el peso en gramos de llenado de un recipiente que contiene granos de maiz, debe cumplir con la siguiente condición

donde P es el peso. Se toma un tarro y al pesarlo éste , fue de 17 gramos. ¿ El tarro cumple con las especificaciones de peso.

161

0.05

P

Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto y radicales

Valor Absoluto

0 si ,

0 si ,

xx

xxx

|15| = 15

|-4| = -(-4) = 4

Propiedades del Valor Absoluto

yxyxyyx

yxyxyx

yxyx

yy

x

yx

yxxy

xxx

x

0 .7

.6

.5

0 , .4

.3

.2

0 .1222

Ecuaciones con Valor Absoluto

732 x

032 si , 32

032 si , 3232

xx

xxx

2

3

23

si , 32

si , 3232

xx

xxx

2732

5732

23

23

xxx

xxx

También es posible resolver las ecuaciones con valor absoluto, utilizando la definición.

Por ejemplo:

Sabemos que:

Lo que equivale a decir:

Entonces:

C.S. = {-2;5}

Ecuaciones con Valor Absoluto: Ejercicios

xx

xx

x

x

243 .4

331 .3

14

2 .2

31

2 .1

Utilizando las propiedades, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación propuesta.

Propiedades para resolver inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con Valor Absoluto

babbba

babbba

0

0

bababa

bababa

22

22

baba

baba

Ejemplos de Inecuaciones con Valor Absoluto

Ejemplos de Inecuaciones con Valor Absoluto

| 2x + 1| > -2 | 3x - 2 | ≤ 12 4 | x + 5 | ≥ 8 | x - 8 | < 20 2 Observa que la variable está dentro del

valor absoluto en un lado de la inecuación y al otro lado hay una constante, o sea, un número.

Observa que la expresión utiliza los símbolos de desigualdad: >, <, ≥, ≤

Resuelve en tu cuaderno:1. | x | + 5 < 8

2. | x + 5 | ≤ 10

3. | -3x + 6 | > 18

4. | 2x | - 5 < 11

5. | x - 3 | ≥ -2

DESARROLLO

| x | < 8 - 5

| x | < 3 Ahora se puede aplicar la propiedad y

tenemos que la solución es:

-3 < x < 3

Solución de inecuaciones con valor absoluto

Ejercicio 1 Resuelve: | x + 5 | ≤ 10

-10 ≤ x + 5 ≤ 10

-10 + - 5 ≤ x ≤ 10 + – 5

- 15 ≤ x ≤ 5 La solución gráfica sería:

-15 -10 -5 0 5 10 15

Ejercicio 2 Resuelve: | -3x + 6 | > 18

-3x + 6 < -18 ó -3x + 6 > 18

-3x < -24 -3x > 12

x > 8 x < -4 La solución gráfica sería:

-4 -2 0 2 4 6 8

Ejercicio 3 Resuelve: | 2x | - 5 < 11

| 2x | < 16

- 16 < 2x < 16

- 8 < x < 8 La solución gráfica sería:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Ejercicio 4 Resuelve: | x - 3 | ≥ -2 Como el valor absoluto está despejado y al otro

lado hay un número negativo, nos preguntamos: ¿Cuándo es un valor absoluto mayor que un número negativo?

Como la contestación es siempre, sabemos que la solución es: Todos los números Reales

La solución gráfica sería sombrear toda la recta numérica.

Ejemplos de Inecuaciones con Valor Absoluto

| 2x + 1| > -2 | 3x - 2 | ≤ 12 4 | x + 5 | ≥ 8 | x - 8 | < 20 2 Observa que la variable está dentro del

valor absoluto en un lado de la inecuación y al otro lado hay una constante, o sea, un número.

Observa que la expresión utiliza los símbolos de desigualdad: >, <, ≥, ≤

Ejercicios de Práctica

Resuelve

| x - 2 | ≥ 3 < 4

| -2x + 2 | - 1 > 5 | x - 7 | ≤ 5

2 | -3x + 6 | + 8 > 1 | 2x | + 5 < 3

2

35 x

Utilizando el simbolo valor absoluto, exprese cada uno de los siguientes enunciados

x-83

x-25

x-9=11

p-q10

1) x esta a menos de 3 unidades de 8:

2)x difiere de 2 en menos de 5:

3)la distancia entre 9 y x es 11:

4)Los precios p y q de dos productos pueden diferir en no mas de 10 dólares:

5)El ingreso promedio mensual x (dólares) de una familia difiere de 950 en menos de 100:

x-950100

6)En la fabricación de artefactos, la dimensión promedio de una parte es 0.01cm, exprese el hecho de que una medida individual x de una parte, no debe diferir del promedio en no mas 0.007cm: x-0.010.007

Ecuaciones con radicalesCuando una ecuación tiene uno o más radicales, al resolverla se siguen las siguientes reglas:

1. Reescribir la ecuación de forma tal que haya un radical sólo en un lado de la ecuación.

2. Elevar a ambos lados de la ecuación a una potencia igual al índice del radical.

3. Simplificar cada lado y combinar términos semejantes. 4. Si aún queda un radical, repetir pasos 1, 2 y 3. 5. Resolver la ecuación resultante. 6. Verificar todas las soluciones en la ecuación original y

descartar las que no funcionen.

Ejemplos Resuelve ξ𝑧2 + 5 = 𝑧+ 1 (paso 1) no aplica

(paso 2) ൫ξ𝑧2 + 5൯2 = ሺ𝑧+ 1ሻ2

(paso 3) 𝑧2 + 5 = 𝑧2+ 2z + 1 (paso 4) no aplica (paso 5) 5 = 2z +1 4= 2z 2=z

(paso 6) ξ22 + 5 = 2+ 1

ξ9= 2+1 3 = 3 Por lo tanto, la solución es { 2}.

EjemplosResuelve ξ4𝑥+ 1− ξ2𝑥= 1

(paso 1) ξ4𝑥+ 1 = ξ2𝑥+ 1

(paso 2) ൫ξ4𝑥+ 1൯2 = ൫ξ2𝑥+ 1൯2

(paso 3) 4𝑥+ 1 = 2𝑥+ 2ξ2𝑥+ 1

4𝑥− 2𝑥+ 1− 1 = 2ξ2𝑥

2𝑥= 2ξ2𝑥

𝑥= ξ2𝑥

(paso 4) 𝑥2=൫ξ2𝑥൯2

(paso 5) 𝑥2 = 2𝑥

𝑥2 − 2𝑥= 0

𝑥ሺ𝑥− 2ሻ= 0

𝑥= 0 𝑥− 2 = 0

𝑥= 0 , 𝑥= 2

Continuación del ejemplo

(paso 6) Si x=0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ඥ4ሺ0ሻ+ 1−ඥ2ሺ0ሻ= 1

ξ1− ξ0 = 1

1=1

Si x=2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ඥ4ሺ2ሻ+ 1−ඥ2ሺ2ሻ= 1

ξ9− ξ4 = 1

3-2=1

1=1

Por lo tanto el conjunto solución es {0, 2}

INECUACIONES CON RADICALES

EJERCICIOS DE APLICACION1. El ingreso total de una cafetería

con base en la venta de x cafés especiales

está dado por r=2.25x, y sus costos totales diarios están dados por c=0.75x+300.

¿Cuántos cafés especiales se necesitan

vender cada día para obtener el punto de equilibrio? En otras palabras, ¿cuándo el ingreso es igual a los costos?

Ejemplo2. Mónica y Pedro han convenido en juntar sus ahorros cuando hayan ahorrado la misma cantidad de dinero. Mónica puede ahorrar $40 semanales, pero ella primero debe usar $125 para pagar la deuda de su tarjeta de crédito. Pedro ha ahorrado $35 semanales durante tres semanas. ¿Dentro de cuánto tiempo juntarán sus horros?

¿Cuánto habrá ahorrado cada uno de ellos

Ejemplo3 .Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de mano de obra y material es de $21 por calentador. Los costos fijos (costos en que se incurre en un periodo dado, sin importar la producción) son $70,000. Si el precio de venta de un calentador es $35, ¿cuántos debe vender para que la

compañía genere utilidades?

Ejemplo

4. Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una máquina excavadora. Si fuese a rentar la máquina, el costo de la renta sería de $3000 mensuales (sobre la base de un año) y el costo diario (gas, aceite y perador) sería de $180 por cada día que la máquina se utilice. Si él fuese a comprarla, sus costos fijos anuales serían de $20,000 y los costos diarios de operación y mantenimiento serían de $230 por cada día que la máquina se utilizara. ¿Cuántos días al año por lo menos,tendría que utilizar el constructor la máquina para justificar la renta en lugar de la compra?

Practica calificada.1. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un

precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600,000, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la compañía tenga utilidades.

2. Resolver .