El Método Simplex.

Paso 0 : Escribir el problema de programación lineal en su forma estándar.

Paso 1 : Escoger una solución básica factible inicial.

Paso 2 : Escoger una variable no - básica con costo reducido negativo que determina la variable entrante y seguir al paso tres. Sin embargo, si todos los costos reducidos son mayores que cero , parar, ya que la actual solución es la óptima.In

vest

igac

ión

de

Op

erac

ion

es -

IC

I423

Programación Lineal

II.4. El Método Simplex.

Paso 3 : Calcular el criterio de factibilidad que determina que variable deja la base. Si todos los cuocientes son negativos: problema no - acotado, parar.

Paso 4 :Actualizar la tabla de modo de despejar el valor de las nuevas variables básicas, los costos reducidos y el valor de la función objetivo. Volver al Paso 2.

Inve

stig

ació

n d

e O

per

acio

nes

- I

CI4

23

Programación Lineal

El Método Simplex.

Ejemplo.

Resolver el siguiente problema de P.L.

Max 40x + 60y

sa: 2x + y 70

x + y 40

x + 3y 90

x,y 0

Inve

stig

ació

n d

e O

per

acio

nes

- I

CI4

23

Programación Lineal

II.4. El Método Simplex.

Se deben agregar 3 variables de holgura ( x1 , x2 , x3

var.básicas), y llevar a forma estándar (x4 = x y x5 = y).

Min -40x4 – 60x5

sa: x1 + 2x4 + x5 = 70

x2 + x4 + x5 = 40

x3 + x4 + 3x5 = 90

xi 0, i = 1, 2, 3, 4, 5

Inve

stig

ació

n d

e O

per

acio

nes

- I

CI4

23

Programación Lineal

II.4. El Método Simplex: Tabla inicial:

Inve

stig

ació

n d

e O

per

acio

nes

- I

CI4

23

Programación Lineal

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 0 0 -40 -60 0

X1 1 0 0 2 1 70

X2 0 1 0 1 1 40

X3 0 0 1 1 3 90

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 0 0 -40 -60 0

X1 1 0 0 2 1 70

X2 0 1 0 1 1 40X3 0 0 1 1 3 90

303/90

401/40

701/70

Min

Var Entrante: X5 Mayor Contribución

Var Saliente: X3

Inve

stig

ació

n d

e O

per

acio

nes

- I

CI4

23

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 0 0 -40 -60 0

X1 1 0 0 2 1 70

X2 0 1 0 1 1 40X5 0 0 1/3 1/3 3/3 90/3

.Reglón Pivote:

Nuevo Reglón Pivote= Renglón Pivote Actual / Elemento Pivote

0/3 0/3 1/3 1/3 3/3 90/3

El Método Simplex: Operaciones Reglón de Gauss-JordanIn

vest

igac

ión

de

Op

erac

ion

es -

IC

I423

.

Todos los Demas Reglones, Incluyendo Z (Fc Objetivo)

Nuevo Reglón= Renglón Actual - (Su Coef. Colum. Pivote) x Nuevo Reglón Pivote

Nuevo Reglón Z=Reglón Z actual – (-60)x Nuevo Reglón Pivote

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 0 0 -40 -60 0

X1 1 0 0 2 1 70

X2 0 1 0 1 1 40

X5 0 0 1/3 1/3 1 30

Z 0-(-60)x0 0-(-60)x0 0-(-60)x1/3 -40-(-60)x1/3 -60-(-60)x1 0-(-60)x30

Z0 0 20 -20 0 1800

.

Todos los Demas Reglones, Incluyendo Z (Fc Objetivo)

Nuevo Reglón= Renglón Actual - (Su Coef. Colum. Pivote) x Nuevo Reglón Pivote

Nuevo Reglón X1=Reglón X1 actual – (1)x Nuevo Reglón Pivote

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 0 20 -20 0 1800

X1 1 0 0 2 1 70

X2 0 1 0 1 1 40

X5 0 0 1/3 1/3 3/3 30

X1 1-(1)x0 0-(1)x0 0-(1)x1/3 2-(1)x1/3 1-(1)x1 70-(1)x30

X11 0 -1/3 5/3 0 40

.

Todos los Demas Reglones, Incluyendo Z (Fc Objetivo)

Nuevo Reglón= Renglón Actual - (Su Coef. Colum. Pivote) x Nuevo Reglón Pivote

Nuevo Reglón X2=Reglón X2 actual – (1)x Nuevo Reglón Pivote

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 0 20 -20 0 1800

X1 1 0 1/3 5/3 0 40

X2 0 1 0 1 1 40

X5 0 0 1/3 1/3 3/3 30

X2 0-(1)x0 1-(1)x0 0-(1)x1/3 1-(1)x1/3 1-(1)x1 40-(1)x30

X20 1 -1/3 2/3 0 10

.

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 0 20 -20 0 1800

X1 1 0 1/3 5/3 0 40

X2 0 1 -1/3 2/3 0 10

X5 0 0 1/3 1/3 1 30

Al examinar la Tabla se ve que no es óptimo, por que la variable no básica X4 tiene un coeficiente negativo en el reglón Z.

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 0 20 -20 0 1800

X1 1 0 1/3 5/3 0 40

X2 0 1 -1/3 2/3 0 10X5 0 0 1/3 1/3 1 30

90)3/1/(30

15)3/2/(10

24)3/5/(40

Min

Var Entrante: X4 Mayor Contribución

Var Saliente: X2

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 0 20 -20 0 1800

X1 1 0 1/3 5/3 0 40

X2 0/(2/3) 1/(2/3) -1/3/ (2/3) 2/3/(2/3) 0/(2/3) 10/(2/3)X5 0 0 1/3 1/3 1 30

.Reglón Pivote:

Nuevo Reglón Pivote= Renglón Pivote Actual / Elemento Pivote

0 3/2 -1/2 1 0 15

El Método Simplex: Operaciones Reglón de Gauss-Jordan

.

Todos los Demás Reglones, Incluyendo Z (Fc Objetivo)

Nuevo Reglón= Renglón Actual - (Su Coef. Colum. Pivote) x Nuevo Reglón Pivote

Nuevo Reglón Z=Reglón Z actual – (-20)x Nuevo Reglón Pivote

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 0 20 -20 0 1800

X1 1 0 1/3 5/3 0 40

X4 0 3/2 -1/2 1 0 15

X5 0 0 1/3 1/3 1 30

Z 0-(-20)x0 0-(-20)x3/2 20-(-20)x(-1/2) -20-(-20)x1 0-(-20)x0 1800- (-20)x15

Z0 30 10 0 0 2100

.

Todos los Demas Reglones, Incluyendo Z (Fc Objetivo)

Nuevo Reglón= Renglón Actual - (Su Coef. Colum. Pivote) x Nuevo Reglón Pivote

Nuevo Reglón X1=Reglón X1 actual – (1)x Nuevo Reglón Pivote

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 30 10 0 0 2100

X1 1 0 1/3 5/3 0 40

X4 0 3/2 -1/2 1 0 15

X5 0 0 1/3 1/3 1 30

X1 1-(5/3)x0 0-(5/3)x(3/2)(1/3)-(5/3)x(-

1/2) (5/3)-(5/3)x1 0-(5/3)x0 40-(5/3)x15

X11 -5/2 1/2 0 0 15

.

Todos los Demas Reglones, Incluyendo Z (Fc Objetivo)

Nuevo Reglón= Renglón Actual - (Su Coef. Colum. Pivote) x Nuevo Reglón Pivote

Nuevo Reglón X1=Reglón X1 actual – (1)x Nuevo Reglón Pivote

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 30 10 0 0 2100

X1 1 -5/2 1/2 0 0 15

X4 0 3/2 -1/2 1 0 15

X5 0 0 1/3 1/3 1 30

X5 0-(1/3)x0 0-(1/3)x(3/2)(1/3)-(1/3)x(-

1/2) 1/3-(1/3)x1 1-(1/3)x0 30-(1/3)x15

X50 -1/2 1/2 0 1 25

.

No debemos seguir iterando, debido a que no hay ningún coeficiente de la función objetivo que sea negativo. Según lo anterior los resultados del tableau se interpretan:

Punto Óptimo f(x4, x5 ) = 40 x 15 + 60 x 25 = 2100

X4= 15X5 = 25

Queda una Holgura de X1 =15, de la restricción 1

x1 x2 x3 x4 x5  

Z 0 30 10 0 0 2100

X1 1 -5/2 1/2 0 0 15

X4 0 3/2 -1/2 1 0 15

X5 0 -1/2 1/2 0 1 25

Inve

stig

ació

n d

e O

per

acio

nes

- I

CI4

23

II.4. El Método Simplex.

z* = - 40 x 15 - 60 x 25 = - 2100

En la formulación inicial, tenemos como solución óptima x*=15, y *=25, con valor óptimo 2.100.

Inve

stig

ació

n d

e O

per

acio

nes

- I

CI4

23

0

0

x

xx

25

15

15

x

x

x

x3

2

D

5

4

1

B

Programación Lineal