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RAZONES Y PROPORCIONES

RAZN: entre dos cantidades es el cociente, la divisin o una fraccin entre ellas, la razn de a y

b se escribe b

a o ba : y se lee: a es a b .

53 , 5:3

Ejemplo 1. Revisado el grado de preparacin de varios obreros de la construccin concluimos que: "1 de cada 5 obreros tiene estudios en el SENA. Entonces, podemos decir que la razn entre los preparados y el total de obreros es 1:5. Tambin podemos decir que la razn entre los que se preparan y los que no, es 1:4. Como vimos antes, ya que las razones son nmeros racionales, entonces podemos aplicarla y simplificarla como nosotros queramos mientras se mantenga la razn. Ejemplo 2. Supongamos que queremos expresar los no preparados del ejemplo anterior con respecto al total. Entonces podemos hacerlo de todas estas formas

k

k

5

4...

15

12

10

8

5

4

Ejemplo 3. La altura de 2 edificios est en la razn 4:7. Cunto mide cada edificio si la

diferencia de sus alturas es de 15 metros? Digamos que el primer edificio tiene 4k metros, para algn kZ. Entonces, el segundo edificio tendr 7k metros. Luego, como la diferencia de sus alturas es 15 metros, entonces 15 = 7k-4k = 3k de donde podemos concluir que k = 5. Por lo tanto, la altura de los edificios es 20 y 35 metros, respectivamente. Ejemplo 4. Un ngulo de 90 es dividido en 3 ngulos que se encuentran en la razn

4:5:9, Cul es la medida de los ngulos?

Llamemos ; y a los ngulos. Digamos que = 4k, para algn kZ.

Entonces, = 5k y finalmente = 9k. Luego, como deben sumar 90, entonces 90 = 9k + 5k + 4k = 18k de donde podemos concluir que k = 10. Por lo tanto, las medidas de los ngulos son 20; 25 y 45, respectivamente.

PROPORCIN: es la igualdad entre 2 razones (fracciones). d

c

b

a O dcba :: , y se lee: a es a

b como c es a d

a y c se llaman antecedentes, b y d se llaman consecuentes.

b y c se llaman medios; a y d se llaman extremos.

Ej. 5

2

10

4 Que tambin se puede expresar 5:210:4 , donde 10 y 2 reciben el nombre de

medios 4 y 5 reciben el nombre de extremos.

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Propiedades de las proporciones: los principios (propiedades) de las proporciones son:

1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En cualquier proporcin el producto de los medios es igual al

producto de los extremos.

Si d

c

b

a , tambin bcad ; 21054

5

2

10

4

2. Una proporcin puede convertirse en otra proporcin si se intercambian los medios o se

intercambian los extremos.

Si d

c

b

a , tambin

d

b

c

a o

a

c

b

d ;

3

2

12

8

8

12

2

3

8

2

12

3

3. si el producto de dos nmeros es igual al producto de otros dos, cualquier par puede

ocupar los medios de una proporcin y el otro par ocupar los extremos; o sea que en

cada razn se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporcin.

Si b

d

c

acdab y

d

b

a

c ;

6

9

2

3

9

6

3

26392

4. En toda proporcin, la suma o diferencia de los antecedentes, es a la suma o diferencia de

los consecuentes, como cada antecedente es a su consecuente:

Si b

a

b

a

, tambin

b

a

b

a

bb

aa

;

8

6

4

3

84

63

8

6

4

3

5. Una proporcin puede convertirse en una proporcin equivalente si en cada fraccin al

numerador se le suma o se le resta el denominador de la fraccin

Si b

a

b

a

, tambin

b

ba

b

ba

;

8

86

4

43

8

6

4

3

6. Si tres trminos de una proporcin son iguales a tres trminos de otra proporcin el

cuarto trmino de la primera es igual al cuarto trmino de la segunda

Si d

c

b

a y ed

e

c

b

a

7. En una serie de razones (fracciones) iguales, si se suman respectivamente los

numeradores y denominadores de dos o ms de estas razones, la nueva razn obtenida es

igual a cualquiera de las razones inicialmente iguales.

........

........

d

d

c

c

b

b

a

a

dcba

dcba

d

d

c

c

b

b

a

a

8. Cuarta proporcional:

De tres cantidades ba, y c a un valor x que cumpla la condicin x

c

b

a

O sea, en una proporcin, si cba ,, y d son distintos, se dice que la proporcin es

discontinua y que cba ,, y d son cuarta proporcional geomtrica.

9. Tercera proporcional:

A dos cantidades a y b , a un valor x que cumpla la condicin x

b

b

a

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O sea, en una proporcin, si los trminos medios son iguales y los externos distintos, se

dice que la proporcin es continua y que los trminos externos son tercera proporcional

geomtrica.

10. Media proporcional:

A dos cantidades a y b a un valor x que cumpla la condicin b

x

x

a

O sea, en una proporcin continua, los trminos que se repiten se llaman media

proporcional geomtrica.

Proporcionalidad Directa: Se conoce como proporcionalidad directa, si una variable aumenta (disminuye), cuando la otra variable aumenta (disminuye) en la misma proporcin. La clave de una proporcionalidad directa, es que la razn entre ambas variables se mantenga constante. Este valor que se mantiene igual, independiente de cmo cambien las variables, se conoce como constante de proporcionalidad. Proporcionalidad Inversa: Se conoce como proporcionalidad inversa, si una variable aumenta (disminuye), cuando la otra variable disminuye (aumenta) en la misma proporcin. La clave de una proporcionalidad inversa, es que el producto entre ambas variables se mantenga constante. En resumen, si x e y son dos variables que se encuentran en

Proporcionalidad Directa, entonces se cumple que ky

x

Proporcionalidad Inversa, entonces se cumple que kyx

Donde k es la constante de proporcionalidad respectiva.

PROBLEMAS

Problema n 1 Un lpiz de 25 centmetros proyecta una sombra de 4 centmetros. Cunto mide un rbol

que proyecta una sombra de 1.20 metros?

Problema n 2

Dos nmeros estn a razn 7

3. Si el menor de ellos es 189 Cul es el otro?

Problema n 3

La suma de dos nmeros es 2.920 y se encuentra en razn 3

5. Cules son los nmeros?

Problema n 4

Dos nmeros se encuentran en razn 4

1 . Si se sabe que uno es 3 unidades mayor que el

otro, cules son los nmeros?

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Problema n 5 Una mapa seala en el borde inferior: escala 1:100,000,000 A cuntos kilmetros equivale

una lnea de 3 centmetros de largo?

Problema n 6 Qu longitud tiene en un mapa una distancia de 400 kilmetros si el mapa seala: escala

1:19,500,000?

Problema n 7 Para un terreno de 0,6 km de largo y 200 m. de ancho, la razn entre largo y ancho es a) 3:1.000 b) 3:1 c) 3:100 d) 1:3 e) 0,6:2

Problema n 8

Si 10:3: vu y 2:1: wu , entonces cul de las siguientes alternativas es falsa, sabiendo que 30v ?

a) 812 u

b) 12vw

c) 92

w

d) 362 w e) 21vu

Problema n 9 Si a:b = 3:5 y b:c=5:9, entonces a:b:c= a) 3:9:10 b) 3:5:9 c) 5:9:3 d) 3:9:5 e) 6:18:5

Problema n 10

Si x2 vara directamente con y e 4y cuando 3x , entonces cul es el valor de x2

cuando ?16y

a) 12

1

b) 3

1

c) 3

d) 6

e) 12

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Problema n 11

Dos obreros A y B , reciben como pago por un trabajo 000,275$ . Si A trabaj 2 das y

B trabaj 3 das, cunto le toca a cada uno, respectivamente?

a) $137,500 y $137,500 b) $91,666 y $183,334 c) $55,000 y $ 220,000 d) $110,000 y $165,000 e) Ninguna de las anteriores.

Problema n 12

Las cantidades 2a y b son inversamente proporcionales. Si para 2a , se obtiene 3b ,

entonces cul sera el valor de a , asociado a ....333333,1b ?

a) 2

1

b) 3

2

c) 4

3

d) 2

3

e) 3

Problema n 13

Dada la sucesin de nmeros ,....12,15,20,30,60 Cul es el siguiente trmino?

a) 10 b) 9 c) 6 d) 12 e) 8

Problema n 14

3 grifos, funcionando 8 horas diarias, llenan 4 piscinas en 2 das. Cuntas piscinas podrn

llenar 5 grifos en 6 das si permanecen abiertos 7 horas diarias?

Solucin

3 grifos (-) 8 horas / da (-) 2 das (-) 4 piscinas (+)

5 grifos (+) 7 horas / da (+) 6 das (+) x piscinas Proporcionalidad compuesta directa

Se reduce a la unidad y terminamos los clculos

5,1748

840

283)(

4675)(

x

La solucin 17,5 piscinas.