SESIÓN 8: ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS NUMÉRICAS

Métodos Numéricos para ingeniería

Trayectoria de una partícula

Si la partícula se deja caer desde el instante t=0 desde 4 m de altura sobre el origen de coordenadas, ¿cómo calculamos la trayectoria de la partícula para cualquier instante de tiempo si se conoce la velocidad suponiendo que no hay resistencia del aire?

Responda lo siguiente:

Si tenemos la relación de la velocidad instantánea de una partícula y’(t) dada por la siguiente expresión y’(t) +t2 sent y(t) = sent y sabemos que en el instante t=0 esta a 4 m de altura sobre el origen de coordenadas, ¿cómo calculamos la trayectoria de la partícula para cualquier instante de tiempo?

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante aplica los métodos de Runge Kutta de paso simple para resolver las EDO.

Así pues tenemos nuestro primer problema, el cual es:

00 )(

),('

./],[:)(

yxy

yxFy

RbaxyyHallar

Problema

Método de Euler

0 0

1 1 1

es el punto de partida

( , )n n n n

w y

w w hF x w

 𝑛 = 1,2,3, . . .

00 )(

),('

yxy

yxFy De la figura:

),( 00101 yxFm

h

yw

),( 0001 yxhFyw

),( 0001

00

wxhFww

yw

5.0)2(

' 22

y

yxyEjemplo Dada la ecuación diferencial

Usa el método de Euler para aproximar tomando

en cada paso del proceso iterativo.

Identificando datos

5.0,2

),(

000

22

ywx

yxyxF

Usando la fórmula de Euler se tiene:

0.706155)5.0,2(1.05.0),()1.2( 0001 FwxhFwwy

0.927710)706155.0,1.2(1.0706155.0),()2.2( 1112 FwxhFwwy

1.166470)927710.0,2.2(1.0927710.0),()3.2( 2223 FwxhFwwy

1.166470)3.2( y

MÉTODO DE JACOBI Método de Taylor de orden 2

0 0

2

1 ( , ) '( , )2!

n n n n n n

w y

hw w hF x y F x y

' x yF F FF Siendo:

00 )(

),('

yxy

yxFy

Método de Heun

1 1 2

1

2 1

1[ ]

2

siendo:

( , )

( , )

n n

n n

n n

w w k k

k hF x y

k hF x h w k

000 )(

),('

yxyw

yxFy

1)2(

32'

y

yxyEjemplo

Dada la ecuación diferencial

Usa el método de Heun (Euler mejorado) para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo.

1,2

32),(

000 ywx

yxyxF

22.12

11)1.2(

24.0)2.01,1.2(1.0),(

2.0)1,2(1.0),(211

1002

001

kkwy

FkwhxhFk

FwxhFk

Identificando datos

Usando la fórmula de Heun se tiene:

21012

1kkww

Usando la fórmula de Heun se tiene:

21122

1kkww

1.48412

122.1)2.2(

0.2862)242.022.1,2.2(1.0),(

0.242)22.1,1.2(1.0),(212

1112

111

kkwy

FkwhxhFk

FwxhFk

Usando la fórmula de Heun se tiene:

21232

1kkww

1.79693052

14841.1)3.2(

0.337251)0.288414841.1,3.2(1.0),(

0.28841)4841.1,2.2(1.0),(213

1222

221

kkwy

FkwhxhFk

FwxhFk

1.7969305)3.2( y

Método de Runge Kutta 4

1 1 2 3 4

1

12

23

4 3

1[ 2 2 ]

6

siendo:

( , )

( , )2 2

( , )2 2

( , )

n n

n n

n n

n n

n n

w w k k k k

k hF x w

khk hF x w

khk hF x w

k hF x h w k

n k1 k2 k3 k4 xn wn

0 1 2 3 4 5

0.10000000000 0.08709241844 0.07010968232 0.05025459930 0.02920274213

0.09409030843 0.07897228389 0.06028225696 0.03950447920 0.01846879182

0.09412635922 0.07912974729 0.06061589543 0.04003433044 0.01916374965

0.08708723313 0.07009743344 0.05023303528 0.02917034670 0.00875094800

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.50000000000 0.59392009474 0.67281908045 0.73317558419 0.77292601174 0.79179580726

El proceso debe repetirse hasta obtener w5. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

11/05/2015