_Sesión 1
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Introducción
MÉCANICA
La mecánica es una rama de las ciencias físicas que considera la acción
de fuerzas sobre cuerpos o fluidos que están en reposo o movimiento.
ESTÁTICA DINÁMICA
CINEMÁTICA CINÉTICA
Estudia el equilibrio de los
cuerpos, es decir, en reposo o
en M.R.U.
Estudia el movimiento acelerado
de los cuerpos.
Se ocupa de la geometría
del movimiento.
Analiza las fuerzas que
causan el movimiento.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
PARTÍCULA
Es una pequeñísima cantidad de materia que ocupa un punto en el
espacio, es decir, tiene masa pero su tamaño y forma son
insignificante.
CUERPO RÍGIDO
Es una combinación de un gran número de partículas que ocupan
posiciones fijas entre sí.
FUERZA
Es la medida de la interacción de entre dos cuerpos. Altera el
estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme de los
cuerpos o de producir deformaciones en él.
Es una magnitud de carácter vectorial.
Cinemática rectilínea
Una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea o en
línea recta, se dice que se encuentra en movimiento rectilíneo. Se
caracteriza porque en cualquier instante se puede especificar su
posición, velocidad y aceleración.
Para describir el movimiento, necesitamos un sistema de coordenadas
que es adecuado para especificar posiciones de puntos. La trayectoria
rectilínea se definirá por medio de un solo eje de coordenadas, s.
MARCO DE REFERENCIA
𝑂 𝑠
1𝑚
Para cualquier instante dado t, la partícula ocupara cierta posición P
sobre la línea recta.
POSICIÓN
𝑂 𝑠
𝑠
𝑃
Consideremos la posición positiva a lo largo de la línea recta
Tenga en cuenta que la posición es una cantidad vectorial.
La magnitud de s es la distancia de O a la partícula, medido en metros
(m) en el SI y en pies (ft) en el sistema de unidades inglés, y sus signo
algebraico define el sentido de su dirección.
Se define como el cambio de posición de la partícula.
DESPLAZAMIENTO
𝑂 𝑠
𝑠 𝑃 𝑃′
𝑠′
∆𝑠
𝑡 𝑡 + ∆𝑡
∆𝑠 = 𝑠′ − 𝑠
El desplazamiento de una partícula también es una cantidad vectorial
La distancia es la longitud de la trayectoria a lo largo del cual viaja la
partícula y siempre es un escalar positivo.
DISTANCIA
𝑑 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎
La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo ∆𝑡 se
define como el cociente entre el desplazamiento ∆𝑠 y el intervalo de
tiempo ∆𝑡.
VELOCIDAD
𝑂 𝑠
𝑃 𝑃′ ∆𝑠
𝑡 𝑡 + ∆𝑡
Para intervalos ∆𝑡 cada vez más pequeños, la magnitud ∆𝑠 se reduce
cada vez más. Por lo tanto, definimos la velocidad instantánea de la
partícula en el instante t como
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =∆𝑠
∆𝑡
𝑣 = lim∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡 -------------------------------------- (1)
Considere la velocidad 𝑣 de la partícula en el tiempo t y también su
velocidad 𝑣 + ∆𝑣 en un tiempo posterior 𝑡 + ∆𝑡 . La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo ∆𝑡 se define como
el cociente de ∆𝑣 y ∆𝑡.
ACELERACIÓN
Las unidades de la velocidad en el SI se mide m/s o ft/s en el sistemas
inglés.
La rapidez promedio siempre es un escalar positivo y se define como la
distancia total recorrida por la partícula, d, dividida entre el tiempo
transcurrido ∆𝑡, así
𝑣𝑟𝑎𝑝 𝑝𝑟𝑜𝑚=𝑑
∆𝑡
𝑂 𝑠
𝑃 𝑃′ 𝑣
𝑡 𝑡 + ∆𝑡
𝑣 + ∆𝑣
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚 =∆𝑣
∆𝑡
Tomando intervalos ∆𝑡 y ∆𝑣 cada vez más pequeños, la aceleración instantánea de la partícula en el instante t se define como
𝑎 = lim∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡 ---------------------------------- (2)
con la sustitución de 𝑣 de (1)
𝑎 =𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑎 =𝑑2𝑠
𝑑𝑡2 -------------------------------- (3)
La unidades de la aceleración en el SI es m/s2 y ft/s2 en el sistema
inglés.
La aceleración promedio o instantánea pueden ser positivos o
negativos. Un valor positivo de a indica que la velocidad aumenta, se
dice que está acelerando.
Un valor negativo de a indica que la velocidad disminuye, se dice que
esta desacelerando.
𝑂 𝑠
𝑃 𝑃′
𝑣 𝑣 + ∆𝑣
+𝑎
𝑂 𝑠
𝑃 𝑃′
𝑣 𝑣 + ∆𝑣
−𝑎
Se puede también obtener una importante relación diferencial que
implica el desplazamiento, la velocidad y la aceleración a lo largo de la
trayectoria. De la ecuación (2) y aplicando la regla de cadena,
obtenemos
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡=𝑑𝑣
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑎 = 𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑠
o también
𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣 -------------------------------- (4)
Esta ecuación no es independiente de las ecuaciones (1) y (2)
PROBLEMA EJEMPLO 1
La posición de una partícula que se mueve sobre el eje s está definida
por 𝑠 𝑡 = −3𝑡2 + 12𝑡 − 6 pies, donde t esta en segundos. Para el
intervalo de tiempo de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 3 s:
(a) Trace la gráfica de la posición, velocidad y aceleración como
funciones del tiempo;
(b) Calcule la distancia recorrida, y
(c) Determine el desplazamiento de la partícula.
PROBLEMA EJEMPLO 2
El movimiento de una partícula está definido por la relación
𝑠 𝑡 = 12𝑡3 − 18𝑡2 + 2𝑡 + 5 m, donde t se expresa en segundos.
Determine la posición y la velocidad cuando la aceleración de la
partícula es igual a cero.
Determinación del movimiento de una partícula
Si se conoce la posición de la partícula para cualquier valor de t, derivaciones sucesivas respecto al tiempo darán la velocidad y la
aceleración. Sin embargo un movimiento rara vez se define por medio
de una relación entre la posición y el tiempo. Con mayor frecuencia, las
condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración
que posee la partícula.
En general la aceleración puede expresarse como función del tiempo, la
velocidad y la posición.
Consideraremos tres clases comunes de movimiento: aceleración como
función del tiempo, aceleración como función de la velocidad y
aceleración como función de la posición.
Al resolver (2) para 𝑑𝑣 y sustituir 𝑓 𝑡 por a, se obtiene
ACELERACIÓN VARIABLE COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO, 𝒂 = 𝒇 𝒕
𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Integrando, y suponiendo que 𝑣 = 𝑣0 cuando 𝑡 = 0, se escribe
𝑑𝑣𝑣
𝑣0
= 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑡
0
𝑣 = 𝑣0 + 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑡
0
o bien
De esta expresión integrada de 𝑣 en función de t se obtendrá la
posición integrando la ecuación (1), así
𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡
Integrando, y suponiendo que 𝑠 = 𝑠0 cuando 𝑡 = 0, se escribe
𝑑𝑠𝑠
𝑠0
= 𝑣𝑑𝑡𝑡
0
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑑𝑡𝑡
0
o bien
PROBLEMA EJEMPLO 3
La aceleración de una partícula a medida que se mueve a lo largo de
una línea recta está dada por 𝑎 = (2𝑡 − 1) m/s2 donde t está en
segundos. Si 𝑠 = 1 m y 𝑣 = 2 m/s cuando 𝑡 = 0 , determine la
velocidad y posición de la partícula cuando 𝑡 = 6 s. También,
determinar la distancia total que la partícula recorre durante este
intervalo.
PROBLEMA EJEMPLO 4
La rapidez inicial de la partícula es de 27 m/s. Si experimenta una
desaceleración de 𝑎 = −6𝑡 m/s2, donde t esta en segundos,
determine su velocidad después de que ha recorrido 10 m. ¿Cuánto
tiempo requiere esto?
Es posible sustituir 𝑓 𝑣 por a en (2), obteniendo
ACELERACIÓN VARIABLE COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD, 𝒂 = 𝒇 𝒗
𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 = 𝑓 𝑣 𝑑𝑡
Integrando, y suponiendo que 𝑠 = 𝑠0 y 𝑣 = 𝑣0 cuando 𝑡 = 0, se escribe
𝑑𝑡𝑡
0
= 𝑑𝑣
𝑓 𝑣
𝑣
𝑣0
𝑡 = 𝑑𝑣
𝑓 𝑣
𝑣
𝑣0
o bien
De esta expresión integrada de 𝑣 en función de t se obtendrá la
posición integrando la ecuación (4), así
𝑑𝑠 =𝑣𝑑𝑣
𝑓 𝑣
Integrando, se obtiene
𝑑𝑠𝑠
𝑠0
= 𝑣𝑑𝑣
𝑓 𝑣
𝑣
𝑣0
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑑𝑣
𝑓 𝑣
𝑣
𝑣0
o bien
PROBLEMA EJEMPLO 5
Una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta de modo que
su aceleración se define como 𝑎 = (−2𝑣) m/s2, donde 𝑣 está en m/s.
Si 𝑣 = 20 m/s cuando 𝑠 = 0 y 𝑡 = 0, determine la posición, velocidad y
aceleración como funciones del tiempo..
PROBLEMA EJEMPLO 6
La aceleración de una partícula está definida por la relación 𝑎 = −𝑘 𝑣,
donde k es una constante. Si se sabe que en 𝑡 = 0, 𝑠 = 0 y 𝑣 = 81 m/s
y que 𝑣 = 36 m/s cuando 𝑠 = 18 m, determine
(a) La velocidad de la partícula cuando 𝑠 = 20 m,
(b) El tiempo requerido para que la partícula quede en reposo.
En la ecuación (4) sustituimos 𝑓 𝑠 por a, obteniendo
ACELERACIÓN VARIABLE COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN, 𝒂 = 𝒇 𝒔
𝑓 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
Integrando, y suponiendo que 𝑠 = 𝑠0 y 𝑣 = 𝑣0 cuando 𝑡 = 0, se escribe
𝑣𝑑𝑣𝑣
𝑣0
= 𝑓 𝑠 𝑑𝑠𝑠
𝑠0
𝑣2 = 𝑣02 + 2 𝑓 𝑠 𝑑𝑠
𝑠
𝑠0
o bien
De esta expresión integrada de 𝑣 en función de s, 𝑣 = 𝑔 𝑠 , se obtendrá
la posición integrando la ecuación (1), así
𝑑𝑡 =𝑑𝑠
𝑔 𝑠
Integrando, se obtiene
𝑑𝑡𝑡
0
= 𝑑𝑠
𝑔 𝑠
𝑠
𝑠0
𝑡 = 𝑑𝑠
𝑔 𝑠
𝑣
𝑣0
o bien
PROBLEMA EJEMPLO 6
La aceleración de una partícula que se desplaza a lo largo de una
línea recta es 𝑎 = (8 − 2𝑠) m/s2, donde s está en metros. Si 𝑣 = 0
cuando 𝑠 = 0, determine la velocidad de la partícula cuando 𝑠 = 2 m y
su posición cuando la velocidad es máxima.
PROBLEMA EJEMPLO 7
Un carrito está sujeto entre dos resortes cuyas espiras están muy
apretadas. En este caso, la aceleración viene dada por
𝑎 𝑠 = −𝑠 − 3𝑠2 m/s2, donde s esta en metros. Determinar la
posición máxima si tiene una velocidad 𝑣 = 2 m/s cuando 𝑠 = −1 m.
Ejercicios de autoevaluación
EJERCICIO 1
La posición de una partícula a lo largo de una línea recta está dada por
𝑥 = (1,5𝑡3 − 13,5𝑡2 + 22,5𝑡) m, donde t está en segundos. Realice un
análisis del movimiento y determine posición, velocidad, aceleración y
distancia recorrida en el intervalo de 6 s.
EJERCICIO 2
Una cuenta se mueve sobre un alambre recto de 60 mm que esta
sobre el eje s. La posición de la cuenta está dada por 𝑠 = 2𝑡2 − 10𝑡
mm, donde s se mide desde el centro del alambre y t es el tiempo en
segundos. Determine: (a) el tiempo en que la cuenta abandona el
alambre y (b) la distancia que ésta recorre desde 𝑡 = 0 hasta que deja
el alambre.
EJERCICIO 4
La aceleración (en m/s2) del punto P respecto al punto O está dada
como una función del tiempo por 𝑎 = 3𝑡2. Suponga que en 𝑡 = 0 la
posición y la velocidad de P son 𝑠 = 5 m y 𝑣 = 2 m/s. Determine la
posición y la velocidad de P en 𝑡 = 4 s.
EJERCICIO 3
Si 𝜃 = 1 rad, 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 rad/s, ¿cuál es la velocidad y la aceleración de
P respecto a O?
EJERCICIO 6
Un ingeniero que esta diseñando un sistema para controlar el puntero
de un proceso de maquinado, modela el sistema de manera que la
aceleración del puntero (en cm/s2) durante un intervalo de tiempo está
dado por 𝑎 = −0,4𝑣, donde 𝑣 es la velocidad del puntero en cm/s.
Cuando 𝑡 = 0, la posición es 𝑠 = 0 y la velocidad es 𝑣 = 2 cm/s. ¿Cuál
es la posición en 𝑡 = 3 s?
EJERCICIO 5
La velocidad de un objeto es 𝑣 = 200 − 2𝑡2 m/s. Cuando 𝑡 = 3 s, su
posición es 𝑠 = 600 m. ¿Cuáles son la posición y la aceleración del
objeto en 𝑡 = 6 s?
EJERCICIO 7
La lancha de la figura se mueve a 10 m/s cuando su motor se apaga.
Debido a la resistencia aerodinámica, su aceleración subsecuente es
𝑎 = −0,05𝑣2 m/s2, donde 𝑣 es la velocidad de la lancha en m/s.
¿Cuál es la velocidad de la lancha 4 s después de que se apaga su
motor?
EJERCICIO 8
La masa de la figura se libera desde el reposo con los
resortes sin estirar. Su aceleración hacia abajo es
𝑎 = 32,2 − 50𝑠 m/s2, donde s es la posición de la masa
medida desde la posición que se liberó. (a) ¿Qué distancia
cae la masa?. (b) ¿Cuál es la máxima velocidad de la
masa mientras cae?
EJERCICIO 9
Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se
muestra en la figura. La coordenada s mide el desplazamiento de la
masa respecto a su posición cuando el resorte no está estirado.
Suponga que el resorte no lineal somete a la masa a una aceleración
𝑎 = −4𝑠 − 2𝑠3 m/s2 y que se le da a la masa una velocidad 𝑣 = 1 m/s
en la posición 𝑠 = 0. (a) ¿Qué distancia se moverá la masa hacia la
derecha antes de que el resorte la detenga?. (b) ¿Qué velocidad
tendrá la masa cuando regrese a la posición 𝑠 = 0?