Simulación en Ingeniería Eléctrica

ELI-213

INFORME: GUÍA DE TRABAJO N° 2

ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Profesor: - Esteban Gil Sagás

Integrantes: - Sebastián Flores Carrasco

- Carlos Vergara Branje

Fecha: 04/04/2014

Parte 1 Pregunta A: Desarrolle una expresión usando series de Taylor para aproximar

para

valores en torno a . ¿Cuánto es el valor de la cota superior asintótica del error para una

aproximación de primer orden?

Solución:

El código programado en MATLAB para este problema fue:

Esto nos arroja el resultado:

Por lo tanto el valor de la cota superior asintótica es , que nos dice que para este

caso, aproximando la función

con serie de Taylor usando un solo término, la función que crece

más rápido es esa, que coincide con la única función que tiene la serie.

Parte 1 Pregunta B: Usando sólo términos de primer orden de la aproximación, muestre

gráficamente cómo se comporta la aproximación en la medida que el valor de se aleja de 0.

Solución:

El código programado en MATLAB para este problema fue:

Donde la función , que corresponde a la serie de Taylor de primer orden de la función es

obtenida de la pregunta anterior.

Entregando el siguiente gráfico:

Como se observa, el valor es el mismo en , pero a medida que se aleja, la serie de Taylor de

orden 1 con la función real no tienen ningún parecido.

Era de esperarse, ya que solo se consideró 1 término en la aproximación por serie de Taylor, por lo

que el rango donde se parece la aproximación por Taylor es casi nula.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

X: 0

Y: 1

x

-1/(x - 1)

Parte 1 Pregunta C: Compare gráficamente cómo se comporta la aproximación en torno a 0 en la

medida que se usan términos de orden superior para la aproximación. Muestre gráficamente que

para fuera de cierto rango, la aproximación por series de Taylor en torno a 0 empeora en la

medida que se aumenta el orden de la aproximación. ¿Por qué sucede eso?

Solución:

El código en MATLAB programado para este problema fue:

Lo que arroja el siguiente gráfico:

Como se observa, a medida que aumenta el número de términos considerados de la serie de

Taylor, la aproximación se acerca más a la función real.

También se aprecia que la aproximación es cercana en torno a , siendo un intervalo de no

mas de . Pasando ese rango, el ya no se asemeja mucho al valor real, en especial si la

aproximación por series de Taylor considera pocos factores.

Por ejemplo, en el error absoluto es menor a .

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x

x + x2 + x3 + x4 + 1

funcion f

aproximaciones por Taylor

Parte 1 Pregunta D: Muestre gráficamente que la función se puede aproximar bastante

bien por un polinomio de Taylor de grado 7 para un período completo en torno al origen.

Solución:

El código programado en MATLAB para este problema fue:

Lo que arroja el siguiente gráfico:

Como se observa, para , la aproximación por series de Taylor se asemeja a la función

real, existiendo un error absoluto en los extremos de , lo cual es súper poco.

De hecho los valores de la aproximación por serie de Taylor son iguales a la función real entre

.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1

-0.5

0

0.5

1

x

x - x3/6 + x5/120

función real

aproximación por serie de Taylor

Pregunta E: Para las funciones , y , grafique cómo evolucionan el error absoluto

y el relativo al truncar sus series de Taylor respectivas para distinto número de términos en la

aproximación (pruebe de 1 a 20 términos) y para valores de entre 0 y 20.

Solución:

El código programado en MATLAB para este problema fue:

A continuación están los códigos para graficar lo pedido:

Lo que arroja los siguientes gráficos:

1. Gráficos de error absoluto versus cantidad de términos en la serie de Taylor

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

x

error absoluto versus cantidad de términos (sen(x))

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

1.5

2

x

error absoluto versus cantidad de términos (cos(x))

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

20

40

60

80

x

error absoluto versus cantidad de términos (ex)

2. Gráficos de error relativo versus cantidad de términos en la serie de Taylor

3. Gráficos de error absoluto versus valor de X en la serie de Taylor (10 términos)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

x

error relativo versus cantidad de términos (sen(x))

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

50

100

150

200

x

error relativo versus cantidad de términos (cos(x))

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

2000

4000

6000

8000

x

error relativo versus cantidad de términos (ex)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

1

2

3x 10

4

x

error absoluto versus valor de X (sen(x))

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

2

4

6

x 104

x

error absoluto versus valor de X (cos(x))

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

x 108

x

error absoluto versus valor de X (ex)

4. Gráficos de error relativo versus valor de X en la serie de Taylor (10 términos)

Según lo anterior se pueden sacar las siguientes conclusiones:

1. Aumento de términos en la serie de Taylor:

Ya que la serie es periódica, el error absoluto también es periódico, siendo cero cada ciertos

intervalos, dependiendo de la cantidad de términos en la serie de Taylor. De todas formas el error

absoluto en torno a , ya que la aproximación independiente del orden de la serie evaluada

en ese valor de da cero.

Respecto al gráfico de error relativo, no se puede analizar, ya que en la obtención del error

absoluto hay una división por (punto en el que se pide evaluar). Pero si se evaluara en

algún punto donde no ocurra esta división deberíamos observar un comportamiento periódico

también para el error relativo.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-2

0

x 106

x

error relativo versus valor de X (sen(x))

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

0

x 106

x

error relativo versus valor de X (cos(x))

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

50

100

x

error relativo versus valor de X (ex)

Al igual que la función seno, esta serie es periódica, por lo que el error absoluto se presenta como

0, para cierto período, dependiendo de la cantidad de términos que se ocupan en la serie de

Taylor.

A diferencia de la función anterior, acá se observa el comportamiento periódico del error relativo,

variando el período según la cantidad de términos de la serie de Taylor.

Para esta función tanto error absoluto como relativo se comportan de la misma forma, en la que

dado que la derivada de la función es la misma, la diferencia respecto a la serie de Taylor se da

según el orden del que aparece (dado el término). Gráficamente esto se ve en la forma potencial

que tiene el error.

Por eso, para valores menores a 0, el error se da por aproximación, dada la capacidad de dígitos

que puede representar la máquina, mientras que los errores para mayor a 0 se dan por la razón

anteriormente mencionada.

2. Variación de valor de X, con 10 términos en la serie de Taylor:

Para el caso de las funciones periódicas y , tanto para el error absoluto como para el

error relativo, a pesar de que se toman 10 términos en la serie de Taylor, el rango para el cual

estos errores son mínimos es súper limitado.

Ya alejándose de los errores alcanzan porcentajes del orden para el caso del error

absoluto y del orden para el caso del error relativo.

Para el caso de la función , a medida que el valor de aumenta de 0, el error absoluto no es

tanto, para un rango limitado, pero para valores de el error se dispara, llegando al orden de

.

Esto se debe a que es un número irracional, por lo que su representación en binario, para sus

potencias negativas implican un error de redondeo.

En cuanto al error relativo de esta función, dado el orden del error absoluto, se observa que el

error relativo es mínimo solo para valores de cercanos a 0.

Pregunta F: Desarrolle una expresión para el error relativo asociado a la aproximación de primer

orden de la derivada de usando diferencias finitas. Grafique el error relativo asociado a la

aproximación para y . Explique en qué rango predomina el error de

redondeo y en qué rango predomina el error de truncamiento. ¿Cuál es el tamaño de paso

óptimo?

Solución:

El código programado en MATLAB para este problema fue:

Lo que entrega el siguiente gráfico:

Como se observa, para pasos de menores a el error relativo es casi 0, aunque debería

existir un error, y eso es exclusivamente por error de truncamiento, ya que como el método de

diferencias finitas implica la resta:

donde es un número pequeño, por lo que en la resta con 1 hay un error grande de

truncamiento, dada la cantidad de decimales que hay. Por eso el software no reconoce el error

asociado a la diferencia finita de orden 1.

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

0

10

20

30

40

50

60

70

paso h

error relativo versus paso h

err

or

rela

tivo %

Para valores de paso mayores a , el error es exclusivo por redondeo, ya que la aproximación

por diferencias finitas de orden 1 no es suficiente. Lo mismo que pasa cuando se usa serie de

Taylor, el error por uso de aproximaciones por métodos es error de redondeo.