Sesion 2-La Integral Doble e Iterada
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Escuela de IngeMat
La integral doble e iterada
Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano
Isaac Newton (
Lic. Montes Ob
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SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:
Hallar el volumen del tetraedro de la siguiente figura.
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¿Qué necesitamos recordar?
•Gráfica de regiones.
• Cálculo de integrales simples
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Sea : ⊂ ℝ → ℝ
= *(, ) ∈ ℝℝ / ≤ ≤ , ≤ ≤
El conjunto = * , , … , ⋅ constituye una partición de la región ; donde , = 1 ,rectángulo en ; , -, ∀ = 1 , … , es la partición , ; , -, ∀ = 1 , … , es la partic
cada k-ésimo rectángulo esta dado por:
∆ = ∆∆ = ( − )( − ). La suma de R
: ⊂ ℝ → ℝ asociada a la partición está dada por: (∗, ∗)∆∆<< , entonces la ien se define por:
, = → (∗, ∗)∆∆
<
<
Donde: (∗, ∗) es el valor de la imagen de la función para cualquier (∗, ∗) ∈ , - ×
= ∆ , = 1 , ⋅ llamada la norma de la partición de la región D.
INTEGRALES DOBLES SOBRERECTÁNGULOS I
a b
c
d
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Sea : ⊂ ℝ → ℝ
= *(, ) ∈ ℝℝ / ≤ ≤ , ≤ ≤
El conjunto = * , , … , ⋅ constituye una partición de la región ; donde , = 1 ,rectángulo en ; , -, ∀ = 1 , … , es la partición , ; , -, ∀ = 1 , … , es la partic
cada k-ésimo rectángulo esta dado por:
∆ = ∆∆ = ( − )( − ). La suma de R
: ⊂ ℝ → ℝ asociada a la partición está dada por: ( , )∆∆<< , entonces la ien se define por:
, = →∞ (, )∆∆
<
<
Donde: ( , ) es el valor de la función para ( , ) esquina superior derecha en , - ×
∆ =
,
∆ =
INTEGRALES DOBLES SOBRERECTÁNGULOS II
a b
c
d
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Geométricamente la integral doble es el volumen del sólido definido por la superficie =región cerrada como base.
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INTEGRALES DOBLES SOBREREGIONES GENERALES
Sea : ⊂ ℝ → ℝ
El conjunto = * , , … constituye una partición de la región cerrada , y desechamos las
están completamente en R, donde , = 1 , es el i-ésimo rectángulo en . El área de cada i-ésdado por: = ∆∆
La suma de Rieman de la función : ⊂ ℝ → ℝ asociada a la partición está dada por: <entonces la integral doble de en se define por:
, =
, = → (∗, ∗)∆∆
<
R
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Ejemplo: Determinar aproximadamente (2 −3) , con una partición de
*, , … , y (∗, ∗) el centro del i-ésimo rectángulo, donde = * , ∈ ℝℝ / ≥Solución:
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Sea : ⊂ ℝ → ℝ una función continua sobre el rectángulo = * , ≤ ≤
CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES POR INTEGRALES ITERADAS(TEOREMA DE FUBINI, 1879-1943)
1° CASO
Las integrales iteradas de sobre son:
, = ,
, = ,
Ejemplo 1:
a b
c
d
X
Y
Calcular , donde , = 4 + 8 + 6 y = * ( , ) ∈ ℝ/0 ≤ ≤ 1, 0
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Ejemplo 2:
Calcular la integral doble , donde , = y = * ( , ) ∈ ℝ/ 0 ≤ ≤ 1 , 0
2° CASO
Sea
: ⊂ ℝ
→ ℝ una función continua sobre
= * , ∈ ℝ
/ ≤ ≤ ()
b
=
=
a
La in tegral iterada de sobre es:
, = ,
Ejemplo 3:
Calcular ( + ) en el cuadrilatero del plano xy que tiene
0,0 , 1, −1 , 2,1 , (1,3).
, : , → ℝ son funciones con ≤ , ∀ ∈
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Ejemplo 4:
Calcular (+) donde es la región limitada por las curvas: = 2, = 4 − , =
3° CASO
Sea
: ⊂ ℝ
→ ℝ una función continua sobre
= * , ∈ ℝ
/ ≤ ≤ ()
c
d
x= x=
, : , → ℝ son funciones continuas tal ≤ , ∀ ∈ , -
La integral iterada de sobre es:
, = ,
Ejemplo 5:
Calcular
donde
= * ( , ) ∈ ℝ
/0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 4 −
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Sea : ⊂ ℝ → ℝ una función continua y definida por , = 1 , sea la región R de las form
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Entonces; definimos el área de la región por:
= =
= =
Ejemplo 6:
Hallar el área de la región R limitada por las curvas: = , = 4 − .
b
=
=
ac
d
x= x=
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Ejercicios: Determinar aproximadamente (3−2+1) , con una partición de la
*, , … , y (∗, ∗) el centro del i-ésimo rectángulo, donde = * , ∈− 2 ≤ ≤ 0 .
Determinar aproximadamente (4 − 9 − ) , con una partición d = * , , … , y (∗, ∗) el centro del i-ésimo rectángulo, donde = * , ∈0 ≤ ≤ 2 4 − .
Demuestre que:
, =
,
Demuestre que:
, ± , - =
, ±
,
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Ejercicios:Calcular la integral sobre , si la región D es
0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ .
Calcular la integral doble , donde R está limitado po
= + 1.Calcular si R es el dominio limitado por las curvas = 1, Calcular la integral doble (+2) , donde R está limitad
= − , = 0 , = 4
Calcular la integral doble (2−) , donde R está limitado po
= 4 − .
Se diseña canales con la forma típica de una parábola de una pranchura a. Se desea conocer una fórmula para calcular el área de la seprofundidad d.
Ó Ó Á
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SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:
Hallar el volumen del tetraedro de la siguiente figura.