Sesión 9.2

Matemática Básica(Ing.) 1

Sesión 9.2

Identidades trigonométricas


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Habilidades

1. Simplifica expresiones trigonométricas haciendo uso de identidades.

2. Resuelve ecuaciones trigonométricas.

3. Demuestra identidades.

4. Aplica las identidades de suma y diferencia en simplificaciones.

5. Expresa una suma de sinusoides como una sinusoidal.

6. Aplica las identidades de ángulo doble para simplificar expresiones.

7. Demuestra la ley de senos y cósenos.


Introducción En las secciones anteriores estudiamos las propiedades gráficas y geométricas de las funciones trigonométricas. Ahora estudiaremos los aspectos algebraicos de la trigonometría , es decir, simplificación, factorización de expresiones y resolución de ecuaciones que contienen funciones trigonométricas denominadas ecuaciones trigonométricas.

Una identidad trigonométrica es una ecuación que contiene ________________________ que se cumplen para todos los valores de la variable.

¿Cuáles son las herramientas básicas en el álgebra de la trigonometría? _______________________


Identidades pitagóricas

x

t

t

y

P(cos t, sen t)

El número real t siempre está colocado en el punto(cos t, sen t) sobre el círculo unitario.

1


Identidades pitagóricas

x

t

t

y

sen

t

cos t

1

Se cumple que:

sen² t + cos² t = 1 (1)

Si dividimos (1) entre cos² t

tan² t + 1 = sec² t (2)

Si dividimos (1) entre sen² t

1 + cot² t = csc² t (3)


Identidades pitagóricas (resumen)

También debemos recordar las identidadesbásicas recíprocas

tt

tt

tt

22

22

22

csccot1

sectan1

1cossen

tt

tt

sec1

cos

cos1

sec

tt

tt

cot1

tan

tan1

cot

tt

tt

csc1

sen

sen1

csc

y las identidades par-impar

xx sen)(sen xx cos)(cos xx tan)(tan


Resolución de ecuaciones

1.- Determine todos los valores de x en el intervalo[0, 2) para la ecuación:

xx

cotx sen

cos3

2.- Determine todas las soluciones de la ecuacióntrigonométrica:

1sensen2 2 xx


Demostración de identidades

Estrategias generales:

1.- La demostración empieza con la expresión en uno de los lados de la identidad.

2.- La demostración termina con la expresión del otro lado de la identidad.

3.- La demostración consiste en mostrar una sucesión de expresiones, cada una de las cuales pueda distinguirse fácilmente como equivalente a la que le preceda.


Identidades de cálculo

))(cossen1(cos 23 xxx

))(sectan1(sec 224 xxx

xx 2cos21

21

cos2

))(cossensen2sen(cossen 64252 xxxxxx


Identidades de suma y diferencia

x

v

B(cos v, sen v)

1

u

A(cos u, sen u)

y

B

A

x

1

y

C

D

D(1, 0)

C(cos , sen )

Haciendo = u – v, además como AB = CD

COSENO


Identidades de suma y diferencia

2222 )0()1(cos)sensen()cos(cos senuvuv

CD = AB

simplificando:

coscoscos vsenusenvu

Como = u – v:

cos(u - v) = cosu cosv + senu senv

Generalizando:

cos(u v) = cosu cosv senu senv


Identidades de suma y diferenciaSENO

Se parte del hecho que:

vuvuvu

vuvuvu

vuvuvu

sencoscossen)(sen

sen)-2

(sencos)-2

cos()(sen

)-2

(cos)(-2

cos)(sen

x)-2

sen(x)-2

(-2

coscosxyx)-2

cos(x sen

Generalizando: sen(u v) = senu cosv cosu senv


Suma de sinusoides como una sinusoidal

Sea una función f(x) = A.sen(x)+ B.cos(x)

Se desea expresar bajo la forma:

bxksenbxkxf cos)(sen)cos()( )(sen.)( bxkxf

A B

Donde:1

cos22

b

BAkAk

Bksen

Ф en cualquier cuadrante (en radianes)

A

B

Ф

(A

2 +B

2 )

Triángulo de referencia


Identidades de múltiplo de un ángulo

uuuuuuuuu

uuuuuuuuu22 sencossensencoscos)cos(2cos

cossen2sencoscossen)(sen2sen

En general:

u

u

uu

u

uuu

2

2

22

sen21

1cos2

sencos

2cos

cossen22sen


Ley de senos y cosenos

A B

C

ab

c

h

A B

C

ab

c

h

En cualquier ABC, con ángulos A, B y C y los lados opuestosa, b y c, respectivamente, secumple que:

cC

bB

aA sensensen

Es conocida como la Ley de senos


En cualquier ABC, con ángulos A, B y C y los lados opuestosa, b y c, respectivamente, secumple que:

Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

Es conocida como la Ley de cósenos

Ley de senos y cósenos

A B

C

ab

c x

y

A B

C

ab

c x

y


Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Secciones 5.1 a la 5.6 del libro

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante

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