Sesion 1 - Derivados Financieros
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Análisis de Riesgos Financieros: Análisis de Riesgos Financieros: Derivados y Portafolios Reales Tema 1: Instrumentos Derivados Diego Jara [email protected]
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Anaacutelisis de Riesgos Financieros Anaacutelisis de Riesgos Financieros Derivados y Portafolios Reales
Tema 1 Instrumentos DerivadosDiego Jara
diegojaraquantilcomco
Preaacutembulo y MotivacioacutenPreaacutembulo y Motivacioacuten OBJETIVOJIntroduccioacuten a la Gestioacuten de Riesgo de Portafolios Reales Mediante
el Uso de Instrumentos Derivados Anaacutelisis secuencial
o Menuacute de instrumentos financieroso Portafolio de anaacutelisis conjunto de estos instrumentoso Valoracioacuten del portafolio funcioacuten que depende de la
parametri acioacuten del portafolio de variables de mercado parametrizacioacuten del portafolio de variables de mercado relevantes y del tiempo
o Sensibilidad a variables de mercadoo Proyeccioacuten de estas variables a un horizonte dado o Proyeccioacuten de estas variables a un horizonte dado
proyeccioacuten del valor del portafolio al mismo horizonteo Riesgo anaacutelisis de la distribucioacuten del valor del portafolio o Gestioacuten del riesgo del portafolio
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Preaacutembulo y MotivacioacutenPreaacutembulo y MotivacioacutenIdentificacioacuten de Factores de RiesgoDefinicioacuten del Portafolio
Valoracioacuten del Portafolio
Proyeccioacuten de Factores de RiesgoSensibilidad a Factores de Riesgo
Medicioacuten de Riesgo del Portafolio
Gestioacuten del Riesgo- Formalizacioacuten de Poliacuteticas- Disentildeo de Estrategias
Perfil de Riesgo
- Implementacioacuten
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Mapa del CursoMapa del Curso1 DERIVADOS FINANCIEROS Y SUS MERCADOS Definiciones Productos y Mercados Forwards Futuros Opciones Plain Vanilla O i E oacuteti Opciones Exoacuteticas Derivados de Renta Fija
Valoracioacuten Principio de No Arbitraje Modelos discretos (modelo binomial)( ) Modelos continuos Meacutetodos de Valoracioacuten
2 MEDICIOacuteN DE RIESGOS FINANCIEROS Variables de Mercado y Curvas de Valoracioacuteny Sensibilidad de Derivados - Griegas Cuantificacioacuten de Riesgos Taller Gestioacuten de Cobertura de un Portafolio Real
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ReferenciasReferencias [BKM] Bodie Z Kane A and A Marcus (2002) INVESTMENTS
McGraw Hill 5th Ed [CZ] Capinski M and T Zastawniak (2003) MATHEMATICS FOR
FINANCE Springer-Verlag [H] Hull J (2006) OPTIONS FUTURES AND OTHER [ ] J ( )
DERIVATIVES Prentice Hall 6th Ed [JW] Johnson R and D Wichern (1998) APPLIED MULTIVARIATES
STATISCTICAL ANALYSIS Prentice Hall [M] Meucci A (2007) RISK AND ASSET ALLOCATION Springer-
Verlag [MFE] McNeil A Frey R and P Embrechts (2005) QUANTITATIVE
RISK MANAGEMENT P i t U i it P RISK MANAGEMENT Princeton University Press [S] Schofield N (2007) COMMODITY DERIVATIVES Wiley Finance [T] Tuckman B (2002) FIXED INCOME SECURITIES Wiley 2nd ed
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Acciones Bonos Mercado Monetario Monedas () Fondos de Inversioacuten (fondos de capital privado)
Activos ldquoBaacutesicosrdquo
Bienes de Consumo (Commodities) Activos Fiacutesicos P i ( ) Pagos contingentes (seguros) Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Precios
ldquoV l rdquo d i l i P(t)o ldquoValorrdquo de un instrumento en el tiempo t P(t)o P(t) ge 0 para activos baacutesicos (puede ser negativo para derivados)o Precio de compra le precio de venta (ldquobid-offer spreadrdquo)o Al comprar o vender el precio obtenido depende del montoo Al comprar o vender el precio obtenido depende del monto
transado LIQUIDEZ Mercados
o OTC Over the countero OTC Over-the-countero Bolsas
Retornoso Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] 1 o Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] ndash 1 o Logariacutetmicos log [P(t) P(0)] o Los dos son casi ideacutenticos para movimientos pequentildeos del precio
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Derivados Instrumentos financieros (contratos)
cuyos flujos de caja estaacuten definidos por precios de instrumentos baacutesicos y por variables observables
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Preaacutembulo y MotivacioacutenPreaacutembulo y Motivacioacuten OBJETIVOJIntroduccioacuten a la Gestioacuten de Riesgo de Portafolios Reales Mediante
el Uso de Instrumentos Derivados Anaacutelisis secuencial
o Menuacute de instrumentos financieroso Portafolio de anaacutelisis conjunto de estos instrumentoso Valoracioacuten del portafolio funcioacuten que depende de la
parametri acioacuten del portafolio de variables de mercado parametrizacioacuten del portafolio de variables de mercado relevantes y del tiempo
o Sensibilidad a variables de mercadoo Proyeccioacuten de estas variables a un horizonte dado o Proyeccioacuten de estas variables a un horizonte dado
proyeccioacuten del valor del portafolio al mismo horizonteo Riesgo anaacutelisis de la distribucioacuten del valor del portafolio o Gestioacuten del riesgo del portafolio
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Preaacutembulo y MotivacioacutenPreaacutembulo y MotivacioacutenIdentificacioacuten de Factores de RiesgoDefinicioacuten del Portafolio
Valoracioacuten del Portafolio
Proyeccioacuten de Factores de RiesgoSensibilidad a Factores de Riesgo
Medicioacuten de Riesgo del Portafolio
Gestioacuten del Riesgo- Formalizacioacuten de Poliacuteticas- Disentildeo de Estrategias
Perfil de Riesgo
- Implementacioacuten
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Mapa del CursoMapa del Curso1 DERIVADOS FINANCIEROS Y SUS MERCADOS Definiciones Productos y Mercados Forwards Futuros Opciones Plain Vanilla O i E oacuteti Opciones Exoacuteticas Derivados de Renta Fija
Valoracioacuten Principio de No Arbitraje Modelos discretos (modelo binomial)( ) Modelos continuos Meacutetodos de Valoracioacuten
2 MEDICIOacuteN DE RIESGOS FINANCIEROS Variables de Mercado y Curvas de Valoracioacuteny Sensibilidad de Derivados - Griegas Cuantificacioacuten de Riesgos Taller Gestioacuten de Cobertura de un Portafolio Real
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ReferenciasReferencias [BKM] Bodie Z Kane A and A Marcus (2002) INVESTMENTS
McGraw Hill 5th Ed [CZ] Capinski M and T Zastawniak (2003) MATHEMATICS FOR
FINANCE Springer-Verlag [H] Hull J (2006) OPTIONS FUTURES AND OTHER [ ] J ( )
DERIVATIVES Prentice Hall 6th Ed [JW] Johnson R and D Wichern (1998) APPLIED MULTIVARIATES
STATISCTICAL ANALYSIS Prentice Hall [M] Meucci A (2007) RISK AND ASSET ALLOCATION Springer-
Verlag [MFE] McNeil A Frey R and P Embrechts (2005) QUANTITATIVE
RISK MANAGEMENT P i t U i it P RISK MANAGEMENT Princeton University Press [S] Schofield N (2007) COMMODITY DERIVATIVES Wiley Finance [T] Tuckman B (2002) FIXED INCOME SECURITIES Wiley 2nd ed
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Acciones Bonos Mercado Monetario Monedas () Fondos de Inversioacuten (fondos de capital privado)
Activos ldquoBaacutesicosrdquo
Bienes de Consumo (Commodities) Activos Fiacutesicos P i ( ) Pagos contingentes (seguros) Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Precios
ldquoV l rdquo d i l i P(t)o ldquoValorrdquo de un instrumento en el tiempo t P(t)o P(t) ge 0 para activos baacutesicos (puede ser negativo para derivados)o Precio de compra le precio de venta (ldquobid-offer spreadrdquo)o Al comprar o vender el precio obtenido depende del montoo Al comprar o vender el precio obtenido depende del monto
transado LIQUIDEZ Mercados
o OTC Over the countero OTC Over-the-countero Bolsas
Retornoso Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] 1 o Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] ndash 1 o Logariacutetmicos log [P(t) P(0)] o Los dos son casi ideacutenticos para movimientos pequentildeos del precio
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Derivados Instrumentos financieros (contratos)
cuyos flujos de caja estaacuten definidos por precios de instrumentos baacutesicos y por variables observables
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Preaacutembulo y MotivacioacutenPreaacutembulo y MotivacioacutenIdentificacioacuten de Factores de RiesgoDefinicioacuten del Portafolio
Valoracioacuten del Portafolio
Proyeccioacuten de Factores de RiesgoSensibilidad a Factores de Riesgo
Medicioacuten de Riesgo del Portafolio
Gestioacuten del Riesgo- Formalizacioacuten de Poliacuteticas- Disentildeo de Estrategias
Perfil de Riesgo
- Implementacioacuten
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Mapa del CursoMapa del Curso1 DERIVADOS FINANCIEROS Y SUS MERCADOS Definiciones Productos y Mercados Forwards Futuros Opciones Plain Vanilla O i E oacuteti Opciones Exoacuteticas Derivados de Renta Fija
Valoracioacuten Principio de No Arbitraje Modelos discretos (modelo binomial)( ) Modelos continuos Meacutetodos de Valoracioacuten
2 MEDICIOacuteN DE RIESGOS FINANCIEROS Variables de Mercado y Curvas de Valoracioacuteny Sensibilidad de Derivados - Griegas Cuantificacioacuten de Riesgos Taller Gestioacuten de Cobertura de un Portafolio Real
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ReferenciasReferencias [BKM] Bodie Z Kane A and A Marcus (2002) INVESTMENTS
McGraw Hill 5th Ed [CZ] Capinski M and T Zastawniak (2003) MATHEMATICS FOR
FINANCE Springer-Verlag [H] Hull J (2006) OPTIONS FUTURES AND OTHER [ ] J ( )
DERIVATIVES Prentice Hall 6th Ed [JW] Johnson R and D Wichern (1998) APPLIED MULTIVARIATES
STATISCTICAL ANALYSIS Prentice Hall [M] Meucci A (2007) RISK AND ASSET ALLOCATION Springer-
Verlag [MFE] McNeil A Frey R and P Embrechts (2005) QUANTITATIVE
RISK MANAGEMENT P i t U i it P RISK MANAGEMENT Princeton University Press [S] Schofield N (2007) COMMODITY DERIVATIVES Wiley Finance [T] Tuckman B (2002) FIXED INCOME SECURITIES Wiley 2nd ed
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Acciones Bonos Mercado Monetario Monedas () Fondos de Inversioacuten (fondos de capital privado)
Activos ldquoBaacutesicosrdquo
Bienes de Consumo (Commodities) Activos Fiacutesicos P i ( ) Pagos contingentes (seguros) Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Precios
ldquoV l rdquo d i l i P(t)o ldquoValorrdquo de un instrumento en el tiempo t P(t)o P(t) ge 0 para activos baacutesicos (puede ser negativo para derivados)o Precio de compra le precio de venta (ldquobid-offer spreadrdquo)o Al comprar o vender el precio obtenido depende del montoo Al comprar o vender el precio obtenido depende del monto
transado LIQUIDEZ Mercados
o OTC Over the countero OTC Over-the-countero Bolsas
Retornoso Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] 1 o Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] ndash 1 o Logariacutetmicos log [P(t) P(0)] o Los dos son casi ideacutenticos para movimientos pequentildeos del precio
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Derivados Instrumentos financieros (contratos)
cuyos flujos de caja estaacuten definidos por precios de instrumentos baacutesicos y por variables observables
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Mapa del CursoMapa del Curso1 DERIVADOS FINANCIEROS Y SUS MERCADOS Definiciones Productos y Mercados Forwards Futuros Opciones Plain Vanilla O i E oacuteti Opciones Exoacuteticas Derivados de Renta Fija
Valoracioacuten Principio de No Arbitraje Modelos discretos (modelo binomial)( ) Modelos continuos Meacutetodos de Valoracioacuten
2 MEDICIOacuteN DE RIESGOS FINANCIEROS Variables de Mercado y Curvas de Valoracioacuteny Sensibilidad de Derivados - Griegas Cuantificacioacuten de Riesgos Taller Gestioacuten de Cobertura de un Portafolio Real
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ReferenciasReferencias [BKM] Bodie Z Kane A and A Marcus (2002) INVESTMENTS
McGraw Hill 5th Ed [CZ] Capinski M and T Zastawniak (2003) MATHEMATICS FOR
FINANCE Springer-Verlag [H] Hull J (2006) OPTIONS FUTURES AND OTHER [ ] J ( )
DERIVATIVES Prentice Hall 6th Ed [JW] Johnson R and D Wichern (1998) APPLIED MULTIVARIATES
STATISCTICAL ANALYSIS Prentice Hall [M] Meucci A (2007) RISK AND ASSET ALLOCATION Springer-
Verlag [MFE] McNeil A Frey R and P Embrechts (2005) QUANTITATIVE
RISK MANAGEMENT P i t U i it P RISK MANAGEMENT Princeton University Press [S] Schofield N (2007) COMMODITY DERIVATIVES Wiley Finance [T] Tuckman B (2002) FIXED INCOME SECURITIES Wiley 2nd ed
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Acciones Bonos Mercado Monetario Monedas () Fondos de Inversioacuten (fondos de capital privado)
Activos ldquoBaacutesicosrdquo
Bienes de Consumo (Commodities) Activos Fiacutesicos P i ( ) Pagos contingentes (seguros) Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Precios
ldquoV l rdquo d i l i P(t)o ldquoValorrdquo de un instrumento en el tiempo t P(t)o P(t) ge 0 para activos baacutesicos (puede ser negativo para derivados)o Precio de compra le precio de venta (ldquobid-offer spreadrdquo)o Al comprar o vender el precio obtenido depende del montoo Al comprar o vender el precio obtenido depende del monto
transado LIQUIDEZ Mercados
o OTC Over the countero OTC Over-the-countero Bolsas
Retornoso Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] 1 o Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] ndash 1 o Logariacutetmicos log [P(t) P(0)] o Los dos son casi ideacutenticos para movimientos pequentildeos del precio
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Derivados Instrumentos financieros (contratos)
cuyos flujos de caja estaacuten definidos por precios de instrumentos baacutesicos y por variables observables
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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ReferenciasReferencias [BKM] Bodie Z Kane A and A Marcus (2002) INVESTMENTS
McGraw Hill 5th Ed [CZ] Capinski M and T Zastawniak (2003) MATHEMATICS FOR
FINANCE Springer-Verlag [H] Hull J (2006) OPTIONS FUTURES AND OTHER [ ] J ( )
DERIVATIVES Prentice Hall 6th Ed [JW] Johnson R and D Wichern (1998) APPLIED MULTIVARIATES
STATISCTICAL ANALYSIS Prentice Hall [M] Meucci A (2007) RISK AND ASSET ALLOCATION Springer-
Verlag [MFE] McNeil A Frey R and P Embrechts (2005) QUANTITATIVE
RISK MANAGEMENT P i t U i it P RISK MANAGEMENT Princeton University Press [S] Schofield N (2007) COMMODITY DERIVATIVES Wiley Finance [T] Tuckman B (2002) FIXED INCOME SECURITIES Wiley 2nd ed
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Acciones Bonos Mercado Monetario Monedas () Fondos de Inversioacuten (fondos de capital privado)
Activos ldquoBaacutesicosrdquo
Bienes de Consumo (Commodities) Activos Fiacutesicos P i ( ) Pagos contingentes (seguros) Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Precios
ldquoV l rdquo d i l i P(t)o ldquoValorrdquo de un instrumento en el tiempo t P(t)o P(t) ge 0 para activos baacutesicos (puede ser negativo para derivados)o Precio de compra le precio de venta (ldquobid-offer spreadrdquo)o Al comprar o vender el precio obtenido depende del montoo Al comprar o vender el precio obtenido depende del monto
transado LIQUIDEZ Mercados
o OTC Over the countero OTC Over-the-countero Bolsas
Retornoso Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] 1 o Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] ndash 1 o Logariacutetmicos log [P(t) P(0)] o Los dos son casi ideacutenticos para movimientos pequentildeos del precio
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Derivados Instrumentos financieros (contratos)
cuyos flujos de caja estaacuten definidos por precios de instrumentos baacutesicos y por variables observables
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Acciones Bonos Mercado Monetario Monedas () Fondos de Inversioacuten (fondos de capital privado)
Activos ldquoBaacutesicosrdquo
Bienes de Consumo (Commodities) Activos Fiacutesicos P i ( ) Pagos contingentes (seguros) Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Precios
ldquoV l rdquo d i l i P(t)o ldquoValorrdquo de un instrumento en el tiempo t P(t)o P(t) ge 0 para activos baacutesicos (puede ser negativo para derivados)o Precio de compra le precio de venta (ldquobid-offer spreadrdquo)o Al comprar o vender el precio obtenido depende del montoo Al comprar o vender el precio obtenido depende del monto
transado LIQUIDEZ Mercados
o OTC Over the countero OTC Over-the-countero Bolsas
Retornoso Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] 1 o Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] ndash 1 o Logariacutetmicos log [P(t) P(0)] o Los dos son casi ideacutenticos para movimientos pequentildeos del precio
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Derivados Instrumentos financieros (contratos)
cuyos flujos de caja estaacuten definidos por precios de instrumentos baacutesicos y por variables observables
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Acciones Bonos Mercado Monetario Monedas () Fondos de Inversioacuten (fondos de capital privado)
Activos ldquoBaacutesicosrdquo
Bienes de Consumo (Commodities) Activos Fiacutesicos P i ( ) Pagos contingentes (seguros) Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Precios
ldquoV l rdquo d i l i P(t)o ldquoValorrdquo de un instrumento en el tiempo t P(t)o P(t) ge 0 para activos baacutesicos (puede ser negativo para derivados)o Precio de compra le precio de venta (ldquobid-offer spreadrdquo)o Al comprar o vender el precio obtenido depende del montoo Al comprar o vender el precio obtenido depende del monto
transado LIQUIDEZ Mercados
o OTC Over the countero OTC Over-the-countero Bolsas
Retornoso Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] 1 o Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] ndash 1 o Logariacutetmicos log [P(t) P(0)] o Los dos son casi ideacutenticos para movimientos pequentildeos del precio
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Derivados Instrumentos financieros (contratos)
cuyos flujos de caja estaacuten definidos por precios de instrumentos baacutesicos y por variables observables
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Acciones Bonos Mercado Monetario Monedas () Fondos de Inversioacuten (fondos de capital privado)
Activos ldquoBaacutesicosrdquo
Bienes de Consumo (Commodities) Activos Fiacutesicos P i ( ) Pagos contingentes (seguros) Derivados
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Precios
ldquoV l rdquo d i l i P(t)o ldquoValorrdquo de un instrumento en el tiempo t P(t)o P(t) ge 0 para activos baacutesicos (puede ser negativo para derivados)o Precio de compra le precio de venta (ldquobid-offer spreadrdquo)o Al comprar o vender el precio obtenido depende del montoo Al comprar o vender el precio obtenido depende del monto
transado LIQUIDEZ Mercados
o OTC Over the countero OTC Over-the-countero Bolsas
Retornoso Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] 1 o Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] ndash 1 o Logariacutetmicos log [P(t) P(0)] o Los dos son casi ideacutenticos para movimientos pequentildeos del precio
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Derivados Instrumentos financieros (contratos)
cuyos flujos de caja estaacuten definidos por precios de instrumentos baacutesicos y por variables observables
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Precios
ldquoV l rdquo d i l i P(t)o ldquoValorrdquo de un instrumento en el tiempo t P(t)o P(t) ge 0 para activos baacutesicos (puede ser negativo para derivados)o Precio de compra le precio de venta (ldquobid-offer spreadrdquo)o Al comprar o vender el precio obtenido depende del montoo Al comprar o vender el precio obtenido depende del monto
transado LIQUIDEZ Mercados
o OTC Over the countero OTC Over-the-countero Bolsas
Retornoso Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] 1 o Aritmeacuteticos [P(t) P(0)] ndash 1 o Logariacutetmicos log [P(t) P(0)] o Los dos son casi ideacutenticos para movimientos pequentildeos del precio
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Derivados Instrumentos financieros (contratos)
cuyos flujos de caja estaacuten definidos por precios de instrumentos baacutesicos y por variables observables
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Instrumentos FinancierosInstrumentos Financieros Derivados Instrumentos financieros (contratos)
cuyos flujos de caja estaacuten definidos por precios de instrumentos baacutesicos y por variables observables
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) OTC OTC
o Transacciones o contratos bilateraleso Riesgo de contraparteo Flexibilidad en las condiciones negociadaso Puede haber garantiacuteaso Puede haber garantiacuteas Colateral
bull Miacutenimobull ldquoThresholdrdquo
ldquoRecouponingrdquo Neteo
l Bolsaso Cada parte enfrenta a la bolsao Productos estandarizadoso Garantiacuteas dadas a la bolsa (Margen)g Margen Miacutenimo Margen de mantenimiento Llamados de margen
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Mercados FinancierosMercados FinancierosMercados (centros de transaccioacuten) Ej 1 TES (OTC)
o MECo SEN
Ot ( i t )o Otros (registro)
Ej 2 Bolsaso BVCo BMCo BMCo ICEo NYMEXo CBOTo CMEo LIFFEo BOVESPAo helliphellipo helliphellip
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplesFORWARD Un contrato bilateral (mercado OTC) Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra Obliga a una parte a comprar (posicioacuten larga) y a otra
a vender (posicioacuten corta) hellip hellip en un momento dado (ExpiracioacutenT) una cantidad
d d (N i l) d i d d ( b ) dada (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K o Precio ForwardF(0T))( ))
Tiacutepicamente el contrato no requiere pago inicial Nota precio forward precio del forward
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosDerivados SimplespFORWARD Ej 1 Forward sobre COPUSD (NDF)
o Non ndash delivery (liquidacioacuten financiera)o Puntos por encima del spot
Curva COPUSD forwardCurva COPUSD forwardMeses 10032011
0 18675 Dev Impl1 ‐600 ‐3862 ‐1100 ‐3543 ‐1375 ‐2964 ‐1367 ‐2205 ‐1358 ‐1756 ‐135 ‐14512 2 75 0 1512 275 01524 8000 210
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO Diferencia con forward
o Se transa en un mercado organizado (bolsa)S d d diacuteo Se marca a mercado cada diacutea
Se elimina el riesgo de contraparte mediante una caacutemara de compensacioacutencaacutemara de compensacioacuten
Esto se logra mediante cuentas de margen marcacioacuten diaria a mercadomarcacioacuten diaria a mercado
Base diferencia entre futuro y precio spot
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosFUTURO C d Cuenta de margen
o Margen Inicialo Margen Miacutenimogo Llamados de margeno Marcacioacuten a mercado al final de cada diacutea un futuro vale
00o Las peacuterdidas o ganancias se manejan diariamente con la
cuenta de margeno Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el o Al reconocer las peacuterdidas diariamente se reduce el
riesgo de contraparteo La idea del margen miacutenimo es eliminar este riesgo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten larga estaacute en compromiso de comprar un bono
subyacente oacute aacute bl oacute d deacute lo La posicioacuten corta estaacute en obligacioacuten de vendeacuterselo
o Cuaacutel bono Cuaacutendo se entrega estos son los dos temas a mirar maacutes de cerca las dos son opciones para la posicioacuten corta
o Funcionamiento es similar a otros mercadoso Funcionamiento es similar a otros mercadoso Expiraciones Marzo Junio Septiembre y Diciembre de cada antildeoo Abierto desde el 2008 Voluacutemenes bajos pero crecienteso Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Corto Plazo (2 antildeos) Mediano Plazo (5 antildeos) Largo Plazo (10 antildeos)o Subyacente para cada contrato canasta de dos TESo 1 contrato = 250 millones de nocionalo Liquidacioacuten fiacutesica (entrega del TES)q ( g )
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 1 Futuro de TES Nocionalo La posicioacuten corta escoge cuaacutendo se entrega (entre las
alternativas viables))o La posicioacuten corta escoge queacute bono entregar Debe entregar el que sea maacutes barato de entregar (ldquoCheapest to
Deliverrdquo) Si se usa el precio de cada bono va a ganar el de cupoacuten maacutes bajo
independiente de su tasa Por esto se ponen todos bajo un comuacuten denominador con el
F t d C ioacute (FC)Factor de Conversioacuten (FC)o La posicioacuten larga debe pagar FC Precio Futuro + CA
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosMomentos Relevantes
Derivados Financieros
Caso EEUU
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Primer diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Primer diacutea de Intencioacuten
Primer diacutea de Entrega
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Uacuteltimo diacutea de ldquoPosicioacutenrdquo
Uacuteltimo diacutea de Intencioacuten
Uacuteltimo diacutea de Entrega
o Diacutea de Posicioacuten Anunciar intencioacuten de entrega
del contrato
o Diacutea de Intencioacuten Anunciar bono que se entregao Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten se congela el precio del fututo
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior
Primer diacutea haacutebil del mes
Noveno diacutea haacutebil antes del inicio del
Tercer diacutea haacutebil antes del inicio del
Penuacuteltimo diacutea haacutebil del mes
Uacuteltimo diacutea haacutebil del mes
anterior anterior inicio del siguiente mes
c o e siguiente mes
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados Financieros Caso Colombia
Derivados Financieros
Primer diacutea de Transaccioacuten d l
Uacuteltimo diacutea de Transaccioacuten
Diacutea de Vencimiento
o Diacutea de Vencimiento hace las veces de ldquoPosicioacutenrdquo Intencioacuten y
del contrato
EntregaMieacutercoles de la primera semana del mes de vencimiento
Viernes de la primera semana del mes de vencimiento
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados Financieros Factor de Conversioacuten
Derivados Financieros
o Se determina una tasa de descuento igual para todos los bonos de la canasta (idealmente cerca de las tasas de mercado)
o Se valoran todos los bonos de la canasta con esta tasao Para cada bono el valor resultante es el Factor de Conversioacuteno Asiacute el precio que paga la posicioacuten larga no se ldquoequilibrardquoo La opcioacuten de CTD (escogencia de bono) se vuelve maacutes difiacutecil
Futuro de bonos combinacioacuten de opciones Precio de Base (ldquobasisrdquo o diferencial)
o Para cada TES es igual a Precio Limpio ndash FC Precio Futuro g po Base neta = Base ndash Costo de acarrear el bono hasta expiracioacuten
del futuroo El bono maacutes barato de entregar debe tener la menor Base netag
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleoo Bolsa NYMEX (bloomberg CLA ltCMDTYgt)o S b t US li ht t d i i d ifi io Subyacente US light sweet crude siguiendo especificaciones
listadas en reglamentoo Liquidacioacuten Fiacutesica FOB (en tanque u oleducto especiacutefico) en
cualquier diacutea del mes de expiracioacuteno Un contrato = 1000 barriles = 42 mil galoneso Cotizacioacuten en USDbarrilo Expiraciones un contrato por mes Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten
3 diacuteas haacutebiles antes del 25 del mes anterior a la expiracioacuten
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
Precio de futuros de WTI entrega Dic 2011
120
140
160
g
60
80
100
$B
arri
l
0
20
40
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1182007 862007 2222008 992008 328200910142009 522010 11182010
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 2 Futuro de Petroacuteleo
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)o Bolsa ICE (bloomberg SB1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute d d A ti A t li B b d o Subyacente Azuacutecar crudo de Argentina Australia Barbados
hellip 30 paiacuteseso Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos del paiacutes de
produccioacuten durante el mes de expiracioacuteno Un contrato = 112000 libraso Cotizacioacuten en centavos de USDlibrao Expiraciones Marzo Mayo Julio Oct Uacuteltimo diacutea de
transaccioacuten uacuteltimo diacutea haacutebil del mes anterior al mes de entregaentrega
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
30
Precio de Futuros de Azuacutecar Crudo Entrega Octubre 2011
20
25
30
10
15centlb
0
5
10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
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10292008 262009 5172009 8252009 1232009 3132010 6212010 9292010 172011 4172011
Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 3 Futuro de Azuacutecar Crudo (NY11)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosFUTURO
Derivados Financieros
Ej 4 Futuro de Azuacutecar Blanco (LDN5)o Bolsa LIFFE (bloomberg QW1 ltCMDTYgt)o S b t A uacute bl ( ifi i d lid d o Subyacente Azuacutecar blanco (especificaciones de calidad granos
humedad)o Liquidacioacuten Fiacutesica FOB en puertos especiacuteficos alrededor del
mundoo Un contrato = 50 toneladaso Cotizacioacuten en USDtono Expiraciones Marzo Mayo Agosto Octubre Diciembre
Uacuteltimo diacutea de transaccioacuten 16 diacuteas antes del primer diacutea del mes de entregade entrega
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOPCIOacuteN CALL Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga) de
comprar hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un (Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
OPCIOacuteN PUTOPCIOacuteN PUT Le da el DERECHO a su tenedor (posicioacuten larga en la
opcioacuten maacutes no en el subyacente) de vender hellip en un momento dado (Expiracioacuten T) una cantidad dada ( p )
(Nocional) de un instrumento dado (subyacente) por un precio dado (Strike K)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosDerivados Financieros
Si el duentildeo de la opcioacuten hace uso de su derecho se p dice que ejerce la opcioacuten
Europea solo se puede ejercer en T Americana se puede ejercer en cualquier momento
hasta T El i i i i l d ioacute i El precio inicial de una opcioacuten es su prima Pago final de una call [S(T) ndash K]+= max (0 S(T) ndash K) Pago final de una put [K - S(T) ]+= max (0 K ndash S(T)) Pago final de una put [K S(T) ] max (0 K S(T))
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpciones ndash Maacutes Terminologiacutea
In-the-moneyo Call S(0) gt K
At-the-money S(0) asymp KValor Intriacutenseco
llo Put S(0) lt K
Out-of-the-money
ndash Call S(0) ndash Kndash Put K ndash S(0)
o Call S(0) lt Ko Put S(0) gt K
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Call Europea ndash PyG
U K 100 T 0 5 i 5 5 Usemos K=100 T=05 prima=5 r=5 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Cally
14Pendiente = 1
4
9
PyG
Cal
l 5timese5times05
-6
-180 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)
P
S(T)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados FinancierosDerivados FinancierosOpcioacuten Put Europea ndash PyG
U K 100 T 1 i 4 6 Usemos K=100 T=1 prima=4 r=6 PyG = Pago final ndash valor (futuro) de la prima
PyG Put
9111315
Pendiente = -1
3579
PyG
Put 4timese6times1
-5-3-11
80 85 90 95 100 105 110 115 120
S(T)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Estrategias Usando OpcionesEj a
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call
MotivacionesKo Participar solo de ganancias
o Acotar Peacuterdidaso Apalancar ganancias
K
o Apalancar ganancias
Por ejemplo S(0) = 100 K = 100 prima = 10 T = 1Con $100 se puede comprar una accioacuten o 10 opciones
PyG S(T) 90 100 110 120 1301 Accioacuten -10 0 10 20 3010 Opciones -100 -100 0 100 200
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Estrategias Usando OpcionesEj b
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 call Strike K2 gt K1
ldquo+ 1 Call Spreadrdquo o ldquo+ 1 Bull Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Estrategias Usando OpcionesEj c
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
+1 ldquoCollarrdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Estrategias Usando OpcionesEj d
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 + 1 put Strike K1
ldquo+ 1 straddlerdquo
Motivacioacuten hellip
K1
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Estrategias Usando OpcionesEj e
Estrategias Usando Opciones
- 1 call Strike K1 - 1 put Strike K2 lt K1
ldquo- 1 stranglerdquo
Motivacioacuten hellip
K1K2
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Estrategias Usando OpcionesEj f
Estrategias Usando Opciones
+ 1 call Strike K1 - 2 calls Strike K2 gt K1 + 1 call Strike K3 gt K2
ldquo fl drdquo ldquo+1 Butterfly Spreadrdquo
Motivacioacuten hellip
K2K1 K3
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Variacioacuten en
o Tiempos de ejercicioo Condiciones para poder ejercero Strikes variableo Strikes variableo Precio del ldquosubyacenterdquo (el pago final puede depender de una
funcioacuten de la evolucioacuten del precio)o Foacutermula de ejercicio de la opcioacutenj po Subyacenteo Opciones compuestas
C bi i d l t io Combinaciones de las anteriores
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas
Ti d j i i Tiempos de ejercicioo Opciones Europeas solo en el momento de expiracioacuten
o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la o Opciones Americanas en cualquier momento antes de la expiracioacuten
o Opciones estilo Bermuda en ciertos tiempos especificados en el d i d ( j l d t )derivado (por ejemplo cada tres meses)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Barreras Up-and-In Up-and-Out Down-and-In Down-and-Out y variaciones
o Barrera Up-and-OutOpcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
170
190
Opcioacuten muere cuando el subyacente toca la barrera
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Condiciones para poder ejercer
o Extensioacuten Parisinas
Opcioacuten muere cuando el subyacente haya pasadola barrera por alguacuten tiempo preestablecido
170
190
la barrera por alguacuten tiempo preestablecido
110
130
150
Precio Accion
Barrera
50
70
90
0 02 04 06 08 1 12
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Strike variable
o Opciones de Intercambio
o El strike es el precio de otro subyacenteo El strike es el precio de otro subyacenteo En efecto la liquidacioacuten final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado sino es una unidad del subyacente por una unidad de otro subyacenteuna unidad de otro subyacente
o Para el caso de una callValor Final = max ( 0 S1(T) ndash S2(T) )
o Para el caso de una putValor Final = max ( 0 S2(T) ndash S1(T) )
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Precio del Subyacente
A iaacute io Asiaacuteticaso El ldquopreciordquo de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opcioacuten
130
150
170
90
110
130
50
70
90Precio Accioacuten
Promedio Precio
Strike
0 02 04 06 08 1
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Foacutermula del pago final
o Opciones Digitales
o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del o El pago final es 1 o 0 dependiendo de la comparacioacuten del subyacente con el strike
o Para el caso de una call KTSsi )(1
o Para el caso de una put
KTSsiKTSsi
FinalValor)(0)(1
KTSsiKTSsi
FinalValor)(1)(0
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Opciones ExoacuteticasOpciones ExoacuteticasSubyacente C Canastas
o El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio de activos
Rainbow
o El pago final se realiza sobre una funcioacuten de un portafolio de ( aacute iacute )
KTSTSTSFinalValor n ))()()((0max 21
activos (maacuteximo miacutenimo hellip)
Spread KTSTSTSFinalValor n ))()()(max(0max 21
Spreado El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
KTSTSFinalValor )()(0max 21
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Opciones Compuestas
o Put sobre Call Call sobre Put hellip
o El Strike de las primeras opciones es una primao El Strike de las primeras opciones es una prima
o El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado al principio o en el momento de ejercicio de la primera al principio o en el momento de ejercicio de la primera opcioacuten en cuyo caso los derivados seriacutean opciones sobre la volatilidad del subyacente
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Opciones ExoacuteticasOpciones Exoacuteticas Ej Acumulador de Azuacutecar
Ob C b d d uacute ldquo aacute rdquo o Objetivo Cobertura para exportadores de azuacutecar ldquoautomaacuteticardquo y por encima de mercado
o Subyacente NY11 de Marzo 2012o Precio subyacente hoy 25o Nivel de Venta 27 Barrera 23o Costo 0o Fecha de Expiracioacuten Septiembre 17 2011 (184 Diacuteas)o Condiciones Cada diacutea que el mercado cierre entre 23 y 27 se vende 1 contrato a 27q y Cada diacutea que el mercado cierre arriba de 27 se venden 2 contratos a 27 Si en alguacuten momento el mercado baja de 23 la estructura termina (se
mantienen los contratos fijados hasta ese punto)
o Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados de Renta FijaSwaps
Derivados de Renta Fijap
Intercambio de una ldquocosardquo por otrao Un activo fiacutesico por plata
Pl t l to Plata por platao Un activo financiero por otroo hellip
Nos centraremos en swaps de tasas de intereacuteso En la actualidad cerca de US$300 billones en nocional ldquovivordquo (unas
30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) 30 veces el tamantildeo de la deuda del gobierno de Estados Unidos) Eso es solo swaps de tasas de intereacutes
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 1
Derivados de Renta Fijap j
La Compantildeiacutea ABC quiere emitir deuda
El mercado favorece la emisioacuten de cupones IPC
ABC emite un bono a 10 antildeos con un cupoacuten de IPC + 5
ABC cree que le inflacioacuten va para arriba y prefeririacutea emitir en tasa fijatasa fija
Solucioacuten
ABC IMIPC + 5
55
IPC
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados de Renta FijaSwaps ndash Motivacioacuten ndash Ej 2
Derivados de Renta Fija
La Compantildeiacutea MNNtilde emite deuda en USD$ para atraer maacutes compradores Cupoacuten 7
MNNtilde ti i COP$ fi li i t MNNtilde tiene operaciones en COP$ y prefiere eliminar estas diferencias (y eliminar riesgo de tasa de cambio)
Solucioacuten
MNNtilde IMUSD Ppal t=0USD 7
USD Ppal t=0
USD Ppal t=TMNNtilde IMUSD 7
USD Ppal t=T
USD Ppal t T
COP 12
COP Ppal t=0
USD Ppal t TCOP Ppal t=T
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes
Derivados de Renta Fija
Contrato bilateral para intercambiar flujos de caja en el futuro En efecto un conjunto de forwards L fl j d j d fi b i i l Los flujos de caja se definen como cupones sobre un principal ldquoPlainVanilla Swaprdquo
o Principal fijoo A paga a B un cupoacuten fijo sobre el principalo B paga a A un cupoacuten flotante sobre el principalo Periodos de caacutelculo bien especificadosp
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados de Renta FijaSwaps de Tasas de Intereacutes Ej l aacute uacute LIBOR
Derivados de Renta Fija
Ejemplo maacutes comuacuten LIBOR swap Teacutermino T antildeos (5 10 son maacutes comunes) Principal US$P millonesp
AAA BBBC x P x 30360 semestral
No hay intercambio de principal (ni al principio ni al final) Tasa LIBOR se determina por anticipado
3mLIBOR x P x ACT360 trimestral
Tasa LIBOR se determina por anticipado Construyamos flujos de caja de swaps de LIBOR vs tasa fija (en
USD y en COP) en EXCEL
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados de Renta FijaSwaption
Derivados de Renta Fija
Opcioacuten sobre un swapo Opcioacuten de entrar en un swap
ldquo rdquo l d h d b l f ldquoReceiverrdquo tiene el derecho de recibir la pata fija y pagar flotante
ldquoP rdquo ti l d h d l t fij ibi ldquoPayerrdquo tiene el derecho de pagar la pata fija y recibir flotante
Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del Si no es clara una de estas dos se especifican las patas del swap y el poseedor de la opcioacuten puede entrar en el swap
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales
Notas Estructuradas
Bonos con caracteriacutesticas especiales Normalmente emitidos a descuento (lt 100) Normalmente cupones dan ldquopickuprdquo a inversionista pej al
l b d l bicompararlos con bonos del gobierno Esto se logra si el inversionista estaacute dispuesto a tomar riesgos El cupoacuten puede estructurarse a las preferencias del inversionistap p p
(fijo flotante con opciones que cambie en el tiempo hellip) Cupoacuten ge 0 Permite a inversionistas acceder a mercados de opciones y swaps p y p Alternativas a mercado tradicional de acciones y bonos Preferido Capital protegido
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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N t E t t dNotas Estructuradas
INVERSIONISTA$ 99
BROKER
$ 2$ 100Cpn (+Ppal)Cpn (+Ppal)
B
Bonos
$ 100p ( p )p ( p )Bonos
3mLxEMISOR MESA DE
DERIVADOSCpnCpn
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Notas Estructuradas
Teacutermino
Notas Estructuradas
Opcionalidad de terminacioacuten temprana (callable)Terminacioacuten temprana por un factor externo
o Evento de creacutedito por ejemplo CLNs (Credit-Linked Notes) o FTDs(First-to-Default)
o Hay un ldquodetonanterdquo (una variable financiera toca cierto nivel el bono ya ha pagado cierto cupoacuten acumulado hellip)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Notas Estructuradas
Cupoacuten
Notas Estructuradas
p Puede depender de
o Tiempo de pagop p go Indiceso Tasas
do Monedaso Commoditieso Accioneso Accioneso Creacuteditos
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Notas Estructuradas
P ej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
Notas Estructuradas
Pej cupoacuten dependiente de 3mLIBOR
12
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond
12
Non-Callable Bond12
Non-Callable Bond
Callable Bond
12
Non-Callable BondCallable Bond
6Cpn
Non-Callable Bond6Cpn
Callable Bond
6Cpn
Callable Bond6Cpn
Callable Bond
Fixed RN6C
pn
Callable Bond
Fixed RN
Floating RN6C
pn
C b e o dFixed RNFloating RNCapped Floater
00 2 4 6 8
00 2 4 6 8
Callable Bond
00 2 4 6 8
Fixed RN
00 2 4 6 8
Floating RN
00 2 4 6 8
g
Capped Floater
00 2 4 6 8
Capped FloaterInverse Floater
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
0 2 4 6 8Index (eg 3mL)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Notas Estructuradas
Principal
Notas Estructuradas
pPuede ser protegido total o parcialmentePrincipal final puede estructurarse a preferencias del
inversionista y depender de variables financierasPuede haber pagos por terminacioacuten tempranaEn CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del En CLNs se recibe un bono del nombre en default en vez del
principal Es decir se recibe una tasa de recuperacioacuten por el principal original en el momento de default
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Notas EstructuradasEmisor
Notas Estructuradas
Cualquier agente que busque fondosNormalmente bancos de inversioacuten y comerciales y agenciasP d SPV (ldquoS i l P V hi l rdquo)Puede ser un SPV (ldquoSpecial PurposeVehiclerdquo)
o Patrimonio y operacioacuten autoacutenomao Riesgo del SPV separa la operacioacuten del riesgo de un emisor bancario por
j lejemplo
El inversionista asume el riesgo de que el emisor no pueda pagar los cupones o el principalNormalmente emisiones para venta en un paiacutes requieren pasar
miacutenimos de regulacioacuten y registro
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Notas EstructuradasEjemplos
Notas Estructuradasj pCLNs FTDsRangoRangoDual-CurrencyCanastasQ tQuantosCPPITARNsLIFTsAutocallablehellip
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Notas Estructuradas
EjFX TARN (Target Redemption Note)
Notas Estructuradas
j ( g p )Variable subyacente Tasa de Cambio COPUSDNocional COP oacute lCupoacuten Mensual
o Mes 1 10 (tasa anual)o Mes 2-12 Max(01800 ndash COPUSD (al comienzo del mes)) 02
La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de 8 (Target) o en 1 antildeo (lo primero en ocurrir) Nota excesos encima del Target no se pagan
Cuando madura la nota devuelve el principal Nota el Target solo puede alcanzarse en fechas de pago de cupoacuten
Veamos posibles trayectorias en EXCEL
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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PortafoliosPortafoliosEj 1 Bancos Depoacutesitos (corto) Cartera (largo)
o Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos hipotecarioso Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Otros activos Otros activoso A la vistao TES y bonoso Accioneso Acciones
Monedaso COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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PortafoliosPortafoliosEj 2 Fondos de Pensiones Acciones (largo)( g )
o Renta variable nacional e internacional Bonos (largo)
o TESo Yankeeso Treasurieso Treasurieso Corporativoso Titularizaciones
Monedaso COP USD EUR BRL MXN JPY hellip
Fondos de inversioacuten (largo) Fondos de inversioacuten (largo)o Fondos de capital privadoo ETFso Hedge Fundso Fondos de infraestructura y desarrollo
M d t i (l ) Mercado monetario (largo)o CDTs fiducias (FCOs) hellip
Derivados (cobertura)o NDFs opciones sobre monedaso Swapspo Notas Estructuradas
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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PortafoliosPortafoliosEj 3 Creadores de mercado
oacute l Depoacutesitos (corto y largo) Acciones (corto y largo)
o Preacutestamos hipotecariospo Preacutestamos de consumoo Otros preacutestamos
Bonos (corto y largo)o TESo Corporativos
Derivados (ambas direcciones)NDF i b t d bio NDFs opciones sobre tasa de cambio
Monedas (ambas direcciones)o COP USD EUR hellip
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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PortafoliosPortafoliosEj 4 Exportadores y productores de un commodity Produccioacuten presupuestada (largo commodity) Produccioacuten presupuestada (largo commodity)
o Relacionado con ventas presupuestadaso Denominacioacuten de commodity (USD es caso tiacutepico)
Ventas contratadas (corto commodity)o Precio y condiciones fijadas
I i (l di ) Inventarios (largo commodity)o Precio y condiciones fijadas
Costoso Materias primaso Distribucioacuten y comercializacioacuteno Distribucioacuten y comercializacioacuteno Operacioacuten produccioacuten y manufactura
Depoacutesitos y creacuteditos (largo y corto)o Variedad de denominacioneso Incluyen cuenta de margen para operaciones en bolsa
d Derivadoso NDFs opciones sobre tasa de cambioo Futuros swaps (OTC) y opciones sobre el commodityo Impliacutecitos en la operacioacuten
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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PortafoliosPortafoliosEj 5 Aseguradoras Pagos contingentes
o Pasivo (seguros)o Activo (reaseguros)( g )
Activos de inversioacuteno Bonos (TES corporativos titularizaciones hellip)o Accioneso Acciones
Reservas Caja
o En distintas denominaciones
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Derivados Financieros y MercadosDerivados Financieros y Mercados
Definiciones Productos Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosTrabajaremos en un mercado ficticio con las siguientes
suposiciones Existen instrumento financieros con precios S bien
definidos definidos Estos precios variacutean en el tiempo - S(t) Existe compradores y vendedores y un mercado p y y
transaccional organizado Existe un mercado monetario se puede prestar o
di d l l i eacute i T pedir prestada plata a cualquier teacutermino T a una tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Se supone lo siguiente
1 S(t) 0 para todo activo y todo t2 No hay fricciones
No hay costos de transaccioacutena No hay costos de transaccioacutenb Infinita Divisibilidadc Infinita Liquidez
3 No hay restricciones de venta en corto3 No hay restricciones de venta en corto4 Admisibilidad (no se puede apostar con ldquodoble o
nadardquo infinitamente))5 No existen oportunidades de arbitraje (no hay
ldquoalmuerzos gratisrdquo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Llamemos B(tT) el factor de descuento de
madurez T tal como se observa en t Este es el precio de un bono cero cupoacuten a T
(llamemos eacutestos T-bonos) B(tT) = e-r(tT)(T-t) = e-r(T-t)
E l i i En lo que sigue no se necesita que r sea constante ni que sea determiniacutestica (puede variar aleatoriamente en el tiempo)aleatoriamente en el tiempo)
ldquoInvertirrdquo es comprar T-bonos ldquoPedir prestadordquo es vender (emitir) T-bonosvender (emitir) T-bonos
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados1 Precio Forward de una accioacuten sin dividendos
F(0 T) S(0) B(0 T)F(0T) = S(0) B(0T)Dem Supongamos F(0T) S(0) B(0T)
t=0 - ldquoComprarrdquo un forward por $0p p-Vender en corto una accioacuten por +$S(0)- Comprar S(0)B(0T) T-bonos por -$S(0)
Portafolio largo un forward corto una accioacuten largo S(0)B(0T) T-b bonos ldquoCajardquo $0 (se armoacute el portafolio sin plata)t=T - liquidacioacuten del fwd +1 accioacuten -$F(0T)
acciones 1 accioacuten- acciones -1 accioacuten-T-bonos +$[S(0)B(0T)]
Portafolio nadaldquoCajardquo +$[S(0)B(0T)]-F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa Caja $[S(0)B(0T)] F(0T)0 ARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados2 Bono cero cupoacuten forward (preacutestamo forward) T1 T2
F(0T1 T2) = B(0 T2) B(0 T1)
3 A ioacute di id d DIV t T3 Accioacuten que paga dividendo DIV en t TF(0T) = [S(0) - DIVB(0t)] B(0T)
4 Accioacuten que paga dividendo continuo a una tasa dF(0T) = S(0) e-(d-r)T
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados5 Peso Doacutelar
S it i t d i l t d t d i t eacute Se necesita introducir el concepto de tasas de intereacutes en cada moneda rUS y rCOL
Tasa de Cambio Spot Q(0) = Pesos 1 doacutelarF(0T) = Q(0)BUS(0T) BCOL(0T)
= Q(0) exp[(rCOL-rUS)T]Es decir el precio forward del doacutelar de no arbitraje implica p j puna devaluacioacuten igual al diferencial de tasasSe cumple esta paridad en el mercado colombianoPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresPoco Razones restricciones al pedir prestados doacutelaresdificultad de definir una tasa vaacutelida para todos losparticipantes fricciones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados6 Precio de un contrato forward en t T
V(t) = (F(tT) ndash F(0T)) B(tT)
7 Si l t d i t eacute d t i iacute ti l i 7 Si las tasas de intereacutes son determiniacutesticas el precio futuro es igual al precio forwardSi las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el Si las tasas son estocaacutesticas la diferencia entre el precio futuro y el precio forward depende de la correlacioacuten entre el subyacente y las tasas
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosPrecios de Opciones CE CA PE PA A menos que se
diga lo contrario las opciones tienen igual T y K8 Paridad Put-Call Europea
E E CE ndash PE = S(0) ndash KB(0T)9 ldquoParidadrdquo Put-Call Americana
S(0) KB(0 T) CA PA S(0) KS(0) ndash KB(0T) C ndash P S(0) ndash K10 Cotas
a CE le CA PE le PA
b S(0) ndash KB(0T) le CE le S(0)c KB(0T) ndash S(0) le PE le KB(0T) d K S(0) le PA le Kd K ndash S(0) le PA le K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados11 Para una accioacuten sin dividendos
CE = CACE = CA
Dem Supongamos CE CA y que la opcioacuten americana se ejerce en T (si no es asiacute se da un arbitraje trivial)t=0 - Comprar una call europea por $ CEt 0 Comprar una call europea por $ C
-Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)t=T - contraparte ejerce call americana -1 accioacuten +$K
C KB( T) T b $K- Comprar KB(T) T-bonos -$Kt=T - call europea si S(T) K no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la accioacuten (y sobra)
si S(T) K se ejerce se cancela el corto de la ( ) jaccioacuten y se paga con el bono (y sobra)En cualquier caso se gana plata y nunca se pierdeARBITRAJE Suposicioacuten falsa
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Por ahora notamos que precios de opciones
dependen de K T y S(0) Dependencia de K
o C decreciente en K P creciente en Ko KltKrsquo CE(K) - CE(Krsquo) lt (Krsquo-K) B(0T)
PE(Krsquo) PE(K) lt (Krsquo K) B(0 T)PE(K ) - PE(K) lt (K -K) B(0T)o C y P son convexas en K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de x = S(0)
o C creciente en x P decreciente en xo xltxrsquo CE(xrsquo) - CE(x) lt xrsquo - x
PE(x) PE(xrsquo) lt xrsquo xP (x) - P (x ) lt x - xo C y P son convexas en xo C(0) 0o x gtgt K C(x) S(0) ndash KB(0T)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
CE
Valor Intriacutenseco
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Dependencia de T
o TltTrsquo CA(T) le CA(Trsquo)o Valor Intriacutenseco Valor de la opcioacuten si se ejerciera
hhoyo Para una call VI = max(0 S(t) ndash K)o Valor del tiempo = Precio opcioacuten ndashVIo Valor del tiempo Precio opcioacuten VIo Valor del tiempo es maacuteximo en S(0) = K En x le K el valor del tiempo es creciente En x K se tiene CE(x) - CE(K) le x - K
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosMaacuteximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)p
Valor del Tiempo
S(0)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosObjetivo encontrar CE PE CA PA
Debemos suponer caracteriacutesticas del precio del subyacente
MODELOSo Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocaacutestica)o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los
dmercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Es importante diferenciar entre
M d l d V l oacuteModelos de ValoracioacutenMeacutetodos de Valoracioacuten
Modeloso Establecen una dinaacutemica de movimiento del (los) subyacente(s)o Enmarcan la dinaacutemica en un espacio de probabilidado Simplifican el entorno econoacutemico y financiero en modelos
aacutep y
matemaacuteticoso Exhiben foacutermulas de valoracioacuten y anaacutelisis (no necesariamente
simplificadas) Meacutetodos Meacutetodos
o Establecen herramientas numeacutericas y computacionales para realizar los caacutelculos requeridos seguacuten el modelo
o Simplifican numeacutericamente los caacutelculosp
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosModelo binomial de un periodo
Valoracioacuten de Derivados
Tenemos la siguiente opcioacuten call europea o Precio Accioacuten S(0) = 80o Strike K = 100o Expiracioacuten T = 1o Tasaacutes cero cupoacuten compuestas continuamente (las suponemos
constantes) r = 10
Planteemos el siguiente modelo para S(T)
120S(T)
20CE(t=T)
80
12090
CE
2090
6010 010
t=0 t=T t=0 t=T
Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de Derivados
20CE(t=T)
Valoracioacuten de Derivados
CE
2090
( )
Intento natural
C010
Encontrar valor esperado de precio finalDescontar ese promedio a valor presente
R l d d iResultado de este intento
CE = e-rTtimes(90times20 + 10times0) = 1629
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de Derivados Idea construir un portafolio (con acciones y bonos cero
Valoracioacuten de Derivados
cupoacuten) que replique los flujos de caja de la accioacuten (solo hay flujos en t=T)o Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoarribardquoo Pago opcioacuten = valor portafolio en estado arribao Pago opcioacuten = valor portafolio en estado ldquoabajordquo
Si se logra esto se debe tener CE = precio (hoy) del g p ( y)portafolio replicante hellipde lo contrario habriacutea arbitrajeo P ej si CE lt precio portafolio se compra la opcioacuten y se vende
l t f liel portafolio Hoy t=0 ganancia igual a la diferencia En t=T ingreso opcioacuten = egreso portafolio
N h l i i bi j Neto hoy ganamos plata sin riesgo hellip arbitraje
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivadosp
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) 120x + 100y = 20(ldquoabajordquo) 60x + 100y = 0
x = 0333y = 0 2y = -02
Valor portafolio 80x + 100e-rTy = 857
CE = 857C 857
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosEn general el modelo del precio de la accioacuten es
d
Valoracioacuten de Derivados
S0
S0euT
p
S(T) d lt r lt uPara evitar arbitraje
S0
S0edT1-p
T
El pago final de un derivado depende del precio final de la accioacuten D =D (S ) y Dd=Dd (Sd)
t=0 t=T
de la accioacuten Du Du (Su) y Dd Dd (Sd)
DuD(T)
D0
Dd
p
1-p
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados x nuacutemero de acciones en el portafolio
Valoracioacuten de Derivados
y nuacutemero de T-bonos (cero cupoacuten con principal 100 madurez
T) en el portafolio Se quiere
(ldquoarribardquo) S0euTx + 100y = Du
(ldquo b j rdquo) S dT + 100 = D(ldquoabajordquo) S0edTx + 100y = Dd
x = (Du-Dd) S0(euT-edT)y = (D euT D edT) 100(euT edT)y = (Dde - Due ) 100(e -e )
Valor portafolio e-rT[qtimesDu + (1-q)timesDd]
donde q = (erT - edT) (euT - edT)donde q (e e ) (e e )
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de Derivados
Luego el precio del derivado se obtiene
Valoracioacuten de Derivados
g po Encontrando valor esperado de precio finalo Descontando ese promedio a valor presentep p
El ldquovalor esperadordquo se encuentra con q
p no afecta el precio del derivadop p
q rarr ldquoprobabilidad de neutralidad al riesgordquoEste fue el aporte de Black Scholes y Merton que les p y q
merecioacute el premio Noacutebel
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosResumen
Valoracioacuten de Derivados
D0 = E[e-rTDfinal]Nota
T TE[e-rTS(T)] = e-rT[qtimesSu + (1-q)timesSd]= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] (euT - edT)
S 0 = S(0) De ahiacute el nombre de ldquoneutralidad al riesgordquo es la
b bilid d ti i l di i t d probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la accioacuten (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de Derivados Extensioacuten
Valoracioacuten de Derivados
o Dividir T en maacutes de N periodos
ti=T iNΔt=TN
Podriacutean ser distintos
o P ej N = 2
T
i
o P ej N = 2
S
Su=S0eu1ΔtSuu=S0e(u1+u2)Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sd=S0ed1ΔtSdu=S0e(d1+u2)Δt
S S (d1+d2)ΔtSdd=S0e(d1+d2)Δt
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosSi el estado ldquoUDrdquo coincide con ldquoDUrdquo el aacuterbol es
Valoracioacuten de Derivados
recombinanteAplicacioacuten opcioacuten put americana S(0)=50 K=58
d d d Tr=3 u1=u2=u=40 d1=d2=d=-20 T=1Proceso Estocaacutestico de S(t)
o t=0 S = 50o t=0 S0 = 50o t=05 S(U) = 6107 S(D) = 4524o t=1 S(UU) = 7459 S(UD) = S(DU) = 5526 S(DD) ( ) ( ) ( ) ( )
= 4094
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de Derivadosq = 348
Valoracioacuten de DerivadosqProceso del valor de PA(t)
o t=1 PA(UU) = 0 PA(UD) = PA (DU) = 274 PA(DD) = 1706o t=05 PA(U) = max (K-S(U))+ e-rΔt [qtimes PA(UU) + (1-q)times PA(UD)]( ) ( ( )) [q ( ) ( q ) ( )]
= 176PA(D) = max (K-S(D))+ e-rΔt [qtimes PA(DU) + (1-q)times PA(DD)]
= 12 76 1276o t=0 PA = max(K-S0)+ e-rΔt [qtimes PA(U) + (1-q)times PA(D)]
8 79= 879
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinante
Valoracioacuten de Derivados
Extensioacuten a N periodos recombinanteΔt=TN u d r const
---- j=veces ldquoarribardquo
hellip ---
S=S0e(ju+(N-j)d)TN
caminos que
j
N--
llegan ahiacute
P b bilid d d hellip Probabilidad de llegar ahiacute
jNjN
)1()(qrarr probabilidad de
jNj qqj
)1()(neutralidad al riesgoQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosHistograma S(T) N=25
Valoracioacuten de Derivadosg ( )
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Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Valoracioacuten de Derivados
Histograma de Ln(S(T)S(0)) N=100
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosCuando N es grande esto es muy similar a una distribucioacuten
Valoracioacuten de Derivados
normalModelo en el liacutemite
2 radic S(T) = S(0) exp(r - frac12σ2)T + σradicTtimesZdonde Z ~ N(01) (bajo la probabilidad q) El teacute i ( frac12σ2)T h E[S(T)] = rTS(0) El teacutermino (r - frac12σ2)T hace que E[S(T)] = erTS(0) La valoracioacuten de derivados se preserva
V(0) = E[e-rTV(T)]V(0) = E[e V(T)] Por ejemplo si V(T) = (S(T)-K)+ se obtiene la foacutermula de
Black amp Scholes para el precio de una opcioacuten call europeap p p p
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de Derivados
Movimiento Browniano
Valoracioacuten de Derivados
Movimiento BrownianoW() es un proceso estocaacutestico continuoW(0) = 0W(0) 0W(t+Δt) ndashW(t) es independiente de W(t)W(t+Δt) ndashW(t) ~ N (0 Δt)
Con esto el modelo de la accioacuten se escribe2S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t)
ldquoMovimiento Browniano GeomeacutetricordquodS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
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Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosFoacutermula de Black y Scholes
Valoracioacuten de Derivadosy
CE = E[e-rT (S(T)-K)+]= E[ S(0) exp(-frac12σ2T + σradicTtimesZ) - e-rT K+] p
helliphellip (integrar) helliphellip= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-)
donde d+ = [ ln(S(0)K) + (r + frac12σ2)T ] σ radicT
radicd- = d+ - σ radicTFoacutermula de Black y Scholes para puts europeas
PE rT K N( d ) S(0) N( d )PE = e-rT K N(-d-) - S(0) N(-d+)Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de Derivados Ejemplo en EXCEL
Valoracioacuten de Derivadosj p
1 Opcioacuten Call sobre IGBCo Subyacente IGBCo Expiracioacuten 1 antildeoo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 25)o Tasa de intereacutes = 5o Tasa de intereacutes 5
2 Opcioacuten Call sobre el doacutelaro Subyacente 1 USD
E i ioacute 1 ntildeo Expiracioacuten 1 antildeoo Strike At-The-Money Spoto Volatilidad = (usemos 15)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)o Tasa de intereacutes = (usemos 4 como diferencial de tasas)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
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Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Volatilidad Impliacutecita
Valoracioacuten de Derivados
p
Una vez maacutes iquestqueacute era σEs la volatilidad usada para valorar la opcioacutenEs la volatilidad usada para valorar la opcioacuten
Representa la volatilidad que se ldquoesperardquo (a futuro durante la vida de la opcioacuten) del subyacentep ) y
Relacionada con la volatilidad realizada pero pueden ser bastante distintas p
Dado que los demaacutes insumos de las opciones se observan esta es la cantidad que cotizan y transan los traders de opciones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σ
Valoracioacuten de Derivados
Las primas de las opciones crecen con σDados S(0) K T r y la prima se puede despejar σ de
las foacutermulas de BSlas foacutermulas de BS
Esta es la volatilidad impliacutecita (estaacute impliacutecita en la prima) hellip se ldquoobservardquo en el mercado de opcionesp ) p
Normalmente variacutea con el Strike (sonrisas)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
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AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico El V l d bi j d d i d i
Valoracioacuten de Derivados
El Valor de no arbitraje de un derivado consiste eno Valor presente (descontado) del pago finalo Valor esperado de este valor presenteo El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad o El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgoo Bajo esta probabilidad el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgoE t ldquofoacute l rdquo t h l t f t aacuteti d t aacute o Esta foacutermula es un teorema hay una plataforma matemaacutetica detraacutes que permite llegar a esto
Concepto usado el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos baacutesicos
li l fl j d j d l d i dque repliquen los flujos de caja del derivado Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe Es uacutenica
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosMarco Teoacuterico
Valoracioacuten de Derivados
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitrajerdquo
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
ldquoExiste una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el Existe una uacutenica probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos baacutesicos)rdquo
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Modelos Buscados
o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocaacutestica)
o Deben incorporar caracteriacutesticas importantes de los mercadoso Deben ser sencillos (de implementar y de usar)y
Variables Modeladaso Precios de subyacenteso Tasas de Intereacuteso Tasas de Intereacuteso Otras variables clima energiacutea cataacutestrofes
Las distribuciones usadas tiacutepicamente giran alrededor de distribuciones normalesdistribuciones normales
Se busca la distribucioacuten bajo la probabilidad de neutralidad al riesgog
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados Sofisticaciones
o Volatilidad Estocaacutesticao Correlacioacuten entre varios subyacenteso Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre o Modelos con muacuteltiples fuentes de incertidumbre
(Movimientos Brownianos multidimensionales)o Modelos con saltos (Proceso de Poisson)
Caracteriacutesticas deseables de modelar Caracteriacutesticas deseables de modelaro Sonrisas (en volatilidades impliacutecitas) en los mercados de
opcioneso Distribuciones no normaleso Distribuciones no normaleso Volatilidad variable o Colas ldquogordasrdquo
S b b l d bl t i li id d i ioacute Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisioacutenQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
Quantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Calibracioacuten del modelo Calibracioacuten del modeloo Escoger paraacutemetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercadoo Paraacutemetros no observables pueden acercarse a o Paraacutemetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histoacuterico o se puede usar precios de instrumentos similares
o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos o Meacutetodos para calibrar estos paraacutemetros Miacutenimos Cuadrados maacuteximo-verosimilitud hellip
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
o Evaluar una integral (un valor esperado)o Solucionar una ecuacioacuten diferencial parcial
Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten A partir del modelo se establece la distribucioacuten (futura) de
las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
aacute aacute l Mientras maacutes caminos maacutes precisa la respuesta Ideal para ldquodependencias del caminordquo y dimensiones altas
no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosSimulacioacuten Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de una opcioacuten
asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
opcioacuten call comparando el precio calculado con el ldquoverdaderordquo precio dado por la foacutermula de Black y Scholesp p y S
Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de Derivados
AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
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AacuterbolesAacuterboles EXCEL Veamos un ejemplo simple de valoracioacuten de
una opcioacuten compuesta usando aacuterboles Opcioacuten Put Expiracioacuten 6 meses Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike Subyacente call sobre IGBC expiracioacuten 1 antildeo strike
at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Solucioacuten numeacuterica de EDPSolucioacuten numeacuterica de EDP Para el estilo de ecuaciones que se encuentran
tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
parecido al esquema de aacuterboles binomiales Existen otros meacutetodos menos usados (elementos (
finitos por ejemplo)
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Valoracioacuten y Anaacutelisis de Riesgo Valoracioacuten y Anaacutelisis de RiesgoUn modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca Matemaacuteticamente se busca Matemaacuteticamente se busca
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Meacutetodoso Simulacioacuten (Monte Carlo)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Aacuterboles (Modelo Binomial y extensiones)o Anaacutelisis numeacuterico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
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las variables relevantes Se simulan distintos caminos de evolucioacuten futura de las
variables (nuacutemeros aleatorios + distribucioacuten)o Particioacuten del tiempo en intervalo
Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
p(precio del derivado por ejemplo)
Se promedian las cantidades a lo largo de los caminos (cada camino tiene el mismo peso)
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no ideal para decisiones tempranas (pej ejercicio i )americano)
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asiaacutetica mediante simulacioacuten Opcioacuten Call Asiaacuteticap Subyacente el IGBC Expiracioacuten 1 antildeo Strike At The Money Spot Strike At-The-Money Spot Para tener idea del error de la simulacioacuten valoraremos una
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Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Valoracioacuten de DerivadosValoracioacuten de DerivadosAacuterboles A partir del modelo se establece la distribucioacuten
(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
generan ldquonodosrdquo provenientes de nodos del tiempo anterior
Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Aacuterboles
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Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
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S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Para cada camino se puede calcular la cantidad deseada d l d d l
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Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Aacuterboles
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S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
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S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Modelo usado Movimiento Browniano GeomeacutetricoS(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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Se conoce el precio en los nodos finales Se conoce el precio en los nodos finales Usando el esquema de valoracioacuten se sigue un
ldquobackward inductionrdquo para llegar al precio en el nodo inicialinicial
Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Aacuterboles
Valoracioacuten de Derivados
Aacuterboles Binomiales trinomiales hellip Recombinantes no recombinantes Simeacutetricos no simeacutetricos En una o varias dimensiones
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AacuterbolesAacuterboles Cada nodo en cada periodo se ve asiacute
S(n t)
S(n t)eu
p
S(n t)ed1-p
t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
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at-the-money (hoy) Strike $500 Modelo usado Movimiento Browniano Geomeacutetrico
S(t) = S(0) exp(r - frac12σ2)t + σW(t) W(t) ~ N (0 t)
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tiacutepicamente en finanzas (ecuacioacuten de calor) se puede l it d dif i fi it usar un algoritmo de diferencias finitas que es muy
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(futura) de las variables relevantes Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se Se particiona el tiempo analizado y en cada tiempo se
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Puede usarse para analizar decisiones tempranas Computacionalmente intensivo en dimensiones altas S d l d b oacute d d Se requiere discretizar la distribucioacuten dada
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Aacuterboles
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S(n t)
S(n t)eu
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S(n t)ed1-p
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Aacuterboles
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S(n t)
S(n t)eu
p
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t= nt t=(n+1)t
Usando p=frac12 (por simplicidad) se igualan la media y la varianza a la distribucioacuten dada quedando
2 2 u = (r - frac12σ2)t + σt d = (r - frac12σ2)t - σtQuantil ndash CIAMSA ndash Anaacutelisis de Riesgos Financieros ndash 2011 ndash Diego Jara
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S(n t)
S(n t)eu
p
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finitos por ejemplo)
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