Sesion de Teor´ıa 29 - um.es

Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 29

Algebra y Matematica Discreta

Sesion de Teorıa 29

(c) 2013 Leandro Marın, Francisco J. Vera, Gema M. Dıaz

6 Ene 2014 - 12 Ene 2014


Seminario

Espacios Afines

Traslaciones

Una de las condiciones mas restrictivas que tienen lasaplicaciones lineales es la de tener que llevar siempre el 0 al 0.

Hay movimientos muy naturales que no cumplen esapropiedad.

Concretamente son las traslaciones, que vimos como ejemplode una aplicacion que no es lineal.

Sin embargo, parece que deberıa haber una forma simple dehacer este tipo de movimientos de una forma matematica.

Vamos a introducir los espacios afines y las transformacionesafines para modelizar estas situaciones.


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Espacios Afines

Ejemplo de Espacio Afın K n

Antes de ver una definicion mas formal, vamos a ver unejemplo de espacio afın.

Concretamente vamos a considerar la recta del plano realx + y = 1.

Este conjunto no es un espacio vectorial porque 0 no cumplela ecuacion de esta recta.

En realidad, lo que hemos hecho es desplazar la rectax + y = 0 para ponerla sobre otro punto base, por ejemplo el(1, 0).

Veamoslo graficamente:


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Espacios Afines

Recta x + y = 1

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

P

Q

0

Hemos trasladado una recta basada en el origen a una paralela quepase por P (¿o Q?).


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Espacios Afines

Definicion

Subespacio Afın de K n

Un subespacio afın de K n esta formado por un elemento P de K n

que llamaremos punto base y un subespacio V ⊆ K n quellamaremos direccion.

Puntos

Los puntos del subespacio seran todos aquellos que se puedanponer como P + v con v un vector del espacio de direcciones.

La representacion puede no ser unica en lo que se refiere alpunto base, veremos mas adelante como se cambia el puntobase.En el ejemplo de la recta x + y = 1 lo que tenemos es unpunto base, por ejemplo P = (1, 0) y la recta de direccionesx + y = 0


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Espacios Afines

Espacios Afines con la Misma Direccion

Cambio de Punto Base

Sea P + V un subespacio afın de K n y sea Q un punto cualquierade P + V , entonces P + V = Q + V .

Como estamos suponiendo que Q es un punto de P + V ,podremos encontrar un vector v ∈ V tal que Q = P + v . Entoncescualquier otro vector que se pueda poner como Q + w con w ∈ V

cumplira que Q + w = (P + v) + w = P + (v + w) ∈ P + V .Recıprocamente, si tenemos cualquier punto P + u ∈ P + V

entonces P + u = P + v − v + u = Q + (−v + u) ∈ Q + V .


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Espacios Afines

Ejemplos de Subespacios Afines

Los puntos de K n son subespacios afines con direccion 0.

Las rectas del plano son subespacios afines, pasen o no por elorigen.

Las rectas y los planos del espacio tridimensional son tambienespacios afines.


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Espacios Afines

Igualdad, Inclusion y Paralelismo

Supongamos que tenemos dos subespacios afines de K n, P + V yQ +W , entonces pueden pasar varias cosas:

Que tengan algun punto en comun, entonces si llamamos R alpunto comun, tenemos que P + V = R + V y Q +W = R +W .En ese caso los espacios seran iguales si V = W , si se da uno de losdos contenidos, por ejemplo V ⊆ W entonces tendremos unsubespacio afın dentro de otro, por ejemplo un punto dentro de unarecta o una recta dentro de un plano.

Si los espacios no tienen una direccion contenida una dentro de laotra, entonces tendran como interseccion otra variedad que tendrala formula R + (V ∩W ).

Si no tiene puntos en comun, entonces pueden ser paralelos siV ⊆ W o W ⊆ V , como sucede con dos rectas paralelas o unarecta paralela a un plano, o bien que se crucen en el espacio si nohay inclusion, por ejemplo dos rectas que se cruzan sin cortarse enel espacio tridimensional.


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Sistemas de Ecuaciones y Espacio Afın

Introduccion

Es bastante probable que lo mas parecido al algebra lineal quehas estudiado antes de entrar en la universidad es laresolucion de sistemas de ecuaciones.

A lo largo del curso hemos visto muy por encima algunascosas a las que se le daba mucha importancia en elbachillerato, como son los sistemas de ecuacionescompatibles, compatibles indeterminados, incompatibles, etc.

Aquı se ha hablado de ellos, pero hemos centrado el estudioen los sitemas homogeneos, que siempre tienen la solucioncero y por lo tanto no pueden ser incompatibles.

Vamos ahora a ver que los sistemas de ecuaciones nohomogeneos son precisamente los que nos definen lossubespacios afines.


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Sistemas de Ecuaciones

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y + z = 1

x − y + z = 3

.Es muy probable que al resolver este tipo de sistemas te dijeran quelas soluciones son una solucion particular mas la solucion delsistema homogeneo.Y aunque no te lo dijeran ası, probablemente escribirıas lassoluciones del siguiente modo:

x = 1 + λ

y = −1

z = 1− λ

Es decir, una solucion del sistema (1,−1, 1) junto con una partedependiente de un parametro, que podemos entender como elespacio vectorial generado por (1, 0,−1).Eso no es mas que un espacio afın: un punto mas un espaciovectorial. Concretamente este es una recta del espacio.


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Cambio del Punto Base

En el caso de sistemas compatibles indeterminados, la solucionparticular elegida no influıa en la solucion final.

Es decir, la solucion:x = 1 + λ

y = −1

z = 1− λ

es la misma que la solucion:

x = 2 + µ

y = −1

z = −µ

En realidad es como si hiciesemos el cambio de variable µ = λ+ 1.

Si lo piensas, esto es exactamente como cambiar el punto base en elespacio afın, siempre que lo hagamos con un vector del espacio dedirecciones, el resultado es equivalente.


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Intersecciones

Todo esto es casi cierto, un sistema de ecuaciones no esexactamente un subespacio afın, es la interseccion de losespacios afines dados por cada una de sus ecuaciones.Nos encontramos con sistemas incompatibles cuando lossubespacios afines intersecados no tienen ningun punto encomun.Tenemos sistemas compatibles determinados cuando elsubespacio afın es un unico punto, es decir, la solucion delsistema.En el caso de los sistemas homogeneos, siempre habıa solucionporque necesariamente tenıan que intersecar en el origen.Ahora las ecuaciones nos pueden dar subespacios que seanparalelos, o que se crucen en el espacio sin tener ningunainterseccion.El vacıo no se considera un subespacio afın.


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Solucion de Sistemas de Ecuaciones

Entonces los problemas del espacio afın son los de sistemas deecuaciones no homogeneos.

Solucionar sistemas de ecuaciones es lo que corresponde acambiar de representacion implıcita a parametrica en unsubespacio afın.

Aunque no lo hemos visto, supongo que puedes imaginar quese puede hacer con las mismas tecnicas que hacıamos el pasode implıcitas a parametricas en espacios vectoriales.

Simplemente, tendremos que anadir la informacion del puntobase.


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Coordenadas Afines

Puntos y Vectores

En el espacio afın tenemos que diferenciar los elementos del espacioafın (que llamaremos puntos) y los elementos del espacio dedirecciones (que llamaremos vectores).

Para hacer eso introduciremos una coordenada ficticia que tendra unvalor constante igual a 1 para los puntos e igual a 0 para vectores.

Ası, un punto de plano afın se representara con tres coordenadas(1, x , y) y un vector como (0, u, v).

De esta forma, si sumamos un punto P y un vector, obtenemos unelemento que tendra primera coordenada 1, es decir un punto.

Si restamos dos puntos, obtenemos un vector, que es la forma de irde uno a otro.

Si intentamos sumar dos puntos, vemos que la primera coordenadase convierte en un 2, lo cual es imposible, nos indica que esaoperacion no se puede hacer.


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Coordenadas Afines

Ejemplo I

Vamos a utilizar vectores columna para representar puntos yvectores, y para indicar que la primera coordenada es ficticia, lapondremos con una tipografıa diferente. Recordemos que lascoordenadas reales son las otras, por lo tanto un punto del planotendra tres coordenadas, una ficticia y dos reales.

Por ejemplo, un punto de la recta x + y = 3 es

121

o

103

.

Los vectores seran los que corresponden a la direccion x + y = 0,

por ejemplo

01−1

.


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Coordenadas Afines

Ejemplo II

Si consideramos ahora en tres dimensiones el espacio afın dado porel sistema de ecuaciones:

x + y + z = 1 x − y + z = 3

Tomemos un punto

1

2

−1

0

y un vector de direccion

0

1

0

−1

. El

conjunto de puntos lo podemos ver como:

1

x

y

z

=

1

2

−1

0

+ λ

0

1

0

−1

≡

x = 2 + λ

y = −1

z = −λ

λ ∈ R


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Coordenadas Afines

Sistema de Referencia Afın

Lo que para lo espacios vectoriales eran las bases, para losespacios afines seran los sistemas de referencia.

La diferencia fundamental entre un sistema de referencia afıny una base es la presencia de un punto base.

Sistema de Referencia Afın

Dado un espacio afın L, llamaremos sistema de referencia afın paraL a un punto P ∈ L que llamaremos punto base u origen decoordenadas y una base v1, v2, · · · , vk del espacio de direcciones deL.


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Coordenadas Afines

Ejemplo

Los estrellas y planetas vienen siendo observados por la humanidaddesde la mas remota antiguedad.

Todos conocemos como la vision del sistema solar desde la tierrallevaba a unas trayectorias para los planetas casi indescifrables,hasta el punto de que el propio nombre de planetas proviene delgriego πλανητης (vagabundo, errante), puesto que parecıanmoverse de forma aleatoria en el cielo.

Sin embargo las trayectorias pasaban a ser simples cuando secambio el origen de coordenadas al sol, y la tierra paso a ser unplaneta mas.

Cuando modelizamos un problema real, una de las decisiones masimportantes que debemos tomar es donde colocar el origen decoordenadas, y tambien la base de nuestro espacio. Es decir,nuestro sistema de referencia.

Tomar un sistema de referencia inadecuado puede convertir unproblema simple en uno complicado.


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Coordenadas Afines

Coordenadas Respecto a un Sistema de Referencia Afın

Sea R = (P ; v1, v2, · · · , vk) un sistema de referencia afın de unsubespacio afın L = P + V de K n.

Un punto Q de L se puede poner como P + v siendo v un vector deV , y puesto que v1, v2, · · · , vk es una base de V , podremosencontrar coeficientes λ1, · · · , λk tales que v = λ1v1 + · · ·+ λkvk .

Es decir, todo punto de L se puede poner comoP + λ1v1 + · · ·+ λkvk para ciertos valores λ1, · · · , λk ∈ K .

Estos valores son los que llamaremos coordenadas de Q en elsistema de referencia R.

Lo representaremos:

Q =

1λ1

...λk

R

= P + λ1v1 + · · ·+ λkvk


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Coordenadas Afines

Matriz Asociada a un Sistema de Referencia Afın I

Sea P =

1P1

...Pn

, v1 =

0v11...

vn1

, ..., vk =

0v1k...

vnk

. Llamaremos

matriz del sistema de referencia R a la matriz:

R =

1 0 · · · 0P1 v11 · · · v1k...

......

Pn vn1 · · · vnk


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Coordenadas Afines

Matriz Asociada a un Sistema de Referencia Afın II

Esta matriz tiene la propiedad de que

R

1

λ1

...λk

=

1 0 · · · 0

P1 v11 · · · v1k

......

...Pn vn1 · · · vnk

1

λ1

...λk

= P+λ1v1+· · ·+λkvk =

1

λ1

...λk

R

Por lo que las coordenadas respecto al sistema de referencia R sepueden hacer con un simple producto de matrices.


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Calculo de un Sistema de Referencia

Enunciado

Calcula un sistema de referencia afın del subespacio afın de R3 que

contiene a los puntos

121−1

,

1−4−50

,

10−1−2

,

110−1

.


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Calculo de un Sistema de Referencia

Solucion

Para obtener el sistema de referencia que pasa por estos puntos,los pondremos como filas de una matriz y procederemos a lareduccion por filas.

1 2 1 −1

1 −4 −5 0

1 0 −1 −2

1 1 0 −1

1 0 −1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

El sistema de referencia obtenido tiene como origen de coordenadas

1

0

−1

0

y como base del espacio de direcciones

0

1

1

0

,

0

0

0

1

La dimension de este espacio afın es 2, es decir, un plano.

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