Significado de la derivada elemental
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:f D R R
0
00
0
limx x
f x f xdf x xdx x x
0x
f x
x
0 tandf x xdx
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3
0
:
Se define la derivada parcial de respectoa , como
, , , , , ,limh
D R R
x
x y z x h y z x y zx h
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3
0
:Se define la derivada parcial de respecto a , como
, , , , , ,limh
D R Rx
x y z x h y z x y zx h
Es decir, es como la derivada "normal" tomandoa las variables independientes y comoconstantes
y z
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3:Las derivadas respecto a las otras variables independientes, y , se definen exactamente igual, cambiando los roles demanera evidente.
D R R
y z
0
, , , , , ,limh
x y z x y h z x y zy h
0
, , , , , ,limh
x y z x y z h x y zz h
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3: , ,R R x y z x y z
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3: , ,
, ,1
R R x y z x y z
x y zx
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3
, ,
: ,
,1
1
,
,
R R x y z x y z
x y z
y
x
x zy
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3: , ,
, ,1
, ,1
, ,1
R R x y z x y z
x y zxx y z
x y zz
y
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3: , ,
, ,1
, ,1
, ,1
R R x y z x y z
x y zxx y zyx y zz
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3 2: , , sin expR R x y z xy x y z z
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3 2: , , sin ex
, ,sin os
p
c
R R x y
x y zy x xy
z xy x z z
xx
y
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3 2
, ,sin 2
: , , sin exp
, ,sin cos
R R x y z xy x y z z
x y zy x xy x
x y zy
x
x x yz
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3 2
2, ,e
:
x
, , sin exp
, ,sin cos
, ,sin 2
px y z
y zz
R R x y z xy x y z z
x y zy x xy x
xx y z
x x yzy
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3 2
2
: , , sin exp
, ,sin cos
, ,sin 2
, ,exp
R R x y z xy x y z z
x y zy x xy x
xx y z
x x yzyx y z
y zz
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2 2
Intersección con un pIntersección con un pl
:
anol
,
ano
D R R z x
x
y xy
y
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2 2
2
: ,
a) =
D R R z x y xy
x z y
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2 2: ,
b) =
D R R z x y xy
y z x
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:f D R R
0
00
0
limx x
f x f xdf x xdx x x
0x
f x
x
0 tandf x xdx
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3
0
Nos indica el cambio
:, , , , , ,
lim
de la función en la direccióndel eje correspondiente.Es la pendiente de la tangen
¿Qué significado físico tiene una derivada parcia
te
?
e
l
d l
h
D R Rx y z x h y z x y zx h
a curva proyectadasobre el plano correspondiente.
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: n mF R R
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:
A cada elemento de ,es decir, a cada vector,
se le asocia un vector de ,
n m
n
m
F R R
R
R
x F x
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1 2
:
, ,...,
Cada una de las componentes del campo vectorial
es una función de .
Es decir, cada una de las componentes del campovectorial es un campo escalar.
: 1,...
n m
m
n
ni
F R R
F x F x F x F x
F x R R
F x R R i
,m
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2 2: ,F R R x F x x y y x
x Y x+y y-x0 0 0 01 0 1 -10 1 1 11 1 2 0-1 -1 -2 0-1 1 0 21 -1 0 -22 0 2 -23 -1 2 -4
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2 2: ,F R R x F x x y y x
(x,y) F(x,y)(0,0) (0,0)(1,0) (1,-1)(0,1) (1,1)(1,1) (2,0)
(-1,-1) (-2,0)(-1,1) (0,2)(1,-1) (0,-2)(2,0) (2,-2)(3,-1) (2,-4)
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2 2: ,F R R x F x x y y x
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3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2: ; , ,y x zF R R F x
x y z x y z x y z
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1 2: , ,...,
: 1,...,
Derivadas parciales de un campo vectorial:
; 1,2,..., , 1,2,...,
n mm
ni
i
j
F R R F x F x F x F x
F x R R i m
F xj n i m
x
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1) Funciones vectoriales de una variable real
:
2) Campos escalares
:
3) Campos vectoriales
:
n
n
n m
V R R t r t
R R x x
F R R x F x
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1 2
Sea :un campo escalar diferenciable,el
:definido como
,
c
gradiente de
ampo vectorial
,...,
se llama
n
n n
n
D R R
R R
x x x xx x x
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2 2 31: ,6
R R x y x y
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1/ 3
2 2
2 3 2
3
1
1: ,6
66x y a y
R R x y x y
a x
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2
2 31, , , ,6 3 2
x yx y x y x yx y
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2
2 31, , , ,6 3 2
x yx y x y x yx y
![Page 35: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/35.jpg)
2 3
2
1,6
, ,3 2
0.0,0.7 0.057
0.0,0.7 0.000,0.245
x y x y
x yx y
![Page 36: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/36.jpg)
2 3
2
1,6
, ,3 2
1, 1 0
1 11, 1 ,3 2
x y x y
x yx y
![Page 37: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/37.jpg)
2 2 2 3
2 2 2
, , ; :
Las curvas de nivel están dadas por la ecuación:
constantees decir, son esferas con centro en el origen y
radio igual a constante
x y z x y z R R
x y z
![Page 38: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/38.jpg)
2 2 2, , , , , , 2 , ,x y z x y z x y z x y zx y z
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Sea : un campo escalar diferenciable.
En todos los puntos en los cuales 0,
el vector apunta en la dirección de mayor
crecimiento de .
El número es la razón máxima de
crecimiento.
nD R R
x
x
x
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El gradiente es perpendicular a las superficies y curvas de nivel
Las superficies y curvas de nivel son en las que el campo escalar no cambia, en las que el campo escalar se mantiene constante, por lo tanto es lógico que el gradiente, que indica la dirección de mayor crecimiento de la función, sea perpendicular a ellas
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2
2 31, , , ,6 3 2
x yx y x y x yx y
El gradiente es ortogonal a las superficies (ó líneas) equipotenciales
![Page 42: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/42.jpg)
, sin( )cosx y x y y
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• El campo escalar está en blanco y negro, representando el negro valores mayores.
• El gradiente está representado por las flechas azules. El gradiente apunta en la dirección de mayor crecimiento del campo escalar
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1
campo escalar
S
divergencia de
ea : un campo vectorial diferenciable,el
:definido como
se llama
n n
n
ni
i i
F D R R
F R R
F
FFx
![Page 46: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/46.jpg)
3 3
2 2
2 2
Sea : un campo vectorial diferenciable,definido como
, , , ,2
2 2
, , 2
F D R R
F x y z xz y x y
F xz y x y z yx y z
F x y z z y
![Page 47: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/47.jpg)
1
:
Como veremos más adelante, la divergencia nosindica cuáles son las fuentes y los sumideros delas lineas del campo vectorial.Donde la divergencia es diferente de cero, setien
nn n i
i i
FF D R R Fx
e una fuente o un sumidero del campo,según el signo.
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3 3
3 3
Sea : un campo vectorial diferenciable,el
:definido como
ro
c
ˆˆ ˆ
se
ampo vecto
llama tacional de
ial
r
x y z
F D R R
F R R
i j k
Fx y zF F F
F
OJO: En inglés se llama“CURL”Equivale a “chinitos”, “rulitos”
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3 3
2 2
2
2 2
Sea : un campo vectorial diferenciable,definido como
, , , ,2
ˆˆ ˆ
2 , 4 ,0
2
F D R R
F x y z xz y x y
i j k
F x x xyx y zxz y x y
![Page 51: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/51.jpg)
3 3
ˆˆ ˆ
:
El rotacional de un campo vectorial nos dice"que tantas vueltas" dan las líneas de campo.Si el rotacional es cero, entonces la líneas decampo no pueden "cerrarse"
x y z
i j k
F D R R Fx y zF F F
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1. Escalares, vectores y el álgebra vectorial2. Funciones vectoriales de varias variables3. Diferenciación parcial4. El gradiente, la divergencia y el rotacional5. Integración múltiple6. Integral de línea7. Integral de superficie8. El teorema de la divergencia9. El teorema de Stokes10. Otros teoremas integrales
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Definimos una función de x en y como
toda aplicación (regla, criterio
perfectamente definido), que a un
número x (variable independiente), le
hace corresponder un número y (y solo
uno llamado variable dependiente).
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Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.
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Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.
![Page 57: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/57.jpg)
El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).
Nota El dominio de una función puede estar limitado por:
1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.
2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.
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: 3 2
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos los números reales
Su rango son todos los números reales
f R R y f x x
![Page 59: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/59.jpg)
: 3 2f R R y f x x
x f(x)0 21 5
-1 -12 8
-2 -43 11
-3 -74 14
-4 -105 17
-5 -13
x f(x)0.10 2.301.76 7.28
-3.45 -8.358.97 28.912.34 9.02
13.33 41.991.41 6.23
16.77 52.31-44.44 -131.32
0.01 2.03-123.00 -367.00
![Page 60: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/60.jpg)
: exp
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos los números reales
Su rango son todos los números realespositivos
xf R R y x e
![Page 61: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/61.jpg)
exp : exp xR R y x e x f(x)0.10 1.1051709
11.88 144,350.5506832-3.45 0.03174568.97 7,863.60160552.34 10.3812366
13.33 615,382.92789006.99 1,085.7214762
-91.23 0.00000002.22 9.20733090.50 1.6487213
-12.45 0.0000039
x f(x)0.00 1.0001.00 2.718
-1.00 0.3682.00 7.389
-2.00 0.1353.00 20.086
-3.00 0.0504.00 54.598
-4.00 0.0185.00 148.413
-5.00 0.007
![Page 62: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/62.jpg)
log : (0, ) ln
Su dominio son todos los números realespositivos, ya que no existen el logaritmo deun número negativo
Su contradominio o codominio son todos los números reales
Su rango son todos l
R y x
os números reales
![Page 63: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/63.jpg)
log : (0, ) lnR y x
x ln(x) x ln(x)
0.10 -2.303 0.01 -4.605
0.20 -1.609 0.02 -3.912
0.30 -1.204 0.03 -3.507
0.40 -0.916 0.04 -3.219
0.50 -0.693 0.05 -2.996
0.60 -0.511 0.06 -2.813
0.70 -0.357 0.07 -2.659
0.80 -0.223 0.08 -2.526
0.90 -0.105 0.09 -2.408
1.00 0.000 0.10 -2.303
![Page 64: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/64.jpg)
2
Definición La gráfica de la función es el lugar geométricode los puntos del plano cuyas coordenadassatisfacen la ecuación ( )
, ,
f
y f x
G x y R x f x
![Page 65: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/65.jpg)
: 3 2f R R y f x x
![Page 66: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/66.jpg)
exp : exp xR R y x e
![Page 67: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/67.jpg)
log : (0, ) lnR y x
![Page 68: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/68.jpg)
: R R y x
![Page 69: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/69.jpg)
![Page 70: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/70.jpg)
El concepto de “límite” describe el comportamiento de una función cuando su argumento se “acerca” a algún punto o se vuelve extremadamente grande
![Page 71: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/71.jpg)
Sea una función y un número real.La expresiónlim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a .Se dice "el límite de en , cuand
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x cf x
o se aproxima a , es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
x c L
f x L
f x c
![Page 72: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/72.jpg)
Sea una función real de variable real,:
Se dice quelim
si dado >0, existe >0 tal que si
entonces
x a
f
f x L
x a
f x L
D R R
![Page 73: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/73.jpg)
2
2
2
Nota 1.- El dominio
: 5 7
¿Cuál es e
de la función
l límite de esta función c
son todos los númerosrealesNota 2.- El contradominio de la función
uando tiendeo se acerca a 2?
¿lim 5 7 ?
son tod
x
g R R g x x
x
x
os losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función es el intervalo [ 7, ) R
![Page 74: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/74.jpg)
2: 5 7g R R g x x
2
2¿lim 5 7 ?x
x
![Page 75: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/75.jpg)
2: 5 7g R R g x x
2
2¿lim 5 7 ?x
x
![Page 76: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/76.jpg)
2: 5 7g R R g x x
13
2
2¿lim 5 7 ?x
x
![Page 77: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/77.jpg)
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 2?
lim 5 7 13x
g R R g x x
x
x
![Page 78: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/78.jpg)
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 2?
lim 5 7 1
E
3
n este caso, lim
x
x c
g R R g x x
x
x
f x f c
![Page 79: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/79.jpg)
1
Nota 1.- El dominio de la función son todos los númerosreales positivos menos e
1: (0, ) 11
¿Cuál es el límite de esta función
l 1Nota 2.-
cuando tiendeo se acerca a 1?
1¿lim ?
E
1
l
x
xQ R Q xx
x
xx
contradominio de la función son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función es el intervalo 1, R
![Page 80: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/80.jpg)
1: (0, ) 11
xQ R Q xx
1
1¿lim ?1x
xx
![Page 81: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/81.jpg)
1
1: (0, ) 11
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 1?
De la gráfica es claro que
1lim 21x
xQ R Q xx
x
xx
![Page 82: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/82.jpg)
1
1: (0, ) 11
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 1?
1lim 21
Sin embargo, la función ni siquiera está definida en1
x
xQ R Q xx
x
xx
x
![Page 83: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/83.jpg)
2
5
Nota 1.- El dominio de la función son todos los númerosrealesNota 2.- El contradominio de
3 4 5:
5¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerc
la fu
a a 1?¿li
nción
m
?x
x xa R R a x
x xx
a x
son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función son todos los números realesmenos el intervalo (11,25]
![Page 84: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/84.jpg)
2
3 4 5:
5x x
a R R a xx x
5
¿lim ?x
a x
![Page 85: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/85.jpg)
2
5
3 4 5:
5¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 5
Si nos acercamos por la izquierda
No exi
tiende a 11Si nos acercamos por la derecha tiende a 25
?
l steimx
x xa R R a x
x xx
a x
![Page 86: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/86.jpg)
0
Nota 1.- El dominio de la
1: 0
¿Cuál es el lím
función son todos
ite de esta función cuando tiendeo
los númerosreales menos el ceroNota
se acerca a 0?1¿
2.- El contradom
l
i
im ?
nio de la funci
x
E R R E xxx
x
ón son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función son todos los números reales
![Page 87: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/87.jpg)
1: 0E R R E xx
0
1¿lim ?x x
![Page 88: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/88.jpg)
0No existe
Si
1: 0
¿
nos
Cuál es
acercamo
el límite de est
s por la izquier
a función cuando tiendeo se ac
da tiende a Si nos acercamo
e
s
rca a
por la derecha tiende a
1
+
0?
limx
E R R E xx
x
x
![Page 89: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/89.jpg)
1: 0E R R E xx
![Page 90: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/90.jpg)
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendea , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E xx
x
![Page 91: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/91.jpg)
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendea , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E xxx
![Page 92: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/92.jpg)
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendea , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
l 0imx
E R R E xx
x
E x
![Page 93: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/93.jpg)
Sea una función y un número real.La expresiónlim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la izquierda.Se dice "el límit
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
e de en , cuando se aproxima a porla izquierda, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x cL
f x L
f x c
![Page 94: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/94.jpg)
Sea una función y un número real.La expresiónlim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la derecha.Se dice "el límite
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
de en , cuando se aproxima a porla derecha, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x cL
f x L
f x c
![Page 95: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/95.jpg)
0
Nota 1.- El dominio de la función son todos los númerosreales menos el ceroNota 2.- El contrad
sin: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca
ominio
a 0?si
d
n¿li
e
m ?x
xf R R y f xx
x
xx
la función son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función es el intervalo -1,1 R
![Page 96: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/96.jpg)
sin: 0 xf R R y f xx
0
sin¿lim ?x
xx
![Page 97: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/97.jpg)
sin: 0 xf R R y f xx
0
Si 0, sin
ysinlim 1
x
xxf xx
xx
0
Si 0, sin
ysinlim 1
x
xxf xx
xx
![Page 98: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/98.jpg)
sin: 0 xf R R y f xx
El límite por la izquierda es 1
El límite por la derecha es +1
0 0
sin sinDado que lim lim , el límite no existex x
x xx x
![Page 99: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/99.jpg)
2: 5 7g R R g x x
En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
![Page 100: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/100.jpg)
1: (0, ) 11
xQ R Q xx
En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
![Page 101: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/101.jpg)
2
3 4 5:
5x x
a R R a xx x
En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.En 5 son 25 y 11 respectivamente
![Page 102: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/102.jpg)
1: 0E R R E xx
En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.En 0 son +∞ y -∞ respectivamente
![Page 103: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/103.jpg)
Sean : y :Supongamos que existen los límiteslim y lim
i).- lim lim + lim
ii).- lim lim lim
iii).- lim /
x x
x x x
x x x
x
f D R R g C R R
f x g x
af x bg x a f x b g x
f x g x f x g x
f x g x
lim si lim 0
lim
x
x
x
f xg x
g x
![Page 104: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/104.jpg)
![Page 105: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/105.jpg)
De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente.
De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”
![Page 106: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/106.jpg)
Una función es continua en el punto de su dominio si:
a) está definida, es decir, está en el
Si una función es continua en todos los
dominio
puntos de sudominio se le denom
de
)
i
limx c
f x c
f c c f
b f x f c
na continuaSi una función no es continua entonces es discontinua
![Page 107: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/107.jpg)
sin : sinR R y x
Esta función es continua
![Page 108: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/108.jpg)
3 2
:5 2x x
h R R y h xx
• Es discontinua en x=-2• Es continua en todos
los otros puntos del dominio
![Page 109: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/109.jpg)
Si y son continuas en el punto de su dominio
y , son números reales arbitrarios, entonces:
i).- es continua en
ii).- es continua en
iii).- es continua en , siempre y cua
f x g x c
a b
af x bg x c
f x g x c
f xc
g x
ndo
0g c
![Page 110: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/110.jpg)
![Page 111: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/111.jpg)
RRf :
x
f x
![Page 112: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/112.jpg)
x
f x
b
a
f x dx
![Page 113: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/113.jpg)
x
f x
b
a
f x dx
a
![Page 114: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/114.jpg)
x
f x
b
a
f x dx
a b
![Page 115: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/115.jpg)
x
f x
b
a
f x dx
a b
Esta área
![Page 116: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/116.jpg)
x
f x
b
a
f x dx
a b
Esta área
La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b
![Page 117: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/117.jpg)
2 32 3f x x x x
![Page 118: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/118.jpg)
2 32 3f x x x x
![Page 119: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/119.jpg)
2 3
2:5 2:5 2:5 2:5 2:52 3 2 3
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
2.5 2.5 2.52.5 2 3 41.0
1.0 1.0 1.0
2 2 3 3 4 4
2 3
2 3 2 3
1 1 12 32 3 4
1 12 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.02 4
12 1.5 6.25 12
f x x x x
x x x dx dx xdx x dx x dx
x x x x
1.0 15.625 1.0 39.063 1.04
1 13.0 5.25 14.625 38.0632 4
3.0 2.625 14.625 9.5158 5.4842
![Page 120: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/120.jpg)
2 32 3f x x x x
![Page 121: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/121.jpg)
Valor aproximado 6.1172Valor exacto 5.4844
1n
![Page 122: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/122.jpg)
5.4844 exactoValor 5.6426aproximadoValor
2n
![Page 123: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/123.jpg)
Valor aproximado 5.5239Valor exacto 5.4844
4n
![Page 124: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/124.jpg)
Valor aproximado 5.4907Valor exacto 5.4844
10n
![Page 125: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/125.jpg)
Valor aproximado 5.4846Valor exacto 5.4844
50n
![Page 126: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/126.jpg)
Valor aproximado 5.4844Valor exacto 5.4844
100n
![Page 127: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/127.jpg)
if x
![Page 128: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/128.jpg)
i if x x
![Page 129: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/129.jpg)
0
N
i ii
f x x
![Page 130: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/130.jpg)
0 0
limi
N
i ix i
f x x
![Page 131: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/131.jpg)
0 0
limi
bN
i ix i a
f x x f x dx
![Page 132: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/132.jpg)
Linearidad
b b b
a a a
rf x sg x dx r f x dx s g x dx
![Page 133: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/133.jpg)
División del rango de integración
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
![Page 134: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/134.jpg)
Antisimetría
b a
a b
f x dx f x dx
![Page 135: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/135.jpg)
0a
a
f x dx
![Page 136: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/136.jpg)
: n R R
![Page 137: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/137.jpg)
:
A cada elemento de ,es decir, a cada vector,se le asocia un número real,
n
n
x x
R RR
![Page 138: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/138.jpg)
2: , 1x x y x y R R
x Y φ(x,y)=1-x-y
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 -1
-1 -1 3
-1 1 1
1 -1 1
2 0 -1
3 -1 -1
![Page 139: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/139.jpg)
2 2 2: , 1f f x y z x y R R
x Y f(x,y)=1-x2-y2
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 -1
-1 -1 -1
2 3 -12
-4 5 -40
![Page 140: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/140.jpg)
:
A cada elemento de , es decir, a cada vector,se le asocia un número real,
n
nRx x
R R
3
En el caso de 2, podemos "dibujar
Gráfica
" la gr
, , ,
áfica,
x y x
n
x y
R
![Page 141: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/141.jpg)
2
3
: , 1
Gráfica , ,1
x x y x y
x x y x y
R R
R
Gráfica
x Y φ(x,y)=1-x-y0 0 11 0 00 1 01 1 -1-1 -1 3-1 1 11 -1 12 0 -13 -1 -1
![Page 142: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/142.jpg)
2 2 2
3 2 2
: , 1
Gráfica , , 1
f f x y z x y
x y z z x y
R R
R
Gráfica
x Y f(x,y)=1-x2-y20 0 11 0 00 1 01 1 -1-1 -1 -12 3 -12-4 5 -40
![Page 143: Significado de la derivada elemental](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062310/56816782550346895ddc9285/html5/thumbnails/143.jpg)
2
3
:
, 1 sin cos
Gráfica , , 1 sin cos
x y z x y
x y z z x y
R R
R
Gráfica