscopa

Para conocer el comportamiento de la temperatura T(x,y) en la capa de uidose busca alguna propiedad del uido que vare con ella. Una de estas pro-piedades es el ndice de refraccion \n". Cuando los rayos de luz atraviesan el

57

58 CAPITULO 7. TECNICAS EXPERIMENTALES

uido experimentan una desviacion de acuerdo con el cambio que se opera enn al variar la temperatura de determinadas regiones del uido. De esta forma,la imagen de la luz al salir de la capa aporta informacion sobre el campo detemperatura y as se puede averiguar como evolucionan las oscilaciones de latemperatura. Este es el fundamento de la tecnica de ombroscopa que vamosa utilizar en nuestro sistema.

Veamos cual es la informacion que podemos obtener si un haz plano atra-viesa el uido, el cual es sometido a una diferencia de temperatura T+T. Enla gura 7.1 se tiene la fuente que emite el haz de luz, el material atravesadopor ella |el uido|, un diafragma y una camara que recoge la imagen a lasalida. La fuente de luz puntual situada a la izquierda esta colocada en la focalde una lente, de forma que a la salida de esta se tiene un haz con un frente deonda plano, paralelo a la supercie del uido. La lente de la derecha consigue,si el haz no ha sido alterado, que los rayos converjan a la salida en la focal.

La variacion de la temperatura en el uido ocasiona un cambio de densidady del ndice de refraccion n, ya que, segun la ecuacion de Clausius-Mosotti, estedepende de la temperatura de la forma [56] :

n2 1

n2 + 2= aT (7.1)

donde a es una constante.Cuando el uido es un gas n2 ' 1 y entonces se puede escribir:

n 1 = T (7.2)

con constante.Incluso se ha observado (ref. [56]) que para algunos lquidos (por ejemplo,

acetona) esta aproximacion lineal entre n y T tambien es valida.Supongamos ahora una distribucion sinusoidal de la temperatura en x |

como veremos que es el caso| con una amplitud que vara con z. (parasimplicar suponemos que la modulacion unicamente ocurre en el plano XZ).As tenemos:

T (x; z) = bT (z) cos (x=) (7.3)

Debido a la variacion de n los rayos de luz de salida se refractan con angulosdiferentes, lo cual da lugar a cambios de intensidad de la luz de salida quemaniestan a su vez cambios de temperatura. En particular, en las zonas don-de haya uido caliente rodeado de uido fro se tiene una region con valorespeque~nos de n rodeada de otra region con grandes valores de n. La luz en-tonces diverge y se forman zonas sombreadas. Por el contrario, en las regionescon uido mas fro rodeado de caliente la situacion es opuesta y la luz conver-ge originando zonas brillantes. Supongamos que esta divergencia provoca undesplazamiento de los rayos de luz no demasiado grande. Puede demostrarse

7.1. METODOS DE VISUALIZACI ON 59

Fuentede luz

Fluido

Lente

Cámara

Diafragma

Figura 7.1: Esquema de la ombroscopa.

entonces (ref. [57, 58]) que un detector sensible a la intensidad de la luz regis-tra una diferencia de intensidades relativa entre dos puntos, que se relacionacon el ndice de refraccion de la siguiente manera:

I

I= l

Z h

0

@2

@x2

!(lnn)dz (7.4)

Sustituyendo el ndice de refraccion de la ecuacion 7.2, para peque~nas uctua-ciones, queda:

I

I= cos(x=)

Z h

0

bT (z)dz (7.5)

donde = l2. Por tanto la intensidad de luz es proporcional al promedio de

las uctuaciones de temperatura en el eje z. La de exion de la supercie eneste experimento y en otros semejantes [53] es de 10 a 15 micras.

7.1.2 Sistema optico

Un esquema del sistema optico se muestra en la gura 7.2. La fuente de luzblanca, una bombilla de 30 W con un colimador, se situa en el foco de un espejoesferico, de modo que la luz re ejada en este es un haz plano, paralelo a lasupercie del uido. Antes de llegar al espejo esferico la luz alcanza un divisorde haz. Despues, el haz de luz se re eja en el espejo esferico y seguidamente lohace en el uido. La luz de salida del uido es otra vez re ejada en el divisor dehaz y enviada a una camara CCD atravesando antes un diafragma. La camararecoge la gura de la ombroscopa mediante un teleobjetivo de distancia focalvariable. Esta imagen se muestra en un monitor y se archiva en un ordenadorPC. La imagen obtenida (ver gura 7.4) tiene unas dimensiones menores quela supercie de uido, como consecuencia de la capilaridad, en un centmetroalrededor de las paredes del contenedor. Se forma entonces un menisco, cuyacurvatura en la supercie del uido provoca una divergencia de los rayos deluz en esa zona, sin que se llegue a la formacion de imagen.


Monitor

Fuente de luz

Cámara

Celda

Espejo esférico

Divisor de haz

Espejo

Diafragma

Figura 7.2: Sistema optico.

En ocasiones, para obtener una imagen mas contrastada se ha colocadoun diafragma en el foco de la imagen antes de que esta llegue a la camara,segun puede apreciarse en la gura 7.1. La idea es detectar las deformacionesdel frente de onda, puesto que el diafragma realiza la funcion de un ltroespacial, situado en el plano de convergencia de la luz, que bloquea algunosrayos observandose con mas nitidez las deformaciones. A causa de este montajehay luz que llega a la camara sin atravesar la celda. Ademas, se tiene que enla focal del sistema se observa tambien la luz que proviene de regiones dondeno ha sido desviada. Para no obtener una zona brillante central en la imagendel uido |debida a la alineacion de las lentes con la camara| se introduceun peque~no astigmatismo desplazando una de las lentes, de tal manera que eldiafragma elimina precisamente esta mancha central antes de que llegue a lacamara. Entonces se puede apreciar con mas facilidad la imagen del uido ylas oscilaciones de la temperatura.

7.2 Medidas de temperatura

Ademas de la informacion que se recoge con la ombroscopa de la capa de uido, es necesario determinar con precision como vara la temperatura en lasdirecciones x, y y z. Como hemos visto el anterior metodo integra las varia-ciones de la temperatura en el eje z. Al introducir un termopar en el uido sepuede conocer cual es esta variacion. Tambien se podra estudiar as el com-portamiento de la amplitud de la temperatura, como cambia espacialmente,en que puntos es maxima o mnima, etc.

Para la primera celda todos los datos de la temperatura han sido obtenidoscon un sistema de adquisicion de datos HP75000 VXI, que tiene un multiplexor

7.2. MEDIDAS DE TEMPERATURA 61

de 16 canales de entrada para los termopares tipo T. Para la segunda celda elsistema de adquisicion utilizado fue el aparato HP34790A con 22 canales deentrada para el mismo tipo de termopares.

Se pueden distinguir dos grupos de medidas de temperatura. El primerose reere al control del parametro T = T+ T y a la medida de Ta. Eldiametro de los termopares utilizados en este caso es 0.12 mm, el tiempo derespuesta menor que 0.06 s y la precision con la que se conoce la diferencia detemperatura es 0.02ÆC. Otro termopar con un diametro 0.35 mm y tiempo derespuesta menor que 0.2 s, se coloca a media distancia respecto a las piezasde cobre, a unos milmetros por encima del uido, cerca de una de las paredesno conductoras (ver gura 6.2). As queda registrada la temperatura ambienteTa del aire que rodea al uido. Sabiendo Ta, las temperaturas T+ y T de losextremos de la celda son modicadas de manera que la ambiente es el promediode aquellas.

El segundo grupo de medidas esta dirigido a obtener el campo de tempera-tura en el interior del uido y en la supercie. El diametro de los termoparesutilizados fue 0.025 mm. La temperatura en la supercie fue tambien recogidapor un sensor infrarojo tipo T situado a 10 mm por encima del uido. A causade la altura a la que se efectuan las medidas este sensor promedia la tempera-tura en una circunferencia de 20 mm de diametro sobre la supercie del uido.Debido a la integracion que se efectua, este sensor realiza un promedio de lasvariaciones rapidas de la temperatura y elimina las frecuencias altas. El motormicrometrico motorizado mueve el sensor en la direccion del eje x, y o z paraobtener los perles de temperatura.

En la primera celda se utilizo un termopar con el que obtuvimos series dedatos de temperatura en mas de 20 puntos distribuidos en todo el volumen de uido. Cada serie registra varios minutos de la evolucion de la temperaturaen un punto, y tpicamente se obtienen alrededor de cien perodos de onda,con lo que la frecuencia queda bien denida. Ademas, en cada punto (x; y) eltermopar fue desplazado en el eje z para observar la variacion de la tempera-tura en esta direccion. Para esta celda unas cuantas medidas fueron llevadasa cabo con cuatro termopares desplazados simultaneamente y nivelados a lamisma altura, separados entre s 2.5 mm en el eje x (gura 7.3). La longitudocupada por los cuatro termopares es menor que la longitud de onda, lo quees interesante para estudiar la correlacion de las ondas.

En la segunda celda el termopar de 0.025 mm de diametro fue desplazadoen los ejes (x; y; z) mediante los dos desplazadores micrometricos motorizados.Pudimos extraer de los datos los perles de temperatura en cada uno de esastres direcciones, as como las amplitudes de las oscilaciones. Se explican acontinuacion como fueron realizadas las medidas.

Para conocer la temperatura a lo largo del eje x se construyo un programaque mide la temperatura de puntos espaciados 1 mm entre s al mover el


Caliente

Fríox

2 mm

Figura 7.3: Sistema de cuatro termopares nivelados en el eje z.

termopar. El tiempo de integracion del termopar es 200 ms y el tiempo entremedidas alrededor de 1 s. Despues de mover el termopar 1 mm, se registra eldato y a continuacion se desplaza el termopar otro milmetro. Al medir estosperles horizontales se obtiene un ruido en la se~nal menor que 0.1 ÆC (amplitudde la se~nal de temperatura de las ondas), debido a que el tiempo de adquisicionde cada medida es inferior al periodo de la onda. La relacion entre la amplitudde la oscilacion de la onda (A) y la diferencia de temperatura global en el perlde temperatura (T ) es T

A 1, por lo que el error cometido en la lectura de

los datos |que es como maximo esta amplitud A| es despreciable frente ala diferencia de temperatura T . Como se vera mas adelante, en el captulo deresultados, con estos datos pudimos hallar el numero de Marangoni en puntosdel uido separados entre s esa distancia. La obtencion de datos en la direcciony se realizo de manera similar. Estas ultimas medidas interesan para averiguarsi la temperatura a lo largo del eje y es o no constante para el mismo valorde x. Para un sistema extenso esta temperatura no debera cambiar, puestoque el parametro T es aplicado a lo largo del eje x, y entonces el sistema esunidimensional con una dinamica independiente de la coordenada y.

Los perles de temperatura en el eje z fueron medidos de distinta manera.Se registra una serie de datos durante varios minutos en puntos espaciados 100m entre s, desde el fondo de la celda hasta la supercie. De cada serie seobtiene una temperatura media y a partir del valor de esta en cada punto,se traza el perl vertical. Para comprobar que el perl es independiente de lamanera en que se mueva el termopar tambien se lee la temperatura desplazandoel termopar desde la supercie hacia el fondo.

Para medir la variacion de la amplitud de la temperatura en la direccionx fueron registradas las oscilaciones en una serie de puntos a lo largo de dicho

7.3. FILTRADO DE IMAGENES 63

eje, en presencia de ondas hidrotermales localizadas cerca del extremo de tem-peratura T+. En los datos de la amplitud de las oscilaciones se ha obtenido unnivel de ruido menor que 0.02 ÆC. Se han detectado las oscilaciones con valoresde la amplitud desde 0.02 ÆC hasta diez veces mas grandes (' 0.2 ÆC).

7.3 Filtrado de imagenes

Una vez recogidas las imagenes es necesario saber a que corresponde la in-formacion que aportan. Habitualmente los datos ledos en un experimentorevelan la presencia de varios procesos fsicos que interactuan entre si, puestoque en la naturaleza los fenomenos no se dan de manera aislada. Pero ademasel solo hecho de medir a~nade en general una perturbacion al proceso fsico, yaque los datos se adquieren interviniendo en el sistema. En este apartados seexplica el tratamiento que se conere a las imagenes para separar en lo posiblela in uencia de otros fenomenos fsicos presentes en el experimento.

A partir de las imagenes obtenidas mediante la ombroscopa se han cons-truido un tipo de diagramas, llamados espacio-temporales, que recogen la evo-lucion espacial y temporal de las estructuras convectivas. El metodo es elsiguiente. Se escoge una lnea de la imagen digitalizada, la cual contiene lospixeles con la informacion de los tonos de grises de la imagen en esa lnea. Estase coloca horizontalmente en un archivo de imagenes. Seguidamente, despuesde cierto perodo, se lee la imagen del uido en esa misma lnea que, ya quela inestabilidad es viajera, habra cambiado. Entonces esta se archiva justodebajo de la primera lnea. La operacion se repite durante el tiempo deseado(habitualmente se trabaja con un perodo de 0.1 s y 512 lneas, es decir, 51.2s) con tiempos de muestreo jo, guardando cada lnea debajo de la anterior.Este tiempo de muestreo debe ser menor que el perodo de las ondas. Una vezacumuladas todas las lneas tendremos que el eje vertical de la imagen obteni-da as es el tiempo, y el eje horizontal una direccion espacial de la celda. Conesto se puede recoger la evolucion temporal de la estructura, transformarla enevolucion espacial y calcular la frecuencia y la componente del vector de ondaen esa direccion. Si este proceso se realiza con lneas sobre el eje x e y podemoscalcular las componentes (kx; ky), el modulo j~kj y el angulo = arctan(ky=kx)(ver guras 7.4 y 7.5).

El diagrama recoge tambien las heterogeneidades debidas, por ejemplo, ala variacion de la intensidad de la fuente de luz, la cual proporciona un hazdivergente con una distribucion que puede considerarse gaussiana. Como lailuminacion no es homogenea resulta difcil hacer medidas relativas espacialesde la amplitud de la estructura a partir de la imagen directa. Es necesario,por tanto, un ltrado que elimine este fondo. Como el fondo es estacionarioy, en principio, las estructuras convectivas son dependientes del tiempo, se


T+ T-

t

y

x

y

Figura 7.4: Diagrama espacio temporal en eje y realizado a partir de la imagenobtenida por la ombroscopa.


K

∆T

ψT+ T-

Frente deonda

Figura 7.5: Angulo de propagacion de las ondas.

puede ltrar la imagen con un promedio temporal y un cambio de escala. Unaexplicacion detallada de este proceso se encuentra en la referencia [59].

Otra fuente de distorsion es el menisco que se forma en la zona de contacto uido-celda. La supercie del uido se curva en esa region creandose un efec-to analogo al que provocara una lente divergente de curvatura no constanteimpidiendo la formacion de imagen en esa zona. Se ha medido que el meniscoafecta a la imagen en una zona de unos 10 mm de la region que limita concada pared.

7.3.1 Transformada de Fourier en dos dimensiones

Cuando estamos cerca del umbral de una inestabilidad el numero de modosque se presentan es relativamente peque~no. En cambio, lejos del umbral ladinamica se complica y el numero de modos que aparecen es bastante mayor.Supongamos que hemos obtenido el diagrama espacio-temporal de la gura 7.6en la direccion y, cerca del umbral. Este diagrama se~nala la existencia de dosondas oblicuas que crecen simultaneamente cerca de la pared caliente y viajanhacia ella.

Para eliminar las perturbaciones debidas a la variacion de la intensidadluminosa, cuya frecuencia es peque~na (! ' 0), y a la luz de fondo, se utilizauna transformada de Fourier bidimensional (FFT ) sobre el diagrama, queademas permite separar el comportamiento de cada onda.

Estas ondas propagativas se pueden representar en modos de Fourier de laforma:

S(x; t) = [A1(x; t)ei(k1x!1t) + A2(x; t)e

i(k2x!2t)] + c:c: (7.6)

donde A1 y A2 son las amplitudes de cada onda, c.c. los complejos conjugadosy se cumple ~k1 = ~k2. Como los modos estan habitualmente mezclados enla dinamica, la transformada de Fourier bidimensional (TF2D) del diagramaespacio temporal sera una mezcla de cada uno de ellos por separado:


TF2D(modo1) = A1(k1; !1) Æ(k1; !1)

TF2D(modo2) = A2(k2; !2) Æ(k2; !2)

TF2D(S(x; t)) = TF2D(modo1) + TF2D(modo2) + c:c:

donde A1 y A2 son las transformadas de Fourier de cada modo y el productode convolucion.

Si se realiza la transformada de Fourier sobre del diagrama espacio-temporal(gura 7.6), se encuentran unas manchas en la imagen que se~nalan las frecuen-cias de los modos en el espectro de potencias (la mitad corresponden a loscomplejos conjugados). La demodulacion compleja [52] nos permite ahora se-parar la dinamica de cada modo, de la siguiente forma.

Si queremos estudiar la dinamica de una de las ondas |llamemosle modo1|, primero se desplaza su frecuencia al centro de coordenadas del espacio deFourier:

S(k) = A1(k) Æ(0) +A2(k) Æ(k2 k1) = A1(k) +A2(k) Æ(k2 k1)

Despues 1, se puede obtener el comportamiento de la onda aplicando unltro pasa-bajo, con una frecuencia de corte kA (kA < k2k1

2). Este ltro eli-

mina del espectro de potencias los demas modos. Seguidamente se calcula laantitransformada de Fourier (TF2D1) del modo 1 recuperando el comporta-miento aislado de su amplitud compleja: A1(x; t).

Esto nos permite obtener el numero de onda, la frecuencia y la amplitudlocal de cada onda:

A = jA(x; t)j; k = k0 + q(x; t); ! = !0 + (x; t)

ya que la amplitud compleja es:

A = jAjei

con(x; t) = 0 + @x

x0 x+ @t

t0 t = 0 + qx t

y suponiendo que y jAj tienen un tiempo y una longitud de evolucion carac-tersticos grandes con relacion a k0 y !0 (Esto esta de hecho ya implcito en lacondicion de no solapamiento de modos).

1Si los ancos de los modos en este espacio no se superponen, o lo hacen en un porcentajedespreciable.


t

y

Figura 7.6: Diagrama espacio temporal de una lnea vertical sobre la imagen de lasdos ondas oblicuas.

Parte III

Resultados

Captulo 8

Inestabilidades convectivas

La estructura seguida en este captulo va a estar relacionada con la secuenciade bifurcaciones observada. Para los casos en que h < 1:55 mm el orden deaparicion de las inestabilidades es:

Flujo basico ) Ondas hidrotermales ) Rollos estacionarios

" "1a inestabilidad 2a inestabilidad

Si 1:55 mm < h < 3:5 mm el orden es:

Flujo basico ) Rollos estacionarios ) Ondas hidrotermales

" "1a inestabilidad 2a inestabilidad

Esta secuencia de bifurcaciones se obtiene de la siguiente manera. Para laprimera celda (lx y ly jos) la variacion de los parametros |h y T| se realizamanteniendo h constante y cambiando T : primero se establece el ujo basico,nada mas imponer una diferencia de temperatura horizontal T > 0, y despuesse va aumentando esta diferencia de temperatura en intervalos de 0:2 ÆC, obien de 0:1 ÆC cuando estimamos que nos acercamos a la desestabilizaciondel ujo basico, que da lugar a la aparicion de ondas viajeras (para el primercaso). Cada vez que se realiza este aumento hay un tiempo de espera devarios minutos para que desaparezcan las situaciones transitorias. Este tiempoes sucientemente grande comparado con los tiempos de relajacion viscosa( = h2= = 6s) y de difusividad termica ( = h2= = 64s). Para averiguarsi hay histeresis se reduce la temperatura en la misma cantidad que el ultimoaumento. Se comprueba que desaparecen las ondas, no se observa histeresis,por lo que las medidas se obtienen en regimen permanente. Despues de llegaral umbral de las ondas y de realizar las medidas necesarias se cambia h y se

71

72 CAPITULO 8. INESTABILIDADES CONVECTIVAS

repite la observacion.

22.8 22.9 23 23.1 23.2 23.30

0.5

1

1.5

T (° C)

z (m

m)

Figura 8.1: Perl vertical de la temperatura del ujo basico (puntos ). La lneacontinua se~nala un ajuste realizado con un polinomio de orden cinco.

Para la segunda celda los parametros son lx; ly y T , con h = 1.5 mm. Lamanera en que se efectuan los cambios de las dimensiones del contenedor esla siguiente. Manteniendo lx= 100 mm constante, se desplazan las paredes noconductoras dando a ly los valores que guran en la tabla 6.3 del captulo 6. Lavariacion de la diferencia de temperatura se lleva a cabo de la misma maneraque se ha explicado para la primera celda. Igualmente, para ly= 100 mm secambian los valores de lx tal como gura tambien en la tabla 6.3 (derecha).As, para cada pareja (lx,ly) se encuentra el umbral de las ondas y se realizantodas las medidas necesarias.

Ya que las ondas hidrotermales tienen su origen en la desestabilizacion del ujo basico dominado por las fuerzas interfaciales, los resultados que mostra-mos se reeren principalmente a los casos en que h es peque~na. Cuando laaltura de uido es grande (h 1:55 mm), es habitual en los experimentosque la primera bifurcacion del ujo basico sea hacia rollos estacionarios corro-tativos y posteriormente se tenga una segunda bifurcacion que da lugar a laaparicion de modos oscilatorios.

A diferencia de lo que ocurre en una capa calentada por debajo, en nuestrocaso no existe un umbral convectivo sino que el uido se pone en movimientoen cuanto se impone una diferencia de temperatura horizontal entre los ladosdel contenedor. Esto origina de inmediato un ujo basico que ocupa toda lacelda a modo de un gran rollo. Veamos las caractersticas de este ujo.

8.1. FLUJO BASICO 73

8.1 Flujo basico

El ujo basico mueve el uido desde el lado T+ hacia el T por la supercie, yen sentido contrario por el fondo, ya que la tension supercial es mayor en laregion donde el uido es mas fro. Debido a la gran distancia entre las paredessituadas en el eje y el ujo puede considerarse unidimensional, excepto cercade cualquiera de las paredes verticales.

0 20 40 60 80 10018

19

20

21

22

23

24

x (mm)

T (

° C

)

Figura 8.2: Perl de temperatura del ujo basico en la direccion x, realizado con latemperatura de mas de 90 puntos, medida con un termopar introducido en el uido;lx = 100 mm, ly = 100 mm, h = 1.5 mm.

Antes de que el ujo basico se desestabilice, la ombroscopa no nos propor-ciona informacion acerca de la estructura del ujo convectivo, por lo que sehan utilizado termopares para recoger la informacion de la temperatura. Enla gura 8.1 se muestra su variacion a lo largo del eje z con (x; y) constantes,obtenida mediante el desplazamiento de un termopar. Estos perles verticaleshan sido calculados desplazando el termopar desde la supercie al fondo y des-de el fondo hacia la supercie, aportando identicos resultados. La diferenciaentre la forma del perl vertical de temperatura obtenido aqu y el calculadoen los estudios teoricos (Smith y Davis [29] y Mercier y Normand [20]) pue-de deberse a la diferencia en las condiciones de contorno consideradas para elfondo de la celda. En nuestro caso tenemos un fondo conductor (aluminio)con una temperatura lineal, por lo que las medidas ledas muy cerca del fondotienen una pendiente suave. En cambio, en el caso de que el fondo fuera noconductor la curva de la temperatura tendra una pendiente mas elevada. En


30 40 50 60 70 8020.4

20.6

20.8

21

21.2

21.4

21.6

21.8

22

x (mm)

T (

° C

)

Figura 8.3: Perl de temperatura de la supercie en la direccion x, en una regioncentral, obtenido con un sensor infrarrojo, para las mismas condiciones mostradasen la gura 8.2.

cuanto a la pendiente encontrada en la supercie (@T@z) vemos que esta da lugar

a un numero Bi 103 bastante peque~no, como de hecho ha sido estimadotambien en otros experimentos [26].

Tambien se han determinado los perles horizontales de la temperatura enla direccion x, que se muestran en la gura 8.2. Como se observa, cerca de losextremos de la celda el perl deja de ser lineal debido a la existencia de una capalmite vertical y al cambio de sentido del ujo de retorno. En cada extremola cada de temperatura es de un grado. Sin embargo, en la zona central elgradiente es aproximadamente constante. Como los termopares colocados enla supercie perturban el ujo al causar un menisco alrededor de su cabeza,se ha situado un sensor infrarrojo a 10 mm por encima de la supercie paraobtener la temperatura en esta. En la zona central el perl obtenido con esteaparato es lineal, como puede verse en la gura 8.3. Como el sensor integrael valor de la temperatura de una supercie grande, cerca de los extremos dela celda estas medidas no son ables. En el centro de la celda este perl detemperatura es similar al calculado en los analisis de Smith y Davis [29] y deMercier y Normand [20]. Se puede pensar en un perl tambien similar cuandoestan presentes las ondas superpuestas a este ujo basico.

8.2. ROLLOS CORROTATIVOS. UMBRALES 75

Figura 8.4: Imagen de ombroscopa de rollos corrotativos transversales en unaregion cerca de la pared caliente.

8.1.1 Ruptura del ujo basico

El diagrama de estabilidad que se obtiene al incrementar T , a partir de ladesestabilizacion del ujo basico, es el siguiente:

Para h < 1:55 mm el ujo inicial se desestabiliza en ondas hidrotermalesoblicuas.

Para 1:55 h < 3:5 mm. El ujo basico se rompe en rollos transversalescorrotativos. Si T sigue aumentando aparecen ondas hidrotermalessuperpuestas a los rollos estacionarios.

Para h 3:5 mm primero se observan rollos inclinados y posteriormenteondas viajeras diferentes de las ondas hidrotermales.

Para h 4 mm y fondo asislante se observan, simultaneamente con losrollos transversales, unos siete u ocho debiles rollos longitudinales (coneje paralelo al gradiente), superpuestos a aquellos. En estos casos no seobservan ondas hidrotermales.

Veamos en primer lugar que sucede cuando la altura es mayor o igual que 1.55mm.

8.2 Rollos corrotativos. Umbrales

Cuando la altura de uido es h > 1.55 mm el ujo primario se desestabiliza enforma de rollos corrotativos que surgen inicialmente en escaso numero (habi-tualmente dos o tres) cerca de la pared caliente, con sus ejes perpendiculares al

gradiente de temperatura (j~kj paralelo a ~rT ) antes de que aparezcan ondas hi-drotermales. Cuando aumenta la diferencia de temperatura entre los extremos


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.54

6

8

10

12

14

h (mm)

∆ T

(° C

)

Figura 8.5: Umbrales de los rollos estacionarios (o) y de las ondas hidrotermales(+) para la celda variable, con lx = 100 mm y ly = 100 mm.

de la celda el numero de rollos tambien aumenta, as como la zona de uidoocupada por ellos (gura 8.4), hasta que para una determinada diferencia detemperatura todo el uido es ocupado por los rollos.

La aparicion de estos rollos estacionarios esta gobernada por el incrementodel empuje al aumentar la altura del uido: el numero de Rayleigh va siendocada vez mayor respecto al numero de Marangoni (para h = 1.75 mm se tieneMa = 460 y Ra = 200 ). Los rollos corrotativos han sido ya observados enalgunos experimentos con alturas h 2 mm. Por ejemplo, en los trabajosde Daviaud y Vince [23] y de Burguete et al [22] tiene lugar una primeratransicion del ujo basico a ondas hidrotermales, y una segunda de ondas arollos a partir de h = 1.4 mm. Efectivamente alrededor de este punto (h =1.55 mm, en nuestro caso) se tiene en el diagrama de estabilidad la interseccionentre rollos y ondas (vease gura 8.5). Para alturas h 1:55 mm, una vezque se obtiene la transicion del ujo basico a rollos estacionarios, surge unasegunda transicion que consiste en la aparicion de ondas superpuestas a estosrollos [60]. Una explicacion satisfactoria a esta superposicion de rollos y ondasviajeras no ha sido proporcionada todava.

La aparicion inicial de los rollos cerca de la pared caliente ha sido tambienobservada en los trabajos de Ezersky [45] y Garcimartn [46, 61] para uidoscon Pr grande. En estos trabajos los rollos tienen mayor amplitud cerca de lapared caliente y cuando aumenta T empiezan a oscilar hasta que se originanunas ondas que se propagan del lado T+ al T.

8.2. ROLLOS CORROTATIVOS. UMBRALES 77

1.5 2 2.5 32

4

6

8

h (mm)

lr (m

m) (a)

2 3 4 52

4

6

8

10

12

h (mm)

lr (m

m) (b)

Figura 8.6: Smbolo +: Dependencia de la anchura de los rollos transversales con hpara celda con fondo conductor (a) y aislante (b). Smbolo o: Rollos longitudinales.

1.5 2 2.5 32

2.5

3

3.5

4

h (mm)

k (a

dim

)

(a)

2 3 4 50

2

4

6

h (mm)

k (a

dim

)

(b)

Figura 8.7: Numero de onda adimensional de los rollos; (a): fondo conductor; (b):fondo adiabatico.

Aunque el estudio de las formacion de estructuras estacionarias no ha sido elprincipal objetivo de esta tesis, se han encontrado algunos resultados respectoa los rollos que suscitan varias preguntas. Se muestran a continuacion estosresultados.

8.2.1 Variacion de la anchura y numero de los rollos

Si se considera la relacion entre la altura de uido (h) y la anchura de losrollos (lr) observados en el umbral, se tienen dos casos, segun el fondo de lacelda sea conductor |aluminio| o aislante |nylon|, que se muestran en laguras 8.6 y 8.7. A medida que la altura de uido es mas grande la anchurade los rollos aumenta, lo cual parece logico puesto que el estiramiento de lalongitud vertical de los rollos lleva consigo una prolongacion de la longitud en


2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8

6

8

10

12

14

16

h (mm)

N

Figura 8.8: Numero de rollos (N) segun la altura de uido.

la direccion horizontal. Este comportamiento puede tener su explicacion en elincremento del empuje al aumentar la altura de la capa de uido. Cuando lacapa de uido tiene una altura muy peque~na el ujo primario se desestabilizarapidamente en rollos corrotativos mucho mas peque~nos que el rollo del ujobasico. En cambio, si la altura h aumenta el empuje tiene cada vez mas peso enla dinamica del ujo frente a las fuerzas termocapilares, reduciendo el numerode rollos en los que se divide el rollo inicial. Aproximadamente el mismocomportamiento se encuentra cuando el fondo es aislante (gura 8.6 (b)).

Al aumentar la altura el numero de rollos que se obtiene es menor, segunpuede verse en la gura 8.8. En este caso la relacion entre la altura y elnumero de rollos es aproximadamente lineal. Esto se debe a que al aumentarsu anchura caben menos en la misma celda.

8.2.2 Rollos inclinados

Por ultimo, ademas de rollos transversales y longitudinales, tambien ha sidoobservada una estructura estacionaria en forma de rollos oblicuos (gura 8.9)cuando h 3.5 mm y T > T

(rollos). Esta inclinacion podra estar ocasio-nada por la in uencia que ejercen las paredes sobre la orientacion de los rollossegun el valor de la conductividad de aquellas.

8.3. ONDAS HIDROTERMALES 79

Figura 8.9: Imagen de ombroscopa de rollos inclinados para fondo aislante, h = 3.5mm y T = 8.7ÆC. Las lneas en blanco de la imagen derecha se~nalan la direccionde los ejes de los rollos.

8.3 Ondas hidrotermales

8.3.1 Umbrales

Como se ha indicado, para una altura h 1:55 mm, a partir de una deter-minada diferencia de temperatura el ujo basico se desestabiliza en forma demodos viajeros. Un par de ondas surgen cerca de la pared caliente y viajanhacia ella formando un angulo con el gradiente de temperatura. Son simetri-cas respecto de la direccion del gradiente, como puede observarse en la gura8.10. La diferencia de temperatura Tc para la cual se empiezan a observar lasondas mediante la ombroscopa, fue la misma que la obtenida introduciendotermopares en el uido para detectar el nacimiento de las ondas 1. La resolu-cion de los diagramas espacio temporales para una determinada estructura deondas es comparable a la de los termopares (en torno a 0.02 ÆC). Por debajode 0.02 ÆC los metodos no nos permiten encontrar oscilaciones, por lo que elumbral estara ligeramente sobreestimado. Como el menisco afecta a una zonade 10 mm alrededor de las paredes |tanto de las conductoras como de lasno conductoras| las ondas solo se pueden observar a partir de esta distancia.Cuando se alcanza el umbral de las ondas hidrotermales estas surgen en unaregion cerca del lado caliente (T+) y de las dos paredes adiabaticas. Confor-me aumenta T las ondas van invadiendo la celda hasta que la cubren porcompleto (gura 8.11). En este caso la pared aislante ocasiona que el frentede onda se curve al acercarse a ella, como ya puso de maniesto Ezersky et al.

1En este caso se recoge una serie temporal y se detecta la presencia de una frecuenciafundamental con una determinada amplitud.


T+ T-

x

K

y

t

ψ

Figura 8.10: Imagen de ombroscopa de las ondas (izquierda). A la derecha, dia-grama espacio temporal en la direccion y.

[45].En la gura 8.12 se muestran los umbrales determinados para alturas va-

riables en la celda de geometra ja, y en la gura 8.13 los umbrales para lacelda de geometra variable. Bajo la curva de las guras 8.12 y 8.13 el estadoestable es el ujo basico, y por encima de estas curvas este ujo se desestabi-liza originandose las ondas hidrotermales. Para alturas menores que 1 mm elvolumen de uido en la zona del menisco es bastante grande comparado conel volumen de la capa de uido, por lo que en esta situacion el menisco tieneun gran in uencia en la dinamica del sistema.

Cuando h 3.5 mm la relacion entre el numero Ma y el Ra cambia nota-blemente y el numero de Bond crece considerablemente. El empuje entonces esla fuerza dominante y las ondas viajeras que se obtienen contienen caracters-ticas con valores muy diferentes a los de las ondas hidrotermales. La direccionde propagacion de esta nueva inestabilidad es tambien claramente distinta dela de las ondas hidrotermales: viajan desde el lado caliente al fro con su vec-tor de onda formando = 180Æ con el gradiente de temperatura. Este tipo deestructura viajera tiene, en cambio, caractersticas similares a las de las ondasencontradas en otros experimentos. Segun algunos trabajos [46] provienen dela desestabilizacion de la capa lmite caliente [62].

Las ondas que se observan cuando h 1:55 mm, inicialmente cerca delas paredes situadas a cierta distancia en el eje y (modos de pared [50]), sonoriginadas en una fuente en el centro de la celda y arrastradas hasta las pa-redes. Dependiendo del tipo de inestabilidad las ondas se podran observar ono en el sistema antes de que queden absorbidas al alcanzar las paredes. Si la


Figura 8.11: Diagrama espacio temporal de las ondas hidrotermales cuando T Tc.

velocidad de grupo es diferente de cero en el sistema, para valores proximosal umbral las perturbaciones son arrastradas de forma que mueren en la pared(supuesta absorbente) antes de que puedan ser observadas (inestabilidad con-

vectiva). Para valores lejanos al umbral se encuentra que las perturbacionescrecen localmente, es decir, son inestabilidades absolutas, y pueden ser obser-vadas. En nuestro caso se ha obtenido que las componentes de la velocidadde grupo (vgr, vgrx = @!

@kxy vgry = @!

@ky) son: vgrx vphx y vgry 2

3vphy , donde ph

indica la velocidad de fase y gr la de grupo.Estos valores han sido obtenidos a partir del diagrama espacio temporal y

de la demodulacion compleja (cfr. captulo 6). La ecuacion para la fase delpaquete de ondas, para todo t e y se calcula, sabiendo que:

(t; y) = 0 +@

@y

y0

y + @

@t

t0

t+ : : :

donde el numero de onda local es q = @@y

y0y la frecuencia = @

@t

t0. Como

k = k0 + q y ! = !0 + podemos obtener la relacion de dispersion ! = f(k).

La velocidad de grupo es: vgr = @!@k

k=k0

, que es la pendiente de la curva de !


h (mm)

∆Tc(º

C)

Figura 8.12: Umbral de las ondas hidrotermales para la celda ja. En el puntoh= 3.5 mm (lnea discontinua) el numero Ra es del mismo orden que el Ma y seobservan ademas otras inestabilidades que hacen difcil ver con claridad las ondashidrotermales.

1 1.5 2 2.5 37

8

9

10

11

12

13

14

15

h (mm)

∆ T

(° C

)

Figura 8.13: Umbral de las ondas para la celda variable, con longitudes denidaslx= 100 mm, ly= 100 mm.


1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

h (mm)

ω (

s−1 )

(a)

30 40 50 60 70 80 90 100 1101

1.5

2

2.5

3

ly (mm)

ω (

s−1 )

(b)

Figura 8.14: Valores de la frecuencia; (a): Dependencia con h para la celda ja;(b): Dependencia con ly para la celda variable con lx= 100 mm y h= 1.5 mm.

en funcion de k. Una explicacion mas detallada se encuentra en el ApendiceA.

8.3.2 Caractersticas fsicas

Las principales caractersticas pueden hallarse con los diagramas espacio tem-porales encontrados en ambas direcciones x e y, semejantes al que esta repre-sentado en la gura 8.10.

Se ha determinado la dependencia de la frecuencia angular ! con la altura hpara la celda ja (gura 8.14 (a)) y para la celda variable (gura 8.14 (b)). Enesta gura puede verse el aumento de la frecuencia en funcion de la disminucionde la distancia ly. Esto podra ser la causa de las diferencias encontradas endiversos experimentos con contenedores de distinta longitud. La frecuenciaangular media de las ondas para el caso anterior es alrededor de 1.3 Hz, lo quecorresponde a un perodo entre 4 y 5 segundos. Este valor es muy diferenteal observado en Ezersky et al [45], lo cual pone de maniesto una vez masque la inestabilidad encontrada por estos autores es diferente de las ondashidrotermales. En cambio, los valores adimensionalizados con el tiempo t =h2= (gura 8.15(a)) son similares a los hallados en otros trabajos (Daviaud


1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

h (mm)

ω (

adim

ensi

onal

)(a)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

h (mm)

ω (

adim

ensi

onal

)

(b)

Figura 8.15: Valores de la frecuencia; (a): Valores adimensionalizados con el tiempot = h2=; (b): Valores adimensionales utilizando el tiempo denido por Smith yDavis [29].

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

10

20

30

40

50

60

70

80

90

h (mm)

Gra

dos

Figura 8.16: Angulo de propagacion de las ondas hidrotermales en funcion de laaltura de uido.


1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

h (mm)

Núm

ero

de o

nda

(adi

m.)

(a)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

h (mm)Núm

ero

de o

nda

(mm

−1 )

(b)

Figura 8.17: (a): Numero de onda adimensional j~kj (lnea continua), componente kx(+) y componente ky (); (b): Numero de onda j~kj (lnea continua), componente kx(smbolo ) y componente ky (smbolo cuadrado). El numero de onda en ambos ca-sos, (a) y (b), ha sido calculado a partir de los valores obtenidos de sus componenteskx y ky.

y Vince [23] y Mercier y Normand [20]). Para comparar con los resultadoscalculados por Smith y Davis [29] hemos adimensionalizado la frecuencia conel tiempo caracterstico que ellos denen t =

j @@Tj @T@x

. La frecuencia obtenida

en este caso (!adim < 0.15, gura 8.15(b)) muestra valores menores que lacalculada por aquellos autores (!adim = 0:2). Hay que tener en cuenta que en sutrabajo se supone una capa de longitud innita y un gradiente de temperaturaconstante, y ademas se considera Ra = 0.

Para la celda ja el angulo hallado esta entre 30Æ y 57Æ al variar h (gura8.16). El valor del numero de onda adimensional (gura 8.17(a)) esta en torno

a j~kj = 2:2, que es cercano al encontrado por varios autores (Smith y Davis[29], Parmetier et al [34] y Mercier y Normand [20]). El numero de onda parah = 3.5 mm puede tener un gran error, ya que para esa altura se observanotras inestabilidades viajeras mezcladas con las ondas hidrotermales.


8.3.3 Amplitud de las oscilaciones de la temperatura

En primer lugar hay que averiguar si existen ondas de temperatura y ade-mas, directamente relacionado con el mecanismo de inestabilidad de las ondas,determinar el campo de temperatura. Como las fuerzas interfaciales son las

22.2

22.3

22.4

22.5

22.6

22.7

22.8

60 70 80 90tiempo (s)

T (

ºC)

td 4.5 s

Figura 8.18: Se~nal de la temperatura medida por un termopar en x; y constantes,z variable. La serie superior corresponde a la temperatura de la supercie (z = 2mm) y las siguientes series a la temperatura leda al reducir z en pasos de 0.5 mm,hasta el fondo (z = 0 mm). El valor de td es el periodo de las ondas.

que dominan en el ujo, la primera cuestion reside en saber si la perturba-cion afecta a la supercie o a todo el volumen de uido. Para ello medimosla temperatura en un numero suciente de puntos del interior y en puntos dela supercie del uido, para una altura de uido h = 2 mm en la celda degeometra ja. Logicamente todas las medidas se realizan en la parte central,sucientemente lejos de las paredes de la celda para reducir su in uencia.

Interesa tambien saber como es la variacion de la temperatura en la direc-cion z y en la direccion x. La primera, en z, para averiguar si la perturbacionafecta solamente a la supercie (z = h) o a todo el volumen (z variable). Lasegunda, en x, porque en esta direccion se impone la diferencia de temperatura.

Variacion en la direccion z

Para observar la variacion de esta amplitud con la profundidad se sumerge untermopar en puntos (x; y) constantes a varias alturas, z = 0 (fondo), 0.5, 1, 1.5y 2 mm (supercie), que recoge series de temperatura en cada punto durante


21.9 22 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.60

0.5

1

1.5

2

T (° C)

z (m

m)

Figura 8.19: Perl vertical de temperatura para la celda ja y h = 2 mm (puntos). La lnea continua es un ajuste de los datos con un polinomio de orden cinco,que es la dependencia que encuentran Mercier y Normand [20]. En ese polinomio elnumero de parametros libres a ajustar son tres.

un tiempo de varios minutos (gura 8.18). Como se ve, la amplitud es mnimaen la supercie y maxima cerca del fondo (unos 0.07 ÆC), y se puede describircon la ecuacion:

T (x; z; t) = bT (z) cos(kx wt)

Por tanto, aunque el origen de estas ondas reside en las fuerzas termocapi-lares |segun se explica en la ref. [29]| el desarrollo de la perturbacion tienelugar en todo el volumen de la capa de uido: es un fenomeno de volumen[60]. Segun explica Smith [30], una region del interior del uido con tempera-tura mas elevada que su entorno es arrastrada por el ujo de retorno hacia lapared caliente calentando por conduccion la supercie. Esta zona del interiortiene una amplitud de temperatura maxima cerca del fondo y mnima en lasupercie. El mecanismo de inestabilidad que tiene lugar cuando Pr ! 1,dara ocasion a la propagacion de una onda en la direccion del gradiente detemperatura ( ! 0Æ). Sin embargo, como el uido tiene un Pr intermedio

el angulo resultante entre ~k y ~rT es mayor ( = 35Æ es el medido aqu parah = 2 mm [60]) y se tienen dos ondas oblicuas. Por tanto, estaramos en lasituacion descrita para el mecanismo cuando Pr es intermedio: ondas hidro-termales propagandose con una direccion oblicua. Efectivamente, comparandolas isotermas que se encuentran en el trabajo de Smith [30], gura 5, con los


encontrados en nuestro experimento, el acuerdo es bastante bueno. La diferen-cia entre los valores del angulo de propagacion hallados por Smith y Davis [29]( 20Æ), para Pr = 10, y el nuestro puede deberse a que estos autores noincorporan el empuje en su modelo. En cambio, Parmentier et al. a~naden estafuerza obteniendo un angulo = 33Æ, que es mas cercano al que se encuentraaqu.

Para la celda de geometra ja tambien se obtuvo un perl de temperaturaen el eje z, promediando en cada punto los datos de la serie temporal de latemperatura. El resultado (gura 8.19) muestra que en el fondo la componentez del gradiente es peque~na y por el contrario en la supercie es grande. A ttuloindicativo una estimacion del numero de Biot para este caso es Bi ' 102.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 7 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 8 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 9 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 10 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 11 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 12 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 13 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 14 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 15 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 16 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 17 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 18 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 19 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 20 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 21 mm

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20x = 22 mm

Frecuencia (Hz)

Den

sida

d es

pect

ral (

u.a.

)

Figura 8.20: Variacion de los picos de frecuencia y amplitudes de las ondas hidro-termales en puntos cercanos a la pared caliente.

Variacion en la direccion x

Las ondas no surgen simultaneamente ocupando toda la cavidad sino que amedida que aumenta la diferencia de temperatura van extendiendose desde


cerca del lado caliente hasta que ocupan toda la capa. Es interesante averiguarentonces como vara la amplitud de la temperatura de las ondas a medida quevan apareciendo, ya que puede ser esencial a la hora de estudiar el tipo detransicion.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 4 8 12 16 20 24 28

x (mm)

A(º

C)

Figura 8.21: Variacion de la amplitud de la temperatura en la direccion x cerca dela pared caliente. El valor de A es la amplitud pico a pico.

Para conocer esta variacion se recogen los datos de la temperatura en puntosespaciados 1 mm en la direccion x, desde x = 2 mm hasta x = 28 mm. Hastalos puntos con x 9 mm el menisco in uye considerablemente y en x 20mm no se observan ondas. En cada punto se obtiene una serie temporal de latemperatura. Despues se realiza la transformada de Fourier y se encuentra sihay algun pico en el espacio de frecuencias con gran amplitud. Como puedeobservarse en la gura 8.20 a medida que nos alejamos de la pared T+ (x = 0)surge una frecuencia con una amplitud creciente, con un maximo en x = 12 mm.Despues esta amplitud va decreciendo hasta anularse practicamente (x 20mm). La variacion de la amplitud con la distancia puede verse en la gura8.21.

El mismo resultado ha sido encontrado en la simulacion llevada a cabo porXu y Zebib [41]. Estos autores proponen que las oscilaciones de la temperaturacerca de la pared T+ tienen una amplitud mayor que en el resto de la celda, yque a medida que aumenta la diferencia de temperatura horizontal, la regionde las ondas va creciendo hasta llenar toda la capa de uido.

Sera interesante saber como es el crecimiento de esta amplitud con el para-metro que se~nala el umbral ( = TTc

Tc). Sabiendo esto, como en la direccion


21.5

21.6

21.7

21.8

21.9

22

22.1

22.2

200 210 220 230 240 250

tiempo (s)

T (

ºC)

Figura 8.22: Se~nal de la temperatura del interior del uido, obtenida con cuatrotermopares alineados en la direccion x, nivelados a la misma altura z= 0.5 mm.

y la dinamica es homogenea, podramos estudiar de que tipo es la bifurcacion.Ademas, tambien se puede conocer la tasa de crecimiento espacial (sx) supo-niendo que estamos sucientemente cerca del umbral (@tA = 0; jAj 0) dondela variacion de la amplitud A es lineal: @xA = sxA. Entonces, se tiene laecuacion de amplitud mas simple:

0vgrx @xA = A

0vgrx sxA = A

luego la tasa es:

sx =

0vgrx

donde 0 es el tiempo caracterstico. Cuando las ondas llenan completamentela capa de uido (situacion alejada del umbral), se obtienen unas se~nales detemperatura con amplitud constante en torno a 0.07 ÆC, para z = 0.5 mm, enel centro de la celda (gura 8.22).

8.3.4 Mecanismos de inestabilidad

Una de las explicaciones de este mecanismo que parece estar de acuerdo conlos datos experimentales es la propuesta por Smith y Davis ya explicada endetalle en el captulo de la introduccion y referenciada aqu. Segun esta ha-bra basicamente dos mecanismos diferentes cuando el numero Pr es grande o


peque~no. Uno basado en el dominio de las fuerzas de inercia (Pr peque~no) yel otro en el dominio de las fuerzas viscosas (Pr grande). Cuando Pr tiene unvalor moderado |como es nuestro caso| se tendra una combinacion de am-bos mecanismos: las ondas viajaran formando un angulo con el gradiente detemperatura y habra una competicion entre ambas fuerzas. Esta explicacionesta en buen acuerdo con algunos valores de las propiedades fsicas encontra-dos (fundamentalmente con el numero de onda). Ademas, como veremos masadelante, aunque el angulo de propagacion diere del encontrado en nuestrotrabajo, las ondas viajan oblicuamente hacia la pared caliente, tal como su-gieren estos autores. El que las oscilaciones de temperatura obtenidas en todoel volumen de la capa de uido tengan una amplitud maxima cerca del fondo,tambien parecen estar de acuerdo con este mecanismo.

Segun otros trabajos [44, 45, 46] en los que el numero Pr es grande, lasinestabilidades viajeras encontradas surgen a partir de la desestabilizacion dela capa lmite caliente. Las ondas que aparecen en estos casos tienen propie-dades bastante diferentes a las estudiadas aqu, especialmente en lo referentea la direccion de propagacion que es en sentido contrario a la de las ondashidrotermales.

Por otra parte, si la velocidad de grupo es distinta de cero, al trabajar conuna celda ja solo se puede observar el umbral absoluto y no el convectivo. Tanpronto como nos alejamos del umbral, el rango de numeros de onda posibleses amplio (

p

0< q <

p

0, ref. Apendice A). Esto implica que aparece un

paquete de ondas. El paquete de ondas viaja con una velocidad de grupo quetiene un valor y una direccion en principio distintas de las de la velocidad defase. El umbral convectivo se alcanza cuando una perturbacion crece en el ujo primario y a consecuencia de su velocidad de grupo se propaga y muereen las paredes de la celda. Existe solo durante un tiempo transitorio y, debidoa su peque~na tasa de crecimiento espacial, no perdura [28, 50]. En cambio, lainestabilidad absoluta no es arrastrada por el ujo y crece espacialmente.

El tren de ondas observado se propaga del lado fro al caliente. Segunalgunos estudios [22, 23, 63] puede ocurrir que las ondas surjan de una fuentepuntual cuando la altura de uido es peque~na (h = 1.6 mm), que es estecaso. Se tendran as dos ondas viajando simultaneamente con un angulo deinclinacion respecto al gradiente de temperatura, tal como hemos observado.

Otro mecanismo posible tiene como parametro crtico el gradiente de tem-peratura local. Es decir, las ondas seran estables y localizadas en las regionesde la capa de uido en las que el valor del numero de Marangoni supere un va-lor umbral. Los resultados que apoyan este mecanismo se veran en el captulo9.


Figura 8.23: Diagrama espacio temporal de las ondas hidrotermales observadas enacetona.

8.4 Inestabilidades para Pr = 4.4

En este ultimo apartado se muestran algunos resultados para un uido, aceto-na, con un numero Pr = 4.4. Como el uido anterior, este valor esta compren-dido en el rango de numeros de Prandtl intermedios, por lo que en principiolas caractersticas de las ondas hidrotermales seran similares. Por este motivono hemos llevado a cabo un estudio tan exhaustivo como el realizado con elprimer uido. Simplemente, a modo de comparacion se indican los umbralesencontrados, los valores de la frecuencia, numero de onda y angulo de propa-gacion.

8.4.1 Umbrales y caractersticas de las ondas

Se han determinado los valores de Tc en el umbral para lx = 50 mm y variaslongitudes ly, con resultados similares a los hallados para el uido anterior.Como ejemplo en la gura 8.23 se muestra un diagrama espacio temporal delas ondas hidrotermales cerca del umbral.

Los valores de la frecuencia y del numero de onda se mantienen practica-mente constantes (guras 8.24 (a) y 8.25 (a)): j~kjmedio ' 1.69 mm1 y !medio '2.65 s1. Sin embargo, tanto la frecuencia adimensional como el numero deonda adimensional aumentan con ly. La primera ha sido adimensionalizadacon l2y=. El numero de onda adimensional se calculo multiplicando el valor di-mensional por ly. Como se puede ver, comparando los resultados, la frecuencia

8.4. INESTABILIDADES PARA PR = 4.4 93

40 50 60 70 80 90 100 1100

1

2

3

ly (mm)N

úmer

o de

ond

a (m

m−

1 )

(a)

40 50 60 70 80 90 100 11050

100

150

200

ly (mm)N

úmer

o de

ond

a (a

dim

.)

(b)

Figura 8.24: (a): Numero de onda (lnea continua) y componentes del vector deonda para acetona. La componente ~kx esta indicada por el smbolo + y la compo-nente ~ky por el smbolo o; (b): Valores adimensionales de la componente ~kx (), de

la componente ~ky (cuadrados) y del numero de onda (lnea continua).

no vara apreciablemnte respecto al caso en el que se utiliza aceite de silicona,y el numero de onda es algo menor en este caso, lo cual esta en buen acuerdocon lo obtenido por Smith y Davis [29] para este numero de Prandtl. Estosautores predicen tambien un angulo de unos 40Æ (para Pr = 4.4) y los valoresque se encuentran en este experimento estan entre 30Æ y 55Æ (gura 8.26).

No ha sido posible comparar estos valores con otros experimentos puestoque el unico que utiliza acetona del que tenemos noticia|el de Villers y Platten[43]| ha estado mas dirigido hacia la obtencion del campo de velocidad, yademas en el no se estudia el comportamiento de ondas viajeras.


40 50 60 70 80 90 100 1102

2.5

3

3.5

ly (mm)

ω (

s−1 )

(a)

40 50 60 70 80 90 100 1100.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

4

ly (mm)

ω (

adim

.)

(b)

Figura 8.25: Frecuencia dimensional (a) y adimensional (b) de las ondas hidroter-males, para acetona.

40 50 60 70 80 90 100 1100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

ly (mm)

ψ (

grad

)

Figura 8.26: Variacion del angulo de propagacion para distintos valores de ly.

Captulo 9

In uencia de la geometra

Tratamos en este captulo de estudiar el efecto del connamiento en las on-das hidrotermales. Se pretende, por un lado, conocer la in uencia de estoslmites en el mecanismo de desestabilizacion y en las caractersticas de lasinestabilidades y, por otro lado, explicar los diferentes resultados obtenidos enexperimentos con geometras variadas. En lo que sigue se mantiene una alturaconstante h = 1.5 mm.

9.1 Connamiento en la direccion x

9.1.1 Umbral de las ondas

Manteniendo constante la distancia ly a 100 mm se vara ahora lx y en cadacaso (lx; ly) se halla el umbral de aparicion de las ondas hidrotermales. Comose observa en la gura 9.1 a medida que crece lx el umbral Tc aumenta enrelacion lineal. Si el parametro que se~nala la aparicion de las ondas es elgradiente de temperatura parece logico que al variar lx tambien tenga quecambiar Tc de forma lineal para que el gradiente permanezca constante. Sinembargo, para cada caso (lx,ly), este valor global del gradiente no es totalmenteconstante en toda la celda. Por un lado, en un caso ideal cuando la distancialx se reduce hasta un valor lx = 0, se obtendra una diferencia de temperaturaTc = 0ÆC. Por el contrario, segun lo que se observa en la gura 9.2 (a),cuando lx ! 0, se obtiene Tc 4ÆC. Esto signica que hay una cada de latemperatura cerca de las paredes conductoras que ocasiona que para cualquiervalor de lx el gradiente efectivo en la celda sea menor que Tc

lx. Esto explica

que la recta de la graca 9.1 no corte al eje Tc en el punto Tc = 0 cuandolx = 0. Por otro lado, se observa (gura 9.2) que el perl de la temperaturaes casi lineal pero no del todo: depende de x de la forma @T

@x(x). Por tanto,

= (x). As, puede ocurrir que en algunos puntos del uido el valor de supere el crtico en el umbral mientras que en otros tenga un valor por debajo

95

96 CAPITULO 9. INFLUENCIA DE LA GEOMETRIA

30 40 50 60 70 80 90 100 1107

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

lx(mm)

∆Tc(°

C)

Figura 9.1: Diferencia de temperatura en el umbral al variar lx con ly = 100 mm.Los puntos corresponden a los valores encontrados y la recta a un ajuste lineal.

del umbral.

Nos planteamos entonces la posibilidad de encontrar un valor local del gra-diente de temperatura a partir del cual se originan las ondas hidrotermales.Por un lado, con este gradiente local la in uencia de las paredes sobre el gra-diente de temperatura quedara desligada de la obtencion de este parametrolocal: el gradiente considerado no sera el global en toda la celda sino en cadapunto del uido.

9.1.2 Perles de temperatura

Antes de proceder al calculo de ese parametro local es necesario encontrar elcampo de temperatura del uido. Para averiguar si el gradiente local dependede z se han hallado varios perles de temperatura en la direccion x moviendoel termopar en la direccion z. La variacion de la componente x del gradientehorizontal de temperatura en distintos puntos estuvo en torno al 2%, por loque se puede considerar que el gradiente horizontal es practicamente el mismopara distintos valores de z, excepto, una vez mas, cerca de las paredes (es decir,aproximadamente en una region 10 < x < 90 mm, gura 9.2 (a)). Desplazando

9.1. CONFINAMIENTO EN LA DIRECCI ON X 97

el termopar en la direccion y se obtienen varios perles de temperatura en esteeje, como aparece en la gura 9.2 (b). La variacion maxima de la temperaturaen esta direccion es de 0.15ÆC en una zona limtrofe a las paredes adiabaticasld ' 15 mm. En la region central la temperatura uctua solamente 0.02ÆC.Por tanto, se puede decir que el gradiente de temperatura en cada punto xi del uido y en una zona sucientemente alejada de las paredes, solamente tienecomponente x, L(xi) =

@T@x

x=xi

18

19

20

21

22

23

24

0 20 40 60 80 100

T(º

C)

x (mm)

y (mm)

T(º

C)

0 20 40 60 80 10020

20.7

20.6

20.5

20.4

20.3

20.2

20.1

(a)

(b)

Figura 9.2: Perles de temperatura en la direccion x (a) y en la direccion y (b),para lx= 100 mm y ly= 100 mm.

Se determina entonces el campo de temperatura en el plano XY , cerca delumbral de las ondas, en cada una de las conguraciones de la cavidad (en elrango de valores de lx y ly). En la direccion x la variacion de temperaturaes lineal, excepto en una region de unos 10 mm colindantes con cada una delas paredes conductoras T+ y T (gura 9.2 (a)). En cada una de estas zonas

la temperatura vara unos 3ÆC. Por tanto el gradiente central j~rT jx=lx=2 esmenor que el gradiente total en toda la capa de uido: T=lx. En la gura


mencionada la longitud en la direccion del gradiente de temperatura es lx= 100mm y se han registrado mas de 90 puntos. Para otros valores de lx el numerode datos es menor pero se observa que la temperatura es tambien lineal lejosde los extremos de la celda.

9.2 Numero de Marangoni local

0 20 40 60 80 100200

300

400

500

600

700

800

x (mm)

Ma L

378 ± 21

Figura 9.3: Numero de Marangoni local calculado a partir del perl de la gura 9.2(a). La lnea continua representa un ajuste con un polinomio de orden cuatro. Elvalor MaL = 378, dado por la lnea discontinua, corresponde al valor del numero deMarangoni local en el umbral de las ondas, y su error 21 es la desviacion estandar.

Existe un desacuerdo entre el numero de Marangoni calculado en los tra-bajos de tipo teorico y los encontrados en los experimentos. Habitualmenteen los primeros suele considerarse una capa de longitud innita y un gradientede temperatura constante, mientras que en los segundos la temperatura varaabruptamente cerca de las paredes del contenedor, esta temperatura no es linealen toda la celda y el gradiente no es constante. As resulta que este parametrode estabilidad en estos casos, hallado a partir de la relacionMa = T+T

lx, tiene

valores diferentes al calculado en los analisis. En algunos experimentos, debidoa la corta longitud del contenedor en la direccion del gradiente se encuentrannumeros de Marangoni que divergen apreciablemente del teorico.

Cualitativamente lo que se tiene cuando se alcanza la diferencia de tempe-ratura crtica Tc es el nacimiento de las ondas hidrotermales simetricas en

9.3. CONFINAMIENTO EN LA DIRECCI ON Y 99

y y se propagan en la direccion x en una zona del uido cercana a la paredcaliente. A medida que se incrementa la diferencia de temperatura las ondasvan ocupando una region de uido mayor. Ya que este fenomeno parece estarinicialmente localizado (a posteriori las ondas cubren todo el volumen de ui-do) cabe plantearse entonces si hay algun parametro de tipo local que dicte suaparicion. Ademas, como hemos visto, el gradiente depende de x, (x) y portanto tambien el numero de Marangoni Ma(x).

A partir del perl de temperatura obtenido (gura 9.2 (a)) se determinanlos valores del numero de Marangoni de acuerdo con la denicion del gradiente:

L =

dTdx

Se obtiene as un numero de Marangoni local MaL, como puede verse en lagura 9.3 para lx = 100 mm y ly = 100 mm. Para determinar el valor degradiente local, hemos obtenido la temperatura en puntos separados 1 mm,con lo que

dTdx

x=x0

Tx

= T (x+x0)T (x0x)2x

. En la gura mencionada

se observa que cuando MaL es aproximadamente igual a 37821 surgen lasondas. Segun se aumenta T la curva se desplaza hacia arriba de tal maneraque existen mas puntos cuyo numero de Marangoni local supera el valor crticoMaL = 378 y la region ocupada por las ondas va siendo cada vez mayor. Estevalor de MaL es similar al de Smith y Davis [29] (Ma 380).

Es por tanto este parametro local el que dene el umbral de aparicion delas ondas hidrotermales [64]. De esta manera quedara explicada la diferen-cia entre los valores del numero de Marangoni obtenidos en otros trabajosexperimentales, que sera superior a 378, y los valores teoricos.

9.3 Connamiento en la direccion y

9.3.1 Efecto del tama~no nito

Para estudiar como afecta este connamiento se mantiene constante la dis-tancia lx = 100 mm cambiando el valor de ly entre 41 mm y 100 mm. Paracada caso se determina el umbral de aparicion de las ondas hidrotermales, losvalores del numero de onda y de las componentes del vector de onda, as comola frecuencia y el angulo de propagacion. Los resultados concernientes a lafrecuencia quedaron explicados en el captulo 8.

En primer lugar se observa que a medida que disminuye la distancia en-tre las paredes no conductoras, ly, el umbral de las ondas aumenta: hay unefecto de amortiguamiento en esta direccion (gura 9.4). Esto fue observadoanteriormente solamente en algunas simulaciones [41] y puede ser explicado apartir del incremento que sufre el umbral a causa de tener una celda nita ly.


40 50 60 70 80 90 10011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

ly(mm)

∆Tc(°

C)

Figura 9.4: Dependencia de la diferencia de temperatura en el umbral (Tc) con lalongitud entre las paredes no conductoras (ly), manteniendo lx= 100 mm y h= 1.5mm. El smbolo + corresponde a los datos obtenidos y la lnea continua a un ajusteen funcion de l2y .

En la direccion y el comportamiento de la amplitud es homogeneo y pue-de ser descrito con una ecuacion de amplitud [65, 66]. Supongamos que labifurcacion que sufre la onda S(y; t) = A(y; t)ei(kcy!t) + c:c:, que se propagaen esa direccion, es supercrtica [67]. La ecuacion de la amplitud compleja,considerando vg = 0, se puede escribir como:

@tA = A g(1 + ic1)jAj2A+ 20(1 + ic2)@yyA (9.1)

donde el primer termino del miembro de la derecha describe la desestabilizacionlineal, el segundo la saturacion no lineal, del orden mas bajo para describir unabifurcacion supercrtica, y el tercero la difusion espacial (0 es la longitud decorrelacion). Los coecientes c1 y c2 dan cuenta de la dispersion. La amplitudcrece cuando comienza a tener valores positivos. Es decir, se llega al umbralcuando = 0.

Se busca entonces la solucion mas simple de esta ecuacion. ComoA dependede y y t, la solucion mas simple corresponde a ondas planas, con un numerode onda q kc (as la evolucion de A es muy lenta frente a la de kc). Ademas,

9.3. CONFINAMIENTO EN LA DIRECCI ON Y 101

se buscan las soluciones estacionarias (@tA = 0). Es decir,

A(y) = Beiqy

con B real. Sustituyendo en la ecuacion A.4,

0 = gB2 q220

de donde,

B2 =

g 20

gq2

De aqu se deduce que en el umbral solo puede existir una onda plana de

amplitud cero, B2 = 0 20

gq2, ya que la unica solucion para B real es B = 0

cuando q = 0. Por tanto, c = 0 es el valor del umbral de aparicion de ondasplanas.

Mas lejos del umbral c se tendran los siguientes valores posibles de q quehacen que B sea real:

p

0< q <

p

0

Teniendo en cuenta que la celda tiene una longitud ly en la direccion y, laamplitud de la onda cerca de los extremos y = 0 y y = ly decae a cero debidoal amortiguamiento producido por la disipacion. De hecho, las ondas surgeny mueren en algun punto del interior del uido cercano a estas paredes. Sinembargo, hemos elegido una onda plana con amplitud B constante en todo y,por lo que esta amplitud A no puede caer a cero en esos extremos con un q = 0(!1). Por tanto, en el umbral, para c = 0 dichas ondas planas no puedeexistir.

La primera solucion que se obtendra sera aquella en la que A = 0 en losbordes de la celda. El caso mas simple es aquel donde ly =

2) q = 2

=

ly:

A(y) = Beiqy ! A(y) = Be(iy=ly) + c:c:

Por lo tanto la primera onda que se observa sera del tipo:

S(y; t) = Beiqyei(kcy!t)

Sustituyendo A(y) en la ecuacion de amplitud A.4, en aproximacion lineal,se tiene que para poder verla habra que alcanzar un valor de :

202=ly

2

Es decir, el umbral se habra desplazado, y ahora sera :


= c + (0=ly)2 = (0=ly)

2

De esta manera, cuanto mas peque~na es la distancia ly mayor es el valor de. Mientras que el efecto de celda nita favorece de esta forma la estabilidaddel estado basico [50, 68], si se considera una capa de longitud innita, ly !1,se recupera el resultado anterior = c = 0.

En el experimento, el parametro que se~nala la transicion de un estado a otroes el gradiente de temperatura = @T

@x, por lo que apareceran ondas cuando

> 1, donde 1 corresponde al caso de una capa de uido de longitudinnita. Si adimensionalizamos el parametro que dene el umbral queda:

= 11

y se tiene: = 1(1 + ) = 1(1 + 20

2=l2y)

De acuerdo con esto en la gura 9.4 se ha realizado un ajuste Tc(ly) =T1(1 + 220=s

2y) donde sy = ly 2ld es la distancia en que los parametros

son constantes (sistema homogeneo). la distancia ld 15 mm, gura 9.2 (b),corresponde a la longitud en la cual el gradiente vara bruscamente. Con esteajuste se hallo una longitud de correlacion 20 , con lo que realmente larelacion de aspecto cumple = lx

0; ly0 1.

9.3.2 Variacion de las caractersticas fsicas de las ondas

Se detalla en este apartado la in uencia que ejerce la geometra del contenedorsobre los valores del angulo de propagacion y el numero de onda. Las ondasque aparecen son simetricas en y y tienen un rango de valores entre 35Æ y 52Æ.Al aumentar la distancia ly el angulo disminuye (gura 9.5 (a)). Ademas, parael caso lx ly el angulo tiene un valor ligeramente superior a 30Æ, diferenteal encontrado en otros experimentos ( 90 Æ en los trabajos de Schwabe etal [14] y Daviaud y Vince [23]), probablemente debido al estrechamiento de sucelda en la direccion x. En cambio, nuestro valor esta en buen acuerdo con loobservado en el trabajo [22] para los casos lx = 20 mm, ly = 30 mm y ly = 250mm. Estos autores hallan un angulo = 180Æ = 2.6 rad, que correspondea ' 31Æ. Si lx es similar a ly el angulo esta entre 30Æ y 40Æ, lo que esta deacuerdo con los valores de Riley y Neitzel [48].

El numero de onda muestra una variacion desde j~kj = 2:3 mm1 hasta

j~kj = 1:5 mm1, disminuyendo claramente cuando ly crece por encima de 65

mm. Alcanza su valor mnimo j~kj = 1:5 mm1 en ly = 95 mm. Estos valores seajustan bastante bien a los hallados en otros experimentos y analisis teoricos

9.4. INFLUENCIA DE LA RELACI ON DE ASPECTO LX=LY 103

20

30

40

50

60

70

30 50 70 90 110

ly (mm)

Ang

ulo

(gra

dos)

1

1.5

2

2.5

3

20 40 60 80 100

ly (mm)

Núm

ero

de o

nda (

mm

-1)

a)

b)

Figura 9.5: Valores del angulo (a) y del numero de onda (b) para lx= 100 mm, h= 1.5 mm y ly variable.

[20, 29, 34]. Si ly aumenta, la componente ~kx del vector de onda cambia desde

2 mm1 hasta 1.1 mm1 y la componente ~ky decrece desde 2 mm1 hasta 0.94mm1.

A partir de la relacion de dispersion !(kx;y) obtenida en las direcciones x ey se ha calculado la velocidad de grupo del paquete de ondas. La componentex de esta velocidad, vgrx , es similar a la componente de la velocidad de fase enla misma direccion, vphx , mientras que en la direccion y se tiene que vgry 2

3vphy .

Este resultado pone de maniesto que el paquete de onda se propaga desde ellado fro al caliente y que las ondas son originadas en una fuente en el centrode la celda.


∆T

ψ

lx

T+ T-ly

θ

Figura 9.6: Angulo que forma la diagonal de la celda, y angulo de propagacionde las ondas.

9.4 In uencia de la relacion de aspecto lx=ly

Un aspecto que merece atencion cuando se tienen en cuenta las dimensionesde la celda experimental consiste en averiguar si la geometra impone alguntipo de dependencia con la direccion de propagacion de las ondas. Ya hemosvisto que los angulos de propagacion ciertamente varan segun sea la relacionentre lx y ly (cfr. apartado 9.3.2), pero hasta ahora no hemos dado alguna leyo relacion entre estas longitudes y el angulo de propagacion.

Si se tiene en cuenta el angulo = arctan (lx=ly) que forma la diagonalde la celda y el angulo de propagacion de las ondas = arctan (ky=kx) seencuentra que ambos estan ligados por una relacion lineal (gura 9.6):

= 0:42 + 0:53

con y en radianes. Esta relacion ha sido obtenida a partir de un ajuste delos datos de la gura 9.7. Extrapolando este resultado para los casos lmite, setiene que cuando lx ly el angulo es =2 y aumenta hasta casi 1.18 rad(70Æ). En cambio, cuando lx ly, tiende a 0 y disminuye hasta 0.53 rad(30Æ).

Este resultado diere de lo observado en algunos experimentos, como losdel grupo de Daviaud et al. [23], en los que para una relacion lx ly el angulotiene un valor cercano a 90Æ, debido probablemente al gran connamiento enla direccion x. En cambio, como se puede ver en la gura 9.7, el angulo halladoen el experimento de Burguete et al [22] esta de acuerdo con nuestro resultado.

Segun lo visto, las ondas hidrotermales en sistemas connados tendran unangulo de propagacion que no depende solamente del numero Pr del uido,o de las fuerzas consideradas, sino tambien de la relacion de aspecto lx=ly del

9.4. INFLUENCIA DE LA RELACI ON DE ASPECTO LX=LY 105

contenedor. Esto puede ser la causa de la diferencia entre los angulos obtenidosen los experimentos con el mismo uido para alturas similares.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

θ = arctan(lx/ly) (rad)

ψ =

arc

tan(

ky/k

x) (

rad)

Figura 9.7: Dependencia del angulo de propagacion de las ondas hidrotermales( = arctan (ky=kx)) con la diagonal de la cavidad = arctan (lx=ly). La rectadiscontinua es un ajuste lineal de los datos mostrados con el smbolo . El punto +corresponde al experimento de Burguete et al. [22].

Otro aspecto interesante relacionado con la geometra consiste en estudiarel diagrama de estabilidad en funcion de la relacion entre lx y ly. Para unaaltura h = 1.5 mm se tiene una transicion, para una diferencia de temperaturadeterminada Tc, entre el ujo basico y las ondas hidrotermales (gura 9.8).Segun este resultado, no solamente la altura de uido (o la relacion entre losnumeros Ma y Ra) y la diferencia de temperatura son parametros crticos eneste problema, sino tambien las dimensiones de la cavidad. Hasta ahora, enla mayora de los experimentos se haba trabajado con una conguracion in-variable (en cada caso), con lo que no se haba tenido en cuenta la posibilidadde que el connamiento jugara un papel decisivo a la hora de la seleccion dela estructura. Como se observa en la gura citada, los resultados de algunostrabajos que utilizan varias longitudes lx son compatibles con lo que se ha en-contrado en este experimento. El resultado divergente se~nalado por el smbolo en la gura puede ser debido a que en ese caso el fondo de la celda no esbuen conductor, mientras que el resto de los puntos + se encuentran cuandoel fondo es conductor y el gradiente constante.


0 0.5 1 1.5 2 2.50

5

10

15

20

lx / l

y (mm)

∆ T c(°

C)

TW

BF

Figura 9.8: Diagrama de estabilidad. Los smbolos + separan la transicion entre el ujo basico (BF) y las ondas hidrotermales (TW) dependiendo de la relacion lx=ly.La lnea discontinua indica solamente la separacion entre estas dos regiones. Elsmbolo muestra un resultado encontrado en otra celda [60] y el smbolo paraun uido con un numero de Prandtl bastante mayor (Pr = 17). Los resultadosse~nalados por el smbolo han sido encontrados recientemente por Burguete el al.[22]

Parte IV

Conclusiones

Captulo 10

Conclusiones

Las conclusiones se pueden agrupar en dos apartados. El primero hace refe-rencia a los estados estables que se alcanzan en el sistema y, mas en particular,al comportamiento de las ondas hidrotermales y al mecanismo de inestabilidadque las origina. El segundo se centra en el estudio de la in uencia que ejerceel connamiento sobre las ondas hidrotermales.

En primer lugar, se ha puesto de maniesto que el mecanismo de inestabili-dad mediante el que aparecen las ondas hidrotermales para uidos con numerode Prandtl intermedio esta de acuerdo con el descrito por Smith y Davis: lasondas se propagan con un angulo respecto al gradiente de temperatura y laamplitud de las oscilaciones de la temperatura es maxima cerca del fondo. Lasondas hidrotermales son un fenomeno de volumen, incluso si solo se tiene encuenta la tension supercial. Este mecanismo y los valores de la frecuencia,del numero de onda y del angulo de propagacion estan en buen acuerdo con lagran mayora de los trabajos teoricos y experimentales.

Las ondas solamente se originan cuando las fuerzas interfaciales dominanen el ujo (el numero de Marangoni es mucho mas grande que el numero deRayleigh), es decir para alturas de uido h 3 mm. Para valores h 1:55mm el ujo basico se desestabiliza en ondas hidrotermales.

Cuando 1:55 < h 3 mm el ujo basico pierde su estabilidad en forma derollos estacionarios corrotativos y para una diferencia de temperatura mayorsurgen ondas hidrotermales superpuestas a estos rollos. Se ha obtenido elcomportamiento del numero de onda de los rollos al variar h, as como larelacion entre el numero de rollos y la altura de uido. Los umbrales de estosrollos han sido medidos. Tambien han sido determinadas otras estructurasestacionarias cuando h 3:5 mm: rollos longitudinales e inclinados.

Para evaluar la in uencia del numero de Prandtl en la aparicion de lasondas, se ha utilizado otro uido con Pr = 4:4 intermedio. El numero de ondaen este caso muestra valores ligeramente menores que para Pr = 10, que estande acuerdo con las predicciones de los analisis de estabilidad. Sin embargo, no

109

110 CAPITULO 10. CONCLUSIONES

se han encontrado diferencias signicativas.

En el umbral las ondas surgen localizadas en una region cercana a la pa-red caliente y a las paredes adiabaticas. Cuando aumenta sucientemente ladiferencia de temperatura horizontal las ondas invaden toda la capa de uido.La variacion de la amplitud de las oscilaciones de la temperatura ha mostradoque esta amplitud alcanza un maximo cerca de la pared caliente y que decreceal aumentar la distancia a esta pared.

El estudio de la temperatura en la direccion x lleva a la obtencion de ungradiente de temperatura no constante en esta direccion, debido a la cadabrusca de la temperatura en la proximidad de las paredes conductoras. Estoocasiona que el numero de Marangoni en el umbral, en toda la celda, estesobreestimado y deba considerarse un numero Ma local, hallado en la regiondonde empiezan a observarse las ondas. Este numero de Marangoni local tieneun valor en el umbral similar al calculado en los trabajos teoricos. En esta di-reccion x no es posible aplicar modelos puesto que los parametros dependen dex. Esto explica el crecimiento de la amplitud A(x), puesto que = Ma(x)MaL

MaL,

pero a causa del ruido experimental no se ha podido determinar si la amplitudsigue una ley del tipo A = 1=2. Para ello hara falta que la precision en lamedida de Tc fuera de un miligrado.

De acuerdo con la naturaleza absoluta de la inestabilidad, ha sido medidala velocidad de grupo resultando ser distinta de cero. Como consecuencia, enel umbral es de esperar que la inestabilidad sea convectiva y las perturbacionessean arrastradas. Debido al tama~no nito de la celda estas perturbaciones soneliminadas al llegar a las paredes, por lo que solamente seran observables las on-das cuando se supere el umbral absoluto. Estas observaciones parecen acordescon los llamados modos de pared, aunque no se puedan realizar comparacionescuantitativas.

Las dimensiones de la celda in uyen de una manera relevante sobre el um-bral y las caractersticas fsicas de las ondas. Aunque subsisten algunas discre-pancias, los angulos de propagacion de las ondas obtenidos en otros trabajoshan sido bien explicados al encontrar los valores del angulo para los casos:lx ' ly, lx ly, lly. El valor de la frecuencia es mas grande conforme sereduce la distancia ly. El connamiento en la direccion y causa un despla-zamiento del umbral que ha sido determinado, lo cual muestra la diferenciaal comparar los resultados teoricos (ly ! 1) y los experimentales (ly nito).Esto permite asociar a la dinamica de las ondas en la direccion y un mode-lo de dinamica unidimensional de tipo general (ecuacion de Ginzburg-Landaucompleja).

Se ha observado que la relacion de aspecto lx=ly juega un papel fundamen-tal en el diagrama de estabilidad. A partir de un determinado valor de estarelacion el ujo basico se desestabiliza apareciendo ondas hidrotermales. Es-te resultado esta de acuerdo con lo obtenido en otros experimentos y puede

10.1. CUESTIONES ABIERTAS 111

ser debido al connamiento de la pared que ocasiona un desplazamiento delumbral, analogamente a lo que se muestra en la gura 9.4.

Existe una relacion lineal entre el angulo de propagacion de las ondas y elangulo formado por la diagonal del contenedor. Segun esta relacion el angulo de las ondas vara entre 30Æ y 70Æ. La explicacion de este resultado puede estarbasada en el connamiento relativo que in uye en cada uno de los mecanismosque generan las ondas hidrotermales (cuando las ondas viajan en direccionperpendicular o paralela al gradiente de temperatura).

10.1 Cuestiones abiertas

Queda pendiente una explicacion de la existencia de rollos oblicuos cuando laaltura de uido es grande. Como se ha apuntado, las condiciones termicas delcontenedor podran quiza modicar la orientacion de los ejes de los rollos.

Estan por estudiar las causas que provocan la transicion entre el ujo ba-sico y ondas hidrotermales cuando la relacion lx=ly alcanza un determinadovalor. Tampoco se conoce el motivo de la dependencia lineal entre el angulode propagacion de las ondas ( ) y el que forma la diagonal de la celda ().

Por ultimo, sera interesante averiguar cual es el comportamiento del siste-ma lejos del umbral, en la transicion entre un estado estable y el caos. Con unmodelo adecuado cabra la posibilidad de comparar estos dos regmenes.

112 CAPITULO 10. CONCLUSIONES

Parte V

Apendice

Apendice A

Ondas planas en una ecuacion

de amplitud

En nuestro experimento, tal y como se ha visto, los parametros que controlan ladinamica son homogeneos en la direccion y y varan en la direccion x. Esto haceque las ondas aparezcan en una region determinada en x, y con una dinamicaen y que puede considerarse unidimensional (se tiene un unico numero de ondapredominante).

En esa direccion existe simetra de traslacion (y ! y +y) y de re exion(y ! y), as como la simetra t ! t en el problema. Ademas, las ondastienen la simetra A ! Aei [69]. Como se ha demostrado en otros trabajos,ref. [22, 67], estas ondas aparecen va una bifurcacion supercrtica.

En estas condiciones, un modelo que puede describir la dinamica es laecuacion compleja de Ginzburg-Landau. Esta ecuacion expresa la evolucionde la amplitud A del paquete de ondas S(y; t) = A(y; t)ei(k0yw0t):

0(@t + vg@y)A = A + 20(1 + ic1)@yyA g(1 + ic2)jAj2A (A.1)

donde 0 es el tiempo caracteristico de la evolucion, vg la velocidad de grupo,0 la longitud de correlacion, la distancia al umbral, g la saturacion, c1 deter-mina la dispersion lineal y c2 la dispersion no lineal. Esta ecuacion complejasupone que la escala de variacion espacial y temporal de A (envolvente de laonda) es lenta con respecto a la oscilacion de base.

La amplitud compleja se descompone en modulo y fase:

A(y; t) = jA(y; t)jei(y;t) (A.2)

Si introducimos la expresion A.2 en A.1 podemos separar la dinamica del mo-dulo de la amplitud y de la fase. As, se obtiene:

0(@tjAj+ vg@yjAj) + ijAj0(@t+ vg@y) =

115

116APENDICE A. ONDAS PLANAS EN UNA ECUACI ON DE AMPLITUD

= jAj+ 20(1 + ic1)(@yyjAj+ 2i@y@jAj jAj(@y)2 + ijAj@yy) g(1 + ic2)jAj3

La parte real de esta ecuacion es la ecuacion de amplitud:

0(@tjAj+ vg@yjAj) = jAj+ 20@yyjAj 20 jAj(@y)2 220c1@y@yjAj 20c1jAj@yy gjAj3

Y la parte imaginaria es la ecuacion de fase:

0(@t+ vg@y) = 20c1

"@yyjAjjAj (@y)

2

#+ 202

@y@yjAjjAj + 20@yy gc2jAj2

Desarrollando (y; t) en serie, se obtiene:

(y; t) = 0 + (@y)jy0 (y y0) + (@t)jt0 (t t0) + ::: ' 0 + @yjy0 y + @tjt0 t+O(2)

Ya que la variacion de la amplitud es peque~na y lenta, nos quedamos con losterminos de orden uno. Por tanto:

A = jAjei = jAjei(0+@yy+@tt)Luego la funcion del paquete de ondas S(y; t) sera:

S(y; t) = jAjeiei(k0y!0t) = jAjei(0+@yy+@tt)ei(k0y!0t)= jAjei[(k0+@y)y(!0@t)t]= jAjei[(k0+q)y(!0+)t]

donde q = @y y = @t, entonces tendremos una onda cuyo numero deonda vara espacialmente tal que k(y; t) = k0 + q(y; t) y su frecuencia lo hacede la manera !(y; t) = !0 +(y; t). Sustituyendo q y en la ecuacion de fasey en la ecuacion de amplitud se encuentra, respectivamente:

0( + vgq) = 20c1

"@yyjAjjAj q2

#+ 202

q@yjAjjAj + 20@yq gc2jAj2

0(@tjAj+ vg@yjAj) = jAj+ 20@yyjAj 20 jAjq2 220c1q@yjAj 20c1jAj@yq gjAj3

Se buscan ahora soluciones estacionarias y uniformes (ondas planas):

@tjAj = 0; @yjAj = 0

Las dos expresiones anteriores quedan entonces de la forma:

0( + vgq) = 20c1q2 gc2jAj2 (A.3)

117

jAj[ 20q2 gjAj2] = 0 (A.4)

ya que @yq = 0.

La ecuacion A.4 se satisface si se cumple alguna de las dos condiciones si-guientes:

jAj = 0 Solucion trivial, valida para 0

20q2 gjAj2 = 0 Solucion bifurcada valida para > 0

Por tanto,

jAj2 =

g 20

gq2 (A.5)

Sustituyendo el valor de jAj de esta ultima ecuacion en la ecuacion A.3 seobtiene la relacion de dispersion:

= vgq + c2

0+200q2(c1 c2) (A.6)

La frecuencia contiene una parte lineal y una parte no lineal, que dependeesta ultima de q2.

Veamos ahora el signicado de estas dos ecuaciones A.5 y A.6. Para laecuacion A.5 se tiene que cuando = 0:

jAj = 20

gq2

que solo es posible si q = 0 y se obtiene de nuevo la solucion trivial. Si 6= 0entonces, vuut q220

g> 0

Es decir,

p

0< q <

p

0(A.7)

Luego cuando > 0 existe un rango de valores posibles del numero de onda qcuya amplitud es distinta de cero.

A partir de la ecuacion A.6 podemos representar gracamente la relacionde dispersion (gura A.1).

En el caso particular de que la ecuacion de Ginzburg-Landau sea real (c1 =c2 = 0):

118APENDICE A. ONDAS PLANAS EN UNA ECUACI ON DE AMPLITUD

Ω

q

c1>c2

c1<c2

c1=c2

ετ0

c2

Figura A.1: Frecuencia del paquete de ondas en funcion del numero de onda.

0(@t + vg@y)A = A + 20@yyA gjAj2A

Si c1 = c2 la pendiente de la recta de la graca A.1 es directamente lavelocidad de grupo:

= vgq + c2

0

Para todos los demas casos (c1 6= c2) la relacion entre y q es no lineal:

@

@q

q=0

= (vg + 2q200(c1 c2))

q=0

= vg @!

@k

k=k0

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Resumen

En este experimento se estudian las ondas hidrotermales que surgen en un capade uido sometida a un calentamiento lateral. Debido a las fuerzas termocapi-lares, para determinados valores de los parametros del sistema |diferencia detemperatura horizontal y altura de uido|, el ujo basico primario se deses-tabiliza en forma de ondas hidrotermales. Estas ondas de temperatura afectana todo el volumen de uido y se propagan hacia la pared caliente formando unangulo con el gradiente de temperatura. Si se dene un numero de Marangonilocal, basado en un gradiente de temperatura tomado en cada punto del uido,se encuentra que las ondas aparecen cerca de la pared caliente cuando el valorde este numero supera cierto valor crtico. Se analiza tambien la in uenciaque ejerce el tama~no nito del contenedor en el umbral y en las principalespropiedades de las ondas. En particular, se observa que el connamiento oca-siona un desplazamiento del umbral y que existe una dependencia del angulode propagacion de las ondas con las dimensiones del contenedor. La dinamicade las ondas en la direccion perpendicular al gradiente es descrita adecuada-mente con un modelo de ecuacion de amplitud. Por ultimo, se determina lavelocidad de grupo que impide observar la estructura antes de cruzar el umbralabsoluto.

Abstract

Hydrothermal waves that appear in a uid layer subjected to a lateral heatingare studied in this experiment. Due to thermocapillary forces the basic owdestabilizes giving rise to hydrothermal waves for given values of the parame-ters of the system |horizontal temperature dierence and uid height. Thesetemperature waves aect the whole uid volume and they travel towards thehot side forming an angle with the temperature gradient. As the value of thetemperature gradient depends on the spatial coordinate of the uid points, alocal Marangoni number is dened. Waves appear near the hot side when thevalue of that number exceeds a particular critical value. The in uence of thenite size of the container on the threshold and on the waves properties is alsoanalyzed: the connement produces a displacement of the threshold. Thereexists a dependence between the propagating angle of the waves and the con-tainer dimensions. The behaviour of the waves in the direction perpendicularto the gradient is studied using an adequate model of amplitude equations.Finally, the value of the group velocity is found. This velocity prevents thedevelopment of the travel structure before the absolute threshold is crossed.

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