SIGMA 28 - Semantic Scholar · 2018-12-15 · micas como las horas de orto y ocaso del Sol u otros...

Mayo 2006 • 2006ko Maiatza 191

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28ADAPTACIÓN DE UN PLANISFERIO A OTRAS LATITUDES DISTINTAS A LA NUESTRA

Jorge Barrio Gómez de Agüero (*)

RESUMEN

La utilidad de los mapas celestes puede extenderse mucho más allá del simple uso como loca-lizador o buscador de estrellas. Podemos emplearlo para resolver sencillas cuestiones astronó-micas como las horas de orto y ocaso del Sol u otros astros en cualquier fecha del año, horas de Sol que tendremos cualquier día, la visibilidad de los planetas, etc. Pero también puede convertirse en una entretenida herramienta en las clases de Trigonometría, en Matemáticas, para averiguar las longitudes de las sombras de objetos al mediodía en cualquier fecha del año y comparar así dichas longitudes en invierno y verano. Puede usarse también para el diseño de relojes de Sol.

Los fenómenos que hemos descrito son, no obstante, fenómenos locales que dependen de la latitud del observador. Sin embargo, podemos hacer volar nuestra imaginación y trasladarnos al norte de Finlandia, Suecia o Noruega y preguntarnos: ¿cuántas horas de Sol tienen allí un día determinado de invierno? O ¿qué es el Sol de medianoche? Estas preguntas podremos ana-lizarlas y responderlas si adquirimos un planisferio de aquellas latitudes o, mejor aún y mucho más económico, si conseguimos adaptar el que tenemos a la latitud deseada.

1. INTRODUCCIÓN

El planisferio es, sin duda, una de las herramientas astronómicas a las que más jugo e informa-ción podemos sacar en el aula. Tiene la virtud de permitirnos “contemplar” y analizar diversos fenómenos astronómicos, tanto diurnos como nocturnos, incluso en días nublados o lluviosos. Podemos deducir el número de horas de sol que tendremos tal día como hoy, sin más que leer en el planisferio las horas de orto y ocaso solares. Podemos comprobar cuáles son las cons-telaciones que tendremos a la vista tal noche de observación, una vez comprobada la hora de puesta de Sol e incluso qué planetas serán observables en esa noche y si sus condiciones de observación son apropiadas (según su proximidad a la línea de horizonte).

Con el planisferio también podemos determinar la altura del Sol al mediodía en cualquier fecha del año y así utilizar esta información en aras a calcular longitudes de sombras o diseñar relojes-calendario solares. En fin, para no aburrir con todas las posibles utilidades de un pla-nisferio, al final del artículo podéis encontrar diversas cuestiones o pequeños problemas que pueden ser resueltos con su simple uso.

Sin embargo, el objetivo final de este artículo no es enseñar los posibles usos del planisferio, sino más bien aprender a transformar nuestro planisferio a cualquier otra latitud de nuestro hemisferio (o bien del hemisferio Sur si usamos el mapa estelar correspondiente). De ese modo podremos trasladarnos instantáneamente a otras latitudes y analizar los fenómenos astronómi-cos locales que allí acontecen. Se trata de un buen ejercicio que viene muy bien para romper con esos estereotipos tan locales como “el Sol sale por el este y se oculta por el Oeste”.

(*) Profesor de Física y Química y Astronomía del I. E. S.. Vega del Jarama. San Fernando de Henares (Madrid).

Si nos trasladamos al círculo polar ártico en el solsticio de verano, veremos que el Sol “sale” por el Norte y trata de ocultarse también por el Norte (en realidad, en esas fechas no se oculta, dando lugar al conocido fenómeno y reclamo turístico del “Sol de medianoche”). Podemos incluso viajar más al norte, hasta el mismísimo Polo Norte y comprobar la constancia de su cielo durante todo el año, así como la ausencia de ortos y ocasos estelares; las estrellas se mueven en paralelo al horizonte. Igualmente, podemos comprobar que el Sol en el equinoccio de primavera se mueve dando una vuelta completa a ras de horizonte en el transcurso del día. Y todo ello con la ventaja de volver con la Visa indemne de tan fantástico viaje.

DESCRIPCIÓN DEL PLANISFERIO CELESTE

Es de suponer que una gran mayoría de los lectores de esta revista sabe utilizar el mapa celeste, al menos como buscador de estrellas para un día y hora determinados. Sin embargo, en atención a aquellas personas que no hayan tenido nunca contacto con un planisferio, empezaremos por repasar lo básico: qué es, cómo se maneja y para qué sirve. A partir de ahí, pasaremos a ver cómo transformar el planisferio para otras latitudes. Si ya se tiene experiencia en los usos básicos del planisferio, se puede pasar directamente al apartado 5 del artículo, en el que se aborda ya la transformación del planisferio.

El planisferio celeste consta de dos partes: una parte fija y una parte móvil que gira. Vamos a describir la información que contiene cada una de las partes.

a) Parte móvil: La parte móvil o giratoria es de plástico y en ella podemos distinguir una zona transparente (ventana de visibilidad) que nos indicará la porción de cielo visible a la latitud correspondiente a la que nos encontramos (en la península, 40 grados de latitud media) y una zona blanca que delimita la línea de horizonte a esa latitud, con los puntos cardinales. En la zona transparente está dibujada la línea Norte-Sur y el punto medio de esa recta es el cenit, que es el punto del cielo que se encuentra en la vertical de nuestra cabeza. Así pues, las estrellas que aparezcan en el planisferio cerca del cenit serán las que veamos sobre nuestras cabezas en el cielo.

En el contorno de la parte móvil hay una numeración del 0 al 23 ordenada en sentido contra-rio a las agujas del reloj; es la escala horaria con la que fijaremos la hora correspondiente al aspecto del cielo que deseamos observar. Hay que tener en cuenta que dicha escala corres-ponde a T. U. (tiempo universal) con lo que habrá que restar a la oficial una o dos horas según la época que sea correspondiente al horario de invierno o verano (para transformaciones más precisas a la hora oficial, deberá usarse la ecuación del tiempo).

b) Parte fija: La parte fija suele ser de cartón rígido y coloreada de negro, como el cielo nocturno. El clásico planisferio es una proyección acimutal equidistante polar del hemisferio norte celeste(1). Sobre ella están dibujadas las constelaciones, estrellas y otros objetos celestes que pueden verse a lo largo de un año en el hemisferio norte. Es decir, aparecen dibujados aquellos objetos celestes que tienen una posición fija en el cielo y caracterizada por sus coordenadas ecuatoriales. El nom-bre de las constelaciones suele venir en mayúsculas y en minúsculas el de las estrellas principales. Las estrellas aparecen dibujadas como puntos blancos cuyo diámetro es relativo a su brillo. Así, las estrellas más brillantes del cielo aparecen en el planisferio como puntos blancos más grandes. Aparecen también, dibujados como asteriscos, algunos objetos del catálogo de Messier (precedi-dos por su M) y algunos otros objetos de los denominados de cielo profundo.

En el centro de esta parte fija está el polo norte celeste (muy aproximadamente, la Polar). Es el punto central del planisferio en el que convergen 24 líneas radiales que son los meridianos celestes. A su vez es el centro de un conjunto de círculos concéntricos y equidistantes, que son los paralelos celestes.

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Jorge Barrio Gómez de Agüero

SIGMA Nº 28 • SIGMA 28 zk.


Adaptación de un planisferio a otras latitudes distintas a la nuestra

Asimismo, al igual que un punto geográfico terrestre se localiza mediante las coordenadas latitud y longitud (midiéndose la latitud a lo largo de los meridianos y la longitud a lo largo de los paralelos), un punto celeste se localiza mediante dos coordenadas equivalentes a las terrestres y que son la declinación (equivalente a la latitud) y la ascensión recta (equivalente a la longitud). Al igual que hacemos con el ecuador y el polo norte terrestre (de latitudes 0º y 90º respectivamente), el ecuador y el polo norte celestes tienen 0º y 90º de declinación res-pectivamente. Los distintos paralelos del planisferio suelen trazarse de 15 en 15 grados. Los distintos valores de declinación suelen aparecer marcados sobre el meridiano cero.

En la periferia de la parte fija aparece una numeración que va desde 0º hasta 360º (al cabo de una vuelta completa) y que se corresponde con otra que va desde 0 hasta 24. Ambas escalas miden la ascensión recta, en un caso en grados (el menos frecuente) y en otro en horas, minu-tos y segundos (estos últimos imposibles de medir con el planisferio). La razón de medirlo así es porque el cielo efectúa, según sabemos, una rotación aparente completa (360 grados) en 24 horas, o lo que es lo mismo, gira 15 grados cada hora. Por eso puede apreciarse en el pla-nisferio que 1 hora de ascensión recta equivale a 15 grados. El cero de A.R. (ascensión recta) corresponde al meridiano celeste que pasa por el punto Aries del equinoccio de primavera boreal (uno de los dos puntos de corte de la eclíptica con el ecuador celeste).

Debajo de la escala de A. R. aparecen los meses con sus días. Cada rayita corresponde a un día del mes. Podéis comprobar que la división de 1 hora de A.R. se corresponde con 15 rayitas de días, con lo que podemos precisar más nuestras medidas en A.R. teniendo en cuenta que cada rayita correspondiente a un día del mes serán 4 minutos en A.R. ( pues 4 x 15 = 60 minutos o 1 hora).

Recordemos ahora las principales utilidades del planisferio.

2. ALGUNAS DE SUS UTILIDADES

Como ya se comentó al principio, son muchas las utilidades de un simple planisferio celeste. Dado que el objetivo final del artículo no es precisamente instruir sobre su uso, nos centra-remos solo en aquellas utilidades cuyo análisis para distintas latitudes pueda tener un interés práctico en el aula; desde el simple reconocimiento del cielo en cualquier fecha y la simula-ción del movimiento diurno aparente de la bóveda celeste, pasando por la determinación del orto y ocaso solar de cualquier día, la determinación de su altura máxima al mediodía o la diferencia entre día solar y sidéreo.

2.1. Reconocimiento del cielo observable y movimiento diurno aparente

Supongamos que deseamos conocer el aspecto que presentará el cielo el día 4 de julio a las doce de la noche hora oficial (es decir, aproximadamente 22 h T. U.). El mecanismo a seguir será el siguiente:

• Se hace coincidir el 22 de la parte móvil con la rayita correspondiente al día 4 de julio.

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• Se sitúa el planisferio por encima de nuestra cabeza y se orienta el norte cardinal del planisferio hacia la Polar en el cielo. Una vez hecho esto, el planisferio muestra el aspecto del cielo que estaremos observando en ese momento, por lo que podremos reconocer las estrellas y las constelaciones.

La siguiente imagen recoge el aspecto que presenta el cielo el 4 de julio a las doce de la noche hora oficial, para un observador peninsular (40º de latitud norte, como se indica).

Figura 1. El aspecto del cielo para un observador peninsular el día 4 de julio a las 12 h de la noche (oficial)

Hecho esto, si procedemos a girar la parte móvil en el sentido de las agujas del reloj, estare-mos simulando el movimiento diurno aparente de la bóveda celeste, comprobando la exis-tencia de ortos y ocasos de los astros en nuestras latitudes y con qué inclinación tienen lugar con respecto al horizonte.

2.2. Orto y ocaso solar; horas de sol en un día cualquiera

Para localizar el Sol en el planisferio en un día determinado, se procede de la siguiente manera: desde la rayita correspondiente a esa fecha se traza una recta imaginaria hasta el centro del planisferio. El punto de corte de esa recta con la línea de trazos que representa la eclíptica (órbita aparente del Sol por el cielo) nos da la posición del Sol en el cielo ese día.

Una vez situado el Sol podemos averiguar su hora de salida (orto) y su hora de ocultación (ocaso) del siguiente modo: supongamos que queremos averiguar el orto y el ocaso del Sol el día 4 de julio. Localizaremos el Sol como ya hemos explicado. A continuación giraremos la parte móvil hasta que la línea de horizonte Este coincida con la posición del Sol (de este modo simulamos la salida del Sol por el horizonte Este, como se aprecia en la fig. 2). Leemos en la parte móvil la hora que coincide con la rayita del 4 de julio recordando que, en caso de no coincidir una hora exacta, cada rayita correspondiente a un día equivale a 4 minutos. De este modo, podéis observar que el orto tendrá lugar aproximadamente a las 4 h 44 min T.U. (6 h 44 min hora oficial sin corrección local).



Para determinar el ocaso haremos lo mismo pero en este caso haciendo coincidir la línea Oeste con la posición del Sol (fig. 3). Leemos la hora debajo del 4 de julio y observaremos que el ocaso tendrá lugar a las 19 h 20 min T.U. aproximadamente (21 h 20 min hora oficial sin corrección local).

De este modo, restando ambas horas obtendremos las horas de sol de ese día; es decir, 14 horas y 36 minutos de sol. Resultará ilustrativo comparar este resultado con las horas de sol de un día de finales de diciembre.

Actividad de grupo para el aula: Elaborar un gráfico anual, semana a semana, de la evolución de horas de Sol. Formando 12 grupos, cada grupo calculará con el planisferio las horas de Sol de un mismo día (p. ej. miércoles) de las cuatro semanas del mes.

Figura 2. Simulación del orto solar Figura 3. Simulación del ocaso solar

el día 4 de julio. El sol sale a las 4:43 T.U. el día 4 de julio. El Sol se pone a las 19:18 h T.U.

2.3. Altura del Sol al mediodía sobre el horizonte

Una vez situado el Sol como se ha indicado en el epígrafe anterior, la determinación de su altura sobre el horizonte al mediodía puede determinarse con bastante precisión en el planisferio. Giramos la parte móvil hasta que la línea que representa el meridiano del lugar (Línea Norte – Sur) en la que viene marcado el cenit, coincida con la posición del Sol del día elegido. Puesto que la proyección usada en este tipo de planisferios es acimutal equidistante, la distancia entre paralelos es siempre la misma. Midiendo con una regla la distancia entre dos paralelos consecutivos, establecemos la escala correspondiente a 15º. Si ahora medimos con la regla la distancia del cenit al Sol (punto de corte de la línea N-S con la eclíptica) y la transformamos a grados en la correspondiente escala, habremos medido z (distancia cenital; una de las coordenadas horizontales de un astro). De ese modo, la altura h del Sol al mediodía en la fecha elegida será:

h = 90º – z

Actividad de grupo en el aula: Hacer la medición sobre el planisferio de las alturas del Sol al mediodía en las fechas elegidas de la actividad anterior y tratar de dar una explicación de la relación entre ambas gráficas

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2.4. Localización y visibilidad de los planetas

Los planetas no ocupan posiciones fijas en el cielo; por esa razón no pueden aparecer explícitamente en un planisfe-rio. En las revistas mensuales de astronomía, tales como “Astronomía” y “Espacio” (en castellano) o “Sky & Telescope” o “Astronomy” (en inglés), así como, por supuesto, en los anuarios de efemérides astronómicas, podemos encontrar las coordenadas en A. R. y declinación de todos los planetas del sistema solar en las distintas fechas. Por tanto, a partir de esos datos nos resultará sencillo situar los planetas en el planisfe-rio. Nos daremos cuenta enseguida que prácticamente todos ellos se mueven muy aproximadamente sobre la eclíptica, lo que significa que el movimiento de la mayoría de los planetas se produce aproximadamente en el mismo plano.

Una vez localizados en el planisferio, podremos ver qué planetas serán observables en el cielo nocturno de hoy, por ejemplo. Bastará saber a qué hora anochece y si a esa hora y posteriores el planeta queda en la parte transparente del pla-nisferio (es decir, en la porción de cielo observable). También podremos conocer, siguiendo el método explicado para el Sol, las horas de sus ortos y ocasos y compararlas con los datos que vienen en las revistas.

Los planetas Mercurio y Venus son, por este orden, los más próximos al Sol. Eso quiere decir que los veremos siempre como fieles acompañantes del Sol en su aparente movimiento diurno. Dado que durante el día la luz del Sol nos impedirá verlos, sólo podremos observarlos al amanecer (es decir, poco antes de que salga el Sol) o al atardecer (poco después de la puesta de sol). Mercurio siempre se verá muy bajo en el horizonte en esas circunstancias por ser el más próximo al Sol, mientras que Venus será más favorable en muchas circunstancias, pudiendo llegar a verse hasta tres horas antes o después de la salida o puesta del Sol (el famoso “lucero del alba” o “del crepúsculo”). Para saber con el planisferio si, a día de hoy, serán visibles al amanecer o al atardecer o si, por el contrario, no serán visibles por estar en conjunción u oposición al Sol, procederemos del siguiente modo:

• Situamos el Sol a día de hoy como se ha explicado en el apartado anterior.

• A continuación y según sus coordenadas, situamos Mercurio o Venus.

• Giramos la parte móvil del planisferio en el sentido de las agujas del reloj y observamos quién aparece antes por el horizonte Este. Si el primero que aparece es el planeta, que sale por tanto antes que el Sol, significa que será visible al amanecer. Si seguís girando veréis que, en esas circunstancias, el planeta se oculta por el horizonte Oeste antes que el Sol. Si, por el contrario, es el Sol el que aparece antes que el planeta, también se ocultará antes que él, por lo que, en esas condiciones, el planeta será visible al atardecer.

2.5. Diferencia entre día solar y día sidéreo

Una vez que hemos aprendido a leer las horas de orto y ocaso del Sol o de los astros en gene-ral (el procedimiento es el mismo), podemos verificar con el propio planisferio la diferencia

Figura 4. Procedimiento para determinar la distancia cenital

del Sol



entre el día solar y el sidéreo. Dado que la escala horaria de la parte móvil se mide en tiempo solar, si procedemos a determinar el orto de una misma estrella en dos días consecutivos, comprobaremos que al segundo día su orto se ha adelantado en 4 minutos. Ello nos permite verificar que el día sidéreo corresponde muy aproximadamente a 23 h 56 minutos solares, lo que, de paso, nos explica la variación estacional del cielo nocturno.

3. LAS COORDENADAS CELESTES

En Astronomía se utilizan distintos sistemas de coordenadas para la localización de los astros y cuerpos celestes según cuál sea el plano de referencia elegido y el punto de origen del sistema. Así, se distinguen esencialmente dos tipos de sistemas:

• Sistema horizontal: el plano de referen-cia es el horizonte verdadero del lugar (N-E-S-O) y los puntos de referencia elegidos son el cenit Z como origen para la determinación de las distan-cias cenitales z (o las complementarias alturas h) y el punto cardinal S como origen del acimut A del astro (en el sistema astronómico, a diferencia del geodésico que utiliza el N como ori-gen de acimut).

Se denomina distancia cenital de un astro X al arco del círculo vertical ZX entre el cenit y el astro. El arco comple-mentario XH (hasta el punto de corte con el horizonte verdadero) determina la altura h del astro.

A su vez, el acimut A del astro X queda determinado por el arco del círculo horizontal SH entre el punto cardinal Sur S y el punto de corte H del círculo vertical del astro con el horizonte. El acimut se mide en el sentido de las agujas del reloj (S-O-N-E) de 0º hasta 360º o bien de 0º a +180º para acimutes occidentales y de 0º a 180º para los orientales. Como se desprende de las definiciones, las coordenadas horizontales son locales y varia-bles en el tiempo.

• Sistemas ecuatoriales: el plano de referencia es el ecuador celeste. En estos sistemas, el movimiento diurno aparente de los astros trascurre sobre paralelos celestes fijos (excepto el Sol y los planetas, que lo hacen sobre la eclíptica). Según cuál sea el punto de origen elegido, se distinguen dos tipos de sistemas ecuatoriales:

a) primer sistema ecuatorial: utiliza como punto de origen el punto Q de corte del meri-diano celeste del lugar NPZS con el ecuador celeste. Dicho punto Q es, en nuestro hemisferio, el punto del ecuador celeste del círculo vertical sobre el punto cardinal Sur S. En este sistema se definen dos coordenadas:

- Declinación del astro: es el arco medido sobre el meridiano del astro (PXP’) o cír-culo horario, desde el ecuador celeste hasta la posición del astro. Todos los puntos de un mismo paralelo tienen la misma declinación. Los valores de declinación están comprendidos entre 0º (para cualquier punto del ecuador celeste) y +90º (para el polo norte celeste). Las declinaciones negativas corresponden al hemisferio sur celeste, siendo -90º para el polo sur celeste.

Figura 5. Coordenadas horizontales de un astro

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- Ángulo horario t del astro: es el arco de ecuador celeste entre el punto Q del meridiano celeste del lugar NPZS y el meridiano o círculo horario del astro. El ángulo horario será cero cuando el astro culmine en el meridiano celeste del lugar NPZS.

En este primer sistema, la coorde-nada del astro permanece inva-riable, mientras que la coorde-nada t varía continuamente con el movimiento del astro.

b) Segundo sistema ecuatorial: En este sistema el punto de origen es el llamado punto vernal Aries o equinoccial de primavera boreal, que es uno de los dos puntos de corte del ecuador celeste con la eclíptica; aquel que corresponde al momento del tránsito del Sol desde declinaciones negativas hacia declinaciones positivas. Como resulta evidente, dicho punto participa de la rotación aparente de la esfera celeste, por lo que las posiciones relativas de los astros respecto de dicho punto son fijas. Las coordenadas en este sistema son:

- Declinación del astro: igual que en sistema anterior.

- Ascensión recta del astro: es el arco del ecuador celeste entre el punto equinoccial y el meri-diano o círculo horario del astro. Las ascensiones rectas se miden en sentido contrario a la rotación aparente de la esfera celeste, de 0º a 360º, o más comúnmente en medida horaria de 0 h a 24 h. A su vez, las horas de ascensión recta se subdividen en minutos (min) y segundos. Una hora de A. R. (60 min) corresponden a 15º, por lo que 1º corresponde a 4 min de A. R.

4. TRANSFORMACIÓN DEL PLANISFERIO A OTRAS LATITUDES DISTINTAS A LA NUESTRA

La transformación del planisferio a otra latitud del hemisferio norte requiere simplemente cambiar el trazado de la línea de horizonte para obtener la ventana de visibilidad correspon-diente a la latitud deseada. La cuestión es cómo hacerlo. Veremos que se trata de un problema de transformación de coordenadas horizontales a ecuatoriales; más en concreto, se tratará de averiguar la declinación de los puntos del horizonte del lugar. Para ello y antes de abordar

Figura 6. Ángulo horario y declinación de un astro

Figura 7. Ascensión recta y declinación de un astro



definitivamente el trazado de dicha ventana, vamos a recordar algunas cuestiones básicas sobre la localización del ecuador celeste y su situación relativa respecto del horizonte de un observador a cualquier latitud.

4.1. Situación relativa del ecuador celeste en función de la latitud

Analizaremos en primer lugar las características básicas del aspecto del cielo y la localización de algunos puntos esenciales en él, comprobando cómo varían al cambiar la latitud. Nos interesará especialmente ver cuál es la posición relativa de los puntos cardinales del horizonte respecto del ecuador celeste, en aras a trazar posteriormente la ventana de visibilidad en el planisferio.

• El cielo del observador peninsular medio (latitud 40º N)

Como puede observarse en la figura, para este observador el polo norte celeste (apx. la Polar) se eleva 40º sobre el horizonte norte, lo cual nos da la conocida pauta de deter-minar la latitud de un lugar del hemisferio Norte por la altura de la Polar sobre el hori-zonte. Pero a su vez comprobamos que el ecuador celeste se eleva 50º sobre el punto cardinal Sur del horizonte del observador (y queda 50º por debajo del punto cardinal Norte). Es decir, la “colatitud” (complementario de la latitud) nos permite localizar los puntos cardinales Norte y Sur de la línea de horizonte del observador de cualquier lati-tud. Considerando la definición de declinación que hemos dado en el apartado 4, eso significa que la declinación del punto cardinal Sur será de –50º, mientras que la del punto cardinal Norte será +50º. De este modo ya tenemos dos puntos esenciales de la ventana de visibilidad del planisferio de cualquier latitud.

Figura 8. Elementos del horizonte para un observador peninsular medio

Por otra parte, si trazamos la línea Norte Sur en la parte de plástico del planisferio y, posteriormente, trazamos una perpendicular que pase por la Polar, los puntos de corte de esta última recta con el ecuador celeste del planisferio nos darán los puntos cardinales Este y Oeste. Al ser puntos de corte de la línea de horizonte con el ecuador celeste, sus

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declinaciones, obviamente, serán 0º. Así pues, ya tenemos localizados los cuatro puntos cardinales de la línea del horizonte para cualquier latitud.

• El cielo del observador de otras latitudes

Si aplicamos las ideas anteriores a cualquier otra latitud, vemos cómo varía la posición relativa del ecuador celeste respecto del horizonte del lugar. Así, por ejemplo, para un observador canario de 28º N de latitud, el ecuador celeste se elevará 62º sobre el punto cardinal Sur. Por tanto, la declinación de su punto cardinal Sur h a de ser –62º , mientras que la de su punto cardinal Norte será +62º.

Para un observador nórdico de 70º N las declinaciones de sus puntos cardinales S y N serán, respectivamente, de –20º y +20º, mientras que para un observador polar (90º N), como puede observarse en la figura, todos sus puntos del horizonte tienen declinación 0º.

En las siguientes figuras podemos observar lo que ocurre para observadores de distintas latitudes.

Figura 9. Elementos del horizonte para un observador canario (latitud 28º N)

Figura 10. Elementos del horizonte para un observador nórdico (latitud 70º N)

Figura 11. Elementos del horizonte para un observador polar (latitud 90º N)



4.2. La transformación de coordenadas; un problema de trigonometría esférica

Las fórmulas de la trigonometría plana de poco nos sirven cuando trabajamos sobre elementos de la esfera celeste. Obsérvese que todas las definiciones dadas de las coordenadas de un astro, tanto en el sistema hori-zontal como en el ecuatorial, se refieren a arcos, por lo que encontrar la relación de unas coordenadas con otras requiere resolver triángulos formados por arcos, es decir, triángulos esféricos.

En la figura 12 se representa el triángulo esférico ABC cuyos lados son los arcos a, b y c. Si desde el punto A de la superficie de la esfera trazamos sendas tangentes a los lados b y c hasta su corte con las prolongaciones de los radios de los puntos B y C, obtenemos el triángulo plano ADE, además del triángulo ODE. Estos dos triángulos comparten el lado DE. Aplicando el teorema del coseno a estos dos triángulos planos, se obtiene:

Restando ambas igualdades y despejando el último término de la segunda igualdad, obtenemos:

Si tenemos en cuenta que los lados AD y AE son perpendiculares a r, encontramos las siguien-tes relaciones:

Relaciones que sustituidas en la anterior igualdad y eliminando factores comunes, conducen a esta otra:

Que podemos simplificar como sigue:

Obteniendo así una de las fórmulas fundamentales del triángulo esférico, que es con la que finalmente nosotros vamos a trabajar en la transformación de nuestro planisferio:

Es decir, el coseno de un lado cualquiera del triángulo esférico es igual al producto de los cosenos de los otros lados más el producto de los senos de dichos lados por el coseno del ángulo que forman.

Figura 12. Triángulo esférico

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Para la deducción de esta fórmula hemos utilizado un triángulo esférico cualquiera. Compete ahora aplicarla a un triángulo esférico celeste y analizar las relaciones que podemos obtener entre las distintas coordenadas que hemos expuesto.

4.3. Aplicación a un triángulo paraláctico; relación entre la distancia cenital, la declinación y el ángulo horario para una determinada latitud

Consideremos ahora un triángulo esférico celeste formado por la intersección del meridiano celeste del lugar (PZ), el meridiano o círculo horario de un astro (PS) y el arco correspondiente a la distancia cenital z del astro. Tal triángulo PZS así formado se denomina comúnmente triángulo paraláctico (fig. 13).

Figura 13. Triángulo paraláctico para un astro en el hemisferio norte occidental

En la figura se representa la situación correspondiente a una latitud . De ese modo, el arco PZ (polo norte celeste – cenit) valdrá 90 – . A su vez, si es la declinación del astro, entonces el arco PS será 90 – , mientras que el arco ZS corresponde a la distancia cenital z del astro. Como se aprecia en la figura, los ángulos del triángulo son t (ángulo horario), 180 – A (siendo A el acimut del astro) y q, denominado ángulo paraláctico del astro.

Si aplicamos la fórmula fundamental deducida en el apartado anterior a nuestro triángulo paraláctico en función del lado z, se obtiene:

cos z = cos (90 - ) ·cos (90 - ) + sen (90 - ) ·sen (90 - ) ·cos t

O, lo que es lo mismo:

cos z = sen ·sen + cos ·cos ·cos t

Expresión que constituye una de las relaciones fundamentales de transformación entre coor-denadas ecuatoriales y horizontales. La expresión anterior nos permite averiguar la distancia cenital de un astro de declinación en el momento en que su ángulo horario vale t, visto desde un horizonte de latitud . Pero, ¿qué importancia puede tener esta expresión para los cometidos de trazar la ventana de visibilidad del planisferio a cualquier latitud? Como vamos a ver a continuación, esta es precisamente la fórmula que nos va a diseñar la ventana de visi-bilidad de nuestro planisferio a cualquier latitud.



4.4. Y por fin... aprendemos a trazar la ventana de visibilidad del planisferio

El problema del trazado de la ventana de visibilidad se antoja bastante simple una vez que hemos comprendido el significado de la ecuación anterior. La ventana de visibilidad está delimitada por los puntos de la línea de horizonte y todos los puntos del horizonte, como se aprecia en la figura 14, cumplen la condición de que su distancia cenital z es igual a 90º. Por tanto, todos los puntos del horizonte cumplen la condición:

sen ·sen + cos ·cos ·cos t = 0

En los planisferios vienen representados los 24 meridianos correspondientes a cada ascensión recta, es decir, cada 15º. A su vez, los paralelos del planisferio corresponden a un valor deter-minado de declinación (también de 15 en 15 grados). Se trata, por tanto, de hallar cuál es la declinación de los puntos que satisfacen la anterior ecuación (los puntos del horizonte), para una latitud deseada. Si despejamos la declinación de la ecuación anterior, obtenemos la rela-ción que nos da la declinación de los puntos del horizonte en función de la latitud, asignando valores al ángulo horario t. Dicha relación es:

tg = -cot g ·cos t

Para ello, daremos valores al ángulo horario t de 15 en 15 grados y obtendremos la declina-ción del punto del horizonte correspondiente a cada meridiano del planisferio.

Figura 14. Triángulo paraláctico para un punto del horizonte

4.5. Y ahora, transforma tu planisferio a cualquier otra latitud

Finalmente, después de la fase matemática, entramos en la fase de “bricolage”. Hagámonos con un planisferio y quitémosle la parte móvil de plástico. A partir de aquí, sigamos el siguiente procedimiento:

• Usando un plástico transparente rígido y superponiéndolo a la parte fija del planisferio, dibujamos el contorno circular que recortaremos; nos servimos para ello de uno de los círculos más externos que aparezcan dibujados en la parte fija. Debemos acordarnos de dejar cuatro pestañas que doblaremos para que hagan de guía durante el giro de la parte móvil. Ensambla esta nueva parte móvil a la fija usando el remache central del anterior planisferio (o un remache nuevo).

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• Fijamos la latitud a la que deseamos transformar el planisferio. El punto del horizonte que corresponde al ángulo horario t = 0 será el punto cardinal Sur, como se desprende de la definición del ángulo horario. Obtenemos la declinación de dicho punto con la ecuación anterior y la marcamos con rotulador indeleble en el nuevo plástico, sobre un meridiano cualquiera. Fijamos con celo la parte móvil a la fija para que no se mueva durante el proceso de marcado de los puntos.

• Vamos ahora dando valores a t de 15 en 15 grados, en sentido antihorario, obteniendo distintos valores de la declinación de los puntos del horizonte que iremos marcando sobre el plástico encima de cada meridiano. Seguimos el procedimiento hasta 345º.

• Unimos finalmente todos los puntos que constituyen la nueva línea de horizonte de la latitud deseada, marcando sobre ella los puntos cardinales Norte, Sur, este y Oeste (estos dos últimos son los puntos de corte de la línea de horizonte con el ecuador celeste). Pintamos de blanco la parte del plástico que queda por fuera de la línea del horizonte, quedando en transparente la ventana de visibilidad de esa latitud.

• Trazamos con rotulador indeleble de color (rojo o blanco) la línea Norte-Sur del meridiano celeste del lugar. Dicha línea pasa por el polo norte celeste. El punto medio de dicha línea es el cenit del lugar, que marcaremos con una pequeña cruz blanca y titularemos.

• Hecho todo lo anterior, finalmente marcamos las horas T.U. en la parte móvil sobre el contorno coincidente con las rayitas de días de la parte fija. El 0 se traza donde el punto cardinal Norte. A partir de ahí, vamos marcando las horas en sentido antihorario sobre cada uno de los meridianos de ascensión recta. Como es lógico, la hora que corresponde al punto cardinal Sur será 12 h, momento de la culminación solar al mediodía sobre dicho punto cardinal en nuestro hemisferio. Cuando hayamos completado todas las horas, ya tenemos el planisferio listo para funcionar en la latitud deseada. Conviene que titulemos la latitud en la parte blanca de la parte móvil.

En las siguientes tablas se dan los valores que se obtendrían de declinación de los puntos del horizonte según el ángulo t para distintas latitudes.

GRAN CANARIA ( = 28º N) ( – cotg = – 1,88 )

ángulo t declinación

0 (sur) -62

15 345 -61,2

30 330 -58,4

45 315 -53

60 300 -43,2

75 285 -26

90 (oeste) 270 (este) 0

105 255 26

120 240 43,2

135 225 53

150 210 58,4

165 195 61,2

180 (norte) 62



CÍRCULO POLAR ÁRTICO ( ≈ 66,5º N) ( – cotg = – 0,435 )


0 (sur) -23,5

15 345 -22,8

30 330 -20,6

45 315 -17,1

60 300 -12,3

75 285 -6,4

90 (oeste) 270 (este) 0

105 255 6,4

120 240 12,3

135 225 17,1

150 210 20,6

165 195 22,8

180 (norte) 23,5

COPENHAGUE ( ≈ 55º N) ( – cotg = – 0,7 )


0 (sur) -35

15 345 -34,1

30 330 -31,2

45 315 -26,3

60 300 -19,3

75 285 -10,3

90 (oeste) 270 (este) 0

105 255 10,3

120 240 19,3

135 225 26,3

150 210 31,2

165 195 34,1

180 (norte) 35

Puede comprobarse cómo aplicando la ecuación del trazado de la ventana a la latitud del observador polar ( = 90º), los valores de declinación de todos los puntos del horizonte resul-tan ser = 0, que es la situación que se aprecia en la figura 11. En ese caso, basta dibujar sobre la parte transparente móvil un círculo coincidente con el ecuador celeste para obtener la ventana de visibilidad. Hecho eso, resulta muy ilustrativo comprobar cómo para esa latitud no hay ortos ni ocasos estelares (las estrellas se mueven en paralelos al ecuador celeste y, por tanto, al horizonte de ese lugar) y cómo el Sol se mantiene oculto bajo el horizonte durante

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seis meses para, a partir del equinoccio de primavera, mantenerse siempre visible durante otros seis meses.

Igualmente, si construimos el planisferio para la latitud del círculo polar ártico valiéndonos de los datos de la tabla 2, podemos analizar en el aula los interesantísimos fenómenos astronó-micos que acontecen en esas latitudes y que comentamos a continuación.

5. ALGUNAS UTILIDADES PARA EL AULA

Nuestros alumnos y, por qué no decirlo, la mayoría de la gente, tienen una percepción muy local de los fenómenos astronómicos. A ello contribuyen no pocos libros, sobre todo de etapas tempranas, en los que se afirma aquello de que el Sol sale por el Este y se pone por el Oeste sin la apostilla conveniente de la latitud del lugar. De hecho, es bien conocido que en nuestras latitudes el punto de orto del Sol se desplaza anualmente en una horquilla NE-SE y realmente sólo sale por el punto cardinal Este dos veces al año (en los equinoccios). Por ello, puede resultar muy clarificador trabajar con un planisferio de otra latitud y simular los fenómenos astronómicos que allí acontecen.

Construyamos, por ejemplo, un planisferio para el círculo polar ártico. Usando los datos de la tabla 2, el aspecto final que presentará se puede apreciar en la siguiente figura.

Figura 15. Aspecto final de un planisferio para la latitud del círculo polar

En la figura puede observarse la posición del Sol el día 21 de junio (solsticio de verano boreal) en el momento de su “ocultación” por el horizonte. Podemos comprobar que el punto cardinal por donde se oculta es el punto cardinal Norte (y no el Oeste). Pero, además, si procedemos a girar la parte móvil del planisferio, simulando el movimiento aparente de la bóveda celeste, veremos que el Sol no llega a ocultarse, sino que vuelve a elevarse sobre el horizonte dando lugar al famoso fenómeno del “Sol de medianoche”.



Figura 16. Sol de medianoche

Veamos el fenómeno del sol de medianoche en la secuencia siguiente. La figura 17 muestra la posición del Sol sobre el horizonte a las 21 h T.U. del día 21 de junio. La siguiente figura (fig. 18) corresponde a las 0 h T.U. El Sol parece que va a ocultarse por el punto cardinal Norte. Sin embargo, la fig. 19 muestra que el Sol, tres horas después (a las 3 h T.U.) se ha elevado ya de nuevo sobre el horizonte. Simulamos así el fenómeno que se aprecia en la fotografía (fig. 16)

Figura 17. Sol a las 21 h T.U. del 21 de junio en la latitud 66,5º N

Igualmente, podemos ahora utilizar este planisferio para calcular cuántas horas de Sol tienen en esas latitudes cualquier día del año e imaginar la dureza de las condiciones cuando, por ejemplo, el 18 de enero el Sol asoma por el horizonte (cerca del punto cardinal Sur) a las 11 h T.U. para volverse a ocultar a las 13:30 h T.U., dando lugar a tan solo dos horas y media de tenue claridad de alborada.

Figura 18. Sol a las 0 h T.U. del Figura 19. Sol a las 3 h T.U. del

22 de junio en la latitud 66,5º N 22 de junio en la latitud 66,5º N

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Es un buen ejercicio de abstracción para hacer volar la imaginación y viajar a cualquier latitud, con la gran ventaja de tener garantizados siempre los cielos despejados, sin contaminación lumínica, la VISA intacta y no tener que arrastrar maletas e infinidad de bolsas en nuestro viaje imaginario a través del planisferio. Eso sí, no despreciemos la oportunidad de hacer realidad en cualquier ocasión nuestros viajes imaginarios.

5.1. Algunas propuestas para el diseño de actividades

En cada caso se adaptarán a la latitud que previamente se haya convenido, habiendo cons-truido el planisferio correspondiente. Las preguntas que pueden resolverse pueden versar sobre los siguientes temas:

• Ortos y ocasos de astros, planetas o Sol en cualquier fecha del año.• Altura del Sol al mediodía en cualquier fecha y latitud. Estudio de su variación anual.• Variación de la longitud de la sombra de un mismo objeto (o gnomon) en cualquier fecha y

latitud. Aplicación de esta idea para la construcción o diseño de relojes-calendario solares.• Astros que se apreciarán en el cenit a una hora determinada de cualquier fecha y latitud.• Dando el dato del orto de un planeta en tal fecha y latitud, determinar sus coordena-

das ecuatoriales (A.R. y declinación), así como la hora de su ocultación (excluiremos a Plutón, cuyo movimiento se aparta bastante de la eclíptica).

• Determinación de las coordenadas ecuatoriales y horizontales del Sol en los cuatro puntos característicos de su órbita aparente anual (solsticios y equinoccios) en cualquier latitud al mediodía.

• Etc.

NOTAS

(1): Ibáñez Torres, Raúl. Lo que Euler dijo al cartógrafo (1ª parte). Sigma Revista de Matemáticas, nº 27. Bilbao, 2005.

MÁS INFORMACIÓN...

Bakulin, P. I.; Kononovich, E. V. y Moroz, V. I., 1987: Curso de astronomía general. Editorial Mir Moscú.

Vorontsov-Veliamínov, B. A., 1985: Problemas y ejercicios prácticos de astronomía. Editorial Mir Moscú.

Franolic, P. y Visekruna, Z., 1997: Introducción a la navegación astronómica. Alianza Editorial. Madrid.

Seeds, M. A., 1989: Fundamentos de astronomía. Ediciones Omega. Barcelona.

Robbins, R. R.; Jefferys, W. H. y Shawl, S. J., 1995: Discovering Astronomy. John Wiley & Sons, Inc. New York.

Herrmann, J., 1987: Atlas de astronomía. Alianza Atlas. Alianza Editorial.

Ibáñez Torres, Raúl, 2005: “Lo que Euler dijo al cartógrafo (1ª parte)”. Sigma Revista de Matemáticas, nº 27. Bilbao.

Y EN LA WEB...

http://www.observatorio.unal.edu.co/miembros/docentes/grek/elem/coor.pdf

(Página muy clarita donde podemos encontrar información muy útil sobre los distintos tipos de coordenadas. Allí encontraréis otros enlaces y referencias).

SIGMA 28 - Semantic Scholar · 2018-12-15 · micas como las horas de orto y ocaso del Sol u otros...

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