ANALISIS DE VARIANZA

PARA UN SOLO FACTOR

Ejemplo

Una nutricionista está interesada en evaluar la efectividad de tres dietas. Para tal efecto considera una muestra de 14 señoras del nivel socioeconómico medio y cuyas edades están comprendidas entre 40 y 45 años de edad. Cada señora es asignada en forma aleatoria a cada una de las dietas respectivas, de tal manera que cada dieta queda constituida por 5, 5 y 4 señoras respectivamente. Los resultados se presentan a continuación:

.....Ejemplo Dieta

• A B C • 5 6 3• 4 5 2• 2 4 4• 4 5 3

• 3 6

Si los datos siguen una distribución normal, ¿las dietas tienen la misma efectividad en la disminución del peso?

• V.dep. Disminución del peso de cada señora• V. Indep. Dieta (V. Cualitativa: A, B, C

      En el gráfico 1 se observa que la disminución promedio del peso es mayor en las señoras que han recibido la dieta B y la disminución más baja se da en las señoras que han recibido la dieta C.

1 2 3

3

4

5

Dieta

Dis

min

ució

n

Main Effects Plot - Data Means for Disminución

• Para decidir si las diferencias que se observan en el gráfico son estadísticamente significativas o no, tenemos que aplicar la técnica del análisis de varianza que permita tomar la decisión apropiada.

El análisis de varianza permite comparar dos o más medias aritméticas en forma indirecta mediante la comparación directa de sus respectivas varianzas.

DEFINICION DE ANALISIS DE VARIANZA• El análisis de varianza es una técnica

mediante el cual, la variación total presente en un conjunto de datos sin considerar a que tratamiento le corresponde, se divide en varias componentes, y asociado a cada una de ellas, hay una fuente específica de variación, de modo que, en el análisis es posible averiguar la magnitud de las contribuciones de cada una de estas fuentes de la variación total.

• La estructura de la técnica del análisis de varianza tiene que ver con el diseño de experimentos que se está realizando en una investigación.

 

• A continuación damos una tabla en la cual se presenta los datos de un experimento que se ha realizado, considerando un factor con k niveles:

• Factor Aa1 a2... ak 

y11 y12 ... y1k

y21 y22 ... y2k

. ... .

. ... .

. ... .

yn11 yn22 ... ynkk

T.1 T.2 ... T.k

• Número de unidades por tratamiento:• n1 n2... nk

• donde el gran total de valores es:

T.. = T.1 + T.2 +...+ T.k,

• El número total de datos es: N = n1+ n2 +...+ nk

Prueba de hipótesis• Hipótesis: Ho: 1 =2=... =k

H1: al menos dos son diferentes

Nivel de significación: =0.05

Estadística de Prueba:

En este caso empleamos la técnica del análisis de varianza. De la descomposición de la variabilidad total se genera las siguientes fuentes de variación:

 Variabilidad total,

Variabilidad entre grupos, y

Variabilidad dentro de grupos, donde:

• Variabilidad total = Variabilidad entre grupos + Variabilidad dentro de grupos.

• Cuantificando cada de una de las fuentes, se tienen las siguientes suma de cuadrados:

• SCT = SCEG + SCDG

Grados de libertad que le corresponde a cada fuente:

  N-1 = k-1 + N-k

Donde:

SCT = y²ij - T..²

N

SCEG = (T².1 + T².2 +...+ T².k) - T²..

n1 n2 nk N

SCDG= SCT - SCEG

Todo lo expresado anteriormente, lo resumimos en la siguiente tabla:

Análisis de varianza para un factor

 

Donde la razón F tiene distribución F de Snedecor

Con grados de libertad (k-1, N-k) si Ho verdadero

Fuente de variación G.L. S.C. C.M. R.V. F Valor de p Entre Grupos K - 1 SCEG CMEG F=CMEG/CMDG Tabla o Computo

Dentro de Grupos N - k SCDG CMDG Total N - 1 SCT CMT

SOLUCION

En este estudio la unidad de análisis: UNA SEÑORA. La variable dependiente (respuesta): DISMINUCION DE PESO. La variable Independiente (o factor): TIPO DE DIETA.

MODELO ESTADISTICO PARA ESTE DISEÑO: 

Yij = + ßj + eij i = 1, 2, … , nj ; j = 1, 2, 3

Donde:

yij : Es la disminución del peso obtenida por la i-ésima señora que se le ha aplicado la j-ésima dieta.

ßj : Efecto de la j-ésima dieta.

eij : Error aleatorio con media 0 y varianza ².

• Con respecto al ejemplo se tiene:• Ho : A=B=C• H1 : Al menos dos son diferentesNivel de significación:=0.05 Estadística de PruebaSe utiliza la Técnica de análisis de varianzaCálculos:SCT = (5²+4²+2²+...+4²+3²) – (56)²/14 =22SCEG = (18²/5 +26²/5 + 12²/4) – (56)²/14=12SCDG= SCT – SCEG = 22 – 12 =10

One-way Analysis of Variance Analysis of Variance for Disminucion Tabla 04:

Fuente de GL Suma de Cuadrado Razón de Valor de Variación Cuadrados medio variación p

Dieta 2 12.000 6.000 F=6.60 0.013 Error 11 10.000 0.909

Total 13 22.000

En esta tabla 04, se observa que la razón de variación F= 6.60 tiene una distribución F(2,11), por consiguiente, le corresponde una probabilidad de cometer el error tipo I de p=0.013, por consiguiente, p<0.05, se decide rechazar Ho, por tanto, se concluye que por lo menos en cuanto a efectividad, dos dietas son diferentes.

DISTRIBUCION "F" A UN NIVEL DE SIGNIFICACION DE 0,05

N U M E R A D O R

G.L. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 G.L.

1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 248 252 253,04 1

2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,44 19,47 19,49 2

3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 9,66 9,58 8,55 3

D ENOMINADOR

4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,06 6,04 6,00 5,96 5,80 5,70 5,66 4

5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,78 4,74 4,56 4,44 4,41 5

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 3,87 3,75 3,71 6

7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,63 3,44 3,32 3,27 7

8 5,32 4,45 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,34 3,15 3,03 2,97 8

9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,49 3,13 2,93 2,80 2,76 9

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,97 2,77 2,64 2,59 10

11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,86 2,65 2,50 2,46 11

12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,92 2,85 2,80 2,76 2,54 2,40 2,35 12

13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,02 2,92 2,84 2,72 2,77 2,63 2,46 2,32 2,26 13

14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,77 2,70 2,65 2,60 2,39 2,24 2,19 14

15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,70 2,64 2,59 2,55 2,33 2,18 2,12 15

16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,28 2,13 2,07 16

17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,62 2,55 2,50 2,45 2,23 2,08 2,02 17

18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,19 2,04 1,98 18

19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,16 1,98 1,94 19

20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,12 1,95 1,91 20

21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,10 1,92 1,88 21

22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,07 1,89 1,85 22

23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,05 1,86 1,82 23

24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,03 1,84 1,80 24

25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,01 1,82 1,78 25

26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 1,99 1,80 1,76 26

27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 1,97 1,79 1,74 27

28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 1,96 1,77 1,73 28

29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 1,94 1,75 1,71 29

30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 1,93 1,74 1,70 30

40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 1,84 1,64 1,59 40

50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,78 1,58 1,52 50

60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,75 1,53 1,48 60

70 3,98 3,13 2,74 2,50 2,35 2,23 2,14 2,07 2,02 1,97 1,72 1,50 1,45 70

80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,13 2,06 2,00 1,95 1,70 1,48 1,43 80

90 3,95 3,10 2,71 2,47 2,32 2,20 2,11 2,04 1,99 1,94 1,69 1,46 1,41 90

100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,68 1,45 1,39 100

200 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 1,88 1,62 1,39 1,32 200

300 3,87 3,03 2,63 2,40 2,24 2,13 2,04 1,97 1,91 1,86 1,61 1,36 1,30 300

400 3,86 3,02 2,63 2,39 2,24 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,60 1,35 1,28 400

500 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,59 1,35 1,28 500

600 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,11 2,02 1,95 1,90 1,85 1,59 1,34 1,27 600

700 3,85 3,01 2,62 2,38 2,23 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,59 1,34 1,27 700

800 3,85 3,01 2,62 2,38 2,23 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,58 1,34 1,26 800

900 3,85 3,01 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,58 1,33 1,26 900

1000 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,58 1,33 1,26 1000

1500 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,10 2,02 1,94 1,89 1,84 1,58 1,33 1,25 1500

2000 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,10 2,01 1,94 1,88 1,84 1,58 1,32 1,25 2000