SESION O1 : SUCESIONES

INTRODUCCION:

REGULARIDADES NUMÉRICAS

Tomado de :http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Regularidades_numericas.html

En la vida cotidiana se nos presentan muchas situaciones donde aparecen regularidades numéricas o secuencias numéricas (también puede

ser secuencia de objetos de forma ordenada).

Para nuestro interés en ejercitar las destrezas matemáticas, la primera y más importante secuencia numérica es la de los  números

naturales, o sea los números que se utilizan para contar y ordenar objetos: 1, 2, 3, 4, 5, 6,  ...

Esta secuencia de los números naturales es la más importante ya que sirve de base para iniciar, siempre desde el 1 (o primer lugar),

cualquier otra secuencia dada, pues, como veremos luego, la ubicación en una secuencia es trascendental para los cálculos numéricos (ya

se entenderá cuando hablemos de n).

Veamos otros ejemplos de secuencias numéricas:

   •   Secuencia de números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,  ...

   •   Secuencia de números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,  ...

   •   Secuencia de múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 26, ...

   •   Secuencia de cuadrados de los números naturales: 1, 4, 9,  16, 25, 36,  ...

   •   Secuencia de cubos de  los números naturales: 1, 8, 27,  64,  125,  ...

   •   Secuencia de potencias de 2: 2, 4, 8, 16, 32,  ...

Estas secuencias numéricas se denominan sucesiones.

       Entonces:

Una sucesión de números reales es una secuencia ordenada de números reales que sigue una determinada ley de formación.

Los números que forman la sucesión se denominan términos. Todas las sucesiones tienen un primer término y cada término tiene un

siguiente. Las sucesiones se  nombran con una letra y un subíndice (n) cuyo valor depende del lugar que el término ocupa en la

sucesión (ese valor empieza siempre en 1, y sigue 2, 3 ,4 ,5, 6, 7, etcétera):

De este modo: a1, a2, a3, a4, ...

REGULARIDADES NUMÉRICAS

Son series o sucesiones de elementos que tienen un patrón de formación o regla de formación que permite definir o determinar cada

elemento de la sucesión. En los ejercicios de regularidades numéricas se debe, mediante un análisis de los elementos, encontrar el patrón o

regla de formación de la sucesión.

Término general

El término general de una sucesión es  una expresión (fórmula o patrón o regla) que permite conocer el valor de cualquiera de los

términos en función del lugar que ocupa. Se expresa mediante an.

Ejemplo: Si el término general de una sucesión es                  

            an  =  n2 + 1

Para obtener un término cualquiera, se sustituye n por el valor del lugar que ocupa el término en la sucesión. Así, a modo de ejemplo, el

tercer término será:        

            a3 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10

Así, por ejemplo, la serie 1, 3, 5, 7,  . . .  son los números definidos por la fórmula 2n – 1, pues si n es reemplazado por los números

naturales, 1, 2, 3, 4, . . . se genera la serie dada.

El siguiente cuadro sirve para comprobar lo anterior:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . 100 . .

.

k

2n - 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17   199    

 Si se desea saber el número de la serie que ocupa la décima posición se reemplaza n = 10 en la fórmula 2n – 1.

(2 • 10) − 1 =  19

Nota importante

Tener en cuenta que la expresión 2n – 1 no es lo mismo que la expresión 2n – 1

Otro ejemplo.  Completa la tabla con la serie numérica que genera la fórmula 4n + 3.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . 100 . .

.

k

4n + 3 7 11 15 19 23 27 31            

 Determinación de la fórmula

Hasta aquí hemos mostrado ejemplos o ejercicios con la fórmula ya establecida o determinada (2n – 1 y  4n + 3).

En los ejercicios de regularidades numéricas se trata de encontrar la fórmula (patrón o regla) de formación de una sucesión.

Veamos, como ejemplo 1, el siguiente caso, que se da en un contexto geométrico:

 

¿Cuántos palitos de fósforos se necesitan para llegar a formar la figura 23 en esta sucesión?

Para saber cuántos fósforos necesitamos para formar la figura 23 (o vigésimo tercera) podríamos recurrir al siguiente cuadro:

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . 100 . . . n

Fósforos usados  3  5  7                    

 Y completarlo, sumando 2 fósforos cada vez, hasta llegar al espacio Figura 23.

Pero no es necesario completar el cuadro para saber cuántos fósforos necesitamos para armar la figura 23. Para ello debemos determinar la

fórmula general que nos dará la respuesta de inmediato.

Analicemos:

Para armar la figura 1 se necesitan 3 fósforos, pero 3 = 2 • 1 + 1

Para armar la figura 2 se necesitan 5 fósforos, pero 5 = 2 • 2 + 1

Para armar la figura 3 se necesitan 7 fósforos, pero 7 = 2 • 3 + 1

Como vemos, el término general es 2n donde el 2 indica el número de fósforos que debe agregarse cada vez que se avanza en la

construcción de las figuras y la n indica (empezando desde la 1) el número de la figura, todo eso más 1; por lo tanto, la fórmula o patrón está

dada por  2n + 1.

Conocida esta fórmula 2n + 1  reemplazamos simplemente la n por el 23 y sabemos de inmediato que

(2 • 23) +1  nos da 46 + 1 = 47

Por lo tanto, para la figura 23 se necesitarán 47 fósforos.

Ejemplo 2. 

Determina la fórmula que genera la serie numérica de la cantidad de fósforos utilizados para  construir  la  figura  formada  por  un  número 

dado  de  cuadrados, como se muestra en las figuras

Veamos:

Nº de cuadrados 1 2 3 4 5 6 7 . . . n

Nº de fósforos 4 7 10 13          

 Para armar el cuadrado 1 se necesitan 4 fósforos, pero     4 = 3 • 1 + 1

Para armar el cuadrado 2 se necesitan 7 fósforos, pero     7 = 3 • 2 + 1

Para armar el cuadrado 3 se necesitan 10 fósforos, pero 10 = 3 • 3 + 1

Para armar el cuadrado 4 se necesitan 13 fósforos, pero 13 = 3 • 4 + 1

Partiendo desde el cuadrado 1 necesitamos 3 fósforos cada vez para armar el siguiente, por lo tanto, el término general será 3n + 1

Ejemplo 3

El ejercicio de regularidad numérica puede estar dado solo mediante relaciones numéricas, como en el siguiente ejemplo:

Dadas las siguientes igualdades:

32 = 12 + 4 •  1 + 4

42 = 22 + 4  • 2 + 4

Entonces 1002 será = a:  ¿?

Según estas igualdades, cada base de la potencia cuadrática de la derecha tiene 2 unidades menos que cada base de la potencia cuadrática

de la izquierda, por lo tanto, nuestro resultado debe empezar con 982  (obtenido haciendo 100 – 2); a continuación viene la multiplicación de 4

con el mismo número obtenido anteriormente (es decir: 4 • 98) y finalmente le agregamos el número 4, por lo tanto:

1002 = 982 + 4 • 98 + 4

Ejercicios

Hallar el término

a.   9º de  la secuencia 7, 10, 13,   . . .                   ...............................................          

b.   12º de la secuencia  5, 10, 15,  . . .                   ..............................................           

c.  48º de  la secuencia 9, 12, 15,   . . .                 ..............................................           

d.   63º de  la secuencia  3, 10, 17.  . . .                 ..............................................         

e.   12º de la secuencia 11, 6, 1,   . . .                       ..............................................        

f.   28º de  la secuencia 19,12, 5,  . . .                      ...............................................

Determina la fórmula que genera las siguientes series numéricas

a.   serie 10, 12, 14, 16,   . . .                 ...............................................                

b.    serie 10, 13, 16, 19.  . . .                 ..............................................         

c.   serie 20, 25, 30, 35,  . . .                 ..............................................           

d.    serie 115, 125, 135, 145.  . . .        ..............................................           

e.   serie -10, -4, 2, 8,   . . .                       ..............................................           

f.   serie 5, 8, 11, 14,  . . .                      ...............................................

Fuentes Internet:

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=133204

www.geolay.com/modulos_primero/mat_reg-numericas.doc

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/actividades/mineduc1-1.htm

Para practicar ir a:

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/actividades/unidad1-actividades.htm

Además, puedes ejercitar tus conocimientos acerca de patrones numéricos con figuras en la siguiente página:

  http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd99/ed99-0224-04/patronesconpalillos.htm

 Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540

ACTIVIDADES

DESCUBRIENDO PATRONES, ECONOMIZAMOS ESFUERZOS

http://www.gpdmatematica.org.ar/aula/patrones.pdf

1) El collar dibujado combina dos colores. Su patrón de formación lo podemos expresar como “negra-blanca-blanca, negra- blanca-blanca, negra-blanca -blanca…” o, en modo más abreviado: NBBNBBNBB… donde la N significa una bolita negra y la B una blanca. Con estos mismos colores fabrica tres collares distintos.

a) ¿Cuál es el patrón correspondiente a cada uno? b) ¿Cuál es el color que le corresponderá a la bolita 50 de cada uno de tus collares? ¿Y a la

100?. Trata de calcular el resultado sin dibujar esa cantidad de bolitas. c) ¿Los collares que ha fabricado poseerán un número par o impar de cuentas? (Debes

trabajar siempre sin romper el patrón de bolitas)2) Analiza los dibujos que se muestran a continuación:

a) Dibuja dos V que continúen la sucesión dada.b) ¿Es posible que una V tenga 100 puntos? ¿Por qué?c) ¿Cuántos puntos tendrá el sexto término de la sucesión? ¿y el séptimo? (Trata de responder sin dibujarlos)d) ¿A qué sucesión de números correspondería esta sucesión en V? ¿Cuál sería la regla deformación de esta sucesión numérica?

3) ¿Cuál es el patrón de esta tira de números?¿Podrías completar los cuadros que faltan?

a) ¿Si continuaras la tira estaría el número 100 en ella? ¿Cómo lo sabes? b) ¿Qué ocurre con el número 198? ¿Y con el 200? c) Escribe un número grande que nunca aparecerá en esta tira. ¿Cómo lo sabes con seguridad?d) Un alumno dice que la regla para saber qué número pertenece a esta tira está dada por la fórmula 2 + 7n donde, n toma el valor de sucesión

de números naturales. Prueba si es correcta su afirmación.

4) Pili está ahorrando dinero del que le dan para sus gastos semanales. Tiene actualmente $ 75. Decide añadir cada semana $ 5 a sus ahorros. a) Crea una tira de números que comience con el 75 y que muestre el total de ahorros de Pili cada semana.b) ¿Cuántos son sus ahorros después de 10 semanas? c) Escribe una fórmula que indique cómo calcular los ahorros de Pili semana a semana.

5) Analiza la siguiente tira de números.

a) ¿Cuál es el patrón utilizado para formarla? b) ¿Qué propiedad poseen los números de esta tira? c) ¿Puedes anticipar qué tipo de números no estarán en ella? d) Escribe una fórmula para esta tira de números. e) ¿En qué se diferencia la tira del ejercicio 1 con la de este ejercicio?

6) La fórmula que representa una secuencia es 70 + 25 n (n = 1, 2, 3, 4, ….). a) Cuál es el quinceavo número de esta secuencia?b) ¿Cuándo es la primera vez que el valor es superior a 1000?

7) Las siguientes tiras muestran patrones de aumento es constante

Par

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Impar

1 3 5 7 9 11 13 15 17 18 21

Par e impar

1 5 9

a) Escribe una expresión para cada una de las tres tiras de números. b) ¿Cómo puedes usar tus expresiones para comprobar que la tercera secuencia es la suma de las otras dos? c) ¿La tercera secuencia resulta par o impar? Usa la expresión para responder.

8) Con la magia del 101.¿Qué regularidades observas? Trabaja primero cada recuadro de la derecha con la calculadora y luego completa el de la izquierda utilizando la regularidad que has descubierto.

Con calculadora Mentalmente

a) 101 x 5511 =

101 x 1155 =

101 x 3311 =

a) 101 x 1177 =

101 x 8811 =

101 x 4411 =

b) 101 x 2525 =

101 x 2020 =

101 x 3434 =

c) 101 x 1515 =

101 x 4242 =

101 x 2727 =

c) 101 x 222 =

101 x 333 =

d) 101 x 111 =

101 x 444 =

d) 101 x 123 =

101 x 147 =

101 x 138 =

e) 101 x 132 =

101 x 154 =

101 x 185 =

e) 101 x 789 =

101 x 763 =

101 x 746 =

f) 101 x 724 =

101 x 718 =

101 x 728 =

f) 101 x 592 =

101 x 485 =

101 x 347 =

101 x 286 =

g) 101 x 465 =

101 x 843 =

101 x 987 =

101 x 393 =

g) 88 : 101 =

77 : 101 =

66 : 101 =

h) 55 : 101 =

44 : 101 =

33 : 101 =

h) 89 : 101 =

50 : 101 =

71 : 101 =

i) 61 : 101 =

78 : 101 =

36 : 101 =

1 : 101 =

100 : 101 =

CON ESTOS MISMOS COLORES FABRICA TRES COLLARES DISTINTOS.

A) ¿CUÁL ES EL PATRÓN CORRESPONDIENTE A CADA UNO?

B) ¿CUÁL ES EL COLOR QUE LE CORRESPONDERÁ A LA BOLITA 50 DE

CADA UNO DE TUS COLLARES? ¿Y A LA 100?. TRATA DE CALCULAR EL

RESULTADO SIN DIBUJAR ESA CANTIDAD DE BOLITAS.

C) ¿LOS COLLARES QUE HAZ FABRICADO POSEERÁN UN NÚMERO PAR

O IMPAR DE CUENTAS? (DEBES TRABAJAR SIEMPRE SIN ROMPER EL

PATRÓN DE BOLITAS) RETOS

En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se

muestra en la figura 2. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es

                             

Comentario

El tópico que interviene en esta pregunta está asociado a la resolución de desafíos, en donde el alumno debe tener la capacidad de realizar

cálculos orientados a la identificación de regularidades numéricas, además de aplicar operatoria de fracciones ypropiedades de

potencias.

Lo primero que se debe recordar es que un triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales, contenido visto enGeometría de

Enseñanza Básica.

Ahora bien, si se unen los puntos medios del triángulo de la figura se obtiene un triángulo inscrito en el triángulo mayor y cuyo lado mide 500,

es decir,   .

Si en este triángulo inscrito se unen los puntos medios de sus lados respectivos, se obtiene nuevamente un triángulo equilátero, cuya medida

de cada lado es 250, o sea,

 

.

Si se repite el proceso por tercera vez se obtiene que la medida del lado de un tercer triángulo equilátero es

 

.

Luego, como hay que hacer el proceso 6 veces, se deduce que la medida del lado del último triángulo es   .

Por lo tanto, la respuesta correcta se encuentra en la opción C).

El distractor que obtuvo una mayor preferencia por parte de los alumnos fue D), y el error que cometen los postulantes que marcaron esta

opción es que no comprendieron que se debía ir dividiendo el lado del triángulo por 2, esto 6 veces, y solamente pensaron en dividir el lado

por 6.

 Fuente Internet:

Publicación oficial del Demre en www.demre.cl

 Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540

RETO 2

Preguntas 1 a 7 referidas al eje temático de Números y Proporcionalidad

Pregunta 01_2006

Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia:

x - 5,  2(2x + 7),  3(3x - 9),  4(4x + 11),  ... , resulta

Alternativas

A) 41x - 2

B) 61x + 25

C) 41x - 109

D) 41x + 109

E) 41x – 21

Este contenido corresponde a la resolución de desafíos y problemas numéricos, y es un cálculo

orientado a la resolución de regularidades numéricas.

En ella el estudiante debe analizar cada término de la secuencia para inferir cómo se va formando, para determinar la estructura del quinto

término.

Del análisis se obtiene que el quinto término de ella es 5(5x - 13). Luego al sumar los dos términos4(4x + 11) + 5(5x - 13) = 16x + 44 + 25x -

65 = 41x – 21 obteniéndose la expresión que aparece en la opción E).

El distractor D) fue contestado por un porcentaje de alumnos cercano al 10 por ciento. Ellos determinan como quinto

términoerróneamente a 5(5x + 13), no se percatan de que los signos negativos y positivos, se van intercalando. Proceden bien en los pasos

posteriores, llegando a D) como clave.

Otro error común es el siguiente: 4(4x + 11) + 5(5x - 13) = 16x + 11 + 25x - 13 = 41x - 2, que corresponde a la opción A).

El análisis del comportamiento estadístico del ítem nos informa que éste no resultó difícil, pues lo contestó acertadamente el 41 por ciento del

grupo. Sin embargo, lo omitió el 35 por ciento de las personas que lo enfrentaron, lo que estaría indicando que un grupo no despreciable de

personas no fue capaz de inferir la estructura del quinto término.

 

Fuente Internet:

Publicación oficial del Demre en www.demre.cl

 

Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540