Signos triádicos. Lógicas, literaturas, artes. Nueve...

Mathesis III 11 (2006) i. Impreso en México. Derechos reservados © 2006 por UNAM (ISSN 0185-6200)

Signos triádicos. Lógicas, literaturas, artes.

Nueve cruces latinoamericanos

Fernando Zalamea

Signos Triádicos. Lógicas, literaturas, artes. Nueve cruces latinoamericanos ganó el VII Premio de Ensayo Literario Hispanoamericano ‘ya Kostakowsky’ (2001). El jurado calificador, conformado por los mexicanos Jorge Alberto Manrique y Vicente Rojo, el español José Miguel Ullán y los argentinos Saúl Yurkievich y Lelia Driben, recalcó el nivel ‘muy riguroso e inteligente’ del texto, considerándolo ‘notoriamente superior’ al resto de los veintidós trabajos presentados en la convocatoria de 2001. Dirigida a estudiar ‘vasos comunicantes en la cultura latinoamericana’, la convocatoria espera abrir espacios de frontera, previamente inexplorados, en la comprensión global de América Latina. Signos Triádicos. Lógicas, literaturas, artes. Nueve cruces latinoamericanos responde al espíritu de la convocatoria al presentar insospechados vasos comunicantes entre la razón (lógica matemática) y la imaginación (creativa en artes y literatura), aprovechando las obras de algunos de los mayores creadores latinoamericanos del siglo XX. El premio Kostakowsky, que han recibido figuras prominentes como Carlos Monsiváis y Néstor García Canclini, fue entregado a Zalamea por Gabriel García Márquez, Presidente de la Fundación Lya y Luis Cardoza y Aragón, la cual otorga anualmente el galardón.

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Fernando Zalamea

Esto es lo que es la verdad: las acciones que en sus mantras contemplaron los poetas,

en lo triple son tensadas de mil formas. Upanisad (doctrina secreta brahmánica), ca. siglo VI a.c.

Algunos piensan que las contrariedades están en lo uno,

a partir del cual se separan, como dicen Anaximandro y cuantos afirman que lo real es uno y múltiple,

como Empédocles y Anaxágoras: pues ellos también piensan que las demás cosas se separan de la mezcla.

Física, Aristóteles, siglo IV a.c.

En toda Obra divina hay un Primero, un Medio y un Último, y el primero va por el Medio hasta el Último, y por esto mismo existe y subsiste;

de aquí que el Último sea la Base. El Primero está también en el Medio y por el Medio en el Último;

así el Último es el continente. Y como el Último es el continente y la base, es también el sostenimiento.

Doctrina de la Nueva Jerusalén, Emanuel Swedenborg, ca. 1757.

Introducción Los cruces entre grandes entornos de la cultura han estado siempre pre-sentes en el avance y la consolidación de la civilización occidental. Desde los primeros presocráticos, los traslapes y correlaciones entre ló-gica (logos: razón) y matemática (máthema: conocimiento), así como entre matemáticas y estética (áisthesis: sensibilidad) recorren todo el pensamiento griego. El universo se ve como un todo complejo que trata de ser captado por diversas herramientas que entran naturalmente en consonancia y en correspondencia parcial con el mismo mundo que tratan de comprender. La combinatoria natural de la cultura en el pen-samiento griego va luego escindiéndose con los siglos. El auge y la delimitación de las disciplinas impulsa el desarrollo del mundo moder-no, pero se pierde a menudo la visión del universo —cosmos, naturale-

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za, cultura, ser humano— como un todo estrechamente entrelazado.1 El invento, a mediados del siglo XX, de lo ‘inter-disciplinar’ no es más que un intento por regresar a estudiar las inter-conexiones generales que rigen el universo, pero el regreso es a menudo artificial y forzado. En un filón muy distinto, el sistema arquitectónico de la pragmática peirceana (1870-1910), que en muchos sentidos puede verse como una recuperación metódica de la universalidad griega para el mundo con-temporáneo, provee un verdadero arsenal de instrumentarios naturales de cruce entre entornos de la cultura. Las imbricaciones, los traslados, las iteraciones, los desdoblamientos, los vaivenes entre espacios del conocimiento (sensible o racional) no sólo no resultan forzados en el sistema peirceano: son allí intrínsecamente necesarios. Diversas arma-zones sostienen la arquitectura de Peirce y le otorgan una gran solidez, así como una orientación natural hacia lo relacional, hacia el cruza-miento: un deslinde fenomenológico de tres categorías generales (pri-meridad: inmediatez; segundidad: acción-reacción; terceridad: media-ción) que se combinan y recomponen para recorrer entrelazadamente todos los ámbitos de la experiencia y del conocimiento; una plena ex-presión modal de la máxima pragmática, que reconstruye el conoci-miento como reintegración de lo observable en todos los contextos concebibles de interpretación; una construcción recursiva de una lógica o semiótica universal, que permite correlacionar signos arbitrarios, tanto en su generalidad como en sus diversas subdeterminaciones di-námicas; una doble ‘adjunción’ entre indeterminación y determinación, y entre generalidad y vaguedad, que dinamiza coherentemente un rea-lismo evolutivo, con cruzamientos de todo tipo en su desarrollo; una clasificación triádica de las ciencias, que organiza las ‘ciencias’ en forma natural según las tres categorías generales peirceanas, y que otorga herramientas de control para el estudio de las fronteras entre entornos del saber. Nuestra contención básica en este ensayo consiste en mostrar detalladamente, con múltiples estudios de caso, que las fronteras entre lógica matemática y estética (entendida en un sentido amplio, englobando en el trabajo cinco estudios en la literatura, tres en las artes plásticas y uno en la música) pueden resaltarse con una gran nitidez desde el punto de vista del sistema peirceano. Creemos que la intrínseca

1. Esto es al menos cierto al nivel de la cultura ‘común’. Los grandes creadores, en

cualquier época, han tendido siempre en cambio a construir universos complejos y fuertemente relacionales: véase el caso de Newton, quien deja millares de páginas de manuscritos alquímicos al lado de otras tantas páginas de manuscritos ‘aceptados’ en matemáticas y física.

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naturalidad de esas fronteras, perdida en muchas creaciones aparente-mente subespecializadas en el siglo XX, vuelve a saltar a la luz bajo la óptica peculiar que proveen los instrumentarios que nos ha legado Peirce. Nuestros estudios de caso —que quisiéramos poder llamar ‘uni-versales’ o ‘unitarios’ y no sólo ‘interdisciplinarios’— coligan sistemá-ticamente ámbitos creativos de la estética latinoamericana en el siglo XX con tendencias y resultados de la lógica matemática contemporá-nea. A nuestro modo de ver, la distancia evidente que se ha operado entre ‘manifestaciones’ estéticas y ‘tecnicismos’ lógicos, en el siglo XX, revela las nocivas limitantes de los sistemas conceptuales (filosófi-cos, culturales) en que se han insertado esas formas de creación. La reintegración de esos aportes dentro del sistema peirceano y sus cru-zamientos naturales señalan lo mucho que hemos tal vez perdido en el mundo contemporáneo con la cómoda tiranía de lo disciplinar. Por lo que sabemos, los nueve estudios de caso aquí analizados y su coordinación sistemática bajo la triadicidad peirceana conforman un aporte original al conocimiento, nunca antes presentado.1 El capítulo cero introduce a los ‘vagos’ contornos de las fronteras entre lógica y estética y, posteriormente, precisa nítidamente esos linderos gracias a la visión —general y de detalle— que otorga el sistema arquitectónico peirceano. Las secciones siguientes conforman los estudios de caso que ilustran los lineamientos teóricos esbozados en el capítulo inicial. Las secciones se distribuyen en una doble ramificación triádica, estrecha-mente ligada a las tres categorías peirceanas. Otro eje que recorre sis-temáticamente el texto es una interpretación detallada del Palomar de Calvino, cuyo despliegue triádico se entrelaza con el peirceano. Como debe resultar claro con la lectura del texto, algunos de los lugares triá-dicos escogidos para situar cada cruce podrían haber cambiado si se hubieran enfatizado diferentemente algunas de las creaciones que allí se estudian.2 La ‘dialéctica’ —más precisamente: la ‘adjunción’— entre lo uno y lo múltiple recorre constantemente el ensayo. Guiados por la pragmática 1. Sencillamente porque la combinación Peirce - Formas Estéticas de América Latina -

Lógica Matemática no se había aún dado en la Biblioteca de Babel borgiana. Una vez dada, su aparente ‘extrañeza’ o ‘insularidad’ debería desvanecerse

2. Por ejemplo, Rulfo y Da Costa, situados en el lugar 1.3, son estudiados bajo el énfasis de arquetipos (1) estructurados (3), haciendo primar la inmediatez del arquetipo (el sabor primigenio de lo mítico en Rulfo) sobre la mediación estructural, pero hubieran podido también ser estudiados en el lugar 3.1, en caso de haber querido enfatizar lo estructural por encima de lo primigenio. Sin embargo, el lugar 3.1 ocupado por Matta y Lindström difícilmente hubiera podido ‘moldearse’ en el lugar 1.3. Existen condicio-nes y simetrías holísticas escondidas en el cuerpo global del ensayo para que la actual clasificación local haya prevalecido.

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peirceana, esperamos haber dado variados ejemplos de cómo la unidad se diferencia en la diversidad, y cómo ésta se reintegra en la unidad —una de las más hondas y bellas problemáticas que heredamos del ‘milagro’ griego—. Con una jerarquía de reflejos combinatorios ligados a la ‘deconstrucción’ y reconstrucción de la triadicidad1 peirceana, los nueve estudios de caso en cuestión ilustran el tránsito constante entre lo uno y lo múltiple que subyace en todo intento de universalidad, en todo intento de comprensión sintética, relacional, modal, integral, del complejo mundo que nos rodea. El plural en el subtítulo de este ensayo es fundamental: Cruces. Lógicas —literaturas— artes. Introducimos conceptos de diversas lógicas (clásica, intuicionista, modal, polivalente, paraconsistente, categórica), ya que sólo con esa pluralidad podemos obtener un atisbo de cómo filtrar adecuadamente la diversidad de la realidad. A la vez, los modos de hacer literatura que revisamos son muy contrastantes y los modos musicales o plásticos que alcanzamos a modular son muy diversos. Sin embargo, detrás de la pluralidad, tanto el sistema peirceano como la comparación coherente de las lógicas permiten reconstruir la unidad profunda de la cultura que hemos querido explicitar en estas páginas.

1. El título del trabajo Signos triádicos [...] es una redundancia desde el punto de vista

peirceano (para Peirce todo signo es automáticamente triádico). El hecho de que, en otros autores, la percepción del signo no siempre sea triádica (por ejemplo, el signo saussureano es diádico) justifica la insistencia en el título.

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0 La estética y la lógica en la arquitectónica pragmática peirceana Desde los albores del pensamiento griego el cruce entre matemáticas y filosofía ha sido siempre de una gran fecundidad. La lógica, hija propia de ese cruce,1 y la estética, hija tardía de la filosofía2 pero siempre rectora implícita de muchos diseños en la arquitectura de las matemáti-cas, se han encontrado en permanente contrapunto. En el complejo lógos de la antigua Grecia subyace una de las raíces armónicas más profundas y estables de ese contrapunto: al rastrear su origen y sus muy diversos usos en los primeros presocráticos, el lógos engloba, entre otros muchos significados, tres acepciones fundamentales que sostienen diversas entradas e inversiones3 entre lógica y estética: plenitud, rela-cionalidad y generalidad [Guthrie 1984a, I, 398]. La lógica y la estética, entendidas como configuraciones relacionales generales, buscan la pleni-tud: plenitud de la razón, desde la lógica, plenitud de lo sensible, desde la estética. Así como la lógica estudia procesos generales de representación y de control de lo ‘verdadero’, la estética estudia procesos generales de acotación y de construcción de lo ‘bello’,4 buscando en ambos casos invariantes (permanencias) relacionales dentro de sus respectivas diná-micas. La plenitud, la relacionalidad y la generalidad son estratos concep-tuales básicos del lógos que sostienen la construcción de mixtos natura-les en el cruce de lógica y estética. La búsqueda de la plenitud obliga a situarse en permanentes estadios de evolución y a nunca contentarse con un cierto ‘acabado’: la ‘saturación’ de un concepto lógico o de una obra artística sólo se puede dar, en raros y contados casos, en un con-texto determinado, pero es siempre ‘libre’ de reinterpretarse y de emer-

1. Aunque algunas de las ideas fundamentales de la lógica, entendida ampliamente como

una cosmo-lógica, se encontraban ya en Anaximandro y los milesios, su concepción co-mo disciplina sistemática de la razón aparece por vez primera en la escuela de Platón [véase: Jaeger 1992a, 288].

2. El término ‘estética’ se debe a Alexander Baumgarten (Alemania, 1714-1762), quien lo introdujo en su tesis doctoral (1735) y lo desarrolló metódicamente en su Aesthetica (1750-58) [véase: Herrero 1988a, 21].

3. Veremos más adelante que, en el sistema peirceano y en sus gráficos existenciales, las ‘entradas’ e ‘inversiones’ no son sólo analogías musicales sino reglas explícitas de construcción lógica.

4. El kalos (= bello) griego incluye muy diversas lecturas: la bondad, lo útil, lo admirable, lo armonioso, la templanza, la simetría, lo unitario [Herrero 1988a, 534-561]. En este trabajo usaremos, sin embargo, la acotación peirceana de lo ‘bello’ como ‘crecimiento continuo de la potencialidad’: véase más adelante nuestra presentación de la estética dentro de la clasificación peirceana de las ciencias.

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ger novedosamente en otro contexto. Mientras una plenitud absoluta es difícilmente imaginable (atributo incognoscible de lo divino), puede perfectamente comprenderse una escala de grados relativos de plenitud. En la elaboración de esa ‘gran cadena del ser’, la lógica y la estética juegan papeles contrapuntísticos de una enorme importancia: en el vaivén de aproximaciones a lo ‘racional’ y a lo ‘sensible’ van constru-yendo redes de reflejos y referencias sobre las cuales va anclándose la cultura occidental y va modelándose su ‘ideal’ de plenitud. La relacio-nalidad estructural de las redes de la lógica y la estética es una de sus características comunes: supera el ámbito de lo puramente predicativo o descriptivo, y es sólo con un juego universal (arbitrariamente relacio-nal) de contrastaciones y mediaciones cómo van progresivamente emergiendo lo ‘verdadero’ y lo ‘bello’. La comprensión de lo relacional es condición necesaria en lógica y estética: en ‘lugares de enlaces’, como veremos detalladamente más adelante, viven tanto los conceptos lógicos como las obras artísticas. Finalmente, la generalidad es sustento de las virtudes ‘proyectivas’ de la lógica y de la estética: al trascender las particularidades de lo local, las más ricas concepciones de la lógica y las más grandes obras artísticas proyectan su complejidad en muchos siglos posteriores, que barren las ‘circunstancias’ acotadas de su génesis y que les permiten adoptar nuevas formas de vida. La generalidad es fundamental en esos procesos de transmutación de sentidos, que tras-cienden tiempo y lugar: el rígido pintoresquismo artístico o la excesiva particularización lógica ‘inundan’, en cambio, una obra o un concepto y difícilmente pueden ser luego ‘vaciados’ (generalizados) para reencar-nar en otro contexto. Como lo observaremos más adelante, al estudiar el sistema arquitectó-nico de la pragmática peirceana, puede verse cómo el conocimiento vive siempre en una permanente ‘adjunción’ entre generalidad y vaguedad. Las progresivas precisiones del discurso exigen subdefiniciones parcia-les de esas ideas generales o vagas. Por caminos complementarios, la lógica construye redes de control y de jerarquización sobre estratos intermedios entre lo general (lo universal) y lo vago (lo existencial), mientras que la estética construye redes de modulación y de hibridación sobre esos mismos estratos intermedios. El contrapunto entre lógica y estética es un inagotable ir y venir entre sistemas semióticos generales. Aunque pronto subdefiniremos las semiosis específicas de los ‘signos’ lógicos y de los ‘signos’ plásticos, así como algunas de sus diversas osmosis, es útil por ahora ver los sistemas desde una distancia que torna ‘borrosas’ sus fronteras. Desde un lógos relacional general, los signos lógicos y los signos plásticos sirven simultáneamente de enlaces para

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conjugar la dialéctica de lo uno y de lo múltiple, de lo permanente y lo variable, que subyace en toda la tradición occidental a partir de la archê griega. La peculiar capacidad ‘libre’ y ‘proyectiva’ de esos signos —los cuales, extensa y agotadoramente moldeados a voluntad durante dos milenios y medio de trasegar cultural, siguen sin embargo manteniendo un ‘fondo’ casi arquetípico y siempre disponible para nuevas metamor-fosis— es la que nos permitirá en este trabajo develar puentes naturales1 entre lógica y estética. En el trasfondo de la topografía que examinaremos es fácil percibir la presencia constante de las matemáticas. Aunque en un comienzo sólo revelaremos esa presencia parcialmente (‘borrosamente’), el lugar de las matemáticas en la topografía no es, en modo alguno, casual: bajo una ‘proyección peirceana’ pueden realizarse mapas en los que la ‘sedimentación’ matemática sirve de sustrato a todos los terrenos superiores de la cultura. Matemáticas y estética Las matemáticas, constantemente a caballo entre el mundo y sus intér-pretes, entre una realidad ‘exterior’ y el ‘interior’ de la cultura, derivan su especificidad de esa peculiar capacidad osmótica de construir ‘mix-tos’ entre lo muy concreto y lo muy abstracto.2 El sentimiento de mara- 1. Como el puente natural de Icononzo, que debió esperar al afán explorador de la Ilustra-

ción para ser apropiadamente ‘descubierto’: apreciado y estudiado con un instrumenta-rio científico adecuado. De manera similar, creemos que los puentes que explicitare-mos en este trabajo no son construcciones ‘artificiales’: subyacen en los entramados relacionales de la cultura y son ‘descubiertos’ (apreciados y estudiados) con otros ins-trumentarios conveniente. En contra de diversas versiones ‘posmodernas’, no creemos que coincidan los instrumentarios de visión de la realidad y la realidad misma. En [Za-lamea 2000a] se explicita meticulosamente en qué consiste el núcleo de la ‘falacia’ ‘posmoderna’ y cómo la arquitectónica pragmática peirceana sirve para fundamentar rigurosamente una posibilidad, no ingenuamente platónica, de universales sin absolu-tos, que da al traste con la isotropía ‘posmoderna’ de los valores (‘todo vale’), con su rechazo de horizontes de universalidad y de una realidad que vaya más allá de lo parti-cularizante, así como con sus alucinadas defunciones prematuras (‘muerte’ de la razón, de la historia, del arte, etc.).

2. Sobre el vaivén entre abstracción matemática y su ‘irrazonable’ éxito en la práctica se maravillaba Musil: “Sólo cuando no se mira ya a la utilidad externa, sino a esa serie de partes no utilizadas en la matemática misma, se observa su otro rostro, el peculiar de esta ciencia. No es calculador, sino apasionado y antieconómico [...] La matemática es un lujo temerario de la pura ratio, uno de los pocos que existen hoy en día. También algunos filólogos practican actividades cuya utilidad ni ellos mismos ven, y no diga-mos los coleccionistas de sellos o de corbatas, pero son manías inocentes que aparecen lejanas a los asuntos más serios de nuestra vida, mientras la matemática encierra preci-samente algunas de las más acuciantes y divertidas aventuras de la existencia humana. Permítaseme un pequeño ejemplo: se puede decir que vivimos prácticamente por com-pleto de resultados de esa ciencia, que a ella misma le son ya indiferentes. Amasamos nuestro pan, construimos nuestras casas e impulsamos nuestros vehículos gracias a ella. A excepción de un par de muebles, vestidos y zapatos acabados a mano, y de los

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villa y de ‘belleza’ que siempre han producido las matemáticas, desde las primeras correspondencias pitagóricas entre proporciones numéricas y subdivisiones ‘agradables’ de la escala musical, ha radicado a menu-do en su capacidad para revelar un hondo orden en la naturaleza que se superpone al aparente caos de los fenómenos. El contraste entre el ‘desorden’ de una realidad activa-reactiva, percibido en una primera mirada, y el ‘retículo’ de regularidades de la realidad, percibido con la matemática, es fuente constante de sorpresa y maravilla: fuente de ‘belleza’ ya que el sentimiento de sorpresa se liga a menudo con lo ‘bello’ (resolución armónica de los opuestos).1 La matemática, puente natural entre lo racional y lo fenoménico, resulta ser así sustrato funda-mental de apoyo para las disciplinas que viven en la frontera entre razón y sensibilidad: la lógica y la estética. Entre el equilibrio y el vértigo, la matemática ha sido muy diversa-mente vista como ciencia y como arte, pero, en cualquiera de los dos casos, se ha reconocido su alto contenido estético. Como configuración de cánones científicos que permiten ordenar lo real, la coherencia y la armonía de la matemática han llamado siempre la atención de los gran-des artistas. Así como, para Thoreau, las formulaciones más nítidas y más bellas de toda verdad debían finalmente asumir una forma matemá-tica, para Le Corbusier, la matemática es

[...] la presencia de una realeza; una ley de infinita resonancia, conso-nancia, ordenamiento. De un tal rigor la obra de arte se genera verdade-ramente, trátese del dibujo de Leonardo, de la azorante exactitud del Partenón, comparable, en el tallo de su mármol, a la talla misma de las máquinas-utensilios, del implacable e impecable juego constructivo de la catedral, de la unidad que hace a Cézanne, de la ley que determina el árbol, el esplendor unitario de las raíces, el tronco, las ramas, las hojas, las flores, los frutos. No hay ningún azar en la naturaleza. Si se ha com-

hijos, todo lo conseguimos acoplando diversos cálculos matemáticos [...] A partir de ciertos fundamentos los pioneros de la matemática se hicieron con unas ideas utiliza-bles, de las que se desprendieron deducciones, reglas de cálculo y resultados, de los que se apoderaron los físicos para obtener a su vez nuevos resultados, y finalmente vinieron los técnicos, que a menudo cogieron simplemente los resultados al respecto, y así surgieron las máquinas. Y después de haberlo llevado todo a la más idílica existen-cia, de repente llegaron los matemáticos, esos que siempre andan hozando más aden-tro, y cayeron en la cuenta de que en la base de todo el asunto debía haber algo que no encajaba de ninguna manera; de hecho, miraron debajo y encontraron que todo el edi-ficio estaba en el aire. Pero las máquinas corren. A este respecto, hay que suponer que nuestra existencia es un pálido duende, la vivimos, pero, propiamente hablando, sólo sobre la base de un error sin el que no habría surgido. Hoy, no hay posibilidad de otro sentimiento tan fantástico como el del matemático” [Musil 1992a, 42-43].

1. Veremos más adelante que una de las claves de la resolución se encuentra en las tres categorías peirceanas, categorías ‘cenopitagóricas’ que tratan de extender moderna-mente consonancias y armonías universales.

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prendido lo que es la matemática en un sentido filosófico, se la descu-brirá, en adelante, en todas sus obras. El rigor, la exactitud son el medio de la solución, la causa del carácter, la razón de la armonía [Corbusier 1962a, 490].

Por otro lado, se ha reivindicado a menudo el carácter plenamente ‘libre’ de la matemática, independientemente de toda realidad exterior. Aunque la visión más ajustada de la matemática parece ser aquella que la ‘lee’ como pleno haz de adjunciones entre realidad y cultura, la res-tricción de esa visión a una ‘libre’ configuración de métodos para des-cribir y estructurar el gigantesco registro de todas las formas posibles hace que la matemática se vea aún más cercana al arte:

Puesto que, según hemos dicho, las matemáticas son una actividad to-talmente libre, sin condicionar por el mundo exterior, es más justo lla-marlas un arte que una ciencia. Son tan independientes del mundo exte-rior como la música; y aunque, al revés que la música, pueden usarse para iluminar fenómenos naturales, son tan ‘subjetivas’¨, tan producto de la libre imaginación creadora, como ella. Y no resulta difícil descu-brir que los matemáticos se ven empujados por los mismos incentivos y experimentan las mismas satisfacciones que los demás artistas. La lite-ratura matemática está llena de términos estéticos, y el matemático que dijo que estaba menos interesado en los resultados que en la belleza del método por el cual los había hallado, no estaba expresando un senti-miento poco común. Pero decir que las matemáticas son un arte no equivale a decir que son una simple diversión. El arte no es algo que existe para satisfacer simplemente una ‘emoción estética’. El arte digno de este nombre nos revela algún aspecto de la realidad. Esto es posible porque nuestra con-ciencia y el mundo exterior no son dos entidades independientes. [...] Se dice que Beethoven afirmó: “Quien comprende el significado de mi música, se verá libre de las miserias que afligen a los otros hombres”. Podemos ignorar lo que quería decir, pero es evidente que consideraba la música como algo que tenía significado, algo que revelaba una reali-dad que normalmente no puede percibirse. Y parece ser que el matemá-tico, al crear su arte, está exhibiendo este movimiento de nuestras men-tes que ha creado el universo material y espacio-temporal que conoce-mos. Las matemáticas, tanto como la música o cualquier otro arte, cons-tituyen uno de los medios por los cuales nos elevamos a una completa autoconciencia [Sullivan 1969a, 410-411].

Ya sea como entramado fronterizo de consonancias y armonías entre la naturaleza y el ser humano o ya sea como urdimbre jerárquicamente controlada de cánones formales, ya sea como prisma revelador de un orden natural donde pasa a situarse el hombre o ya sea como construc-ción imaginaria, la matemática, en el vaivén entre ciencia y arte, gana al situarse en una ubicación limítrofe. Conjugando el rigor del científico y la libertad del artista, el matemático es sensible, por la misma especifi-cidad de la disciplina, a intercambiar contrapuntísticamente extensos

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argumentos racionales con compactas intuiciones estéticas. El ‘senti-miento de lo fantástico’ del que hablaba Musil al referirse al ‘hombre matemático’ radica precisamente en esa extraordinaria facilidad osmó-tica de la matemática para trasvasar lo real en lo imaginario y lo imagi-nario en lo real. Pierre Francastel, uno de los más incisivos y originales críticos de arte del siglo XX, expresa la analogía fundamental entre arte y matemá-ticas, a caballo entre realidad e imaginación:

Lo mismo que el matemático combina esquemas de representación y de previsión en los que lo real se asocia a lo imaginario, así el artista con-fronta elementos de representación con otros que proceden de una pro-blemática de la imaginación. En los dos casos, el dinamismo de un pen-samiento que toma conciencia de sí mismo al expresarse y al materiali-zarse en signos-enlace sobrepasa, engloba, los elementos de la expe-riencia y los de la lógica propia del espíritu [Francastel 1988a, 125-126]. Lo mismo que el arte, las matemáticas poseen un carácter dualista gra-cias al cual ambos se elevan hasta el último grado de la abstracción, incluso estando anclados en lo real. Gracias a eso, tanto el simbolismo matemático como el simbolismo plástico conservan su carácter operativo [Francastel 1988a, 126].

Como veremos con Peirce, la riqueza de los signos matemáticos y de los signos plásticos puede analizarse más detalladamente y puede mos-trarse, en particular, su carácter esencialmente triádico, yendo más allá del dualismo que señala Francastel. Sin embargo, por el momento, es indispensable reconocer el enlace que proveen esos signos entre ámbi-tos diversos del mundo, enlace que permite superar rígidas oposiciones y que tiende a romper compartimientos estancos. Tanto las matemáticas como el arte, intrínsecamente, tienden a disolver barreras, a ampliar fronteras: se trata de modos pervasivos del conocimiento que barren las limitantes tonales de cada disciplina, donde insertan, iteran y desiteran1 modulaciones, hasta enriquecer tanto la disciplina como el mismo tim-bre modal del motivo matemático o estético que la recorre. Según Fran-castel,

El arte y las matemáticas son los dos polos de todo pensamiento lógico, los modos mayores de pensamiento de la humanidad. Ambos desembo-can no en actos sino en esquemas institucionales de pensamiento y de acción totalmente irreductibles a cualquier otro [Francastel 1988a, 24].

1. Se trata de procesos elementales, aparentemente banales, que estructuran, sin embargo,

muy profundamente todo un campo de la lógica. Véase, más adelante, nuestra presen-tación de los ‘gráficos existenciales’ peirceanos.

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Desde el momento en que se acepta la idea de que los signos mate-máticos o artísticos responden a un conocimiento intelectualizado y no a un simple dato de los sentidos inmersos únicamente en la materia, se admite también la intervención de una lógica, de un sistema, y se ven aparecer las nociones de orden y de combinación, de equivalencia, de relación, de operación, de transposición [Francastel 1988a, 125].

La riqueza transpositiva del arte y de las matemáticas ha sido siempre uno de los motivos que han impulsado a los grandes ‘intercambiadores’ de la cultura a estar muy atentos, a la vez, a ambos modos del conoci-miento. En el Libro de Pintura, Leonardo invita al estudiante a tener en cuenta varios preceptos en ese cruce, para poder acercarse así a una ciencia de la pintura: “ninguna investigación humana se puede llamar verdadera ciencia, si no pasa por demostraciones matemáticas”, “el pintor no puede ser loado si él no es un universalista”, “haz que las cosas tengan aquella parte del conocimiento que muestran las distan-cias” [Vinci 1995a I, 132, 181 y II, 330]. El andamiaje matemático, el universalismo, la perspectiva y la distancia aseguran que la infinita variedad de la naturaleza1 no sea reducida y simplificada por el pintor. De manera similar, el vaivén combinatorio de la ‘característica’ leibniziana y la maleabilidad de sus ‘signos generales’ incorporan la riqueza osmótica de los signos plásticos y los signos matemáticos:

Para mí la combinatoria es la ciencia de las formas, es decir de lo similar y lo diverso, así como el álgebra es la ciencia del tamaño, es decir de lo igual y lo desigual; más aún, la Combinatoria parece diferir poco de la Característica ge-neral, ciencia que inventa o permite inventar los caracteres propios del álgebra, de la música y, mejor todavía, de la lógica [Belaval 1978a, 298]. La Característica entrega las palabras a las lenguas, las letras a las pala-bras, los números a la aritmética, las notas a la música; es ella la que nos en-seña el secreto de fijar el razonamiento, y de obligarlo a dejar como trazas visibles sobre el papel, para ser examinado a cabalidad: es ella, en fin, la que nos permite razonar económicamente, al poner caracteres en lugar de las co-sas, para liberar la imaginación [Couturat 1985a, 90]. Realizo el cálculo infinitesimal mediante algunos nuevos signos de maravillosa comodidad, acerca de los cuales me respondisteis que es más ordinario e inteligible vuestro modo de expresión y que rechazáis al máximo la novedad en las definiciones. Pero habrían podido objetar lo mismo los viejos aritméticos, cuando los más modernos introdujeron

1. “Veo que todo lo orienta: está siempre pensando en el universo, y en el rigor [Hostina-

to rigore, obstinado rigor. Divisa de Leonardo]. Está hecho para no olvidar nada de aquello que entra en la confusión de lo que es: ningún arbusto. Desciende a las pro-fundidades de lo que pertenece a todo el mundo, se aleja de allí y se contempla” [Valé-ry 1987a, 17]. El descenso, el alejamiento y el ascenso forman un vaivén fundamental tanto en la estética como en la matemática. Muchos de los teoremas más profundos de las matemáticas (entre los cuales, el teorema de Fermat) pueden verse como teoremas de ‘ascenso y descenso’ entre estratos sofisticados de abstracción.

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los caracteres árabes en vez de los romanos, o los viejos algebristas cuando Viéte substituyó los números por letras. En los signos, la como-didad está ligada con el descubrimiento —y la comodidad es máxima cuando con poco expresan y casi captan la naturaleza íntima de las co-sas— ya que entonces disminuye admirablemente la fatiga del pensa-miento [Leibniz 1992a, 441].

Los signos generales leibnizianos, al descarnarse de ornamentos artifi-ciales, disminuyendo así lastres y fatigas, liberan la imaginación. Su ligereza y su ‘libertad’ son las que les permiten trasvasar esbozos par-ciales del conocimiento, en forma relacional, a lo largo de todo el es-pectro de la cultura. Los signos de la matemática y los signos de la estética —subdeterminaciones, aún ‘libres’, de la extrema libertad de los signos generales de la característica— poseen esa dinámica capaci-dad de modulación e hibridación que ha hecho que las matemáticas y el arte puedan ser genuinamente considerados como ‘los modos mayores de pensamiento de la humanidad’. Lógica y estética La combinatoria de las diversas ars leibnizianas se rige bajo diversos principios lógicos que pretenden alcanzar visos de estructuralidad y universalidad. Un principio de continuidad, según el cual ‘la naturaleza nunca da saltos’, explica la posibilidad de que los signos generales ‘encarnen’ de muy diversas formas en los múltiples pliegues de la realidad (movimiento de descenso), e, inversamente, de que su variado juego de reflejos y correspondencias otorgue pautas para un decanta-miento evolutivo hacia lo general (movimiento de ascenso). Un princi-pio de identidad, según el cual dos entes son iguales si son ‘indiscerni-bles’, es decir, si verifican exactamente las mismas propiedades, subya-ce en el giro radical leibniziano (sólo recuperado plenamente con Peirce e, independientemente, con el siglo XX) que descarta entes ‘en sí’ pero que da lugar a la posibilidad de comprenderlos relacionalmente, al contrastarlos con su entorno. Una semiosis universal, según la cual los signos se traslapan ilimitadamente de contexto en contexto, explica la posibilidad de un conocimiento sostenido y evolutivo en la cultura, allende el escepticismo y un extremo relativismo. La lógica estudia ese juego arbitrario de ‘enlaces’, trata de encontrar algunas permanencias en el movimiento de lo diverso, y construye una ‘teoría general de las representaciones’. En muchos aspectos, la lógica puede verse como un entramado de ‘segundo orden’ que observa los entrelazamientos, ajustes, movimientos, deslices, modulaciones, de signos y contextos culturales, vistos en un primer plano, en un ‘primer orden’. La altura adecuada, la distancia, el segundo piso, desde donde la


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lógica observa el acontecer cultural, la sitúan de entrada en el trasegar de ascensos y descensos que es también propio de la matemática y de la estética. Así, en muchos aspectos, que luego desbrozaremos más níti-damente con la arquitectónica pragmática peirceana, la lógica se en-cuentra cercana del lugar de enlaces con el cual Francastel delimita el espacio artístico. Para Francastel [1988a, 115], “el arte es un lugar donde se encuen-tran y se combinan fuerzas activas”; la imagen es “una suerte de ‘rele-vo’, de lugar de enlaces” [Francastel 1988b, 295], en donde se cruzan elementos de la percepción sensible y de lo imaginario:

El signo plástico no es ni expresivo ni representativo de valores propios del espíritu creador o del universo, es figurativo; el signo plástico surge al final de un proceso de actividad a la vez intelectual y manual donde se encuen-tran elementos procedentes no de dos términos: lo real y lo imaginario, sino de tres: lo percibido, lo real y lo imaginario. El signo plástico, por ser el lu-gar donde se encuentran e interfieren elementos procedentes de estas tres categorías, no es ni solamente expresivo (imaginario e individual) ni repre-sentativo (real e imaginario), sino también figurativo (unido a las leyes de la actividad óptica del cerebro y a las de la técnica de elaboración del signo en cuanto tal) [Francastel 1988a, 115].

La obra de arte resulta ser así una configuración parcial, que se moldea, revierte y transforma, situándose a caballo sobre los tres niveles de la percepción, de la realidad y de la imaginación. Esto explica la gran movilidad semántica y las múltiples posibilidades de referencia caracte-rísticas de la figuración. Los sistemas figurativos son “sistemas parcia-les, que sugieren modos de aproximación a lo real más bien que cosas” [Francastel 1988b, 299], son ‘conjuntos convencionales’ para captar ‘‘estructuras parciales del mundo’’ [Francastel 1988b, 54]. La parciali-dad del objeto figurativo viene luego a ser completada de múltiples maneras por múltiples espectadores en los múltiples marcos sociales en los que se inserta. La obra de arte es, así, simultáneamente, única y heterogénea, fija y móvil, es lugar de convergencia, montaje y ‘relé’. Mientras el arte se ocupa de construir relevos y montajes originales, con nuevas asociaciones de elementos que ‘iluminan’ aspectos escondi-dos de lo real y lo imaginario, la estética estudia los procesos culturales de construcción de esos encajes y acoples, y la lógica estudia las formas generales de estructuración de esos procesos. En un entreveramiento complejo de niveles de ‘traducción’ yacen las múltiples conexiones entre lógica y estética. Sin embargo, además de reflejos y correspon-dencias entre planos horizontales diversos, un movimiento pendular vertical distingue y contrapone lógica y estética: mientras ésta puede llegar a beneficiarse de la explosión y la diversidad de las lenguas y las

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interpretaciones, la lógica busca un lenguaje ‘universal’ que pueda recomponer la fragmentación de lo diverso. Dos visiones opuestas del lenguaje y de la posibilidad de la traducción se encuentran detrás de ese movimiento pendular:

La filosofía del lenguaje admite dos puntos de vista radicalmente opuestos. Según el primero, la estructura subyacente del lenguaje es universal y común a todos los hombres. Las diferencias entre las len-guas humanas sólo son superficiales. La traducción resulta plausible precisamente porque es posible identificar y ver funcionar en todos los idiomas, por singulares o extravagantes que sean sus formas superficia-les, los universales genéticos, históricos, sociales que tienen el mayor arraigo y de los que se derivan todas las gramáticas. [...]. La tesis contraria admite el calificativo de ‘monadista’. Sostiene que la reflexión lógica y psicológica no llega a agotar las estructuras pro-fundas universales, o que éstas son de un orden tan abstracto que se vuelven prescindibles. [...]. La posición monadista más intransigente —adoptada por grandes poetas— lleva a pensar, en buena lógica, que la traducción es imposible. Lo que consideramos traducción no pasa de ser un conjunto convencional de analogías aproximadas, un esbozo de re-producción apenas tolerable. [Steiner 1998a, 93-94]

En este ensayo adoptamos el punto de vista de que la traducción es posible y —más aún— de que, en algunos casos privilegiados, existen procesos naturales de traducción entre campos muy diversos. En reali-dad, todo parecería ser traducción: intercambio constante de informa-ción, entendido en un sentido amplio, desde procesos osmóticos en el protoplasma hasta transferencias evolutivas globales en el cosmos, pasando por la enorme complejidad de la intertextualidad general de la cultura humana. Una lógica y una estética de amplio respiro servirían para apoyar los procesos de traducibilidad: la lógica tornaría explícitas algunas posibilidades de traducción y la estética ayudaría a ‘encarnar’ esas posibilidades en el ámbito de lo actual. El proceso pendular entre lógica y estética puede entenderse más plenamente cuando la estética es plenamente ‘encarnada’ en los entornos socio-históricos donde se produce. Aunque la estética vive en un espeso registro de diferencias y constantes relecturas dentro de ámbitos sociales muy particulares y determinados, el hecho, aparentemente sorprendente, de que las obras de arte consiguen muy a menudo superar su entorno diferen-cial, se explica por una sencilla consideración lógica: es lógicamente posi-ble1 acceder a lo universal sin tener que recurrir a lo absoluto. La posibi- 1. La sencillez de esa posibilidad es, sin embargo, poco conocida. Se encuentra, in nuce,

en el pensamiento herácliteo, pero creemos que sólo se deriva firmemente del ‘giro einsteiniano’ que Peirce ha producido en la filosofía. Véase nuestra presentación del tema más adelante.


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lidad real de que existan universales sin absolutos —posibilidad que no requiere de símiles de las Ideas platónicas en un Absoluto incognoscible para ‘anclar’ a lo universal y que permite simultáneamente superar el reduccionismo relativista— explica el que una ‘hibridación evolutiva’ de entornos culturales pueda dar lugar, después de un largo decantamiento, a un límite, a una estructura ‘libre’, ‘integral’, ‘universal’, ‘general’, lo suficientemente ‘indeterminada’ como para volver a re-traducirse múlti-plemente en diversos contextos de hibridación. Una comprensión adecuada de la dinámica (imprecisamente: la dialéctica; precisamente: la ‘adjunción’) entre estratos de decantamien-to (‘universalidad’) y estratos de concreción (‘particularización’) es una de las grandes problemáticas de la lógica. Las transformaciones, osmo-sis, traducciones fronterizas de la estética, que se sitúan en medio de ese vaivén lógico, sirven de retículo contrastativo en la aproximación a los límites que estudia la lógica. La matemática, como conglomerado de herramientas relacionales, ayuda a entender las diversas imbricaciones del reticulado. Como sistema general de apoyo al estudio de imbrica-ciones entre diversos campos del conocimiento —y entre las matemáti-cas, la estética y la lógica en particular— pasamos ahora a revisar dete-nidamente la arquitectónica pragmática peirceana. La arquitectónica pragmática de Peirce Charles Sanders Peirce (1839-1914) puede verse como uno de los últi-mos espíritus genuinamente universales de la modernidad. Peirce pro-dujo contribuciones importantes en física, geodesia, economía, matemá-ticas, historia de la ciencia, sicología, lógica, filosofía, semiótica;1 en estos tres últimos campos, sus aportes renovaron completamente las disciplinas. La singularidad de Peirce se encuentra reflejada en el tama-ño descomunal de su obra: 100,000 (!) páginas manuscritas,2 de las cuales 12,000 fueron publicadas en vida.3 El hecho de que una obra tan amplia, diversa y profunda como la de Peirce sea poco conocida por la 1. Acerca de las contribuciones de Peirce en estos diversos campos, pueden verse, respec-

tivamente, las siguientes introducciones: Sfendoni-Mentzou 1993a, 246-261; Lenzen 1972a, 90-105; Eisele 1976a III, xxiii-xxvii; Eisele 1979a; Dauben 1995a; Hendrick 1993a, 333-349; Houser 1997a; Hookway 1985a; Liszka 1996a.

2. Peirce [1966a]: la edición fue acompañada de un catálogo razonado, el de [Robin 1967a]; la identificación cronológica de los manuscritos, comenzada por Max Fisch, ha sido ya terminada en el Peirce Edition Project, que se realiza desde los años 70 en la Universidad de Indiana.

3. Peirce 1986a la edición va acompañada de un catálogo razonado: Ketner1986a. Las ediciones más amplias disponibles actualmente de escritos de Peirce son: Peirce 1982-1993 (el sitio de la edición —PEP: Peirce Edition Project— puede visitarse via Inter-net: http://www.iupui.edu/~peirce), Peirce 1931-1958 y Peirce 1992.

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comunidad se debe a una maraña de factores circunstanciales, editoria-les, autoritarios y normativos, que no entramos a enumerar aquí.1 Baste señalar que la asombrosamente original2 obra peirceana incorpora si-multáneamente en las bases de su sistema un mixto de metafísica, ma-temáticas y semiótica, tendiente a posibilitar un realismo evolutivo y universal: mixto y tendencia ‘peligrosos’ y poco digeribles para la aséptica y clínicamente compartimentada cultura nominalista contem-poránea. El sistema arquitectónico peirceano se encuentra recorrido por cinco armazones fundamentales que se imbrican constantemente y sostienen el edificio: un deslinde fenomenológico de tres categorías generales, que recorren todo el ámbito de la experiencia y del conocimiento; una plena expresión modal de la máxima pragmática, que liga el conoci-miento de lo dado con sus consecuencias prácticas observables en todos los contextos concebibles de interpretación; una construcción recursiva de una lógica o semiótica universal, que permite manejar signos arbitra-rios, tanto en su generalidad como en sus diversas subdeterminaciones dinámicas; una doble ‘adjunción’ entre indeterminación y determina-ción, y entre generalidad y vaguedad, que dinamiza coherentemente un realismo evolutivo; una clasificación triádica de las ciencias, que orga-niza en forma natural el saber, según las tres categorías generales peir-ceanas, y que otorga herramientas de control para el estudio de las fronteras entre disciplinas. Las tres categorías generales pueden verse como los pilares estructurales del sistema peirceano, la máxima prag-mática como los arbotantes, la semiótica universal como los botareles, la doble adjunción como el diseño de extensión y altura, la clasificación triádica como la crucería [Gimpel 1983a]. La faneroscopia, o estudio del ‘faneron’ —es decir del ‘colectivo completo de todo lo que, de cualquier manera o en cualquier sentido, está presente en la mente’—, corresponde a la usualmente denominada fenomenología. La faneroscopia, entre otras de sus labores, incorpora la doctrina de las categorías: clasifica y estudia los modos universalmente presentes en los fenómenos. Contrastando sistemáticamente sus descu-

1. Un estudio detallado de las ‘resistencias’ a la obra de Peirce, así como del mal manejo

que se ha dado a su posteridad, puede verse en [Zalamea 2000a]. 2. Jakobson [1988a, 33] fue uno de los primeros en reconocer la originalidad de la obra de

Peirce: “Cuando se pondera una afirmación de Peirce se siente uno constantemente sorprendido. ¿Cuáles son las raíces de su pensamiento? Cuando Peirce cita y comenta la opinión de alguna otra persona, se vuelve extremadamente innovadora y original. E incluso cuando se cita a sí mismo, crea a menudo una nueva idea y nunca deja de im-presionar a su lector. Solía yo decir que era tan grande que ninguna universidad encon-tró lugar para él”.


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brimientos con las listas de categorías de Aristóteles, Kant y Hegel, Peirce estudió la imbricación de definiciones y distinciones categóricas en ámbitos naturales y culturales (semiosis general), hasta llegar a la convicción de que existen tres categorías ubicuas que pueden ser inter-pretadas en toda la naturaleza y todo el pensamiento. Las tres categorías peirceanas son categorías vagas, generales e indeterminadas, presentes simultáneamente en todo fenómeno, pero que se van precisando y es-cindiendo de las demás según una progresiva y recursiva separación de planos interpretativos, en contextos cada vez más determinados. La evolución de las ideas de Peirce sobre las categorías toma casi treinta años, desde fines de la década de los 60 (siglo XIX) hasta fines de la década de los 90.1 Ya que se trata de categorías generales, su indeterminación es fundamental (para poder ‘encarnar’ libremente en muy diversos contextos), y su descripción es, necesariamente, vaga:

Lo primero es aquello cuyo ser es simplemente en él, sin referirse a na-da o sin yacer detrás de nada. Lo segundo es aquello que es lo que es por la fuerza de algo para lo cual es segundo. Lo tercero es aquello que es lo que es gracias a cosas entre las cuales media y que lleva a relacio-narse la una con la otra.2

La primeridad peirceana detecta lo inmediato, lo espontáneo, lo inde-pendiente de cualquier concepción o referencia a algo más:

Lo primero debe ser presente e inmediato, para no resultar segundo en una representación. Debe ser fresco y novedoso, puesto que en caso contrario sería segundo a un estado previo. Debe ser inicial, original, espontáneo y libre; si no sería segundo a una causa determinante. Es también algo vívido y consciente para obviar ser el objeto de una sensa-ción. Precede toda síntesis y toda determinación; no posee unidad ni partes. No puede ser pensamiento articulado; asevérelo y ya habrá per-dido su inocencia característica, puesto que la aserción siempre implica la negación de algo más [Peirce 1931-1958 CP I §357].

La segundidad es la categoría de los hechos, de las mutuas oposiciones, de la existencia, de lo actual y de lo dado, de la lucha material, de las acciones y reacciones en un mundo real. La segundidad, con su énfasis en lo directamente contrastable, equilibra la intangibilidad de la prime-ridad, más cercana a intuiciones inasibles (las ‘epifanías’ de Joyce, los tres árboles de Hudimesnil de Proust). El conflicto que caracteriza a toda experiencia es evidente en la segunda categoría:

1. Varios estudios documentan detalladamente esa evolución. Son particularmente útiles:

Esposito 1980a; Rosensohn 1974a; Peirce 1992b. 2. “A Guess at the Riddle” (1887-88) [Peirce 1931-1958 CP I § 356].

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La segunda categoría, el siguiente rasgo común a todo aquello que llega a la mente, es el elemento de conflicto. Este se encuentra presente aún en un fragmento tan rudimentario de la experiencia como es una senci-lla sensación. En efecto, toda sensación involucra un grado de intensi-dad, alto o bajo; y esta intensidad es un sentido de conmoción, una ac-ción y reacción, entre nuestro ser y el estímulo [...]. Por conflicto en-tiendo la acción mutua entre dos cosas, independientemente de cual-quier forma de tercero o mediación [Peirce 1931-1958 CP I §322].

La noción general de resistencia, de esfuerzo bruto entre un agente y un paciente, de contraposición muscular —física o figurada— es típica de la segundidad peirceana. Mientras la primeridad trataría de predicar monádicamente sobre el mundo (la intuición trascendente de las móna-das leibnizianas es otro ejemplo de primeridad), la segundidad detecta relaciones binarias que contraponen un ‘uno’ y un ‘otro’. La terceridad peirceana, más allá de la contraposición, propone una mediación, un lugar tercero1 donde el uno y el otro dialogan: es la cate-

1. El reconocimiento de la terceridad proviene muy explícitamente desde Leibniz y ha

sido fuertemente recuperado por la cultura contemporánea gracias a sus intérpretes franceses: Serres 1990a y Deleuze 1988a. Véanse los siguientes pasajes sobre la terce-ridad en Serres y Deleuze.

Doblemente extraño, el tránsito del intercambio, ¡y qué difícil de cartografiar! ¿Cómo vamos de lo semejante a lo diferente o de lo diferente a lo semejante? ¿Cómo prolongar hacia la lejanía los caminos de nuestros viajes? Cruzando por un punto central: franja blanca en el eje del agua, y ahora torniquete en el que el sentido se tuerce y retuerce; una argucia impone el desvío, una curva, una desvia-ción que parecen prestarse en un principio a confusión, aquí, a caballo entre lo pro-fano y lo sagrado, pero de las que la verdad profunda no puede prescindir. Allá se miden exactamente las distancias y las diferencias, al mismo tiempo que se di-buja un camino que las une, a veces en forma de bucle.

¿Cómo cartografiar esos mares desconocidos que alejan y acercan las tie-rras habitadas, y cuya representación no figura en mapa alguno? Esta franja, este espacio en blanco, lugar tercero de utopía entre aquí, el Japón, y Francia, allá, intercambiador o esclusa entre toda diferencia, démosle el nombre in-menso de universo, término universal que quiere decir que todas las cosas desembocan o dan vueltas alrededor de una unidad, cuyo secreto transparente se desliza y se insinúa a través de sus diferenciaciones.

¿Quiénes somos, cuando pasamos por este intercambiador o nudo de ca-rreteras? Intercambiadores vivos, ramilletes de sentido. Como ángeles porta-dores de mensajes, deberíamos todos vestirnos con quimonos blancos, con-junción universal de los distintos colores. Un tercer hombre en el lugar tercero En este espacio mediano se alza, efectivamente, transparente, invisible, el fantasma de un tercer hombre, que conecta el intercambio entre lo semejante y lo diferente, que abrevia el tránsito entre lo cercano y lo lejano, cuyo cuerpo cruzado o disuelto encadena los extremos opuestos de las diferencias o las transiciones similares de las identidades. Mejor que describirlo o definirlo, quiero llegar a serlo, viajero que explora y reconoce, entre dos espacios aleja-dos, este lugar tercero [Serres 1995a, 30 y 31].


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goría del sentido, de la representación, de la síntesis, del conocimiento, del saber.

Por tercero, entiendo el medio cuya condición o peculiaridad consiste en conectar un primero y un segundo más absolutos. El fin es segundo, los medios tercero. Un cruce en un camino es tercero [...]. Lo primero y lo segundo son duros, absolutos y discretos, como el sí y el no; un ter-cero perfecto es plástico, relativo y continuo. Todo proceso, y todo aquello que es continuo, involucra terceridad. [...]. Una acción es se-gundo, una conducta tercero. La ley como fuerza activa es segundo, el orden y la legislación terceros. Todo tipo de signo, todo aquello que por cualquier propósito se sustituye por algo más, todo aquello que ayuda, o media, entre un hombre y su deseo es un tercero [Peirce 1982-1993 V, 300-301].

En resumen, las categorías peirceanas pueden describirse con palabras clave y conceptos fundamentales de la manera siguiente:

(1) PRIMERIDAD (‘Firstness’): inmediatez, impresión primera, frescura, sensación, predicado unario, azar, posibilidad. (2) SEGUNDIDAD (‘Secondness’): acción-reacción, efecto, otre-dad, resistencia, relación binaria, hecho, actualidad. (3) TERCERIDAD (‘Thirdness’): mediación, continuidad, orden, conocimiento, relación ternaria, ley, generalidad, necesidad.

Las tres categorías se entrelazan recursivamente y estratifican diversas modulaciones interpretativas. La riqueza del método peirceano radica, en buena medida, en la permanente posibilidad iterativa de su análisis

Un rizoma no empieza ni acaba, siempre está en el medio, entre las cosas, inter-ser, intermezzo. El arbol es filiación, pero el rizoma tiene como tejido la conjun-ción «y...y...y...». En esta conjunción hay fuerza suficiente para sacudir y desen-raizar el verbo ser. [...]. La literatura americana, y anteriormente la inglesa, han puesto aún más de manifiesto ese sentido rizomático, han sabido moverse entre las cosas, instaurar una lógica del Y, derribar la ontología, destituir el fundamen-to, anular fin y comienzo. Han sabido hacer una pragmática. El medio no es una media, sino, al contrario, el sitio por el que las cosas adquieren velocidad. Entre las cosas no designa una relación localizable que va de la una a la otra y recípro-camente, sino una dirección perpendicular, un movimiento transversal que arras-tra a la una y a la otra, arroyo sin principio ni fin que socava las dos orillas y ad-quiere velocidad en el medio [Deleuze & Guattari 1997a, 56-57].

El reconocimiento sintomático de la terceridad en los lectores de Leibniz de fines del siglo XX no deja, sin embargo, de estar cojo si no se integra de modo sistemático con las otras categorías peirceanas. Desgraciadamente, la arquitectónica pragmática de Peirce no parece haber sido conocida por el ‘post-estructuralismo’ francés (en nuestro conocimien-to, sólo Derrida hace referencia directa a Peirce).

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categórico, posibilidad que permite refinar en cada nuevo nivel de interpretación las distinciones obtenidas en un nivel previo, otorgando a su vez una gran ‘frescura’1 y libertad a la interpretación. El conocimien-to y una (progresiva) precisión se van generando al ir definiendo con-textos y enfatizando en ellos una determinada categoría. El vaivén conceptual y práctico entre diversos contextos es regido por la máxima pragmática peirceana. La máxima pragmática, o ‘pragmaticista’, como la denominaría más tarde Peirce para distinguirla de otras interpretaciones conductistas, utilitaristas o sicologistas,2 aparece formulada varias veces a lo largo del desarrollo intelectual de Peirce. El enunciado más conocido es el de 1878, pero otros enunciados mucho más precisos son los de 1903 y 1905:

Consider what effects which might conceivably have practical bearings we conceive the object of our conception to have. Then, our conception of these effects is the whole of our conception of the object.3 Pragmatism is the principle that every theoretical judgement ex-pressible in a sentence in the indicative mood is a confused form of thought whose only meaning, if it has any, lies in its tendency to enfor-ce a corresponding practical maxim expressible as a conditional senten-ce having its apodosis in the imperative mood.4 The entire intellectual purport of any symbol consists in the total of all general modes of rational conduct which, conditionally upon all the possible different circumstances, would ensue upon the acceptance of the symbol.5

La máxima pragmaticista señala que el conocimiento, visto como pro-ceso lógico-semiótico, es preeminentemente contextual (versus absolu-to), relacional (versus sustancial), modal (versus determinado), sintético (versus analítico). Así, la máxima es inmediatamente incompatible con nociones tradicionales de la filosofía como ‘sustancia’, ‘en-sí’ o ‘abso-luto’. Por otro lado, aunque la máxima enfatiza la importancia fundamen-tal de las interpretaciones locales, ésta insta también a la reconstrucción 1. Las categorías peirceanas son categorías ‘cenopitagóricas’: “«Cenopitagóricas» porque,

como las pitagóricas, estas categorías son esencialmente números; sin embargo, no son ni pitagóricas, ni neopitagóricas, sino más bien llenas de frescura, χαινο - pitagóricas”. Ms 899 (ca. 1904) [Peirce 1992b, 126].

2. ‘‘Pragmaticismo: un nombre lo suficientemente feo como para poder escapar de los plagiarios’’. [Peirce 1992a CP V § 414].

3. “How to Make Our Ideas Clear” (1878) [Peirce 1931-1958 CP V § 402]. 4. “Harvard Lectures on Pragmatism” (1903) [Peirce 1931-1958 CP V § 18]. 5. “Issues of Pragmaticism” (1905) [Peirce 1931-1958 CP V § 438]. Dada su fina inter-

pretación, preferimos dejar en inglés los enunciados originales de la máxima. Lo mis-mo haremos en otras ocasiones delicadas.


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de aproximaciones globales por medio de adecuados pegamientos relacionales y modales de lo local. De esta manera, aunque se encuentra en el centro de muchas inquietudes actuales (fronteras, conjunciones, localidades, otredades, singularidades), va en clara contravía de los relativismos a ultranza típicos del ‘postmodernismo’.

Una esquematización diagramática de la máxima pragmaticista es la siguiente:

La comprensión de un signo arbitrario1 actual se obtiene al contrastar todas las reacciones necesarias entre las interpretaciones (subdetermi-naciones) del signo, al recorrer todos los posibles ámbitos interpretati-vos. La dimensión pragmática enfatiza la coligazón de todos los posi-bles contextos. En otros lugares de la matemática contemporánea, esos contextos se denominan ‘modelos’ o ‘categorías’: demostrablemente (pero es el espacio de otros trabajos) la teoría de modelos y la teoría de categorías de la lógica contemporánea se encuentran muy cercanas del pragmaticismo peirceano. La máxima pragmática sirve de sofisticado ‘haz de filtros’ para decantar la realidad. Según la arquitectónica peirceana sólo conocemos mediante signos y, según la máxima, sólo conocemos esos signos me-diante correlaciones diversas de sus efectos concebibles en contextos de interpretación. La máxima ‘filtra’ el mundo a través de tres complejas

1. Usualmente un concepto o un objeto; pero pronto veremos que el signo peirceano es

más general.

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redes que permiten ‘diferenciar’ lo uno en lo múltiple e, inversamente, ‘integrar’ lo múltiple en lo uno: una red representacional, una red rela-cional y una red modal. Puede decirse que el siglo XX recuperó muy claramente la importancia de la red representacional y el lugar privile-giado de la interpretación en todo proceso de conocimiento: desde las obras cubistas, que el espectador ‘reconstruye’, hasta las instalaciones, que éste ‘deconstruye’, pasando por las múltiples Rayuelas, que el lector ‘arma’ y ‘desarma’, y por variadas manifestaciones artísticas en las que la ‘composición’ del intérprete resulta crucial, a lo largo del siglo la red representacional está siempre presente y se la maneja lúdi-camente con gran facilidad. Por otro lado, tanto la red relacional como la red modal parecen haber sido menos comprendidas y aprovechas in extenso1 en el siglo XX. En este trabajo trataremos de realizar un es-fuerzo sostenido, y lo más explícito posible, por manejar simultánea-mente las tres redes que subyacen en la máxima pragmática. La máxima pragmática se imbrica de forma natural con las tres categorías peirceanas. La máxima afirma que conocemos a través de mecanismos de representabilidad contextual sobre un muy amplio registro de ámbitos de posibilidad (primeridad), a través de contrasta-ciones activo-reactivas (segundidad) sobre las subdeterminaciones de los signos en esos contextos, y a través de una coligazón comunicativa recursiva (terceridad) entre las diversas consecuencias semióticas ob-servadas. La máxima sirve de ‘haz’ con una doble función de soporte2 para las categorías peirceanas: función contrastativa (segundidad) para jerarquizar localmente el traslape de las categorías peirceanas, función mediadora (terceridad) para re-unificar globalmente las perspectivas y las visiones propias de la arquitectónica peirceana. Por otro lado, el adecuado sostén de la máxima reposa en una hipótesis de continuidad (terceridad) semiótica, según la cual el constante trasegar de los signos y de sus efectos (segundidad) concebibles (primeridad) permea fronte-ras y recorre tanto ámbitos culturales como naturales.

1. Por supuesto, muchos pensadores y creadores de envergadura sí las estudiaron y

utilizaron plenamente. En términos generales, sin embargo, la cultura ‘normal” del siglo XX parece haber estado más cercana de la especialización sub-disciplinar que de lo relacional general y más cercana del acontecimiento sub-actual que de lo modal ge-neral.

2. La precisa noción matemática de ‘haz’ se basa en una doble función analítica y sintéti-ca, a la vez, que explica su notable riqueza conceptual: el haz ‘diferencia’ su espacio base (los puntos se ven como fibras) pero, a su vez, ‘integra’ el espacio desplegado de las fibras. Las condiciones matemáticas de ‘diversificación en el producto’ (prehaz) y de ‘pegamiento’ (haz) son precisamente las condiciones que le permiten al haz conju-gar su peculiar vaivén entre análisis y síntesis.


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El ‘signo’ peirceano es una tríada vaga y general, indeterminada, que se sub-acota y se sub-determina en progresivos contextos. La forma más general del ‘signo’ puede verse como variante de un principio general de substitución: un ‘signo’ es ‘algo que substituye algo para algo’1:

De forma similar, una descomposición ‘libre’ del ‘ser’ como signo general puede representarse en el siguiente diagrama, donde se conec-tan las categorías peirceanas y los primeros niveles de semiosis y moda-lización2:

Los signos, según el análisis peirceano, son siempre triádicos. Si, en algunos casos, un signo puede verse como ‘diádico’, es que la triadici-

1. La fórmula medieval para el signo (aliquid stat pro aliquo: ‘algo que está por algo’) es

una variante ‘segunda’ de la formulación más plena (triádica) peirceana. El cuño peir-ceano incorpora indisolublemente el ‘para’ (‘algo que está por algo para algo’), que da lugar a toda la dimensión pragmática de la semiótica.

2. En la segundidad —categoría de la acción-reacción, de los hechos y de los actos— recae enseguida el ámbito de la actualidad. En la primeridad —categoría de lo inme-diato, de lo no mediado— entra el ámbito de la posibilidad, como aquello aún no con-trastado (segundidad) ni mediado (terceridad). En la terceridad —categoría de la me-diación— cabe de forma natural la noción de orden (‘estar entre’ es una relación terna-ria) y, por lo tanto, se clasifica allí la necesidad, vista como ordenamiento modal o como mediación normativa.

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dad ha degenerado1 en una combinación de segundidades.2 Un primer nivel de triadicidad se encuentra en la misma definición de signo como relación general triádica S(––,––,––): –1– substituye –2– para –3–. El término ‘2’ es el ‘objeto’ del signo; el término ‘1’, que le substituye, es el ‘representamen’ del signo; el término ‘3’ es el medio, el contexto de interpretación, la ‘cuasi-mente’ donde se realiza la substitución; dentro de esa ‘cuasi-mente’, el representamen adquiere una nueva forma, llamada por Peirce el ‘interpretante’. Usualmente, en la práctica común, se confunden a menudo ‘signo’ y representamen: continuaremos aquí con esa práctica ya que el contexto permite decidir cuál de las acepcio-nes de ‘signo’ se está usando.

Un segundo nivel de triadicidad (al sub-cualificarse las tres formas cómo pueden correlacionarse objeto y representamen) produce la céle-bre clasificación inicial peirceana de los signos: ícono (1), índice (2) y símbolo (3). Un ícono es un signo que substituye un objeto dado: señala una marca sintáctica. Un índice es un ícono que, además, detecta algu-nas variaciones del objeto: indica un cambio semántico. Un símbolo es un índice que, además, integra las variaciones a lo largo de un contexto de interpretación: incorpora un aporte pragmático. La clasificación puede luego refinarse recursivamente; Peirce llegó a distinguir de ma-nera específica sesenta y cuatro clases de signos generales.

1. Peirce distinguía terceridades ‘genuinas’ (relaciones ternarias irreducibles a combina-

ciones de predicados y relaciones binarias) de terceridades ‘degeneradas’ (relaciones ternarias reconstruibles a partir de primeridades y secundidades). Por ejemplo, ‘1 está entre 0 y 2’ es una terceridad degenerada (se reduce a la conjunción de ‘1 es mayor que 0’ y ‘1 es menor que 2’), mientras que ‘1+2=3’ es una terceridad genuina (la suma es una relación ternaria irreducible).

2. Es, por ejemplo, el caso de la semiótica según Saussure.


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Una de las fortalezas de la semiótica peirceana, y uno de sus mayores atractivos, consiste en dejar muy libre la noción de ‘cuasi-mente’, o contexto de interpretación, donde se efectúa la semiosis.1 Al liberar los contextos de interpretación de los matices sicologistas asociadas a una ‘mente’ humana, y al permitir ‘cuasi-mentes’ arbitrarias, la semiótica peirceana adquiere un rango muy amplio de universalidad. Ya que la ‘cuasi-mente’ puede ser un medio protoplásmico en el que la semiosis se constituye en proceso de crecimiento y asimilación de material en un vaivén entre licuefacción y cohesión,2 o puede ser un sistema nervioso en el que la semiosis integra la excitación de células, su transmisión por fibras y conductos y su tendencia a generar hábitos, o puede ser un entorno cultural con sus múltiples procesos de semiosis ‘usual’, o puede ser el mismo cosmos donde se van ‘determinando’ las leyes de la física, se ve que los ‘signos generales’ peirceanos cubren enormes rangos de la realidad3 y puede intuirse la posible evolución de esos signos.

Con sus ‘gráficos existenciales’ (1895-1910) Peirce trató de construir no sólo los signos diagramáticos más ‘generales’ y ‘libres’ de la lógica,

1. Los ‘objetos’ de la semiosis son también muy arbitrarios: pueden ser objetos físicos,

conceptos, o, a su vez, signos de donde vuelve a partir el proceso (‘semiosis ilimitada’). 2. “A Guess at the Riddle” (1887-88) [Peirce 1992a, 284]. 3. Mas aún, según el sistema peirceano, cubren toda la realidad si se tiene en cuenta que

también los elementos de puro azar (primeridad) pueden verse como signos ‘degenera-dos’.

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sino también signos generales para comprender el pragmaticismo y la evolución misma del cosmos.1 Los gráficos existenciales de Peirce constituyen un instrumentario lógico de gran agudeza, poco conocido y poco utilizado hasta el momento, más por razones de escasa difusión que por intrínsecas limitantes lógicas.2 El potencial de los gráficos existenciales para la lógica matemática contemporánea es enorme.3 Sobre el continuo peirceano (espacio general de posibilidades puras) se construye conocimiento por procesos de acción-reacción duales: inser-ción-extracción, iteración-desiteración, dialéctica si-no. Los gráficos existenciales precisan esos procesos, por medio de un lenguaje gráfico formal, reglas y axiomas. Los gráficos existenciales ALFA enfocan novedosamente el cálculo proposicional clásico. Sobre una hoja de aserción, que puede conside-rarse ilimitada y deformable continuamente, se construye un cálculo ALFA de marcas, recortes y deformaciones que termina por equivaler plenamente al cálculo clásico usual. Una de las transformaciones permi-tidas en el cálculo ALFA, que usaremos sistemáticamente en este traba-jo, puede extrapolarse al ámbito general de la cultura, así como a la clasificación triádica de las ciencias como pronto veremos. Se trata de una transformación de vaivén (un ‘back-and-forth’) en tres etapas: iteración de signos —de regiones menos ‘complejas’ a regiones más complejas—, estudio de las nuevas correlaciones producidas por el signo iterado en la región más compleja, desiteración posterior del signo y visión ‘libre’ de la región más compleja después de haberse efectuado la transformación. Los gráficos incorporan explícitamente las enseñanzas de la máxima pragmática y fundamentan su manejo en transformaciones continuas. Con los gráficos BETA, Peirce obtiene un cálculo equivalente a la lógica de primer orden con igualdad, sobre un lenguaje puramente relacional. El símbolo básico del cálculo BETA es la línea de identidad, en la cual Peirce veía un reflejo de la continuidad de la hoja de aser-ción. En el cálculo BETA, se extiende el lenguaje de aseveraciones mediante expresiones que envuelven a la línea de identidad, pero, sor-prendentemente, se mantienen las mismas reglas de manejo de los gráficos. Esta axiomatización uniforme de los cálculos clásicos (propo-

1. “My doctrine depends upon how the diagram is to be connected with nature”. “The

Reader is Introduced to Relatives” (1892) [Peirce 1931-1958 CP III § 423]. 2. Como introducciones a los gráficos peirceanos véanse Roberts 1973a, Thibaud 1982a,

Ketner 1996a y Burch 1991a. 3. Indicaciones se encuentran en Zalamea 1997a y en Zalamea 1997b.


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sicional y primer orden), única en matemáticas, explica por qué Peirce consideraba a sus gráficos como una ‘apología del pragmaticismo’.

Con los gráficos GAMA Peirce se adelanta a algunos de los más intere-santes avances lógicos de las décadas posteriores. Una sección de los gráficos gama propone la primera axiomatización conocida de un cálcu-lo modal. Otra sección de los gráficos GAMA codifica sistemáticamente los usos del metalenguaje. Según Peirce, “Lowell Lectures” (1903). [Peirce 1931-1958 CP IV §512],

En la parte gama del tema todos los viejos tipos de signos adquieren nuevas formas [...]. Así, en lugar de una hoja de aserción, tenemos un libro de hojas separadas, pegadas en algunos puntos, si no conectadas de otra manera. Nuestra hoja ALFA, como un todo, representa simple-mente un universo de individuos existentes, y las diferentes partes de la hoja representan hechos o aseveraciones verdaderas que conciernen ese universo. En los cortes pasamos a otras áreas, áreas de proposiciones concebidas, no realizadas. En estas áreas puede haber cortes donde pa-samos a mundos que, desde los mundos imaginarios de los cortes exte-riores, son a su vez representados como imaginarios y falsos, pero que pueden ser, con todo, ciertos, y por lo tanto continuos con la misma hoja de aserción.

En los gráficos GAMA Peirce introdujo (1905) un cálculo de tinturas para representar las modalidades.1 Los trasvases de tinturas correspon- 1. Las tinturas, con las potencialidades gráficas del computador contemporáneo, han sido

convertidas en un juego elemental de graficación (por lo elemental no menos profun-do). Véase Zeman 1997a, 96-119. Para trasladar las tinturas peirceanas del ámbito general de lo posible al ámbito actual del computador personal se requirieron no-venta y dos años: algo natural en matemáticas, si se la entiende peirceanamente como estudio estructural de lo posible, ya que generalmente —y desde lo ‘general’— lo po-sible precede a lo actual. Como una de las muchas ‘curiosidades’ o antelaciones de Peirce a conquistas posteriores del siglo XX, merece anotarse que en los manuscritos de Peirce

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den a traslapes modales, así como las modulaciones musicales corres-ponden a transferencias de ‘colorido’ armónico. Peirce consideraba sus tres categorías generales como “tonos o tinturas sobre los conceptos”:1 se trata de un instrumentario de estructuración recursiva que sirve para estudiar ‘contaminaciones’ modales y de color —lógico o estético—, y que subyace hondamente en los diversos estudios de caso que avanza-remos en este trabajo. Peirce reconstruye2 el ‘faneron’ (espectro de los fenómenos) como combinación relacional de sus tres categorías fundamentales. En un giro radical, que combate una visión clásica del mundo construida sobre predicaciones de sujetos, donde se trataría de captar de manera inma-nente la ‘esencia’ de los seres, Peirce propone en cambio captar la multiplicidad del mundo a través de una combinatoria relacional, a la manera leibniziana, pero incorporando una distinción categorial más fina y, sobre todo, más natural que la de sus predecesores. Kant, al describir su propia obra como un ‘giro copernicano’ en la filosofía, introduce de forma permanente al sujeto como componente ineludible en el conocimiento del mundo. Los objetos, o ‘cosas en sí’, son comprehendidos por el juicio de los sujetos que los someten a exa-men. Kant, en su crítica del juicio, trata de encontrar invariantes en ese proceso cognitivo y surgen así sus ‘juicios sintéticos a priori’. El inten-to kantiano se apoya sobre las herramientas de su época, y, de modo particularmente insistente, sobre una matemática de supuestos ‘a priori’ y sobre la silogística aristótelica: Kant encuentra así lo que podríamos llamar invariantes filosóficos de la lógica monádica de predicados. 3 La evolución posterior de las matemáticas y la construcción plena de una lógica de relaciones arbitrarias resquebrajaron el sistema de Kant. Pue-de argumentarse que la arquitectónica peirceana responde, en gran medida, a tratar de enmendar las fisuras del edificio de su gran predece-sor. Sin embargo, al corregir las grietas, el aprendiz de maestro se con-

se encuentra un diagrama ‘libre’ muy preciso que anticipa el esquema de máquina de los computadores modernos.

1. “One, Two, Three” (ca. 1880) [Peirce 1931-1958 CP 1 §353]. 2. Una de las motivaciones más importantes en esa ‘re-construcción’ se debe a los muy

incisivos desarrollos obtenidos por Peirce en la lógica matemática de relaciones (1870-1885). El contrapunteo entre ideas y avances matemáticos (lógica de relaciones, conti-nuidad, gráficos, modalidades) e ideas y lineamientos filosóficos es constante y fun-damental en Peirce para construir la gran armazón de su arquitectura pragmática.

3. Es conocido el célebre y totalmente desafortunado juicio de Kant sobre la lógica aristótelica, en la cual veía un ‘estado de perfección’ insuperable y la culminación de cualquier pensamiento lógico. La veneración del Maestro no le permitió intuir la gigan-tesca evolución posterior de la lógica, evolución que, por otra parte, ya Leibniz había comenzado a impulsar.


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virtió en gran arquitecto: el resultado es un edificio muy diferente al hendido palacio original. Peirce realiza lo que podríamos llamar un giro einsteiniano en la filosofía. Por supuesto, Peirce precede a Einstein y el apelativo es para-dójico. Sin embargo, aunque Peirce no hubiera podido denominar así parte de su enfoque filosófico —como sí pudo hacerlo Kant al referirse a Copérnico— la semiosis universal peirceana y su construcción aso-ciada de invariantes relacionales se ajustan con precisión a la ‘revolu-ción’ que sólo una década más tarde generaría Einstein en la física moderna. En la semiosis peirceana, el sujeto y el objeto no son conside-rados como predicados monádicos sino como redes relacionales de signos diversos, insertos en entramados de referencia sujetos a una perpetua dinámica (‘semiosis ilimitada’); en esa dinámica de movimientos relativos, la observación misma del objeto puede llegar a modificarlo.1 Peirce intenta, entonces, encontrar invariantes en ese fluir relacional complejo: el ‘giro einsteiniano’ de su filosofía busca (y en-cuentra) lo que podríamos llamar invariantes filosóficos de la lógica general de relaciones y de lógicas de órdenes superiores.

La relatividad de la mirada, la dinámica ilimitada de la interpretación, la modificación de los interpretantes, son algunas de las grandes con-quistas del sistema peirceano, conquistas que refrendará repetidamente el siglo XX bajo los más diversos disfraces. Sin embargo, Peirce su-pera, con los procesos permanentes de reintegración y de pegamiento de su sistema, el extremo relativismo al que se verán abocadas las alu-cinadas reivindicaciones de lo efímero y de lo local en las postrimerías

1. La modificación del ‘objeto’ es evidente en cualquier proceso estético (la dimensión

‘figurativa’de Francastel), pero también lo es, por ejemplo, en una sanación sicoanalí-tica o en la determinación de la cantidad de movimiento de una partícula elemental.

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del siglo. Las categorías universales peirceanas y su pragmaticismo general (cuya expresión fundamental es la máxima pragmática entendi-da en su sentido modal pleno) constituyen dos de los tres ejes básicos que permiten detectar invariantes en tejidos relacionales arbitrarios. El otro eje consiste en una extensión ‘pragmaticista’ de su clasificación ‘perenne’ de las ciencias: al filtrar la clasificación bajo el prisma con-ceptual de los gráficos existenciales, ésta da lugar a una especie de diagrama ‘libre’ de contextos del conocimiento, donde la inserción y la iteración de claves cognitivas (aunadas a su posterior eliminación y desiteración, luego de que hayan modificado el contexto donde se inser-taron) otorgan pautas para ir entendiendo los modos cómo emerge el conocimiento original. La clasificación peirceana de las ciencias Las categorías se imbrican constantemente en el ‘faneron’. Los fenó-menos nunca se encuentran aislados, nunca están situados en algún plano categorial separado de los demás. Sin embargo, en la cognición de los fenómenos sí se pueden enfatizar determinadas lecturas catego-riales y los énfasis permiten obtener importantes distinciones relativas y contextuales (el método indica, de entrada, que no podrán obtenerse caracterizaciones absolutas). A lo largo de su vida, Peirce propuso más de cien (!) intentos esquemáticos de clasificación de las ciencias; en 1903, utilizando sus tres categorías, Peirce construyó la clasificación que Kent [1987a] ha denominado clasificación ‘perenne’. Las dos primeras ramificaciones recursivas de la clasificación indi-can los lugares de la matemática, la estética y la lógica, que aquí nos conciernen:


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Las matemáticas (1), base del edificio, enfatizan lo posible, propio de la primeridad: estudian los ámbitos de posibilidad abstractos, sin restric-ciones o contrastaciones en los ámbitos de lo imaginario o lo real. En el lugar 1.1 de la clasificación se realiza el estudio matemático de lo in-mediatamente accesible: el estudio de las colecciones finitas. En el lugar 1.2 se estudian matemáticamente las acciones-reacciones sobre lo finito: aparecen las colecciones infinitas. En el lugar 1.3 se realiza la mediación: estudio general de la continuidad en el sentido peirceano.1

1. A finales de la década de los ochenta, la continuidad se constituyó en la ‘llave maes-

tra’ del sistema filosófico peirceano. Utilizando el principio de continuidad (que Peirce denominó ‘sinequismo’, compactando la etimología griega), Peirce pudo desarrollar coherentemente una cosmología evolutiva, una fenomenología categórica y una fun-damentación del pragmaticismo, dentro de una misma arquitectónica general del saber. La base técnica del sinequismo se encuentra en la construcción del continuo peirceano, como modelo sintético modal de lo ‘supermultitudinario’, estrechamente ligado a modelos posteriores que se originarían —independientemente— con el in-tuicionismo, el análisis no-estándar y la teoría matemática de categorías. En el con-tinuo peirceano desaparecen los puntos; los elementos constitutivos son las vecinda-des. Peirce resaltó extensamente la importancia de desarrollar una ‘lógica de las

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Las matemáticas estudian los ámbitos de posibilidad abstractos (prime-ridad), sin ninguna restricción factual; lo único que se les exige es una adecuada coherencia interna. La extraordinaria riqueza de la matemáti-ca surge de su peculiar ubicación dentro del panorama del conocimien-to: procediendo y construyendo su entramado de relaciones con posibi-lidades puras, accede sin embargo posteriormente a lo actual por medio de aplicaciones insospechadas, y asegura en cada caso su necesidad contextual. El trámite de la matemática, entre lo posible, lo actual y lo necesario, es propio y específico de la disciplina. Las matemáticas están repletas de ejemplos significativos en los que se muestra el largo trecho que puede ocurrir entre una creación mate-mática autónoma (en el dominio de posibilidades abstractas) y su uso posterior para la eventual comprensión de un fenómeno o un problema dado. Considérense, por ejemplo, la creación de los números imagina-rios en el siglo XV y su uso en las redes eléctricas sólo a fines del XIX, la creación de la geometría riemanniana (no euclidiana) a mediados del siglo XIX y su uso para sostener el andamiaje de la teoría de la relativi-

vecindades’. Según Peirce, el modelo cantoriano para el continuo no pasaba de ser un ‘primer embrión de continuidad’; un modelo general para el continuo no podía estar dado con sólo sucesiones de sucesiones. Las enseñanzas posteriores indican que Peirce estaba en lo cierto: el tamaño del continuo cantoriano es independiente de la teoría básica de conjuntos (ZFC) y puede tomar casi cualquier lugar en la escala de infinitud —resultados de Easton utilizando forcing—.

‘‘In my view, the unoccupied points of a line are mere possibilities of points, and as such are not subject to the law of contradiction (1908). “In the continuum you have so crowded the field of possibility that the units of that aggregate lose their individ-ual identity [...] What I mean by a truly continuous line is a line upon which there is room for any multitude of points whatsoever. These points are pure possibilities. On a continuous line there are not really any points at all” (1903). “A continuum is a collection of so vast a multitude that in the whole universe of possibility there is no room for them to retain their distinct identities; but they become welded into one another” (1903). “The whole universe of true and real possibilities form a contin-uum, upon which this Universe of Actual Existence is, by virtue of the essential Secondness of Existence, a discontinuous mark” (1903). “The continuum is that which the logic of relatives shows the true universal to be” (1903). “The continuum is a General. It is a General of a relation. Every General is a continuum vaguely de-fined” (1902).

Peirce propuso como modelo del continuo una iteración acumulativa y enumerable de la exponencial. Este modelo no parece ser el mejor indicado, aunque recuerde el modelo saturado de los reales no-estándar. La construcción de un modelo pleno del continuo, que incorpore las ideas básicas de Peirce (síntesis, modalidades, saturación), es un problema abierto de gran importancia y considerable dificultad. El ambiente de los topos de Grot-hendieck (donde se conjugan, de manera natural, lógica intuicionista, modalidades y procesos de síntesis típicos de la teoría matemática de categorías) puede ser un lugar adecuado para construir modelos ricos del continuo peirceano.


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dad a comienzos del XX, o la creación de la geometría algebraica entre las dos guerras mundiales y su uso para demostrar el famoso ‘teorema de Fermat’, enunciado tres siglos antes y sólo demostrado a finales del siglo XX. Son todas situaciones en las que se desarrollan sofisticados edificios conceptuales, que van cubriendo el inmenso ámbito de posibi-lidades en que se mueve la matemática, y que, en algún momento, se utilizan también para enfrentar hechos y contingencias dadas. De mane-ra similar, la teoría de las funciones recursivas, creada a comienzos de la década de los treinta, proveerá el soporte teórico para la elaboración posterior de los computadores; el desarrollo del análisis funcional, en la escuela polaca en la década de los veinte, otorgará el sostén para los cálculos que llevarán al (temible) control de las partículas atómicas; o, avances en la teoría de la medida asegurarán el estudio estadístico de inmensas colecciones de datos que parecían irremediablemente disper-sas. La matemática, viviendo en el dominio de lo más abstracto, proce-de también, en su debido tiempo, a lo más delimitado. Sin embargo, toda su riqueza se sitúa en el ámbito de lo posible, de lo general, de lo intangible.

La filosofía (2) no elucubra construcciones posibilistas y se encuen-tra más cercana de lo ‘dado’: estudia los fenómenos comunes en los ámbitos generales de la experiencia (acción-reacción sobre la ‘existen-cia’ y el ‘ser’ potencial). La fenomenología (2.1) se ocupa de los fenó-menos universales en su primeridad, en su inmediatez, utilizando los avances en matemáticas obtenidos en 1. Las ciencias normativas (2.2) estudian los fenómenos comunes en los ámbitos generales de la expe-riencia, pero enfatizando en ese estudio una segundidad: la acción de los fenómenos sobre la comunidad y la acción de la comunidad sobre los fenómenos (‘adjunción’: fen com). La estética (2.2.1) estudia la formación de impresiones y sensaciones (primeridad), consistentes con un adecuado ‘ideal general’ (summum bonum) que proviene de la normatividad. La ética (2.2.2) estudia la acción-reacción entre el sum-mum bonum y la comunidad, dando lugar a acciones normativas en la comunidad para acoplarse adecuadamente al ‘ideal’. La lógica (2.2.3) estudia la estructuración mediadora de los razonamientos (terceridad), consistentes con el ‘ideal general’. Peirce mostró que el ‘ideal general’, de acuerdo con las directrices del pragmatismo, no podía ser fijo: debía ser evolutivo; no podía estar determinado: debía ser abierto; no podía ser particular: debía ser gene-ral. El ‘ideal general’ peirceano puede ser descrito como un ‘crecimien-to continuo de la potencialidad’. De acuerdo con ello, la estética, que estudia las progresivas determinaciones del ‘ideal’ en la primeridad de

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los fenómenos, construye el reticulado evolutivo de lo ‘bello’, ligado a la exaltación de las sensaciones y a las riquezas potenciales de la obra artística; una obra será más ‘bella’ que otra si logra hacer crecer mejor la sensibilidad y si contiene un potencial artístico más amplio. Por su lado, la lógica, que estudia las determinaciones del ‘ideal’ en la terceri-dad de los fenómenos, crea un arsenal evolutivo de herramientas rela-cionales y se constituye en una teoría general de las representaciones, buscando un control particularmente preciso sobre los procesos terceros de mediación. Uno de los aspectos fundamentales de la estética peirceana consiste en su irreducibilidad a una categoría absoluta de lo ‘bello’. Así como toda la arquitectónica peirceana consiste en un haz pragmático de pisos y estructuras que se entrelazan recursivamente, sin tener que basarse en un fundamento1 o piso primero de sostén, la estética peirceana consiste en un entramado de correlaciones entre el objeto estético, situado en una frontera, su interior (articulación de sus partes) y su exterior (articu-lación de sus interpretantes), sin tener que recurrir a un ‘puro grado de excelencia estética’ o a una última ‘bondad estética’ para sostener el entramado:

A la luz de la doctrina de las categorías debería decir que un objeto, pa-ra ser estéticamente bueno [good], necesita tener una multitud de partes adecuadamente correlacionadas como para impartir una cualidad positi-va, simple e inmediata a la totalidad; y lo que sea que lo logre es estéti-camente bueno, independientemente de la particular cualidad del total. [...]. Si [la anterior aserción] es correcta, se sigue que no existirá tal cosa como la ‘fealdad’ estética [positive esthetic badness]; y como por bon-dad entendemos principalmente la ausencia de ‘fealdad’ [badness], no habrá tal cosa como la bondad estética. Todo lo que habrá serán diver-sas cualidades estéticas; es decir, simples cualidades de totalidades, in-capaces de plena encarnación en las partes, cualidades que pueden ser más decididas y fuertes en un caso que en otro. La misma reducción de la intensidad puede ser una cualidad estética; mejor: tiene que serlo; y me inclino seriamente a dudar de que exista alguna distinción pura entre superioridad e inferioridad estética. Mi percepción sería la de que exis-ten innumerables variedades de cualidad estética, pero no un puro grado de excelencia estética.2

La obra estética, construida como rico espectro de correlaciones, inde-pendientemente de juicios de valor (lo ‘bueno’ y lo ‘feo’) y de jerarqui- 1. El sistema peirceano es anti-fundacionalista: no busca un fundamento último (‘absolu-

to’) de la realidad. La realidad es entendida como haz de relaciones, y las fibras rela-cionales más estables sirven de anclaje para lo universal, sin tener que recurrir a fun-damentos que sostengan el tinglado relacional.

2. “Harvard Lectures on Pragmatism” (1903) [Peirce 1931-1958 CP V §132].


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zación (‘superioridad e inferioridad estética’), es una de las conquistas importantes de la estética en el siglo XX, claramente prefigurada en los párrafos anteriores de Peirce. Como una forma más del ‘giro einsteinia-no’ de su filosofía, Peirce enfatiza la riqueza de la diversidad (las ‘in-numerables variedades de cualidad estética’), sin desfallecer por ello en sus intentos de reconstrucción pragmática integral de lo innumerable-mente variable. Las constantes modulaciones y modalizaciones de la arquitectónica peirceana sirven de freno para no caer en una inadecuada uniformización de tinturas. En el caso de la estética, su incesante modu-lación es particularmente acertada: unidad estética no quiere decir, en modo alguno, uniformidad. Una de las formas más significativas de la tríada peirceana es su descomposición modal. La posibilidad es primera, la actualidad segun-da, la necesidad tercera. La incorporación sistemática de los ámbitos de posibilidad en cualquier consideración es una de las grandes fortalezas metodológicas del sistema peirceano, y, en particular, de su máxima pragmática. La plena modalización de la máxima es, en el fondo, lo que distingue la riqueza del pragmati(ci)smo peirceano del pragmatismo más estático de sus sucesores. Por otro lado, el continuo peirceano, entendido como lugar sintético de enlaces, es el campo puro de la posi-bilidad: la descomposición analítica usual (‘puntos’, ‘átomos’) es com-pactada supermultitudinariamente, las unidades pierden su individuali-dad y las particularidades se ‘funden’ en lo general. La modalización amplía considerablemente el sistema peirceano y asegura la adecuada multifuncionalidad de su arquitectura. Una primera modalización básica en la lógica da lugar a otra de las tríadas peirceanas más fructíferas y originales. Una hipótesis posible es una ‘abducción’; un razonamiento contrastado en el ámbito de los hechos es una ‘inducción’;1 un razonamiento sostenido por argumentos necesarios es una ‘deducción’. La ‘lógica de la abducción’ fue una de las principales preocupaciones de Peirce, quien explicitó diversos crite-rios para tratar de controlar óptimamente la construcción de hipótesis.2 El ‘jardín abductivo’ es el espacio de la creatividad. En su análisis y síntesis de la ‘lógica de la investigación’, Peirce propone una aplicación muy interesante de la tríada abducción-

1. Este uso del término ‘inducción’ es específico en Peirce. El deslinde del término es

peirceanamente mucho más preciso que su manejo usual, donde se confunden casi siempre lo inductivo y lo abductivo.

2. Criterios estructurales de economía, simplicidad, regularidad, relevancia, limpieza, a los cuales añadía un criterio de plausibilidad, propio del refinamiento evolutivo del instinto de la especie.

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inducción-deducción. Ya que la lógica intrínseca de la complejidad es la lógica de relaciones arbitrarias, y no sólo aquella restringida a las relaciones monádicas, en el manejo de la complejidad deben aprove-charse técnicas propias de la lógica general de relaciones. Los caminos no lineales de la creación investigativa incorporan una serie de relacio-nes complejas entre colecciones de hechos, hipótesis explicativas (ab-ducción) (1), consecuencias de las hipótesis (deducción) (3) y contras-taciones entre esas consecuencias y los hechos (inducción) (2). Mien-tras más a menudo se iteren —en varios niveles recursivos de una in-vestigación— los procesos de abducción, deducción e inducción, mayor riqueza conceptual adquirirá la investigación. Este flujo combinatorio y relacional, estudiado sistemáticamente por Peirce y explicitado de nuevo seis décadas después por Einstein,1 corresponde de manera muy real a la complejidad iterativa de la investigación.

Ante el mundo de la experiencia (el ‘faneron’ F), el ser humano propo-ne hipótesis explicativas (H), deduce consecuencias parciales (C) de esas hipótesis, y contrasta esas consecuencias con el ‘faneron’, median-te todo tipo de experimentos (C’). Al terminar ese proceso, el ‘faneron’, expandido con nuevos datos y conocimientos, da lugar a posteriores teorías (1), con sus deducciones (3) e inducciones (2) propias, iterándo-se continuamente la trama del conocimiento. Cada iteración del tipo (1), (2), (3) asegura que un significativo manejo de relaciones ha sido reali-zado: correlaciones en el ‘faneron’ para generar hipótesis, combinatoria de hipótesis para generar deducciones, contrastaciones entre deduccio-nes y datos para generar experimentos.2

1. Carta a Solovine, 1952. Estudiado en detalle en: Holton 1979a. 2. El conteo de esas iteraciones (por ejemplo, mediante adecuados controles con inteli-

gencia artificial, donde la abducción se ha parcialmente formalizado; véase [Aliseda-Llera 1997a] podría ser un indicador intrínseco de la ‘complejidad relacional’ de la investigación, aún por explorar plenamente.


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La abducción central de este trabajo consiste en afirmar que la clasifi-cación peirceana de las ciencias es recursivamente permeable y que, en los procesos de osmosis, tanto las tres categorías generales peirceanas como la máxima pragmática plenamente modalizada sirven de ejes de control, direccionamiento y estructuración en las transferencias. Para completar esa abducción, la noción de iteración de un campo del saber en otro (en este ensayo, iteraciones recíprocas entre matemáticas, esté-tica y lógica) debe poder llegar a reemplazar, con un poco más de preci-sión, la noción, más vaga, de interacción entre campos del saber: la ‘adjunción iteración-desiteración’, que envía y recupera ‘información’ entre ‘entornos’ de la clasificación de las ciencias, debe poder servir de apoyo para reelaborar pragmáticamente la characteristica leibniziana. Aunque es aún prematuro, y tal vez imposible, tratar de demostrar1 plenamente2 la abducción anterior, es posible manejar analógicamente algunas de las consecuencias de la hipótesis y pasar a contrastarlas en el terreno concreto de realizaciones particulares en matemáticas, lógica y estética. Seguiremos en este trabajo la lógica de la investigación explicitada por Peirce: la abducción subyace en el fondo del ensayo, algunas de sus consecuencias se derivan localmente en capítulos sucesivos, y el todo se maneja pragmáticamente para realizar ejercicios inductivos de contrasta-ción, que amplían nuestro ‘faneron’ y que sirven de apoyo, a su vez, para fortalecer la abducción. Palomar La composición literaria más explícita y asuntivamente triádica que conocemos es el Palomar de Italo Calvino. El arbol triádico se ramifica dos veces, para un total de veintisiete cortos esbozos literarios que

1. Una tal ‘demostración’ sólo podría realizarse ‘pragmáticamente’, es decir, sub-

acotándola en contextos determinados de interpretación de la hipótesis. En cualquier caso, el ‘haz’ correspondiente de demostraciones locales requeriría sub-definir preci-samente los términos entre comillas: ‘adjunción iteración-desiteración’, ‘información’, ‘entornos’. Debe aquí mencionarse que, por otros caminos totalmente diferentes, el matemático colombiano Xavier Caicedo ha construido una ‘lógica de los haces’ (que estudia pegamientos y traslados de información), lógica intermedia entre la lógica in-tuicionista (que estudia vecindades, objetos dinámicos y conectivos de ‘iteración-desiteración’) y la lógica categórica (que estudia cubrimientos y óptimos acercamien-tos: adjunciones). Ver sección 2.3.

2. Pruebas ‘plenas’ requerirían, también, que se extendiera tridimensionalmente la clasifi-cación peirceana de las ciencias (ampliando el esquema bidimensional de la p. 31). En efecto, ya que la iteración está lógicamente direccionada (siguiendo las pautas de los gráficos existenciales, procede de lo ‘menos’ a lo ‘más’ complejo), sólo con planos oblicuos desde ‘niveles de complejidad’ diversos podrían realizarse iteraciones recí-procas entre campos del saber.

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pretenden evocar la complejidad recursiva del mundo. En palabras de Calvino,

Las cifras 1, 2, 3, que numeran los títulos del índice, estén en primera, segunda o tercera posición, no tienen sólo un valor ordinal, sino que co-rresponden a tres áreas temáticas, a tres tipos de experiencia y de inter-rogación que, en diversas proporciones, están presentes en cada parte del libro. El 1 corresponde generalmente a una experiencia visual, que tiene casi siempre por objeto formas de la naturaleza: el texto tiende a confi-gurarse como una descripción. En el 2 están presentes elementos antropológicos, culturales en senti-do lato, y la experiencia implica, además de los datos visuales, también el lenguaje, los significados, los símbolos. El texto tiende a desarrollarse en relato. El 3 refiere experiencias de tipo más especulativo, relativas al cos-mos, al tiempo, al infinito, a las relaciones entre el yo y el mundo, a las dimensiones de la mente. Del ámbito de la descripción y del relato se pasa al de la meditación [Calvino 1997a, 9].

Aunque el 1, el 2 y el 3 de Calvino no corresponden exactamente a la tríada categorial peirceana, sí se encuentran muchas correspondencias interesantes. La ‘experiencia visual’ es la inmediatez peirceana, es la visión ‘fresca’ de lo natural allende el hombre, que puede verse como una primeridad. El hecho de que esa visión pase luego a ser descrita la aleja de una primeridad supuestamente ‘pura’,1 pero puede observarse que, en la escala de formas literarias que Calvino usa en la composición (descripción, relato, meditación), la descripción ocupa un lugar relativo primero (en el sentido peirceano), el relato un lugar segundo y la medi-tación un lugar tercero. La ‘descripción’ delinea algo y lo representa parcialmente, pero no entra a hacerlo reaccionar dentro de la obra litera-ria; de alguna manera, la descripción es como un hilo colgante, aún ‘libre’, que puede yacer en la primeridad: no es movido por el viento de la composición ni se entrelaza, en primera instancia, con la urdimbre de la obra. El ‘relato’ coliga la acción-reacción, como su mismo nombre lo indica: hace la relación de algún suceso (segundidad). Finalmente, la ‘meditación’ es una de las formas privilegiadas de la mediación (terce-ridad). El 3 de Calvino, el ámbito especulativo del cosmos, recae directa-mente dentro de la terceridad peirceana. En el ‘numeral’ 2, en cambio,

1. Como lo hemos señalado, las categorías se encuentran siempre entrelazadas. Una

categoría en estado ‘puro’ parece ser incomprensible. Sin embargo, un estado de cosas (en realidad, un estado de correlaciones) puede tender a situarse en una configuración categorial donde se enfatice consistentemente, en muchos niveles principales de corre-lación, una categoría específica.


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es donde se separan más claramente la intuición estética de Calvino y la categorización arquitectónica de Peirce. La cultura, el lenguaje y los símbolos son terceridades peirceanas, dentro del contexto de lo huma-no, mientras que en Calvino aparecen rotuladas bajo el ‘2’. De nuevo, el desfase puede entenderse mejor, si se mira relativamente la escala de Calvino: naturaleza humanidad cosmos inmediata mediato descripción relato meditación 1 2 3 Entre la naturaleza inmediata y el cosmos mediato, el lugar conjunto de la humanidad puede verse como un lugar segundo, donde acciona y reacciona la naturaleza ‘en bruto’ —el caos: primero— antes de verse transformada en un ‘todo ordenado’ —el cosmos: tercero—. Los ‘tres tipos de experiencia y de interrogación que, en diversas proporciones, están presentes en cada parte del libro’ nos recuerdan el entreveramiento, imposible de desatar, de las categorías peirceanas. En cada parte se encuentra la tríada; sólo las diversas proporciones son las que permiten detectar una dominancia tonal. La recursiva modulación de la tríada da lugar al ‘colorido’ de la composición. El lógos relacional general que subyace a la combinatoria de signos matemáticos, plásticos y lógicos permite entender unitariamente el sentido de la belleza:

De todas las ciencias —al menos de aquellas cuya realidad nadie discu-te— la matemática es la que trata con relaciones en su forma más abs-tracta; y nunca las trata si no están encarnadas en un diagrama o en una construcción, geométrica o algebraica. El estudio matemático de una construcción consiste en experimentar con ella; después de un número dado de experimentos, sus resultados separados se unen de repente en una regla, y nuestra conciencia inmediata de esa regla es nuestro discer-nimiento de la relación. Es una fuerte sensación secundaria, como el sentido de la belleza [Peirce 1975a I, 73].

En el entramado triádico de Palomar, la ‘conciencia inmediata’ de las reglas que recorren la escritura es patente desde la misma apertura del texto. De entrada, el lector se ve enfrentado al ‘sentido de la belleza’, y

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es capaz de intuir rápidamente la riqueza de ‘lo múltiple dentro de lo uno’. Al recorrer posteriormente las diversas articulaciones1 del tingla-do relacional, el lector busca ecos y contrapuntos armónicos. Lo revela-do explícitamente en el portal es luego ‘escondido’ por el autor y muy finamente modulado en la trama del texto. En lo que sigue, estaremos atentos a encontrar modulaciones simila-res en el estudio de nueve cruces entre realizaciones estéticas latinoa-mericanas (música, literatura, artes plásticas) y realizaciones de la lógica matemática en el siglo XX. Los estudios de caso tratan de deve-lar lo implícito, lo integral detrás de lo diferencial. A diferencia del portal de Palomar, el estudio de esos cruces requiere una labor prelimi-nar de explicitación crítica, antes de que pueda intuirse unitariamente el ‘sentido de la belleza’ que allí subyace.

1. A lo largo de algunos de los capítulos siguientes, estudiaremos algunos ejemplos

concretos e ilustrativos de la articulación triádica de Palomar, en contrapunteo con los estudios de caso, propios de este trabajo, que se irán realizando sistemáticamente.


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1.1 Villa-Lobos y Kripke: Modulaciones y modalizaciones ‘Modo’ —del latín modus: manera, forma— es, en sentido amplio, ‘cualquiera de los resultados de la combinación de los accidentes de una cosa variable que la hace diferente en cada caso’ [Moliner 1989a II, 431]. Más allá de las dificultades evidentes que presenta toda acotación de diccionario, la definición anterior sirve para resaltar el vaivén fun-damental de lo modal: variación y diferencia como resultados de una combinatoria, contrapuestas a permanencia y unidad como ejes de anclaje de la combinatoria. estabilidad Modos variabilidad integralidad diferenciabilidad Lo ‘uno’ Lo ‘múltiple’ Combinatoria La noción amplia de modus da lugar, en música, a diversas acepciones donde dialogan formas ‘generales’ y ‘variaciones’ de esas formas. Además de los modos ‘mayor’ y ‘menor’, que denotan características generales de todas las escalas mayores y menores, capaces de ser uni-versalmente transpuestas a cualquier clave, dos subdefiniciones musi-cales del modus nos serán útiles aquí: la ‘modalidad’, entendida como conjunto de formaciones armónicas y melódicas basadas en los ‘modos’ eclesiásticos medievales,1 y la ‘modulación’, entendida como cambio y variación de clave a lo largo de una composición musical.

1. Los modos eclesiásticos medievales conforman un sistema de escalas, consistente cada

una de los tonos ‘diatónicos’ básicos (teclas blancas del piano), comenzando en re, mi, fa y sol, y limitada cada una al rango de una octava. La modalidad es reemplazada en el siglo XVII por la ‘tonalidad’, sistema de todas las claves mayores y menores (rango completo de todas las teclas del piano). El regreso a formaciones modales es particu-larmente vivo en la música del siglo XX (Debussy, Sibelius, etc.). Estudiaremos luego algunos aspectos modales de la música de Villa-Lobos, en el preciso sentido de lo mo-dal aquí señalado.

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Por otro lado, el modus da lugar, en lógica y en metafísica, al estu-dio general de la variabilidad del ‘ser’. Las tres modalidades lógicas fundamentales —posibilidad, actualidad, necesidad— y las tres ‘tintu-ras’ o modos fundamentales del ‘faneron’ —primeridad, segundidad, terceridad— sirven para componer, descomponer y recomponer la variabilidad del conocimiento y de los fenómenos. Introducimos en este ensayo la noción de ‘modulación’ en el faneron, entendida como cam-bio y variación de una subramificación dada1 de las categorías peircea-nas a lo largo de una composición epistémica.2 Las modulaciones en el espacio arborescente de las categorías peirceanas constituyen una de las herramientas fundamentales de este trabajo. Con suficientes iteraciones y deslizamientos espera construirse la sensación de una modulación continua, que, si bien es necesariamente ilusoria en el ámbito discreto de la modelización, pueda sin embargo evocar el continuo real de la cultura. Diversos aspectos de la obra de Heitor Villa-Lobos (Brasil, 1887-1959) ganan al ser situados en la primeridad peirceana. Obra a menudo ‘suelta’, mucho más cercana a la improvisación inmediata que a la síntesis mediata, ha sido vista como una obra de infinidad de columnas aisladas, sin una armazón general que las entrave:

A pesar de lo interesantes y fascinantes que pueden ser muchas de sus composiciones, se encuentra en ellas una extraña ausencia de crecimiento natural; no maduran como el hombre lo hace en la vida. Sus mejores obras no se construyen sobre su música previa. No son las cimas de una cadena montañosa, sino más bien columnas aisladas que se elevan sobre el trasfondo de composiciones menos individuales. Aunque pueden verse como la culminación de su esfuerzo artístico, permanecen aisladas y no entrelazadas como los anillos de una cadena [Peppercorn 1992a, 17].

Al escuchar la música de Villa-Lobos, y al entrar posteriormente a analizarla, es difícil definir con plena certeza si el ‘caos’, la ‘improvisa-ción’ y la ‘multiformidad’ de sus obras son sólo aparentes o más bien intencionales, en toda la diversidad de su espectro musical (un prolífico rango sólo comparable al de Bach, con más de mil composiciones en cada caso). Entre las posiciones extremas de los musicólogos Pepper-

1. Por ejemplo, la subramificación (o ‘clave’) 2.2.1.1.1. (o 2.2.3.1.1). En todo lo que

sigue, puede anteponerse un implícito 2.2.1 (o un 2.2.3) (véase la clasificación peirceana de las ciencias, p. 31) ante cada una de las secciones del ensayo. Se eliminan las ramificaciones excesivas para mayor comodidad (en el fondo, una “de-construcción” del contexto del dis-curso puede siempre volver a explicitarlas a voluntad).

2. Episteme: conocimiento. Una “composición epistémica” es un intento estructurado de comprensión del mundo.


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corn (que ‘revela un deseo de tornar racional un fenómeno que es tal vez básicamente irracional de acuerdo a la lógica de un Europeo’) y Andrade Muricy (que señala que la ‘suma libertad creativa [de Villa-Lobos] impide todo comentario y observación desde lo alto acerca de sus obras, caracterizadas por un caos aparente y una rara habilidad para improvisar que se superponen a cualquier estructuración lógica’), se sitúa la posición intermedia de Tarasti, cuyo libro sobre Villa-Lobos [Tarasti 1995a] puede tal vez considerarse como la exposición más completa y balanceada de la obra del compositor brasileño. Tarasti es sensible al polimorfismo de Villa-Lobos pero, en vez de dejarlo sumer-gido en un ‘caos’ aparente, lo explica como resultado de un mixto de ‘pluralismo’, ‘entropía’ y ‘redundancias’ maximales [Tarasti 1995a 115, 125], que pueden servir para caracterizarlo adecuadamente. Los Choros, unánimente considerados como las formas de compo-sición más originales de Villa-Lobos, son altas estilizaciones de contra-puntos libres, ágiles improvisaciones y novedosos logros técnicos, puestos al servicio de la ‘noche’ y el ‘sentimiento’. Según el mismo Villa-Lobos,1

El Choros representa una nueva forma de composición musical en la cual diferentes modalidades de la música brasileña indígena y popular son sintetizadas, y cuyos principales elementos son el ritmo y alguna melodía típica de raigambre popular, que aparece de vez en cuando en la obra, siempre modificada de acuerdo a la personalidad del composi-tor. Los procedimientos armónicos, también, son casi una completa estilización de los originales. El término ‘serenata’ puede dar una idea aproximada de lo que ‘choros’ significa.

En una intervención en uno de sus conciertos en París,2 Villa-Lobos enfatizaba el carácter ‘libre’ y ‘nocturno’ del Choros, pero señalaba a su vez su desarrollo lógico pero no escolástico.3 Este apunte de Villa-Lobos es, para nuestros propósitos, de una importancia cardinal. En efecto, los Choros sí pueden (y, en realidad, deben) verse como evolu-cionando lógicamente, desde la idiomática serenata para guitarra sola (Choros 1), hasta las últimas dos grandes simultáneas orquestales (Cho-ros 11 y 12), pasando por diversas etapas intermedias de música de cámara (con el lugar privilegiado de las ‘síntesis’ para vientos: Choros 3 y 4). La especificidad de ese desarrollo consiste en que se trata de una

1. H. Villa-Lobos, prefacio a la partitura del Choros No.3 [Tarasti 1995a, 87]. 2. Théâtre des Champs-Elysées, 1958. Grabado en “Villa-Lobos par lui-même”, Paris:

EMI, 1991, disco compacto 5.4. 3. “[...] libre contrepoint, logique mais non scolastique [...]”, “[...] developpement [du

choros] tout à fait logique [...]”. [Ibid].

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evolución guiada por una lógica no clásica, no escolástica: una lógica de la simultaneidad que conjuga progresivamente los timbres y ritmos más diversos y contrastantes,1 hasta transferir realmente al oyente ‘poli-ritmos’, ‘politimbres’ y ‘politécnicas’ de un gran virtuosismo. Los Choros son formas de entonaciones, acentos y giros, cercanas a lo que Carpentier encontraba como específicamente diferente en la música latinoamericana:

Estilos debidos, más que nada, a la inflexión peculiar, al acento, al giro, el lirismo, venidos de adentro —factores éstos, mucho más importantes que el material melódico en sí [...] Los contextos de ejecución eran, en realidad, lo verdaderamente importante [Carpentier 1977a, 18].

En la partitura del Choros 11, Villa-Lobos mismo menciona las modu-laçoes imprevistas e estranhas como una de las características genera-les de su estilo [Tarasti 1995a, 138]. Los giros y acentos inesperados, las entonaciones improvisadas, las modulaciones extrañas, son todos elementos de inmediatez y primeridad que son sentidos nítidamente por el oyente al enfrentarse a la música de Villa-Lobos. Combinando maximalidad, simultaneidad, extrañamiento y modulación, puede des-cribirse apropiadamente el estilo de Villa-Lobos. La supuesta contra-dicción entre ‘caos’ y ‘razón’ en la que se debaten algunos intérpretes de su música puede ser perfectamente resuelta al exhibir una lógica extendida que englobe los cuatro elementos señalados, y al mostrar que la incoherencia es sólo aparente bajo los lineamientos de la lógica ex-tendida. En un sentido pragmático, los elementos constitutivos de esa lógica tienen que yacer en el contexto mismo de los Choros. Pasamos a 1. Según Tarasti, “la verdad de Villa-Lobos —como la del Brasil— yace en el paradigma,

la simultaneidad de varios elementos paralelos y contrastantes. Villa-Lobos pertenece a los grandes simultaneistas de la música, tal vez sólo igualado por Charles Ives. Por otro lado, su técnica compositiva es impulsiva e intuitiva y esto explica la completa asime-tría de su pensamiento formal”. [Tarasti 1995a, 149]. Las lógicas ‘paraconsistentes’, desarrolladas en la escuela de Newton Da Costa, en el Brasil, lógicas que permiten estudiar contradicciones simultáneas sin trivializar lógicamente el sistema, sirven tam-bién de contrapunto a la ‘simultaneidad’ de los elementos contrastantes, típica de Villa-Lobos. Al concentrarse en la ‘simultaneidad de los opuestos’, varias correlaciones de interés pueden encontrarse entre Villa-Lobos y Da Costa. Sin embargo, hemos querido por ahora enfatizar aspectos modales de la primeridad en Villa-Lobos (inmediatez, improvisación, caos aparente, entonaciones y modulaciones inesperadas), ya que los aspectos de la simultaneidad propios de las lógicas paraconsistentes encuentran otro reflejo muy apropiado en las construcciones de Pedro Páramo (ver sección 1.3). De manera similar, las lógicas ‘polivalentes’ encuentran reflejos naturales en la ‘poli-música’ de Villa-Lobos, pero creemos que su polivalencia semántica se encuentra aún mejor refleja-da en la ‘indeterminación’ narrativa de Onetti (ver sección 2.2). En general, diversos timbres y configuraciones recorren transversalmente todo este ensayo, pero debe decidirse privilegiar en algunos momentos un énfasis en detrimento de otros.


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examinar más detenidamente el Choros 11 para tratar de detectar, en la obra misma, la encarnación de ‘signos triádicos’ peirceanos y para luego, en un transvase peirceano hacia lo ‘general’, tratar de acotar la lógica propia de los Choros. El Choros 11, obra amplia en el registro orquestal y la más extensa de Villa-Lobos en su duración,1 es una suerte de ‘gran’ concierto para piano2 en la tradición romántica donde se intercambian los énfasis tonales del XIX con las secuencialidades rítmicas y las simultaneidades tímbricas propias de Villa-Lobos. El primero de los tres grandes movi-mientos del Choros tiene muchas de las características de la “rapsodia” —del griego: canto fragmentario—: despliega en fantasía libre y frag-mentariamente un ancho abanico de motivos diversos, basándose en un muy rico colorido orquestal y en constantes modulaciones o intercam-bios de tonalidad. Las formas son, desde el mismo comienzo, maxi-malmente trabajadas (catorce motivos en el primer movimiento,3 la mitad de todos los motivos distinguibles en el Choros) y se combinan sensaciones de simultaneidad (múltiples timbres en cada compás) con sensaciones de extrañamiento (máximo contraste entre elementos adya-centes). El tercer movimiento puede verse como una concreción pecu-liar del ‘crecimiento continuo de la potencialidad’ (el ‘ideal general’ peirceano): sobre el fondo continuo de un cantabile (cuerdas), las pri-meras entradas y deslices de flautas y oboes son elementos icónicos, signos primeros (aún ‘sueltos’) de algo más que está por desarrollarse; luego, después de la primera entrada del piano, que sirve de hondo filtro catalizador, los íconos musicales entran a reaccionar con los demás vientos (saxos, cornos, trompetas, trombones), pasando a convertirse en índices reales de toda la complejidad de la pieza; se concluye en un final unitario donde brevemente, pero con toda la potencialidad de símbolos plenos (pleno ‘horizonte’ orquestal, gran ‘fresco’ musical), se interconectan todos los llamados y contrapuntos de la orquesta. En ese tercer movimiento del Choros, la secuencialidad evolutiva de los signos y el progresivo enriquecimiento de sus potencialidades (‘me-tamorfosis’ de íconos a índices y de índices a símbolos) son muy cla-ramente distinguibles gracias a las mismas características musicales de fondo que hemos resaltado en los Choros: maximalidad, simultaneidad, extrañamiento y modulación. En efecto, en una primera instancia, el extrañamiento produce el aislamiento (iconicidad: primeridad) de los 1. Sesenta y tres minutos en una grabación dirigida por el propio Villa-Lobos (1958). 2. Entrelazado, según Villa-Lobos, con diversas figuras y formas complementarias:

poema sinfónico, sinfonía, rapsodia, serenata, fantasía. [Tarasti 1995a, 130]. 3. Descripción analítica del Choros 11 según Tarasti. [1995a, 131-133].

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instrumentos y de sus diversas entradas, aunque modulaciones sucesi-vas permitan luego superar esas primeras fronteras artificiales; en se-gunda instancia, la simultaneidad (rítmica, tímbrica, temática) produce la contraposición (indicatividad: segundidad) y el contraste orquestal; en tercera instancia, la maximalidad produce la plena compleción de los signos (simbolización: terceridad) y da lugar al estilo ‘mixto’ peculiar de Villa-Lobos. Si la predominancia, en su música, puede verse como una predominancia de la primeridad (elementos de improvisación, extrañamiento, caos aparente; juego constante con íconos musicales), es claro también que diversas sub-variedades híbridas de lo primero se acoplan más ajustadamente a un análisis de su obra. Así, en el registro de contraposiciones y resoluciones intermedias entre estética y lógica que proponemos en este ensayo, resulta natural el que abordemos ahora un estudio lógico de diversas ‘hibridaciones de lo modal’. Como veremos también al final de esta sección, el estudio lógico de un tal sistema de modalidades no sólo puede entenderse como contraparte natural del sistema musical de Villa-Lobos sino que puede, a su vez, reutilizarse pragmáticamente para discernir otros aspectos peculiares de hibridación en su música. Saul Kripke (Estados Unidos, 1940) sistematiza modernamente una semántica general para la lógica proposicional modal, dándole un senti-do preciso a las ideas medievales, recuperadas por Leibniz, de que algo es necesario (■) si vale en todos los ‘mundos posibles’ y de que algo es posible (♦) si vale en alguno de esos mundos. Si se localizan esas ideas y se correlacionan contextualmente, se llega a un fundamental matiz modal que enfatizaría Leibniz: algo es necesario en un mundo dado si vale en todos sus ‘mundos composibles’ (y posible si vale en alguno de los composibles). Cuando se observa que la composibilidad puede formalizarse mediante una relación de ‘accesibilidad’ entre mundos, nos encontramos directamente ante el portal de los ‘modelos de Kripke’ para la lógica modal, tal como Kripke los describiría en 1959:

Un marco modal es un par (M,R), donde M en un conjunto cualquiera no vacío (entendido intuitivamente como una colección arbitraria de ‘mundos posibles’) y R es una relación cualquiera sobre M (entendida como una relación arbitraria de ‘accesibilidad’ entre los mundos). Un modelo modal es una tripla M = (M,R,K) donde (M,R) es un marco mo-dal y K es una asignación que, a cada mundo posible m, le hace corres-ponder una colección de letras proposicionales K(m) (entendidas como las ‘verdades’ elementales que valen en el mundo m). Recursivamente sobre la armazón del lenguaje de las fórmulas modales, se define luego la noción general de validez de una fórmula arbitraria en el modelo:


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Generalizando crecientemente, se obtienen las nociones de validez mo-dal en un modelo dado (en caso de que la fórmula valga en todos los mundos de ese modelo), y validez en un marco dado (en caso de que la fórmula valga en todos los modelos sobre ese marco: para cualquier asignación K). Ejemplos:

p → ◊ p es falsa en el modelo p

•

La notación compacta del dibujo codifica los siguientes datos: M posee dos mundos (llamémoslos m al primero y n al segundo), m accede a sí mismo y a n, la verdad p vale en m y nada vale en n. La fórmula en cuestión no vale en m puesto que allí p es posible pero no necesaria (si lo fuera, tendría que valer también el el mundo n, accesible desde m). Esto puede interpretarse diciendo que “si el universo admite variación, las modalidades no se trivializan”.

La notación compacta del dibujo codifica los siguientes datos: M posee un solo mundo (llamémoslo m), m no accede a sí mismo y p vale en él. La fórmula en cuestión no vale en m puesto que allí p es necesaria (vale “trivialmente” en todos los mundos accesibles desde m ya que senci-llamente no existen tales mundos) pero p no es posible (no existe nin-gún mundo accesible desde m donde valga p). Esto puede interpretarse diciendo que “en un universo inaccesible, la modalidad se disgrega”.

Muy rápidamente puede verse entonces cómo la necesidad y la posibi-lidad son plenamente independientes, en general, puesto que ninguna de las dos modalidades implica a la otra. La idea común de que lo necesa-rio es posible, por ejemplo, es falsada en el elementalísimo segundo modelo de Kripke de la página precedente: no puede ser, por lo tanto, una idea universal, y su validez depende de ciertos contextos específi-cos (veremos más adelante que se puede explicitar con precisión cuáles son esos contextos). En general, puede intuirse así que el registro de modalidades es amplísimo (todas las combinaciones de lo necesario (Ш), lo posible (◊) y lo actual (-): por ejemplo, lo necesariamente posi-ble (Ш◊), lo posiblemente necesario (◊Ш), lo posiblemente posible (◊◊), lo posiblemente necesariamente posible (◊Ш◊), etc.) y que la gran variedad de sus matices no puede ser reducida en general (aunque, en contextos específicos, sí pueden encontrarse jerarquías y reducibilida-

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des). Esta situación gana al ‘leerse’ bajo el prisma de la máxima prag-mática: aunque las tres modalidades básicas (Ш, ◊, -) son, en lo general peirceano, independientes, sus combinaciones sirven para reconstruir integralmente el ‘faneron’ de lo modal, así como, en ciertos contextos específicos, sus correlaciones ‘rígidas’ dan lugar a jerarquías contrasta-bles y sub-clasificables. De manera similar, si se ven las modalidades como encarnación de los ‘signos de maravillosa comodidad’ leibnizia-nos, se percibe el doble juego peculiar de la combinatoria modal: ancho espectro de variación, al expandirse la combinatoria, contrapuesto a pocos ‘tensores de estructura’, al contraerse la combinatoria. Los modelos de Kripke permiten desplegar la variabilidad y el extrañamiento. Como lo indica el primer modelo de Kripke de la página precedente, la variabilidad del mundo y la no trivialización de las modalidades se encuentran estrechamente ligadas. Similarmente, el segundo modelo de Kripke señala que el extrañamiento (la inaccesibili-dad) se interrelaciona con la disgregación caótica de lo modal. En muchos otros casos, toda una panoplia de modelos de Kripke ayuda a codificar muy sucintamente, con ‘maravillosa comodidad’, el ancho registro de las posibilidades. La lógica de los ámbitos de lo posible, la lógica modal, es un elaborado y complejo retículo de infinitos cálculos modales intermedios que van sub-acotando parcialmente dominios específicos de la modalidad.1 La infinita subdivisión de aspectos de la primeridad peirceana (ámbitos de posibilidad), así obtenida, es de un enorme interés. Como los timbres y tinturas de lo modal (recuérdense las categorías peirceanas como ‘tinturas’, así como el cálculo de tinturas de los gráficos existenciales gama) se ven constantemente reflejados en los timbres y las tinturas de la estética, la infinita variabilidad controlable de lo modal debe poder dar lugar a una controlabilidad, si no plena al menos posible, de la estética. Es lo que, en buena medida, tratamos de realizar en este ensayo.

1. El mejor compendio actual sobre la lógica modal es: [Chagrov 1997a]. Se trata de una

monografía técnica pero en la cual puede vislumbrarse el inmenso respiro que ha ad-quirido la lógica modal en la segunda mitad del siglo XX. Para diversos comentarios históricos y filosóficos de fondo sobre el desarrollo de la lógica modal, véase [Mangio-ne 1993a]. La Storia de Mangione es, de lejos, la mejor historia disponible de la lógica matemática contemporánea. El núcleo del texto de Mangione se encuentra en las diver-sas secciones sobre lógica que redactó para la Historia del pensamiento filosófico y científico coordinada por Ludovico Geymonat (se cuenta en español con la traducción de los tres volúmenes sobre el siglo XX, donde pueden verse —dispersos— los aportes principales de Mangione: [Geymonat 1985a]. En la enorme (959 pp.) monografía de Mangione, puesta al día con Bozzi, pueden encontrarse muchos complementos a nues-tras muy rápidas presentaciones de aspectos de la lógica en el siglo XX.


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Una de las características más deseables en un sistema lógico es poder contar con una muy estrecha simbiosis entre leyes sintácticas (axio-mas/deducciones) y propiedades representativas de la semántica: se tienen así instancias de teoremas de completitud. En los teoremas loca-les de completitud para los cálculos modales, un uso de modelos de Kripke ‘maximales’ sirve para conseguir caracterizar el tipo de marcos en los que valen ciertas leyes modales. Para un marco modal (M,R) tenemos, por ejemplo: De esta manera, ciertas ‘modulaciones’ mismas de la modalidad subya-cen a un muy preciso vaivén de información entre los diversos mundos posibles, y muchos presupuestos epistemológicos sobre la ‘accesibili-dad’ del conocimiento no pueden hacerse en balde: de las caracteriza-ciones anteriores se deduce,1 por ejemplo, que hablar de que ‘lo necesa-rio es posible’ requiere situarse en contextos donde todo mundo siem-pre accede a algún otro, y que hablar de que ‘lo necesario es’ requiere situarse en contextos donde todo mundo siempre accede a sí mismo. Vemos así que hay una lógica ‘profunda’ que sostiene las combinato-rias de lo modal, que no permite desligar arbitrariamente ‘coyuntura’ y ‘estructura’, honda placa subterránea comparable con el tiempo de la ‘larga duración’ que subyace al registro combinatorio de las ‘tempora-lidades’ de la historia según la escuela de los Annales. La primeridad (posibilidad), la segundidad (actualidad) y la terceri-dad (necesidad) peirceanas sirven para construir las urdimbres de lo modal, y pueden verse también como instancias de elucidación en urdimbres de la estética. En otro texto brillante de musicología [Tarasti 1994a, 335-348], alejado de su monografía sobre Villa-Lobos, Tarasti llama la atención sobre cómo, en La búsqueda del tiempo perdido, la progresiva apropiación de Swann de la ‘frase de Vinteuil’ puede leerse muy apropiadamente al situarse en la escala categorial peirceana. La 1. Las meta-deducciones son locales, restringidas al meta-contexto de los modelos de

Kripke. Sin embargo, las restricciones y los requerimientos que se obtienen en el meta-contexto de los modelos de Kripke se extienden a fortiori a la existencia de obstruc-ciones en meta-contextos más generales.

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primeridad es particularmente nítida en el primer encuentro de Swann con la sonata de Vinteuil:

À un moment donné, sans pouvoir nettement distinguer un contour, donner un nom à ce qui lui plaisait, charmé tout d’un coup, il avait cherché à recueillir la phrase ou l’harmonie —il ne savait lui même— qui passait et qui lui avait ouvert plus largement l’âme, comme certai-nes odeurs de roses circulant dans l’air humide du soir ont la propieté de dilater nos narines. Peut-être est-ce parce qu’il ne savait pas la musi-que qu’il avait pu éprouver une impression aussi confuse, une de ces impressions qui sont peut-être pourtant les seules purement musicales, inétendues, entièrement originales, irréductibles à tout autre ordre d’impressions. Une impression de ce genre, pendant un instant, est pour ainsi dire sine materia [Proust 1987a I, 205-206].

La impresión instantánea, inmediata, ‘sin materia’, ‘sin extensión’, ‘sin contorno’, es la impresión icónica dentro de la primeridad peirceana. Impresión intensa, no puede durar, sin embargo, en el tiempo ya que se convierte en segundidad, cuando empieza a accionar y reaccionar en la mente del oyente, después de cruzar una frontera híbrida donde se ‘funden’ lo primero y lo segundo:

Sans doute les notes que nous entendons alors, tendent déjà, selon leur hauteur et leur quantité, à couvrir devant nos yeux des surfaces de di-mensions variées, à tracer des arabesques, à nous donner des sensations de largeur, de ténuité, de stabilité, de caprice. Mais les notes sont éva-nouies avant que ces sensations soient assez formées en nous pour ne pas être submergées par celles qu’éveillent déjà les notes suivantes ou même simultanées. Et cette impression continuerait à envelopper de sa liquidité et de son ‘fondu’ les motifs qui par instants en émergent, à peine discernables, pour plonger aussitôt et disparaître, connus seule-ment par le plaisir particulier qu’ils donnent, impossibles à décrire, à se rappeler, à nommer, ineffables — si la memoire, comme un ouvrier qui travaille à établir des fondations durables au milieu des flots, en fabri-quant pour nous des fac-similés de ces phrases fugitives, ne nous per-mettait de les comparer à celles qui leur succèdent et de les différencier. Ainsi à peine la sensation délicieuse que Swann avait ressentie était-elle expirée, que sa memoire lui en avait fourni séance tenante une transcription sommaire et provisoire, mais sur laquelle il avait jeté les yeux tandis que le morceau continuait, si bien que, quand la même impression était tout d’un coup revenue, elle n’était déjà plus insaisissa-ble. Il s’en representait l’étendue, les groupements symétriques, la graphie, la valeur expressive; il avait devant lui cette chose qui n’est plus de la musique pure, qui est du dessin, de l’architecture, de la pensée, et qui permet de se rappeler la musique [Proust 1987a I, 206].

Gracias a los ‘facsímiles’ que se construyen en la memoria, índices donde va ‘anclándose’ la sensibilidad, pueden accionar y reaccionar las primeras impresiones, comparándose, distinguiéndose, contrastándose, adquiriendo ‘extensión’. Empieza a elevarse así una arquitectura de


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correlaciones, que alcanza su pleno contenido simbólico —terceridad— cuando la frase de Vinteuil se convierte en signo mediador del amor de Swann por Odette:

La petite phrase continuait à s’associer pour Swann à l’amour qu’il avait pour Odette. [...]. La petite phrase, dès qu’il l’entendait, savait rendre libre en lui l’espace qui pour elle était nécessaire, les proportions de l’âme de Swann s’en trouvaient changées; une marge y était réservée à une jouissance qui elle non plus ne correspondait à aucun objet exté-rieur et qui pourtant, au lieu d’être purement individuelle comme celle de l’amour, s’imposait à Swann comme une réalité supérieure aux cho-ses concrètes. [...]. En sa petite phrase, quoiqu’elle présentât à la raison une surface obscure, on sentait un contenu si consistant, si explicite, auquel elle donnait une force si nouvelle, si originale, que ceux qui l’avaient enten-due la conservaient en eux de plain-pied avec les idées de l’intelligence. [...]. Par là, la phrase de Vinteuil avait, comme tel thème de Tristan par exemple, qui nous représente aussi une certaine acquisition sentimenta-le, épousé notre condition mortelle, pris quelque chose d’humain qui était assez touchant. Son sort était lié à l’avenir, à la réalité de notre âme dont elle était un des ornements les plus particuliers, les mieux diffe-renciés [Proust 1987a I, 233-244].

Para Proust, la frase de Vinteuil, como símbolo del amor, entra en una ‘realidad superior’, trasciende lo puramente indicial —lo individual y lo sentimental—, y se liga con el porvenir. Esto concuerda perfectamente con Peirce, para quien la terceridad se encuentra orientada hacia el futuro y permite pasar de lo particular a lo general, ‘fundiendo’ progre-sivamente los elementos diferenciales de la segundidad en una terceri-dad genuina: la continuidad de lo real. La sección 1.1 de Palomar se subdivide en los apartados 1.1.1: ‘Lectura de una ola’, 1.1.2: ‘El pecho desnudo’ y 1.1.3: ‘La espada del sol’. Se trata de las visiones ‘singulares’ [Calvino 1997a, 15], primeras (aún no reactivas ni mediatizadas), de una ola, de los senos desnudos de una bañista y de una franja de sol sobre el mar. Calvino intenta recons-truir la frescura de una mirada ingenua, absorta ante la singularidad de cada hecho, aislada de otras consideraciones. El extrañamiento de las situaciones, su claro deslinde y escisión, recuerdan el aislamiento de los instrumentos en Villa-Lobos y la contraposición de armónicos diversos en un mismo compás. A su vez, el extrañamiento es el mismo que el de los modelos de Kripke sobre marcos no reflexivos, donde lo necesario se separa de lo actual y lo actual de lo posible: en el mismo modelo pueden contraponerse las más diversas modalidades, sin lazos de domi-nancia. Se trata, también, de las impresiones instantáneas de Swann ante las primeras frases de la sonata de Vinteuil, fuera de la ‘extensión’ del espacio y del tiempo.

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La ‘inextensibilidad’ potencial de la música de Villa-Lobos y de los modelos de Kripke es una de sus mayores características comunes. Reflejo de instantes privilegiados de improvisación, la música de Villa-Lobos es una música que no se extiende en el tiempo, que alcanza sus mejores momentos con la sorpresa tímbrica o el vaivén rítmico, cortan-do y desgajando la perduración del movimiento musical. Esto se refleja también en la múltiple modulación de su obra, que no vuelve nunca a repetir un tema de la misma manera y que no le otorga al oyente la repetición necesaria para desplegar (extender en el tiempo) un motivo dado. Similarmente, los modelos de Kripke no sirven para ‘extender’ lógicamente un concepto, sino para modularlo intensionalmente: mien-tras la extensión es una herramienta típica de la teoría clásica de conjuntos, la intensión se encuentra, en cambio, mucho más cercana de la modalidad y del intuicionismo,1 por lo tanto de los modelos de Krip-ke.

2 En diversos lugares de su obra, Villa-Lobos regresa a los modos eclesiásticos medievales como recurso para enfatizar una inestabilidad tonal que se conjuga de forma natural con algunas de las características de su música (simultaneidad, extrañamiento). Cinco apariciones de los modos medievales en el Choros 11, por ejemplo, o la guía consistente de un cantus firmus en el andante de su primer concierto para piano [Tarasti 1995a, 131-133, 343], sirven para yuxtaponer —sin artificios— diversos motivos musicales: en tonalidades donde la dominancia des-aparece puede realmente hacerse sentir un equilibrio natural entre ar-mónicos contrastantes, cosa que no podría hacerse sino forzadamente en un fragmento con una tonalidad claramente marcada. Por otro lado, como hemos visto, las modalidades sin dominancia (sin correlaciones de implicación en la combinatoria de los operadores modales) corres-ponden, en el contexto de los modelos de Kripke, a clases de marcos con relaciones subyacentes completamente arbitrarias, plenamente

1. El principio de abstracción de Frege postulaba una equivalencia plena entre extensión e

intensión. La famosa ‘paradoja de Russell’ (consideración de la clase de las clases que no se pertenecen a sí mismas) mostró que no podía existir una plena simetría entre ex-tensión e intensión (como ya lo habían intuido Leibniz y Peirce). El desequilibrio natu-ral entre extensión e intensión se tornó luego en uno de los factores cruciales que im-pulsaron el desarrollo exponencial de la lógica en el siglo XX. Mientras la lógica clási-ca, adecuadamente ligada a la teoría de conjuntos, puede verse como el gran bastión moderno de lo extensional, las lógicas alternativas —particularmente la lógica intui-cionista, así como sus (sub)fragmentos y (super)sistemas asociados— pueden verse como intentos sistemáticos por captar directamente parcelas de una lógica intensional de los conceptos.

2. Diversas clases de modelos de Kripke (sobre marcos apropiados) sirven de semánticas completas para las lógicas modales. Con adecuadas modificaciones, otra clase de mo-delos de Kripke sirve también como semántica completa para la lógica intuicionista.


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‘libres’ en su generalidad. Esta correspondencia sugiere, de regreso al contexto musical, una explicación unitaria para la poli-musicalidad de Villa-Lobos: sus poliritmos, politimbres, politécnicas surgen de manera natural como acotaciones e invenciones locales para reflejar la enorme libertad de su música, nunca direccionada en una sola vía y siempre explosiva, abierta al ámbito pleno de todas las posibilidades musicales.

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1.2 Felisberto Hernández y Kleene: Mutaciones y desdoblamientos. Al acotar lo modal general en la dirección de lo que, de manera efecti-va, puede ser construido y deconstruido simultáneamente en el ámbito de las posibilidades, nos acercamos a la lógica intuicionista, en el espa-cio de la lógica, y al cuento fantástico, en el espacio de la literatura. El intuicionismo lógico y la narración fantástica, como formas de expre-sión y de conocimiento, poseen muchos entrelazamientos comunes:1 metamorfosis constante de los conceptos lógicos y de las imágenes narrativas, por medio de mutaciones meticulosamente controladas (por el lógico o el escritor, no necesariamente por el estudiante o el lector); desdoblamiento de los objetos (números, seres, entes matemáticos o entes fantásticos), con un consiguiente vaivén natural entre lo uno y lo múltiple; des-centramientos y traslados semánticos; asociaciones y correlaciones entre objetos y conceptos aparentemente dispares; proce-sos dinámicos y sorprendentes evoluciones. La obra, delicada y no muy extensa, de Felisberto Hernández (Uru-guay, 1902-1964) se desarrolla en las décadas 1940-60, con unas pocas novelas cortas (Por los tiempos de Clemente Colling, El caballo perdi-do, Tierras de la memoria) y recopilaciones de cuentos (Nadie encen-día las lámparas, Las hortensias, Relatos y fragmentos póstumos). Alumno del pedagogo y filósofo uruguayo Carlos Vaz Ferreira (tal vez el primer introductor del pragmatismo en América Latina), escritor aparentemente a deshoras,2 pianista errabundo que recorría las provin-cias uruguaya y argentina para subsistir, es finalmente impulsado a dedicarse más de lleno a la literatura por Jules Supervielle, escritor uruguayo-francés que le ayuda a conseguir una beca para Francia don-de, con el apoyo de Roger Caillois, empieza a ser reconocida su obra. Aunque entre Peirce y Felisberto no se encuentran lazos directos, el siguiente esquema muestra cómo algunas influencias secundarias de la

1. Las interrelaciones entre matemáticas y narrativa fantástica fueron sistemáticamente

exploradas por el grupo Oulipo (Ouvroir de littérature potentielle), fundado en 1960 por Raymond Queneau y François Le Lionnais. Desde 1972, Italo Calvino participó activamente en el grupo. Aquí exploramos algunas interrelaciones entre intuicionismo y narrativa fantástica, no explicitadas anteriormente.

2. Entre un periodo inicial (1925-31) de narraciones sin mucha fuerza y las décadas 1940-60, donde los mejores cuentos se muestran ya en su plenitud, pasa toda una década (1930-40) sin indicios sobre el desarrollo literario de Felisberto. Es probable que haya habido un esfuerzo sistemático de pulimiento de la escritura del que no han quedado rastros, dando la impresión de una escritura a ‘deshoras’.


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época pueden haber influido en el cuentista uruguayo, a través de su maestro Vaz:

El énfasis de la primeridad, de la inmediatez, de la frescura, del sub-consciente, es claro en Felisberto. En un doble juego permanente entre realidad y ficción, él mismo indicaría en su “Explicación falsa de mis cuentos” que su narrativa vive en un lindero entre conciencia rectora y libre naturalidad, en una contraposición ‘misteriosa’ entre terceridad y primeridad de la que surge triunfante esta última:

Obligado o traicionado por mí mismo a decir cómo hago mis cuentos, recurriré a explicaciones exteriores a ellos. No son completamente natu-rales, en el sentido de no intervenir la conciencia. Eso me sería antipáti-co. No son dominados por una teoría de la conciencia. Esto me sería ex-tremadamente antipático. Preferiría decir que esa intervención es miste-riosa. Mis cuentos no tienen estructuras lógicas. A pesar de la vigilancia constante y rigurosa de la conciencia, ésta también me es desconocida. En un momento dado pienso que en un rincón de mí nacerá una planta. [...]. Ella debe ser como una persona que vivirá no sabe cuánto, con ne-cesidades propias, con un orgullo discreto, un poco torpe y que parezca improvisado. Ella misma no conocerá sus leyes, aunque profundamente las tenga y la conciencia no las alcance. No sabrá el grado y la manera en que la conciencia intervendrá, pero en última instancia impondrá su voluntad. Y enseñará a la conciencia a ser desinteresada [Hernández 1985a, 216].

La ‘explicación falsa’ de Felisberto contiene elementos lúdicos, evoca-tivas sugestiones y fragmentos de análisis. La ‘falsedad’ se introduce al tratar de elevar a la conciencia los procesos de construcción narrativa; sin embargo, a pesar del filtro deformador y ‘exterior’ de la reflexión, quedan importantes indicaciones sobre la forma cómo surge su obra: en un mixto de organicidad, naturalidad, intuición y toques ligeros de la conciencia, crece una planta con ‘hojas de poesías’, que no debe recu-rrir a la teoría, ni a fundamentos ni leyes, ‘aunque profundamente las tenga’. Ese extrañamiento buscado de la conciencia da lugar a la pecu-liaridad de su narrativa, a su sorpresiva frescura y aparente inmediatez (el carácter ‘un poco torpe y que parezca improvisado’ de la planta). Muy conscientemente, Felisberto se aleja de la conciencia: en términos peirceanos, destaca fragmentos de primeridad sobre un fondo tercero que permanece cuidadosamente oculto.

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A la aparente falta de ‘estructuras lógicas’ de la narrativa de Felis-berto, Cortázar respondería años después al descubrirlo maravillado: “la realidad no tiene nada de lógica, Felisberto [...]”.1 Por supuesto, cree-mos aquí —en cambio— que la narrativa de Felisberto sí tiene estructu-ras lógicas y que la realidad sí puede, en parte, ser captada por la lógica. No la lógica rígida, clásica o escolástica en que seguramente pensaban Felisberto o Cortázar, sino una lógica mucho más amplia: la lógica como semiótica universal peirceana, en la que se integran muchas de las extensiones y de las conquistas de la lógica matemática contemporánea. El acercamiento literario de Felisberto a una realidad fugaz y ensoñado-ra es un caso único, en la literatura, de una cristalización casi pura de la primeridad peirceana. Como trataremos de mostrarlo más adelante en esta sección, esa primeridad sí cuenta, sin embargo, con unas leyes profundas, que ella no necesita para crecer (como las plantas de Felis-berto), pero que subyace hondamente en la terceridad que la sostiene. Muchos de los fragmentos del ‘ideal general’ peirceano se meta-morfosean en la narrativa de Felisberto alrededor de temas precisos: desdoblamiento, extrañamiento; combinatoria de estratos, mutación infinita; ruptura de la identidad, fragmentación de la realidad; polimor-fismo, plurivalencia; transgresión de los límites, mixtos fronterizos. En Felisberto, el ‘yo’ se disocia y surge lo ‘otro’. El narrador evoca y, a su vez, evalúa los cauces de la evocación. La narración es des-centrada, ex-centrada, y se enfatizan visiones oblicuas. El sujeto y el objeto se mezclan. Los objetos adquieren ritmos propios y enfatizan las disco-nexiones de la realidad. La memoria mezcla modalidades y otorga autonomía a los recuerdos. La abstracción se torna corpórea. Hay un constante traslado de voces entre campos semánticos diversos. Las citas siguientes ilustran nuestras observaciones:

Una noche el autor de este trabajo descubre que su cuerpo, al cual llama el ‘sinvergüenza’, no es de él; que su cabeza, a quien llama ‘ella’, lleva, además, una vida aparte: casi siempre está llena de pensamientos ajenos y suele entenderse con el sinvergüenza y con cualquiera. Desde enton-ces el autor busca su verdadero yo.2

Fue una de esas noches, en que hacía el recuento de los años pasa-dos como de monedas que hubiera dejado resbalar de los dedos sin mu-cho cuidado, cuando me visitó el recuerdo de Celina. Eso no me extra-ñó como no me extrañaría la visita de una vieja amistad que recibiera cada mucho tiempo. Por más cansado que estuviera, siempre podía hacer una sonrisa para el recién llegado. El recuerdo de Celina volvió al otro día y a los siguientes. Ya era de confianza y yo podía dejarlo solo,

1. Julio Cortázar, “Carta en mano propia” (1975), [Hernández 1985a, xiii]. 2 .“Diario del sinvergüenza” (post.) [Hernández 1985a, 378].


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atender otras cosas y después volver a él. Pero mientras lo dejaba solo, él hacía en mi casa algo que yo no sabía. No sé qué pequeñas cosas cambiaba y si entraba en relación con otras personas que ahora vivían cerca. Hasta me pareció que una vez que llegó y me saludó, miró más allá de mí y debe haberse entendido con alguien que estaba en el fondo. [...]. Y fue una noche en que me desperté angustiado cuando me di cuenta de que no estaba solo en mi pieza: el otro sería un amigo. Tal vez no fuera exactamente un amigo: bien podía ser un socio. Yo sentía la angustia del que descubre que sin saberlo ha estado trabajando a me-dias con otro y que ha sido el otro quien se ha encargado de todo.1 Pero ¿por qué es que yo, sintiéndome yo mismo, veo de pronto todo distinto? ¿Será que mi socio se pone mis ojos? ¿Será que tenemos ojos comunes? ¿Mi centinela se habrá quedado dormido y él le habrá roba-do mis ojos? ¿Acaso no le es suficiente ver lo que ocurre en la calle a través de las ventanas de mi habitación sino que también quiere ver a través de mis ojos? El es capaz de abrir los ojos de un muerto para re-gistrar su contenido. El acosa y persigue los ojos de aquel niño; mira fi-jo y escudriña cada pieza del recuerdo como si desarmara un reloj [Her-nández 1985a, 65].

Ahora han pasado unos instantes en que la imaginación, como un insecto de la noche, ha salido de la sala para recordar los gustos del ve-rano y ha volado distancias que ni el vértigo ni la noche conocen. Pero la imaginación tampoco sabe quién es la noche, quién elige dentro de ella lugares del paisaje, donde un cavador da vuelta a la tierra de la memoria y la siembra de nuevo. Al mismo tiempo alguien echa a los pies de la imaginación pedazos del pasado y la imaginación elige apre-surada con un pequeño farol que mueve, agita y entrevera los pedazos y las sombras. De pronto se le cae el pequeño farol en la tierra de la me-moria y todo se apaga. Entonces la imaginación vuelve a ser insecto que vuela olvidando las distancias y se posa en el borde del presente [Her-nández 1985a, 63-64].

Entonces empujaba mi conciencia en sentido contrario al que había ve-nido corriendo hasta ahora; quería volver a llevar savia a plantas, raíces o te-jidos que ya debían estar muertos o disgregados. Los dedos de la conciencia no sólo encontraban raíces de antes sino que descubrían nuevas conexiones; encontraban nuevos musgos y trataban de seguir las ramazones; pero los dedos de la conciencia entraban en un agua en que estaban sumergidas las puntas; y como esas terminaciones eran muy sutiles y los dedos no tenían una sensibilidad bastante fina, el agua confundía la dirección de las raíces y los dedos perdían la pista. Por último los dedos se desprendían de mi con-ciencia y buscaban solos [Hernández 1985a, 73].

He revuelto mucho los recuerdos. Al principio me sorprendían no solamente por el hecho de volver a vivir algo extraño del pasado, sino porque los conceptuaba de nuevo con otra persona mía de estos tiem-pos. Pero sin querer los debo haber recordado muchas veces más y en formas diferentes a las que supongo ahora; les debo haber echado por encima conceptos como velos o sustancias que los modificaran; los de-bo haber cambiado de posición, debo haber cambiado el primer golpe de vista, debo haber mirado unas cosas primero que otras en un orden

1. “El caballo perdido” (1943), [Hernández 1985a, 62].

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distinto al de antes. Ni siquiera sé cuáles se han desteñido o desapareci-do, pues muchos de los que llegan a la conciencia son obligados a ser concretos y claros.1 Fue una de esas noches en que yo estaba triste, y ya me había acos-tado y las cosas que pensaba se iban acercando al sueño, cuando empe-cé a sentir la presencia de las personas como muebles que cambiaran de posición. Eran muebles que además de poder estar quietos se movían; y se movían por voluntad propia. A los muebles que estaban quietos yo los quería y ellos no me exigían nada; pero los muebles que se movían no sólo exigían que se les quisiera y se les diera un beso sino que tenían exigencias peores; y además, de pronto, abrían sus puertas y le echaban a uno todo encima. Pero no siempre las sorpresas eran violentas y des-agradables; había algunas que sorprendían con lentitud y silencio como si por debajo se les fuera abriendo un cajón y empezaran a mostrar objetos desconocidos. Había otras personas que también eran muebles, pero tan agradables, que si uno hacía silencio sentía que adentro tenían música, como instrumentos que tocaran solos.2

Los dedos de la conciencia, que confunden raíces y encuentran nuevos musgos, los recuerdos revueltos, los muebles móviles, el insecto volátil de la imaginación, señalan el carácter ligero de la primeridad: no enrai-zada, libre de ataduras, constantemente modificable en su inmediatez. Desligándose de pautas para la correlación comparativa, los desdobla-mientos, los extrañamientos, las rupturas, las fragmentaciones, las analogías sueltas de la narrativa de Felisberto sirven para desprender sistemáticamente algunos elementos de lo real. El desprendimiento y su asociación libre dan lugar a lo fantástico. Por otro lado, en lógica ma-temática, el desprendimiento se encuentra estrechamente ligado con la discretización de una estructura y con su jerarquización constructiva, ya que la precisa elucidación de diferentes niveles de complejidad es la que permite el distanciamiento necesario para comprender la real diver-sidad de los múltiples estratos de la estructura. La teoría matemática de las funciones recursivas surge en la década de los años treinta, con las primeras ideas de Herbrand acerca de lo computable, con la definición de Gödel de las funciones primitivas recursivas para resolver problemas de representabilidad en sus famosos teoremas de incompletitud, con la introducción de las máquinas de Turing como modelos universales de lo mecánicamente calculable y con la construcción de los cálculos lambda de Church como sintaxis generativas de procesos aplicativos elementales. A fines de la década, Stephen Cole Kleene (Estados Unidos, 1909-1994), alumno de Church, crea la teoría general de la recursión, conectando todas las aproxima-

1. “Por los tiempos de Clemente Colling” (1942). [Hernández 1985a, 31-32].. 2. “El caballo perdido”. [Hernández 1985a, 59-60].


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ciones anteriores. Posteriormente, en las décadas 1940-60, Kleene estudia a fondo las conexiones estructurales entre la teoría de la recur-sión, vista como conjunto de modelos clásicos que subsumen el concep-to de calculabilidad, y la lógica intuicionista, vista como conjunto de técnicas intrínsecas ligadas a ideas de constructividad. En el gráfico siguiente se señalan esquemáticamente algunos puentes detectados por Kleene entre recursión e intuicionismo, señalamiento precisado a su vez aquí mediante la tipología catego-rial y sígnica peirceana:

En los teoremas de Kleene se encuentran nítidamente otras concreciones de cuatro aspectos generales que habíamos detectado en la narrativa de Felis-berto Hernández: desdoblamiento, mutación de la identidad, fragmenta-ción, polimorfismo. Dentro de la terceridad lógica, el desdoblamiento corresponde, en la teoría de la recursión, a la doble consideración de un natural como ícono numérico o como índice de una función recursiva (via el teorema de enumeración); por otro lado, en la lógica intuicionista, el desdoblamiento es aún más fino pues el natural es a su vez ícono y símbolo (via el teorema de realizabilidad, donde el natural codifica toda una prueba autoreferente). La mutación de la identidad se refleja en la percepción intuicionista de las colecciones como conjuntos variables —no determina-dos inmanentemente— donde se acumulan verdades parciales a lo largo de una progresiva compleción constructiva que nunca termina. La fragmen-

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tación jerárquica del universo recursivo es fundamental para el control estructural de ese universo; los diversos estratos de complejidad permi-ten definir grados de constructividad. Finalmente, el polimorfismo, manejo transformacional de las diversas formas con las que se filtra la multiplicidad de conceptos complejos, es patente en la teoría de la recursión, donde se encuentra una constante traducción de códigos aritméticos entre campos diferentes de objetos.

En Kleene, el ícono se disocia y surgen sus símbolos. El lógico de-muestra y, a su vez, evalúa los métodos de la demostración. La lógica es des-centrada, ex-centrada, y se abandona el tercio excluso. Los nú-meros naturales y las pruebas se mezclan. Los naturales adquieren codificaciones suplementarias y enfatizan las conexiones con la aritmé-tica. La lógica intuicionista distingue modalidades de prueba. La abs-tracción es realizable. Hay un constante traslado de códigos entre cam-pos semánticos diversos. En todos lo casos, el tratamiento lógico de Kleene enfatiza terceridades: busca síntesis y consigue caracterizacio-nes relacionales. El siguiente diagrama precisa una lectura categorial peirceana de algunas correlaciones entre Kleene y Felisberto. Un núcleo común da lugar, en el plano de la primeridad, a la obra literaria de Felisberto, y, en el plano de la terceridad, a la obra lógica de Kleene:

Detrás de algunos de los temas comunes que hemos leído simultánea-mente en Felisberto y en Kleene, pueden encontrarse, aún más honda-mente, formas ‘puras’1 de la primeridad en la intersección de las obras literaria y lógica. Peirce trató de capturar la noción ‘pura’ de primeridad

1. Como sabemos por la máxima pragmática, una noción de ‘pureza’ absoluta es incog-

noscible. Sin embargo, pragmáticamente, lo ‘puro’ puede entenderse como proceso relativo de limpieza, de desencarnación, de liberación. Dentro de la teoría matemática de categorías, los conceptos ‘puros’ se aproximan mediante objetos ‘libres’, los cuales, a su vez, son límites de diagramas ‘híbridos’.


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mediante algunas acotaciones a su idea de swa1 (un swa es “cualquier cosa que es como es sin referencia a nada más”)2. Para Peirce, algunas propiedades de los swas son las siguientes: 6 (1a versión). Todo swa es absolutamente general, ciertamente no individual. 7. El principio del tercio excluso no se aplica a los swas. 8. Un swa no posee una identidad propia. 9. Ningún swa existe. 12. Todo swa es independiente de sus posibles representaciones. 10 (2a versión). El swa no es un todo constituido por partes [Peirce 1992a, 130-133, 135]. Es un hecho notable, que aún no comprendemos plenamente, el que cada una de las propiedades anteriores de los swas haya ‘encarnado’ en construcciones propias de la lógica matemática en el cruce entre teoría de modelos, lógica intuicionista y lógica categórica. La generalidad, la inde-pendencia de la representación y la mutación de la identidad son caracterís-ticas comunes de los objetos ‘genéricos’ en teoría de modelos y de los objetos ‘libres’ en teoría de categorías. La no aplicabilidad del tercio exclu-so y la inexistencia3 de los swas se encuentran estrechamente ligadas con lo construible en lógica intuicionista: los conceptos ‘puros’ del intuicionismo sólo empiezan a existir al ser efectivamente construidos y, en tal caso, el tercio excluso deja de aplicarse a su dominio.4 Finalmente, una de las ob-servaciones básicas en lógica categórica indica que pueden pensarse con-ceptos sintéticos, cuyas partes no reconfiguran nunca el todo; en particu-lar, diversos modelos categóricos del continuo no pueden ser reconsti-tuidos como sumas analíticas de sus partes. A su vez, el desdoblamiento, la mutación de la identidad, la fragmentación, el polimorfismo, comunes a Kleene y a Felisberto, son propiedades que se derivan de las propiedades de los ‘swas’. La generi-cidad, la independencia representacional, la falta de identidad propia y la misma ‘inexistencia’ de los ‘swas’ dan lugar, en forma natural, a un indefinido polimorfismo y a concreciones particulares de ese polys:

1. ‘Swa’: un término lo suficientemente ad hoc como para no haber sido usado en ningún

otro contexto y no dar lugar a equívocos. 2. Ms 899 (ca. 1903); en: [Peirce 1992b, 130]. 3. Según Peirce lo que ‘existe’ debe ser individual, particular; por lo tanto, lo ‘general’ no

existe (aunque ‘es’). 4. En cualquier momento dado del desarrollo de la matemática constructiva, puede no

haberse obtenido ni la construcción de un objeto dado ni la certeza constructiva de que el objeto no puede llegar a ser construido. Es decir: no tiene por qué valer, constructi-vamente, la ley del tercio excluso: p ∨ ¬p.

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mutaciones y desdoblamientos. No es casual el hecho de que, en la teoría de la recursión, siguiendo las pautas abiertas por la obra de Klee-ne, el ‘polimorfismo’, entendido como lambda-cálculo de segundo orden, es decir cálculo de operadores sobre el primer orden de lo recur-sivo, haya dado lugar a modelos muy estrechamente ligados con natura-les ‘desdoblamientos’,1 mientras se iba basando profundamente en consideraciones categóricas genéricas que le permitían superar el blo-queo en que se había encontrado el lambda-cálculo durante décadas.2 La disconexión literal de los swas, su inexistencia, su falta de iden-tidad se encuentran muy estrechamente ligadas con la narrativa de Felisberto Hernández. Desde su Libro sin tapas (1929) —que define como “abierto y libre: se puede escribir antes y después de él”3— su evocación de la memoria va poco a poco desligándose de toda referen-cia temporal y espacial. La falta de temporalidad y de espacialidad en Por los tiempos de Clemente Colling o en “La casa inundada” —o mejor: su ubicuidad en el tiempo y en el espacio— es característica de la primeridad, de aquello “que es como es sin referencia a nada más”. Fluyen los recuerdos y el agua en un continuo que no requiere de ‘nada más’, y donde la lógica de la hilación narrativa es muy tenue. Pueden desprenderse así los ‘dedos’ de la escritura y pueden yuxtaponerse, sin ninguna artificialidad, un sentimiento y un mueble, un temor y un bal-cón. A su vez, la independencia del swa de sus partes, representaciones o trazos individuales da lugar al constante tema del doble en la narrativa de Felisberto. Al desligarse de tejidos analíticos, representacionales o particularistas, los seres, los recuerdos, las cosas, pueden desdoblarse con naturalidad. Ya sin encontrarse insertos en un espacio o en un tiempo determinados, los conceptos-objetos-seres-entes de la narrativa de Felisberto fluyen y ‘son como son’ sin referencia a ningún elemento 1. Tales modelos son las subcategorías de la categoría Per (partial equivalence relations

en el universo de los números naturales), en las cuales la composición de flechas se basa en la operación de la ‘estructura aplicativa de Kleene’, donde los naturales se ‘desdoblan’, como números en sí o como índices de funciones recursivas (ver figura p. 59).

2. El cálculo lambda fue introducido por Alonzo Church (1932) como medio para estu-diar problemas de decidibilidad en la lógica clásica de primer orden. Posteriormente, Kleene (1943) descubrió que las funciones representables en el cálculo lambda coinci-dían con las funciones recursivas. Por medios puramente sintácticos pudo asegurarse la no-contradictoriedad del cálculo lambda, pero pasaron cerca de cuatro décadas antes de que Dana Scott (1968) exhibiera un modelo concreto para el cálculo. Scott tuvo que liberarse de la rígida camisa de fuerza que pretendía buscar los modelos en la categoría de conjuntos, y encontró modelos diversos en otras categorías abstractas.

3. Citado por José Pedro Díaz, “f.h.: una conciencia que se rehusa a la existencia”, en: [Hernández 1967a, 70].


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exterior. En un tiempo y un espacio ‘libres’ los pensamientos y las ideas adquieren su propia autonomía, su inmediatez e independencia. Se fragmentan y se disgregan los objetos y sólo permanecen, durante la corta intuición de un instante, sus cualidades disociadas.

En los gráficos existenciales peirceanos, el desdoblamiento controlado es una de las leyes fundamentales de la lógica: cualquier gráfico dado puede desdoblarse, iterarse, en cualquier región que posea más cortes que la región inicial de donde procede el desdoblamiento: En los gráficos existenciales ALFA (1897-1905) nos damos una hoja de aserción (H), que puede considerarse ilimitada y deformable conti-nuamente (un modelo natural de (H) está dado por el plano cartesiano clásico). Un cálculo de marcas, recortes y deformaciones en (H) corres-ponderá al cálculo proposicional clásico. Como veremos, los gráficos incorporan explícitamente las enseñanzas de la máxima pragmática. ALFA. Reglas de construcción de los gráficos ALFA (sintaxis). (1) (H): cualquier zona no marcada de la hoja de aserción es gráfico. (2) p toda letra proposicional es gráfico. (3) todo corte alrededor de una zona no marcada de (H) es gráfico. (4) si G y H son gráficos, entonces la yuxtaposición G H es gráfico. (5) si G y H son gráficos, entonces G H es gráfico. El cálculo ALFA consistirá en determinar cuáles gráficos ALFA podrán ser mar-cados en la hoja de aserción (H), es decir cuáles serán verdaderos. Interpretación canónica de los gráficos ALFA (semántica). (1)’ (H) representa lo verdadero. (2)’ marcar una letra en (H) significa evaluarla como verdadera. (3)’ un corte en (H) representa lo falso. (4)’ pegar dos gráficos alfa corresponde a conjugarlos. (5)’ G H representa la implicación G ⇒ H. Axioma. El cálculo ALFA consta de un solo axioma: (HA) . El axioma es símbolo de la continuidad del universo y representa una verdad general (terceridad), que será luego demarcada en verdades de hecho (segundidad). El cálculo ALFA enfatiza fundamentalmente un aspecto pragmático, al establecer un código de permisos (reglas de transformación de los gráficos ALFA) que delimita el manejo activo-reactivo de los gráficos al-fa. Para ello, se necesitan primero algunas definiciones que explicitan algunas nociones implícitas en la construcción de los gráficos alfa.

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Definiciones. Área de un gráfico. La construcción de los gráficos ALFA no permite in-tersecciones entre cortes. Dado un gráfico G marcado en la hoja de aserción, un área para G es una zona de la hoja de aserción que contiene a G y que no contiene ninguna otra marca (en particular, un área para G no intersecta ningún corte ajeno a G). Por inducción en la complejidad de los gráficos alfa se demuestra que todo gráfico posee un área. Las áreas de un gráfico no son únicas pero son todas homeomorfas entre sí (deformaciones continuas de la hoja de aserción, que no atraviesan cor-tes). Módulo homeomorfismo, podemos hablar del área de G. Área “par-envuelta”. Gráfico “par-envuelto”. Un área dada se dice “par-envuelta” si se encuentra rodeada de un número par de cortes (in-cluyendo el caso de 0 cortes, es decir el caso en que el área no posee cortes alrededor). Un gráfico G, marcado en la hoja de aserción, se dice ‘par-envuelto’ si su área está par-envuelta. Área ‘impar-envuelta’. Gráfico‘impar-envuelto’. Un área dada se dice ‘impar-envuelta’ si se encuentra rodeada de un número impar de cortes. Un gráfico G, marcado en la hoja de aserción, se dice ‘impar-envuelto’ si su área está impar-envuelta. Reglas de transformación de los gráficos ALFA (código de permisos; pragmática). (R1) (borramiento). Puede borrarse de (H) cualquier gráfico par-envuelto. (R2) (inserción). Puede insertarse cualquier gráfico en un área impar-envuelta de (H). (R3) (iteración). Puede iterarse cualquier gráfico G en un área de (H) que esté envuelta en un número mayor (o igual) de cortes que el área de G1. (R4) (desiteración). Puede desiterarse de (H) cualquier gráfico cuya ocurrencia pueda verse como resultado de (R3). (R5) (doble corte). Puede insertarse o eliminarse un doble corte alrede-dor de cualquier gráfico, en cualquier área dada de (H). La inserción no debe producir intersecciones entre cortes. La dualidad de las reglas (R1) y (R2), de las reglas (R3) y (R4), y la au-todualidad de (R5), expresan una simetría del cálculo proposicional clá-sico que se pierde en las presentaciones usuales del tipo Hilbert (axio-mas ad-hoc más modus ponens). Es una simetría que también se en-cuentra reflejada en las presentaciones del cálculo al estilo Gentzen (deducción natural).

La regla (R3) de iteración es la regla que permite y controla el ‘desdo-blamiento’ de los entes lógicos. Por otro lado, en un primer nivel ALFA que se torna más complejo al expandir el lenguaje a BETA y GAMA2, las reglas de transformación de los gráficos pueden verse como el bagaje minimal de ‘mutaciones’ de la lógica.

1. Existe una pequeña restricción suplementaria que no viene al caso explicitar aquí. Para

precisiones sobre este y otros aspectos de los gráficos existenciales, véanse las referen-cias citadas en la nota 2 de la pag. 26.

2. Estudiaremos esas extensiones en la sección 2.3.


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El diagrama siguiente ilustra el triple proceso de ‘desdoblamiento’ e iteración, ‘mutaciones’ y metamorfosis, unidad y desiteración, que sirve de guía pragmática en los gráficos existenciales y que parece ser un proceso general mucho más amplio, presente tanto en la naturaleza como en la cultura, desde las osmosis citogenéticas hasta las hibrida-ciones poéticas, pasando por los intercambios arbitrarios de informa-ción sobre memorias transitorias:1

Partiendo de la configuración inicial (A tal cual, B envuelto en un cor-te), A se desdobla al iterarse y se conjuga con B dentro del corte; al accionar-reaccionar con A, B se transforma en C; luego A se desitera y el resultado neto es la mutación de B en C, lograda gracias a la media-ción de A, que ha desaparecido. En el caso de los gráficos existenciales, la iteración corresponde a la sencilla y aparentemente banal ley lógica A∧¬B → A∧¬( A∧B), mien-tras la desiteración corresponde a la ley inversa. El doble proceso de vaivén (desdoblamiento y recomposición) corresponde a la equivalen-cia (o igualdad) lógica A∧¬B = A∧¬(A∧B). Xavier Caicedo (sección 2.3) ha propuesto tomar ese vaivén ubicuo y fundamental, descubierto en su caso por otros caminos totalmente diferentes, como condición

1. Como el vaivén de modificaciones en un computador personal realizado sobre su

memoria RAM.

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minimal general que debe cumplir un conectivo intuicionista arbitrario ©: A∧©B = A∧©(A∧B). La ecuación de Caicedo integra compactamen-te la noción explícita del ‘desdoblamiento’ con las ‘mutaciones’ implí-citas que se encuentran ligadas con la evolución constructiva de todo conectivo intuicionista. Así, parece cumplirse un ciclo natural en los procesos de vaivén, de ascenso y descenso, de abstracción y concreción, típicos de la matemá-tica: las diversas formas concretas de una idea general dan finalmente lugar a una ‘descarnación’ hacia lo universal, a una ‘liberación’ arbitra-ria de la circunstancia y del contexto (a una plena compleción o lectura vertical de la máxima pragmática), que permiten entender globalmente la diversidad aparente de lo local y recomponer, una vez más, la multi-plicidad dentro de la unidad.


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1.3 Rulfo y Da Costa: Arquetipos y sumultaneidades La obra de Juan Rulfo (México, 1918-1986) se ha convertido en uno de los grandes clásicos de la literatura latinoamericana y universal. De los catorce intentos (definiciones, corolarios, suplementos) que propone Italo Calvino para tratar de acotar la noción de ‘clásico’, los catorce se aplican a la narrativa de Rulfo; algunos de ellos son particularmente apropiados:

3. Los clásicos son esos libros que ejercen una influencia particular ya

sea cuando se imponen por inolvidables, ya sea cuando se esconden en los pliegues de la memoria mimetizándose con el inconsciente colectivo o individual.

6. Un clásico es un libro que nunca termina de decir lo que tiene que decir.

10. Llámase clásico a un libro que se configura como equivalente del universo, a semejanza de los antiguos talismanes.

13. Es clásico lo que tiende a relegar la actualidad a la categoría de rui-do de fondo, pero al mismo tiempo no puede prescindir de ese ruido de fondo.

14. Es clásico lo que persiste como ruido de fondo incluso allí donde la actualidad más incompatible se impone [Calvino 1992a, 14, 15, 17-19].

Con una obra (El llano en llamas, Pedro Páramo) que no sobrepasa las 300 páginas en gran formato, Rulfo logra construir en su literatura un sofisticado haz de murmullos que relega la dialectología popular a ruido de fondo y que persiste de tal manera en el imaginario mexicano como para hacer que se confundan posteriormente el habla rulfiana con el habla popular, y logra construir un sofisticado entramado de silencios ‘que nunca termina de decir lo que tiene que decir’, que se mimetiza con el inconsciente colectivo y que esconde el amor, la vida y la muer-te:1 todo el universo. La obra de Rulfo constituye uno de los ejemplos más cristalinos de la literatura de cómo un proceso de decantación y de construcción esquelética de una trama relacional lleva a acceder a altos niveles de generalidad y de riqueza estética, gracias a una muy diversificada poli-semia que permite elevar lo más particular y singular a lo más amplio y plural. La limpieza descarnada de la prosa es uno de los rasgos caracte-rísticos de la escritura de Rulfo. Rulfo elimina el ‘yo’ y entra en un

1. “Sabemos perfectamente que no existen más que tres temas básicos: el amor, la vida y

la muerte” [Rulfo 1992a, 384].

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campo relacional de reflejos soterrados: “Una de las cosas más difíciles que me ha costado hacer, precisamente, es la eliminación del autor, eliminarme a mí mismo. Yo dejo que aquellos personajes funcionen por sí y no con mi inclusión [...]” [Rulfo 1992a]:

Para mí el cuento es un género realmente más importante que la novela, porque hay que concentrarse en unas cuantas páginas para decir muchas cosas, hay que sintetizar, hay que frenarse [...]. Lo esencial es precisa-mente contenerse, no desbocarse, no vaciarse [Rulfo 1992a, 385].

La práctica del cuento me disciplinó, me hizo ver la necesidad de que el autor desapareciera y dejara a sus personajes hablar libremente, lo que provocó, en apariencia, una falta de estructura. Sí, hay en Pedro Pára-mo una estructura, pero es una estructura construida de silencios, de hilos colgantes, de escenas cortadas, pues todo ocurre en un tiempo si-multáneo que es un no-tiempo [Morales 1990a, 50].

Dejé todo sintetizado y por eso algunas cosas quedaron colgando, pero siempre quedó lo que sugería, algo que el lector tiene que completar. Es un libro que exige una gran participación del lector; sin ella, el libro pierde mucho [Morales 1990a].

Los ‘hilos colgantes’, las voces hechas de ‘hebras humanas’ [Rulfo 1992c, 184], la ‘libertad’ de los personajes, la ‘estructura construida de silencios’ y la posterior compleción que efectúa el lector conjugan una extrema limpieza del discurso (la eliminación de ‘divagaciones’ que incomodaban a Rulfo) con el reconocimiento descarnado de símbolos míticos que gobiernan subterráneamente una compleja red de manifes-taciones diversas. La narrativa de Rulfo es una urdimbre de murmullos, silencios y ecos (tanto de la voz como del mismo silencio), con imáge-nes tremendamente sintéticas que se modulan y deslizan subrepticia-mente en la malla estructural aparentemente ausente que Rulfo mencio-naba. Rulfo inventa1 un estilo extraordinariamente depurado para hacer surgir ‘el amor, la vida y la muerte’ de la estructura ‘ausente’ de su escritura. Algunos de los rasgos de esa escritura, confundidos en un principio con aquellos del ‘habla popular’, pero en realidad plenamente atribuibles a la ‘fuerza impositiva que tiene la construcción lingüística de la literatura’, serían, en palabras de Angel Rama:

simplicidad del léxico que admite dialectalismos y regionalismos con prudencia; construcción sintáctica concisa con oportuno uso de frases

1. Rulfo insiste en la ‘imaginación’, ‘ficción’, ‘mentira’ de su literatura: recoge una base

dialectal pero la transforma completamente en una escritura única. La noción de ‘uni-cidad’ es, con Rulfo, pertinente, ya que su estilo no ha podido ser imitado, a diferencia, por ejemplo, de un estilo mucho más fácil de copiar como el de García Márquez.


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hechas; tendencia lacónica y aún más, elíptica, en el mensaje lingüísti-co; tono menor y carencia de énfasis (salvo en los remedos caricatures-cos de la oratoria) homologando valores dispares del discurso en una misma tesitura; apagamiento prosódico, tal como lo apuntan los contex-tos explicativos; tesonera prescindencia de cultismos y eliminación de la terminología intelectual [Rama 1982a, 113].

El desnudamiento del lenguaje va acompañado de un regreso al mito, entendido como arquetipo [Ortega 1992a, 723-728], como concepto ‘libre’, como construcción polifacética y plurivalente. Como también lo supo revelar Rama, el entronque de una forma de escritura ‘libre’ y un fondo ‘libre’ (mito) es el que permite explicar la unidad profunda de la obra de Rulfo:

Selecciones y rechazos [en un tenaz esfuerzo de empobrecimiento lexi-cal, [...] de acentuación del laconismo y la elipsis] responden a una pre-cisa y nueva concepción de lo verosímil y a una determinada e igual-mente nueva concepción de la mímesis, ambas marcadas por una mo-dernización que sólo cobra fundamento gracias a una perspectiva arcai-zante, a un retorno a las fuentes, soñadas por una concepción antropo-lógica del primitivismo. Son los tensores que rigen la elección de mate-riales buscando su afinidad, su capacidad de empastar unitariamente [Rama 1982a, 113].

Los ‘tensores’ forman a su vez, matemáticamente, una estructura ‘libre’ cuyo objetivo primordial consiste en linealizar lo multilineal. Como —en la teoría matemática de categorías— todo objeto ‘libre’ puede ser demos-trablemente construido como límite de un adecuado ‘diagrama’, es ese carácter libre y limítrofe de los tensores, en su descarnada generalidad y universalidad, el que explica en definitiva ‘su capacidad de empastar unitariamente’. El empaste de los contrapunteos de Rulfo, de sus mur-mullos y ecos, de sus imágenes y reflejos, de sus ubicuas temporalida-des, puede realizarse con un efecto poético particularmente sugestivo en la estructura ‘libre’ (‘límite’) de su narrativa. A su vez, la libertad se-mántica de la obra es la que sostiene su enorme rango polisémico y asegura finalmente su universalidad. Comala es la encarnación fantasmal de todo lo simultáneo: el “tiempo simultáneo que es un no-tiempo” y el “lugar sin lugar” [Roa 1992a, 802] (“¿dónde es esto y dónde es aquello?” [Rulfo 1992c, 185]) donde se entrecruzan todas las coordenadas espaciales. En el no-tiempo y en el no-espacio viven simultáneamente los arquetipos de la novela: la búsqueda azarosa y angustiosa del padre y de los orígenes [Ortega 1992a, 723], el vaivén (“sube o baja según se va o se viene” [Rulfo 1992c, 180]) entre infierno y paraíso [Ortega 1992a, 727], la caída de la gracia [Freeman 1992a, 740], “el sexto cielo en el que están todos los

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aires” [Roa 1992a, 807], “el nueve veces río que se cruza para llegar a los nueve infiernos” [Ibid], y un número indeterminado de otras imágenes míticas. El tiempo de los arquetipos coincide con el tiempo de Comala: las contradicciones aparentes de los tiempos de los personajes en la primera parte de la novela convergen en el no-tiempo de los muertos, el tiempo ‘libre’ de la evocación, cuando de repente el lector descubre, en la mitad de la novela, que Juan Preciado ha estado narrando su llegada a Comala desde su propia tumba. La “Comala devorada por el símbolo” [Roa 1992a, 808] —que dejaría durante meses a García Márquez en un atónito estado de ‘deslumbra-miento’, al leer por vez primera la novela, hasta “recitar el libro com-pleto, al derecho y al revés, sin una falla apreciable” [García Márquez 1992a, 800]— es un lugar ‘trasterrado’, fuera de todo arraigo, desértico y genérico: los seres pierden sus raíces, los monólogos se entrecruzan con narraciones impersonales hasta confluir en un vago ‘nosotros’, los tiempos dan la vuelta y son pasados actuales, los lugares invierten las coordenadas. En el símbolo de Comala confluyen la riqueza genérica de los arquetipos y la simultaneidad del desarraigo. Por ello, en Pedro Páramo (que inicialmente se llamaba Los murmullos), nunca pueden realmente oirse voces (encarnadas) sino murmullos (desencarnados):

Comala se quedó solo, como si la muerte hubiera acabado con los cora-zones, como si la gente dejara de existir. Y sin embargo, murmuraban, como se murmura en todos los pueblos. Detrás de las puertas crecían las murmuraciones hasta hacer un murmullo que traspasaba el silencio; se oía primero el ruido, luego el sonido, después la voz; luego, la palabra, el verbo [Rulfo 1994a, 77].

La genericidad, la ‘libertad’, el descarnamiento de temáticas y técnicas narrativas permiten construir una urdimbre de simultaneidades que sería imposible de sostener estéticamente si éstas se anclaran en lo meramen-te particular. La multiplicidad no se compagina con lo particular: re-quiere ‘grados de libertad’, grados de interpretabilidad, para encarnar progresivamente en una amplia diversidad de contextos, desde una forma común no saturada. En su mismo modo interno, los mitos y los arquetipos son el paradigma de estructuras no saturadas: siempre diná-micos, renovables, ‘mutantes’ a lo largo de diversas culturas o diversos ‘cronotopos’1 de una misma cultura. La no saturación de los arquetipos y de sus cronotopos asociados (los tiempos y lugares arquetípicos de la evocación) son los que permiten mover ‘libremente’ el ‘esto’ y el ‘aquello’, el ‘entonces’ y el ‘ahora’. 1. El término se debe a Bajtin: ‘crono-topo’: un tiempo y un lugar.


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En una tal estructura narrativa las contradicciones son sólo aparentes (pues en el ámbito de lo genérico no tiene por qué valer el tercio exclu-so): simultáneamente, viven y se complementan los opuestos.1 De la dura infancia de Rulfo (huérfano de padre y madre a los seis años, educado en un orfanato) tienen que haber surgido muchas oposiciones y contradicciones que Rulfo supo admirablemente manejar con su ‘dis-tanciamiento’ proverbial. Como fondo de ese ‘desierto’ de la infancia queda, sin embargo, esa pedregosa sensación de su literatura que tan precisa y lacerantemente supo captar Elena Poniatowska: “Rulfo se llenó el alma de las palabras y nos las fue dando como piedras”.2 La rugosidad, la resequedad, la tristeza, la violencia de los lugares de Rulfo, más allá de sentirse intensamente en su narrativa, pueden también verse en su fotografía [Rulfo 1995a] y oirse en su voz viva [Rulfo 1997a]. Rulfo tomó, literalmente, miles de fotografías, que guar-

1. Peirce, en 1905, llegó a tratar de definir lo general como aquello que no satisfaciera el

tercio excluso: “The general might be defined as that to which the principle of excluded middle does not apply” [Peirce 1931-1958 CP V §505]. A su vez, Peirce contraponía lo general con lo vago: “Logicians have too much neglected the study of vagueness, not suspecting the important part it plays in mathematical thought. It is the antithetical ana-logue of generality”; “The vague might be defined as that to which the principle of contradiction does not apply” [Peirce 1931-1958 CP V §505]. Coherentemente con un principio cosmológico general, que hiciera evolucionar el universo de lo indeterminado hacia lo determinado, podría sugerirse paralelamente una ‘evolución de los cuantifica-dores’, similar a una evolución de los a priori: lo general, que no satisface el tercio excluso (“p o no p”), evolucionaría hacia la cuantificación universal (para la cual no vale “∀xPx ∨ ∀x¬Px”), mientras que lo vago, que no satisface el principio de contra-dicción (“no (p y no p)”), evolucionaría hacia la cuantificación existencial (para la cual no vale “¬(∃xPx∧∃x¬Px)”). Esta percepción dinámica de lo general y de los universa-les destroza inmediatamente aquellas posturas que pretenden particularizar todo proce-so: en efecto, sólo pueden concebirse evoluciones genéricas, no evoluciones particula-res.

2. Elena Poniatowska: “¡Ay vida, no me mereces! Juan Rulfo, tú pon la cara de disimulo” (1983) [Rulfo 1992a, 82].

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daba ordenadamente en cajas de cartón; es fácil sorprenderse al compa-rar su gran cantidad de miradas a través del lente con el escueto número de frases de su narrativa. La mirada es, salvo en contadas ocasiones, siempre desolada, atenta a la soledad y a la desazón del hombre, vigi-lante del claroscuro, humildemente sorprendida de los refugios de dolor en los que vive el ser humano. La naturaleza seca, los troncos de los árboles rígidamente anudados, los fragmentos de construcciones colo-niales en medio del desierto y de las áridas sierras, son los ‘hilos col-gantes’ de su mirada, donde se enroscan intemporales ‘hebras’ huma-nas. Son miradas, simultáneamente, donde todo ha sido y todo puede llegar a ser: reflejan una honda humanidad en donde se entrelazan los contrarios. Requieren un tono pausado, lento, resquebrajado, más allá del tiempo, que es el mismo tono con el que Rulfo lee ‘Luvina’: arras-trando las palabras como las ‘piedras crudas’ que forman la empinada cuesta en que yace el pueblo, seseando el silbido de las eses para evocar el viento negro que ‘se planta en Luvina prendiéndose de las cosas como si las mordiera’, construyendo pausas para que pueda surgir el murmuro de la tierra, abriendo interrogaciones en el vacío para que al final del cuento puedan campar naturalmente la nada y el sueño. Una vez más, son los tonos genéricos, descarnados, de su mirada y de su voz los que le permiten evocar simultáneamente múltiples estratos desga-rrados y contradictorios del alma. En lógica matemática, el estudio de las contradicciones fue explícita y formalmente1 descartado de los cauces principales de trabajo hasta comienzos de la década 1960. En la totalidad2 de los sistemas lógicos de la época (modificaciones del cálculo proposicional clásico o del intuicionista) regía una ‘ley de contradicción’ según la cual cualquier contradicción trivializaba el sistema: de cualquier contradicción era posible deducir cualquier otra proposición (p∧¬p → q), por lo tanto en un sistema contradictorio todo resultaba ser trivialmente demostrable, perdiéndose así una de las razones fundamentales de la lógica: clarificar y distinguir nuestras ideas. Las contradicciones, o inconsistencias, no podían tener así cabida en la matemática clásica o intuicionista: en vez de darles derecho de existencia, la matemática debía modificar los principios teóricos rectores que llevaban a ellas. Un célebre ejemplo de

1. Implícita y creativamente, en cambio, las contradicciones han siempre dado lugar a

brillantes desarrollos matemáticos, que han permitido definir más precisamente los conceptos y las técnicas en juego, y que han permitido sortear sutilmente el bloqueo aparente de la contradicción.

2. Descartando los sistemas del ruso Vasil’év (1910) y del polaco Jaskowski (1948), que pueden verse como sistemas lógicos precursores que admiten contradicciones.


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una tal modificación consistió en la restricción del principio de abstrac-ción de Frege en la teoría de conjuntos de comienzos de siglo (gracias a Zermelo), ya que el principio de abstracción irrestricto conducía inme-diatamente al conjunto inconsistente de Russell.1 Por otro lado, uno de los más traqueteados resultados de la lógica del siglo XX —sin que por ello deje de ser uno de los más incisivos y profundos—, el segundo teorema de incompletitud de Gödel, indica que la matemática clásica actual es incapaz de asegurar —con sus propios medios— su consisten-cia: la matemática clásica, que no puede permitir contradicciones, vive a menudo cerca de ellas2 y trata de acercarse óptimamente a sus fronte-ras (véase la sección 2.1). Para eliminar la amenaza de la trivialización clásica (procedente, por ejemplo, de inconsistencias del estilo de la paradoja de Russell), había, a priori, dos caminos: restringir los procesos de formación de conceptos matemáticos y mantener en la base a la lógica clásica, o, viceversa, mantener los principios de formación en toda su fuerza y cambiar la lógica subyacente. El primer camino fue el adoptado de manera central en el desarrollo de la matemática en el siglo XX. El segundo camino es el señalado por el programa paraconsistente; en este segundo camino se permiten cierto tipo de contradicciones, sin que por ello los sistemas resultantes se trivialicen. El programa se inicia en 1963, cuando, recopilando algunas ideas de sus trabajos anteriores, Newton da Costa (Brasil, 1929) da un vuelco entero a la situación: en Sistemas formais inconsistentes, una monografía breve [Costa 1993a] pero muy rica en consecuencias, abre el espacio para estudiar —directa, explícita y formalmente— contradicciones ‘locales’ que no trivializan los ‘sistemas inconsistentes’3 globales que las contienen. Inicialmente algo aislada y entendida como ‘curiosidad’, la lógica paraconsistente es ahora objeto de vivo interés por parte de una amplia

1. El conjunto inconsistente de Russell (R) está formado por los conjuntos que no se

pertenecen a sí mismos: R = ⎨x: x∉x⎬. Se deduce inmediatamente la contradicción R∈R ↔ R∉R. Un ejemplo atractivo de una tal situación consiste en considerar el catá-logo de todos los catálogos que no se listan a sí mismos: la pregunta de si el catálogo se lista o no a sí mismo lleva a una contradicción inescapable. Borges era muy afecto a la contradicción de Russell y a los principios de circularidad involucrados en ella.

2. Esto es claro, por ejemplo, en el programa conjuntista de los ‘grandes cardinales’, con los cuales, al borde de la inconsistencia, se tratan de proponer axiomas que resuelvan hondos problemas en el cruce de difíciles matemáticas técnicas y difíciles posturas filosóficas —el problema del continuo, por ejemplo, que intenta calcular un tamaño ‘natural’ para el conjunto de los números reales, modelo clásico de la continuidad—. Véase la sección 3.2.

3. Para una presentación global de las lógicas paraconsistentes pueden consultarse Arruda 1980a, 1-41 y Bobenrieth 1996a.

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comunidad académica internacional: incorpora contribuciones desde diversos ámbitos (matemática, física, ciencias de la computación, lin-güística, filosofía, derecho) y engloba la participación de muchos estu-diosos (brasileños, argentinos, chilenos, australianos, polacos, france-ses, italianos, estadounidenses, por sólo mencionar los más representati-vos). Uno de los signos inconfundibles de vida que gusta señalar da Costa, creador de las ideas fundamentales, líder y coordinador muy activo en el área, es el apunte de que las Mathematical Reviews —receptáculo biblio-gráfico de toda la información relevante en matemáticas producida a nivel mundial— ha creado un apartado especial para la discusión de la paraconsistencia: señal inequívoca de actividad y dinamismo. Es difícil aún medir el éxito del programa paraconsistente en términos de su profundidad conceptual; es fácil, sin embargo, chequear su vitalidad y su importancia para el desarrollo en América Latina del ‘pensamiento preciso’ (cruce en los linderos de la matemática, la lógica y la filosofía, consciente y fuertemente alejado de muchas corrientes amorfas o ‘débi-les’ de la mal llamada ‘postmodernidad’). Los primeros cálculos paraconsistentes de da Costa (familia Cn) se construyeron con el objeto de poder permitir contradicciones (de A y ¬A no debe poderse deducir en general una fórmula arbitraria) y de poder invalidar el principio de contradicción (¬(A∧¬A) no debe poder ser demostrable en el cálculo). Las técnicas usadas por da Costa dan la posibilidad de manejar contradicciones en las premisas (manejo parcial en cualquier deducción dada sin que ello trivialice el cálculo) aunque globalmente ninguna contradicción sea finalmente demostrable como teorema. Algunas simultaneidades de los opuestos (A y ¬A) se permiten como etapa natural en el razonamiento, etapa que es luego disuelta en el desarrollo posterior del cálculo. Este hecho incorpora, en delimitados cálculos proposicionales, un preciso hacer filosófico: en el pragma se manejan libremente ‘asuntos’ donde se permiten varios tipos de simul-taneidades y oposiciones (segundidad), que luego, evolutivamente, tienden a disolverse gracias a mediaciones adecuadas (terceridad). Las contradicciones parciales no son más que ‘hilos colgantes’, hebras aisladas, que son luego ‘anudadas’ en trenzas y urdimbres donde des-aparecen las oposiciones. Los cálculos de da Costa permiten desen-hebrar aspectos parciales de las inherentes contradicciones y oposicio-nes con que se arma el mundo. Al desenhebrarse las trenzas, pueden aislarse parcialmente, en los cálculos de da Costa, algunas contradicciones que integran la urdimbre de lo real. Se aislan así —ontextualmente, deli-mitadamente en un cálculo parcial, dentro de una evolución general— algunas formas fundamentales de la primeridad peirceana. No es casual


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que si, por limitantes históricas en el desarrollo de las matemáticas, los primeros modelos de los cálculos Cn se construyeron ad hoc mediante matrices de verdad (operaciones activo-reactivas en un dominio acotado de valores), en cambio una semántica mucho más natural para los cálculos paraconsistentes parece poderse encontrar en modelos de la teoría matemática de categorías ligados a formas típicas que entrelazan la primeridad y la terceridad peirceanas: nociones formales de trenzas (que unen en un continuo hebras aisladas) y débiles deformaciones de lo simultáneo (que remedan una transformación continua por pequeños saltos —‘cuantales’— de variación). La frase de Cantor que da Costa gusta repetir [Costa 1993a, 62] —“La esencia de la matemática radica en su completa libertad”— es típica de la manera como da Costa ha abordado su labor lógica. Moti-vado esencialmente por desarrollos matemáticos, no ha escondido sin embargo su interés por tratar de desentrañar, en una libre y valiente conjunción de lógica y metafísica, los hondos arquetipos de la realidad:

Otro punto que me interesa mucho es el problema de la contradicción en la realidad: ¿tiene o no sentido hablar de cosas contradictorias reales? En ge-neral mi idea básica —y voy a hablar desde el punto de vista metafísi-co, que son cosas que no se pueden rigurosamente someter a test, o de-cidir, o resolver— es que el universo es una cosa que está haciéndose, que está en permanente cambio, y que con nuestras categorías mentales como objeto, relación, negación, etc., se le impone a la realidad un cier-to orden. La afirmación de que, por ejemplo, los grandes principios de la lógica clásica son aseverados, dados como válidos, es un postulado filosófico fundamental de la lógica clásica, y creo que en ciertos casos, por ejemplo en el caso de conceptos vagos y ciertas situaciones difusas, eso no es correcto. Entonces, mi idea es que es necesario utilizar una lógica distinta, una lógica que permita contradicciones, o una lógica que también permita lagunas. Tal vez la posición básica de quien quiera desarrollar una teoría de la realidad puede ser utilizar una lógica no-alética. Entonces, la lógica paraconsistente, para mí, está íntimamente relacionada con la estructura de lo real, con la ontología, con la metafísica. Nunca desarrollé mucho esto, porque en realidad son discusiones, son temas en relación con los cuales no tenemos criterios de verificación, criterios para someter a [prueba] lo que se dice. En el futuro tal vez me interese y empiece a desarrollar un tipo de elucubración metafísica u ontológica; entonces tengo absoluta certeza de que la lógica paraconsistente desempeñará un papel fundamental; es decir, la lógica paraconsistente tiene la capacidad de proveernos una manera de abrir el horizonte, de liberarnos de ciertos presupuestos. Hay que buscar la estructura de lo real, en m

1i opinión, con otros

presupuestos.

1. “Entrevista con Andrés Bobenrieth” (1994), en: Bobenrieth 1996a, 467-468.

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Un arquetipo puede entenderse como un ente eminentemente contradic-torio (rico en oposiciones) en el ámbito de lo simbólico, pero, como lo señalamos en el primer capítulo, los ‘signos generales’ peirceanos (en particular, los arquetipos) se extienden al ámbito general de lo real. No es absurdo, entonces, que puedan encontrarse —como da Costa pregun-ta y en el fondo sugiere— ‘cosas contradictorias reales’. Como vimos, para Peirce, algunas ‘cosas contradictorias reales’ son el ‘azar’ y lo ‘vago’, que evolutivamente se van subdeterminando y, a la vez, van disolviendo contextualmente, pragmáticamente, su inherente fondo contradictorio. Aquí y en muchos otros lugares, por caminos independientes,1 da Costa se encuentra muy cercano de las preocupaciones y de las ideas de Peirce. El párrafo siguiente, por ejemplo, puede verse como un borrador de algunas de esas ideas (aunque muchísimo más desarrolladas2 por Peirce, un siglo antes):

La razón, para mí, evoluciona, se transforma en el curso del tiempo, pe-ro ciertos principios se mantienen consciente o inconscientemente, que son los principios que yo llamé ‘principios pragmáticos de la razón’. Por ejemplo, uno es el principio de adecuación: en cada caso hay que utilizar la lógica (quiero decir la lógica deductiva) que mejor se adapte a las situaciones con las cuales se esté trabajando. Por ejemplo, en la vida usual es seguro que la lógica clásica es la lógica que mejor se adapta a los objetos macroscópicos, pero cuando uno habla de partículas elemen-tales, aparentemente se debe usar una lógica cuántica. Creo que este asunto no está muy estudiado todavía, o no hay conclusiones finales, pero esa es mi posición: la razón tiene un núcleo básico que son princi-pios pragmáticos que validan el uso de la lógica deductiva, de la lógica inductiva y del ejercicio de la crítica [Bobenrieth 1996a, 473].3

1. Da Costa es uno de los pocos lógicos que sí parece haber leído algo de Peirce (lo

menciona en alguna que otra ocasión), pero se trata seguramente de una lectura secun-daria muy rápida de escritos aislados.

2. El desconocimiento de la obra integral de Peirce ha hecho que, independientemente, se re-propongan varias de sus más asombrosas hipótesis y se re-encuentren varios de sus más puntillosos y metódicos análisis. Sin embargo, hasta el momento, muchas de las re-elaboraciones quedan aisladas y no se integran en una arquitectónica omni-abarcadora como la peirceana.

3. Bobenrieth 1996a, 473. Sin Peirce, pueden comprenderse el curioso ‘yo llamé’ que antecede a los ‘principios pragmáticos de la razón’, la duda de que el principio de ade-cuación ‘no está muy estudiado todavía’ o la afirmación en primera persona (‘mi posi-ción’) de que la razón tiene un núcleo básico de principios pragmáticos que correspon-den a la deducción, a la inducción y a la crítica [por cierto, una mezcla de estratos dife-rentes de la razón que corresponden, por un lado, a la abducción, la inducción y la de-ducción, y, por otro, a la ‘gramática’, a la ‘crítica’ y a la ‘retórica universal’; véase: Liszka 1996a. Sin embargo, con Peirce en el panorama del conocimiento, los comenta-rios anteriores deben ser plenamente reconsiderados.


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Los arquetipos, entes indeterminados donde se conjugan ‘libremen-te’ múltiples oposiciones simultáneas, evolucionan pragmáticamente y, al aislarse en contextos específicos, subdeterminan progresivamente su riqueza contradictoria: arquetipo simultaneidad contradicción vaguedad indeterminación tipo / encarnación

evolución contextualización pragmática subdeterminación disolución de la contradicción Al comienzo de ‘No oyes ladrar los perros’, Rulfo evoca oblicuamente para el lector una de sus más impactantes imágenes arquetípicas: una ‘sombra larga y negra’, ‘una sola sombra tambaleante’1 de un viejo llevando a otro hombre a horcajadas, andando un camino de cansancio y de dolor. La unidad del viejo y del hijo malherido que lleva a cuestas —la unidad mítica de un abajo y un arriba fundidos en su lento caminar en la oscuridad y el horror— se desdobla en el diálogo de la voz ago-biada y recriminadora del viejo y la voz apagada y lacónica del herido que repite una letanía del no y de la ausencia (‘no se ve nada’, ‘no se oye nada’, ‘no veo rastro de nada’; ‘mal’, ‘sed’, ‘sueño’). En una sola masa indeterminada —que va escindiéndose posteriormente a lo largo del cuento— se funden simultáneamente la memoria dolorosa del viejo, que contrapone la amada figura de su esposa con la rabiosa sangre de su hijo malhechor, y el sufrimiento físico del hombre que va ‘allá arriba’, apagándose lentamente. La vaguedad de la monstruosa ‘sombra larga’ va subdeterminándose hacia el final de la narración, luego de pasar por varias etapas intermedias de fraccionamiento en las que pueden leerse muchas desmembraciones y metamorfosis del arquetipo.2 Sombra lunar —sombra de una luna vista al comienzo como ‘llamarada redonda’, 1. “No oyes ladrar los perros”, [Rulfo 1992b, 134]. 2. Para múltiples claves en la lectura de los mitos que yacen detrás de la ‘sombra larga’

rulfiana, véase Angel Rama, “Una primera lectura de «No oyes ladrar los perros» de Juan Rulfo” (1975), [Rulfo 1992a, 790-799].

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‘grande y colorada’, y luego ‘casi azul, sobre un cielo claro’— la som-bra funde íntegramente la unidad de los opuestos: el oscuro recorte delineado en el piso transforma el nudo gordiano de padre e hijo en un solo ente mítico. Cuando, finalmente, al llegar al pueblo, el viejo puede descargar al hijo y se separan por primera (y última) vez los cuerpos, una desesperanza plena inunda a la narración y al lector: la desesperan-za del viejo, que oye finalmente el estruendoso ladrido de los perros, la caída floja del cuerpo ‘descoyuntado’ del hijo, la inevitabilidad del dolor humano. En el mismo instante en que el padre oye ‘cómo por todas partes ladraban los perros’, la constante solicitud al hijo (‘debías de oír si ladran los perros. Haz por oír’), el aliento necesario para seguir marchando, la cercanía del pueblo, surgen explosivamente en su tardía inutilidad; en ese instante se resquebraja el arquetipo y la fragmentación que se deriva del estallido hiere incisivamente al lector. Lugar primero de fondos míticos, descompuestos y reinventados a través del extraordinario ascetismo de su lenguaje, el mundo de Rulfo es un mundo que intenta develar hondamente, si no ‘causas primeras’, al menos ‘tipos primeros’, arquetipos rocosos y desfloridos. La obra de Rulfo es una de las más asombrosas realizaciones contemporáneas del noûs aristotélico, entendido como la capacidad de ver el uno a través de los muchos [Guthrie 1984a, VI, 207]. El noûs es el mismo arché de los archaí [Guthrie 1984a, VI, 197], lo primero de la primeridad, la fuente de todo conocimiento, el arquetipo de los arquetipos. La intuición ‘pri-mera’, sin mezcla, del noûs es transmitida con una eficacia extraordina-ria por Rulfo gracias al decantamiento ‘tercero’ de su lenguaje, sistemá-ticamente filtrado: gracias a los ‘hilos colgantes’, a las ‘hebras’ de su léxico sistemáticamente empobrecido. Estamos en un lugar del tipo 1.3, si nos situamos en la combinatoria de las categorías peirceanas, combi-natoria que no es sino una forma evolucionada de la combinatoria de los archaí. Las lógicas paraconsistentes, al no dividir ‘rigurosamente ser y no ser’, al encontrarse cercanas a una ‘concepción de la realidad como algo que fluye’, al considerar que ‘la gran mayoría de los conceptos en la vida diaria, y también los científicos, tienen exactamente el carácter de fuzzy, de fuzziness, o de vaguedades’, muestran que “un corte es siem-pre una cosa arbitraria” [Bobenrieth 1996a, 471-472], y se encuentran así muy cercanas al noûs aristotélico, donde lo uno y lo doble, lo uno y lo múltiple se conjugan simultáneamente, en un continuo sin cortes. El continuo aristotélico, que Peirce trataría de recuperar bajo formulacio-nes más modernas, es justamente un continuo donde tienen que vivir simultáneamente las contradicciones. Luego el noûs evoluciona hacia


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potencialidades actualizadas [Guthrie 1984a, VI, 323]: proceso que, según Peirce, corresponde a marcar puntos en el continuo, a realizar cortes que escinden las contradicciones siempre inherentes en lo posible y que las separan en el ámbito de lo actual. Los cortes en el continuo producen la sensación de contradicción: así, en el continuo de la poesía, la luna de Rulfo aparece, en un corte, como roja, y en otro corte como azul. Sin embargo, se trata de una luna que es, simultáneamente, roja y azul, dolor y esperanza. En el numeral 1.3 de Palomar, el protagonista mira la ‘luna de la tarde’, ‘sombra blanquecina que aflora del azul intenso del cielo’, ‘el más mudable de los cuerpos del universo visible, y el más regular en sus complicadas costumbres’:1 símbolo simultáneo de mutación y regularidad, la luna de Calvino fluye dentro de la luna de Rulfo, como queriendo encarnar, en los cambios del astro, el flujo de todas las transmutaciones de lo posible en lo actual [Calvino 1997a, 39-41]. Arquetipo de todo lo mudable y de la contradictoriedad constante de todos los humores, la luna es a su vez, simultáneamente, distanciado símbolo de belleza y pureza. Aunque no imaginamos aún qué podría ser una ‘luna paraconsistente’, es claro que todo el bagaje de la poesía y todo el flujo complejo de la realidad irán requiriendo lógicas cada vez más amplias para elucidar parcialmente sus secretos.

1. El “Perro ladrándole a la luna” (1988) de Rufino Tamayo [2000a, 72] recoge el pedre-

gal y la desolación del cuento de Rulfo y, en el movimiento del perro, las curvas del cielo y los contrastes de azul, logra encarnar los humores, las mutaciones y las contra-dicciones del astro. Al ritmo de los ladridos del perro parecería que la luna pudiera emprender su camino a través del cielo plástico e incrustarse y transformarse en las oblongas piedras del terroso camino que sostiene la tela, ejemplificando una suerte más de continuidad entre el arte y la naturaleza.

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2.1 Reverón y Gödel: Configuraciones parciales En las secciones anteriores hemos podido recorrer algunas creaciones en estética (1) y en lógica (3) en las que resultaba natural sub-enfatizar adicionalmente algunos aspectos de la primeridad peirceana: las ‘co-lumnas aisladas’ de Villa-Lobos y la libertad y el ‘extrañamiento’ mo-dal de Kripke, el ‘desprendimiento’ de Felisberto Hernández y el ‘des-doblamiento’ de Kleene, los ‘hilos colgantes’ de Rulfo y los ‘desen-hebramientos’ de la contradicción de da Costa. En las próximas tres secciones recorreremos otras creaciones en las que resulta muy natural sub-enfatizar aspectos de la segundidad peirceana. Se trata de configu-raciones activo-reactivas en las que las mismas oposiciones de elemen-tos diversos son las que le otorgan el sentido estético o lógico a la con-figuración: oposiciones entre lo parcial y lo total, entre lo polivalente y lo univalente, entre lo fronterizo y lo encerrado. En Palomar en la terraza (2.1), el señor Palomar se encuentra, en su terraza romana, ‘entre las hordas subterráneas de los ratones y el pesado vuelo de las palomas’, que ‘oprimen el reino en otro tiempo libre y diverso del aire’ [Calvino 1997a, 53]. En contraste con el vuelo distan-ciado (‘primero’) de los pájaros, Palomar observa la inagotabilidad de la ‘superficie de las cosas’, y hace el recuento de cómo se ‘enfrentan’ [Calvino 1997a, 56] terrazas, toldos, campanarios, frontones de pala-cios, áticos, andamiajes, ventanales, paredes, torres, ascensores, etc, en la corteza terrestre. El largo etcétera de la experiencia es el et caetera de ‘lo demás’: ésto y lo otro, abreviación sintomática de la segundidad peirceana. Lo segundo, ‘inagotable’, indecible, es necesariamente parcial, incompleto, periférico. En la vida y obra de Armando Reverón (Vene-zuela, 1889-1954) pueden muy nítidamente encontrarse fragmentos de una estética de la parcialidad. Después de formarse en París, reconocido centro cultural de la época, Reverón vuelve a Venezuela y se instala en la playa de Macuto (periferia de la periferia), donde a lo largo de más de 30 años de aislamiento, construye una obra pictórica de enorme originalidad. Reverón tiene la idea asombrosa de captar la resplande-ciente luz del trópico, encegueciendo la mirada en la obra pictórica. La obra de Reverón es una pintura en el vacío, un sudario de luz, donde se intenta ‘llegar a serlo todo siendo nada’. Las telas libres de Reverón son construidas sobre coletos a la vista (sacos burdos de café que le servían de lienzos), anotando golpes parciales de pintura. Las obras son restos


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indiciales de una luz total a la que no tenemos acceso. En una búsqueda de lo absoluto, terapéutica y vivencial, Reverón termina por armar la tela alrededor del coleto convertido en traza, explicitando la incomple-tez de la obra y los límites de toda aprehensión de la realidad. Las técnicas del eremita venezolano (imágenes en negativo, medios tonos, toques de blanco, rasgaduras) hacen que la nada (el coleto) se vea como el trazo pictórico. En Luz tras mi enramada (1926) [Reverón 1992a, 81], la enramada de arbustos surge con pedazos del coleto no pintados; los trazos verticales de blanco dan la impresión de una luz que se filtra por los troncos de la enramada, mientras que los troncos resul-tan ser en realidad espacios verticales del coleto a la vista. La enramada es ‘resto’ de la pintura; la nada, el vacío, el coleto, se convierten en estructura. Por otro lado, la construcción de la obra es plenamente recursiva: el deslizamiento vertical de cualquier pedazo del lienzo produciría la enramada total. Las brillantes insinuaciones de Reverón señalan a las obras artísticas como entornos parciales de significado, sólo completables por medio de las miradas externas de los espectado-res. La luz absoluta que busca representar Reverón deja indicios in-completos en sus coletos; cualquier intento de representación, inmedia-tamente, convierte un posible absoluto en un relativo actual. El conoci-miento es necesariamente relativo y sólo puede adquirir color insertán-dose en un libre tejido de relaciones. Reverón construía figuras esqueléticas con largos alambres y gusta-ba armar muñecas y pájaros en ‘papier-maché’. La imaginación de lo no encarnado, de lo descarnado, de lo libre de peso, es fundamental en su obra. Las figuras que salen de la nada, los trazos parciales, los restos de algo que pudo ser, mantienen a Reverón en un constante vértigo de situaciones límite. En la Playa (1941) [Reverón 1992a, 126], la monta-ña, la palmera, la arena son pedazos de coleto a la vista; todo el cuadro está armado por manchas de blanco que representan el mar y el cielo y por unas cuantas tachaduras de blanco y negro adicionales. Con una economía extraordinaria surge la luz indescriptible del trópico; Reverón se encuentra (como con los últimos lienzos de Turner) cerca de la abs-tracción total, capturando de una manera completamente original la dialéctica del todo y de la nada. Por otros cauces diferentes, von Neu-mann proponía la reconstrucción del esqueleto ordinal de la teoría de conjuntos a partir del conjunto vacío, mientras que en la teoría matemá-tica de categorías se descubría la idea fundamental de encarnar los objetos matemáticos a partir de objetos ‘libres’: por medio de adecua-das representaciones contextuales, los objetos libres, vagos y generales, guiaban los relés de información matemática. En el ámbito de la in-

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completez, la parcialidad, la apertura, la obra de Reverón es ejemplo notable de una problemática general de los límites en la cual el artista, acerada y casi dolorosamente1 consciente de límites extremos (‘absolu-to’ y ‘nada’), logra sin embargo evocarlos con toda una sofisticada técnica de lo intermedio (el juego positivo-negativo, la tela emergente, el medio tono, la paleta monocroma, el toque leve y veloz). Configuraciones parciales entre el todo y la nada, las telas de Reve-rón son conscientes de la inagotabilidad de la realidad y, a la vez, son subterfugios que juegan con la ilusión de sí poder aproximarnos a lo Absoluto. Insertos en el agudo contraste entre el todo y la parte, los coletos de Reverón —simultáneamente trazo y vacío— logran evocar por contraposición, en su misma incompletez buscada, el inalcanzable todo. En El Arbol (1931) [Boulton 1979a, 81], construido sólo con toques de blanco sobre el coleto, las suaves esfumaturas arman un fondo sobre el que resaltan como coleto a la vista el tronco y las ramifi-caciones del árbol, las tenues líneas verticales complementan el entorno externo al objeto y por contraposición lo revelan, los toques puntillistas arman el follaje y dan cuenta de la imperfección en que confluyen el objeto natural y la mirada del intérprete. El coleto, o ‘tela basta’ en Venezuela, es en una primera acepción del diccionario una ‘vestidura hecha de piel’; esa piel encima de la piel evoca la sensibilidad misma que aflora constantemente en la obra de Reverón, ‘flor de piel’ expuesta en el pecho desnudo de Reverón cada vez que pintaba, así como en los cuerpos desnudos de sus modelos, Juanita y Otilia,2 Obra, vida y lugar descarnados de adornos y enseres inútiles, los entornos creativos de Reverón buscan (y encuentran) en el ascetismo y en la carencia los únicos reflejos posibles de la plenitud. La obra de Kurt Gödel (Austria, 1906-1978) es una obra esencial-mente abierta, donde el relé y el montaje francastelianos toman una importancia fundamental. Situada, en un comienzo, dentro de los pro-gramas fundacionalistas de Russell y de Hilbert, que pretendían asegu-rar las matemáticas sobre una lógica ‘absoluta’, libre de contradiccio-nes, la obra de Gödel irá progresivamente abriéndose hacia caminos alternativos (lógica intuicionista, consistencia relativa, modelos no- 1. Véase la total entrega física de Reverón al acto pictórico (‘Reverón terminaba muy

fatigado’), registrada en la magistral secuencia fotográfica tomada por Alfredo Boulton en Macuto (1934), mientras el artista ejecutaba un lienzo [Reverón 1992a, 16-29]. La conciencia del ‘todo’ libera una energía explosiva que ha sido, probablemente, la que ha sostenido la ardua labor de muchos grandes creadores: un Monet, un Musil, un Mahler son incomprensibles sin sus intentos de abarcamiento de todos los límites artís-ticos.

2. Secuencias fotográficas de 1933 [Boulton 1979a, 170-171].


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estándar, axiomas conjuntistas nuevos). Aunque, entre 1920 y 1930, el programa de Hilbert parecía destinado al éxito, al haberse podido de-mostrar —con medios elementales— la consistencia de fragmentos crecientes de la matemática (cálculo proposicional clásico, lógica clási-ca de primer orden, aritmética restringida a la suma, aritmética con inducción restringida), el teorema de incompletitud de Gödel reevalua-ría la situación. Programa de Hilbert:

Los muchos resultados positivos obtenidos en el programa de Hilbert (de arriba hacia abajo: consistencia relativa del análisis respecto de la aritmética; de abajo hacia arriba: completitud y consistencia de las lógicas clásicas y de fragmentos considerables de la aritmética) tuvieron que enfrentarse al teo-rema de incompletitud de Gödel (si Γ contiene a PA, entonces Γ no puede demostrar su consistencia con sus propios medios). El teorema de Gödel fue entendido por muchos como una liquidación definitiva del programa de Hil-bert. Aunque esto sería así desde una perspectiva fundacionalista absoluta, sin embargo, desde una perspectiva lógica relacional, el teorema de Gödel ha dado lugar desde entonces a muy fructíferos desarrollos acerca de resul-tados de equiconsistencia relativa entre diversas teorías cercanas al lindero (*) (principio pleno de inducción en los naturales).

Resulta extraordinario el salto intelectual de Gödel quien, un año des-pués de haber demostrado la completitud de la lógica de primer orden, y en contra de todas las indicaciones de la matemática de su época, logra demostrar la incompletitud de la aritmética de Peano (con induc-ción plena) y de cualquier otro sistema que la contenga. Realizado en un lapso de tiempo increiblemente corto, ese salto de lo progresivamen-te acabado a lo ineludiblemente inacabable es uno de los más asombro-

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sos ejercicios de virtuosismo intelectual que se han dado en el siglo XX. Aunque aún no se entienden plenamente los malabarismos menta-les que le permitieron a Gödel cambiar completamente1 su aproxima-ción a los problemas de completez y consistencia en fragmentos de las matemáticas, una hipótesis razonable consiste en aseverar que fueron extensas y puntillosas lecturas filosóficas en los años anteriores (1926-29) [Véase: Gödel 1994a y Zalamea 1996a, 347-374] las que propen-dieron a afinar, en el joven Gödel, un ánimo exacto de demostrar las limitantes de cualquier aproximación local a lo Absoluto. En los teore-mas de incompletitud de Gödel, pueden enfatizarse tres aspectos que habíamos detectado en la obra de Reverón: 1. incompletitud: la obra requiere de visiones plurales; 2. parcialidad: la obra es recursiva par-cial; 3. apertura: la obra vive en una frontera abierta. Los trabajos de Gödel muestran cómo, a partir de un adecuado nivel de complejidad (correspondiente a la aritmética de Peano), los concep-tos matemáticos no pueden ser representados en un único sistema for-mal. En particular, los conceptos y los objetos matemáticos ligados de manera no trivial con el infinito, son conceptos esencialmente dinámi-cos, no codificables en un marco absoluto. Los teoremas de incompleti-tud de Gödel indican, entre muchos otros aspectos, que la dialéctica de lo uno-múltiple es una problemática ineludible a partir de un cierto grado de complejidad conceptual; la noción (‘una’, ‘en sí’) de infinitud, en particular, sólo puede ser aproximada a través de los múltiples modelos y la jerarquía de multiplicidades que ha propuesto la teoría de conjuntos en el siglo XX. La mirada (el sistema formal) modifica in-eludiblemente el concepto abstracto. Sólo con un ‘montaje’ adecuado puede reconstruirse toda la complejidad de los conceptos ‘vagos y generales’: esto ha dado lugar a la creciente importancia, en lógica matemática, de una amplia teoría de modelos. Las posteriormente denominadas ‘funciones recursivas’ son las herramientas fundamentales del relé gödeliano, entre representación (del modelo estándar de los naturales a la aritmética formal de Peano) y codificación (de la sintaxis del sistema formal al modelo estándar). Las funciones recursivas proporcionan un montaje meticuloso para poder realizar técnicamente la autoreferencia fundamental del teorema de Gödel que lleva a la incompletitud. Con las funciones recursivas queda definida, de una manera precisa, la dicotomía parcial vs. total. Por otro lado, las preguntas y las técnicas de Gödel desembocan en un profundo

1. El cambio es aparentemente completo, en la superficie. En lo hondo podría subyacer

una coherencia filosófica que no vislumbramos.


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estudio de la frontera entre la completitud y la incompletitud; en esa frontera se establecerán muchos de los más interesantes estudios poste-riores de la teoría de la prueba a lo largo del siglo XX (trabajos de Kreisel, Girard, Mints). El teorema de incompletitud de Gödel muestra que, a partir de un cierto nivel de complejidad (PA), el poder de representación excede al poder de prueba: lo ‘real’ (el universo de los números naturales) excede a lo ‘existente’ (la aritmética ‘mencionable’ en el sistema de Peano). Uno de los muchos asombrosos logros técnicos de los teoremas de Gödel muestra que en el mismo momento en que se obtiene una capaci-dad de representación lo suficientemente amplia como para capturar el universo de lo recursivo, inmediatamente el sistema con ese poder de representación resulta incompleto. La correlación entre axiomas de la matemática y su exacto poder parcial de demostrabilidad se convirtió, desde los resultados de Gödel, en uno de los grandes problemas de la lógica matemática contemporánea.1 Una configuración general de elementos y correlaciones puede acercarse a la noción de totalidad de varias maneras. En su artículo pionero, “El concepto de totalidad en la teoría del arte”, Mukarovsky [2000a, 290-302] distingue tres posibilidades para esa totalidad: como Gestalt (‘todo cerrado’, ‘perceptible por los sentidos’ con ‘cualidades determinadas por sus partes’: una ‘cualidad de forma’ [Mukarovsky 2000a, 291]), como contexto (“secuencia de unidades semánticas, cuyo orden no puede ser alterado sin que cambie la totalidad, y durante la cual el significado se acumula gradualmente” [Mukarovsky 2000a, 293]), o como estructura (“correlación de componentes [...] que se manifiesta como subordinación y predominio” generando una “«domi-nante» de la estructura” y una “«jerarquía» de sus componentes” [Muka-rovsky 2000a, 295]). De acuerdo con esta tipología pueden distinguirse algunos aspectos de la dualidad total/parcial en las configuraciones de Reverón y de Gödel: ninguna configuración es un Gestalt —pues son totalidades abiertas, cuyas cualidades exceden a las de sus partes—; la configuración gödeliana es total en su contexto mientras que la revero-niana no lo es —pues la configuración de Gödel es acumulativa, gra-dual y requiere un orden específico, mientras la configuración de Reve-rón es específicamente no ordenada, cambiable, ‘iluminada’ y no gra-

1. Estos desarrollos se han venido a concretar en uno de los textos de lógica más espera-

dos de las últimas décadas: [Simpson 1999a], donde se estudian detenidamente las ‘equivalencias’ lógicas entre teoremas de la matemática usual y subsistemas de la arit-mética en donde se realizan pruebas minimales de los teoremas en cuestión (‘matemá-ticas al revés’).

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dual—; finalmente, las dos configuraciones son totales como estructu-ras —pues, como hemos visto, ambas se construyen con claras correla-ciones entre componentes y dan lugar a dominancias y jerarquías—. Más adelante en su artículo, Mukarovsky señala que las relaciones estructurales en una obra de arte pueden ser positivas o negativas, y que estas últimas (‘discordancias o contradicciones’) son las que a menudo permiten la apertura de la obra, su fortalecimiento y unidad.1 Tanto los teoremas de incompletitud de Gödel como las irresoluciones tonales de Reverón se encuentran muy cerca de los linderos de la contradicción; y, efectivamente, de esa cercanía se infiere el particular sentido de apertu-ra, lógico o estético, de las obras en cuestión. Uno de los componentes básicos que entran en juego en el teorema de incompletitud de Gödel es un ‘lema de la diagonal’, forma sofisticada de reelaborar aritméticamente la ‘paradoja del mentiroso’ (autoreferencia al decir ‘miento’: ¿miento o no?). La reelaboración sortea la contradicción gracias a una jerarquización de niveles (codificación, interpretación, prueba), pero su vecindad con la contradicción es permanente.

1. Dado que el texto de Mukarovsky se encuentra asombrosamente cercano de algunas de

las preocupaciones de da Costa, merece realizarse una cita in extenso: “Las relaciones estructurales pueden ser de dos clases: positivas y negativas; es decir, pueden manifes-tarse bien sea como concordancias, bien sea como discordancias o contradicciones. Es claro a qué nos referimos con el término «contradicción»: la contradicción suele ser percibida subjetivamente como una incongruencia, acompañada por una sensación más o menos fuerte de algo inusual y hasta desagradable. Las contradicciones también constituyen un factor de la estructura artística: un factor de diferenciación e individua-lización. Cuantas menos contradicciones internas contenga la estructura artística, tanto menos individual será y tanto más se acercará a una convención general e impersonal. Si nos preguntamos ahora cuál es el origen de las contradicciones entre los componen-tes individuales de la estructura, llegaremos nuevamente a la tradición artística viva. La contradicción surge cuando determinados componentes se desvían de esta tradición, contraponiéndose a otros que la perpetúan. Por ejemplo, aparecerá una contradicción cuando un tema que se ha expresado tradicionalmente con voces elevadas, comience a expresarse con palabras cotidianas o hasta vulgares. Esta contradicción no afectará a la unidad de la estructura; por el contrario, la fortalecerá gracias a su efecto individualiza-dor. Estos son, por lo demás, hechos bien conocidos. Unicamente quise aportar una prueba, indispensable para el desarrollo de esta reflexión, de que la correlación de los componentes, en la cual se basa la unidad de la estructura artística, no tiene que ser positiva, porque tanto las concordancias como las contradicciones confieren unidad a la estructura. Otra consecuencia de las contradicciones en la estructura artística es la si-guiente: en la obra artística siempre está presente y actúa no sólo lo que está dado ac-tualmente, su estructura actual, sino también el estado anterior de la estructura artística, es decir, la tradición viva. Las dos etapas se encuentran en una relación dinámica, en-tran en contradicciones continuamente renovadas que buscan ser conciliadas. Podemos decir, pues, que incluso la estructura de una obra individual es un devenir, un proceso, no una totalidad estática y perfectamente delimitada” [Mukarovsky 2000a, 297-298].


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La obra, lógica o estética, escapa del lindero de la contradicción gracias a su carácter parcial. En uno de los resultados clásicos de la teoría de la recursión —explicitado por Kleene después de que Gödel introdujera las funciones recursivas como elemento de control para la representa-ción de funciones en su teorema de incompletitud— no puede realizarse una enumeración recursiva de las funciones totales recursivas, aunque sí puede construirse una enumeración recursiva de las parciales recursi-vas. En forma similar, no puede tampoco realizarse un desglose total de las lagunas y contrastes de Reverón sin afectar el hondo carácter parcial —inconcluso e inacabable— de la obra como ‘iluminación’ o ‘epifanía’ (en el sentido de Benjamin o Joyce), aunque sí pueden anotarse par-cialmente algunas de sus técnicas intermedias. En los paisajes reveronianos de playas y playones el vidente nunca determina plenamente su mirada. En ese ámbito de la indeterminación se sitúa el totalmente abstracto “Paisaje de Tanaguarena” [Boulton 1979a, 103], donde —como en las últimas telas de Turner y bastante antes de Rothko— sólo se enfrentan manchas de color: una gran man-cha blanca que tiende a invadir el coleto y que contrasta con las man-chas azules de mar y cielo, difuminando, tal vez, en el cruce de colores, el manchón opaco de un barco. La indeterminación y la apertura del paisaje están expuestas a cualquier lectura. La configuración parcial, borrosa, induce a la mirada inmediata, ‘primera’, cercana de la ilumina-ción y la epifanía; el fulgor de la luz del trópico, justamente, sólo per-mite que se aprecie el paisaje por un mínimo instante, otorgando una impresión primera, antes de enceguecer al vidente. Por su parte, los teoremas de incompletitud de Gödel descubren demostrativamente un fuerte componente de indeterminación en las matemáticas avanzadas

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(donde pueda representarse el sistema PA). A partir de un cierto nivel de complejidad (el lindero de la inducción plena en los números natura-les), todo sistema matemático incluye una infinitud de proposiciones indecidibles; la situación es similar a la desproporción de lo ‘algebrai-co’ versus lo ‘trascendente’ en el ámbito de los números reales: lo recursivo y lo controlado es poco (aunque es lo que entendemos), en comparación con lo indecidible. Reverón vive en el ‘ser y no ser’ de de la pintura: las pinceladas aparecen como toques y difuminaciones (lo que ‘es’) pero no se extien-den, las texturas son tanto rugoso coleto (lo que no ‘es’) como grueso óleo resecado a la vista (lo que ‘es’). En las telas de Reverón siempre es tan importante lo invisible como lo visible. Como lo ha explicado Mi-guel Arroyo, Reverón construye y maneja precisas técnicas para develar el ‘ser y no ser’ de su mirada:

Primera: Una aversión al brillo [que] lo lleva a emplear temple, espe-cialmente en los empastes, y a escoger bases mate y de mucha absor-ción. Segunda: La predilección por soportes de mucho poro y de trama visi-ble. Tercera: El uso de las uñas, los cabos de pincel o cañas de bambú, es-pecialmente cortadas, para hacer raspaduras en la tela. Con ellas crea sombras, define linealmente ciertos perfiles, o enriquece sus planos. Cuarta: El amor por las superficies no tocadas, que es como un dejar que el soporte también hable. Quinta: El empleo de muchas densidades de color (van desde la más transparente aguada hasta el empaste más fuerte), y un modo de poner el color que parece un frotado, y que a veces es un frotado, pero que ca-si nunca es un frotado [Arroyo 1992a, 178].

Las telas de Reverón son configuraciones de lo parcial: soportes poro-sos, pintura frotada y raspada, mezclas al temple y densidades contras-tantes de color. La emergencia del soporte (el coleto), y su plena inte-gración dentro de la obra, son la contraparte estética de las técnicas de codificación de Gödel, quien hace emerger el soporte de la aritmética (el tinglado de pruebas en PA) y lo integra plenamente (gödelización) dentro de sus teoremas de incompletitud. Así, el tornar visible lo invisi-ble une mancomunadamente algunos de los esfuerzos de Gödel y Reve-rón. Al igual que Reverón, al dejar el coleto a la vista, hace emerger la oscura y compleja urdimbre de la luz, también Gödel, al revelar el hondo fondo de indecidibilidad sobre el que se elevan las matemáticas, hace emerger el oscuro y complejo sustrato de la aritmética (retículo de grados de irresolubilidad), que sólo podrá empezar a ser artificialmente entendido (técnicas ad hoc) años después.


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Las muñecas de Reverón, como las hortensias de Felisberto Her-nández, muestran la desolación de la carne fijada y el horror de la transmutación de la sangre en venas de trapo. Las muñecas des-encarnan las zonas turbias del alma, que el mismo Reverón destapaba en sus frecuentes visitas al sanatorio. El ‘loco de Macuto’ no es sin embargo, en el registro hondo de los desniveles humanos, sino un páli-do reflejo de las depresiones, hipocondrías y paranoias en las que se sumió constantemente Gödel a lo largo de toda su vida [véase: Dawson 1997a]. Hombres muy cercanos a lo inasible, Gödel y Reverón son, en su vida misma, reflejo de lo inasible, de lo oscuro, del desequilibrio. En los entrelazamientos indivisibles de vida y obra, no es azaroso sugerir que las tensas sensibilidades de Gödel y Reverón —alertas y deseosas de un Absoluto que sólo pueden aproximar a través de rezagos parcia-les, videntes y abiertas a lo Invisible— logran con particular éxito acer-carse a esas contraposiciones gracias, justamente, a sus personalidades inestables, contradictorias y, en momentos, contrahechas. El ritual de Reverón al enfrentarse al acto de la pintura —ritual frenético y mágico, pero lúcidamente construido en su misma febrilidad e impulsividad— y su general aislamiento —que termina por convertir su terreno de Macuto en un verdadero dominio fortificado, inexpugna-ble para visitas indeseadas— pueden verse igualmente replicados en los ritos metódicos de Gödel y en su verdadero horror de la sociabilidad. Un eremita en Princeton, en el mismo centro del mundo académico, y otro en Macuto, en la periferia de la periferia, cambian simultáneamen-te, y en forma decisiva, los parámetros recibidos en cada uno de sus campos de acción. El que la influencia de Gödel llegue a ser absoluta-mente gigantesca en la lógica contemporánea,1 mientras se acumula el desconocimiento de Reverón, no es más que una circunstancia casual, mezcla de influencias socio-culturales (centro del centro versus perife-ria de la periferia): independientemente de su proyección, quedan, en ambas obras, enormes hálitos de originalidad y renovación2 que han fragmentado decisivamente cualquier aproximación a lo Absoluto.

1. Gödel es unánimemente reconocido como el mayor lógico del siglo XX, unanimidad

bastante difícil de encontrar en otros campos de la matemática o, más extensamente, de la cultura. Según Kleene, el artículo en el que Gödel expone sus teoremas de incomple-titud (“On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems”, 1931) fue “sin lugar a dudas el artículo más excitante y citado en fundamen-tos y lógica matemática” aparecido en el siglo XX [Kleene 1986a, 126]. Véase tam-bién: [Kleene 1987a, 49-64].

2. Cualquier ‘happening’ de los años setenta es modesto y mesurado, por ejemplo, si se lo compara con las actuaciones y los disfraces que Reverón imponía a sus escasos visitan-tes [Boulton 1979a, 171].

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Desde Gödel, desde Reverón, desde sus hondas intuiciones de lo inasi-ble, desde sus elaboradas técnicas para apresar los remanentes de lo indecible, no puede ya más el mundo contemporáneo creer en una ingenua idealización de la totalidad. Configuración parcial, integral múltiple, lo uno —peirceanamente— deja de ser un acabado ‘ideal’ para convertirse en un evolutivo ‘pragma’, sólo cognoscible por los ‘restos’ que va dejando el ‘crecimiento continuo de la potencialidad’.


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2.2 Onetti y Post: Configuraciones polivalentes En la narrativa de Juan Carlos Onetti (Uruguay, 1908-1994) se entrete-jen sofisticadamente las tres categorías peirceanas y sus signos ‘genera-les’ (signos de la forma : ‘--- substituye --- para ---’). Sus relatos son constantes substituciones que se modulan a través de (‘para’) narrado-res diversos, generando ambigüedad, pluralidad y polivalencia, como fundamentales modos de indeterminación de la realidad. Lo ‘real’ es leído en un primer nivel por un primer narrador que abre un abanico de posibilidades interpretativas, pero luego ese primer abanico es a su vez interpretado por otro(s) narrador(es) que multiplica(n) —e indetermi-na(n) aún más— el amplio rango de lo posible.

Al pasar a un segundo nivel (lecturas de lecturas de lo real) desaparecen las narraciones omniscientes y la pluralidad es tal que lo real y sus diver-sas lecturas se sitúan en un mismo plano. La estratificación construida con un supuesto narrador objetivo que observa la realidad (primer piso, lo real, segundo piso, el relator objetivo) se derrumba inmediatamente al agregar un tercer piso que mina (indetermina) la supuesta objetividad de la interpretación. Los narradores y la realidad pasan de encontrarse en una jerarquía de niveles a situarse indeterminadamente en un mismo nivel de posibilidades. Al modalizar de nuevo lo modal (lo posiblemente posible: ◊◊), la multiplicidad de puntos de vista en la narrativa de Onetti abre un gran espectro de posibles divergencias. Lo real (segundo) es leído no por un solo narrador (tercero) sino filtrado a través de múltiples narrraciones posibles, irresueltas e irresolubles en el espacio del texto. La configuración general es una configuración plenamente polivalente, en la que las múltiples lecturas terceras entran a accionar-reaccionar entre sí (segundidad), sin que nunca una mediación final determine una ‘verdad’ incontrovertible. Los personajes descarnados de Onetti viven en un mundo de accio-nes-reacciones donde la esperanza es día a día desgastada: “Hombres solos, incomunicados, acechantes; hombres acorazados, externamente fríos y despectivos para preservar secretas ternuras entendidas como

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debilidades por relación al mundo hostil” [Rama 1969a, 59]. Los per-sonajes de la saga de Santa María, lugar arquetípico donde se entrecru-zan diversas historias y se superponen desconfianzas, mentiras, tergi-versaciones, son personajes que van emergiendo ante el lector a través del choque de diversos testimonios. Los múltiples testigos sanmarianos (Díaz Grey, Malabia, el plural comunitario de un indefinido ‘noso-tros’)1 —quienes recogen una entrañable, pero dolida, condición huma-na— son aquellos que, más allá de los personajes segundos, intentan crear parcelas de un saber transmisible. Sin embargo, en la desesperan-za onettiana, el saber sólo llega a ser parcial, y tiende a diluirse rápida-mente ante un amplio abanico de versiones y posibilidades que los mismos testigos dejan siempre abierto. El mundo de Onetti es un mundo en el cual lo segundo termina primando sobre lo tercero, ya que las diversas versiones (terceras) sobre los hechos (segundos) entran a su vez a contrastarse y diluirse en un espacio de múltiples testimonios, sin que pueda resaltarse o escogerse una versión sobre las demás. Esta deliberada irresolución de las voces otorga a la narrativa de Onetti una de sus grandes fortalezas y explica su punzante tono de desesperanza, el cual es a su vez el tono de una profunda comprensión de nuestras debilidades, receptor de todas las pequeñeneces, sinsabores y sueños frustrados del ser humano. En Onet-ti todo subyace, se encuentra en entredicho, se modula, con los constan-tes ‘tal vez’, ‘creíamos’ o ‘debe’ que acompañan las versiones de los narradores. La irresolución modal (apertura de un amplio abanico de posibilidades) va de la mano de una irresolución verbal (uso sistemático de imperfectos y potenciales), dejando sólo referencias implícitas a corrientes subterráneas de la acción donde se encontrarían, en principio, las llaves del saber. En la extraordinaria Historia del Caballero de la Rosa y de la Vir-gen encinta que vino de Liliput (1956), Onetti [1970a, 1249-1271] crea un múltiple tejido contrastativo entre tres versiones (Lanza, Guiñazú, Díaz Grey) de una supuesta realidad, hasta hacer dudar al lector de la existencia misma de los hechos. Se trata de un notable logro poético, en el que algunas terceridades, supuestamente mediadoras de segundidades previas, tienden, al contrario, a disolver sus antecedentes. Esta paradoja lógica o faneroscópica le abre progresivamente al lector un lugar en el que puede sentir la multiplicidad y la complejidad de la vida, la riqueza de una diversidad de puntos de vista, la riqueza de lo actual como con-

1. Según Fernando Aínsa, “una especie de personaje colectivo que recoge rumores y

expresa el sentimiento chato de la comunidad” [Aínsa 1970a, 75].


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figuración casi aleatoria de pluridimensionales trazos de humanidad. Entre ‘susurros’, ‘tanteos’ y ‘sospechas’, los tres testigos de la asom-brosa pareja que se instala en Santa María, y que recauda envidias y desprecios por hacerse a una dudosa herencia, van recorriendo los múltiples ámbitos de la diversidad. La incertidumbre, la inseguridad, la irresolubilidad del saber son, en la Historia del Caballero de la Rosa [...], el fruto de una natural confu-sión ante las complejidades inasibles de la vida. El juicio, la interpreta-ción, el saber, formas fundamentales de la terceridad peirceana, no alcanzan a ser aseverados por una comunidad que permanece en la duda y la suposición. La obra de Onetti muestra incesantemente conflictos irresueltos en saberes estables, dentro del plano narrativo. En el nivel meta-narrativo, el lector, en cambio, es el real lugar tercero en el que se cristalizan y se sintetizan las mediaciones inacabadas de la narración: en la polivalencia, la parcialidad y la indeterminación, el lector detecta el profundo saber, la tolerancia y la comprensión de Onetti hacia ese mundo de sombras y segundidades que tan finamente logra sugerir. En la novela breve Los adioses (1957), Onetti [1970b, 713-771] construye otro ejemplo notable de indeterminación, donde se destruye toda posibilidad de conocer de manera unívoca la verdad de lo relatado. A través de un narrador y de sus informantes (un enfermero, una mu-cama) se conjugan hechos con hipótesis, con chismes, con equivoca-ciones, que multiplican la incertidumbre de la historia. En la novela, un tuberculoso (innominado, símbolo general de la condición humana) se refugia en un pueblo cuyo clima es favorable para la sanación, y dos mujeres se alternan en sus visitas —sus adioses— al moribundo; los observadores van construyendo una historia oscura y equívoca alrede-dor del triángulo, y sólo al final el narrador descubre que una de las visitantes es la hija del protagonista y no su amante, como había siem-pre elucubrado. En medio de la desazón y de la vergüenza del descu-brimiento, el lector se enfrenta súbitamente a todas las tergiversaciones e incomprensiones que rondan la existencia humana. Explota así, de nuevo en Onetti, la imposibilidad de creer en una terceridad fiel y me-dianamente receptora de las complejidades de lo real: la condición humana, según Onetti, inserta en retazos a menudo incoherentes de segundidad, difícilmente puede escapar de sus limitantes. La pluralidad del título de la novela se conjuga con la polivalencia y la ambigüedad derivadas al tratar de captar el mundo por omisión (no por constructivos ‘buenas’ sino por elusivos ‘adioses’). Para una tumba sin nombre (1959) [Onetti 1970c, 983-1046] es una novela aún más polivalente, susceptible, como lo comenta uno de los

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mediadores del relato, ‘de ser contada de manera distinta otras mil veces’. Aparentemente, la novela cuenta la historia de Rita (ni siquiera su apellido es seguro: García o González), una pordiosera que pide limosna acompañada de un chivo, para incitar piedad y para esconder la prostitución; se elucubran las relaciones, los comienzos y los finales de Rita, a lo largo de seis capítulos que son otras tantas versiones divergentes de lo real. Se afianza así el carácter aparentemente incomprensible e inasi-ble de la realidad, hasta que, al final del relato, se revela que la historia es en sí misma imaginaria, creada por Díaz Grey —el omnisciente médico de Santa María— por el mero placer de contar. Desaparece así el deslinde entre lo real y lo narrado, entre la segundidad y la terceridad peirceanas, consiguiéndose asentar con una enorme fuerza poética una de las más aceradas características de la narrativa de Onetti: el rechazo de toda reali-dad pretendidamente objetiva. La fusión onettiana de la segundidad y la terceridad peirceanas se constituye en una ‘paradoja faneroscópica’ de una extraordinaria riqueza poética. La relatividad, la polivalencia y la multipli-cidad de la realidad quedan así plenamente resaltadas. La indeterminación y la irresolubilidad de todas las diversas versiones y testimonios de los habitantes de Santa María ponen en un mismo nivel aspectos parciales de lo real y aspectos parciales de lo imaginario. En el ámbito de la lógica matemática, Emil Leon Post (Estados Unidos, 1897-1954) estudiará sistemáticamente el lindero de indeter-minación entre lo mecanizable y la ‘libre’ actividad psíquica. En el primero [Post 1986a, 317-378] de una serie de notables trabajos, Post [1986a, 374-375] realiza un estudio de sistemas lógicos en abstracto, distingue lógica de metalógica e introduce tres nociones de completitud y otras tantas de consistencia;1 como aplicación fundamental de su método ‘general’, Post delimita formalmente el cálculo proposicional clásico2 y muestra que es completo y decidible. Sin embargo, obtenido este fuerte resultado de determinación, Post procede a renglón seguido a indeterminar la situación: en un primer proceso de generalización, pasa a estudiar sistemas con un número finito arbitrario de conectivos, de axiomas y de reglas de deducción; en un segunda generalización, estudia sistemas con tablas de verdad con un número finito arbitrario de valores de verdad (las lógicas polivalentes). En esos sistemas más inde-

1. Las diversas nociones de completitud y consistencia pueden verse como ‘relativas’ o

‘absolutas’; en el caso clásico las nociones coinciden, pero en sistemas más generales (por ejemplo, que no contengan negación) lo relativo y lo absoluto divergen.

2. “Subteoría [de los Principia de Whitehead y Russell] única por su simplicidad y preci-sión, y completamente independiente de las restantes partes de la construcción, bien a pesar de que éstas tengan su raíz en ella” [Post 1986a, 317].


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terminados (‘generales’), se amplían y dificultan los problemas de delimitación y decidibilidad de los cálculos. En una interesante contra-posición entre intuición lógica e intuición espacial (comparando un ‘espacio’ de valores de verdad con el espacio geométrico), Post observa que la intuición geométrica alcanza naturalmente a captar un espacio de tres dimensiones, mientras que la intuición lógica se reduce sólo a dos dimensiones (verdadero, falso) [Post 1986a, 345], ya que la polivalencia (más de tres valores de verdad) introduce elementos ‘vagos’ que pueden dañar el control combinatorio (‘completitud funcional’) del cálculo. En años posteriores, en otro artículo que hace época,1 Post —siempre en la frontera entre lo decidible y lo indecidible— estudia los problemas de recursividad para predicados y relaciones entre números naturales. En el ámbito de los naturales, lo recursivo es esencialmente aquello —operatoriamente controlable: efectivo— que se encuentra ligado con el ‘buen orden’ de los naturales (donde todo conjunto no vacío posee un mínimo). Un conjunto es recursivo si, en un momento dado, se puede determinar mediante esa operatoria efectiva cuáles son sus elementos y cuáles no lo son. Un conjunto es recursivamente enu-merable si, progresivamente, pueden listarse sus elementos mediante la operatoria efectiva. En el estudio de la recursividad, en los años 30, se abre y explota el lindero de la indecidibilidad: en el cada vez más ex-tenso ámbito de los conjuntos recursivamente enumerables y no recur-sivos (entre los cuales, por ejemplo, por los resultados de Gödel, se encuentra el conjunto de los teoremas de la aritmética de Peano), Post introduce diversos tipos de comparabilidad (‘reducibilidad’) que dan lugar a toda una compleja jerarquía de ‘grados’ de indeterminación. Una sencilla observación de Post esconde un hecho notable que, generalizado por Kleene y Mostowski, dará lugar a la construcción iterativa de la ‘jerarquía aritmética’ [Mangione 1993a, 646], estratifica-ción del universo de los naturales mediante niveles de complejidad lógica precisamente correlacionados con niveles de complejidad aritmé-tica. Post observa que un conjunto es recursivamente enumerable si y sólo si puede ser definido a partir de una relación recursiva mediante una aplicación de los cuantificadores (∃, ∀): ∃y R(x,y) ≡ P(x) indeterminación ‘vaga’ R(x,y)

∀y R(x,y) ≡ Q(x) indeterminación ‘general’

recursivo recursivamente enumerable 1. “Recursively enumerable sets of positive integers and their decision problem” (1944).

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Si recordamos que, en el sentido peirceano, lo ‘vago’ corresponde a cuantificar existencialmente y lo ‘general’ a hacerlo universalmente, vemos que nos encontramos ante una honda forma del noûs aristotélico que no ha sido lo suficientemente apreciada. En la aritmética, al desple-gar lo decidible mediante las proyecciones asociadas a los cuantificado-res, se disuelve el pleno control de los objetos. Similarmente, en la estética o en la misma metafísica, al desplegar el uno en los muchos mediante procesos de indeterminación, la sensación de coherencia y compactación de lo uno se difumina. En ambos casos se cruza clara-mente el lindero de lo ‘controlable’ y resulta notable que ese cruce se realice, precisamente, cuando entran en juego métodos de vaivén lógico entre lo particular y lo universal. Generalizando la situación anterior, y ubicándose en el ámbito abstracto de las ‘reducibilidades’ entre conjuntos recursivamente enu-merables no recursivos, Post observa que existen conjuntos ‘universa-les’1 en cada una de las clases de reducibilidad, conjuntos a los cuales puede reducirse el problema de la decidibilidad de los demás miembros de la clase. Muchos de los métodos inventados por Post para jerarquizar la complejidad de los conjuntos universales —y así lograr ordenar y clasificar lo indecidible— incorporan el uso sistemático de la acción-reacción para delimitar gradualmente lo recursivo de lo que no lo es. En un proceso de iteración infinita, la acumulación de segundidades relati-vas y el forzamiento de condiciones de no recursividad permiten ir construyendo conjuntos indecidibles de todo tipo. Ahora, si se esquematiza el vaivén metodológico detrás de ese for-zamiento (esquema que corresponde, en un nivel dado, a dualizar acti-va-reactivamente la decidibilidad de no pertenecer al nivel o de sí per-tenecer a los niveles anteriores), y si se itera2 dentro de la narrativa de Onetti el forzamiento así esquematizado, podemos entender mejor parte de los procesos de indeterminación allí manejados. El siguiente es el esqueleto diagramático del forzamiento y de su transposición en la escritura onettiana:

1. Los conjuntos ‘creativos’, ‘inmunes’, ‘simples’, ‘hipersimples’, ‘completos’, etc. [Man-

gione 1993a, 641]. La creatividad y la originalidad de Post se reflejan en los mismos nombres que impone a sus conjuntos universales.

2. Véanse los comentarios p. 37.


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Los primeros modelos de las lógicas polivalentes, introducidos por Post en la segunda parte de su artículo de 1921, fueron matrices de valores de verdad, generalizando aquellas que venía de usar en la primera parte para demostrar la completitud del cálculo proposicional clásico. La codificación matricial de los valores de verdad es un manejo activo-reactivo, plenamente segundo en el sentido peirceano: los valores actú-an y reaccionan como índices y su combinación indica parcialmente un estado de cosas. De hecho, el manejo algebraico de los valores de ver-dad había sido anticipado unas décadas antes por el mismo Peirce, tanto en el caso clásico como en el caso polivalente,1 y correspondía, en la visión peirceana, a un manejo pragmático de posibilidades de contrasta-ción y falsación.2 La semántica natural usada por Post para sus lógicas polivalentes se encuentra así cercana de la segundidad peirceana, en forma similar a la prevalencia de la segundidad en la narrativa poliva-lente de Onetti. La correlación natural entre polivalencia y segundidad no debe sorprendernos. En buena medida, el interés de la polivalencia consiste en crear una indeterminación intermedia de valores entre los extremos (verdadero y falso), indeterminación que se consigue al situar contrasta-tivamente, en un mismo nivel indicial, otros valores que diluyan la bivalencia. Esa indeterminación intermedia, obtenida con una multipli-cación de índices, se encuentra así mucho más cercana a la segundidad que a la terceridad. En efecto, no se construye una mediación unitaria

1. Caso clásico: “On the algebra of logic” (1885), en: [Peirce 1982-1993, 162-190]. Caso

polivalente: Manuscrito de 1909; véase “Peirce’s Triadic Logic” (1966), en: [Fisch 1986a, 171-183].

2. Peirce equipara validez con imposibilidad de falsación: “To find whether a formula is necessarily true, substitute f and v for the letters and see whether it can be supported false by any such assignment of values”. “On the algebra of logic”, [Fisch 1986a, 175].

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entre extremos: más bien, éstos se deconstruyen y disuelven en una multiplicidad. • … v • f • • • • • polivalencia : disolución segunda mediación: construcción tercera Variantes, dudas, conjeturas, hipótesis, ambigüedades, equívocos, irre-soluciones, indefiniciones, oscilaciones: los recursos de Onetti multipli-can siempre la realidad y terminan por disolverla. En esa polivalencia se disuelven también los quistes del ‘yo’, y la soledad de los pequeños actos emerge —sobre el trasfondo de una realidad que ha sido arrasa-da— con una fuerza inigualable. La “naturalidad un poco ausente, fatigada y cortés” [Muñoz 1994a, 12] de Onetti es, en la carne misma del escritor, el espacio diluido donde puede fluir la diversidad de lo real, donde puede fluir la polivalente complejidad del ser humano, donde fluye límpidamente una escritura que ha eliminado todo adorno —sin barreras y sin juicios, con la distancia del ausente, con el desapa-sionamiento del que ha logrado sabiamente fatigar a la vida y convertir ‘en victoria por lo menos una de las derrotas cotidianas’—:

Todos los que participamos en una forma u otra en esta historia [Para una tumba sin nombre], incluso la mujer y el chivo muertos, envejeci-mos velozmente en el último año. Y, más o menos, esto era todo lo que yo tenía después de las vacaciones. Es decir, nada; una confusión sin esperanza, un relato sin final posible, de sentidos dudosos, desmentido por los mismos elementos de que yo disponía para formarlo. Personal-mente, sólo había sabido del último capítulo, de la tarde calurosa en el cementerio. Ignoraba el significado de lo que había visto, me era repug-nante la idea de averiguar y cerciorarme. Y cuando pasaron bastantes días de reflexión como para que yo du-dara también de la existencia del chivo, escribí, en pocas noches, esta historia. La hice con algunas deliberadas mentiras; no trataría de defen-derme si Jorge o Tito negaran exactitud a las entrevistas y no me extra-ñaría demasiado que resultara inútil toda excavación en el terreno de la casa de los Malabia, toda pesquisa en los libros del cementerio. Lo único que cuenta es que al terminar de escribirla me sentí en paz, seguro de haber logrado lo más importante que puede esperarse de esta clase de tarea: había aceptado un desafío, había convertido en victoria por lo menos una de las derrotas cotidianas [Onetti 1970c, 1045-1046].

Toda la clasificación de Post de los conjuntos recursivamente enumera-bles no recursivos puede verse también como la conversión de una ‘derrota’ en ‘victoria’: ante la dificultad —o, tal vez, la imposibilidad real— de que pueda comprenderse a fondo el ámbito de las matemáti-


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cas no recursivas, las reducibilidades y los forzamientos de Post sirven de trama para captar parcialmente grados de esa elusiva complejidad. La ‘nada’, la ‘confusión sin esperanza’, la falta de ‘final posible’ de Para una tumba sin nombre, ausencias superadas con la victoria de Díaz Grey, con la creación y el arte más allá de la vida, corresponden al vacío efectivo, a la confusión de los universos no recursivos, superada por Post con la panoplia de sus conjuntos ‘creativos’, ‘inmunes’, ‘com-pletos’, con la gran creatividad del matemático en el ámbito general de lo posible. En Palomar hace las compras (2.2), el señor Palomar entra a una quesería donde se enfrenta con la indefinida variedad de los quesos franceses. En el sofisticado local (Spécialités fromagères), Palomar trata de imaginar toda la complejidad escondida detrás de los quesos:

Detrás de cada queso hay un pastizal de un verde diferente bajo un cielo diferente: prados con una costra de sal que las mareas de Normandía depositan cada noche; prados perfumados de hierbas aromáticas al sol ventoso de Provenza; hay diferentes rebaños con sus estabulaciones y trashumancias; hay secretos de elaboración transmitidos a través de los siglos [Calvino 1997a, 69].

La elusiva variedad de la experiencia, que yace en los quesos, explota al buscar las raíces de cada sabor. El inalcanzable conocimiento completo de lo real queda patente en las ramificaciones potencialmente infinitas de cada matiz de hierba en cada prado. Ante esa diversidad inextricable de lo real, se crea un lenguaje polivalente:

Este negocio es un diccionario; la lengua es el sistema de los quesos en su conjunto: una lengua cuya morfología registra declinaciones y con-jugaciones en innumerables variantes, y cuyo léxico presenta una rique-za inagotable y matices de significado, como todas las lenguas nutridas del aporte de cien dialectos. Es una lengua hecha de cosas; la nomencla-tura es sólo su aspecto exterior, instrumental; pero, para el señor Palo-mar, apoderarse un poco de la nomenclatura sigue siendo siempre la primera medida que debe adoptar si quiere detener un momento las co-sas que se deslizan ante sus ojos. Saca del bolsillo una libreta, un lápiz, comienza a escribir nombres, a indicar junto a cada nombre algunas cualidades que permitan evocar la imagen en la memoria; trata incluso de trazar un boceto sintético de la forma. Escribe pavé d’Airvault, anota ‘moho verde’, dibuja un paralelepípedo chato y en un lado anota ‘4 cm circa’; escribe St. Maure, anota ‘cilindro gris granuloso con un palito dentro” y lo dibuja, midién-dolo a simple vista ‘20 cm’; después escribe Chabichou y dibuja un pe-queño cilindro [Calvino 1997a, 69-70].

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Las ‘cosas que se deslizan’ ante los ojos de Palomar —formas de la segundidad peirceana— son parcialmente aprehendidas por una no-menclatura múltiple y por un sistema de variados matices de significa-do: el sistema polivalente de las spécialités fromagères. Sobre el tras-fondo de una enorme complejidad apenas intuida, el registro de anota-ciones en la libreta del señor Palomar no es más (no puede ser más) que una pequeña victoria cotidiana en medio de configuraciones de lo inde-cible.


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2.3 Guimaraes Rosa y Caicedo: Configuraciones fronterizas La tendencia natural al estudio sistemático de lo fronterizo es, dentro del sistema peirceano, una de sus grandes fortalezas. Las fronteras se encuentran intrínsecamente ligadas con la terceridad (mediación entre dos), aparecen de manera fundamental en la máxima pragmática como contorno de los posibles contextos de interpretación, sirven de elemento básico de transmisión y de vaivén (iteración, osmosis, ‘contaminación’) en la clasificación triádica de las ciencias, son espacios intermedios de contrastación entre indeterminación y determinación, entre generalidad y vaguedad. En realidad, desde los griegos hasta hoy, esos linderos donde evolu-ciona lo intermedio han sido objeto de constante atención. La sistemati-cidad de Peirce y, posteriormente, la del siglo XX explicitan y revelan metódicamente una preocupación ancestral. Bajtin y Lotman, dos gran-des críticos y semiólogos de la literatura, situados en los bordes1 de la gran Rusia, han sido particularmente sensibles a las problemáticas de lo fronterizo. En su primer gran texto, El problema del contenido, el mate-rial y la forma en la creación literaria, Bajtin ya es consciente de la importancia del estudio de las ‘fronteras’ para adentrarse en una discu-sión sobre el problema del conocimiento. Para Bajtin,

el problema de todo dominio de la cultura —conocimiento, moral, ar-te— puede ser entendido, en su conjunto, como el problema de las fron-teras de ese dominio [...]. El dominio cultural no tiene territorio interior: está situado en las fronteras; las fronteras le recorren por todas partes, a través de cada uno de sus aspectos; la unidad sistemática de la cultura penetra en los átomos de la vida cultural, de la misma manera que el sol se refleja en cada una de sus partículas. Todo acto cultural vive, de ma-nera esencial, en las fronteras: en esto reside su seriedad e importancia;

1. La sensibilidad de Mijail Bajtin (1895-1975) por lo limítrofe entronca, sin duda, con su

recorrido por muchos lugares que le hicieron alejarse de una posición central; no sería descabellado pensar que esa conciencia de su ‘excentricidad’ (geográfica) contribuyera a afinar su oído hacia la ‘otredad’ y lo fronterizo. Algunas estancias de Bajtin: Oriol (infancia), Odesa (adolescencia), San Petersburgo (estudios universitarios), Vítebsk (profesorado, 1918-23), San Petersburgo / Leningrado (investigación, 1923-29), Kus-tanai (empleado público, 1929-36), Saransk (profesor, 1936-37), Moscú (maestro de secundaria, 1937-45), Saransk (profesor, 1945-61), Moscú (1969-75). Iuri Lotman (1922-1993), sin moverse tanto como Bajtin, fue sin embargo profesor en la Universi-dad de Tartu (Estonia) desde los años cincuenta hasta su muerte, en otro borde más de la gran Rusia.


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alejado de las fronteras pierde terreno, significación, deviene arrogante, degenera y muere [Bajtin 1991a, 30].

Desde la interrelación plena de contenido y forma en la obra de arte, que supera las limitaciones del material, que evade las fronteras del mundo físico, hasta la consideración global de lo estético como una ‘cultura de los límites’ [Bajtin 1989a, 177] contrapuesta a lo puramente existencial, la percepción de las ‘zonas fronterizas’, de los ‘límites entre disciplinas’, de los ‘empalmes y cruces’ [Bajtin 1989a, 294] se torna en una constante de fondo en la crítica de Bajtin. La dinámica, la energía vital de las palabras, ocurren en las fronteras de los diálogos. La inexis-tencia de ideas aisladas, y el básico principio dostoievskiano de que todo vive en la frontera de su contrario, son fuertemente recalcados por Bajtin [1989a, 297]: “el acontecimiento en la vida de un texto, es decir, su esencia verdadera, siempre se desarrolla sobre la frontera entre dos conciencias”. La terminología vitalista de Bajtin es muy diciente: en las fronteras están la ‘esencia’, la ‘vida’; lejos de las fronteras se encuen-tran la ‘degeneración’, la ‘muerte’. Es en las fronteras en donde Dos-toievski nos ilumina sobre la complejidad del mundo: conviven en los personajes de Dostoievski, se conocen y entienden, el amor y el odio, la fe y el ateísmo, lo noble y la felonía, la pureza y la lubricidad [Bajtin 1986a, 250-251]. La ‘esencia’ de la existencia se precisa en el encuen-tro con lo ‘otro’. Lotman liga el problema de las fronteras con la uni-versalidad de la cultura:

5.0. El espacio del texto de la cultura es el conjunto universal de los elementos de una cultura dada, es decir, es un modelo de todo. De esto se deriva que uno de los rasgos fundamentales de la estructura interna de tal o cual texto de la cultura es el carácter de sus divisiones: de las fronteras que escinden su espacio interno. 5.1. A las descripciones de textos de la cultura construidas con ayuda de los recursos de la modelización espacial, y, en particular, a las topológi-cas, las llamaremos modelos de la cultura. Podremos representarnos ta-les o cuales textos realmente dados como interpretaciones de esos mo-delos. 5.2. Las caracterizaciones fundamentales de los modelos de la cultura son: 1) los tipos de divisiones del espacio universal; 2) la dimensionali-dad del espacio universal; 3) la orientación. 5.3. La frontera divide el espacio de la cultura en continua que encierran un punto o un conjunto de puntos. La interpretación semántica del mo-delo de la cultura consiste en el establecimiento de correspondencias entre sus elementos (espacio, frontera, puntos) y fenómenos del mundo objetivo [Lotman 1998a, 101-102].

Para Lotman, en un espacio continuo, las fronteras son las que permiten distinguir y clarificar (dividir) ideas, escindir conceptos y establecer correspondencias con el mundo. Se trata de un programa muy similar al


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peirceano, aunque en éste (enunciado casi un siglo antes) se contara ya desde entonces con instrumentarios más sofisticados para captar la pluridimensionalidad de la cultura y su enorme rango polisémico: con-tinuo peirceano, lógica de vecindades, lógicas modales, gráficos exis-tenciales, triadicidad sistemática, versus la aproximación topológica clásica, ‘puntual’ y binaria (explícitamente saussureana) de Lotman. Joao Guimaraes Rosa (Brasil, 1908-1967) construye su Gran Ser-tón: Veredas (1963) —obra inmensa que, según Antonio Candido, vive en la “esfera de la pura potencialidad” [Candido 1991a, 304]— como lugar polisémico y plurivocal donde no se ofrecen soluciones sino sugerencias; el Sertón, reflejo del mundo, vive suspendido en la fronte-ra de las grandes luchas del ser: sacralidad y profanación, dolor y júbi-lo, odio y amor, muerte y vida. Los opuestos no se repelen: se atraen. En sus múltiples y posibles cruces yace la complejidad y la riqueza de la novela. El estilo del autor es, a la vez, popular y erudito, arcaico y moderno, oscuro y claro; a la frontera vibrante de la vida, donde el sí y el no campan al tiempo, Guimaraes le asocia una forma misma, un estilo, que refleja naturalmente las escaramuzas de la frontera. Tanto el hombre como la tierra se contaminan de lo ajeno, en un perpetuo des-hilvanar de contradicciones; todo vive en las fronteras y, al alejarse, degenera. Así, los protagonistas y los espacios geográficos del Sertón se agobian y se resecan al alejarse de Diadorín o del gran río. Diadorín, hombre-mujer a la vez, es el arquetipo de las contaminaciones y los cruces del Sertón; presentado como hijo masculino de uno de los gran-des jefes de la región, Diadorín es atraído, en una relación siempre ambigüa y confusa, por Riobaldo, el protagonista principal de la nove-la; sólo al final de la novela se devela que Diadorín es en realidad una mujer, que se disfraza para poder desplazarse con los demás hombres del Sertón. El cambio y la dinámica de las fronteras impulsa todo el texto: “Mire vea: lo más importante y bonito del mundo es esto: que las per-sonas no están siempre igual, todavía no han sido terminadas; pero que siempre van cambiando. Afinan o desafinan. Verdad mayor” [Rosa 1982a, 24]. Según Riobaldo, la percepción de lo intermedio es, en realidad, nuestra única percepción posible; el sí o el no, el yo o el otro, la salida o la llegada, no son más que ilusiones discursivas, pues sólo tenemos acceso a las conjunciones fronterizas del ‘y’:

Vaya usted poniendo su percibir. Uno vive repetido lo repetido y, resba-ladizo, en un min minuto, ya está empujando en otra rama. Hubiese acertado yo con lo que después supe sabiendo, más allá de tantos asom-bros [...]. Uno está siempre en lo oscuro, sólo que en lo último postrero


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es cuando iluminan la sala. Digo: lo real no está en la salida ni la llega-da: cuando se dispone para uno es en mitad de la travesía. Sí y no. A usted le parece y no le parece. Todo es y no es [Rosa 1982a, 54, 16].

El mismo territorio geográfico del Sertón es una tierra de fronteras y se encuentra dividido en dos regiones diferentes, que confluyen en el gran río que arrastra las vidas de los sertoneros. En un lado del río se tiene un espacio real, que corresponde topográfica y geográficamente a vere-das existentes del Brasil, un espacio que simbólicamente se extiende a valores de amistad y limpieza. En el otro lado, se configura una topo-grafía imaginaria donde reinan la venganza y el dolor. Los cruces cons-tantes del río y el curso mismo del río —frontera donde todo llega realmente a ser— jalonan el desarrollo de la novela. El sertón, ‘terreno de la eternidad’ [Lorenz 1991a, 86], es la frontera donde el hombre cruza y trasciende la temporalidad. Al “liberar al hombre del peso de la temporalidad y devolverle la vida en su forma original” [Lorenz 1991a, 84], Guimaraes eleva su búsqueda hacia el infinito: “Escribiendo, descubro siempre un nuevo pedazo de infinito. Vivo en el infinito; el momento no cuenta”, “Nunca me contento con nada. Como ya le revelé, estoy buscando lo imposible, el infinito” [Lorenz 1991a, 72, 81].1 En las formas diluidas del infinito, en sus elusivas y siempre cambiantes fronteras, es donde naturalmente cabe la obra de Guimaraes, repleta de simultaneidades y paradojas aparentes.2 Su obra es, en el fondo, un álgebra indeterminada del infinito, como el mismo Guimaraes la caracterizaría, contraponiéndola con el ‘realismo mágico” de Carpentier: “no calificaría mi concepto mágico como «rea-lismo mágico»; más bien lo llamaría «álgebra mágica» porque es más indeterminada y, por lo tanto, más exacta” [Lorenz 1991a, 90]. Como verdadero políglota,3 Guimaraes transgrede constantemente los límites

de la lógica.

1. Guimaraes diría de Goethe: “Creo que Goethe fue, en resumen, el único gran poeta de la literatura mundial que no escribía para el día, sino para el infinito” [Lorenz 1991a, 85].

2. En la citada entrevista, Guimaraes menciona al menos trece veces los términos ‘paradoja’ o ‘contradicción’, aplicándolos a su literatura y a su visión del mundo. Curiosamente, ataca duramente a la lógica (“la lógica es la prudencia convertida en ciencia; por eso no sirve para nada”; “para comprender la brasilidade es importante ante todo aprender a reconocer que la sabiduría es algo distinto de la lógica”) [Lorenz 1991a, 92, 93]), en los mismo años (!) en que da Costa, en el Brasil, y como parte de la brasilidade, construía sus lógicas paraconsistentes para no tener que eliminar artifi-cialmente las paradojas del ámbito

3. Guimaraes Rosa hablaba el portugués, español, francés, inglés, alemán e italiano, y decía poseer conocimientos suficientes para leer en latín, griego, sueco, danés, ruso, húngaro, persa, chino, japonés, hindú, árabe, malayo [...].


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del lenguaje: Gran Sertón: Veredas es álgebra y laboratorio lingüístico, donde aparentemente re-crea (pero, en realidad, como Rulfo, crea) toda un habla popular, a la vez reflejo finito y fundamento infinito del sertón. En el cruce de métodos finitos (lógica, álgebra) y métodos infinitos (topología) se sitúa la obra del matemático Xavier Caicedo (Colombia, 1944). En los dominios de lo mixto, y siempre mediando entre campos diversos de la matemática, sus trabajos cubren técnicas de ‘atrás hacia adelante’ [back-and-forth] generalizado en lógicas abstractas, calibraciones de propiedades de definibilidad en fragmentos monádicos de esas lógicas, caracterizaciones puramente topológicas de axiomas y propiedades generales en teoría abstracta de modelos, teoremas de representación para clases de álgebras y clases de grafos, así como teoremas de repre-sentación para clases de lógicas abstractas, construcción y aplicaciones de una novedosa lógica de los haces, definiciones y ejemplos de nuevos conectivos intuicionistas. Cruzando constantemente fronteras, Caicedo traslada aproximaciones de solución entre contrastantes regiones de la matemática: utiliza métodos topológicos, geométricos y/o algebraicos en lógica, así como sus contrapar-tes respectivas, al devolver los resultados lógicos para lograr una mejor comprensión de temas en topología o en álgebra. La visión de Caicedo puede caracterizarse como una visión relacional, complementaria, general y abierta: cada uno de estos términos, que precisamos a continuación con ejemplos de la obra de Caicedo, se encuentra estrechamente ligado con la superación o con la creación de una frontera.

En varios cruces, una visión relacional sistemática coliga resultados locales con procesos globales, una visión complementaria detecta aproximaciones de solución a un problema obervándolo desde ángulos opuestos, una visión general integra y consigue sencillez, elegancia y unidad en ámbitos aparen-temente multiformes, una visión abierta introduce nuevos conceptos y ejemplos que dan lugar a problemas originales de interés que amplían el espectro de la disciplina.

Desde su primera publicación,1 Caicedo desarrolla su visión comple-mentaria; invirtiendo el problema usual de encontrar una axiomatiza- 1. [Caicedo 1978a, 147-151]. Ya que (por razones meramente coyunturales) la obra de

Caicedo es menos universalmente conocida que la de los demás lógicos estudiados en este ensayo, nos permitiremos ser un poco más explícitos y precisos en la descripción de su trabajo.


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ción para las tautologías de un sistema, Caicedo propone una axiomati-zación para las no-tautologías del cálculo proposicional clásico; los axiomas son cristalizaciones técnicas de una dialéctica explícita entre el sí y el no, en los que no valen esquemas ni substitución. El proceso de abordar problemáticas y problemas desde ángulos opuestos continúa con sus estudios en teoría abstracta de modelos, donde Caicedo calibra diversas formas en las que fallan procesos de definibilidad (Beth, inter-polación) en lógicas con cuantificadores cardinales [Caicedo 1980a, 83-102], mientras que muestra luego, complementariamente, que en frag-mentos monádicos de esas lógicas vale interpolación [Caicedo 1985a, 1-12]. En uno de sus más bellos trabajos, al revisar la paradoja de Be-rry, detecta que la indefinibilidad de la definibilidad puede verse como una clave estructural para demostrar el teorema de incompletitud de Gödel [Caicedo 1993a, 37-48]. En sucesivos refinamientos, precisa el hecho de que la clausura bajo relativizaciones de una lógica abstracta es equivalente a poder comparar adecuadas topologías uniformes en espa-cios de modelos, y que tal clausura demarca y separa la validez o inva-lidez de muchas transferencias lógicas [Caicedo 1995a, 263-296]. En el estudio de conectivos intuicionistas, ataca definiciones generales desde un punto de vista semántico, examinando propiedades estructurales de clases de modelos de Kripke, en vez de considerarlas desde un punto de vista sintáctico-deductivo, como se había hecho hasta entonces [Caice-do 1995c, 705-716]. En estos y otros tantos ejemplos, Caicedo muestra el hondo interés de su visión complementaria: estudios de conceptos ligados paralelamente con su negación y basados en un cruce sistemáti-co de fronteras, al revisar tanto ejemplos positivos y negativos como alcances y obstáculos de técnicas apropiadas de prueba. Caicedo permea la gran mayoría de sus investigaciones en un pro-fundo tejido relacional, donde las interconexiones entre diversos cam-pos de la matemática se convierten en eje fundamental de apertura. Desde su tesis de doctorado, Caicedo [1978b] define técnicas de aproximación local algebraica (back-and-forth generalizado) en el ámbito de lógicas generales, y utiliza eficazmente ese cruce entre trans-ferencias locales algebraicas y propiedades lógicas globales. La visión relacional de Caicedo es también clara en otros de sus mejores aportes investigativos. En una precisa correspondencia de Galois entre pseudo-grupos de isomorfismos parciales que dejan invariantes a lógicas abs-tractas y clases de fórmulas invariantes bajo pseudo-grupos de isomor-fismos parciales, consigue teoremas de representación para lógicas que pueden ser capturadas por cadenas descendentes de pseudo-grupos o por cadenas de potencias iteradas, exhibiendo una gran finura lógica


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donde, a cada caracterización, se le asocian pertinentes ejemplos y contraejemplos [Caicedo 1988a, 101-115]. En sus originales trabajos sobre la utilización de métodos topológicos en teoría de modelos, des-cubre que los axiomas generales en lógicas abstractas coinciden preci-samente con requerimientos de continuidad uniforme para ciertas ope-raciones algebraicas entre espacios de modelos, y establece una lista extensa de correspondencias entre propiedades topológicas y propieda-des lógicas, muchas de las cuales se basan en el descubrimiento funda-mental de examinar sistemáticamente la continuidad uniforme de ope-raciones naturales entre estructuras [Caicedo 1993b, 33-43 y 1995]. En su elaboración peculiar de una lógica de los haces, que construye de manera sistemática en una franja intermedia entre modelos de Kripke y topos de Grothendieck, aprovechando los muchos ejemplos concretos de los primeros y los conceptos generales abstractos de los segundos, Caicedo alcanza tal vez su más alto nivel de creación investigativa. [1995b, 569-585]. En un cruce pleno de técnicas algebraicas, geométri-cas, topológicas y lógicas, elabora un flexible instrumentario que permite adecuadas interpretaciones y traslados, y que se beneficia de multitud de ejemplos y de un sólido sostén conceptual general, sin adolecer de la falta de perspectiva de los resultados puntuales o de la falta de concreción de los lineamientos categóricos más abstractos; el resultado es su teorema ‘fundamental’ de la teoría de modelos, donde resultados centrales de la teoría de modelos, como el teorema de Loz para ultraproductos, el teorema de completitud de la lógica de primer orden, construcciones de forcing en conjuntos, teoremas de omisión de tipos en fragmentos de lógica infinitaria, pueden verse todos, uniformemente, como construcciones de estructuras genéricas en haces decuados. a

Las múltiples interrelaciones que capta Caicedo entre técnicas di-versas del saber matemático alcanzan un grado aún mayor de aplicabi-lidad cuando el tejido relacional es depurado axiomáticamente: se pue-de proceder entonces a plantear definiciones generales que cubren un amplio radio de posibles concreciones. La mirada general de Caicedo unifica, integra y depura; las generalizaciones se realizan para permitir observar mejor el amplio espectro de los ejemplos concretos y nunca se admiten como ejercicios arbitrarios, o gratuitos, de abstracción. La definición de back-and-forth generalizado para lógicas abstractas le permite desarrollar un estudio pormenorizado de propiedades interme-dias positivas de definibilidad (relativización, Beth, interpolación) y de obstáculos en el poder expresivo (compacidad, Löwenheim-Skolem), llevándolo a obtener un teorema de tipo Lindström para Lωω(Q1) entre


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lógicas monádicas, que esclarece el comportamiento de las lógicas con cuantificadores cardinales [Caicedo 1980a, 83-102]. La generalización de argumentos de Tarski, acerca de la existencia de conjuntos indepen-dientes de axiomas para la lógica de primer orden, le permite asegurar la existencia de similares conjuntos de axiomas para teorías adecuada-mente acotadas en lógicas infinitarias [Caicedo 1981a, 219-223]. Pro-piedades generales de relaciones en el ámbito abstracto de categorías regulares le llevan a caracterizar la efectividad de relaciones de equiva-lencia [Caicedo 1981b, 43-64]. Una visión estructural general de una clase de cuantificadores ‘delgados’ le lleva a obtener contraejemplos uniformes a propiedades de definibilidad en una amplia gama de lógi-cas abstractas [Caicedo 1990a, 231-240]. Una generalización de pro-piedades locales de los modelos de Kripke le induce a definir una no-ción de conectivo intuicionista como una clase de modelos que satisface esas propiedades estructurales generalizadas, cubriendo así un extenso campo de ejemplos que parecían desligados [Caicedo 1995b, 705-716]. De manera similar, muchas otras instancias de la obra de Caicedo co-rresponden a procesos de generalización, ligados inmediatamente con resoluciones particulares en ámbitos de ejemplos concretos. De manera natural, la visión complementaria, relacional y general de Caicedo da lugar a su inusual apertura. Los trabajos de Caicedo no son sólo valiosos por las muchas resoluciones que otorgan sino tam-bién, en una medida igualmente significativa, por las muchas preguntas que proponen. El poder de los conceptos, las técnicas y los ejemplos que maneja puede medirse en los muchos problemas que surgen de manera natural en sus escritos. Se ha dicho a menudo, correctamente, que la riqueza profunda de una demostración matemática no consiste tanto en alcanzar un resultado sino en abrir múltiples ámbitos de posibi-lidades y variaciones ligadas a ese resultado. Una constante en la obra de Caicedo es esa inquietud intelectual que le obliga a problematizar constructivamente cada resultado: análisis dialéctico de conceptos de fondo, jerarquización de ventajas y limitantes en los métodos de prueba, sistemático vaivén fronterizo entre ejemplos y contraejemplos. A su vez, la suma relacional de los varios problemas da lugar a problemáti-cas más profundas, donde los aportes de Caicedo son muy iluminado-res, particularmente alrededor de la consecución de geometrizaciones y topologizaciones naturales para lógicas abstractas y alternativas y alre-dedor del estudio de las fronteras lógicas generales entre definibilidad, prueba y axiomatizabilidad.


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LÓGICAS back-and-forth continuidad uniforme

monadicidad genericidad ÁLGEBRAS TOPOLOGÍAS

En el cruce de la tríada lógicas-álgebras-topologías se sitúan los aportes investigativos más originales de Caicedo: lógicas y pseudo-grupos de iso-morfismos parciales, métodos topológicos en teoría de modelos, lógica de los haces, conectivos intuicionistas.

Los trabajos de Caicedo median entre mediaciones. Su lugar, sistemática-mente fronterizo, sistemáticamente afín a lo relacional y a lo complementa-rio, se abre a lo general: encarna plenamente en la terceridad peirceana. Sin embargo, muchos matices importantes de la originalidad de Caicedo pue-den verse como acceso sistemático a la terceridad desde la segundidad (2.3): diversos matices analíticos recorren sus trabajos (descomposición de conceptos en elementos comparables, manejo constante de ejemplos acti-vo-reactivos) y muchas de sus mejores construcciones proceden de abajo (contraste de métodos matemáticos en la lógica) hacia arriba (generalidad de la teoría matemática de categorías). La lógica de los haces, posiblemente su creación más original, deriva buena parte de su riqueza al situarse justamente en un estrato intermedio entre la lógica intuicionista, de la que aprovecha un extenso cuerpo de modelos y ejemplos diversos, y la lógica categórica, que le otorga una clara direccionalidad y un nítido esqueleto de objetivos sin tener que sufrir sin embargo la atmósfera enrarecida de la extrema abstracción categórica. En forma similar, Gran Sertón: Veredas procede de lo segundo a lo tercero. Desde el enorme rango de sus oposiciones,1 la novela va crean- 1. Complementando nuestra exposición, véase el excelente resumen de Eduardo de Faria

Coutinho: “Grande sertao: veredas tiene en la ambigüedad su principio estructural básico, constituyéndose su narrativa en una serie de pares antagónicos, pero que se complementan, en lugar de excluirse, confluyendo hacia una especie de síntesis dialéc-tica indicada por otro leitmotiv repetido insistentemente —la afirmación «Todo es y no es» que parodia a las fórmulas excluyentes, tomadas aquí metafóricamente como re-presentativas del cartesianismo—. Es así que elementos como el bien y el mal, luz y tinieblas, carne y espíritu, coexisten en constante tensión en la novela, y que opuestos considerados excluyentes en la ficción brasileña anterior, como regional vs. universal o mithos vs. logos se relativizan, dando lugar a un universo complejo y contradictorio como el propio sertón, donde, como decía Riobaldo, «Aun Dios cuando venga, que venga armado»” [Coutinho 1995a II, 2066].


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do el ámbito permanente del ‘y’ mediador donde confluyen los antago-nismos. Bordes opuestos, geográficos o del alma, confluyen en una frontera mediadora que, a la postre, se extiende sobre todo el sertón y amplía indefinidamente sus límites. Guimaraes Rosa, el hombre nacido en el ‘infinito’ del sertón y que —en un guiño inequivocable del desti-no— moriría como presidente de la comisión de límites y fronteras de su país, construye una ‘tercera orilla’ para la brasilidade. En su maravi-lloso cuento La tercera orilla del río [Rosa 1969a, 61-69], el padre del narrador, un ‘hombre cumplidor, de orden, positivo’, ni ‘más extrava-gante ni más triste que los otros’, ‘solamente quieto’ [Rosa 1969a, 63], encarga que le construyan una canoa y, de repente, sin aviso, va a vivir en medio del río del que no vuelve jamás a salir: “No iba a ninguna parte. Sólo ejercitaba la invención de permanecer en aquellos espacios del río, de medio a medio, siempre en la canoa, para no salir de ella nunca más. Lo extraño de esa verdad espantó a la gente” [Rosa 1969a, 64]. Pasan muchos años, apuntan las primeras canas en el hijo y el padre sigue en la ‘tercera orilla’: “mi padre siempre ponía ausencia: y el río —río— río, el río —ponía perpetuidad” [Rosa 1969a, 68]. Sobre-viene el lacerante final del cuento:

Apretaba el corazón. El estaba allí, sin mi tranquilidad. Soy inculpado de lo que no sé, con herida abierta dentro. Sabría, si las cosas fueran distintas. Y fui madurando una idea. Sin demorarme. ¿Soy loco? No. En nuestra casa la palabra loco no se usaba, nunca más se usó, los años todos, nunca a nadie se acusó de loco. Nadie es loco. O, entonces, todos. Lo fui, porque fui allá. Con un pañuelo, para hacer más visible la señal. Estaba en mis cabales. Esperé. Por fin él apareció, ahí y allá, el bulto. Estaba ahí, sentado en la popa, estaba allí, a la voz. Llamé, unas cuantas veces. Y hablé, lo que me ur-gía, jurando y declarando, tuve que reforzar la voz: —‘‘Padre, usted es-tá viejo, ya cumplió lo suyo... Ahora, usted viene, no precisa más... Us-ted viene, y yo, ahora mismo, cuando quiera, los dos de acuerdo, ¡yo tomo su lugar, el de usted, en la canoa...!” Y, así diciendo, mi corazón batió en el compás seguro. El me escuchó. Se levantó. Manejó el remo, en el agua, de proa hacia acá, conforme. Y yo temblé, hondo, de repente: porque antes, él había erguido el brazo y hecho un saludo —el primero, después de tan-tos años transcurridos. Yo no podía... Con pavor, erizados los cabellos, corrí, huí, me arranqué de ahí en un proceder desatinado. Porque me pareció que él venía: de la parte del más allá. Y estoy pidiendo, pidiendo, pidiendo un perdón.

].

Sufrí el severo frío de los miedos, enfermé. Sé que nadie supo más de él. ¿Soy hombre, después de este perjurio? Soy el que no fue, el que va a callar. Sé que ahora es tarde, y temo concluir mi vida en la mezquindad del mundo. Pero entonces, al menos, que, en el capítulo de la muerte, me agarren y me depositen también en una simple canoa, en esa agua, que no cesa, de extendidas orillas: y yo, río abajo, río afuera, río adentro —el río [Rosa 1969a, 68-69


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Acceder en carne propia a la infinitud del río herácliteo no es empresa común. En la ‘tercera orilla’ Guimaraes encarna, con el temor que produce toda profunda belleza, su constante búsqueda (tercera) del infinito, más allá del momento (segundo) que ‘no cuenta’. Abajo, afue-ra, adentro, orilla: todo es frontera ‘de la parte del más allá’. Caicedo y Guimaraes Rosa comparten una de las características comunes de los habitantes de la ‘tercera orilla’: en su búsqueda del infinito, reelaboran y reescriben constantemente sus trabajos, nunca contentos con las aproximaciones finitas en que se convierten los textos dados a la imprenta. Así como Guimaraes reescribió, múltiples veces, múltiples pasajes del Gran Sertón (aún después de publicado lo siguió reescribiendo hasta sólo quedar aceptablemente contento con una se-gunda edición), Caicedo va decantando permanentemente sus múltiples manuscritos, hasta alcanzar una cristalinidad medianamente satisfactoria para sus altas exigencias. La constante reelaboración en las obras de Gui-maraes y de Caicedo es otra forma más de su natural compenetración con lo fronterizo: evolucionan las visiones fronterizas de la literatura y del saber y, en esa evolución, las técnicas mismas de la visión se amoldan al tránsito continuo. Rodríguez Monegal relata cómo un ‘error’ de seguimiento en la evolución del texto es aprovechado por Guimaraes para recalcar aún más la sensación de ambigüedad de la novela:

Escribiendo y corrigiendo, descubre a veces un error y en vez de reto-carlo, resuelve aprovecharlo. Así, por ejemplo, en Grande Sertao: Ve-redas hay una piedra preciosa que cambia varias veces de nombre: la primera vez se habla de un topacio, luego se convierte en zafiro, casi de inmediato pierde el nombre preciso y es sólo una piedra valiosa, pero antes de concluir la narración será una amatista. Releer todo el libro (594 páginas en la edición brasileña) para uniformar el nombre de la piedra, le pareció tarea estéril. Prefirió agregar unas líneas cerca del fi-nal en que las mismas dudas y contradicciones sobre el cambio de nombre sirvieran para acentuar el carácter ambiguo del relato entero. Al fin y al cabo, esa piedra preciosa que el protagonista se siente tentado a regalar a la mujer que ama pero que quisiera regalar a un compañero, al que también ama, es símbolo de un corazón dividido. “Hay que trabajar a favor de las limitaciones”, dice Guimaraes Rosa con una sonrisa en que se refleja su sentido irónico, complejo, de la vida [Rodríguez Mo-negal 1969a, 13-14].

Particularmente sensibles a lo limítrofe y a lo fronterizo, Guimaraes Rosa y Caicedo elaboran técnicas precisas para resaltar el dinamismo de las fronteras: en Guimaraes, la fragmentación del tiempo y del espa-cio, el vaivén natural en esa fragmentación, la yuxtaposición de frases cortas y antagónicas en vez de encadenamientos verbales, la sintaxis


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abierta y modulatoria, la geometrización no lineal de la estructura narrativa; en Caicedo, el tránsito topológico entre modelos concretos y modelos ‘genéricos’, el vaivén natural entre esos modelos, la yuxtapo-sición (forzamiento) de condiciones lógicas que capturan parte de la complejidad matemática circundante, la semántica intermedia y modu-latoria, la geometrización (hacificación) de la estructura lógica. Signos generales del tránsito entre ‘ésto’ (la finitud, la segundidad) y ‘la parte del más allá’ (la infinitud, la terceridad), las obras de Guimaraes Rosa y Caicedo —como configuraciones fronterizas— abren los espacios de la literatura y de la lógica a nuevas posibilidades creativas en el ámbito de lo intermedio.

ESTA HOJA NO CUENTA


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3.1 Matta y Lindström: Estructuras límite En las últimas tres secciones de este ensayo, pasamos de la noción de configuración —espacio de correlaciones donde puede enfatizarse natu-ralmente la segundidad peirceana: procesos de acción-reacción— a la noción de estructura, entendida como espacio de relaciones terceras, tanto en el nivel de su arquitectura global como en el nivel de la mediación y el engranaje.1 En la noción de estructura resaltamos la conciencia del sistema, de la armazón, de las transformaciones que gobiernan su arquitectura, así como el tinglado de acoples, ligaduras, enlaces, que permite sostener la armazón y ‘colorear’ su haz de transformaciones. Roberto Matta (Chile, 1911-2002), arquitecto ya a los 21 años, introduce en su pintura el diseño estructural típico de su profesión. Matta organiza croquis gigantescos, croquis a la vez de la mente huma-na y del espacio sideral, donde se tensionan fuerzas sociales y fuerzas naturales, donde se reflejan el átomo y la galaxia, en pugna constante entre límites interiores y exteriores. En Matta, “lo no visto encarna” [Paz 1985a, 18], en medio del “espacio tensionado, eléctrico y vertigi-noso más original de este siglo” [Traba 1994a, 70]. Matta organiza una náutica general del ser, donde los signos en la tela se encuentran en constante tensión geográfica, entre su desparrame y su equilibrio, y en constante tensión plástica, expuestos con colores fríos y ácidos. Los espacios de Matta no se encuentran llenos de materia; sin embargo, la tirantez de la estructura es evidente, repleta de fuerzas invisibles en tres niveles: cosmológico, humano, atómico. Matta consideraba a sus obras como obras ‘exponenciales’ (distinguiéndolas de obras controladas con operaciones ‘lineales’), obras cercanas a límites explosivos. Bombardeando el ‘yo’ con paradojas [Matta 1985a, 282], Matta hace explotar lo humano, límite entre el cosmos y el átomo, borde inter-ior y exterior:

Deseo mostrar la vida interior y sus conflictos con el mundo exterior, lo que separa el yo profundo del yo manifiesto, ese huracán de dudas que

1. Como ya lo habíamos comentado anteriormente, esta presentación escoge algunos

énfasis por encima de otros. Es obvio, por ejemplo, que todas las lecturas lógicas pue-den verse como terceras (y, en muchas, es natural otra sub-entonación tercera: 3.3...): son‘estructurales’ más que ‘configuracionales’ o ‘conjuntivas’ (hilación de ‘hilos col-gantes’). Sin embargo, así como sub-enfatizamos ‘hilos’ y ‘configuraciones’ en las sec-ciones anteriores, procedemos más específicamente a sub-enfatizar ‘estructuras’ en lo que sigue.


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llevamos en la cabeza y esa evidencia material contra la que nos cho-camos incesantemente.1

Sus “líneas concéntricas, espirales, planos transparentes, objetos flotan-tes, bulbos y germinaciones” [Traba 1994a, 70] son algunos recursos para construir un hiperespacio volátil y dinámico donde confluyen el espacio estelar, el mental y el subatómico, y donde fluye y renace la vida en su más amplio espectro, desde la evolución galáctica hasta la generación espontánea de las partículas elementales, pasando por el ‘huracán de dudas’ del cerebro,2 retratado en inmensos óleos que pue-den parecer tomas macroscópicas de la actividad mental. Matta intenta ‘pintar el momento del cambio’, como tratando de dejar trazas visibles del movimiento y de la velocidad en el hiperespa-cio de la pintura:

Pintar el momento del cambio, el cambio mismo: me he consagrado a ello sin interrupción y lo he visto desarrollarse ahora en ciencias, en matemáticas, en filosofía, la morfología de la forma, la relatividad: es todo el mismo problema [Matta 1985a, 266].

Cambio, flujo de la vida o ‘fluxiones’ matemáticas: formas todas de paso al límite, son las formas que sistemáticamente tratará Matta de captar en su obra. Para lograrlo, Matta construirá una estructura pictóri-ca plenamente relacional —“un paisaje, una entidad líquida, una emul-sión de color atravesada de fuerzas y relámpagos, un espacio tensiona-do y eléctrico, un modo de ver y sentir por golpes de sangre” [Traba 1984a, 193]— que torna visible el proceso de paso al límite y que refle-ja la ‘colosal estructura de la vida’, así como las ‘estructuras extremas’ del sentido y de todo lo intermedio:

Crear una pintura es una experiencia fenomenal, colosal, en el sentido en que es el hombre quien inventa, como la naturaleza inventa. Es como participar en el avance de los tiempos futuros. Esta experiencia nos lle-ga a los sentidos por una percepción directa, la percepción insistente de lo fenoménico que utilizamos como ley de referencia [...]. Hay que te-ner un sentido estructural de la vida, lo mismo que tenemos una con-cepción esférica de la tierra [...]. Hay que pintar la colosal estructura de la vida, como la ciencia pone una ciudad en correlaciones geométricas.3

Deseo reemplazar la perspectiva por una suerte de prospectiva y simul-táneamente reemplazar el espacio de las distancias por un espacio del

1. Roberto Matta, “Entrevista con Alain Jouffroy (1953)”, [Matta 1985a, 278]. 2. Es impactante comparar las tres vertientes de Matta (cosmos, humanidad, mundo

atómico) con la evolución de los “signos generales” en Peirce, dentro de un registro tremendamente similar (cosmos, humanidad, protoplasma). Ver p. 25.

3. Roberto Matta, “Entrevista con Sidney Janis”, [Matta 1985a, 273].


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sentido. Le doy un ejemplo: tomemos cuatro personas alrededor de una manzana, es lo que vemos en perspectiva; pero también tenemos las re-laciones de esas cuatro personas con la manzana: es lo que vemos en prospectiva. Uno está enfermo, el otro tiene hambre, el tercero es un ni-ño [...]. ¡Eso lo cambia todo! En vez de una estructura de hechos, te-nemos una estructura de la necesidad. Es eso lo que importa: la necesi-dad, el deseo. El deseo cambia al hombre, lo puede cambiar en un monstruo. Pero el hombre puede también desaparecer, si se encuentra en una situación que no excita en él ningún deseo, ninguna necesidad, ninguna aspiración. Están allí las estructuras extremas del deseo: el hombre como ausencia y el hombre como monstruo. Los extremos —y todo lo que se encuentre entre ellos— deben ser vistos en prospectiva y deben expresarse en un espacio especial: el espacio del sentido. Una es-tructura de hechos es un trompe-l’oeil. Lo que yo busco es más bien un trompe l’être.1

Al tratar de develar la estructura de lo ‘no visto’, más allá de la estruc-tura de los hechos, Matta inventa un peculiar diseño tercero (estructural) para hacer emerger la primeridad (lo ‘no visto’). El espacio estructurado donde convergen sentido y sentidos, donde sobre un continuo coliga cos-mos, hombre y átomos, donde traza “mapas geográficos de la naturaleza humana y de sus energías” [Matta 1985a, 306], donde —como Guimaraes Rosa— busca lo ‘desconocido’ y sólo se contenta con mitos primordia-les o con el ‘universo’ todo,2 ese espacio visto en ‘prospectiva’ es una de las encarnaciones más asombrosas realizadas en este siglo del ámbi-to pleno de la terceridad peirceana: relacionalidad, universalidad, conti-nuidad, convergencia. Matta, en un principio estrechamente relacionado con el surrealismo parisino alrededor de Breton, termina por resistir al cliché y a la fórmu-la3 y crea los ‘milagros’ independientes de su pintura.4 Surrealista mucho más hondo y original que sus maestros, Matta revela una reali-dad compleja, colosal, que trasciende los hechos y las circunstancias, que se eleva con mucho por encima del ‘calembour’ lúdico, y que abre al espectador una dimensión sideral a la vez sorprendentemente incrus-tada en una disección cerebral. En su estructura pictórica sobre-real,

1. Roberto Matta, “Entrevista con Ingemar Gustavson (1959), [Matta 1985a, 287]. 2. “Sólo me interesa lo desconocido y trabajo para mi propio asombro”. “Pienso que cada

artista está en la tierra para crear un mito o, más bien, para buscar de manera original un mito primordial, y que toda su vida, toda su investigación, debe ser vista como una Odisea [...]. Debemos siempre regresar a nuestro ‘perro’, pero esto sólo vale si hemos consagrado todas nuestras energías a realizar un giro del universo antes de volver sobre nosotros mismos” [Matta 1985a, 287] .

3. Matta es ‘expulsado’ del surrealismo el 25 de octubre de 1948 por “descalificación intelectual e ignominia moral” (!).[Matta 1985a, 281].

4. Picasso diría de Matta: “Siento algo en su pintura. Sí, usted es San Antonio. Por favor, muéstreme milagros” [Matta 1985a, 266]..


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Matta logra hacer flotar y confluir los límites, los extremos del univer-so, alrededor de su gran intermediario: el ser humano. El amplísimo espectro de su tentativa supera cualquier posible reducibilidad de la obra a un solo contexto de interpretación. Así, enriquecedora y variable desde la óptica de la máxima pragmática peirceana, la obra de Matta puede verse como verdadero ‘signo general’ de la estética, como límite evolutivo, como símbolo pleno del ‘crecimiento continuo de la potencialidad’, como encar-nación privilegiada del summum bonum de la estética según Peirce. Las estructuras pictóricas evolutivas (o relés dinámicos) que explo-ran lo limítrofe —como las telas de Matta— tienen referentes naturales en muchos otros dominios del conocimiento. En lógica, la noción con-temporánea de cuantificador, como límite evolutivo de fragmentos de lo universal, cumple ese papel. La introducción de los cuantificadores universales y de cálculos adecuados para su manejo se debe, simultá-neamente, a Frege y a Peirce, a fines del siglo XIX. El cuantificador universal (‘para todo’) se introduce como un operador matemático que permite determinar el rango general de validez de una propiedad o relación matemática definida sobre un universo dado. En un segundo nivel de análisis (versando sobre la generalidad de lo general) Frege y Peirce proponen reglas generales de manejo axiomático para la misma noción de generalidad presente en el cuantificador universal. Ese trata-miento axiomático y formal (ya que se ocupa de las formas de inser-ción, iteración y eliminación del cuantificador, independientemente de los dominios a los que posteriormente se aplique), refinado posterior-mente por diversos matemáticos en las primeras décadas del siglo XX, ha venido a llamarse cálculo de predicados,1 o, más precisamente, cál-culo de primer orden. En primer orden, lo particular y lo universal, la validez local y la validez global son ya plenamente distinguibles y con-trastables técnicamente. El cálculo clásico de primer orden incorpora, además, una clara dialéctica de opuestos a la que se someten el cuanti-ficador universal (‘para todo’) y el cuantificador particular (‘existe’). El cuantificador universal clásico distingue el ‘todo’ de la ‘parte’. Sin embargo, es en la frontera entre la globalidad y las sumas parciales de lo local donde yace a menudo la mayor riqueza que poseen los con-

1. Realmente se trata, de manera crucial, de un cálculo de predicados y de relaciones. El

sesgo predicativo en el nombre ‘cálculo de predicados’ es rezago de toda una época en que hacía furor la reconstrucción atomística russelliana de la filosofía. En efecto, puede predicarse de átomos y ‘elementos’ de una manera muy natural, cosa que empieza a volverse muy difícil si tenemos que tratar de comprender ‘secciones’ o ‘entornos’ no atomísticos de la realidad.


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ceptos. En un giro radical y de una enorme fertilidad técnica, en los años sesenta, se producen amplias generalizaciones del concepto clási-co de cuantificador universal, motivadas en la definición de Per Lindström (Suecia, ) de cuantificador ‘abstracto’ como una clase gene-ral de estructuras con ciertas propiedades mínimas de correlación estruc-tural. Los ‘cuantificadores generalizados’ permiten detectar un ‘espesor’ adecuado en el tránsito entre lo local y lo global, así como obtener diversos tipos de control sobre delicadas distinciones fronterizas: tamaños interme-dios, niveles de amalgamación, jerarquías computacionales. La lógica matemática se enfrasca desde entonces en estudios profundos y comple-jos sobre lo ‘intermedio’.1

Una ‘lógica abstracta’ L, en el sentido de Lindström, se define por una colección de sentencias S y una relación de satisfacibilidad (o ‘verdad’) ⏐= entre estructuras (matemáticas) y sentencias, sometidas a dos condi-ciones mínimas: preservación de la verdad bajo isomorfismos y posibi-lidad de extender oportunamente una estructura a otra con un lenguaje más rico. La lógica puede adicionalmente contar con diversas propieda-des estructurales: • booleanidad (Bool(L)), en caso de que S sea cerrada bajo conjun-ciones y negaciones • eliminación (Elim(L)), en caso de que S pueda reducirse a un lengua-je relacional • relativización (Rel(L)), en caso de que los predicados monádicos de S puedan “referenciarse” y “relativizarse” en un apropiado vaivén sin-táctico-semántico • compacidad (Comp(L)), en caso de que la satisfacibilidad de T ⊆ S equivalga a la satisfacibilidad de todos los subconjuntos finitos de T • propiedad de Löwenheim-Skolem (LS(L)), en caso de que toda sen-tencia satisfacible pueda serlo también sobre una estructura a lo sumo enumerable. Uno de los teoremas fundamentales de Lindström caracteriza a la lógica clásica de primer orden (Lωω) por sus propiedades estructurales: si una lógica L extiende a Lωω y verifica Bool(L), Elim(L), Rel(L) (propiedades técnicas menores), así como Comp(L) y LS(L) (propieda-des matemáticas relevantes), entonces L equivale a Lωω . Dicho de otra manera, el teorema de Lindström afirma que si se quiere realizar una teoría de modelos con toda la riqueza clásica contenida en las propieda-des de compacidad y de Löwenheim-Skolem (garantes de muy ricos vaivenes entre finitud, infinitud enumerable y diversos tipos superiores de infinitud), entonces hay que reducirse a la lógica clásica de primer orden. El teorema también indica que si consideramos una lógica razo-nable (que satisfaga las propiedades menores técnicas señaladas), pero que vaya más allá de la lógica de primer orden, tendrá necesariamente que fallar compacidad o Löwenheim-Skolem y será mucho más delica-do el tránsito en la escala de tamaños que esa lógica pueda detectar.

1. Véase la sección 2.3 dedicada a la obra de Caicedo.


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Los teoremas de Lindström muestran que los espacios de la lógica estu-diados en la teoría de modelos tienen encadenamientos estructurales muy peculiares. Reformulándolo una vez más, su primer teorema afir-ma que si tenemos una clase estándar de tales espacios que satisface compacidad (es decir, si es tal que si todos los pedazos finitos de una teoría son modelables entonces la teoría completa lo es, pudiéndose ‘pegar’ en un modelo global las realizaciones locales) y si satisface la propiedad de Löwenheim-Skolem (es decir, si es tal que para adecuadas teorías sus clases de modelos ‘cubren’ todo el transfinito) entonces esa clase tiene que ser necesariamente la clase de modelos de la lógica clásica de primer orden. De alguna manera, se demuestra así el papel ineludible de una cierta lógica si se desean cubrir ciertos fines matemá-ticos muy precisos: el poder contar con un ‘salto’ de lo finito a lo infini-to y el poder manejar ‘testigos’ en todo el transfinito. El conocimiento natural de los límites entre lo finito y lo infinito y de los diversos lími-tes intermedios en la escala del transfinito queda así estructuralmente ligado con la lógica clásica de primer orden. Ésta puede verse tensada plenamente por sus propiedades estructurales fundamentales

(Comp(Lωω) y LS(Lωω)),

propiedades que llenan completamente su dominio. Cualquier extensión de ese dominio resquebraja la malla estructural y genera una energía explosiva. Iterando peirceanamente esta situación en el dominio de la pintura de Matta, podemos ver cómo Le Vertige d’Éros (1944) es una notable representación de lo que puede sentirse al captar los teoremas de Lindström. Los círculos concéntricos que tensionan la estructura pue-den verse como vórtices de compacidad, mientras el encaje de paredes laterales puede recordar a Löwenheim-Skolem; los sólidos estáticos, que a pesar de su peso evidente flotan como en el aire, recuerdan el peso y las rocosas exigencias de la lógica clásica. El equilibrio se rom-pería con un poder de expresividad adicional, si aparecieran otros quie-bres en la tela. De manera similar, Le Cube ouvert (1949)1 refleja la tensión y la rigidez de una estructura general a la que no le cabrían más movimientos que el expresado en el centro del cuadro. La maximalidad de la obra, presente en Le Vertige por medio de cables eléctricos que se repelen y en Le Cube por medio de paredes estructurales encajadas, refleja las inquietudes fundamentales de Matta, quien desea captar sutiles marcas de tiempo y espacio por medio de bifurcaciones y re-

1. [Matta 1985a, 119] (“Vertige”), [161] (“Cube”).


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composiciones vibrantes, que sirvan de relé a ‘lo no visto’. Lo invisible se vuelve explícito, no a través de una descripción imposible, sino a través de las tensiones estructurales que yacen en lo visible y que per-miten intuir todo aquello que se omite. En los viajes de Palomar (3.1), Calvino nos introduce al jardín de rocas y arena del templo de Ryoanji de Kioto, “un pequeño patio cu-bierto de una arena blanca de grano grueso, casi de guijarros, rastrillada en surcos rectos paralelos o en círculos concéntricos, en torno a cinco grupos irregulares de guijos o peñas bajas” [Calvino 1997a, 83]. El jardín es lugar de traslación del alma, de paso de lo singular a lo univer-sal, de cruce, de reconstrucción de límites:

Si absorbemos nuestra mirada interior en la visión de este jardín —explica el volante que se ofrece a los visitantes, en japonés y en inglés, firmado por el superior del templo— nos sentiremos despojados de la relatividad de nuestro yo individual, y la intuición del Yo absoluto nos llenará de serena maravilla, purificando nuestras mentes ofuscadas [...]. Podemos considerar el jardín de arena como un archipiélago de islas ro-cosas en la inmensidad del océano, o bien como cimas de altas monta-ñas que emergen de un mar de nubes. Podemos verlo como un cuadro enmarcado por las paredes del templo, o bien olvidar el marco y con-vencernos de que el mar de arena se extiende sin límites y cubre todo el mundo [Calvino 1997a, 83-84].

Entre el jardín despojado —que se extiende sin límites y que evoca la inmersión de lo singular (‘yo’) en un continuo universal (‘Yo’)— y el jardín enmarcado —que se inserta en las paredes del templo y que in-troduce un juego de representaciones y correspondencias entre macro y microcosmos (‘mundo’, ‘cuadro’)—, entre el despojamiento y el aco-tamiento, en la frontera, se sitúa el marco, el límite que permite iterar recursivamente la imagen del jardín:

Tanto los óleos de Matta como los teoremas de Lindström construyen marcos muy precisos gracias a los cuales tensan el espacio, permiten iterar visiones locales en perspectivas globales (una de las característi-


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cas fundamentales de la recursividad) y, con ello, hacen explotar la complejidad de sus universos respectivos. Los marcos de Matta —sus líneas, espirales, planos, flotamientos y transparencias— permiten in-tuir la traslación entre el átomo, el hombre y el cosmos: la conversión actual de un choque local de partículas eléctricas en una ecografía del cerebro o en una toma global de la galaxia. Similarmente, los marcos de Lindström —sus jerarquías de condiciones para las lógicas abstractas— permiten estudiar la traslación entre lo finito, lo enumerable y lo trans-finito: la conversión posible de pegamientos locales de lo finito en modelos enumerables o en modelos genéricos globales. El marco que tensa la estructura, que la enrigidece, no por ello la empobrece. En efecto, la tirantez estructural de los óleos de Matta (es-pacios de alta tensión eléctrica: ácidos y veloces) o de la lógica clásica de primer orden (espacio de alta tensión lógica: compacto con la pro-piedad de Löwenheim-Skolem), es a su vez la tirantez que les otorga a esos espacios su peculiar riqueza. Al maximizar, al saturar los límites de sus ámbitos respectivos, las técnicas de Matta y de Lindström sirven para completar evoluciones en el arte y en la lógica. El rico proceso creativo que se obtiene al saturar un determinado espacio había sido estudiado detenidamente por Lautman1 en el campo de las matemáticas de la primera mitad del siglo XX. Lautman trata de caracterizar la edificación de la matemática como proceso genético peculiar entre ‘esencia’ y ‘existencia’. Considerando, en la base, a la lógica como “teoría general de las relaciones que unen las considera-ciones estructurales a las afirmaciones de existencia” [Lautman 1977a, 87], mediante una regulación y constante superación de los entramados teóricos van superponiéndose entes matemáticos, hasta adecuar maxi-malmente sus relaciones con el entorno. En esta articulación del hacer matemático, cada entorno estructural genera conceptos, funciones, números, todo un universo de seres matemáticos, el cual, tratando de asimilar los polos de tensión de la estructura, da lugar a los mixtos, sostenes del andamiaje. Estos mixtos, a su vez, originan nuevos entor-nos y dominios donde pueden situarse no ya como mixtos sino como entes primarios que dan lugar a la iniciación de otro ciclo genético. Lautman concreta su filosofía de la matemática en una combinatoria de configuraciones: los objetos y su posición en las estructuras, las relaciones, los mixtos; de ahí que los ajustes, regulaciones, correlacio-nes, superposiciones parciales de las estructuras resulten ser motor de

1. Albert Lautman (Francia, 1908-1944) es uno de los más grandes filósofos de la mate-

mática en el siglo XX. Sin embargo, su enorme originalidad es aún poco conocida.


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progreso para el conocimiento matemático. Pero este análisis interno debe ser también reflejo de una más vasta empresa, donde se encuen-tran metafísica y matemáticas:

Se ve así cuál debe ser la tarea de la filosofía matemática e, incluso, de la filosofía de las ciencias en general. Se trata de edificar la teoría de las ideas y ello exige tres tipos de investigación: las que surgen de lo que Husserl llamaba eidética descriptiva, es decir, la descripción de esas es-tructuras ideales encarnadas en las matemáticas y cuya riqueza es in-agotable. El espectáculo de cada una de estas estructuras es más que un ejemplo nuevo que se aporta para apoyar una misma tesis, pues no está excluído que sea posible —y allí reside la segunda tarea de la filosofía matemática— establecer una jerarquía de las ideas y una teoría de las génesis de unas a partir de las otras, como lo había previsto Platón. Queda, en fin, la tercera de las tareas anunciadas, rehacer el Timeo, es decir, mostrar, en el seno de las ideas mismas, las razones de su aplica-ción al universo sensible [Lautman 1989a, 577].

La génesis de los seres matemáticos, que cobran vida propia desgaján-dose de las estructuras madre, sobre cuyo tejido van excretándose como perlas adheridas a sus conchas, lleva a la incisiva dinámica de la mate-mática en acción. Las construcciones técnicas, que permiten ir generan-do nuevos entes matemáticos, dependen de un alto grado de completi-tud, de saturación, de maximalidad en las estructuras: “el movimiento no es posible sino cuando la estructura del ser, de donde procederán otros seres, ha sido llevada antes a un cierto estado de perfección” [Lautman 1977a, 73]. Esto explica la envoltura de edificios sucesivos que tiene que ir creando la matemática en sus procesos de conocimien-to; la abstracción, lejos de resultar gratuita, es una de las líneas de ten-sión naturales, necesarias, que tienden a saturar el saber. Ese proceso hacia la plenitud hace que se desgajen, de las estructuras acabadas, nuevos desarrollos conceptuales; éstos, en un nuevo posicionamiento, necesitarán de otros ambientes que los cotejen e impulsen hacia su nuevo devenir. Visualizando en la obra de Matta los procesos lautmanianos de génesis y existencia, encontramos en La Banale de Venise (1956) [Mat-ta 1985a, 177] diversos niveles de saturación con los cuales se constru-ye la estructura de la obra. Separados por tres franjas de paneles hori-zontales se encuentran los polimembrados y polirítmicos entes-seres de Matta, enfrentados agitadamente a las telas que pretenden exponer en la ‘banal’ Bienal. En un primer nivel, las telas son saturadas como obras de arte autóctonas; luego, el panel en que se encuentra situado cada ente-ser es saturado por su desatada actividad gestual; finalmente, el espacio entero de la Bienal es saturado como rompecabezas donde encajan ajustadamente los diversos paneles, sugiriéndose en el trans-


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fondo la tramoya con que se construye el escenario de la ‘banalidad’. En tres niveles, de la tela local, al panel como entorno y al espacio global de la Bienal, se satura recursivamente el ambiente pictórico. En una de las telas, un poli-ser ejecuta su ‘autoretrato’: entramados de miembros, gestos y movimientos, ‘pulpos’ que tratan de superar las limitantes que yacen en toda representación del ‘cambio’, el poli-ser, su representación y la representación de esa representación dan inicio a un complejo haz recursivo de autoreferencias que invaden la Banale. La autoreferencia invita al entrelazamiento del ‘yo’ minúsculo y del ‘Yo’ mayúsculo, y el venal y banal juego de expectativas e ilusiones de la Bienal se satura en una esquina de la obra, donde uno de los ‘brazos’ de los poli-seres es levantado en alto en signo de ‘victoria’ en la competi-ción. El Gran Tramoyista y el mismo Matta —su reflejo local— se burlan de la danse macabre (otro título de la obra) de las vanidades humanas. Similarmente, en la lógica clásica de primer orden, pueden detectar-se diversos niveles de saturación1 en todo el entramado. En un primer nivel, la rígida semántica de tablas de verdad para los conectivos clási-cos asegura la completitud del cálculo proposicional clásico: una satu-ración fuerte (Post) obtenida con el uso de unas mismas herramientas en el cálculo formal y en el metalenguaje informal.2 En un segundo nivel, el teorema de completitud de Gödel para la lógica clásica de primer orden muestra que el manejo clásico de los cuantificadores está también fuertemente saturado. En un tercer nivel, el teorema de Lindström indica que la lógica clásica de primer orden se encuentra saturada, en el ámbito de las lógicas abstractas que pretendan extender-la, por propiedades estructurales de fondo (compacidad, Löwenheim-Skolem) que se derivan del teorema de completitud. El proceso de saturación en las obras de Matta y en los teoremas de Lindström es un movimiento de acumulación en fronteras dadas: un proceso de paso al límite. Matemáticamente, un conglomerado de ‘acumulación’ con respecto a una propiedad dada es una configuración donde los objetos dejan progresivamente de ser ‘discernidos’ por esa propiedad:

1. Contrariamente a lo que sucede, por ejemplo, en la lógica intuicionista, cuyos intrínse-

cos procesos de no saturación y de constante acumulación parcial reflejan el hondo misticismo evolutivo de Brouwer, véase: Stigt 1990a.

2. La completitud de la semántica de los modelos de Kripke para el cálculo proposicional intucionista utiliza, en cambio, muy diversas herramientas en el lenguaje y en el meta-lenguaje: la saturación sólo es parcial.


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En el caso de Matta y de Lindström, las configuraciones de acumula-ción y de saturación adquieren un matiz estructural aún más hondo: ese matiz —que transforma la contemplación de aislados límites espaciales en su aprovechamiento para diagramar estructuralmente el espacio y construir con ellos toda una arquitectura— es el que sostiene la peculia-ridad de sus creaciones. En la pintura y en la lógica, Matta y Lindström han sabido crear asombrosas arquitecturas de límites, encajes y satura-ciones que han renovado completamente nuestra visión.


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3.2 Borges y Tarski: Estructuras esqueleto El Arquetipo como límite de los diversos tipos que engloba, la Idea como límite de las múltiples ideas que agita, el Tiempo y el Espacio como límites de infinitas vecindades de correlación, se encuentran estrechamente ligados con la noción de esqueleto en un entorno sintético relacional dado.1 Dada una categoría matemática, un ‘esqueleto’ para esa categoría consiste en una subcolección de objetos de la categoría con una propiedad ‘univer-sal’ de representabilidad: para cualquier objeto dado de la categoría, debe existir un único objeto del esqueleto, isomorfo a ese objeto dado. Como todo esqueleto puede siempre construirse matemáticamente como un ade-cuado límite categórico, puede esperarse analógicamente que —en otros campos de la cultura relacionados con problemas de representación— aparezcan también esqueletos naturales como límites en el enfrentamiento de esos problemas. Las obras de Borges y de Tarski hacen emerger fasci-nantes ‘esqueletos’ en la literatura y en la lógica. La obra de Jorge Luis Borges (Argentina, 1899-1986) puede verse como notable creación en el ámbito de la terceridad peirceana. Inver-samente a Rulfo,2 quien decanta al extremo y erradica la malla de an-clajes de su narrativa, Borges construye directamente —frente al lec-tor— la amplia red de mediaciones culturales que sirve para apoyar su escritura. Producto de una trama y un lugar,3 una Biblioteca y un Jardín, tanto míticos (Babel, Edén) como autobiográficos,4 la obra de Borges se

1. Uno de tales entornos es una ‘categoría’, en el sentido de la teoría matemática de

categorías. Una categoría matemática consiste en una colección de objetos y en una colección de morfismos entre los objetos con ciertas propiedades minimales (asociati-vidad, existencia de identidades). En una categoría los objetos se conocen por sus rela-ciones sintéticas con el entorno (‘propiedades universales’) y no por una eventual des-composición en elementos, mirada analítica en principio vetada. Dentro de una catego-ría dada, dos objetos son isomorfos si son indistinguibles (indiscernibles) con las herramientas sintéticas del entorno.

2. Borges diría de Rulfo, en el esqueleto general de la literatura: “Pedro Páramo es una de las mejores novelas de las literaturas de lengua hispánica, y aun de la literatura”; en: Borges 1996a IV, 495.

3. Lugar que es un ‘no-lugar’, así como Rulfo señalaba que su tiempo era un ‘no-tiempo’. Borges cita a Quevedo: “Llámola Utopía, voz griega cuyo significado es no hay tal lugar”; en: Borges 1996a II, 68 ‘Utopía de un hombre que está cansado’.

4. “Durante muchos años, yo creí haberme criado en un suburbio de Buenos Aires, un suburbio de calles aventuradas y ocasos visibles. Lo cierto es que me crié en un jardín, detrás de un largo muro, y en una biblioteca de ilimitados libros ingleses [...]. Suelo pensar que, esencialmente, nunca he salido de esa biblioteca y de ese jardín” [Mosca 1983a, 137].


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ramifica sobre una red multiplicativa de libros y de diversas combinato-rias espacio-temporales:

La literatura no es agotable, por la suficiente y simple razón de que un solo libro no lo es. El libro no es un ente incomunicado: es una relación, es un eje de innumerables relaciones.1

El jardín de senderos que se bifurcan es una imagen incompleta, pero no falsa, del universo tal como lo concebía Ts’ui Pên [algún ‘otro’ Bor-ges]. A diferencia de Newton y Schopenhauer, su antepasado no creía en un tiempo uniforme, absoluto. Creía en infinitas series de tiempos, en una red creciente y vertiginosa de tiempos divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cor-tan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades.2

La red de ‘innumerables relaciones’, la trama de ‘todas las posibilida-des’ es potenciada en la narrativa de Borges con múltiples recursos: evocación constante de la infinitud y su articulación con lo universal, juego de traslapes entre utopías y mundos alternativos, aceleraciones y pausas en un tiempo plástico, tejido polivalente de referencias reales e imaginarias, combinatoria de órdenes diversos (ajedrez, laberintos), multiplicidad de espejos, hilvanaciones y deshilvanaciones. La trama relacional que va construyendo Borges en sus ‘mixtos’ (relatos-ensayos-poemas-parodias) incorpora aspectos fundamentales de lo ‘general’:

La base de la aritmética [de Tlön] es la noción de números indefinidos. Acentúan la importancia de los conceptos de mayor y menor, que nues-tros matemáticos simbolizan por > y por <. Afirman que la operación de contar modifica las cantidades y las convierte de indefinidas en defi-nidas.3

Si el espacio es infinito estamos en cualquier punto del espacio. Si el tiempo es infinito estamos en cualquier punto del tiempo.4

La indeterminación aritmética (muy cercana al continuo peirceano)5 y la ubicuidad del tiempo y el espacio son reflejo de una honda correla-ción entre generalidad y pluralidad. La creación de Tlön —creación de la Utopía y, a su vez, de nuestros diversos anclajes en lo real— no pue-de ser singular: 1. “Nota sobre (hacia) Bernard Shaw” (1951) [Borges 1996a II, 125]. 2. “El jardín de senderos que se bifurcan” (1941) [Borges 1996a I, 479]. 3. “Tlön, Uqbar, Orbis Tertius” (1941) [Borges 1996a I, 438]. 4. “El libro de arena” (1975) [Borges 1996a III, 69]. 5. Puede afirmarse, con casi plena seguridad, que Borges no debió conocer el continuo

peirceano. El continuo cantoriano, que Borges sí estudió y evocó múltiples veces, es sin embargo sólo el ‘primer embrión’ del continuo peirceano, mucho más cercano a la modalización e indeterminación de su escritura.


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El plural es inevitable, porque la hipótesis de un solo inventor —de un infinito Leibniz obrando en la tiniebla y en la modestia— ha sido des-cartada unánimemente [Borges 1996a I, 434].

La pluralidad y la multivocidad, en Borges, llevan de forma natural al ‘aniquilamiento de la identidad’. Mary Lusky Friedman ha explicitado meticulosamente [Lusky 1990a, 62] diversos textos y recursos con los cuales se hace patente esa desintegración: por medio de engaños, espe-jos, cicatrices, máscaras, disfraces, enceguecimientos, fotografías, prismas, Borges deshace sistemáticamente el ‘yo’. La irrealidad de la ‘identidad’ surge de manera particularmente impactante en su narrativa y es motivo de mucho del sabor paradójico e inquietante de su escritura. A la irrealidad de una esencia estática se contraponen el flujo, el cam-bio, el devenir, integrados todos en las permanentes ‘reescritura’ y ‘relectura’ en que se convierte la obra de Borges:

Emerson dijo que una biblioteca es un gabinete mágico en el que hay muchos espíritus hechizados. Despiertan cuando los llamamos; mien-tras no abrimos un libro, ese libro, literalmente, geométricamente, es un volumen, una cosa entre las cosas. Cuando lo abrimos, cuando el libro da con su lector, ocurre el hecho estético. Y aun para el mismo lector el mismo libro cambia, cabe agregar, ya que cambiamos, ya que somos (para volver a mi cita predilecta) el río de Heráclito, quien dijo que el hombre de ayer no es el hombre de hoy y el de hoy no será el de maña-na. Cambiamos incesantemente y es dable afirmar que cada lectura de un libro, que cada relectura, cada recuerdo de esa relectura, renuevan el texto. También el texto es el cambiante río de Heráclito.1

Todo en Borges es mediación y terceridad —su incesante relectura de los clásicos, su reinvención de lo paradójico, su percepción continua del cosmos, su conciencia de la necesaria composibilidad leibniziana de mundos alternativos, su construcción relacional de la cultura como cambiante autoreflejo de sí misma— y todo en Borges es universalidad —su apasionado conocimiento de la tradición europea, su admiración por el siglo XIX norteamericano, su fervorosa recopilación de mitos y sagas de cualquier latitud, su construcción de una literatura profunda-mente influyente allende América—. El “Príncipe de las letras hispáni-cas del presente”,2 como le llama acertadamente Gutiérrez Girardot, es símbolo pleno de la más alta tradición universal y tercera de América Latina.

1. “Siete noches” (1980) [Borges 1996 II, 254]. 2. “Los olvidados: América sin realismos mágicos” (1985); en: Gutiérrez Girardot 1989a, 183.


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La riqueza mediática de Borges, su pluralidad y multivocidad, se potencian en el ‘relé’ de su escritura, mientras simultáneamente se vislumbra el esqueleto ‘primordial’ que subyace en el relé. Una fina malla de citas, sugerencias, recuerdos, potencia el acto de creación, y a la vez ancla sus modalidades diversas en un tejido ‘esquelético’: la inagotabilidad de la literatura y de su ‘innumerable’ relacionalidad en los ‘cuadernos cuadriculados’ de Pierre Menard,1 las modulaciones del infinito y de todo lo simultáneo en la “pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor” del Aleph,2 el extrañamiento y la disolución del ‘yo’ en el ‘otro’ Borges.3 En contraposición entre el relé literario múltiple y movible de Bor-ges, y su esqueleto filosófico, uno y permanente, se sitúan grandes obsesiones metafísicas:

El carácter fantasmagórico, alucinatorio, del mundo; la identidad, a tra-vés de la persistencia de la memoria; la realidad de lo conceptual, que priva sobre la irrealidad de los individuos, y, sobre todo, el tiempo, el ‘abismal problema del tiempo’, con la amenaza de sus repeticiones, de sus regresos, con la nota enfermiza de su ineludible poder que arrastra y devora y quema [Nuño 1986a, 10].

En la obra de Borges, la biblioteca y el jardín, alucinados y bifurcados, los otros ‘yo’, los seres soñados, los regresos eleáticos al infinito, viven y se multiplican en permanente tensión entre una combinatoria de sím-bolos arquetípicos e inmutables y una inventiva cambiante, concreta, cotidiana. Irredento platonista y asombroso fabulista, en el mixto entre el esqueleto de lo eterno y el relé de lo diario yace una de las grandes fortalezas de su narrativa:

1. “Pierre Menard, autor del Quijote” (1941) [Borges 1996a I, 450]. 2. “El Aleph” (1949) [Borges 1996a I, 625]. 3. “El otro” (1975) [Borges 1996a III, 11].


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Destinadas a mostrar la continuidad indivisible de la realidad,1 las para-dojas de Zenón —ese conmovedor “pedacito de tiniebla griega”2 ligado al concepto del infinito, “el corruptor y el desatinador de los otros”—3 fascinaron siempre a Borges. Como con otros muchos temas lógicos, filosóficos y matemáticos, Borges aprovecha una Idea para transfigurar-la poéticamente dentro de su relé literario. Al afirmar, por ejemplo, que “sea lo que fuere, la imaginación y las matemáticas no se contraponen; se complementan como la cerradura y la llave”,4 Borges revela uno de sus principios básicos de composición: la compenetración natural, en su narrativa, del esqueleto de los conceptos (los símbolos) y del relé mo-vible de la vida (la interpretación o encarnación de los símbolos). Así como —en la Biblioteca— el Hombre del Libro encarna la imposible concepción de la totalidad del espacio,5 o como —en el Jardín— Step-hen Albert trata fatigosamente de explicar la imposible concepción de la totalidad de los tiempos [Borges 1996a I, 479], Borges mismo, en los sufridos años de su trabajo como “primer asistente en la sección Miguel Cané de la Biblioteca Municipal”,6 trata de superar el relé de la circuns-tancia diaria escondiéndose en las bóvedas de la biblioteca para acer-carse a la posibilidad de una escritura total. Con una gran riqueza evo-cativa y con un amplio abanico de medios literarios, en esa escritura se logra captar admirablemente el esqueleto de la eternidad y de la infini-tud que tanto preocupaba también a Matta y a Guimaraes Rosa.

1. ‘Prueba’ por contradicción: si la realidad fuese divisible, podrían dividirse el tiempo y

el espacio, conduciendo inevitablemente a la victoria de la tortuga sobre Aquiles. 2. “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga” (1932) [Borges 1996a I, 248]. 3. “Avatares de la tortuga” (1932) [Borges 1996a I, 254]. 4. “Biblioteca personal” (1985) [Borges 1996a IV, 467]. 5. “La Biblioteca de Babel” (1941) [Borges 1996a I, 469]. 6. “Nueve años de absoluta infelicidad” pero de insuperable calidad en su producción

(Ficciones, El Aleph) [Borges 1999a, 76].


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En uno de sus mixtos inclasificables (parodia-narración-ensayo-reseña), Borges nos revela la estructura triádica de la ‘obra de Herbert Quain”: Las ramificaciones artificiales y burlonas de la estructura (una novela “de carácter simbólico; otra, sobrenatural; otra, policial; otra, psicológi-ca; otra, comunista; otra, anticomunista, etcétera”), así como su “exa-men”:

Previsiblemente, alguno de los nueve relatos es indigno de Quain; el mejor no es el que originariamente ideó, el x 4; es el de naturaleza fan-tástica, el x 9. Otros están afeados por bromas lánguidas y por seudo precisiones inútiles. Quienes los leen en orden cronológico (verbigra-cia: x 3, y 1, z) pierden el sabor peculiar del extraño libro. Dos relatos —el x 7, el x 8— carecen de valor individual; la yuxtaposición les pres-ta eficacia...

son luego modulados hacia una combinatoria totalmente arbitraria:

Quain se arrepintió del orden ternario y predijo que los hombres que lo imitaran optarían por el binario

x 1 y 1 x 2 z

x 3 y 2 x 4

y los demiurgos y los dioses por el infinito: infinitas historias, infinita-mente ramificadas. 1

1. “Examen de la obra de Herbert Quain” (1941) [Borges 1996a I, 463].


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La infinita vanidad de la crítica y la implausibilidad de cualquier inter-pretación (desesperanzadoras limitantes en las que este mismo ensayo se inserta) quedan ácidamente patentes en el ‘examen’ de la obra de Quain. Crítico feroz de críticas artificiales, el ‘examen’ sin embargo deja abierta una compuerta hacia la naturalidad del sentido ‘común’.1 La fugaz ilusión de que este ensayo no quede sumergido en el desliz combinatorio de lo improbable según Quain (tres-dos-infinitud), radica en que nuestros ‘exámenes’ se han basado en el sistema por excelencia que reivindica el ‘sentido común’: el pragmatismo peirceano. La natu-ralidad de los puentes que hemos evocado (no su trivialidad) es nuestra tenue —esquelética— luz de esperanza. En el siglo XX, Alfred Tarski (Polonia, 1902-1983) es uno de los grandes propulsores del estudio de la naturalidad en lógica. Su legenda-ria precisión y elegancia, su fina capacidad para delimitar problemas elementales no triviales, su ingente esfuerzo por eliminar toda artificia-lidad en las pruebas de resultados matemáticos, su visión global y su capacidad de síntesis para ordenar e impulsar enteros campos de trabajo en lógica (teoría clásica de modelos, cardinales infinitos, cálculos pro-posicionales, interpretaciones topológicas, lógica algebraica), son todos ejemplos de una forma fluida de aprehender la creatividad matemática: entrelazamiento natural de problemas, métodos y soluciones, y elimina-ción o reformulación de problemáticas y técnicas ad hoc. Entre 1924 y 1950, Tarski estudia sistemáticamente el esqueleto de la categoría de conjuntos: la colección de cardinales finitos e infinitos, junto con los principios de tricotomía, axioma de elección (AE) e hipó-tesis generalizada del continuo (HGC)2 que sirven para delimitar y ordenar ese esqueleto.

1. “Le parecía que la buena literatura es harto común y que apenas hay diálogo callejero

que no la logre” [Borges 1996a I, 461]. 2. Axioma de Elección (AE): para toda colección no vacía de conjuntos no vacíos existe

otro conjunto que selecciona exactamente un elemento de cada conjunto de la colec-ción. Hipótesis del Continuo (HC): no existe ningún tamaño infinito diferente entre el tamaño del conjunto de los naturales y el tamaño del continuo cantoriano (ℵ1 = 2ℵ

0). Hipótesis Generalizada del Continuo (HGC): no existe ningún tamaño infinito diferen-te entre ℵα y 2ℵα (ℵα+1 = 2ℵα).


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La categoría usual de conjuntos V (construida con iteraciones —finitas e infinitas— de partes y uniones: el ‘relé’ matemático) puede expandir-se lenta o explosivamente dependiendo de las acotaciones que se im-pongan al relé. Gödel (1937-40) mostró que si el relé se acota construc-tivamente (V = L) entonces el esqueleto cardinal crece minimalmente y valen AE y HGC en ese modelo ‘acotado’ (demostración de la consis-tencia relativa del axioma de elección y de la hipótesis del continuo, con respecto a los demás axiomas de la teoría de conjuntos). En el curso de sus primeras investigaciones sobre el esqueleto car-dinal,1 Tarski descubre (1926) que aun las más elementales propiedades de la aritmética cardinal dependen del axioma de elección y, de hecho, demuestra que la mayorías de ellas son plenamente equivalentes a AE, como sucede por ejemplo con las implicaciones siguientes:

• si κ < λ entonces existe un único µ tal que κ + µ = λ • si λ + λ < λ + µ entonces λ < µ • si κµ < λµ entonces κ < λ • si µκ < µλ entonces κ < λ.

El hecho sorprendente de que el esqueleto básico y vistoso de la teoría de conjuntos se encuentre tan estrechamente ligado con un axioma no visualizable —y cuyas consecuencias no constructivas en la urdimbre evolutiva de la matemática van a menudo en contra de toda intuición—2 muestra la enorme complejidad del ‘relé’ matemático: subrepticio en-trelazamiento que transforma lo esquelético en lo densamente encarna- 1. Para un excelente resumen, véase [Pla 1988a, 343-417]. 2. Como la ‘paradoja’ de Banach-Tarski (1924), consecuencia inquietante de AE: se

demuestra la ‘existencia’ de una medida tal que, para toda esfera, la esfera dada puede descomponerse en un número finito de ‘pedazos’ (y en un número finito de pasos) para luego recomponerse en dos esferas congruentes a la primera [...]. ¡Multiplicación mo-derna de los panes y los peces!


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do, hondo vaivén entre lo abstracto y lo concreto, misterioso ascenso y descenso entre lo uno y lo múltiple. El relé engrana una sofisticada ‘dialéctica’ entre constantes intentos globales de depuración y generali-zación y constantes esfuerzos locales por alimentar el espesor de lo particular. Otro resultado de Tarski (1933) —tal vez su teorema más conoci-do— muestra que no es posible definir, en una teoría formal lo suficien-temente potente, una noción de verdad para la teoría misma sin caer en contradicciones. Así, para definir las nociones semánticas de un lengua-je dado no sólo se debe recurrir a un metalenguaje sino debe irse aún más allá: el metalenguaje debe tener medios de expresión esencialmen-te más ricos que los del lenguaje objeto. Dentro de la aritmética de Peano esto puede verse compactamente haciendo referencia a los núme-ros de Gödel de las fórmulas aritméticas: mientras el conjunto de los números de Gödel de las sentencias demostrables en la aritmética es representable en la aritmética misma (haciendo uso de las técnicas de la teoría de la recursión), en cambio, el conjunto de los números de Gödel de las sentencias verdaderas en la aritmética no puede ser representado con sus propios medios.1 El teorema de indefinibilidad de la verdad de Tarski puede verse también como una situación que contrapone un esqueleto (límite) y un relé (tejido): el tejido de correlaciones semánti-cas de la aritmética no puede ser captado por un esqueleto interno, y requiere una mayor riqueza externa (conjuntista) para poder ser expre-sado, manejado y controlado adecuadamente. Las finas interpretaciones algebraicas y topológicas de Tarski para el cálculo intuicionista (1938) y para el cálculo modal S4 (1944) mues-tran que un esqueleto matemático común subyace a la posibilidad de interpretar2 el cálculo intuicionista en el sistema S4. El esqueleto con-siste en álgebras de ‘clausura’, que pueden representarse tanto algebrai-ca como topológicamente, y cuya representación topológica resulta ser ‘universal’ dentro de esa clase de estructuras. Similarmente, Tarski 1. Para mayores precisiones, véase [Mangione 1993a, 582-583]. Mangione indica que el

teorema de Tarski confirma “la imposibilidad en general de reflejar apropiadamente, en un nivel sintáctico, el momento semántico, la imposibilidad de que la noción (se-mántica) de verdad pueda ser substituida in toto por aquella (sintáctica) de demostrabi-lidad. Esta imposibilidad de traducción aritmética es, por otra parte, la confirmación del carácter irremediablemente infinitario y no efectivo de las nociones semánticas que deben así ser tratadas en teorías particularmente potentes, como la teoría de conjuntos” [Mangione 1993a, 583].

2. Refiriéndonos a los modelos de Kripke para las lógicas modales, el cálculo S4 es aquel determinado por los marcos modales sobre relaciones reflexivas, simétricas y transiti-vas (ver p. 49). La primera interpretación del cálculo intuicionista en el sistema S4 se debe a Gödel (1933).


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(1935) había demostrado que toda álgebra booleana completa y atómica puede ser representada por un álgebra booleana conjuntística del tipo ℘(X). De diversas maneras, Tarski se acerca así a esqueletos de ‘arque-tipos’ o ‘invariantes’ para diversas clases de estructuras. Los esqueletos se obtienen como límites (3) que se van descarnando progresivamente en un proceso reactivo (2) de ascenso y descenso entre abstracción y realidad. En “El modelo de los modelos” (3.2), el señor Palomar pasa progre-sivamente de la cómoda certeza que produce un modelo enfrentado con una realidad, a una pragmática general donde una multiplicidad de modelos capta parcialmente la multiplicidad de la realidad y donde el esqueleto de las correlaciones combinatorias entre los diversos modelos es el que otorga de vuelta una cierta unidad a la visión, al disolver pasa-jeramente la pluralidad:

En la vida del señor Palomar hubo una época en que su regla era ésta: primero, construir en su mente un modelo, el más perfecto, lógico, geométrico posible; segundo, verificar si el modelo se adapta a los ca-sos prácticos observables en la experiencia; tercero, aportar las correc-ciones necesarias para que modelo y realidad coincidan. [...]. La construcción de un modelo era para él un milagro de equilibrio entre los principios (que permanecían en la sombra) y la experiencia (inasible), pero el resultado debía tener una consistencia mucho más so-lida que los unos y la otra. En un modelo bien construido, en realidad, cada detalle debe estar condicionado por los demás, con lo cual todo se sostiene con absoluta coherencia, como en un mecanismo donde si se bloquea un engranaje todo se bloquea. [...]. La regla del señor Palomar poco a poco había cambiado: ahora nece-sitaba una gran variedad de modelos, tal vez transformables el uno en el otro según un procedimiento combinatorio, para encontrar aquel que calzase mejor en una realidad que a su vez estaba siempre hecha de mu-chas realidades diversas, en el tiempo y en el espacio. [...]. El modelo de los modelos ansiado por Palomar deberá servir para obtener modelos transparentes, diáfanos, sutiles como telas de araña; tal vez directamente para disolver los modelos, incluso para disolverse [Calvino 1997a, 94-97].

Los modelos de Calvino son por antonomasia los modelos de Borges y de Tarski: escritura y lógica modelísticas a ultranza, sus modos de creación se insertan perfectamente en la combinatoria de Palomar, desde su búsqueda de la perfección lógica y geométrica, hasta su sutil disolución en lo indefinible, pasando por la coherencia absoluta de los detalles y por la clara identificación del espectro de la diversidad. Modelos que resaltan la infinita multiplicidad del tiempo y del espa-cio y la inagotabilidad del amplio rango de lo posible, los arquetipos, los esqueletos de Borges —sus espejos al acecho, textos y autores in-existentes, duplicaciones arquitectónicas, Pierre Menard, cuya ‘admira-


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ble ambición’ es componer no otro Quijote sino de nuevo, palabra por palabra, El Quijote— sus recursos narrativos como reflejos permiten ir decantando una geometría peculiar que aprovecha la vaguedad multi-plicatividad del laberinto para reflejar la vaguedad explosiva del uni-verso entero. En Borges van adecuándose los laberintos de la invención literaria, árboles de infinitas ramificaciones, a los laberintos de combi-natorias de imágenes espaciales1 que geometrizan el recuerdo. Desde una nota a pie de pagina de Tlön que sólo podrá ser leída en algún futu-ro, hasta la subdivisión infinita de los sueños en La escritura de Dios, pasando por el ‘laberinto griego que es una única línea recta’, los pro-cesos geométricos de inversión, adición y fragmentación, la multiplica-ción de los puntos de fuga, son constantemente usados para envolver al lector en un haz de perspectivas que rompen la orientación y la dimen-sión. Similarmente, la descomposición Banach-Tarski de una esfera des-truye la dimensionalidad (lo uno aparentemente se torna doble) y la orientabilidad (los fragmentos de la descomposición no son medibles, aún menos orientables). A su vez, Tarski recorre el laberinto del infinito y muestra que las complejidades de su esqueleto (la colección de los cardinales infinitos) dependen en buena medida de las complejidades del universo en que ese esqueleto se inserta (formas diversas del axio-ma de elección y de los axiomas que gobiernan el crecimiento del uni-verso). El reflejo de la ‘vaguedad’ explosiva del universo conjuntista en su esqueleto cardinal es uno de los grandes temas que hubiera deleitado a Borges. Igualmente, el manejo de los cardinales ‘inaccesibles’ según Tarski hubiera probablemente fascinado al autor2 de El Aleph: un cardi-

1. Una excelente presentación del espacio y la arquitectura según Borges se encuentra en

[Grau 1989a]. La puntillosidad y la sensibilidad de Grau se encuentran presentes, por ejemplo, en el detallado estudio que realiza de las variantes que Borges introdujo en la reedición de La Biblioteca de Babel (1a ed., 1942; 2a ed., 1956). Dos pequeñas modifi-caciones amplían, de una edición a otra, el tamaño de la inconmensurable biblioteca hacia una doble infinitud: hacia lo alto y hacia lo ancho, mientras que en la primera edición sólo se podía inferir la altura infinita de la biblioteca; las escaleras, los pozos, las espirales de la biblioteca, son objeto de un estudio que explica la desorientación, el horror, la desesperanza ante una infinitud que se convierte en vacío.

2. El debate sobre la capacidad de Borges para realmente ‘entender’ algunos cauces técnicos de la matemática se encuentra abierto. Muchos intérpretes piensan que su comprensión era muy limitada. Una expresión extrema es la de Sábato (quien, doctor en física, conocía de cerca las dificultades técnicas de la abstracción): “[Borges] lui-même avoue qu’il recherche dans la philosophie, dans un but purement esthétique, ce qui peut s’y trouver de singulier, amusant ou étonnant: qu’Achille au pied léger ne puisse atteindre la tortue; qu’en un temps infini, amoncelant des lettres au hasard un singe puisse écrire l’oeuvre de Dante. Les paradoxes logiques, le regressus in infini-tum, le solipsisme sont les thèmes de contes achevés. Et de même qu’il


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nal inaccesible (no accesible por sumas o exponenciales de cardinales previos: cardinal que queda ‘más allá’ del universo conjuntista usual V y que asegura su consistencia) es el símil perfecto del aleph borgiano, de la ‘esfera tornasolada’ que incorpora todo el universo en su ‘casi intolerable fulgor’: λ ℵ • V

universo universo

conjuntista

general El ‘inaccesible’ tarskiano El ‘aleph’ borgiano En el pleno sentido de la máxima pragmática peirceana —que trata de verticalizar y coordinar combinatoriamente la multiplicidad de modelos que surgen en todo proceso de representación y de interpretación del mundo— Borges y Tarski construyen sofisticadas pragmáticas. Sus engranajes, autoreferencias, reescrituras, revisiones, muestran la reubi-cación permanente de los modelos y su traslado continuo de un lugar a otro del universo, reorganización siempre útil para realzar una perspec-tiva o presentar un novedoso escorzo. Las diversas ubicaciones de los modelos (cardinales desperdigados o linealmente acotados, lenguajes nivelados o estratificados, personajes o autores-lectores, sub-textos imaginarios o reales) van dejando un esqueleto de trazas que simboliza, a la vez, la pluralidad del universo (las movibles trazas en el faneron) y su honda y escondida unidad (el permanente esqueleto sobre el cual puede referenciarse el cambio).

fera un récit inspiré de l’empirisme de Berkeley pas plus qu’il ne voudra perdre l’opportunité d’en élaborer un autre avec la sphère de Parménide également étonnante, son éclectisme est inévitable. Cet éclectisme est aidé para son imparfaite connaissance, lui faisant confondre —selon les nécessités littéraires— le déterminisme avec le fina-lisme, l’infini avec l’indéfini, le subjectivisme avec l’idéalisme, le plan logique avec le plan ontologique. Il parcourt le monde de la pensée comme un amateur la boutique d’un antiquaire; et ses pièces littéraires sont meublées avec le même goût exquis mais aussi le même mélange hétéroclite que l’intérieur de ce dilettante” [Sábato 1981a, 173].


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3.3 Torres García y Freyd: Estructuras universo Signo general que hemos querido evocar en estas páginas, el universo americano, como signo del universo todo, es el signo que Joaquín To-rres-García (Uruguay, 1874-1949) había intentado construir en su ma-gisterio para devolverle a América su lugar en el ámbito amplio de la cultura (“El signo, o espectro del artista, debe estar inscrito en la Ar-monía, que es lo Universal”)1:

De toda América hoy surge un gran deseo de unificación. [...]. Una ver-dadera cultura debe reemplazar a esto que aquí se suele llamar cultura. No, pues, una amalgama de conocimientos y principios dispares, sin cohesión, a la buena de Dios; sino algo maduro, con unidad: una estruc-tura. Algo integral, con una idea matriz por base, en conjunto armónico. [...]. La idea de estructura, de construcción, ha sido lanzada, y, sobre ella, ya se han realizado trabajos plásticos. El principio geométrico ha hecho su aparición, y esto ya es una reintegración a la cultura arcaica. Lo mismo la idea de cosmos, de universalidad. Y como antes de este tiempo, aquí, no existían tales ideas, podemos decir que ahora comienza esa vuelta a la tradición del Continente.2

Torres-García trata de elaborar una gramática plástica que supere los límites locales del pensamiento. El subtítulo de su compendio teórico fundamental Universalismo constructivo explicita la directriz unitaria de su programa: ‘Contribución a la unificación del arte y la cultura de América’, donde propone signos y jeroglíficos que compartimenten y estructuren la obra, produciendo un lenguaje visible para todos. Según Torres-García la naturaleza puede ser ordenada, pueden visualizarse las leyes de unidad que presiden el cosmos y pueden ser descubiertas las formas plásticas y las estructuras universales que se esconden detrás de las apariencias múltiples de la realidad:

¿Qué es, pues, el Arte Constructivo? [...]. Todo aquí es UNO. Por esto me apresuro a decir que nuestras obras de plástica no son ‘pinturas’ ni ‘esculturas’, en el sentido corriente de la palabra. No se quiera ver en ellas otra cosa que diversas estructuras que más o menos felizmente quieren ponerse de acuerdo con la Armonía a la cual el artista puede prestar lo vital de su alma y de su temperamento. Y siendo la regla co-mún, la diversidad se produce. Porque tal como el alfabeto, que siendo el mismo siempre, permite todas las imaginables expresiones. [...]. Pues esa regla una, andando el tiempo, puede dar las expresiones más insospechadas. [...]

1. “El espectro de nuestro signo” (1934), en: Torres-García 1944a, 51. 2. “El nuevo arte de América” (1942), [Torres- García 1944a, 991, 993].


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Por el aspecto que tal arte presenta ha merecido el reproche de la ge-neralidad, acostumbrada a gustar los frutos de un momento, en mi sen-tir, de decadencia, pongo por ejemplo la Grecia de Pericles o el Rena-cimiento. Y puesto que la caduca civilización de Europa se descompone y se hunde, pues perdió el camino de la sabiduría, hallándolo nosotros, y que es el de esa ciencia universal, vieja como el mundo, podemos, cumpliendo una eterna ley de equilibrio, restablecerla nuevamente aquí. [...]. Veremos, entonces, que hay que volver, si queremos ser salvados, a la entraña de su profunda estructura, que sería entrar, en todo orden de cosas, en la construcción geométrica; partir, por esto, de lo puro ele-mental, para ir construyendo (creando) con base propia y según nuestras necesidades, situándonos, por este hecho, en el verdadero plano en que puede y debe afirmarse una verdadera cultura. La cual, y siguiendo la más antigua tradición, levantaría de nuevo al Hombre Universal, por encima del hombre-individuo, pues tal fe es la que corresponde a un pueblo joven que aun debe escribir la historia de sus más altos valores.1

Levantar ‘al Hombre Universal, por encima del hombre-individuo’ es un intento más de concreción de la máxima de Peirce según la cual lo ‘general’ debe terminar siempre primando sobre lo ‘particular’ (inte-grándose en el ‘continuo’ peirceano donde se funden los ‘individuos’). La búsqueda de la Armonía, la construcción del Hombre, la restitución de un Lugar, son algunos de los grandes y permanentes procesos arque-típicos universales de la cultura en los que se inserta el programa de Torres-García. En las correspondencias de esos arquetipos generales (muy cercanos a los ‘objetos libres’ de la teoría matemática de catego-rías) con los signos constructivos del cosmos yace la dinámica profunda del arte:

La fe en el ritmo es lo profundo del arte. Pero hay que hacer una aclara-ción importante: no basta que una obra sea bien estructurada en cuanto a que sus partes estén bien acordadas; si este acorde no está, a su vez, en total armonía, esto es, en correspondencia o relación con un concep-to de universo, podrá ser aún una obra perfecta, pero le faltará profun-didad y grandeza, que no puede venir sino de estar configurada al uní-sono con esa universal armonía.2

Lo más importante en la obra es el funcionalismo de los elementos que la integran ya que en eso reside la vida de la plástica: desplazamientos de planos por la proporción, la dimensión y el color —en la pintura— y de volúmenes en la escultura y la arquitectura.3

Pues bien, para que una obra de arte tenga tan perfecta unidad como un objeto cualquiera, tiene que realizar sólo una cosa y ésta no puede ser más que una estructura, sin que en ella intervenga nada más. Podrá ser-

1. “¿Qué es el arte constructivo?” (1938), [Torres-García 1944a, 744-745]. 2. “El espectro de nuestro signo” (1934), [Torres-García 1944a, 50]. 3. “Funcionalismo” (1934), [Torres-García 1944a, 108].


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virse de una forma cualquiera, sea abstracta o de objeto, o ser vivo, pero lo que deberá realizar será sólo una estructura.1

La creación de zonas y de contextos de interpretación, para la gramática general2 de los arquetipos de Torres-García, antecede —como vere-mos— a muchas ideas posteriores de la teoría matemática de categorí-as. Los signos plásticos peculiares y locales, vistos como reflejos de contextos generales, se encuentran también muy cerca de la dialéctica categórica entre lo local y lo universal. En Construcción universal (1932) [Traba 1994a, 4], Torres-García encajona signos ‘libres’ (balan-za, sol, croquis de hombre y mujer, reloj, ancla, casa, etc.) en un entre-lazamiento plástico que debe poder estar en las bases de cualquier cul-tura. En Grafismo (1936) [Traba 1994a, 377] aparecen, además de múltiples arque-signos, palabras que toda América debe poder interpre-tar (‘alma’, ‘mito’, ‘nadie’,...). Los signos encajonados deben poder luego recomponerse relacionalmente en la mente de los diversos espec-tadores para ofrecerles indicaciones acerca de su identidad, o de su falta de identidad, cultural. La mezcla de Regla y Libertad —vaivén (‘adjunción’) entre geome-tría y sensibilidad— se encuentra siempre presente en la obra de To-rres-García. En Formas abstractas (1938) [Ramírez 1992a, 95], dos espacios de la tabla pintada al temple se atraen y se repelen en un vai-vén plástico entre acople natural y ‘forzamiento’. Las fronteras de las ‘formas’, fronteras claramente delineadas y delimitadas en blanco, neutras para ayudar a posibles traslapes, son curvas suaves en la mayor parte del contorno,3 excepto en el centro de la composición donde las fronteras se endentan y encajan la una con la otra como en una crema-llera. El contraste de los ‘picos’ forzados de la cremallera con la suavi-dad natural de las demás fronteras evoca un general ‘frotamiento’ de lo

1. “Fundamento del arte plástico: una estructura” (1935), [Torres-García 1944a, 181]. 2. Según Marta Traba, “Torres-García se consideraba un pintor realista, a salvo, gracias a

su pasión por «la geometría, el ordenamiento, el sintetismo, la construcción y el rit-mo», de la banalidad del naturalismo». Las posteriores declaraciones de discípulos co-mo Gonzalo Fonseca y Julio U. Alpuy siempre coinciden en describir su enseñanza como un sistema, pero apoyado en la vida y la realidad, lo cual la tiñe de un fuerte tono utópico. Para el crítico uruguayo Juan Flo, esa utopía fue buscar un arte casi anónimo «que partiendo de cero entronque con las civilizaciones del rito cósmico, de las que son un ejemplo las precolombinas». Señalando los ideogramas visibles en las pinturas de Torres-García el crítico Angel Kalenberg lo considera un pionero de las gramáticas plásticas estructurales, un verdadero inventor de nociones «cualitativas lingüísticas» [Traba 1994a, 77].

3. Las formas y sus fronteras, si se deforman continuamente, evocan un par de gráficos peirceanos gama (coloreados) que entran en pugna por delimitar zonas de ‘posibilidad’ plástica.


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diverso, liberador de energía, en contraste con la armonía de lo uno —el equilibrio del resto de la composición— consumidor de la energía libe-rada. En Formas entrelazadas sobre fondo rojo (1938) [Ramírez 1992a, 96], las líneas fronterizas se liberan y se entrelazan las unas con las otras, en un juego dinámico que permite la emergencia de formas de vida: el perfil de una vaca, el contorno de un rostro, el vaivén osmótico de lo celular y de lo cósmico.1 La vida emergiendo de la abstracción, la libertad surgiendo de la regla, el movimiento elevándose de la estática, son algunos de los desplazamientos que logra construir plásticamente Torres-García para explicitar acordes estéticos —armonizar ritmos— entre los desplazamientos naturales del universo y los de la obra de arte. La ‘perfecta unidad’ estructural que incesantemente busca Torres-García logra plasmarse felizmente en Tres figuras constructivas primitivas (1937) [Ramírez 1992a, 99]. Temperas sobre cartón, en un registro acota-do de color (gris, rojo, ocre, blanco), la composición encaja todo tipo de rectángulos monocromáticos y unos pocos contornos ovales, para hacer surgir una plena armonía plástica: “nada más [...] que una estructura”. Las Tres figuras encarnan adecuadamente el summum bonum de la estética según Peirce: independientemente de que en la composición se evoquen un hombre, una mujer, un animal, un sol, una torre y un pez, más allá de una ‘forma cualquiera’ y ‘sin que en ella intervenga nada más’, la estructura universo de Torres-García hace explotar el continuo de las posibilidades plásticas (las impregnaciones y contrastes de color, las correlaciones y contraposiciones geométricas, las correspondencias y disociaciones de los signos) y logra hacer encarnar el global summum bonum peirceano —el ‘crecimiento continuo de la potencialidad’— en el espacio local de una obra dada. Por algo que es más que una mera ‘casualidad’ de la cultura, la primera forma de la tríada peirceana (‘I, Thou, It”: yo, tú, ello)2 reaparece setenta y seis años después en la estructura de Torres-García, también como tríada3 arquetípica elemental, como arque-signo de todo el Uni-verso. 1. El trasvase local de las Formas entrelazadas es como una representación visual del

trasvase general de los signos peirceanos entre el protoplasma y el cosmos (p. 25). 2. “I, It and Thou. A book giving instruction in some of the elements of thought” (1861),

en: [Peirce 1982-1993a I, 45]. 3. Torres-García pretendió en un momento (1929-30) definir su universalismo constructi-

vo como una síntesis triádica de “cubismo, neoplasticismo y surrealismo”. Aunque la ‘síntesis’ obedecía seguramente a razones de legitimación ad hoc de una obra original y ex-centrada que tenía que tratar de ser ‘encauzada’ en las corrientes de la época, se trata también de una coherente síntesis interna entre dos grandes grupos triádicos de contradicciones que Torres-García intentaba constantemente resolver: tradición, espon-taneidad y realidad visual, por un lado, geometría, estructura y razón, por el otro lado. Véase: Flo 1992a, 29-30.


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El Taller Torres-García, grupo de artistas que se reúne alrededor del gran patriarca cuando regresa a Montevideo (1934) después de cuatro décadas de exilio, es uno de los más peculiares movimientos artísticos del continente:

El Taller vivió una mística sin paralelo en ningún otro país. [...]. Sola-mente admitiendo la convicción apostólica de su enseñanza [más de 600 conferencias] puede explicarse el fenómeno del mimetismo del Ta-ller, donde cerca de veinte artistas de talento y sensibilidad se plegaron de manera casi literal a sus sistemas expresivos. [...]. El carácter epigo-nal de los miembros del Taller, incluso los más importantes, no es ano-tado como factor en contra. Por el contrario, el Taller creó las variables necesarias a un lenguaje demasiado rígido, pese a la condición sensible de la compartimentación y los signos incluidos [Traba 1994a, 77].

Amalia Nieto, una de las integrantes del Taller y segunda esposa de Felisberto Hernández,1 realiza un hermoso Homenaje a Felisberto Her-nández (1936) [Ramírez 1992a, 89], madera tallada y pintada en la que una escala básica (escalera subyacente, a su vez, a un premonitorio templo o balcón)2 sirve para ‘componer’ los bloques —musicales— que arman la estructura de la obra. Síntesis compacta, mutación de lo circu-lar y lo triangular sobre lo rectangular —tejido reflejo de contrapuntos y desdoblamientos sorpresivos— la ‘estructura universo’ de Amalia Nieto es una visualización posible del mundo fluctuante de Felisberto: ligero movimiento (círculo, triángulo) sobre el hondo, fijo y pesado silencio (rectángulos) que subyace en toda su narrativa. Espacios de síntesis, las estructuras universo del Taller de Torres-García prefiguran importantes desarrollos de la lógica matemática que empezarían a explicitarse un par de décadas más tarde. Aunque la ma-yoría de los lógicos que hemos estudiado en este ensayo se sitúan en una tradición analítica de las matemáticas (capturan el mundo de las matemáticas desde adentro, analizando ciertos conceptos en componen-tes primarias y recomponiéndolos luego: trabajos que se insertan en la teoría de conjuntos cantoriana, a través de descripciones por medio de elementos en diversos niveles), otro camino complementario se abriría 1. Según Saad, “Felisberto ha construido algunas de sus obras con el rigor que el gran

pintor [Torres-García] se imponía a sí mismo y enseñaba a sus alumnos” [Saad 1997a, 11].

2. “El balcón” de Felisberto aparece en Nadie encendía las lámparas en 1947. Invirtiendo la premonición, Felisberto ‘inventa’ a Amalia en La cara de Ana en 1930: “Yo pensaba siempre en Amalia [...]. Un día antes de salir a pasear, con la alegría de lo que veríamos y como poniéndonos de acuerdo para ir a muchos lugares lindos nos dimos un beso corto. Después nos dimos muchos besos más. Pero cuando nos besábamos ella miraba para un lado como si pensara a dónde iría a pasear y yo tenía los ojos muy abiertos y la miraba fijo como si estuviera distraído por cosas simples” [Hernández 1983a I, 60].


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en los años sesenta, cuando la teoría matemática de categorías recupera-ría las grandes tradiciones sintéticas y crearía una novedosa gama de instrumentarios para estudiar técnicamente las nociones de universali-dad, acotamiento contextual y proximidad relacional. En la teoría de categorías los objetos no son descritos ‘en sí’, en un espacio absoluto (como el que pretende otorgar la teoría cantoriana de conjuntos), sino ‘a lo largo de’ adecuadas categorías. Las categorías se basan sobre un lenguaje ‘descarnado’, universal, que describe fenóme-nos generales de los objetos por medio de sus relaciones con el medio ambiente. En categorías concretas los objetos generales encarnan en objetos específicos: por ejemplo, una misma noción general de ‘objeto inicial’ puede encarnar en el conjunto vacío (cardinal 0), en un grupo unitario (cardinal 1), o en el anillo de los enteros (cardinal ℵ0), “a lo largo’ de las diversas categorías de conjuntos, grupos o anillos, respec-tivamente. Los objetos categóricos son cajas negras, objetos parciales, que sólo van alcanzando su plena dimensión semántica al ir represen-tándose en diversas categorías que les dan vida. Las ideas más originales de la teoría matemática de categorías se deben principalmente a dos brillantes y sui generis matemáticos, muy activos desde los años sesenta: Bill Lawvere y Peter Freyd. Dentro del amplio programa de trabajo de Freyd, se han logrado caracterizar im-portantes categorías por medio de su poder de representación o capacidad expresiva. Las lógicas abstractas deben verse allí, desde un punto de vista muy general, como invariantes de adecuados teoremas de representación. La lógica se comprende así como una teoría general de las representacio-nes, respondiendo de manera precisa al sueño de Peirce, quien definía a la lógica como una semiótica universal, que debía poder enfrentarse a los problemas generales de la representación sígnica. En el pensamiento categórico, la dialéctica de lo uno y lo múltiple alcanza una de sus expresiones más felices: un objeto —uno— cons-truido por medio de propiedades universales, es a su vez múltiple a lo largo de la pluralidad de categorías donde encarna. Lawvere descubrió que la lógica intrínseca de ciertas categorías (‘topos’), que surgían natu-ralmente en el cruce de conjuntos y geometría, era la lógica intuicionis-ta [véase: Lambek 1986a], acercando así las categorías a un programa constructivista del que parecían desligadas al comienzo. La maquinaria categórica relacional de Freyd (su red de ‘alegorías’) proporcionó luego axiomatizaciones para categorías ‘intermedias’, de más bajo poder de representabilidad que los topos, que habían pasado desapercibidas hasta entonces, y mostró que esas categorías podían verse, a su vez, como


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modelos naturales para lógicas intermedias entre algunas lógicas ‘mi-nimales’ y la lógica intuicionista.1 Los teoremas de representación de Freyd para diversas clases de categorías se basan en un eje conceptual fundamental de la teoría, según el cual toda categoría ‘pequeña’ puede ser adecuadamente sumergida en una categoría de ‘prehaces’, donde aparecen objetos ‘ideales’, o ‘no estándar’, que completan el universo (proceso de completamiento de Yoneda):

La aparición natural de lo ideal al tratar de captar lo ‘real’, aparición permanente y penetrante en toda forma de creatividad matemática, concuerda con la actitud de Torres-García quien, definiéndose como realista pero no naturalista, permite que el ámbito general de los signos y de las ideas se introduzca —al modo peirceano— dentro de una reali-dad extendida. En el caso de Freyd, su extendido realismo va más allá de lo que hubieran podido imaginar Torres-García o el mismo Peirce: con un procedimiento ubicuo en lógica categórica muestra que, partien-do de teorías puras de tipos con ciertas propiedades estructurales (regu-laridad, coherencia, primer orden, orden superior), pueden construirse uniformemente —mediante una jerarquía arquitectónica completamente controlada— categorías libres que reflejan las propiedades estructurales dadas en un comienzo (categorías regulares, pre-logos, logos y topos).2 Al obtener categorías ‘libres’, se consiguen las más ‘descarnadas’ cate-gorías posibles, reflejables en cualquier otra categoría con propiedades 1. [Freyd 1990a]. La obra tardó casi veinte años (1972-90) en culminarse. Sin lugar a

dudas, se trata de una de las cumbres de la matemática en el siglo XX, altura sin em-bargo aún poco apreciada por la comunidad matemática en general.

2. Procedimiento T (teoría) → AT (alegoría) → MapSplitCor(AT) (categoría), que entrega un resultado ‘libre’ cuando se parte de una teoría ‘pura’ de tipos, y que muestra en cada una de sus etapas (relacionalidad, subsunción en la identidad, invertibilidad parcial, funcionalidad) cómo se va ‘filtrando’ un determinado conglomerado matemático [Freyd 1990a, 277].


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similares: Freyd logra así construir nada menos que los arquetipos ini-ciales de la teorización matemática. Como a menudo sucede con los grandes giros de la matemática, los asombrosos resultados de Freyd sólo serán plenamente comprendidos dentro de unas décadas, pero, desde ya, es fácil predecir su inusitada importancia. Las obras de Torres-García son, en sus propios términos, ‘lecciones racionales’ que insinúan “ordenamiento, sintetismo, construcción y ritmo”1 detrás de las múltiples manifestaciones de una naturaleza apa-rentemente caótica. La teoría de categorías ha encontrado, por otros caminos, esos jeroglifos y arquetipos que permiten ordenar sintética-mente la aparente multiformidad de la matemática contemporánea. Los teoremas de representación de Freyd apuntan, entre otros, a los siguien-tes aspectos que pudimos vislumbrar en la obra pionera de Torres-García: representabilidad: la obra se ve como un tejido relacional, con inmersiones y demarcaciones sígnicas; universalismo: la obra se basa en esquemas abstractos (generales), antes de ser contextualizada (parti-cularizada); constructivismo: la obra requiere de un montaje a la vista para que el espectador detecte y complete su construcción. El Monumento cósmico (1935) y el Hombre abstracto (1939) [Mas-lach 1998a, 586-587] representan, respectivamente, el hombre en el cosmos y el cosmos en el hombre, e invierten los reflejos del uno en el otro. En la primera tinta sobre papel, el signo del hombre es uno más de los signos del cosmos; en la segunda, los signos del cosmos son unos más de los signos del hombre. La combinación de las dos tintas da lugar a una autoreferencia, codificada ad infinitum, similar a un par de espejos de Borges enfrentados. Las antiguas y siempre vivas corres-pondencias entre macro y microcosmos renacen en las estructuras uni-verso de Torres-García. Desde una perspectiva sintética (Freyd) o ‘sin-tetista’ (Torres-García), Calvino retoma esa problemática del universo y el ‘yo’, en “El mundo mira al mundo” y en “El universo como espejo” (3.3), según Palomar:

¿Pero cómo se hace para mirar una cosa dejando de lado el yo? ¿De quién son los ojos que miran? Por lo general se piensa que el yo es al-

1. Insiste Torres-García: “Vamos a regirnos por las leyes universales de la razón y no por

lo que nos aconseje nuestro interés personal. Y con esto se dice que se debe estar en lo universal y no en lo particular, y que, por lo tanto, existe un mundo de abstracciones en el cual queremos estar”, contenido en: “Lo abstracto y lo concreto” (1935), op.cit. (no-ta 310), 271. Es admirable, en Torres-García, la búsqueda de lo universal, allende el interés personal, algo inimaginable cincuenta años después con las reivindicaciones particularizantes del postmodernismo, que colapsan inmediatamente con el dictado de Torres-García: “la libertad es la fidelidad a la Regla y no lo que se creyó” [Freyd 1990a, 573].


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guien que está asomado a los propios ojos como al antepecho de una ventana [¿influencia de Felisberto en Calvino?] y mira el mundo que se extiende delante en toda su vastedad. Por lo tanto: hay una ventana que se abre al mundo. Del otro lado está el mundo, ¿y de éste? Siempre el mundo: ¿qué otra cosa va a haber? Con un pequeño esfuerzo de con-centración Palomar consigue desplazar el mundo de allí delante y aco-modarlo asomado al antepecho. Entonces, fuera de la ventana, ¿qué queda? También el mundo, que en esta ocasión se ha desdoblado en mundo que mira y mundo mirado. ¿Y él, llamado también “yo”, es de-cir, el señor Palomar? ¿No es también él un fragmento de mundo que está mirando otro fragmento de mundo? [Calvino 1997a, 100].

Al amigo del universo, el universo le es amigo. ¡Ojalá —suspira Palomar— pudiera también yo ser así! Decide tratar de imitarlos. Todos sus esfuerzos, de ahora en adelante, tenderán a lograr una armonía tanto con el género humano próximo a él como con la espiral más lejana del sistema de las ga-laxias [...]. Trata de conseguir que sus pensamientos tengan presentes con-temporáneamente las cosas más cercanas y las más alejadas: cuando en-ciende la pipa, la atención a la llama del fósforo, que la próxima vez debería dejarse aspirar hasta el fondo del hornillo iniciando la lenta transformación en brasas de las hebras de tabaco, no debe hacerle olvidar ni un instante la explosión de una supernova que se está produciendo en la Gran Nube de Magallanes en este mismo momento, es decir, hace unos millones de años. La idea de que todo en el mundo se vincula y se responde no lo abandona nunca [Calvino 1997a, 101-102].

Expresiones del principio de continuidad leibniziano, la eliminación del ‘yo’ aislado, la correspondencia entre igniciones en el macro y micro-cosmos, o la influencia de “una variación de luminosidad en la Nebulo-sa del Cangrejo” en la “frescura de las hojas de berro en su plato de ensalada” [Calvino 1997a, 101-102], son otras formas más de la conti-nua evolución de los signos generales peirceanos en todos los ámbitos del cosmos. La continuidad del universo es una de las formas más con-tundentes (summum) de expresar plenamente la terceridad peirceana. En el sustrato de las obras de Torres-García y de Freyd yace hondamen-te esa plena terceridad: los traslados semánticos que pretende conseguir Torres-García entre sus arque-signos y los signos del cosmos requieren un principio de continuidad, así como los teoremas de representación de Freyd pueden verse como instanciaciones discretas de teoremas de continuidad uniforme subyacentes. Torres-García proclamaba, como hemos visto, que ‘la fe en el ritmo es lo profundo del arte’, y sus obras —en una justa correspondencia pragmática con la Regla— son fino ejemplo de cómo conseguir impac-tantes ritmos plásticos. Igualmente, en Freyd, si hay algo que impacta al matemático que por vez primera se acerca a sus teoremas, ese algo es el ritmo —sincopado, violentamente alto y rápido— de su estilo de prue-ba. Pero el ritmo, en el fondo, no es más que otra modulación peculiar


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de la terceridad peirceana, como bien lo analiza Theodor Lipps en su “Articulación tríplice del conjunto rítmico”:

Las acentuaciones del ritmo no se descomponen, sino que el todo expe-rimenta una diferenciación, a saber, una diferenciación de momentos cualitativamente diferentes, los cuales están frente a frente en el conjun-to. [...]. Estos momentos cualitativamente diferentes ya han sido desig-nados. Primero como principio, medio y fin, o como impulso al movi-miento, curso del mismo y final o terminación. Pero ya hicimos notar que el movimiento rítmico, no sólo es un mero hecho, sino que es una acción. Y la acción corresponde a la oposición, la presión que trata de vencer un obstáculo, el trabajo interior, la tensión. [Excelente expresión de la segundidad, sin conocer a Peirce]. Y cuanto más viva es la acción, tanto más se destaca el momento de la tensión y de la victoria, y tanto más encierra el curso del movimiento una tensión de este género. Si reflexionamos sobre esto, podemos dis-tinguir tres momentos: el primero es el punto de partida o, como decía antes, la base; el segundo, la tensión, o, en tanto ésta se manifiesta en la posición de la voz, la altura; la tercera es la resolución, la vuelta al re-poso. Con esto se da una posible diferenciación que está en la naturale-za del todo rítmico. Consiste en la configuración independiente de esos tres momentos cualitativamente diferenciados. Tal diferenciación puede luego realizarse en las unidades rítmicas de movimiento elementales. Vimos que en cuanto el ‘anfímaco’ [unión de dos acentuaciones relativamente de igual valor] se diferenciaba en sí perfecta-mente, nace en él, entre las dos acentuaciones principales, la acentuación del principio y la del fin, una entonación principal. Esta puede, a consecuencia de su peso, acercar cada vez más entre sí aquellas entonaciones. De este modo tenemos aquí una diferenciación de una unidad en el principio, en el centro y en el fin. Sólo de este modo llega a completa expresión la esen-cia íntima de la unidad [Lipps 1923a, 324-325].

Las combinatorias de la tríada —indisoluble pero siempre potencial-mente abierta a la acentuación de sus componentes, integral pero siem-pre susceptible de diferenciación— sustentan el vaivén siempre com-plementario entre la unidad y la diversidad. En el óleo sobre cartón Estructura universal tres arcos (1945) [Maslach 1998a, 594] se con-densa simbólicamente este ensayo: gramática general del cosmos, la estructura universal de Torres-García imbrica signos figurativos y abs-tractos bajo la égida de tres arcos entrelazados —el tercero de ellos cobi-jando a los otros dos—, así como nosotros hemos querido imbricar aquí las figuraciones de la estética y las abstracciones de la lógica matemática bajo la égida de la arquitectura triádica peirceana. Si en el centro de la estructura de Torres-García aparecen los signos del sol y del hombre, irradiando sus complejos reflejos en el resto de la composición, no quisiéramos aquí dejar de mencionar explícitamente el centro vital de nuestro ensayo: un sentido homenaje a la sobrecogedora unidad de la obra humana, tan hondamente


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encarnada en la diversidad y la universalidad de los notables creadores que hemos recorrido en estas páginas.


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Mathesis


III 11 (2006)

Ilust. 1 (p. 81) Armando Reverón - Luz tras mi enramada

Ilust. 2 (p. 81) Armando Reverón - La Playa


Mathesis

Ilust. 3 (p. 82) Armando Reverón - El Arbol

Ilust. 4 (p. 87) Armando Reverón - Paisaje de Tanaguarena


III 11 (2006)

Ilust. 5 (p. 118) Roberto Matta - Le Vertige d’Eros

Ilust. 6 (p. 118) Roberto Matta - Le Cube Ouvert


Mathesis

Ilust. 7 (p. 121) Roberto Matta - La Banale de Venise

Ilust. 8 (p. 138) Joaquín Torres-García - Construcción universal


III 11 (2006)

Ilust. 9 (p. 138)

Joaquín Torres-García - Grafismo

Ilust. 10 (p. 138) Joaquín Torres-García - Formas abstractas


Mathesis

Ilust. 11 (p. 139) Joaquín Torres-García - Formas entrelazadas sobre fondo rojo

Ilust. 12 (p. 139) Joaquín Torres-García - Tres figuras constructivas primitivas


III 11 (2006)

Ilust. 13 (p. 140) Amalia Nieto - Homenaje a Felisberto Hernández

Ilust. 14 (p. 143) Joaquín Torres-García - Monumento cósmico


Mathesis

Ilust. 15 (p. 143) Joaquín Torres-García - Hombre abstracto

Ilust. 16 (p. 145) Joaquín Torres-García - Estructura universal tres arcos

Mathesis III 11 (2006) 165-219. Impreso en México. Derechos reservados © 2006 por UNAM (ISSN 0185-6200)

Centro de Investigaciones Multidisciplinarias y de

Innovación Docente en Matemáticas

Alejandro R. Garciadiego

Tabla de contenido Resumen del Proyecto 1. Introducción 167 2. Objetivo 167 3. Antecedentes 168 4. Productos concretos 169 §1. Introducción 170 §2. Objetivo 177 §3. Estructura y áreas de investigación 3.1. Educación Matemática 179 3.2. Historia de las Matemáticas 179 3.3. Filosofía de las Matemáticas 180 3.4. Sociología de las Matemáticas 180 3.5. Divulgación de las Matemáticas 180 3.6. Difusión de las Matemáticas 180 3.7. Etnomatemáticas 180 3.8. Arqueomatemáticas 180 §4. Antecedentes inmediatos 181 §5. Productos concretos del proyecto 5.1. Libros de texto 183 5.2. Matemorfosis 186

166 Alejandro R. Garciadiego

Mathesis

5.2.1. Objetivo 186

5.3. Enciclopedia para la Historia y Filosofía de las Ideas Matemáticas 5.3.1. Objetivo 191 5.3.2. Antecedentes e hipótesis 191 5.4. Mathesis 5.4.1. Antecedentes 193 5.4.2. Orígenes 193 5.5. Colección ‘Los clásicos’ 194 5.5.1. Texto 195 5.5.2. Originales 195

5.5.3. Análisis Contemporáneo (históricos, filosóficos, pedagógicos, sociológicos, etc.) 196

5.5.4. Difusión 197 5.5.5. Divulgación 197 5.5.6. Matemáticas y Arte 197 5.6. Carteles 198 5.7. Material audiovisual y multimedia 198 5.8. Coloquio Internacional 201 5.8.1. Antecedentes e hipótesis 201 5.8.2. Objetivos 204 §6. Apéndice 1 6.1. Matemorfosis 205 6.1.1. Características editoriales 205 6.1.2. Contenido conceptual 206 6.1.2.1. Organigrama conceptual 209 6.1.2.2. Organigrama administrativo 211 6.1.2.3. Características administrativas 212 §7. Apéndice 2

7.2 Enciclopedia para la Historia y Filosofía de las Ideas Matemáticas 212

7.2.1. Metas parciales 212 7.2.2. Metodología 213 7.2.3. Primer volumen. Contenido tentativo 214 §8. Apéndice 3 8.3 Mathesis 215 8.3.1. Orígenes 215 8.3.2. Balance 217

Centro de Investigaciones ... 167

III 11 (2006)

Resumen del proyecto

§1. Introducción En 2001, los ciudadanos mexicanos tuvieron documentación probatoria de los alarmantes resultados de evaluación sobre el conocimiento ma-temático de la población estudiantil de nivel bachillerato. La Organiza-ción para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) realizó un examen, sobre matemáticas, ciencias, lectura de comprensión y es-critura y de cómo aplicar dicho conocimiento en la resolución de pro-blemas prácticos, y México quedó en penúltimo lugar de los treinta y un países afiliados a dicha institución. Para el año 1995, México ya había participado en dichas evaluaciones con resultados tan desastrosos que estos les fueron ocultados al grueso de los habitantes. La misma organi-zación realizó un tercer examen, en 2003, con las mismas característi-cas, y, en esta ocasión, si únicamente se toma en cuenta a los países afi-liados, México obtuvo el último lugar.1 En 2005, la OCDE presentó un nuevo informe donde señaló los porcentajes tan bajos de la población mexicana que terminan los programas correspondientes al nivel bachi-llerato. El Gobierno Federal, en consecuencia, fundó el Instituto Nacio-nal para la Evaluación de la Educación, con la finalidad de juzgar y medir la calidad de los sistemas educativos ofrecidos por el país. Pero, esta institución no está concebida para incidir directamente en la solu-ción de dicha problemática. Esta es una dificultad que deprecia direc-tamente el nivel académico de la Universidad Nacional Autónoma de México en su conjunto, ya que ésta se nutre de estos estudiantes y, se ve obligada a implementar programas y desviar recursos para solventar es-ta situación. §2. Objetivo Ante la obligatoriedad por superar el nivel y la calidad de los procesos enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en México es necesario que la Universidad Nacional Autónoma de México, en su propio beneficio, se aboque de manera frontal a poner su grano de arena en la resolución de tan apremiante situación. En la práctica, miembros del personal aca-démico de la UNAM producen, de manera continua, una gran cantidad de textos de excelente calidad. Sin embargo, es necesario apoyar y, so-bretodo, complementar y enriquecer dichas actividades. Para asistir en dicha tarea, se propone la creación de una nueva entidad académica de la UNAM llamada: Centro de Investigaciones Multidisciplinarias y de Innovación Docente en Matemáticas. Además de sus metas como un centro de investigación de excelencia académica, esta dependencia de-berá contribuir con la promoción de proyectos —tanto de carácter indi-vidual como colectivos— de investigación, docencia y divulgación, que sean multi, inter y transdisciplinarios, dirigidos a todos los niveles del sector educativo, cuyo propósito concreto sea incidir en el mejora-miento de los procesos anteriores y la popularización de las matemáti-

1. No se afirma, de manera alguna, que estos exámenes sean un reflejo real y objetivo de

la formación matemática de la población de bachillerato en general. Expertos en la realización de dicho tipo de pruebas podrían cuestionar la forma, el fondo e incluso la selección de la muestra. Sin embargo, los resultados si muestran que hay mucho cami-no por recorrer, profundizar y mejorar.


Mathesis

cas. Por popularización se entiende su difusión entre pares y divulga-ción entre el público en general.

Algunas de las metas que el Centro deberá lograr, a corto plazo, son, entre otras: 1) el desarrollo de conocimiento que sea original, relevante y trascen-dente concerniente a la comprensión, carácter, significado, transmisión, influencia y enseñanza de las matemáticas, como parte del entorno so-cial que las rodea. Dicho análisis debe comprender sus componentes fi-losóficas, históricas, culturales, artísticas, económicas y sociales, entre otras; 2) ante la riqueza, complejidad y pluralidad de los diversos programas de posgrado actuales, el Centro no propone la creación de nuevos pro-gramas de estudio, sino aprovechar algunos de los ya existentes y enfo-carlos hacia los procesos ya mencionados y popularización de las ma-temáticas. Así, egresados de los programas de Filosofía de la Ciencia (con sus nuevas áreas terminales, incluyendo, por ejemplo, Comunica-ción de la Ciencia e Historia de la Ciencia), Enseñanza de la Ciencia, Psicología, Matemáticas, entre muchos otros, podrían aportar sus cono-cimientos para implementar nuevas metodologías, enfoques, teorías y conceptos en las áreas antes mencionadas. Estas nuevas aportaciones tienen que entrelazar tales procesos de enseñanza-aprendizaje con los métodos de escritura y lectura de comprensión y las nuevas tecnologías disponibles en el mercado. Además, a través de conferencias, mesas redondas, coloquios, talle-res, diplomados, y otras diversas actividades docentes, el Centro deberá crear un programa de ‘promotores regionales’ quienes deberán ser ca-paces de transmitir la filosofía, programas y resultados del Centro a sus propias comunidades; de esta manera, serán normalistas quienes ense-ñen a normalistas, y profesores de bachillerato quienes se dirijan a sus pares, entre otros. Así, por transitividad, se podrán implementar estos nuevos proyectos a nivel nacional; 3) el Centro deberá fungir como un medio de creación, concentración y desarrollo de nuevas ideas y modelos para el mejoramiento de los pro-cesos de enseñanza, aprendizaje y popularización de las matemáticas. El Centro deberá desarrollar material educativo (i.e., libros de texto, di-vulgación, difusión, incluyendo carteles, libros, monografías, progra-mas de radio y televisión, multimedia, entre otros) dirigido a todos los niveles del sector educativo, desde muy variados enfoques y puntos de vista, incluyendo aquellos tradicionales que, por su calidad y trascen-dencia, han dejado una huella indeleble en la literatura.

§3. Antecedentes De ninguna manera se propone partir de cero. Se pretende fundar este Centro con un grupo de académicos que han sido profesionalmente formados en estas disciplinas. Algunos de éstos ya han colaborado, di-señado, elaborado y llevado a la práctica la creación e implementación de diversos proyectos académicos contemplados desde esta perspectiva. Es más, algunos de los proyectos concretos que se piensan incluir ya se encuentran en pleno desarrollo (e.g., Mathesis); otros ya han sido pro-ducidos en el pasado (e.g., los seis libros de texto para el nivel elemen-tal); y, aún otros, han sido presentados y discutidos en diversos foros, a nivel nacional e internacional (e.g., Enciclopedia y Matemorfosis).


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§4. Productos concretos

Entre algunas de las herramientas precisas y obtenibles a corto y me-diano plazo que el Centro debe producir están, independientemente de la labor de investigación de excelencia de cada uno de los miembros de su personal académico, las siguientes: • Una nueva versión, que deberá ser revisada periódicamente, de los seis libros de texto de matemáticas de nivel primaria, diseñada y llevada a la práctica por un equipo de profesionales que contemplen una com-posición inter, multi y transdisciplinaria como parte de un todo; • los seis libros de texto correspondientes al bachillerato, incluyendo temas en: geometría plana, álgebra elemental, geometría analítica y cál-culo diferencial e integral; • publicación periódica titulada Matemorfosis —nombre aún tentati-vo— dirigida al público general y que pretende envolverlo, de una ma-nera subliminal e inconsciente, con una cultura matemática, derivada, esencialmente, desde las humanidades, ciencias sociales y artes; • revista de investigación en Filosofía e Historia de las Matemáticas, llamada Mathesis, y dirigida a académicos profesionales, esencialmente investigadores, docentes, divulgadores y difusores en matemáticas, humanidades y ciencias sociales; • Enciclopedia de Historia y Filosofía de las Ideas Matemáticas, publi-cable en siete volúmenes y dirigida a todos aquellos estudiantes, profe-sores y profesionales con una formación básica que incluya conoci-miento general de la geometría analítica y del cálculo diferencial e inte-gral; • organización de un coloquio —compuesto por tres jornadas funda-mentales: Formación, investigación original y divulgación— y que esta-ría programado cada dos años (desfasado del Congreso Internacional de Historia de las Ciencias y del Congreso Internacional en Matemática Educativa) y que tendría, como una de sus finalidades, la formación de sus participantes (‘promotores locales’), para transmitir y llevar a sus instituciones estas nuevas metodologías de enseñanza. Todos estos proyectos inter, multi y transdisciplinarios, y aún otros por discutir, estarán dirigidos y coordinados por algún miembro del per-sonal académico de este nuevo Centro. Los grupos se conformarán de tal manera que aseguren una participación rica en todo tipo de matiz: Orígenes, metas, enfoques, metodologías, desarrollos y consecuencias.


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Centro de Investigaciones Multidisciplinarias y de

Innovación Docente en Matemáticas

§1. Introducción No es un secreto que uno de los talones de Aquiles del sistema educati-vo mexicano radica en la baja calidad de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Recientemente, organizaciones interna-cionales, ajenas a la práctica política del país, han realizado evaluacio-nes comparativas entre diversas naciones y los resultados de estos exá-menes, y de las implicaciones asociadas con éstos, son alarmantes.1 México se encuentra en los últimos lugares de las listas respectivas.2 Este no es un problema nuevo ni exclusivo de este país. Una respuesta trivial y sencilla sería intentar copiar recetas o metodologías que hayan sido parcialmente exitosas en otras latitudes. Sin embargo, existen factores sociales, económicos y culturales que impiden la adopción incontrovertible de dichas técnicas. Pero, más aún, en otras latitudes y en otros tiempos, las matemáticas también han presentado graves pro-blemas para su comunicación, aprendizaje, transmisión y entendimien-to. La propia historia de esta disciplina muestra que lo poco que se conoce de Euclides, autor de Los Elementos y, por ende, uno de los matemáticos más influyentes de todos los tiempos, es que sus alumnos se quejaban del por qué de la necesidad de estudiarlas y aprenderlas. Pregunta que se hacen la gran mayoría de los estudiantes actuales.

En México, a pesar de que existen muestras y resultados palpables de la imposibilidad de universalizar dichos argumentos, este fracaso se refleja y es palpable aún en los niveles de estudio más avanzados y

1. A pesar de las críticas que se pudieran hacer a dichas evaluaciones (e.g., objetividad de

la muestra, relevancia del conocimiento evaluado, entre otros), los resultados sugieren que existen una gran cantidad de variables que bien pudieran ser superadas y mejora-das dentro de este sistema educativo, en particular, en torno a la enseñanza, aprendiza-je y popularización de las matemáticas.

2. En los primeros días del mes de diciembre de 2001, la gran mayoría de los diarios mexicanos (La Jornada, El Financiero, La Crónica, El Excélsior, El Heraldo de México, El Reforma y El Universal, entre muchos otros) hicieron eco de los desastrosos y alarmantes resultados que obtuvieron los estudiantes mexicanos en las pruebas internacionales de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OECD) en lectura de comprensión, ma-temáticas y ciencias [véase: www.pisa.oecd.org]. Los resultados de exámenes previos (1995), que habían sido ocultados por las autoridades, y posteriores (2003, 2005) son igual-mente preocupantes.


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especializados. En la mayoría de los diversos programas de estudios profesionales, las matemáticas se distinguen por congregar al mayor núme-ro de reprobados; aún en aquellas disciplinas, como son las ingenierías, donde los estudiantes deberían tener una mayor sensibilidad y facilidad de comprensión hacia ellas.1 En los programas de humanidades, estudios sociales, e incluso artes, los cursos de matemáticas se convierten en filtros y cuellos de botella que impiden, a la gran mayoría de los estudiantes, prose-guir con sus obligaciones académicas y graduarse.

Las matemáticas son odiadas por la gran mayoría de las personas que entran en contacto con ellas. De hecho, erróneamente, muchos jóvenes -deciden su vocación profesional con la esperanza de no volverse a encon-trar con ellas. Para su desdicha, de una manera u otra, las matemáticas ahora forman parte de los programas académicos de casi cualquier discipli-na, ya sea ésta derecho, medicina o sociología. En particular, a través del uso de las computadoras personales y del estudio de la estadística y proba-bilidad, las matemáticas parecen ser ineludibles en el mundo de hoy.

Las razones por las cuales se dificulta la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas a diversos tipos de individuos, aún en aquellos países que obtuvieron las mejores calificaciones, han sido motivo de estudio y re-flexión por parte de innumerables académicos. En la práctica, tan preocu-pados están algunos, que ahora dedican tiempo completo a la solución de esta problemática. Obviamente, dentro de este conglomerado de académi-cos han surgido muy diversos enfoques e intereses. Algunos de ellos han centrado sus análisis desde el punto de vista filosófico, otros psicológico, otros lingüístico, otros pedagógico, otros matemático, y, aún otros, históri-co. Hay quienes han enfocado sus estudios en alguno de los diversos nive-les educativos (elemental, medio, medio superior, etc.); hay quienes se han especializado en diversas ramas (aritmética, álgebra, geometría y cálculo, entre otras); hay quienes se han orientado hacia las diferencias de género buscando posibles explicaciones; y, hay quienes han fijado su atención en los diversos grupos generacionales (párvulos, niños, adolecentes, etc.). Se comentará, a manera de ejemplo y brevemente debido a la limitación de

1. La Facultad de Ingeniería de esta misma universidad ha intentado, de diversas mane-

ras, superar el nivel de matemáticas de los alumnos de primer ingreso así como el de sus estudiantes de semestres más avanzados. Algunos de estos esfuerzos se encuentran reflejados, entre otros, en los documentos: “Informe sobre el primer ingreso y los resulta-dos del examen diagnóstico aplicados a la generación 2004”; “Porcentajes de Aprobación antes y después de los planes de estudio 1994, hasta el semestre 2001-2”; y, “Análisis comparativo de los resultados de los alumnos de cursos propedéuticos en los exámenes diagnóstico y global (semestre 2003-1)”. Más aún, en la propia Facultad de Ciencias, es extremadamente reducido el número de estudiantes que terminan sus estudios de licencia-tura en matemáticas de manera regular, como lo indica el programa oficial.


Mathesis

espacio, algunas de las posibles dificultades a encontrar cuando selec-cionamos alguno de estos enfoques. Una de las orientaciones más populares es la histórica. Hay quienes se han acercado al pasado en sus intentos por encontrar una solución al problema. Aparentemente, la vinculación entre la historia y la didáctica de las matemáticas es muy estrecha. Para ilustrar ciertos conceptos es muy común mirar hacia el pasado, con el propósito de entender cuáles fueron los orígenes de ciertas nociones matemáticas. Una de las primeras preguntas que, comúnmente, saltan a la mente de cualquier matemático es cuestionarse por el origen de alguna idea: ¿A quién se le ocurrió primero? ¿Cuándo y dónde apareció? Si uno ve más allá de la simple cronología, entonces se analizan los problemas, herra-mientas y soluciones con las que contaban los antepasados. Desgracia-damente, estos estudios retrospectivos no necesariamente simplifican la comprensión de las matemáticas. En primer lugar, no siempre es posi-ble tener acceso a las fuentes originales. Algunos de los tratados origi-nales, en el peor de los casos, se hayan irremediablemente perdidos; y, en la mejor de las situaciones, de otros sobreviven únicamente unas cuantas copias y éstas se guardan bajo fuertes medidas de cuidado y seguridad. Aún en el caso de que algunas de estas fuentes fueran acce-sibles al académico común, en la gran mayoría de los casos son extre-madamente difíciles de leer, y, más aún, de comprender. ¿Cuántos están capacitados para leer griego, latín, sanscrito, alemán y/o francés, entre otros? Pero, más importante aún, en la vasta mayoría de los casos resul-ta más complicado tratar de entender las matemáticas del pasado. Si este no fuera el caso, entonces ya no existirían, entre los académicos, diferencias para interpretar y comprender las ideas de Euclides, Galileo, Newton, y Gauss, entre muchos otros. Además, no existiría justifica-ción alguna para componer libros de texto y podríamos estudiar direc-tamente en las obras originales. Pero, además, y más importante aún, en segundo lugar, se tiene consciencia de la poca aplicabilidad que tienen, en la enseñanza de las matemáticas elementales, la gran mayoría de los ensayos y discusiones que se vierten en las páginas de las revistas espe-cializadas en historia, filosofía y pedagogía de las matemáticas. En la mayoría de las ocasiones, el colega no especializado difícilmente puede ‘aplicar’ lo aprendido en su práctica cotidiana. Éstas, entre muchas otras, son algunas de las variadas y complejas dificultades que presenta este patrón. Independientemente del modelo elegido, los académicos tienen claro que las dificultades son de tal envergadura que ningún enfoque podrá resolver todas; y, los resultados obtenidos, al día de hoy, son muy


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poco alentadores. Más grave aún es el factor que la mayoría de los educadores interesados en esta problemática fueron parte de aquellos afortunados que no tuvieron dificultades para entenderlas cuando eran menores, aunque lógicamente deben existir excepciones que confirmen la regla. Un gran número de estos individuos no sintieron en carne propia la frustración y desesperación de no entender de qué hablaba el maestro; y, por lo mismo, son insensibles a los sentimientos de otros menos afortunados. De hecho, es curioso hacer notar que algunos de los libros de divulgación de las matemáticas más exitosos, que se han pu-blicado recientemente, fueron escritos por no matemáticos (e.g., Hans M. Enzensberger. El diablo de los números. Madrid: Siruela.1997; y, Simon Singh. El enigma de Fermat. México: Planeta. 2004; entre otros). Pero, de nuevo, independientemente de cuál haya sido el enfo-que elegido, normalmente el estudiante es enfrentado, directamente, con conocimiento técnico que está obligado a comprender y asimilar. Si existe algún tipo de prejuicio por parte del iniciado, sin importar sus razones y orígenes, difícilmente podrá seguir adelante. Tradicionalmen-te, las matemáticas se han mostrado desde un punto de vista técnico, donde el alumno infiere que únicamente sirven para contar, medir y calcular. En la mayoría de los casos, parecería que se inculcara un nue-vo lenguaje extraño, abstracto, carente de sentido. Sólo los ‘mataditos’ y segregados del salón encuentran algún placer o se refugian en ella. De manera ya ancestral, la enseñanza de las matemáticas ha sido deshuma-nizada, a tal grado, que los estudiantes no conocen o asocian nombre de persona alguna al material que han asimilado a través de los años, ex-ceptuando, tal vez, el apelativo de Pitágoras. Un gran número de académicos universitarios, de muy variadas dependencias, han producido, a lo largo de muchos años, una gran cantidad de materiales educativos, desde un punto de vista tradicional, que han generado excelentes resultados. Sin embargo, la gran mayoría de estos esfuerzos han sido realizados de manera individual o por pe-queños grupos de académicos. Ahora, independientemente de las acti-vidades docentes, de investigación y divulgación relacionadas con las matemáticas a todo lo largo y ancho del ámbito universitario, la UNAM, como institución de vanguardia, debería estar particularmente interesa-da por la formación matemática de todo el sector educativo, y cubrir las diferentes etapas, ya que esta misma casa de estudios se nutre de todos estos estudiantes y el nivel y profesionalismo de los diversos programas académicos se ven afectados y alterados por las deficiencias de cono-cimiento con los que estos individuos acceden a ella. Entre mejores


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alumnos preuniversitarios se tengan, mejores estudiantes universitarios se tendrán. Además, si tomamos en cuenta que la UNAM es la institu-ción de educación superior por excelencia del país, entonces a ella corresponde, en su conjunto, atacar y solucionar los problemas educati-vos fundamentales de esta nación. El día de hoy, la UNAM cuenta, al menos, con tres dependen-cias ―Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias, Instituto de Matemáticas e Instituto de Investigaciones en Matemá-ticas Aplicadas y Sistemas— que congregan a excelentes especialis-tas, la mayoría de ellos formados en algunos de los centros extranje-ros de mayor prestigio, dedicados, esencialmente, al fortalecimiento y crecimiento de las diversas ramas de las matemáticas y de sus relaciones con algunas otras ciencias asociadas estrechamente con ellas (e.g., física, astronomía, biología, y química, entre otras). Des-graciadamente, dentro de este conglomerado de excelentes académi-cos, son muy pocos los que han sido profesionalmente entrenados específicamente para enfrentar esta problemática de la enseñanza de las matemáticas. Es necesario enfatizar que ésta no es su tarea. Por otro lado, aquellos que lo han realizado de una manera exitosa, son reducidos en número y laboran en proyectos particulares. Además, parece ser que, después de aproximadamente cincuenta años de labor profesional y especializada, los resultados e influencia de la propia matemática educativa, como ha sido concebida por matemá-ticos profesionales, son muy poco alentadores. Desde otra perspectiva, aunado a esto, desgraciadamente, aún hoy en día, el número de especialistas formados profesionalmente —dentro del contexto de las relaciones entre las matemáticas, las humani-dades, disciplinas sociales y humanas (incluyendo pedagogía) y artes— sigue siendo extremadamente limitado. Por lo mismo, la UNAM se debe preocupar por crear un espacio académico nuevo que reúna a aquellos que podrían aportar un punto de vista original, alternativo y comple-mentario a la problemática que se ha mencionado. Este nuevo espacio fomentará la creación de proyectos que sean de carácter inter, multi y transdisciplinarios en torno a aspectos humanísticos, sociales y cultura-les de las matemáticas. La congregación de académicos con muy diver-sas formaciones y actividades profesionales en torno a las matemáticas enriquecerá la creación de estrategias nuevas y alternativas en torno a la superación y elevación del nivel educativo del país en general. Estos espacios ya han sido creados en algunos de los países académicamente desarrollados. Por lo mismo, no se trata de implementar un proyecto que carezca de fundamentación académica, sino de sentar las bases de


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una alternativa que se ha demostrado impostergable. Tampoco se trata de darle la espalda a aquello que tradicionalmente ha mostrado ser exitoso. Se propone, por un lado, apoyar aquellos resultados clásicos que han probado su aplicabilidad, aunque sea en pequeños sectores de la población que no han tenido problemas con los procesos enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. También se propone enriquecer los modelos clásicos con enfoques radicalmente diferentes que presenten una verdadera alternativa a la didáctica de la matemática. Además, también es necesario considerar que, existe un mo-vimiento internacional que pretende estrechar los lazos y nexos entre las humanidades, las matemáticas, las ciencias y la tecnología. Recientemente, se han creado diversos grupos de trabajo interdisci-plinarios cuya finalidad, entre muchas otras, es conjurar el divorcio existente entre las ciencias exactas y las naturales con las ciencias sociales, y de las primeras con las humanidades.1 Actualmente, tam-bién existe motivación por entender y difundir el desarrollo teoréti-co y experimental de las ciencias exactas, las naturales y la tecnolo-gía; así como explicar cuáles han sido los marcos sociales y cultura-les bajo los que se han desarrollado. Además, otros intelectuales han estudiado el pasado, presente y posible futuro de las innovaciones tecnológicas, recientemente desarrolladas, para intentar entender, entre otras, las secuelas potenciales de orden sociológico, político y ético. Este movimiento comprende, como eje central, el análisis filosó-fico, histórico y sociológico de la evolución de las ideas, y, en particu-lar, el de las ciencias y las matemáticas. Como consecuencia de este movimiento se ha gestado la profesionalización de diversas disciplinas —historia, filosofía, en-señanza y sociología, entre otras—, que proporcionan un marco multi, inter y transdisciplinario a las matemáticas. A partir de 1970, aproximadamente, surgieron diversas revistas de investiga-ción especializadas,2 congresos y reuniones internacionales,3 so-

1. Un ejemplo concreto es el ‘Department of Science and Technology Studies’ de Cornell

University (USA). De hecho, la Universidad Nacional Autónoma de México fue una de las precursoras de este movimiento, a nivel internacional, con el liderazgo de la obra y actividades, entre otros, del Dr. Eli de Gortari (1918-1991).

2. Historia Mathematica, Philosophia Mathematica y Studies in Mathematical Education, entre muchas otras.

3. Sesiones especiales de ‘Historia de las Matemáticas’ en las reuniones conjuntas de la American Mathematical Society y de la Mathematical Association of America. Al día de hoy, ya se han organizado, a nivel mundial, diez congresos internacionales de ma-temática educativa, que se realizan periódicamente cada cuatro años. El próximo de ellos tendrá lugar en la ciudad de Monterrey (Nuevo León, México) en 2008.


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ciedades o asociaciones,1 y centros de entrenamiento.2 México, como ya se ha mencionado, no fue ajeno a este movimiento internacional. Además de las actividades realizadas —seminarios, edición de textos, traducciones, entre otras— por el ya mencionado Dr. de Gortari, a partir de 1970, aproximadamente, se empezaron a ofrecer, en la Facultad de Ciencias, cursos interdisciplinarios que conjuntaban a los estudiantes de las entonces cuatro licenciaturas existentes (i.e., actuaría, biología, física y matemáticas). Algunos de estos estudiantes prosiguieron con sus estudios en centros especializados en el extranjero. A su regreso, fueron ellos quienes se hicieron cargo de esos cursos; organizaron las primeras reuniones internacionales en dichos temas; y, fundaron, entre otras, una revista periódica llamada Mathesis, que inmediatamente adqui-rió un alto prestigio dentro de la comunidad internacional. A la fecha, algu-nos de esos académicos lograron su asentamiento profesional y ellos han formado a otros jóvenes investigadores que, en la mayoría de los casos, se encuentran disgregados en variados centros de educación superior del país. Desgraciadamente, esta dispersión ha contribuido a que los muy diversos proyectos educativos de estos individuos se hayan desarrollado, en general, de manera aislada, poco funcional e ineficiente. Por otro lado, ante los resultados de los exámenes elaborados por la OECD, el actual gobierno federal respondió con la creación de una nueva dependencia burocrática (Instituto Nacional de Evaluación a la Educación, INEE), que podrá mejorar y profesionalizar los procesos evaluativos, pero que no incidirá en el mejoramiento del proceso de enseñanza, per se. La Universidad Nacional Autónoma de México, indiscutible máxima casa de estudios de este país, debe corresponder con la creación de un programa académico profesional, comprometido con la solución de dicha problemática.

§2. Objetivo El presente documento tiene como finalidad proponer, dentro de la estructura académica y administrativa de la Universidad Nacional Au-tónoma de México, la creación de una nueva dependencia académica llamada: ‘Centro de Investigaciones Multidisciplinarias y de Innova-ción Docente en Matemáticas’. Este centro congregará a aquellos indi- 1. Ejemplos concretos son, entre muchos otros: British Society for the History of Mathe-

matics, Canadian Society for the History and Philosophy of Mathematics, Sociedad Española de Historia de las Ciencias y Técnicas y el International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics.

2. Uno de los más connotados es el Institute for the History and Philosophy of Science and Technology (University of Toronto, Canadá); y uno de los más recientes es el Centre for the Popularization of Mathematics (Bang, Reino Unido).


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viduos que realizan labores académicas de investigación, docencia y divulgación concernientes a las interacciones, de cualquier naturaleza, entre las matemáticas con: Las ciencias —incluyendo las exactas, natu-rales, sociales y humanas—; las humanidades —especialmente la filo-sofía e historia—; las artes y la tecnología y que estén sumamente com-prometidos con el mejoramiento de los procesos de enseñanza, aprendi-zaje y comunicación de las matemáticas. Así, el centro estará confor-mado por un conglomerado de profesionales con variadas formaciones, enfoques y actividades académicas en torno a las matemáticas. Además, el centro deberá constituirse en un puente de unión y vinculación entre las diversas escuelas, facultades, centros e institutos donde se llevan a cabo cualquier tipo de investigación, docencia y divulgación en torno a las matemáticas a su enseñanza y divulgación. En este centro se promo-cionarán y realizarán diversos tipos de proyectos que deberán incidir en la aportación e innovación de estrategias que conllevan a la solución de uno de los problemas generales más apremiantes de la población mexi-cana: La comprensión, difusión y divulgación de las matemáticas. El centro tendrá como finalidades, entre otras: 1) el desarrollo de nuevo conocimiento —que sea original, profundo, significativo y trascendente— concerniente a la comprensión de la evolución, carácter, significado, comunicación, transmisión, influencia y enseñanza de las matemáticas, como parte de un entorno social a través de sus componentes filosóficas, históricas, sociales, económicas y culturales, entre otras. Estos estudios no únicamente se realizarán de manera individual y autónoma (ya sea en enseñanza, historia, o filosofía o sociología), sino que se promoverán, con especial atención, aquellos proyectos que enfaticen el estudio de las matemáticas desde un punto de vista multi, inter y transdisciplinario. Se les dará un mayor énfasis y apoyo a aquellos proyectos que se propongan como primera prioridad, incidir en la comprensión y entretenimiento de las matemáticas básicas por el público general.1 El centro deberá convertirse en el sitio de in-flexión y de reflexión donde emanen los nuevos resultados de investi-gación que dan respuesta a la problemática del mejoramiento de los procesos enseñanza, aprendizaje y comunicación de las matemáticas. El centro deberá convertirse en un foco conciliador de intereses de un sinnúmero de dependencias académicas dedicadas a la enseñanza de las matemáticas y ser una dínamo generadora de ideas, métodos, procesos, productos y oportunidades. Idealmente, cada entidad federativa de la 1. De nuevo, la UNAM se adelantó al resto de las instituciones educativas con la creación

del Museo Universum, que reune a un grupo de académicos con amplias y diversas for-maciones.


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República Mexicana deberá tener un centro semejante de donde se implementen localmente las nuevas reformas y productos.

La mayoría de los problemas sociales que enfrenta la humanidad están relacionados con diversas facetas de las matemáticas, ciencias y tecnología. En ocasiones son éstas quienes los crean, y, en otras, son quienes los resuelven. Tales dificultades obligan a pretender entender cómo es que las matemáticas se relacionan con las cuestiones sociales; y, cómo es que, simultáneamente, las matemáticas, o los usos de ésta, son influenciadas por la filosofía, historia, política y cultura. Este centro deberá ser el lugar ideal para congregar a aquellos individuos interesa-dos en estudiar y comprender el entretejimiento entre las matemáticas y la sociedad; 2) la formación de nuevo personal académico de calidad capaz de des-arrollar investigación original, docencia y difusión, dentro de estas vertientes, de manera individual y colectiva. El programa de formación pretende enriquecer la comprensión de los estudiantes del significado social y cultural de las matemáticas. Es necesario subrayar que en esta línea de formación no será necesario impulsar el diseño y creación de nuevos programas de posgrado ya que en este rubro la propia UNAM cuenta con diversos planes de estudio —incluyendo los de ‘Filosofía de la Ciencia’ (con sus nuevas ramas terminales en ‘Comunicación de la Ciencia’ e ‘Historia de la Ciencia’) y ‘Enseñanza de las Ciencias’— de donde podría obtenerse parte del material humano que podría incor-porarse al Centro más adelante. Obviamente, también se tiene contem-plado la reincorporación de jóvenes investigadores que hayan sido entrenados profesionalmente en diversos centros extranjeros para for-mar un medio ambiente más universal y, por ende, más rico. La materia prima humana debe comprender aquellos estudiantes (de preferencia matemáticos, físicos, ingenieros, filósofos, historiadores, periodistas y pedagogos, entre otros) que deseen proseguir labores profesionales relacionadas con la investigación, enseñanza y divulgación de las ma-temáticas en relación o asociación con cualquier otra disciplina o cien-cia. Pero, más importante aún, esta nueva dependencia deberá propo-nerse la formación —a través de un programa de diplomado, congresos, y otro tipo de eventos— de otros académicos, ya incorporados a otras escuelas (bachilleratos, preparatorias, tecnológicos, y universidades, entre otros), que funjan el papel de promotores locales y sean capaces de incorporar en sus entidades los nuevos modelos y productos desarro-llados en el centro. Únicamente de esta manera será posible transmitir, divulgar y distribuir este nuevo conocimiento entre el resto de la pobla-ción a nivel nacional;


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3) la divulgación, al público en general, y difusión, a la comunidad matemática concebida en su composición más incluyente, de este nuevo conocimiento, nuevas metodologías y nuevos productos. Se debe de tomar en cuenta que este último rubro debe comprender la razón de existir de esta institución. La UNAM se debe proponer la incidencia básica, aplicada y directa del conocimiento matemático en todos los sectores de la población. La razón de ser de este nuevo centro debe ser transmitir y proyectar, de una manera completamente original, el cono-cimiento matemático a todos los diversos niveles que comprende la comunidad escolar. La diversidad de estos productos incluye la produc-ción de: Libros (texto, divulgación e investigación); revistas (investiga-ción, divulgación y difusión); panfletos; carteles, congresos; mesas redondas; conferencias; material audiovisual; material multimedia; y, de ser posible, programas de radio y televisión.

§3. Estructura y áreas de investigación

El centro estará dividido, en un principio, en siete áreas de trabajo —departamentos—, íntimamente relacionados entre ellas y a las cuales concebimos en sus concepciones más amplias posibles. 3.1 Educación Matemática. Esta área de fundamental importancia no ha recibido la debida atención por la comunidad universitaria, a pesar de que aquí se encuentra el material humano y técnico para desarrollarla a niveles de excelencia. Concebimos esta disciplina en su acepción más general posible, involucrando a todos los niveles de la educación, en todas las diversas materias y considerando todos los enfoques, teorías y metodologías conocidas. En particular, el Centro dará cabida a todos aquellos con amplia experiencia editorial en la edición de textos de matemáticas escolares. El Centro no fija límites ni enfoques, sino que pretende albergar a todos aquellos interesados en la problemática de la educación matemática. 3.2 Historia de las Matemáticas. Esta área congregará a aquellos indi-viduos interesados en la reconstrucción del pasado de las matemáticas. Algunos académicos están interesados en la evolución y metamorfosis de los conceptos e ideas. Estos investigadores se preocupan por conocer y entender los problemas que enfrentó el hombre, las herramientas con las que contaba para resolverlos y las soluciones que ellos consideraban adecuadas para dichos problemas, independientemente de las conse-cuencias e implicaciones para el conocimiento actual. 3.3 Filosofía de las Matemáticas. Al igual que cualquier otra disciplina intelectual desarrollada por el hombre, los problemas, métodos y finali-dades de ésta han variado a través de los tiempos. Así, desde la conno-


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tación del término filosofía comprendido por los pitagóricos, pasando por el de Aristóteles, Descartes, Kant, hasta los académicos actuales, el hombre siempre se ha interesado por conocer las causas, principios e influencias de las cosas, en particular, por el de los entes, ideas, con-ceptos y métodos matemáticos. 3.4 Sociología de las Matemáticas. En una de sus connotaciones más amplias y arcaicas, mas no necesariamente exhaustiva y/u obsoleta, la sociología se refiere al estudio de las formas, instituciones, funciones e interrelaciones de cualquier grupo humano. En particular, este centro estará particularmente interesado por los estudios concernientes sobre grupos de matemáticos y/o intelectuales estrechamente relacionados con ellos. 3.5 Divulgación de las Matemáticas. La etimología del vocablo ‘divul-gación’ sugiere la acción de hacer accesible conocimiento al público en general. En este caso, en el afán por popularizar el conocimiento mate-mático — y como consecuencia directa, mejorar los procesos enseñanza y aprendizaje—, el centro está particularmente interesado en analizar y conocer los elementos que conforman una adecuada divulgación del conocimiento matemático. 3.6 Difusión de las Matemáticas. A diferencia de la divulgación, que conlleva la connotación de ‘vulgo’, la difusión del conocimiento se sobrentiende en la popularización de ideas especializadas dentro de una comunidad de pares. Esta nueva forma de exposición está dirigida a individuos que comparten un lenguaje común, en este caso matemático y un conocimiento técnico básico general. 3.7 Etnomatemáticas. Una de las ramas de las matemáticas de más reciente creación se ha especializado en el estudio y análisis de las ideas matemáticas desarrolladas por ciertas etnias locales. En el caso de México, por un lado, esta es una rama de inmensa riqueza y potencial debido a la gran diversidad de etnias contenidas en el territorio y, por otro lado, la gran riqueza se extrapola por el gran alcance científico que alcanzaron algunas de éstas. 3.8 Arqueomatemática. Finalmente, esta nueva rama de las matemáti-cas, estrechamente relacionada con la anterior, tiene como foco de estudio el análisis de los conceptos e ideas matemáticas desarrolladas por las comunidades indígenas de esta región y que se encuentran refle-jadas en la construcción de sus templos y edificios.


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§4. Antecedentes inmediatos Como se mencionó en líneas anteriores, algunos miembros de la comu-nidad local se han interesado por encontrar respuestas parciales a tan compleja situación. En particular, los líderes de este proyecto han com-partido esta preocupación por muchos años y han desarrollado diversas actividades académicas directamente relacionadas con esta cuestión. Mencionemos, a grandes rasgos, algunas de las labores realizadas por dos de ellos. El Dr. Alejandro R. Garciadiego fundó, junto con un grupo de académicos, a finales de 1984, una revista de investigación original en filosofía e historia de las matemáticas llamada Mathesis. Esta revista está dirigida a un público profesional y especializado y ha llenado un nicho enorme dentro de la comunidad intelectual nacional e internacio-nal. Mathesis se publicó de manera puntual y continua de febrero de 1985 a noviembre de 1997; cuando problemas administrativos, ajenos a la voluntad de los editores, obligaron a suspender temporalmente la edición.1 En el periodo antes mencionado se editaron cincuenta y dos fascículos de ciento veinticinco páginas, en promedio, cada uno de ellos. En su momento, Mathesis fue reconocida como una publicación periódica de excelencia académica, tanto a nivel nacional (Conacyt), como a nivel internacional (Comisión Internacional de Historiadores de las Matemáticas). Es claro que esta actividad le ha proporcionado al encargado del proyecto una amplia experiencia editorial. Mathesis contiene diversos ensayos donde se discute la problemática sobre la educación matemática. Sin embargo, esta revista no fue diseñada exprofeso para enfrentar la situación que preocupa el día de hoy.

Aproximadamente en 1983, Garciadiego se incorporó al Interna-tional Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics con el que ha colaborado en muy diversos proyectos, incluyendo conferencias en congresos internacionales de educación matemática. También ha realizado, al menos, tres estancias de investi-gación en el Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav donde ha colaborado en diversos proyectos de investigación y forma-ción de personal académico. Junto con personal de la Escuela Normal Superior ha organizado tres jornadas sobre enseñanza de las matemáti-cas y ha ofrecido cursos de regularización a los maestros del nivel ba-chillerato. Más significativo aun, algunas de sus más recientes publica-

1. La nueva administración de la Facultad de Ciencias, con el apoyo de la Coordinación

de Humanidades y la Coordinación de la Investigación Científica, conscientes de la importancia de dicha publicación, han establecido un convenio para garantizar la pu-blicación de Mathesis, a partir de 2006.


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ciones de investigación giran en torno a la relación entre la historia y la pedagogía de las matemáticas (Relime y Acta Universitaria, entre otras). El Dr. Rodrigo Cambray, quien también colaboró con la edición de Mathesis por varios años, es quizás uno de los muy escasos acadé-micos mexicanos especializados en matemática educativa que han ad-quirido su formación en instituciones extranjeras y candidato ideal para coordinar la edición de los libros de texto a nivel primaria. Cambray también ha participado activamente en diligencias relacionadas con la matemática educativa. Además de poseer una formación matemática y educativa de excelencia, Cambray ha desarrollado una amplísima acti-vidad en el sector editorial en donde ha sido autor, coautor, revisor, corrector y árbitro de un gran número de diversos tipos de publicacio-nes en el sector educativo. Garciadiego y Cambray han realizado labores conjuntas de in-vestigación en historia y enseñanza de las matemáticas y, en particular, han ofrecido cursos especializados en estas disciplinas en diversas insti-tuciones de educación superior. Los dos han ofrecido cursos y talleres sobre edición de textos académicos. Ambos han trabajado, de manera individual y conjunta, especialmente en el área de matemática educati-va, con un gran número de estudiantes de licenciatura y posgrado con quienes se han discutido, analizado y comentado los trabajos de inves-tigación, formación y divulgación que se han publicando en estos últi-mos años. Tal vez una de las principales razones de los fracasos conti-nuos sea que la mayoría de los académicos han insistido en ‘enseñar’ matemáticas a un público que ya se encuentra predispuesto en contra de ellas. Sin embargo, estos dos investigadores han unido esfuerzos, du-rante los últimos quince años, aproximadamente, para planear y diseñar este proyecto. Los dos han aprovechado sus actividades de investiga-ción, docencia y divulgación para, a través de los cursos titulados ‘Se-minarios sobre Enseñanza de las Matemáticas’ y dirigidos a estudiantes de licenciatura de los dos últimos semestres, discutir la posibilidad de presentar modelos disyuntivos de conceptualizar las matemáticas, y buscar también maneras alternativas y diferentes de transmitirlas al público en general. Este es un nicho enorme que, hasta la fecha, muy pocos han intentado cubrir. Otros de los académicos que se tiene pensado incorporar a este centro ya han diseñado y creado nuevos y exitosos libros de texto para los seis años de la educación primaria. Otro de los posibles participan-tes ha trabajado en planes innovadores para enseñar la lógica matemáti-ca en el nivel bachillerato. Con la experiencia adquirida, y con un equi-


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po de trabajo mucho más rico y profesional es lógico suponer que los resultados anteriores podrán ser ampliamente superados.

§5. Productos concretos del proyecto Independientemente del trabajo de investigación individual en las siete áreas de trabajo ya señaladas, donde se busca generar conocimiento que sea original, relevante y profundo, este proyecto se propone contribuir de una manera significativa y altamente novedosa en los procesos ense-ñanza, aprendizaje y popularización de las matemáticas. Por las propias características del plan a seguir, esta aportación debe ser tangible de manera masiva, e incluir todos los diversos niveles del sector educativo. La creación de este nuevo Centro, y de sus actividades académicas asociadas a éste, es un proyecto tan ambicioso, global y complejo que sus objetivos no pueden ser alcanzados con la planeación y realización de una única actividad académica. Por lo mismo, a través de los años, algunos de los académicos asociados con esta problemática han diseña-do diversos proyectos que contemplan metas y públicos complementa-rios. Algunos de los proyectos que se pueden implementar de manera inmediata incluyen, entre otros: §5.1 Libros de texto La filosofía implícita y subliminal del proyecto es presentar una alterna-tiva real y completamente innovadora para todos aquellos individuos que, por diferentes motivos, han experimentado dificultades en la com-prensión y asimilación de los diversos conceptos matemáticos. Por tratarse de un proceso de enseñanza lineal y acumulativo, las conse-cuencias negativas de esta falta de comprensión se retroalimentan de manera, aparentemente, irremediable y continua. Los propios matemá-ticos reconocen el fracaso, casi absoluto, del proceso de enseñanza y transmisión de su disciplina. Sin embargo, la propia historia de las matemáticas muestra que, las diferentes aportaciones que se han reali-zado en los fallidos intentos por mejorar y simplificar la enseñanza de las matemáticas, se limitan a cambios de énfasis y presentación. Por ejemplo, existen casas editoriales que han concebido la introducción de diversos colores de tintas, en la impresión del material didáctico, como una verdadera aportación a la disciplina. La gran mayoría de los edito-res de libros de texto ni siquiera han intentado un estudio serio para tratar de identificar cuáles son algunas de las causas de las dificultades. Incluso cuando se han propuesto aparentes ‘revoluciones’, como cuan-do se introdujo la teoría de conjuntos en los niveles elementales, éstas también fracasaron. Todas estas innovaciones no han dejado de preten-


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der ‘enseñar matemáticas técnicas’ per se; sin percatarse que la mayoría de los estudiantes tendrían otra actitud y disposición, si primero se discutiera hacia dónde van y por qué van en esa dirección. Así como el día de hoy, algunos académicos insisten que, como los más jóvenes alumnos tienen más desarrollado su sentido espacial, entonces a éstos se les debería enseñar primero geometría que aritmética; de manera análoga, se insiste que estos mismos estudiantes deben estar sensibili-zados a comprender las matemáticas desde otro punto de vista. Si dos mil quinientos años de historia han mostrado que se ha fracasado en algo, entonces es tiempo de intentar algo radicalmente diferente. Además, y este punto es de fundamental importancia, los libros de texto insisten en tratar la inteligencia humana como si fuera única y genéticamente determinada. De tal forma que todos aquellos que com-prenden las matemáticas lo hacen de igual manera y todos aquellos que presentan dificultades para entenderlas también exhiben las mismas dificultades y únicamente requieren de más tiempo y paciencia por parte del profesor. Implícitamente, el sector educativo ha medido la inteligencia de un individuo de acuerdo a su habilidad para comprender las matemáticas. También, tácitamente, la misma esfera docente ha calificado esta capacidad como si estuviera predeterminada, de tal ma-nera que ningún individuo tendría el talento de cambiar la cantidad de inteligencia con la que nació. Sin embargo, hoy en día, especialistas discuten que la inteligencia es una habilidad, que no se encuentra deli-mitada de nacimiento, y que ésta se puede motivar, desarrollar y per-feccionar.1 Pero, aun más importante, estos mismos especialistas subdi-viden la inteligencia en diversos tipos de capacidades. Se reconoce que existen individuos con mayores habilidades para las matemáticas y la lógica, otros para la música y otras artes; otros para la conceptualiza-ción del espacio; y, así en adelante. En principio se reconocen, al me-nos, ocho distintos tipos de habilidades, cuyos índices de desarrollo varían de individuo a individuo. Todos poseen los distintos ocho tipos de habilidades, en mayor o menor grado. Es claro, que las distintas posibles combinaciones de habilidad y de grado son indescriptibles e innumerables. Uno podría poseer una de estas habilidades en grado superlativo, y otras en grado ínfimo. También es muy discutible y dela-table aseverar cuál de estas habilidades es la más importante o superior. Algunos autores de libros de texto aún no se han percatado que sólo una minoría de la población presenta habilidad para comprender 1. Véase, entre otros: Howard Gardner. Estructura de la mente. La teoría de las inteli-

gencias múltiples. México: FCE. 1987. Traducción de Sergio Fernández Éverest. (Col. Biblioteca de Psicología, Psiquiatría y Psicoanálisis).


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las matemáticas y lógica. Esto sugiere de manera inmediata dos nuevas opciones: 1) que los libros de texto deberán incorporar la hipótesis que la inteligencia matemática y lógica puede desarrollarse e incrementarse en un individuo que, aparentemente, en un principio, no la poseía; y 2) que si la mayoría de los alumnos poseen otros tipos de habilidades entonces, para fortalecer su confianza, seguridad y auto-estima, las matemáticas les deben ser presentadas, de manera indirecta y sublimi-nal, a través de las habilidades que ellos poseen. Otros aspectos que no han sido considerados en la edición de libros de texto de matemáticas, especialmente en los diferentes niveles en que está subdividida la educación escolar (i.e., elemental (primaria), media (bachillerato) y superior (universitaria y tecnológica)) es que estos libros deberán estar elaborados por grupos de trabajo, y no por individuos, conformados por especialistas en, al menos, educación, matemática educativa, historia y filosofía de las matemáticas, matemá-ticas y en la edición de material impreso. Estos mismos grupos de trabajo deberían planear la edición de los textos de acuerdo al objetivo general básico que se busca al finalizar cada ciclo escolar y, entonces, y sólo entonces, planear y realizar los textos de los cursos intermedios en función del objetivo final. De tal manera que, en un ciclo escolar, los objetivos parciales de los libros intermedios deberán estar en función de la meta final y, por lo mismo, estos libros deberán presentar continui-dad de contenido y de complejidad y no deberán existir la repetición ni el vacío de temas. Más importante aún, estos objetivos deben contem-plar que la formación del individuo siempre debe estar por encima de la información que se le proporciona. El sistema educativo debe preocu-parse por moldear un individuo que sea capaz de resolver los problemas que se le presentan, y no alguien que sea capaz de enumerar una gran cantidad de datos desprovistos de contenido e interés. Otro punto de partida que no ha sido considerado, en general, en la elaboración de los libros de textos, es la investigación previa que se tiene que realizar en torno a las dificultades inherentes que presenta la disciplina en su transmisión. ¿Cómo preparar un libro de texto si se ignoran cuáles son los conceptos y métodos que son difíciles de com-prender? ¿Por qué son difíciles de asimilar estos conceptos? ¿De qué otra manera pueden ser presentados y discutidos? Este grupo de trabajo sí se propone complementar los trabajos ya clásicos y probados e introducir enfoques y metodologías radical-mente divergentes. Por ejemplo, si el estudiante de matemáticas ha sido incapaz de entender técnicamente las funciones trigonométricas, enton-ces podría ser una aportación verdaderamente novedosa si primero se le


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explicara cuáles eran algunos de los problemas, obviamente relaciona-dos con estas nociones, a los que se enfrentaba el hombre con anterio-ridad y cómo los resolvió. Es posible que el estudiante obtenga un ma-yor provecho después de conocer el origen y significado de algunos de estos vocablos (e.g., tangente, hipérbola y fracción, entre muchos otros) y de los propios hombres que contribuyeron a su creación. Parte medu-lar de esta alternativa consiste en ofrecer al interesado la oportunidad de asomarse a las matemáticas a través de su lado humanístico y no técni-co. De esta manera, se ofrecerá la opción de conocer un mundo desco-nocido de la matemática —su historia, filosofía, implicaciones en el mundo de las artes y de las ciencias sociales, entre otras— que, a largo plazo y de manera subliminal, deberá erradicar sus miedos y descon-fianza. Y, aún, en el peor de los casos, si esta última meta no se logrará, el lector, de cualquier manera, habrá adquirido un conocimiento que le permitirá juzgar las matemáticas desde otro punto de vista y superar ciertos obstáculos epistemológicos. También será de fundamental importancia incorporar diversos programas filosóficos y pedagógicos que discutan la manera óptima de acceder al conocimiento, así como de nuevas innovaciones metodológi-cas dentro de los procesos clásicos de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Los nuevos libros de texto —a todos los niveles y con diferentes enfoques— deberán también incorporar los beneficios que han traído consigo el desarrollo y evolución de nuevas tecnologías, especialmente a través del uso de calculadoras y computadoras persona-les. Ahora no es el lugar ni el momento de discutir, o siquiera suge-rir, el posible contenido y enfoque de estos textos, especialmente los de nivel primaria. Estos deben ser producto de amplias discusiones entre un grupo inter, multi y transdisciplinario de individuos que compartan su inquietud por trascender en esta misión. §5.2 Matemorfosis 5.2.1 Objetivo La finalidad de esta nueva publicación periódica, que se propone im-plementar al finalizar el primer año del establecimiento del Centro, es exponer un nuevo enfoque y acercamiento al conocimiento y divulga-ción —no meramente a su enseñanza y aprendizaje— matemático [véa-se: §9. Apéndice 1]. Se sugiere que, independientemente, de presentar el lado duro, técnico y ríspido de las matemáticas, es necesario exhumar el lado humano —junto con todas sus connotaciones— que las circun-dan. Este proyecto postula una forma completamente nueva de acercar-


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se a las matemáticas. Independientemente del conocimiento técnico por adquirir, es necesario que el lector comprenda que las matemáticas son parte de la historia cultural y que han sido seres humanos quienes han desarrollo esta disciplina, incluyendo sus operaciones, definiciones y conceptos. Este desarrollo tiene una explicación y justificación que ayudará a asimilar los aspectos técnicos de la disciplina. Como parte de este nuevo enfoque, los involucrados en este proyecto han visualizado la edición de una nueva publicación periódica llamada Matemorfosis —título aún tentativo—. No se sugiere la pro-ducción de una publicación más que, por sí misma, pretenda subsanar las enormes deficiencias del sistema educativo actual. No se trata de otra revista más de educación. Esta revista no pretende enseñar mate-máticas. Incluso, ni siquiera se trata de una revista que pretenda difun-dir o divulgar esta disciplina. Este enfoque sugeriría, de manera incluso explícita, que se está abocado a la enseñanza de las matemáticas; y este, no es el caso. Matemorfosis pretende crear y fomentar una cultura en torno y sobre las matemáticas; una cultura complementaria que, por lo general, es ignorada por los propios matemáticos. Esta revista pretende presentar una forma alternativa y complementaria de acercarse a las matemáticas, de ahí su nombre tentativo. Se le dará énfasis a los elementos culturales que han circundado el desarrollo de las matemáticas, y no a las matemáticas mismas. Subrayando una vez más, el objetivo es hacer del conocimiento común los elementos culturales (e.g., históricos, filosófi-cos, pedagógicos, sociales, económicos y artísticos, entre muchos otros) que las rodean. No se tratará de explicar la teoría de conjuntos per se, sino que se intentará entender por qué, dónde, cuándo y cómo surgió; y de la importancia de ésta en el sistema educativo actual. Se tratará de entender a los individuos que contribuyeron a ella, y no los resultados particulares que lograron. Se tratarán de entender las condiciones aca-démicas, políticas, sociales, y económicas que permitieron su desarro-llo, mas no su propia evolución. Se tratará de entender cómo es que la matemática ha influenciado el mundo natural, y no se refiere uno úni-camente el mundo científico o tecnológico, sino primordialmente al artístico, social y cultural. Esta nueva manera de acercarse a las matemáticas no deberá aterrar al lector; por el contrario, le mostrará muy diversos aspectos de las matemáticas que él estará en capacidad de entender y asimilar. De manera subliminal, casual y esporádica, el lector adquirirá una nueva manera de relacionarse con las matemáticas. Sin percatarse, el estudio-so conquistará una cultura en torno a las matemáticas ajena a miedos y


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frustraciones. Y, por el otro lado, el individuo asiduo y comprometido con las matemáticas también alcanzará una erudición que desconoce por completo. Matemorfosis pretende llevar esta nueva visión del mundo ma-temático a sus lectores a través de la lectura de contribuciones suma-mente informativas, formativas, breves y amenas (con cuadros com-plementarios e imágenes atractivas) que enriquezcan su comprensión técnica, histórico, filosófica y pedagógica. A corto, mediano y largo plazo, Matemorfosis deberá convertirse en una herramienta esencial y subliminal de trabajo de todo individuo interesado en la cultura. Estos lectores se conciben en el marco conceptual más amplio posible, inde-pendientemente de su edad, sexo y formación. La revista está dirigida al público general: Estudiantes y maestros —de cualquier nivel, inclu-yendo el primario—, profesionistas, amas de casa y padres de familia y todos aquellos que deseen enriquecer su nivel cultural universal. Sin embargo, por su presentación y contenido, los más beneficiados y privi-legiados serán los alumnos de bachillerato —secundarias y preparato-rias— y los estudiantes universitarios de ambos subsistemas, el huma-nístico y el científico. No se piensa única y exclusivamente en los maestros y alumnos especializados en matemáticas. En particular, no se busca educar a los educadores. No se pretende, desde el púlpito de la prepotente superio-ridad, mostrarles a los maestros lo inadecuado, inoperante y obsoleto de sus conocimientos matemáticos y métodos pedagógicos —aunque esta sea la triste realidad en la mayoría de los casos—. Lo que se busca es proporcionarles armas y herramientas para que los maestros, los padres de familia y estudiantes comprendan que las matemáticas han sido, son y serán mucho más que esas áridas relaciones abstractas que nunca parecen comprenderse. Las matemáticas deberán considerarse en su aceptación más universal posible. Parafraseando a los editores de Mathesis [Vol XII. No 1. Febrero 1996. tercera de forros], revista especializada en la histo-ria y filosofía de las matemáticas:

[Matemorfosis] busca difundir una nueva forma de acercarse y concebir las matemáticas. Este nuevo enfoque se transmitirá a través de conocer el entorno humanístico, social y cultural que circunda el conocimiento matemático. Así, sin tecnicismos y de manera subliminal, el lector ad-quirirá una nueva y alternativa cultura matemática que le permitirá, eventualmente, acercarse a la parte técnica. El enfoque multidisciplina-rio, internacional y multiétnico propone estrechar las relaciones [...] de un espectro muy amplio de colegas provenientes de una gran variedad de formaciones [académicas] y sociales. [Matemorfosis] no está com-


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prometida con escuela o método alguno. [...]. [Matemorfosis] está abier-ta a todos los puntos de vista, a todos los enfoques, a todos los métodos y a todos los aspectos [de la cultura matemática]. [Matemorfosis] sub-yace dentro de un marco conceptual lo más amplio posible que contem-pla el estudio de [toda idea relacionada con las matemáticas] en todos los países del mundo (tanto las [ideas] matemáticas occidentales tradi-cionales como las no tradicionales) y en todas las épocas (desde el ori-gen del hombre hasta nuestros días); incluyendo etnomatemáticas, ar-queoastronomía, matemáticas puras y aplicadas (y el desarrollo de los usos de ambas), escuelas de pensamiento, estilos matemáticos, estadís-tica, probabilidad, enseñanza, ciencias actuariales, investigación de ope-raciones, ciencias de la computación (incluyendo política administrati-va, ‘material físico’ —desde el ábaco hasta la computadora— y ‘ele-mentos de programación’ —e.g., algoritmos, lenguaje, notación y ta-blas—), cibernética, comunicación de las matemáticas (sistemas de in-formación y bibliografías, entre otras), biografías de matemáticos, his-toriadores[,] filósofos[, pedagogo y divulgadores], organizaciones e ins-tituciones, historiografía, [metodología] y cualquier aspecto que ilumine el desarrollo de las [ideas] matemáticas dentro de un contexto intelec-tual, cultural, político, económico y social. [...]. Por su carácter multi-disciplinario, [Matemorfosis] contempla [la inclusión y discusión de ideas] de otras disciplinas —e.g., ciencias del hombre (antropología, psicología, pedagogía, entre otras), ciencias exactas (física, astronomía, química, entre otras), ciencias naturales (biología, medicina, etc.), cien-cias sociales (sociología, teoría política, relaciones internacionales, en-tre otras), humanidades (filosofía, leyes, etc.) y artes (literatura, pintu-ra[, fotografía, cine] y escultura, entre otras)— cuando su análisis, [cualquiera que éste fuese], arroje nueva luz sobre el entendimiento de los conceptos que conforman el ámbito matemático. En breve, a través de ella se intenta estrechar más el apoyo mutuo entre los aspectos humanísticos de las [ideas] matemáticas y toda disciplina académica [y cultural] en la búsqueda común por una mejor comprensión del mundo que nos rodea.

Por un lado, uno deberá aproximarse a Matemorfosis como se leen las historietas populares, sin dificultad y sin ansiedad. Uno deberá acercar-se al contenido de la monografía de la misma manera como se realiza la lectura de esos ‘cuentos’ que encontramos cotidianamente en los pues-tos de periódicos: Con deseo, con curiosidad y con placer. Incluso co-mo si se buscara un escape —aunque fuera momentáneo— de la reali-dad. Matemorfosis busca promover y presentar un lado más amable, agradable y placentero de las matemáticas; que, a pesar de lo que piense el lector, si lo tiene. Se argumenta que las matemáticas han sido ense-ñadas (y machacadas) desprovistas de su contexto humano, ajenas a elementos más cándidos y subjetivos. Es necesario recalcar que las matemáticas, por ser resultado de actividad mental humana, comparten con los mismos humanos (ya sea en su creación, presentación o difu-sión) sus éxitos, fracasos, alegrías, tristezas, triunfos, frustraciones, mitos, leyendas, anécdotas y cuentos. Matemorfosis, en la búsqueda de


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su objetivo, publicará ensayos breves y de fácil lectura que presenten y discutan algunos de los factores humanos y subjetivos que también las conforman. Por otro lado, no se buscará presentar al lector una revista super-ficial y sin substancia. A pesar de que se pretende que Matemorfosis sea una revista de lectura sumamente liviana —en la que se cuidará con esmero la forma y la presentación—, que permita su inmediata aplica-bilidad y uso en el salón de clases, esta publicación periódica deberá cumplir con los exigentes criterios de rigor académico de publicaciones de docencia e investigación original. Es decir, todas y cada una de las contribuciones presentadas a través de la revista, por breves e informar-les que éstas sean, deberán haber pasado por un estricto control de cali-dad y selección. Los artículos (y recuadros) deberán ser revisados, comentados y juzgados por un selecto grupo de árbitros y editores. El contenido y presentación de la revista estará avalado por un grupo de profesionales en la materia —tanto a nivel nacional como interna-cional—. Se tratará de conformar un grupo de académicos que hayan compartido un interés común al haber decidido estudiar alguna de las ciencias exactas, especialmente matemáticas, a nivel licenciatura; pero, que, sin embargo, ya sea que sus intereses personales o su experiencia laboral, los hayan conducido a profesionalizarse en otros ámbitos inte-lectuales como son, es especial, las humanidades, las ciencias sociales y las artes. Este grupo de profesionales también deberá estar integrado por académicos que representen un amplio espectro de diversos forma-dores de estudiantes de matemáticas. Por lo mismo, se extenderá una invitación a participar a diversos colegas de los bachilleratos, de las preparatorias oficiales, de diversas escuelas, facultades, centros e insti-tutos de investigación. No por tratarse de una publicación dirigida al público en general, pero que deberá ser aprovechada especialmente por los maestros y estudiantes de los niveles elemental, medio y medio superior, ésta debe-rá presentarse de manera irresponsable. La calidad intrínseca de la ma-teria que trata no está peleada con el amplio público que abarca. §5.3 Enciclopedia de historia y filosofía de las ideas matemáticas 5.3.1 Objetivo Como ya se ha mencionado, uno de los objetivos y propósitos funda-mentales de este nuevo centro de investigación será la creación de ma-terial matemático de apoyo para todos los niveles de educación, no únicamente el más elemental. La literatura sobre historia de las mate-


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máticas, a nivel mundial, presenta un nicho enorme que debe ser subsa-nado al pensar en todos aquellos que hayan adquirido una formación matemática que comprenda el estudio de la geometría analítica y del cálculo diferencial e integral. Resulta ser que cuando uno pretende saciar su curiosidad en torno al desarrollo y evolución de ciertas ideas matemáticas, uno se encuentra con dos alternativas. Por un lado, los libros de texto en historia de las matemáticas que, en general, tratan los temas de una manera superficial; y, por el otro lado, las revistas de investigación, dirigidas a especialistas, donde se discuten ideas en deta-lle. Pero no existe un texto que trate de manera exhaustiva estos mis-mos temas, sin caer en las exigencias del profesional. Por lo mismo, se propone la edición de una enciclopedia de historia y filosofía de las matemáticas, dirigida a un público con formación mínima de bachillera-to, incluyendo geometría analítica y cálculo diferencial e integral. La enciclopedia estará conformada por ensayos que discutan temas preci-sos. Cada ensayo deberá tener una longitud promedio de unas treinta cuartillas y se advertirá a los autores que los trabajos deberán ser de difusión, entendiéndose por ésta que no deberán estar dirigidos a espe-cialistas. Esta enciclopedia deberá convertirse en una fuente de consulta obligatoria para todo aquel interesado en comprender, con cierto detalle y profundidad, cómo han evolucionado los distintos conceptos y méto-dos matemáticos. 5.3.2 Antecedentes e hipótesis Los antecedentes inmediatos de este subproyecto —la publicación de una Enciclopedia de Historia y Filosofía de las Ideas Matemáticas— que ahora se presenta se encuentran implícitos en la publicación de algunos números temáticos de Mathesis (por ejemplo, Bertrand Russell (43 (1988)) e Isaac Newton (62 (1990)). Al tomar en cuenta la reciente revolución que ha sufrido la historiografía de las matemáticas griegas, a través de los trabajos de Wilbur Knorr y Sabetai Unguru (entre otros), los directores se propusieron editar un fascículo de Mathesis dedicado a la historia de las matemáticas griegas. La respuesta de los expertos fue tan entusiasta como abrumadora. Una primera lista de fuentes secunda-rias que debían estar incluidas en dicho fascículo comprendía más de treinta referencias a la literatura —todas ellas de extraordinaria cali-dad—, cuando Mathesis publica únicamente un máximo de cinco artí-culos por ejemplar. Dado el carácter interdisciplinario de Mathesis, dentro de las propias ideas matemáticas, era obvio que sus editores no podían dedicarle espacio exageradamente amplio a un tema únicamente y olvidar el resto de las ramas y períodos de las matemáticas.


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Desgraciadamente, las primeras demostraciones de apoyo por parte de los asesores únicamente subrayaron, una vez más, la pobreza del medio académico nacional. Baste mencionar que, no fue sino hasta hace unos pocos años, que apareció en idioma español una traducción completa y confiable del texto matemático universalmente más conoci-do: Los Elementos de Euclides. Como consecuencia, el proyecto original se transformó, origi-nalmente con la asesoría de historiadores y filósofos Knorr y Unguru (como expertos en matemáticas griegas) por un lado, y los colegas Archibald, Dauben, Grattan-Guinness Knoblock y Parshall (como asesores globales) en una empresa muchísimo más ambiciosa, pero no por ello impostergable: la publicación en español de una Enciclopedia de Historia y Filosofía de las Ideas Matemáticas. Bajo este marco con-ceptual, se tiene contemplada la publicación de un tratado de siete vo-lúmenes (de quinientas páginas cada uno de ellos, aproximadamente) dedicados al desarrollo histórico y filosófico de las ideas matemáticas. La enciclopedia estará dividida en cinco períodos cronológicos genera-les (Matemáticas Griegas, Matemáticas Medievales, Matemáticas Rena-centistas (siglos XVI-XVII), Matemáticas Modernas (siglos XVIII-XIX) y Matemáticas Contemporáneas (ca., 1870-1930)). La idea esen-cial es que cada uno de estos períodos cronológicos sea cubierto por treinta diferentes ensayos originales, aproximadamente. Estos ensayos deberán cubrir temática y cronológicamente el período respectivo. A los colegas hasta ahora invitados se les ha indicado el tema preciso a discu-tir y el grado de complejidad y especialización en que éste debe estar redactado. El sexto volumen estará comprendido por ensayos panorá-micos que cubran las respectivas historias de las diversas ramas de las matemáticas. De esta manera deberá existir un ensayo que describa la historia de cada rama de las matemáticas desde sus orígenes hasta su maduración. Así algunas de las ramas que deberán estar incluidas, entre otras, son: Aritmética, Álgebra, Geometría (incluyendo: plana, coorde-nadas, descriptiva, algebraica, no euclidianas, etc.), Cálculo, Análisis, Estadística y Probabilidad. El séptimo volumen comprenderá los índices respectivos (indi-viduos y materias), las referencias cruzadas entre los ensayos y la bi-bliografía general, con una extensión aproximada de quinientas páginas.


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§5.4 MATHESIS1

5.4.1 Antecedentes El sistema educativo mexicano, inmerso en un país en vías de desa-rrollo, presenta paradojas enormes. Por un lado, los resultados de exá-menes diseñados por organizaciones internacionales, México presenta, a nivel bachillerato, un nivel sumamente bajo en matemáticas, escritura y lectura. Esto provoca, entre muchas otras consecuencias, que la mano de obra no sea calificada, que no sea competitiva y que únicamente pueda aspirar a labores sencillas y mal remuneradas. Por otro lado, investigadores académicos mexicanos están a la par, o incluso son líde-res, de varias áreas de investigación de frontera, aparentemente despro-vistas de toda aplicabilidad y uso en la materialidad inmediata. Desgra-ciadamente, por falta de comprensión y de propia cultura, la sociedad en su conjunto no ha sabido valorar la importancia que el mundo aca-démico —aún el más abstracto y alejado de la realidad— representa para ella misma. Una de las fuerzas motrices de este trabajo ha sido promover un área del conocimiento —la historia y filosofía de las cien-cias matemáticas— supuesta y aparentemente desprovista de una apli-cación inmediata lo cual, como se verá más adelante, es completamente falso. 5.4.2 Orígenes En el afán por establecer una base académica sólida y seria, se ha inten-tado imitar los pasos que ya se habían dado con anterioridad en otros países académicamente desarrollados. Para esto, se tomó en cuenta la labor realizada por el Dr. Kenneth O. May editor y fundador de la revis-ta más importante en la especialidad —Historia Mathematica—, presi-dente de la International Commission for the History of Mathematics y mentor de la Canadian Society for the History and Philosophy of Mat-hematics. A principios de los ochentas, diversas instituciones de educación superior (entre ellas la Coordinación del Colegio de Ciencias y Huma-nidades de la UNAM y la Sección de Matemática Educativa del Centro de Investigaciones Avanzadas (CINVESTAV) del Instituto Politécnico Nacional (IPN) —ahora Departamento—, entre otras) habían mostrado interés en el uso de la filosofía e historia de las ciencias matemáticas

1. En ocasión del décimo aniversario, los editores de la revista UNAM Hoy publicaron un

ensayo titulado “Mathesis, revista de filosofía e historia de las ciencias matemáticas” [Elvira Álvarez Mendoza. UNAM hoy. Nov 1994. Págs. 51-55]. La información conte-nida en dicho ensayo, reconstruida como consecuencia de una entrevista personal con Alejandro Garciadiego, complementa algunas de las ideas aquí vertidas.


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como herramienta fundamental en sus estudios. Fue dentro de este contexto que surgió la posibilidad de apoyar la edición de una publica-ción periódica que se abocara al estudio y divulgación de la historia y filosofía de ideas matemáticas, y de esta manera pudiera, eventual-mente, apoyar la docencia de las matemáticas en general, a cualquier nivel educativo. El comité editorial conformado originalmente [véase: [§10. Apéndice 3] llegó a la conclusión de que era necesario editar una publi-cación periódica que se abocara a promover investigación académica —a través de la publicación de ensayos de investigación original y de proveer un foro de discusión abierta— en historia y filosofía de las ideas matemáticas. En el afán por subrayar estas generalidades en el método y en el enfoque de las disciplinas, la revista se llamaría Mathe-sis, vocablo que conforma el origen etimológico de la palabra matemá-ticas, pero que tiene una connotación más general dado que no condi-ciona su contenido, sino que además también sugiere el proceso de enseñar y aprender que corresponden a las actividades fundamentales de dicha profesión académica. 5.5 Colección ‘Los clásicos’ Esta colección, dividida en varias series, tiene como meta principal reproducir —y producir a mediano y largo plazo— un gran número de tratados que, por un lado, por su calidad intrínseca se han convertido en verdaderos clásicos de la disciplina y cuyo contenido debería ser cono-cido por el público contemporáneo y, por el otro lado, por sus condi-ciones editoriales se han tornado inaccesibles para el grueso de éste. En general, la gran mayoría de las casas editoriales latinoamericanas han puesto muy poco interés en comercializar libros de matemáticas, con excepción de los de texto. El problema es extremadamente complejo, ya que, por tradición y metodología, los matemáticos, en general, son parcos para escribir. Como ya se había mencionado con anterioridad, el grueso de los divulgadores de las matemáticas (e.g., Asimov, Sagan, Gamow, Gardner, entre otros), no han sido entrenados profesionalmen-te como matemáticos. Las consecuencias de esta peculiaridad son muy negativas. El público, en general, no está acostumbrado a leer sobre matemáticas. Esta audiencia ‘estudia’ matemáticas cuando se enfrenta a la terrible realidad de tener que acreditar un examen. Se debe de cam-biar este hábito y proporcionar a los distintos auditorios materiales adecuados de lectura. Por tratarse de algunos textos que ya han sido publicados, inclu-so en lengua española, su reproducción podría ser casi inmediata. De


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hecho, con las condiciones actuales de mercado y con los nuevos mo-dos de producción, se podría pensar en ediciones duales que fueran impresas en papel, con la intención de hacerlas llegar físicamente a las bibliotecas; y, también, se podrá realizar una edición en multimedia que disminuya los costos de producción. Otros tratados tendrán que ser traducidos (de sus lenguas originales), pero su impresión podrá reali-zarse de manera pausada y a largo plazo. La colección se ha dividido en varias series, ya que se contemplan metas y públicos muy diversos y complementarios. 5.5.1 Texto Esta serie contempla la publicación de libros de texto que, a través de los años y por su calidad, han demostrado haber cumplido con las metas didácticas que se habían propuesto originalmente y, que no han perdido su vigencia. La serie contempla todo nivel, toda materia y todo enfo-que. Algunos de los tratados ya se han incluido en una primera lista tentativa incluyen, entre otros: A. A. Fraenkel. Teoría de Conjuntos y Lógica. México: UNAM. 1976.

(Col. Complementos #32). Y. I. Perelman. Matemáticas recreativas. Moscú: Mir. 1957. Patrick Suppes. Introducción a la lógica simbólica. México: CECSA.

1966. N. Vilenkin. ¿De cuántas formas? Moscú: Mir. 1972. 5.5.2 Originales Esta serie está diseñada para incluir tratados que hayan sido publicados con anterioridad a 1930 y que se hayan propuesto como meta, en su momento, el avance del conocimiento matemático de una manera origi-nal y trascendente. El punto medular de cada volumen es que deberá contener un estudio introductorio que analice, en detalle y dirigido a estudiantes de bachillerato, el contenido técnico de la obra. Este preám-bulo deberá contener un estudio histórico y filosófico de las razones de la relevancia del escrito original. Existen lagunas enormes dentro de la literatura que son urgentes subsanar. La lista tentativa incluye, al me-nos, obras de: Aristóteles, Euclides, Arquímedes, Cardano, Galileo, Descartes, Newton, Euler, Cauchy, Cantor, Peano, Hilbert y Russell.


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5.5.3 Análisis contemporáneo (históricos, filosóficos, pedagógicos, sociológicos, etc) Esta serie, al contrario de la anterior, se propone la edición en español de algunos de los textos, de reciente publicación, elaborados por aca-démicos profesionales. Estos textos, a pesar de su juventud, ya se han ganado una reputación positiva por su calidad y trascendencia académi-ca. Algunos de los autores y títulos que se tienen contemplado incluyen, entre otros, a: Oskar Becker. Magnitudes y límites del pensamiento matemático. Ma-

drid: Rialp. 1966. I. B. Cohen. Introduction to Newton’s Principia. Cambridge: Harvard

University Press. 1978. Joseph W. Dauben. Georg Cantor. His mathematics and philosophy of

the infinite. Cambridge, Mass.: Harvard University Press. 1979. E. J. Dijksterhuis. The mechanization of the world picture. Oxford:

Oxford University Press. 1961. Stillman Drake. Galileo Studies. Personality, Tradition and Revolution.

Ann Arbor: The University of Michigan Press. 1970. D. H. Fowler. The mathematics of Plato’s Academy. A new reconstruc-

tion. Oxford: Clarendon Press. 1987. (Oxford Science Publications). Richard J. Gillings. Mathematics in the time of the pharaohs. Cam-

bridge: MIT. 1972. Thomas Hawkins. Lebesque’s theory of integration. Its origins and

development. Madison: University of Wisncosin Press. 1970. Jacob Klein. “Die griechische Logistik und die Entstehung der Alge-

bra”. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astro-nomie und Physik, Abteilung B: Studien 31 (1934) 18-105; 32 (1936) 122-235.

Kneale, William y Neale, Martha. El desarrollo de la lógica. Madrid: Ed. Tecnos. 1972. (Col. Estructura y Función #38).

Wilbur Knorr. The evolution of the Euclidean Elements. Dordrecht: Reidel. 1975. (Col. Synthese Historical Library. Vol 15).

François Le Lionnais. Las grandes corrientes del pensamiento matemá-tico. Buenos Aires: Eudeba. 1962.

Penelope Maddy. Realism in Mathematics. Oxford: Clarendon Press. 1990.

Jean Louis Pelletier. Etapas de la Matemática. Buenos Aires: Editorial Losada. 1958. (Col. Ciencia y Vida).

Robert Westfall. Never at rest. A biography of Isaac Newton. Cambrid-ge: Cambridge University Press. 1980.


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5.5.4 Difusión Esta colección incluye monografías, escritas originalmente por profe-sionales en matemáticas y dirigidos a sus propios pares, no necesaria-mente especialistas, con el propósito de hacer llegar a un público más amplio los pormenores de sus disciplinas, pero, cuya lectura exige una cierta formación técnica básica o cierto grado de maduración. Algunos de los textos incluidos en la lista son: Roberto Bonola. Geometrías no-euclidianas. Exposición histórico críti-

ca de su desarrollo. Madrid: Espasa-Calpe. 1945. (Col. Historia y Filosofía de la Ciencia. Serie Menor).

León Brunschvicg. Las etapas de la filosofía matemática. Buenos Ai-res. Lautaro. 1945. (Col. Tratados Fundamentales).

Alberto Dou. Fundamentos de la Matemática. Barcelona: Labor. 1970. (Nueva Colección Labor # 117).

5.5.5 Divulgación Esta serie deberá incluir aquellos textos que, a través de la historia, han mostrado ser capaces de cambiar la actitud del lector hacia las matemá-ticas e, incluso, fomentar vocaciones entre los jóvenes hasta entonces desconocidas. Estas son obras que hablan, de una manera libre de tecni-cismos, sobre las matemáticas. Los aspectos técnicos no son ni siquiera mencionados. Eric T. Bell. Los grandes matemáticos. Buenos Aires: Losada. Eric T. Bell. La reina de las ciencias. Buenos Aires: Editorial Losada.

1938. (Col. Biblioteca. Teoría e Historia de las Ciencias. George Gamow. Uno, dos, tres, ..., infinito. Madrid. Espasa-Calpe.

1969. (Col. Nueva Ciencia -Nueva Técnica). Kasner & Newman. Matemáticas e Imaginación. México: CECSA.

1972. 5.5.6 Matemáticas y Arte Esta colección contempla englobar cualquier tipo de relación de las matemáticas con cualquiera forma de expresión de las bellas artes, entendidas éstas en su concepción más general e incluyendo, al menos, pintura, escultura, dibujo, danza, música, literatura y cinematografía. De hecho, si se toma en cuenta la trayectoria creativa de las matemáti-cas, su forma de expresión y su metodología, éstas tienen un mayor número de similitudes y afinidades con las artes, que con las llamadas ciencias. Varios autores. L’occhio di Horus. Itinerari nell’immaginario matema-

tico. Roma: Institvto della Enciclopedia Italiana.


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Scott Buchanan. Poetry and mathematics. New York: The John Day Company. 1929.

Fernando Zalamea. Signos triádicos. Lógicas, literaturas, artes. Nueve cruces latinoamericanos.

§5.6 Carteles El propósito de esta forma de comunicación es proporcionar a los estu-diantes un medio visual que los motive a reflexionar sobre diversos aspectos de las ideas matemáticas, en particular sobre sus objetivos, medios y fines. De nuevo, la finalidad inmediata no es enseñar matemá-ticas. Se busca crear, en el salón de clases, un medio ambiente que sea más amigable e interesante. Estas imágenes deberán romper tabús en torno a la frialdad, seriedad, formalismo, inflexibilidad con la que se asocia a los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. §5.7 Material audiovisual y multimedia El desarrollo de la tecnología proporciona herramientas y medios que no pueden dejarse de lado en el intento por optimizar los recursos rela-cionados con el proceso enseñanza aprendizaje de las matemáticas. Entre los más modernos y en constante transformación, en particular, en los países académicamente desarrollados, se encuentran: 1) Las calculadoras de bolsillo que permiten a los estudiantes la realiza-ción y cálculo de operaciones sumamente sofisticadas. 2) las computadoras personales que se han convertido en una herra-mienta imprescindible dentro del proceso educativo. Las nuevas meto-dologías pedagógicas obligan a conceptualizar al estudiante actual como un ser ‘bilingüe’ en torno al uso y comprensión de esta nueva tecnología.

El impacto que han tenido los materiales audiovisuales, con el propósito de educar, son insoslayables. Por lo general, el medio acadé-mico ha dado cabida a individuos que se han preocupado por incorporar las expresiones culturales, a su alcance, en el mejoramiento del proceso enseñanza aprendizaje. Es tradicional, en los diferentes niveles educati-vos, realizar visitas a todo tipo de museos y centros culturales. Series televisivas, concebidas, dirigidas y realizadas por acadé-micos —como Cosmos de Carl Sagan, Civilización de Arthur Clark y El Ascenso del Hombre de Jacob Bronowski— han sido tan exitosas comercialmente que demostraron a la iniciativa privada que existía un amplio auditorio que buscaba un sentido más profundo y formativo a la manera de entretenimiento que se presentaba a través de los grandes medios de comunicación masivos. La máxima aristotélica seguía siendo


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tan actual ahora, como en el día de aparición: El ser humano está ávi-do por conocer, y más ahora que estos mismos medios de comunicación lo mantienen al tanto de los progresos científicos que se realizan a dia-rio alrededor del mundo. Esta transformación diaria es tan activa que uno requiere encontrar las formas para mantenerse, al menos, informa-do. La iniciativa privada ha detectado esta necesidad y nicho comercial y ha implementado una gran variedad de programas destinados al indi-viduo que busca este tipo de conocimientos. En un principio, se produ-jeron algunas series, aisladas, dirigidas a este tipo de auditorio. Sin embargo, el nicho ha demostrado ser lo suficiente amplio, para que ahora se dediquen canales enteros, especializados en diferentes temáti-cas de carácter cultural, científico y tecnológico. Así, ahora uno puede escoger dentro de una programación exclusiva de temas como: Conser-vación, historia, fauna y avances tecnológicos, entre otros. De ninguna manera se propone la creación de un canal dedicado, en exclusiva, a la enseñanza, divulgación y difusión de las ideas cientí-ficas, no exclusivamente matemáticas. Pero, si se sugiere la creación de una nueva serie televisiva que se proponga la popularización de éstas. Esta popularización incluye su divulgación y difusión a todos los nive-les del sector educativo. Repetimos, una premisa fundamental de este proyecto es sugerir que antes de exponer el contenido técnico, es nece-sario discutir en torno y sobre las ciencias y las matemáticas. En breve, la meta principal de esta serie televisiva es presentar, a un auditorio general, cuáles han sido algunas de las ideas (e.g., infinitud, número, evolución, gravedad, entre muchas otras) que han acaparado la atención de innumerables intelectuales a través de la historia y cómo han influi-do en la cultura occidental. Cada uno de los programas debe girar en torno a tres temas fundamentales: 1) ¿Cómo fue el proceso de origen o descubrimiento de dicha idea? El desarrollo de este tema debe respon-der a las interrogantes de dónde, quién, cuándo, por qué y cómo surgió esta idea; 2) Una segunda temática debe discutir cómo evolucionó este concepto a través del desenvolvimiento de los distintos períodos crono-lógicos, es decir, discutir cómo fue el proceso de metamorfosis que condujo dicha idea a su conceptualización actual; y, finalmente, 3) un tercer tema debe contener el análisis de cómo es que esta noción conti-nua siendo relevante en el mundo actual. Esta serie se podría visualizar de manera análoga a aquellas especializadas en presentar biografías de personajes famosos, que incluso han discutido la de varios intelectuales, incluyendo los casos de Newton, Darwin y Galileo, por mencionar solamente a algunos de los más connotados. A diferencia de esta serie popular, esta nueva versión se avocaría a la discusión de la evolución


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de una idea y no a la narración de la cronología de los acontecimientos relacionados con la vida de un ser humano. En esencia, el objetivo es presentar al auditorio una reseña histórica de algunas de las ideas cen-trales de la cultura occidental. Cada programa, de sesenta minutos de duración, deberá discutir una única idea. La serie deberá estar conducida por un mismo modera-dor quien será el encargado de narrar la secuencia de la evolución de una idea y de realizar las entrevistas con los expertos sobre los temas. Este no es un programa académico ni dirigido a ellos, por lo que la selección de los involucrados deberá de tomar en cuenta, como un fac-tor preponderante, el carisma de la persona y su capacidad de transmitir una idea de manera amena y entusiasta. El programa deberá excluir, de manera radical, los tonos solemnes, densos, pesados y aburridos, y evitar caer en los estereotipos tradicionales cuando se refiere uno a un intelectual o a una idea trascendental. No se pretende desarrollar un programa que requiera de un alto costo de producción. Por el contrario se busca generar un producto en función de elementos prácticos que se encuentren al alcance físico doméstico de los productores. Por ejemplo, se localizará a los expertos, de las distintas universidades y centros de investigación y educación, que residan en el área metropolitana para, de esta manera, depender del uso de locaciones exclusivamente locales. El resto del tiempo de panta-lla se llenaría con el uso de ilustraciones fijas, obtenibles en las biblio-tecas y fondo reservado, a manera de algunos de los programas de ca-rácter de investigación. El contenido del programa, dividido en series de seis transmi-siones, podría incluir algunas de las ideas incluidas en la siguiente lista, que de ninguna manera pretende ser exclusiva, exhaustiva o definitiva. Primera serie: 1) infinitud; 2) teorema de Pitágoras 3) gravedad; 4) tiempo; 5) elemento; 6) evolución. Segunda serie: 1) demostración; 2) hipótesis; 3) inducción; 4) lógica; 5) mathesis;


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6) materia. Tercera serie: 1) mecánica; 2) metafísica; 3) filosofía; 4) número y cantidad; 5) relación; 6) espacio. Para iniciar el programa de una manera expedita y continua se podrían instituir convenios de apoyo académico con aquellas empresas, institu-ciones y asociaciones con experiencia en este tipo de productos. De esta manera se podrían establecer contactos con, entre otras: American Mat-hematical Society, Mathematical Association of America, National Council of Teachers of Mathematics, y otras empresas de carácter pri-vado que ya tienen experiencia en este rubro. §5.8 Coloquio Internacional 5.8.1 Antecedentes y orígenes En 1985, los entonces miembros del consejo editorial decidieron orga-nizar un congreso internacional que atrajera la atención de especialistas extranjeros que ofrecieran una serie de conferencias en filosofía e histo-ria de las ideas matemáticas. La finalidad de este evento era mostrar a nuestros colegas y estudiantes mexicanos algunos de los avances más recientes en estas disciplinas para propiciar de esta manera su formali-zación y profesionalización. El I Coloquio Internacional de Filosofía e Historia de las Matemáticas (que se realizó en el auditorio del Instituto de Investigaciones Bibliográficas de la UNAM del 9 al 13 de diciembre de 1985) contó con la presencia de los doctores Charles V. Jones (Ball State University, Indiana, USA), Thomas Archibald (Acadia University, Nova Scotia, Canadá), Amy Dahan-Dalmedico (Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Francia), Hoyra Benis-Sinaceur (CN-RS, Francia) y Herbert Mehrtens (Technische Universität Braunsch-weig, Alemania). Cada uno de los invitados presentó dos conferencias (algunas de éstas fueron publicadas más adelante en Mathesis). Los temas y períodos cronológicos comprendieron conferencias sobre los fundamentos de las matemáticas griegas, el desarrollo de las ecuaciones diferenciales, el origen de la física matemática en el segundo tercio del siglo XIX, el origen del álgebra abstracta, la filosofía de las matemáti-cas francesas en la primera mitad del siglo XIX, el surgimiento de la matemática nazi en la Alemania de los 1930, entre otros.


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En el período comprendido del 1o. de julio de 1990 al 30 de junio de 1993, Mathesis contó con el apoyo financiero y administrativo de la Dirección General de Asuntos del Personal Académico (DGAPA) de la UNAM. La DGAPA, a través de su ‘Programa de Apoyo a Proyec-tos de Investigación e Innovación Docente', financió en su totalidad la edición de 12 fascículos de Mathesis, así como la organización de tres coloquios siguientes. El II Coloquio Internacional de Filosofía e Historia de las Ma-temáticas se realizó de nuevo en el auditorio del Instituto de Investiga-ciones Bibliográficas en el Centro Cultural Universitario (Ciudad Uni-versitaria) del 10 al 14 de diciembre de 1990. En esta ocasión participa-ron los doctores Joseph W. Dauben (CUNY, USA), Jean Dhombres (Université de Nantes, Francia), Craig Fraser (University of Toronto, Canadá), Ivor Grattan-Guinness (Middlesex Polytechnic, Gran Breta-ña), Wilbur Knorr (University of Stanford, USA) y Janis Langins (Uni-versity of Toronto, Canadá). Algunos de los temas que se discutieron comprendieron: matemáticas chinas, lógica matemática, matemáticas griegas y la profesionalización de la ingeniería en Francia a principios del siglo XIX. El III Coloquio Internacional de Filosofía e Historia de las Matemáticas se llevó a cabo en el auditorio del Instituto de Química de la UNAM del 22 al 26 de junio de 1992. En esta ocasión, en con-cordancia con la celebración del quinto centenario del descubrimiento de América, la temática y nacionalidad de los exponentes giró en torno al mundo de habla castellana. Participaron los doctores Javier de Lo-renzo (Universidad de Valladolid, España), Jesús Hernández (Universi-dad Autónoma de Madrid, España), Mario Otero (Universidad de la República, Uruguay), Francisco Rodríguez Consuegra (Universidad de Valencia, España), Clara H. Sánchez Botero (Universidad Nacional, Colombia), Carlos Solís (Universidad Nacional de Educación a Dis-tancia (UNED), España), Luis Vega (UNED, España) y Fernando Za-lamea (Universidad Nacional, Colombia). Además, por primera oca-sión, se extendió la invitación a todos aquellos colegas mexicanos que, después de un proceso de selección y arbitraje, desearan participar en el evento. En total otros treinta y cinco colegas mexicanos, de diversas instituciones de educación superior del país (entre ellas: el Departa-mento de Matemática Educativa del CINVESTAV, la División de Estu-dios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería (UNAM), la ENEP (Acatlán), el Instituto de Física (UNAM), el Instituto de Investigacio-nes Filosóficas (UNAM), el Observatorio de Ensenada, la Universidad de Durango y la Universidad de Guadalajara), presentaron trabajos.


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Como es lógico suponer, además de los temas internacionales tradicio-nales (e.g., historia de la lógica y filosofía de las matemáticas del siglo XX, matemáticas griegas, la obra de Galileo, etc.) se presentaron traba-jos que discutieron las raíces de nuestra propia cultura. Algunos de los temas que se discutieron incluyeron: Las ciencias exactas en el mundo novohispano de los siglos XVI y XVII, el origen de las matemáticas modernas en Colombia, etcétera. Dentro del marco de este III Coloquio se fundó la Asociación para la Historia, Filosofía y Pedagogía de las Ciencias Matemáticas con la intención de fungir como medio de comunicación entre los investigadores interesados en estas disciplinas, entendidas dentro del marco conceptual más amplio posible. La asociación fomenta la inves-tigación, la enseñanza y la divulgación de la historia, filosofía y peda-gogía de las ideas matemáticas, así como sus interrelaciones sociales y culturales. La asociación está primordialmente interesada en apoyar el estudio de la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles educa-tivos. Se han establecido convenios de cooperación e intercambio con otras agrupaciones semejantes (e.g., inglesa, africana y brasileña, entre otras). La asociación publica una carta informativa llamada Anamnesis, como un vehículo para informar —de una manera más expedita— a sus miembros sobre congresos, reuniones, reportes y noticias acerca de la profesión. Los miembros de la asociación también reciben las cartas informativas del International Study Group on the relations between the History and Pedagogy of Mathematics y del International Study Group on Ethnomathematics. Con el apoyo de la DGAPA y de la Asociación, el IV Coloquio se organizó en la Universidad Nacional de Colombia (Bogotá, Colom-bia) del 2 al 6 de agosto de 1993. La Dra. Clara H. Sánchez Botero, presidenta del Comité Organizador y secretaria de la Asociación, invitó a diversos colegas a impartir cursos propedéuticos para que los asisten-tes obtuvieran un mayor provecho del evento. Durante la semana ante-rior al coloquio se ofrecieron cursos en: Filosofía de las matemáticas (Francisco Rodríguez-C), filosofía de las matemáticas (Javier de Loren-zo), historia de las matemáticas griegas (Luis Vega), historia del cálculo diferencial (Ivor Grattan-Guinness), historia de las matemáticas en general (Alejandro Garciadiego) y pedagogía de las matemáticas (Flo-rence Fasanelli). En esta ocasión el programa se dividió en tres compo-nentes paralelos y simultáneos: Historia, filosofía y pedagogía de las ideas matemáticas. El V Coloquio fue financiado (de manera casi exclusiva) por la DGAPA a través de un segundo proyecto titulado ‘Historia de las mate-


Mathesis

máticas griegas: una reevaluación' (IN-600992). Debido al enorme éxito de la invitación, tanto a nivel nacional como internacional, fue necesario extender el evento y conformarlo por tres secciones. La pri-mera de ellas —llamada ‘jornada propedéutica'—, siguiendo el ejemplo del coloquio anterior, y pensando en el óptimo beneficio de los alumnos universitarios, consistió de una etapa formativa donde una vez más se ofrecieron minicursos propedéuticos en historia, filosofía y pedagogía. Esta primera sesión del evento se realizó en el auditorio del centro médico de la UNAM del 6 al 9 de junio de 1994. La segunda semana del evento —titulada ‘jornada de investigación'— ofreció a nuestros asistentes un amplio espectro de ponencias de investigación. Esta se-gunda sesión tuvo lugar en el Auditorio Alejandra Jáidar de la bibliote-ca del Instituto de Física del 13 al 17 del mismo mes. Los invitados (provenientes de países con antecedentes académicos tan disímbolos como Inglaterra, India, Dinamarca, Israel, Rusia, Canadá, Colombia, Estados Unidos, entre otros) discutieron una muy amplia temática, incluyendo, entre otras, las matemáticas en Platón, los orígenes de las matemáticas en Uruguay, historia de la teoría de conjuntos, métodos de las primeras proto-álgebras, la física-matemática del siglo XIX en Ale-mania, y la formación matemática de Bartolache, entre otros. Final-mente, la tercera etapa, titulada I Jornada de Historia, Filosofía y Peda-gogía de las Ciencias Matemáticas, se llevó a cabo en el Aula Magna I de la Facultad de Ciencias los días 13 y 14 de octubre de 1994. Esta sesión, donde participaron esencialmente jóvenes colegas mexicanos, estuvo dedicada casi exclusivamente a la problemática de la educación matemática. 5.8.2. Objetivos Se propone la creación de un coloquio internacional único en su género. La organización de este evento conlleva a la materialización de tres objetivos principales. Primero, contribuir en el proceso de formación de estudiantes. Segundo, ser el medio ideal para la transmisión de nuevo conocimiento. Tercero, auxiliar en la actualización de colegas que ya se han integrado a actividades laborales y que carecen de formación profe-sional en estas áreas de estudio. Para lograr dichas metas se propone coordinar tres componentes o jornadas. La primera de ellas la compon-drían la imparticipación de cuatro mini-cursos, en las áreas de historia, filosofía, educación y comunicación matemática. Estos cursos se ofre-cerían durante una semana, diariamente, y cada sesión tendría una dura-ción de dos horas. Los cursos serían ofrecidos por expertos en los te-mas. El propósito de todos ellos, en sus áreas respectivas, sería presen-


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tar a los estudiantes una visión panorámica de los objetivos, metodolo-gías y resultados de investigación. De esta manera, al acudir a las po-nencias en la sesión de investigación, los asistentes tendrían una visión más clara de cómo dichos resultados contribuyen al caudal de nuevo conocimiento. La segunda de las jornadas estará dedicada a la presenta-ción de las contribuciones de investigación. Se fomentará la invitación de aquellos colegas que se distingan por la originalidad, trascendencia y profundidad de sus ideas. Finalmente, la tercera de las jornadas tendrá como meta principal la actualización académica y profesional de todos aquellos individuos que realizan diversas actividades laborales relacio-nadas con las ideas matemáticas.

§6. Apéndice 1 6.1 Matemorfosis 6.1.1 Características editoriales Temática Cualquier aspecto relacionado con la cultu-

ra matemática a través de los tiempos, des-de sus orígenes hasta el día de hoy, inclu-yendo su difusión, divulgación, historia, fi-losofía y pedagogía.

Idioma Español Formato tamaño carta (21.7 cms de ancho por 28

cms de alto) los cuatro forros a selección de color Sesenta y cuatro (64) páginas tota-les a selección de color

Contenido Ensayos expositorios, de formación y de divulgación; traducciones de fuentes pri-marias y secundarias; reseñas, ensayos re-señas; noticias sobre la profesión

Secciones Biografías nacionales e internacionales, sugerencias pedagógicas, libros clásicos, matemáticas y realidad, ramas de las mate-máticas, por qué funciona, matemáticas re-creativas, demostraciones sin palabras, aunque usted no lo crea, caricatura, histo-rieta, rincón turístico, rincón numismático, rincón filatélico, rincón artístico, rincón li-terario, reseñas, qué es la matemática, la computadora hoy y buzón del lector


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Características Notas a pie de página, referencias, ilustra-ciones, diagramas, fotografías, caricaturas

Sobretiros Cincuenta ejemplares gratuitos (todas las secciones)

Índice Anual (por autor y tema) Circulación ? 6.1.2 Contenido conceptual Matemorfosis estará integrada por las siguientes secciones, entre otras, que no necesariamente aparecerán en todos y cada uno de sus fascícu-los: • ¿Qué es la matemática? (máximo una cuartilla, página reservada: segunda de forros). Esta sección presentará alguna cita breve, de prefe-rencia provocativa y enigmática, expresada por cualquier individuo, de preferencia en torno al carácter ontológico de las matemáticas y/o a su naturaleza estética. La cita deberá estar acompañada por la referencia precisa de su lugar de origen y por ilustraciones que nos permitan vi-sualizar al individuo que la expresó y/o al texto donde originalmente apareció dicho pensamiento; • rincón humorístico, el lado amable de las matemáticas (página reser-vada, página dos (2)); aunque se podrán incluir, a discreción de los directores, en cualquier parte o sección de la revista). Se reserva esta página dos a manera de editorial gráfico, de tal forma que el lector siempre empiece la lectura de la revista con una sonrisa y con un men-saje explícito que, a partir de ese momento, se le desea un momento de tranquilidad y fácil lectura. Las caricaturas podrán estar conformadas por un solo dibujo, o por una composición de máximo cinco cuadros para conformar una mini-historieta; • biografías (sección: matemático del bimes, máximo siete páginas impresas), donde se presentarán —acompañados de varias ilustraciones e imágenes—, sin caer en una cronología rutinaria, algunos de los da-tos, mitos y leyendas de los individuos que han conformado el mundo de las ideas matemáticas. Se ha contemplado la inclusión de las si-guientes biografías, entre otras: Einstein, Hipatia, Poincaré, Sophie Germain, Russell, Laplace, Emmy Noether, Lagrange, Galois, Descar-tes, Viète, Cardano, Mary Somerville y Tales de Mileto; • sugerencias pedagógicas (máximo siete páginas impresas), donde se incluirán enfoques poco comunes o innovadores para presentar ideas tradicionales. Se discutirá también, de forma sencilla y evitando tecni-cismos, la enseñanza de las matemáticas en general;


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• libros clásicos (sección: libro del bimes, máximo siete páginas impre-sas), donde se discutirá, de manera informal, por qué algunas obras han alcanzado el calificativo de ‘clásicos’ dentro de la disciplina. Algunos de los textos que se tiene contemplado incluir son, por ejemplo: Los Elementos de Euclides, La Geometría de Descartes, el Dos nuevas ciencias de Galileo, el Curso de Análisis de Cauchy y el Principia Mat-hematica de Russell y Whitehead; • matemáticas y realidad (máximo siete páginas impresas), en esta sección se comentará sobre las relaciones e influencias mutuas entre las matemáticas y otras disciplinas, especialmente las tocantes a las huma-nidades (e.g., filosofía, historia, música, arte) y a las ciencias naturales (e.g., física, medicina, astronomía); • ramas de las matemáticas (máximo cinco páginas impresas), donde se comentará, con el propósito de conocer las matemáticas en un contexto más amplio y actualizado, cuál es y ha sido el contenido de algunas ramas de las matemáticas (e.g., música, gematría, óptica, mecánica, geometría analítica, teoría de nudos, teoría de colas, fractales); • matemáticos hispanohablantes (máximo siete páginas impresas), al igual que la sección de biografías, esta sección de la revista tratará las biografías de intelectuales, pero en este caso de personajes hispanoha-blantes, que se hayan distinguido en el mundo de las ciencias exactas (desde el hombre primitivo hasta nuestros días, incluyendo, por ejem-plo, a José Babini, Carlos de Sigüenza y Góngora, Julio Rey Pastor y Manuel Sandoval Vallarta); • bueno, si; pero, ¿por qué? (máximo dos páginas impresas), sección dedicada a la explicación y justificación de operaciones, rutinas y algo-ritmos que se manejan o manipulan cotidianamente pero sin com-prender por qué funcionan (e.g., comprobación de la prueba de la mul-tiplicación). También se pueden mostrar métodos diferentes, novedosos o ingeniosos para realizar, de otra manera, las mismas operaciones; • matemáticas recreativas (máximo dos páginas impresas), sección dedicada a la descripción y presentación y resolución de problemas, acertijos, crucigramas, adivinanzas, etc., que motiven al lector a pensar. (La solución podrá sugerirse, mas no presentarse en la misma página); • ¡aunque usted no lo crea! (máximo dos páginas impresas), sección dedicada a la presentación (de manera aislada) de anécdotas, mitos y leyendas relacionadas con hechos matemáticos insólitos (e.g., grandes calculistas, descubrimientos simultáneos, prodigios increíbles, misivas inéditas, etc.); • demostraciones sin palabras (máximo dos páginas impresas), sección dedicada a la presentación de demostraciones matemáticas que sean tan


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sencillas y tan claras visualmente que no sea necesario incluir lenguaje alguno; • historieta o mini-historieta (cubriría, en caso de aparecer, las ocho páginas centrales), esta sección podrá estar constituida por mini-historietas independientes o por un cuento o narrativa desarrollado en etapas. Deberá ser esencialmente gráfica —a manera de las historietas populares— y deberá transmitir subliminalmente el mensaje mate-mático; • rincón literario (máximo siete páginas), sección dedicada a narrativas breves ficticias, donde el mensaje matemático (si es que lo hay) puede ser transmitido de manera vedada o subliminal. También tendrán cabida poemas escritos por matemáticos o sobre matemáticas. (Estos poemas, dependiendo de su extensión, podrán situarse al final de algunos de los ensayos); • rincón turístico (máximo una página), esta sección deberá indicar la descripción de lugares (e.g., museos, catedrales, panteones, edificios, calles y estatuas, entre otros) que pudieran tener alguna importancia matemática y que valdría la pena conocer e incluso visitar personalmen-te; • rincón filatélico (máximo una página), sección dedicada a la repro-ducción de timbres postales que contengan imágenes relacionadas con las matemáticas o eventos asociadas con éstas. A un lado deberá in-cluirse una breve descripción (e.g., país que lo emitió, fecha, motivo, etc.) o explicación de la razón de su impresión; • rincón numismático (máximo una cuartilla), al igual que la sección anterior, esta página estará dedicada a la reproducción de monedas o billetes que contengan imágenes de matemáticos o eventos relacionados con las matemáticas; • rincón artístico (máximo dos cuartillas), sección dedicada a la repro-ducción y explicación de obras de arte (e.g., pinturas, esculturas, foto-grafías, etc.) donde explícita o implícitamente se recurra a elementos matemáticos como es el caso de algunas de las pinturas de Remedios Varos, Diego Rivera, Salvador Dalí y de innumerables artistas rena-centistas, por mencionar sólo unos cuantos ejemplos. Se deberá incluir una breve descripción del significado de algunos de esos elementos; • reseñas (máximo siete cuartillas), esta sección estará dedicada a la descripción y análisis crítico del contenido de diversos libros (inclu-yendo de texto) de aparición reciente sobre historia, filosofía, peda-gogía, difusión y divulgación de las ideas matemáticas. Estas reseñas deberán incluir la ficha técnica bibliográfica y una reproducción de la portada del libro que se trate;


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• actividad docente (máximo ocho páginas, pero de preferencia cuatro), estas páginas centrales de la revista estarán dedicadas a la descripción de una actividad pedagógica que el profesor podrá realizar personal-mente con sus estudiantes. Estas acciones estarán diseñadas para que el maestro, de una manera clara y complementaria, enriquezca la presen-tación de algún tema en particular; • la computadora, hoy (máximo cuatro páginas), sección dedicada a la interacción del hombre de hoy en día con la computadora. Esta sección mantendrá al día al lector en las innovaciones tanto de elementos de programación como de material físico que aparezcan en el mercado; • cartel, que deberá incluir un tema en particular —ya sea que se trate de una sola fotografía, de la descripción de algún tema, un compendio de fórmulas, etc.— pero que podrá ser separado de la revista y fijado a las paredes del salón de clases para así recordar a los alumnos, diaria-mente, de algunos de los objetivos centrales del curso; y, finalmente, • correspondencia biyectiva, podrá incluir algunas misivas (con sus respuestas) que los lectores hagan llegar. Se deberán imprimir única-mente y exclusivamente aquellas cartas que contengan elementos nue-vos o complementarios al contenido de la revista (e.g., soluciones dife-rentes, comentarios sarcásticos o ingeniosos, retos, etc.), pero de ningu-na manera se deberá convertir en una sección de autoelogios y felicita-ciones. En los casos respectivos, esos comentarios favorables deberán ser editados y suprimidos. 6.1.2.1 Organigrama conceptual1

Director Editorial … … Director Ejecutivo

Rodrigo Cambray Núñez Univ. Pedagógica Nacional

Consejo de Directores Eduardo Loria

Ciencia Ergo Sum Patricia Magaña

Revista Ciencias Estrella Burgos

¿Cómo ves? 1. Las personas no han sido aún contactadas y se mencionan, únicamente, a manera de

ejemplo. La lista de posibles instituciones participantes no está completa, ni es exhaus-tiva ni exclusiva.


Mathesis

Enrique Soto Equibar Elementos

Arenario

Consejo Editorial Ubiratan D'Ambrosio

Universidad Estatual de Campinas, Brasil Jesús Hernández

Universidad Autónoma de Madrid, España Javier Legris

Universidad de Buenos Aires, Argentina Ángel Ruiz

Universidad de Costa Rica, Costa Rica Fernando Zalamea

Universidad Nacional de Colombia, Colombia Consejo Consultivo

Instituto de Investigaciones Filosóficas …

Escuela Normal Superior de México … Instituto de Investigaciones Filosóficas … Instituto de Investigaciones Filológicas

… Colegio de Ciencias y Humanidades Depto. de Matemáticas, UAM

… Instituto de Física

… Depto. de Matemáticas, Facultad de Ciencias

… Universum

… Instituto de Astronomía

… Depto. Biología, Facultad de Ciencias

…


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Univ. Aut. del Est. de Méx., Unidad Chalco …

Depto. Física, Facultad de Ciencias … Instituto de Investigaciones Filosóficas

… Depto. de Mat. Educativa, Cinvestav, IPN

… Facultad de Ingeniería

… Instituto de Matemáticas

… El Colegio de México

… Departamento de Matemáticas, ITAM

... Instituto de Investigaciones Históricas

… Facultad de Química

... Universidad Pedagógica

… Instituto de Investigaciones Sociales

... Instituto de Investigaciones Estéticas

... Instituto de Investigaciones Antropológicas

... Escuela Nacional de Antropología e Historia

6.1.2.2 Organigrama administrativo Editor técnico Jefe de redacción Traducción Investigación iconográfica Diseño de la revista y creación y diseño de la página WEB Arte y producción Fotografía Ilustradores Composición gráfica Captura


Mathesis

Cuidado de la impresión 6.1.2.3 Características editoriales-administrativas ISSN ...-.... Inicia Septiembre - Octubre 2007 Periodicidad Bimensual (calendario escolar:

(Sept-Oct, Nov-Dic, Ene-Feb, Mar-Abr y May-Jun))

Dirección Correo electrónico [email protected] Teléfono (5255) Fax (5255) Distribución Internacional (países de habla his-

pana)

§7. Apéndice 2 7.2 Enciclopedia de Historia y Filosofía de las Ideas Matemáticas 7.2.1 Metas parciales Desde el punto de vista material, el objetivo principal del trabajo es publicar, como ya se mencionó con anterioridad, siete volúmenes de quinientas páginas en torno al estudio de la historia y filosofía de las ideas matemáticas, entendidas éstas, como es la costumbre de este gru-po de trabajo, en su acepción más general. Se propone incluir trabajos que muestren al lector cómo trabajan los profesionales. Por ello, es de fundamental importancia que se presenten muestras de algunos de los resultados más recientes que, aparentemente, se encuentran en contra-dicción entre sí (e.g., la influencia y no influencia de Aristóteles en Euclides, le existencia y no-existencia de una álgebra geométrica entre los griegos). Los temas, enfoques y autores a quienes se les solicitarán directamente las contribuciones serán recomendados o sugeridos por el consejo editorial designado para cada uno de los períodos cronológicos previamente determinados. De tal forma que, por el momento, es impo-sible proporcionar una lista definitiva del contenido de cada volumen. Las metas a corto y largo plazo incluyen: • Depuración y formación del grupo interdisciplinario de investigado-res, ya que este grupo deberá estar conformado, al menos, por matemá-ticos, historiadores, filósofos, filólogos, científicos y pedagogos. Esta meta se deberá lograr durante los primeros tres meses de trabajo;


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• Elaboración de un bosquejo preliminar del contenido de los seis pri-meros volúmenes. • Edición de los volúmenes que contendrán las fuentes secundarias que discuten diversos aspectos de la historia y filosofía de las matemáticas. 7.2.2 Metodología El proyecto, en general, es dirigido por dos colegas nacionales. Su trabajo es asesorado directamente por cinco editores generales: los Drs. Thomas Archibald (expresidente de la Canadian Society for the History and Philosophy of Mathematics; Acadia University, Canada), Joseph W. Dauben (expresidente de la Comisión Internacional de Histo-riadores de las Matemáticas y ex-editor de Historia Mathematica, -CUNY, USA), Ivor Grattan-Guinness (exeditor de History and Philo-sophy of Logic y de Companion Encyclopedia on the History of Mat-hematics;1 Middlesex Polytechnic, Gran Bretaña), Eberhard Knoblock (Secretario de la Academia Internacional de Historia de la Ciencia; Berlín, Alemania) y Karen Parshall (actual presidente de la Comisión Internacional de Historiadores de las Matemáticas). Todos ellos han colaborado, con anterioridad, en algunos de los proyectos académicos aquí mencionados, tanto en la edición de Mathesis como con la organi-zación de los coloquios internacionales de filosofía e historia de las matemáticas. Estos cinco editores generales estarán asesorados por un panel de siete especialistas en cada período cronológico. Para el primer volu-men se tiene contemplado contar con la colaboración de Charles V. Jones (Ball State University) y Sabetai Unguru (Tel Aviv University), Alexander Jones (University of Toronto), Luis Vega (UNED) y Leonid Zmud (Universidad de San Petesburgo), entre otros. 7.2.3 Contenido tentativo

Enciclopedia de

historia y filosofía de las ideas matemáticas Volumen I. Desde los orígenes del hombre

hasta la caída del imperio romano Parte I. Los antecedentes

1. Por las características propias de la cultura británica, las necesidades, objetivos y

propiedades de esta enciclopedia son completamente diferentes a los de la enciclope-dia que aquí se propone.


Mathesis

Richard Gillings (University of New South Wales and Turramurra, Australia): “Matemáticas babilónicas y egipcias”;

Gerald J. Toomer (Brown University, USA): “Astrología, mitología y pseudociencia griega”;

Noel Swerdlow (University of Chicago, USA): “Música y astronomía griega”;

Parte II. Introducción Wilbur R. Knorr (Stanford University, USA). “Nuevas lecturas en ma-

temáticas griegas: fuentes, problemas y publicaciones”. Parte III. Temas epistemológicos Luis Vega (Universidad Nacional de Educación a Distancia, España):

“El método de demostración en las Matemáticas Griegas”; Jacob Klein (St John's College, Maryland): “Concepto de número y

aritmética entre los griegos”; J. Hintikka (Boston University, USA): “El método de análisis”; L. Zhmud (Universitetskaya, Rusia): “Matemáticas pre-euclidianas:

Tales y Pitágoras”; Erwin Neuenschwander (Universität Zürich, Suiza): “Textos geométri-

cos pre-euclidianos: los tres problemas clásicos”; D.H. Fowler (University of Warwick, Great Britain): “Matemáticas en

la Academia de Platón”; J. L. Berggren (Simon Fraser University, Canada): “Teoría de las pro-

porciones y el método de exhausión”; Charles V. Jones (Ball State University, USA): “Matemáticas en Aristó-

teles”; Sabetai Unguru (Tel Aviv University, Israel): “La estructura matemática

de Los Elementos de Euclides”; Ian Mueller (University of Chicago, USA): “Estructura filosófica de

Los Elementos de Euclides”; Wilbur Knorr (Stanford University, USA): “Parte I. Trabajos post-

euclidianos, las figuras mayores: Arquímedes y Apolonio”; Michael Mahoney (Princeton University, USA): “Parte II. Trabajos

post-euclidianos: figuras menores: Eratóstenes, Teodosio y Herón”; Alexander Jones (University of Toronto, Canada): “Los comentadores,

Pappo y Proclo”; Ivo Schneider (Universität München, Alemania): “Tecnología e inge-

niería en la antigüedad griega”.


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§8. Apéndice 3 8.3 Mathesis 8.3.1.Orígenes Ahora, para esta nueva serie que inicia en 2006 se propone que la revista se publique dos veces al año, en los meses de junio y diciembre. Cada volumen anual debe contener un número aproximado de quinientas páginas y tam-bién debe integrarse por las siguientes secciones, que no necesariamente apare-cen en todos los fascículos: • Artículos. Incluye ensa-yos originales y panorámi-cos, tanto en historia como en filosofía. Los artículos históricos y filosóficos deben incluir nuevos datos provenientes de fuentes primarias, análisis inéditos de datos ya conocidos, reseñas de trabajos históri-cos y filosóficos previos, evaluaciones de trabajos recientes de investigación histórica y filosófica, ma-nuscritos originales inédi-tos, traducciones o reim-presiones de materiales inaccesibles al común de los lectores y bibliografías anotadas y comen-tadas.

Mathesis, 1985 - 1997

Mathesis: filosofía e historia de las ideas matemá-ticas. Director: Alejandro Garciadiego Dantan (apoyado por un grupo de veinticinco especia-listas). La revista inició su publicación en febrero de 1985. Se imprimió en febrero, mayo, agosto y noviembre y se distribuyó internacionalmente. Se publicaron trece volúmenes completos. El costo de suscripción en México fue de $200.00 (indivi-duos) y $400.00 (instituciones); fuera de México, USD$40.00 (individual) y USD$70.00 (institu-cional). Mathesis apareció en el Índice de Revistas Científicas Mexicanas de Excelencia del CONA-CyT. Sus artículos fueron resumidos y clasifica-dos, entre otras, en: Historical Abstracts, America: History and Life, Historia Mathematica, Isis: Current Bibliography, Mathematical Reviews y The Philosophers Index. Mathesis publiccó ensa-yos de investigación original (con resúmenes en español e inglés); traducciones de fuentes prima-rias; reseñas de libros; ensayos-reseñas de obras más generales; noticias sobre la profesión; repor-tes de cursos, proyectos y obras en progreso; bibliografías y descripción de archivos. Esporádi-camente, también se incluyeron reimpresiones de libros agotados o poco accesibles y traducciones de fuentes secundarias —consideradas ya clásicas por los especialistas—. Se podían incluir ilustra-ciones y diagramas; la impresión de fotografías fue menos usual. Al término del proceso los auto-res recibían veinticinco separatas. En noviembre de 1997 se publicó un índice acumulativo (por autores y volúmenes). Se publicaron algunos fascículos temáticos (e.g., Bertrand Russell e Isaac Newton). Circulación: 1000 ejemplares.

1. Ficha técnica de Mathesis

• Clásicos matemáticos. Presenta traducciones al español de trabajos pasados que se consideran paradigmáticos en la disciplina. Estas tra-ducciones (e.g. Descartes y Cantor, entre otros) se realizan directamente del lenguaje original y están precedidas por textos introductorios que explican la naturaleza y relevancia de su contenido.


Mathesis

• Nuestros fundamentales. Presenta traducciones al español de trabajos históricos y/o filosóficos 'recientes' que se consideran primordiales —ya sea por su originalidad, trascendencia y/o relevancia— en la forma-ción de nuestra comunidad. • Notas educativas. Comprende la publicación de pequeños artículos, notas y noticias sobre diversos programas y cursos en las dos áreas mencionadas. En esta sección se incluyen ensayos que discuten los usos de la historia y la filosofía en educación matemática. • Proyectos de trabajo. Contiene información de proyectos académicos en prepa-ración o en pleno desarrollo, incluyendo temas de tesis, retos, preguntas y respues-tas. • Noticias y avisos. Informa a los lectores de congresos, reuniones, conferencias, invitaciones, notas necrológicas y otros eventos de interés que realice la comuni-dad de filósofos e historiadores. • Ensayo-reseña. Presenta reseñas extensas que intentan, en detalle, inspeccionar trabajos contemporáneos y pasados. Los ensayos están dedicados a algunas obras que se consideran clásicas en estas disciplinas. • Reseñas. Presenta revisiones críticas de obras, tanto pasadas como actuales, que conforman estas materias. • Fuentes. Informa a los lecto-res de los acervos de bibliote-cas y archivos de instituciones de países hispanohablantes para facilitar la localización de libros y revistas. También propone describir el contenido de las distintas revistas que se publican o se han publicado en lengua española (e.g., Mate-máticas y Enseñanza, Ciencia y Desarrollo, Investigación Científica, Historia Mexicana, Naturaleza, Revista de Occidente, etc.).

Víctor Albis UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, COLOMBIA Javier de Lorenzo UNIVERSIDAD DE VALLADOLID, ESPAÑA Celina Lértora CONICET, ARGENTINA Eduardo L. Ortíz IMPERIAL COLLEGE, INGLATERRA Luis Radford LAURENTIAN UNIVERSITY, CANADÁ José Antonio Robles UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Francisco Rodríguez Consuegra UNIVERSIDAD DE VALENCIA, ESPAÑA Ángel Ruiz UNIVERSIDAD DE COSTA RICA, COSTA RICA Carlos Solís UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTAN-CIA, ESPAÑA

2. Consejo Editorial de Mathesis (1993 - 1996)

• Información bibliográfica. Ofrece a los lectores la información bi-bliográfica que les permita mantenerse al día en el conocimiento de las más recientes publicaciones.


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8.3.2 Balance Una de las primeras metas propuestas fue editar una revista de calidad y circulación internacional que, por un lado, abriera un espacio a nuestros colegas para presentar los hallazgos de su investigación y que, por otro lado, a través de sus páginas, ayudara a la formación de futuros profe-sionales en la disciplina. Al no contar con un grupo numeroso de éstos -era menester que Mathesis se abocara también a la generación de nue-vos recursos humanos. Por estas y otras razones que sería demasiado complejo enumerar y explicar, en sus orígenes Mathesis se propuso editar material de investigación y formación académica. De hecho, durante los dos primeros años, mientras el comité editorial detectaba posibles autores, Mathesis se limitó a reeditar o traducir al español material ya conocido en otros idiomas. Por aquel entonces, los editores se preocuparon por imprimir material que mostrara al lector cuáles eran algunos de los criterios implícitos de calidad que se manejaban dentro de las comunidades ya establecidas. No fue sino hasta el primer fascícu-lo del tercer año cuando se publicó el primer ejemplar cuyo material era inédito en su totalidad. A partir de entonces la trayectoria fue de ascen-so continuo y se puede afirmar que las traducciones de material secun-dario que se realizaron posteriormente fueron mínimas. Sin embargo, de ninguna manera se piensa deslindar de esta responsabilidad. Mat-hesis ha decidido que mientras se tenga que trabajar en la línea de for-mación de personal especializado será necesario traducir algunos de los trabajos que, por diferentes razones, se consideran clásicos.


Mathesis

Independientemente de los trabajos que han sido explícitamente invitados, cada uno de los ensayos inéditos ha sido propiamente arbitrado y los trabajos no publicados originalmente en Mathesis se han reproducido con el consentimiento expreso y por escrito de los editores originales. Mat-hesis ha publicado ensayos originales de investigadores alemanes, argenti-nos, austriacos, británicos, canadienses, colombianos, costarricenses, espa-ñoles, estadounidenses, franceses e italianos, entre otros. Dentro de esta co-munidad mexicana, Mathesis ha presentado trabajos del personal acadé-mico de: la Facultad de Ciencias, Química, Instituto de Mate-máticas, Astronomía, Física, Investiga-ciones Filosóficas, Económicas y la Divi-sión de Estudios Superiores de la Escuela Nacional de Estudios Profesiona-les (ENEP, Acatlán, UNAM), entre otras. También se han im-preso trabajos de colegas de la Univer-sidad Autónoma Me-tropolitana, Instituto Politécnico Nacional, El Colegio de Méxi-co, de las universida-des de Puebla, Chi-huahua, Guadalajara, Durango y del Institu-to Tecnológico Autó-nomo de México, por mencionar unos cuan-tos.

Thomas Archibald ACADIA UNIVERSITY, CANADÁ Hoyra Benis-Sinaceur CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE, FRANCIA Kenneth Blackwell MCMASTER UNIVERSITY, CANADÁ Robert S. Cohen BOSTON UNIVERSITY, USA Amy Dahan-Dalmedico CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE, FRANCIA Ubiratan D'Ambrosio UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS, BRASIL Joseph W. Dauben CITY UNIVERSITY OF NEW YORK, USA Jean Dhombres UNIVERSITÉ DE NICE, FRANCIA Alberto Dou UNIVERSIDAD DE BARCELONA, ESPAÑA Craig Fraser UNIVERSITY OF TORONTO, CANADÁ Enrico Giusti BOLLETINO DI STORIA DELLE SCIENZE MATEMATICHE, ITALIA Ivor Grattan-Guinness MIDDLESEX POLYTECHNIC, INGLATERRA Rudolf Haller UNIVERISTÄT GRAZ, AUSTRIA Charles Jones BALL STATE UNIVERSITY, USA Tore Nordenstam UNIVERSITETET I BERGEN, NORUEGA Mario H. Otero UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA, URUGUAY Santiago Ramírez Castañeda (1991 - ...) UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO, MÉXICO René Taton ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES EN SCIENCES SOCIALES, FRANCIA

3. Consejo Consultivo de Mathesis (1986 - 1996)

Medir, de una manera concreta y objetiva, el ‘factor de impacto’ de la revista es imposible. Sin embargo, los directores si se han preocu-pado por que Mathesis sea comentada y revisada por los índices consul-tados por los especialistas y no tanto por los administradores o burócra-tas. Mathesis circula en cuatro continentes. Se sabe, además, que la


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revista forma parte del acervo bibliográfico de diversas instituciones de educación superior de América Latina donde es usada como material de texto en las áreas de historia, filosofía y pedagogía de las ciencias ma-temáticas. Hoy en día, Mathesis se encuentra en un nuevo período o serie. -Su estructura está formada por un director general, cuatro directores asociados, un consejo editorial —compuesto por nueve colegas—, un consejo consultivo —formado por otros trece especialistas— y por dos editores técnicos. Ambos consejos están integrados por especialistas en la disciplina y varios de ellos son editores (o ex-editores) de revistas semejantes en sus países de origen. La diferencia esencial entre los dos grupos es que los miembros del primero tienen al castellano como len-gua natal, a pesar de que algunos de ellos radican en países en los que el idioma oficial no es el castellano.

ARTÍCULOS Fernando Zalamea. Signos triádicos.

Lógicas, literaturas, artes. Nueve cruces latinoamericanos. . . . . . . . . . . . . 1-164

PROYECTOS DE TRABAJO Alejandro R. Garciadiego. Centro de Investi-

gaciones Multidisciplinarias y de Innovación Docente en Matemáticas. . . . . . . . . . 165-219

ISSN 0185-6200

MATHESIS

Enseñanza, pero no sólo aquella que se da, sino también aquella que se busca.

Acto de introducir las cosas en nuestro conocimiento. Mathesis es enseñar y aprender.

MATHESIS filosofía e historia de las ideas matemáticas

Director

Alejandro R. Garciadiego Universidad Nacional Autónoma de México

Directores Ejecutivos

César Guevara Bravo Claudia Palacios Macías Universidad Nacional Autónoma de México, México

Directores Asociados (2006-2008)

Javier de Lorenzo Universidad de Valladolid, España Eduardo Ortiz Imperial College, Gran Bretaña Luis Radford Universidad Laurentian, Canadá

Consejo de Directores (2006-2008) Atocha Aliseda Universidad Nacional Autónoma de México, México José Alfredo Amor Universidad Nacional Autónoma de México, México Leo Corry Universidad de Tel Aviv, Israel José Ferreirós Universidad de Sevilla, España Javier Legris Universidad de Buenos Aires, Argentina Sergio Nobre Universidad Estatal Paulista, Brasil Clara H. Sánchez Universidad Nacional de Colombia, Colombia Luis Vega Universidad Nacional de Educación a Distancia, España Fernando Zalamea Universidad Nacional de Colombia, Colombia

Consejo Consultivo (2006-2008) J. L. Berggren Universidad Simon Fraser, Canadá Umberto Bottazzini Universidad de Palermo, Italia Sergei Demidov Inst. Vavilov de Hist. de la Ciencia y la Tecnología, Rusia Mary Sol de Mora Charles Universidad del País Vasco, España Catherine Goldstein Universidad de París (Sur), Francia Wann-Sheng Horng Universidad Nacional Normal de Taiwan, Taiwan Jens Høyrup Universidad Roskilde, Dinamarca George Gheverghese Joseph Universidad de Manchester, Gran Bretaña Eberhard Knobloch Universidad Técnica de Berlín, Alemania Dun Liu Instituto para la Historia de las Ciencias Naturales, China Karen V. H. Parshall Universidad de Virginia, USA Chikara Sasaki Universidad de Tokio, Japón Mary E. Tiles Universidad de Hawaii (Manoa), USA

Con el patrocinio de: Coordinación de Humanidades, UNAM

Coordinación de la Investigación Científica, UNAM Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM

MATHESIS filosofía e historia de las ideas matemáticas

FINALIDAD Y NATURALEZA: Mathesis busca promover la creación de nuevo conocimiento que sea relevante —a través de la publicación de ensayos de investigación original y de proveer un foro de discusión abierta— en historia y filosofía de las ideas matemáticas. El enfoque multidisciplinario, internacional y multiétnico propone estrechar las relaciones académicas de un espectro muy amplio de colegas provenientes de una gran variedad de formaciones sociales. Mathesis no está comprometida con escuela o método alguno. No define una perspectiva, sino una disciplina. Mathesis está abierta a todos los puntos de vista, a todos los enfoques, a todos los métodos y a todos los aspectos de la historia y filosofía de las ideas matemáticas. Mathesis subyace dentro de un marco conceptual lo más amplio posible que contempla el estudio de la historia de las ideas matemáticas en todos los países del mundo (tanto las matemáticas occidentales tradicionales como las no tradicionales) y en todas las épocas (desde el origen del hombre hasta nuestros días), incluyendo etnomatemáticas, arqueoastronomía, matemáticas puras y aplicadas (y el desarrollo de los usos de ambas), escuelas de pensamiento, estilos matemáticos, estadística, probabilidad, enseñanza, ciencias actuariales, investigación de operaciones, ciencias de la computación (incluyendo política administrativa, ‘hardware’ —desde el ábaco hasta la computadora— y ‘software’ —e.g., algoritmos, lenguaje, notación y tablas—), cibernética, comunicación de las matemáticas (sistemas de información y bibliografías, entre otras), biografías de matemáticos, historiadores y filósofos, organizaciones e instituciones, historiografía, y cualquier aspecto que ilumine el desarrollo de las ideas matemáticas dentro de un contexto intelectual, cultural, político, económico y social. Desde el punto de vista filosófico, Mathesis comprende el estudio de la lógica, del método y el análisis de los conceptos matemáticos. Por su carácter multidisciplinario, Mathesis contempla el estudio de la historia y la filosofía de otras disciplinas —e.g., ciencias del hombre (antropología, psicología, pedagogía, entre otras), ciencias exactas (física, astronomía, química, y demás), ciencias naturales (biología, medicina, etc.), ciencias sociales (sociología, teoría política, relaciones internacionales, entre otras), humanidades (filosofía, leyes, etc.) y artes (literatura, pintura y escultura, y demás)— cuando su análisis, ya sea histórico o filosófico, arroje nueva luz sobre el entendimiento de los conceptos que conforman el ámbito matemático. En breve, a través de Mathesis se intenta estrechar más el apoyo mutuo entre los aspectos humanísticos de las ideas matemáticas y toda disciplina académica en la búsqueda común por una mejor comprensión del mundo que nos rodea. La revista se publica, primordialmente, en lengua vernácula, como se acostumbra en la disciplina, en un intento por profesionalizar estos estudios en los países de habla española. PERIODICIDAD: la revista se publica dos veces al año, en los meses de junio y diciembre. Cada volumen anual contiene un número aproximado de quinientas páginas.

ESTRUCTURA: la revista está integrada por las siguientes secciones, que no necesariamente aparecen en todos los fascículos:

Artículos. Incluye ensayos originales y panorámicos, tanto en historia como en filosofía. Los artículos históricos y filosóficos deben incluir nuevos datos provenientes de fuentes primarias, análisis inéditos de datos ya conocidos, reseñas de trabajos históricos y filosóficos previos, evaluaciones de trabajos recientes de investigación histórica y filosófica, manuscritos originales inéditos, traducciones o reimpresiones de materiales inaccesibles al común de los lectores y bibliografías anotadas y comentadas.

Clásicos matemáticos. Presenta traducciones al español de trabajos pasados que se consideran paradigmáticos en la disciplina. Estas traducciones (e.g. Descartes y Cantor, entre otros) se realizan directamente del lenguaje original y están precedidas por textos introductorios que explican la naturaleza y relevancia de su contenido.

Nuestros fundamentales. Presenta traducciones al español de trabajos históricos y/o filosóficos ‘recientes’ que se consideran primordiales —ya sea por su originalidad, trascendencia y/o relevancia— en la formación de nuestra comunidad.

Notas educativas. Comprende la publicación de breves artículos, notas y noticias sobre diversos programas y cursos en las dos áreas mencionadas. En esta sección se incluyen ensayos que discuten los usos de la historia y la filosofía en educación matemática.

Proyectos de trabajo. Contiene información de proyectos académicos en preparación o en pleno desarrollo, incluyendo temas de tesis, retos, preguntas y respuestas.

Noticias y avisos. Informa a los lectores de congresos, reuniones, conferencias, invitaciones, notas necrológicas y otros eventos de interés que realice la comunidad de filósofos e historiadores.

Ensayo-reseña. Presenta reseñas extensas que intentan, en detalle, inspeccionar trabajos contemporáneos y pasados. Los ensayos están dedicados a algunas obras que se consideran clásicas en estas disciplinas.

Reseñas. Presenta revisiones críticas de obras, tanto pasadas como actuales, que conforman estas materias.

Fuentes. Informa a los lectores de los acervos de bibliotecas y archivos de instituciones de países hispanohablantes para facilitar la localización de libros y revistas. También propone describir el contenido de las distintas revistas que se publican o se han publicado en lengua española (e.g., Matemáticas y Enseñanza, Ciencia y Desarrollo, Investigación Científica, Historia Mexicana, Naturaleza, Revista de Occidente, etc.).

Información bibliográfica. Ofrece a los lectores la información bibliográfica que les permita mantenerse al día en el conocimiento de las más recientes publicaciones.

Derechos Reservados © 2006 por Mathesis/UNAM (ISSN 0185-6200)

Mathesis. Departamento de Matemáticas, 026. Facultad de Ciencias, UNAM.Ciudad Universitaria. 04510 México D. F., México. Tel.:(5255) 56 22 48 58. Fax:(5255) 56 22 48 59. Correo-electrónico: [email protected].. Diseño:Isauro Uribe Pineda. Certificado de Licitud de Título número 5132. Certificado deLicitud de Contenido número 3905. Impresión: S y G Editores, Cuapinol No. 52,Santo Domingo de los Reyes, Coyoacán 04369, México, D. F., Tel.: 56 19 52 93.

Al someter un trabajo, el autor está de acuerdo en que los derechos de éste serán transferidos a la revista Mathesis (siempre y cuando sea aceptado para su publicación; sin embargo, la transmisión de los derechos no es requerida a quienes laboran para compañías que no permitan tal asignación). Por otro lado, es responsabilidad del autor obtener cualquier permiso necesario para la publicación de su ensayo. Todos los derechos de traducción, reproducción y adaptación están reservados. No se puede reproducir total o parcialmente el contenido de la presente obra, almacenarla en un sistema de recuperación de información, grabarla o trasmitirla a través de cualquier forma o por cualquier medio, ya sea éste electrónico, electrostático, mecánico, cinta magnética, fotocopiadora, microforma o cualesquiera otras formas similares. El permiso para fotocopiar especimenes para uso individual o para uso personal o interno de clientes específicos está autorizado por el editor a individuos y bibliotecas en el entendido de que una cuota de $50.00 (en México) o $5.00 USD (en el extranjero) por ensayo sea pagada directamente a Mathesis. Este consentimiento no se extiende a otros tipos de reproducción, como copiar para distribución general, para propósitos de promoción, para crear nuevas obras colectivas o para reventa. Mientras se hace todo esfuerzo porque no se trasmitan datos, opiniones o argumentos inexactos o engañosos en esta revista, tanto el impresor como los directores desean dejar claro que lo expresado en los artículos, notas, reseñas, avisos y anuncios es responsabilidad única del autor o del anunciante; por lo mismo, los directores ejecutivos, los directores asociados, los directores consultivos, (y sus respectivos empleadores y empleados), los oficiales y los agentes tampoco aceptan responsabilidad alguna sobre las consecuencias de la información vertida en esta publicación.

Los artículos que aparecen en esta revista son resumidos y clasificados en: Current Mathematical Publications, Historical Abstracts, America: History and Life, Historia Mathematica, Isis: Current Bibliography, Mathematical Reviews, MathSci y The Philosophers Index. Mathesis aparece en el índice de Revistas Científicas Mexicanas de Excelencia del CONACyT (convocatoria 1995).

El costo de la suscripción anual en México es de $200.00 (para individuos) y $400.00 (para instituciones); en el extranjero es de $35.00USD (para individuos) y $70.00USD (para instituciones), sujetos a cambio sin previo aviso. Las órdenes, acompañadas del pago correspondiente, deben hacerse a nombre de:

Mathesis y ser enviadas a:

Mathesis Departamento de Matemáticas, 026.

Facultad de Ciencias Ciudad Universitaria, UNAM

04510 México, D. F. MÉXICO

El pago de la suscripción con tarjeta de crédito

se realiza a través de la dirección: www.mathesis.unam.mx _____ o _____

Teléfono: (5255) 56 22 48 58

Fax: (5255) 56 22 48 59

Correo electrónico: [email protected] Página web: http://www.mathesis.unam.mx

** Cualquier reclamo de ejemplar extraviado debe hacerse inmediatamente al recibir el subsiguiente**

I N F O R M A C I Ó N P A R A A U T O R E S M A T H E S I S

Los trabajos (original y dos copias) deben ser sometidos para publicación a los editores de Mathesis a la siguiente dirección:

Departamento de Matemáticas, cubículo # 026 Facultad de Ciencias, Ciudad Universitaria

Universidad Nacional Autónoma de México 04510 México D. F.

México Se sugiere a los autores conservar una copia para su propia referencia. Todo ensayo inédito se recibe bajo la condición de que éste ha sido sometido a publi-cación únicamente a Mathesis. El autor deberá indicar específicamente la sección de la revista (e.g. ‘artículos’, ‘notas educativas’, ‘proyectos de trabajo’, ‘noticias y avisos’, etc.) que considere más apropiada para su ensayo, con la única excepción de las secciones ‘ensayo-reseña’ y ‘reseñas’, cuyos trabajos son requeridos directamente por los directores.

Los originales deben presentarse con letra grande y clara, y escritos a doble espacio. Los márgenes han de ser más anchos que lo normal a fin de permitir espacio suficiente (una norma aproximada sería: sesenta y cinco golpes por línea y venticinco líneas por cuartilla) para anotar instrucciones que los directo-res indican a los impresores.

Mathesis recurre a la asesoría de árbitros, quienes indican la pertinencia de publicar o no dicho ensayo; por esta razón el nombre, afiliación y dirección del autor deben aparecer únicamente en la cubierta o carátula del ensayo para que su identidad se mantenga confidencial. Una vez dictaminado el ensayo, los editores sugerirán el mínimo de cambios (generalmente relacionados con el formato y estilo de la propia revista) para acelerar la impresión de éste.

El idioma oficial único de Mathesis es el español, aunque algunas reseñas (en número limitado) pueden ser presentadas a los editores en otras lenguas. Sin embargo, todos los autores deberán incluir, junto con su ensayo, un breve resu-men del objetivo de su artículo, en los idiomas español e inglés de una extensión máxima de doscientas palabras cada uno de ellos. Los autores también deberán anexar una ficha curricular (máximo de cincuenta palabras) donde anotarán su afiliación, formación académica, área de trabajo, títulos de algunas de sus publi-caciones más recientes y el tema de su proyecto actual de investigación.

Los autores tienen completa libertad en cuanto a la posible extensión del ensayo —en algunos casos, tal vez, sea necesario dividir el ensayo original en dos o tres partes debido a una longitud poco usual—. Las notas a pie de página deben estar numeradas en orden consecutivo y deberá reiniciar en cada página. La numeración de las notas dentro del texto central deberá aparecer con super-índices, por fuera de la puntuación.

Dentro de lo posible, en el caso de aquellas obras que ya hayan sido tradu-cidas de otras lenguas al español, el autor deberá citar la obra en español, la que quizá se encuentra más fácilmente a disposición de la mayoría de los lectores. La información bibliográfica relacionada con citas textuales ha de incluirse a través del texto entre corchetes de la siguiente manera: [Galileo 1975c II, 119], para indicar la cita tomada de la página 119 del segundo tomo de la obra de Galileo publicada en 1975. Añadimos siempre a la fecha de la publicación un caracter alfabético minúsculo para distinguir entre aquellas obras publicadas por un mismo autor en un mismo año.

Información para autores

La lista completa de referencias bibliográficas aparecerá al final del artículo en una única relación alfabética ordenada por autores y, dentro de este orden, observará un suborden cronológico. En el caso de libros, la referencia bibliográ-fica deberá contener los siguientes datos: Nombre completo del autor, primero su apellido paterno en mayúsculas, enseguida su nombre de pila; año de publi-cación con su propio caracter alfabético; título completo del libro subrayado (itálicas); lugar de edición (seguido por dos puntos) y nombre del editor (o casa impresora); a continuación, entre paréntesis, se puede incluir información adi-cional (e.g., el nombre de la colección a la que pertenece el texto, número de edición —en caso de no ser la primera— y año de publicación de ésta, entre otros). Todos y cada uno de estos datos deberán estar seguidos por un punto y seguido, con excepción del lugar de la edición.

En caso de ser una traducción deberá tratarse, dentro de lo posible, de indi-car inmediatamente la fuente original (entre corchetes y conteniendo los mis-mos datos, pero cambiando y normalizando el orden de los nombres del autor y trasladando el año de publicación a la posición final). Por ejemplo:

POINCARÉ, Henri. 1944a. Ciencia y Método. Madrid: Espasa Calpe. (Col. Austral # 409. Tercera edición, 1963). [Henri Poincaré. Science et Méthode. Paris: Flammarion. 1908].

En el caso de un artículo contenido en una revista, la referencia debe contener los siguientes datos: Nombre del autor; fecha de publicación; título del artículo, entre comillas; título de la revista subrayado (itálicas); número del volumen, (en negritas), seguido por dos puntos; y, finalmente, el número de las páginas entre las que está comprendida la mencionada referencia. Por ejemplo:

PALTER, Robert. 1987a. ‘‘Saving Newton's text: Documents, Readers, and Ways of the World’’. Studies in History and Philosophy of Science 18: 385-439.

Para el caso de un ensayo contenido en un libro o colección de ensayos deberá seguirse el modelo indicado por el siguiente ejemplo:

DAUBEN, Joseph. 1984a. ‘‘El desarrollo de la teoría de conjuntos cantoriana’’, contenido en: Ivor Grattan-Guinness (editor). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una introduc-ción histórica. Madrid: Alianza Editorial. (Col. Alianza Universidad # 387. Traducción de Ma-riano Martínez Pérez). Pp. 235-282. [Ivor Grattan-Guinness (editor). From Calculus to Set The-ory, 1630-1910. An Introductory History. London: Duckworth. 1980].

Es también importante marcar con claridad —a fin de evitar al impresor cualquier tipo de confusión— todos aquellos símbolos, ecuaciones y fórmulas matemáticas; alfabetos poco usuales; fórmulas químicas y físicas, caracteres especiales y acentos diacríticos. También es publicable un reducido número de dibujos o esquemas, los cuales deben ser reproducibles directamente de la copia enviada por el autor; en este caso sólo es posible imprimir motivos a línea en blanco y negro y no en medio tono. El material gráfico deber estar separado del texto con la respectiva indica-ción, señalando dónde ha de ser incluido cada uno de los diagramas.

Una vez aprobada, revisada y corregida, el autor debe enviar la versión fi-nal de su ensayo impresa, y capturada en disco o CD, utilizando alguno de los siguientes procesadores de palabras para IBM-PC: Microsoft Word, Word Perfect; o enviar un archivo ‘adjunto’ dentro de un mensaje electrónico a la dirección: [email protected]

Finalmente, ya publicada la revista, el autor recibirá veinticinco sobretiros de su trabajo, sin cargo alguno, para su uso personal.

Signos triádicos. Lógicas, literaturas, artes. Nueve...

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