Sesión Nº 11
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UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO T-10-12-2007 Escuela de Ingeniería Civil
Sesión Nº 11:CALCULO DE INTEGRALES DOBLES POR
INTEGRALES ITERADAS
En el estudio de integrales ordinarias , la función estaba definida en el
intervalo cerrado , ahora estudiaremos integrales de funciones definidas en una
región , a las que llamaremos integrales dobles y se denotan por
.
Interpretación Geométrica de la Derivada:Sea una función integrable en la región cerrada , y
, entonces
representa el volumen del sólido S bajo la
superficie y tiene como base la región cerrada D.
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS INTEGRALES DOBLES
- Si es continua en la región cerrada D, entonces es integrable en .
- Si es integrable en y , entonces:
=
- Si las funciones son integrables en :
=
- Si las funciones son integrables en
, entonces:
- Si es integrable en la región cerrada y supongamos que y son
los valores mínimo y máximo absoluto de en , tal que:
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
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UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO T-10-12-2007 Escuela de Ingeniería Civil
,
Entonces:
CALCULO DE INTEGRALES DOBLES POR MEDIO DE INTEGRALES ITERADAS
Consideremos tres casos:
CASO I: Si , es una función continua sobre , donde
, es decir, es un rectángulo, tenemos:
d c a b
(*)
(**)
Observación:(*) y (**) reciben el nombre de Integrales Iteradas
Ejemplos:Calcular:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
CASO II:
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
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Si , es una función continua sobre , y sea
una región cerrada, donde
, funciones continuas tal que
a bLuego. La integral iterada de sobre , es:
CASO III:Si , es una función continua sobre , y sea
una región cerrada, donde
, funciones continuas tal que
d
c
Luego. La integral iterada de sobre , es:
Ejemplos:
1.- Calcular , donde está limitado por:
2.- Calcular , donde : está limitado por:
3.- Calcular , donde : está limitado por:
4.- Calcular , donde : está limitado por:
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
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5.- Calcular , donde : está limitado por:
--
6.- Calcular
7.- Calcular
8.- Calcular
HOJA DE PRÁCTICA 11
I.- Calcular las siguientes integrales iteradas:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
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8.-
9.-
10.-
II Calcular:
1.- , donde está limitado por:
2.- , donde : está limitado por:
3.- , donde : está limitado por:
4.- , donde : está limitado por:
5.- , donde : está limitado por:
6.- , donde : está limitado por:
7.- , donde : está limitado por:
8.- , donde : está limitado por:
9.- , donde : está limitado por:
10.- , donde : está limitado por:
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz