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Trabajo de Fin de Máster Ingeniería Industrial Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente para reactores de fusión nuclear MEMORIA Autor: Gerard López Cabrera Director: Daniel Suarez Cambra Convocatoria: Enero 2020 Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona

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Trabajo de Fin de Máster

Ingeniería Industrial

Simulación MHD en el campo del plasma confinado

magnéticamente para reactores de fusión nuclear

MEMORIA

Autor: Gerard López Cabrera Director: Daniel Suarez Cambra Convocatoria: Enero 2020

Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona

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Resumen

El presente proyecto se basa en la aplicación y validación de un código de cálculo de

magnetohidrodinámica (MHD) implementado en el entorno de OpenFOAM® para su

posterior aplicación en el análisis del plasma que se confina magnéticamente en el reactor

Tokamak, para conseguir la obtención de energía útil mediante fusión nuclear.

En el proyecto se realiza un estudio exhaustivo del comportamiento del plasma mediante el

código mencionado en la representación de un cubo. Las diferentes simulaciones permiten

estudiar tanto el comportamiento del plasma como la resolución de los resultados

considerando diferentes mallados. Permiten también hacer análisis de parámetros

importantes en el MHD, y así poder referenciar una validación del código según los

resultados presentados por Morales en [1].

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ÍNDICE

RESUMEN ___________________________________________________ 3

1. INTRODUCCIÓN __________________________________________ 6

1.1. Objetivo y alcance .......................................................................................... 6

1.2. Glosario .......................................................................................................... 7

1.3. Nomenclatura ................................................................................................. 8

2. ANTECEDENTES __________________________________________ 9

2.1. Fusión nuclear ............................................................................................. 10

2.1.1. Plasma ............................................................................................................. 11

2.2. Situación actual ............................................................................................ 12

3. ASPECTOS FÍSICOS ______________________________________ 14

3.1. Hidrodinámica .............................................................................................. 14

3.2. Electromagnetismo ...................................................................................... 15

3.3. Magnetohidrodinámica................................................................................. 16

4. ALGORITMOS ___________________________________________ 18

4.1. Discretización ............................................................................................... 18

4.2. Acoplamiento P/U ........................................................................................ 22

4.3. Acoplamiento B/U ........................................................................................ 24

4.4. MHDFoam ................................................................................................... 26

5. DESARROLLO ___________________________________________ 29

5.1. Caso de estudio ........................................................................................... 29

5.1.1. Estado inicial .................................................................................................... 29

5.1.2. Parámetros de interés ...................................................................................... 30

5.1.3. Resultados ....................................................................................................... 31

5.1.4. Convergencia de malla .................................................................................... 36

5.1.5. Validación del código ....................................................................................... 40

5.1.6. Función de densidad de probabilidad (PDF) .................................................... 43

5.1.7. Transformada rápida de Fourier (FFT) ............................................................. 45

6. PROYECTO _____________________________________________ 49

6.1. Planificación ................................................................................................. 49

6.2. Presupuesto ................................................................................................. 50

6.3. Impacto medioambiental .............................................................................. 50

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7. CONCLUSIONES _________________________________________ 51

8. AGRADECIMIENTOS ______________________________________ 53

9. ÍNDICE DE TABLAS E ILUSTRACIONES ______________________ 54

9.1. Índice de ilustraciones .................................................................................. 54

9.2. Índice de tablas ............................................................................................ 55

10. BIBLIOGRAFÍA __________________________________________ 56

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1. Introducción

Desde la aparición del primer reactor de fusión nuclear desarrollado por Andrei Sakharov en

1950 [2], muchos han sido los avances que se han basado en este primer diseño para

confinar el plasma mediante campos magnéticos toroidales, que da cabida a la fusión

nuclear.

La experimentación con plasma para fusionar átomos de deuterio y tritio está teniendo

mucho interés recientemente con la aparición del proyecto denominado ITER [2]. El gran

reto al que se enfrenta este proyecto es encontrar una solución al excesivo consumo de

energía que necesitaría una central nuclear de este tipo para poder generar plasma.

Dada la generación de energía mediante fusión nuclear y su complejidad, en este proyecto

se estudia un fenómeno fundamental para la obtención de esta energía, concretamente el

flujo de plasma y sus particularidades.

1.1. Objetivo y alcance

El objetivo principal de este trabajo es el de validar un código implementado en el paquete

software OpenFOAM® en el que se pueda observar el comportamiento del campo de

plasma generado a muy alta temperatura para la producción de fusión nuclear dentro de un

reactor.

Asimismo, el trabajo tiene por finalidad explicar físicamente las particularidades que sufre el

plasma en un cubo, como representación infinitesimal de un campo infinito de plasma. Se

estudian diversos parámetros para comprobar si las simulaciones realizadas con el

mencionado programa son válidas o no. Por su parte, también se estudia la obtención de la

malla idónea valorando el tiempo de computación y resolución de los resultados, así como la

realización de otros análisis para explicar con mayor detalle el comportamiento del plasma.

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1.2. Glosario

MHD: Fluido magnetohidrodinámico. Propiedad de un fluido cuyo movimiento viene dado

por un campo magnético.

CFD: Dinámica de fluidos computacional. Análisis de fluidos mediante algoritmos no

calculables sin ayuda de un ordenador.

Tokamak: Cámara toroidal con bobinas magnéticas que permiten la contención del plasma.

ITER: Experimento científico cuya finalidad es la creación de un reactor termonuclear para la

aplicación de la fusión nuclear como producción de energía.

Moderador: Elemento clave en los reactores de fisión nuclear cuya función es frenar los

neutrones para una mayor probabilidad de fisión.

Stellarator: Dispositivo para confinar plasma mediante campos magnéticos para mantener

reacciones de fusión nuclear de forma controlada.

PISO: Pressure Implicit with Splitting Operators. Algoritmo para el cálculo iterativo doble de

problemas para dos incógnitas dependientes entre sí.

SIMPLE: Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations. Algoritmo para el cálculo

iterativo de problemas para dos incógnitas dependientes entre sí.

GCI: Índice de convergencia de refinado de malla.

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1.3. Nomenclatura

𝐵 Componente campo magnético 𝑩 Vector campo magnético

𝑈 Componente velocidad 𝒖 Vector campo velocidades

𝐸 Energía 𝒇𝒃 Fuerza de Lorentz

𝑉 Volumen 𝑬 Campo eléctrico

𝑇 Temperatura 𝝎 Vorticidad

𝐶 Número de Courant 𝒋 Densidad de corriente

𝑛 Número de átomos 𝑺 Fuente exterior

𝑝 Caída de presión 𝜌 Densidad

𝑡 Tiempo 𝜀 Disipación magnética

𝑒 Error relativo Γ Coeficiente de difusión

𝑟 Valor residual 𝜎 Conductividad

𝐹 Flujo másico convectivo 𝛽 Constante inicialización

𝑃 Presión 𝜙 Variable conocida paso anterior

𝐷 Conducción difusiva 𝜇 Permeabilidad

𝜆 Difusividad magnética

𝜈 Viscosidad cinemática

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2. Antecedentes

Desde la observación científica llevada a cabo por Albert Einstein en cuanto a la relación

existente entre la energía y la masa de un átomo, se ha intentado sacar partido durante

décadas de la energía desprendida por la fisión o fusión nuclear de un átomo [2].

En sí, tanto el fenómeno de fisión como el de fusión constatan que la conservación de masa

de los átomos utilizados no se conserva entre antes y después de su práctica, por lo que el

resto se convierte, finalmente, en energía de radiación y posteriormente en térmica. Esta

energía es evacuada por un refrigerante que permite a través de un ciclo termodinámico,

como por ejemplo Rankine o Brayton, impulsar unas turbinas que generen electricidad.

La fisión nuclear, cuyo potencial se descubrió por los investigadores Otto Hahnv y Fritz

Strassman en 1938 [3] se ha estado utilizando desde 1954 como fuente de energía. Sin

embargo, los productos generados en la fisión nuclear pueden llegar a desintegrarse en

millones de años. Esto resulta una gran problemática que ha hecho replantearse esta

obtención de energía como fuente de energía a nivel comercial.

Por su parte, la fusión nuclear cuyo objetivo es el de fusionar núcleos ligeros para generar

un nuevo elemento y consigo una gran generación de calor permite obtener energía de

forma más limpia que la fisión nuclear dado el corto tiempo que tienen los productos de ésta

para semidesintegrarse en comparación con los de fisión.

Su gran problemática a día de hoy, es que para poder utilizarse se debe disponer de

temperaturas muy altas para generar plasma. Actualmente se está estudiando la mejor

manera de poder desarrollar la tecnología como fuente de energía en unas décadas.

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2.1. Fusión nuclear

La fusión nuclear es una forma de generación de energía aún en modo experimental. Se

desconoce cuál es la forma más factible de realizar fusión nuclear para la generación de

energía de carácter comercial. Sin embargo, se sabe que los dos núcleos que fusionen

tienen que ser ligeros para así obtener un átomo más estable [4].

Su estudio proviene de la observación de las fusiones de He que se producen en el Sol a

millones de grados de temperatura [5].

Para conseguir este tipo de fusiones en la Tierra se debe llegar a temperaturas similares e

incluso superiores a las generadas por el Sol, dado que éste ejerce presión en su núcleo

para crear las fusiones. Estas presiones son imposibles de alcanzar en la Tierra y por ello se

debe trabajar a mayores temperaturas.

Para obtener esta temperatura es necesario crear un campo magnético alrededor de un

reactor, el que se estudia en este proyecto se denomina Tokamak y forma parte del

proyecto ITER que posteriormente se detallará. En este reactor, se consigue generar el

campo magnético con una serie de electro-imanes refrigerados cerca del cero absoluto con

helio líquido para poder evacuar toda la energía térmica posible.

De esta manera y consiguiendo unas temperaturas de alrededor de 150 millones de grados

Celsius se genera el desprendimiento de los electrones por parte de los núcleos de las dos

substancias a fusionar, generando así un estado de plasma.

La alta temperatura permite que los núcleos empiecen a vibrar obteniendo así una mayor

energía cinética. Con dicha energía cinética se pueden llegar a neutralizar las fuerzas

colombianas existentes entre los diferentes núcleos y así permitir la fusión de los dos

núcleos ligeros.

En cuanto a tipos de fusiones existen múltiples, pero en el presente proyecto solo se

mencionarán dos.

La primera es la de deuterio (2H) con deuterio. Su ventaja es que el deuterio se encuentra en

abundancia en la naturaleza y de forma ilimitada. Sin embargo, su inconveniente es aún

mayor dado que la probabilidad de fusión es muy baja, y costaría mucho poder conseguir

las fusiones necesarias para generar energía.

𝐻 + 𝐻 → 𝐻 3

2

2 + 𝑝 (2.1)

La otra manera, más viable que la anterior, sería la de utilizar deuterio en fusión con el

isotopo del hidrógeno 3H llamado Tritio. Las desventajas, por su parte, son la falta de

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abundancia del Tritio así como su radioactividad, 12 años de periodo de semi-

desintegración. La fusión de estos elementos tiene la ventaja de que la sección eficaz es la

más grande posible y por ello se puede fusionar más fácilmente, teniendo en cuenta la ley

de Boltzmann-Maxwell [6]. Por consiguiente, esta es la que tiene un mayor avance en la

comunidad científica.

𝐻 + 𝐻 → 𝐻 4

2

3 + 𝑛 (2.2)

Por último, cabe destacar que el gran problema de la fusión nuclear está en la generación y

el control del plasma. Se debe disponer de un sistema tal que permita producir plasma de

modo que se puedan generar fusiones nucleares.

Si la potencia obtenida de las fusiones nucleares no es superior a la introducida para

generar el plasma, entonces el sistema no es rentable.

2.1.1. Plasma

Tal y como se ha mencionado en los apartados anteriores, dentro del Tokamak es necesaria

la formación de plasma para servir como medio de los átomos y propiciar las fusiones

nucleares entre los átomos utilizados.

El plasma se genera a altas temperaturas o alta presión cuando la energía cinética de los

átomos obliga a que estos se tengan que desprender de sus electrones como se ha

mencionado anteriormente. Cualquier gas se puede convertir en plasma mediante el

proceso descrito, también llamado ionización.

De esta manera se obtiene un estado de partículas cargadas positivamente o

negativamente. Dado un volumen de plasma existe una carga casi neutra, es decir, las

cargas en cada porción de volumen están totalmente balanceadas y un campo eléctrico no

puede crearse en plasma dada su neutralidad [7].

Por último, para confinar el plasma en un determinado volumen se debe aplicar un campo

magnético, que según como se induzca puede inducir una determinada dinámica u otra al

propio plasma. Por lo que es de suma importancia poder confinarlo de modo que propicie

adecuadamente las reacciones de fusión nuclear.

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2.2. Situación actual

Desde el descubrimiento del confinamiento del plasma dentro de un campo magnético se

han intentado desarrollar múltiples reactores para testear la tecnología que permita una

fusión nuclear limpia. A día de hoy este desarrollo sigue estando vigente y la investigación

en este ámbito ha cogido más fuerza.

Actualmente existe un consorcio llamado EUROfusion con quien colabora la UPC que trata

de recoger y promover investigaciones destinadas a la aplicación de la fusión nuclear como

fuente de energía y del que forman parte un total de 26 países para su desarrollo. Dentro de

las actividades del consorcio está la de apoyar al proyecto ITER en el campo de la

ingeniería y de la física.

La finalidad del proyecto ITER es la construcción del reactor Tokamak más grande jamás

construido, con el objetivo de obtener la primera experimentación con plasma a gran escala

en 2025 y las primeras operaciones con tritio y deuterio en 2035 [8].

El reactor experimental del programa ITER tendrá 6.2 m de radio para albergar un volumen

de plasma de 840 m3 a 150 millones de grados Celsius.

Véase en la siguiente figura como será el mencionado reactor del programa ITER.

Figura nº 1. Proyecto experimental ITER. Fuente: [9].

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El programa no pretende culminar con la construcción de un reactor comercial, pues su

finalidad es la de poder experimentar primero con ITER para seguir con el proyecto que

envergará la primera central nuclear de fusión, la DEMO.

Como se puede ver a continuación existen una serie de fases que ambos proyectos

deberán solventar hasta su final ejecución.

Figura nº 2. Futuro de los proyectos ITER y DEMO. Fuente: [8].

La finalidad de la construcción de la DEMO es poder demostrar que la tecnología, dados los

avances tecnológicos acontecidos, es capaz o no de generar electricidad en el orden de

magnitud que se prevé, entre 300 y 500 MW de electricidad neta.

No solo pretende ser, por lo tanto, una demostración de obtención de energía limpia

mediante fusión nuclear sino también una demostración de que la industria es capaz de

asistir en cuanto a ingeniería y mantenimiento con los estándares necesarios en la

comercialización de la central como fuente de energía segura.

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3. Aspectos físicos

3.1. Hidrodinámica

Partiendo de que el presente proyecto pretende simular plasma en diversas situaciones, y

que este se comporta como un fluido cuando se confina dentro de un campo magnético, es

preciso poder desarrollar y resolver las ecuaciones de Navier-Stokes basadas en las leyes

de la conservación.

Para obtener una solución aproximada de estas ecuaciones es necesario recurrir a métodos

numéricos integrados de forma computacional.

A continuación se muestra una de las utilizadas en este proyecto, la ecuación de

conservación de cantidad de movimiento.

𝜕𝒖

𝜕𝑡+ (𝒖 · ∇)𝒖 = −

∇𝑝

𝜌+ 𝜈∇2𝒖+ 𝒇𝒃

(3.1)

- Siendo el primer término el que permite constatar si se trata de un estado

estacionario o transitorio.

- El segundo término antes de la igualación es el convectivo, que permite observar el

transporte por cantidad de movimiento del fluido.

- El tercer término es el gradiente de presión.

- El cuarto término corresponde al término difusivo debido a la viscosidad y agitación

molecular del fluido.

- Mientras que el término 𝒇𝒃 representa todas las fuerzas de diferente naturaleza que

pueden afectar en el movimiento del fluido como inerciales, electromagnéticas o

gravitacionales.

También será necesario poder resolver la ecuación de continuidad, que al considerar el flujo

como incompresible, queda expresada de la siguiente manera:

∇ · 𝒖 = 0 (3.2)

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3.2. Electromagnetismo

En el electromagnetismo básico son muchas las leyes que se han escrito de acuerdo con

los fenómenos resultantes de la inducción de un campo magnético.

Para poder describir el comportamiento MHD es preciso tener en cuenta varias leyes que

conjuntamente con las descritas en el apartado anterior conformarán las ecuaciones a

resolver de MHD.

En primer lugar la ley de inducción electromagnética de Faraday, establece que la variación

temporal de un campo magnético implica la existencia de un campo eléctrico no lineal. El

rotacional del campo eléctrico es la derivada de la inducción electromagnética respecto el

tiempo con signo contrario. Este cambio de signo implica que la corriente inducida sea de

sentido inverso al flujo magnético que la ha provocado, cumpliendo así con la ley de Lenz.

−𝜕𝑩

𝜕𝑡= ∇ × 𝑬

(3.3)

La ley de Ampère-Maxwell establece que la intensidad de un campo magnético en un

contorno cerrado es proporcional a la corriente que recorre en ese contorno, donde 𝜇 es la

permeabilidad magnética y j es la densidad de corriente, parámetros muy importantes en el

estudio de fluidos MHD como se verá más adelante.

𝜇𝒋 = ∇ × 𝑩 (3.4)

De acuerdo con la tercera ecuación de Maxwell [10] la divergencia del campo magnético es

0. Las líneas de un campo magnético a diferencia de las del eléctrico se cierran, evitando

así la existencia de monopolos magnéticos.

0 = ∇ · 𝐁 (3.5)

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3.3. Magnetohidrodinámica

Una vez desarrolladas todas las formulaciones necesarias en cuanto a mecánica de fluidos

y electromagnetismo, se presentan las ecuaciones de MHD esencialmente necesarias para

caracterizar el plasma en las simulaciones llevadas a cabo en el trabajo.

𝜕𝒖

𝜕𝑡+ (𝒖 · ∇)𝒖 = −∇𝑝 + 𝜈∇2𝒖+

1

𝜌(𝒋 × 𝑩)

(3.6)

- Siendo el primer término nuevamente el que permite constatar si se trata de un

estado estacionario o transitorio.

- El segundo término hace referencia al convectivo tal y como se ha descrito en la

ecuación (3.1).

- El siguiente término después de la igualación es la caída de presión.

- El segundo término después de la igualación es el difusivo, como en la ecuación de

la conservación de cantidad de movimiento (3.1).

- Por último, el producto vectorial de la densidad de corriente con el campo magnético,

permite incorporar a la ecuación la fuerza de Lorentz. La influencia de esta fuerza

permite hacer rotar las partículas cargadas del plasma y confinarlas en un contorno,

siendo también la densidad de corriente definida como el rotacional de B, y que se

define de la siguiente manera de acuerdo con la ley de Ampère-Maxwell [10].

𝒋 =

∇ × 𝑩

𝜇=1

𝜇((𝜕𝐵𝑧𝜕𝑦

−𝜕𝐵𝑦

𝜕𝑧) 𝒊 + (

𝜕𝐵𝑥𝜕𝑧

−𝜕𝐵𝑧𝜕𝑥) 𝒋 + (

𝜕𝐵𝑦

𝜕𝑥−𝜕𝐵𝑥𝜕𝑦)𝒌)

(3.7)

La otra ecuación que se resuelve en problemas de MHD es la que relaciona la interacción

entre el campo magnético y la velocidad.

𝜕𝑩

𝜕𝑡+ λ∇2𝑩 = ∇ × (𝒖 × 𝑩)

(3.8)

- Siendo el primer término de nuevo el que permite constatar si se trata de un estado

estacionario o transitorio.

- El segundo término antes de la igualación permite conocer la difusividad del campo

magnético. Esta expresión proviene del rotacional del rotacional de B, es decir:

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∇ × (∇ × 𝑩) = ∇(∇ · 𝑩)−∇2𝑩 = −∇2𝑩 (3.9)

- El término después de la igualación representa la fuerza magnética obtenida por la

interacción de la velocidad y el campo magnético. Esta representa la tendencia a

que la fuerza generada rote entorno a un punto. La identidad de este término es la

siguiente.

∇ × (𝒖 × 𝑩) = ((∇ · 𝑩) + (𝑩 · ∇))𝒖 − ((∇ · 𝒖) + (𝒖 · ∇))𝑩

= (𝑩 · ∇)𝒖 − (𝒖 · ∇)𝑩

(3.10)

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4. Algoritmos

El presente capítulo presenta los diferentes medios con los que se ha podido desarrollar el

proyecto utilizando OpenFOAM®. En cuanto al entorno mencionado, se podría explicar

múltiples características. Sin embargo, solo se detallará aquello estrictamente necesario

para llevar a cabo las simulaciones realizadas en el proyecto.

4.1. Discretización

Para poder realizar los cálculos computacionales necesarios y poder resolver las

ecuaciones mostradas en los apartados anteriores, se requiere de una discretización del

volumen de estudio.

La discretización es el resultado de convertir las ecuaciones continuas vistas en los

apartados anteriores en un sistema de ecuaciones con la forma Ax=b.

Para poder llegar a dicha solución, es preciso explicar este apartado de una manera

resumida y simplificada ya que las simulaciones se llevan a cabo tridimensionalmente y

explicarlo de esta manera, complicaría mucho su entendimiento. Por consiguiente, se utiliza

un caso de una dimensión para ejemplificar lo que realiza OpenFOAM®.

Según Versteeg [11], para problemas de difusión pura, en la que no interactúa el término de

convección y en un volumen de control 1-D, la diferencia entre el flujo entrante y saliente, es

igual a un término fuente (4.1). Siendo este término igual a todo aquello que actúa sobre el

fluido externamente como podrían ser fuerzas electromagnéticas o la propia gravedad.

Figura nº 3. Discretización difusión. Fuente: [11].

A continuación se muestra la integral volumétrica a resolver. Para proceder con la

discretización en el caso 1-D así como de cualquier otro caso de más dimensiones, se utiliza

el método de Gauss para pasar de dicha integral volumétrica a otra más senzilla, una

superficial [12]. Una vez realizado este paso, se evalúa dicha integral en las caras e y w de

cada elemento finito.

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𝑑

𝑑𝑥(Γ𝑑𝜙

𝑑𝑥)

Δ𝑉

𝑑𝑉 +∫ 𝑆

Δ𝑉

𝑑𝑉 = (ΓA𝑑𝜙

𝑑𝑥)𝑒− (ΓA

𝑑𝜙

𝑑𝑥)𝑤+ 𝑆̅Δ𝑉 = 0

(4.1)

Donde Γ es el coeficiente de difusión, 𝜙 es el valor de una variable en un nodo, y S es el

conjunto de todos los términos fuente.

Esta evaluación de la integral en las caras e y w permite poder calcular el flujo entrante y

saliente de cada elemento finito. Asimismo, la evaluación en las caras se puede realizar de

múltiples maneras, pero en este proyecto únicamente se explicará el esquema denominado

central diferencial.

Este esquema se basa en la interpolación simple de los nodos centrales, como se muestra a

continuación.

Γ𝑤 =Γ𝑊 + Γ𝑃2

Γ𝑒 =Γ𝐸 + Γ𝑃2

(4.2)

Volviendo a escribir la ecuación (4.1) juntamente con la (4.2) se obtienen los coeficientes

que se utilizan en la matriz A y que conforman el sistema Ax=b, donde x es un vector de

incógnitas y b otro compuesto de todas las fuentes o valores conocidos.

(Γ𝑒A𝑒𝑑𝑥

+Γ𝑤A𝑤𝑑𝑥

− 𝑆𝑝)⏟ 𝑎𝑃

𝜙𝑃 = (Γ𝑤A𝑤𝑑𝑥

)⏟

𝑎𝑊

𝜙𝑊 + (Γ𝑒A𝑒𝑑𝑥

)⏟ 𝑎𝐸

𝜙𝐸 + 𝑆𝑢 (4.3)

(𝑎𝑃1 −𝑎𝐸1 0−𝑎𝑊2 𝑎𝑃2 −𝑎𝐸20 −𝑎𝑊3 𝑎𝑃3

)⏟

𝐴

(

𝜙𝐸𝜙𝑃𝜙𝑊

)

⏟ 𝑥

= (

𝑆𝑢𝐸𝑆𝑢𝑃𝑆𝑢𝑊

)⏟

𝑏

(4.4)

Obtenida esta expresión para 1-D también se puede obtener otra que engloba las demás

dimensiones. Si se tienen en cuenta todos los nodos vecinos (con subíndice nb) a la celda

en cuestión según su dimensión, se define así:

𝑎𝑃𝜙𝑃 = 𝑎𝑛𝑏𝜙𝑛𝑏 + 𝑆𝑢 (4.5)

Ahora bien, el problema que se va a tratar en este trabajo también incorpora un término de

convección como se ha observado, por lo que hay que realizar algunas modificaciones al

sistema ya que no es únicamente un problema de difusión pura.

La convección en un fluido sigue el flujo de éste mientras que la difusión se emite en todas

direcciones. Por ello, la discretización es un poco diferente.

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Figura nº 4. Discretización convección-difusión. Fuente: [13]

En este caso, complementariamente a la formulación vista, también se debe cumplir con la

ecuación de continuidad como se muestra a continuación.

(𝜌𝑢𝐴)𝑒 − (𝜌𝑢𝐴)𝑤 = 0 (4.6)

Análogamente a lo mostrado para la difusión pura, se realiza la discretización y se obtiene

una expresión similar a la (4.3).

𝑎𝑃𝜙𝑃 = 𝑎𝐸𝜙𝐸 + 𝑎𝑊𝜙𝑊 + 𝑆𝑢

𝑎𝑊 = 𝐷𝑤 +𝐹𝑤2 𝑎𝐸 = 𝐷𝑒 +

𝐹𝑒2 𝑎𝑃 = 𝑎𝑊 + 𝑎𝐸 + (𝐹𝑒 − 𝐹𝑤) − 𝑆𝑝

𝐹𝑤 = (𝜌𝑢)𝑤 𝐹𝑒 = (𝜌𝑢)𝑒 𝐷𝑤 =Γ𝑤𝑑𝑥 𝐷𝑒 =

Γ𝑒𝑑𝑥

(4.7)

Donde D y F son la conducción difusiva y el flujo másico convectivo por unidad de masa

respectivamente.

El problema de hacer uso del esquema central diferencial es que es una aproximación de

Taylor de segundo orden por lo que tiene un error de truncamiento bastante alto. Para saber

si es factible su aplicación, el número de Peclet (D/F) siempre debería mantenerse inferior a

2.

En su defecto, también se puede hacer uso del resto de esquemas. A continuación se

enumeran algunos de ellos.

Linear, es el esquema utilizado por OpenFOAM® para realizar una interpolación simple

entre dos nodos centrales de celdas.

Gauss linear, es un esquema de segundo orden que permite asumir que las derivaciones

en las caras del volumen de control son lineales.

Gauss linear corregido se basa en el anterior. En éste se asume que existen caras en el

volumen de control que no son ortogonales con el nodo central. Éste aplica una corrección

para determinar el punto central real entre las dos caras.

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Euler, por su parte, es un esquema de segundo orden que se utiliza para realizar derivadas

de variables con respecto al tiempo.

𝜕𝜙

𝜕𝑡=𝜙 − 𝜙0

∆𝑡

(4.8)

Cabe destacar también, que de aquí en adelante, para poder referirse a la discretización

utilizada en cada caso, se hará una distinción entre fvc y fvm.

Por un lado, la generación de la matriz A se puede hacer siguiendo dos metodologías de

discretización: metodologia fvc (finite volume calculus) y metodología fvm (finite volume

method)

La metodología fvc o explicita se denomina así por su capacidad de utilizar los resultados

obtenidos en el paso anterior para poder calcular el siguiente paso. De esta forma los

resultados de usar este método se ubican en el vector de términos fuente b. En el código se

utiliza este método de discretización para obtener un campo magnético a partir de otro

anterior.

Por otro lado, la metodología implícita o fvm es la que se ha detallado paso a paso en este

apartado. Aplicando fvm se consigue que los coeficientes de la variable independiente se

ubiquen en la matriz A, dejando así un sistema de ecuaciones listo para ser resuelto

mediante algebra lineal.

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4.2. Acoplamiento P/U

En el código utilizado, presión y velocidad son dos variables dependientes entre sí para un

mismo instante de tiempo.

Ambos parámetros, tal y como se han mostrado en la ecuación de Navier-Stokes (3.1)

pueden ser incógnitas o variables conocidas.

La velocidad o movimiento de un fluido intuitivamente se puede conceptualizar si se imagina

una fuerza o presión provocando dicho movimiento. Esta presión puede ser desconocida

como se ha mencionado, por lo que será necesario suponer un valor e iterar hasta obtener

un resultado correcto.

En sí, OpenFOAM® tiene diferentes maneras de procesar este acoplamiento de las dos

variables. El código MHDFoam utilizado dispone del algoritmo PISO.

Este algoritmo parte de un campo de presiones iniciales supuestas llamado p*. Este campo

de presiones se utiliza para resolver las ecuaciones de momento y así obtener una primera

aproximación del campo de velocidades u*. Se muestra a continuación el algoritmo SIMPLE

para un caso de 2-D, ya que es más sencillo de explicar para posteriormente poder referirse

al PISO utilizado cuyo única diferencia entre los dos es un paso de iteración más.

Figura nº 5. Algoritmo PISO, discretización de u. Fuente: [11].

Asumiendo una malla como la observada en la figura, se obtienen las siguientes ecuaciones

de momento. Obsérvese que las expresiones son muy similares a las obtenidas en el

subcapítulo anterior para la discretización.

Page 23: Simulación MHD en el campo del plasma confinado ...

Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 23

𝑎𝑖𝐽𝑢𝑖𝐽∗ =∑𝑎𝑛𝑏𝑢𝑛𝑏

∗ + (p𝐼−1,𝐽∗ − p𝐼,𝐽

∗)𝐴𝑖𝐽 + 𝑏𝑖𝐽

𝑎𝐼𝑗𝑣𝐼𝑗∗ =∑𝑎𝑛𝑏𝑣𝑛𝑏

∗ + (p𝐼,𝐼−1∗ − p𝐼,𝐽

∗)𝐴𝐼𝑗 + 𝑏𝐼𝑗

𝑏𝑖𝐽 = 𝑆̅Δ𝑉𝑢 𝑏𝐼𝑗 = 𝑆̅Δ𝑉𝑣

(4.9)

Donde I y J indican los nodos de la malla, i y j indican los puntos medios entre dos nodos y

p ∗ indica la presión supuesta.

Se calcula por lo tanto un campo de velocidades debido a estas presiones. Una vez se ha

obtenido dicho campo, se pueden utilizar los resultados de la ecuación de momento para

construir la corrección de la presión (p’) y de las velocidades (u’) (v’).

p𝐼𝐽 = p𝐼,𝐽∗ + p𝐼,𝐽

′ 𝑢𝑖𝐽 = 𝑢𝑖,𝐽∗ + 𝑢𝑖,𝐽

′ 𝑣𝐼𝑗 = 𝑣𝐼,𝑗∗ + 𝑣𝐼,𝑗

′ (4.10)

Despreciando los coeficientes de los nodos con subíndice nb, (simplificación del algoritmo

SIMPLE) dado que no influye en el cálculo iterativo, también se obtienen las expresiones

para las velocidades correctas.

𝑢𝑖𝐽 = 𝑢𝑖,𝐽

∗ +𝐴𝑖𝐽

𝑎𝑖𝐽(p𝐼−1,𝐽

′ − p𝐼,𝐽′)

𝑣𝐼𝑗 = 𝑣𝐼,𝑗∗ +

𝐴𝐼𝑗

𝑎𝐼𝑗(p𝐼,𝐽−1

′ − p𝐼,𝐽′)

(4.11)

Una vez obtenidas estas ecuaciones se precisa resolver la expresión de la continuidad vista

anteriormente (4.6), tal y como se muestra a continuación en función de la corrección de la

presión obtenida.

(𝜌𝑑𝐴)𝑖+1,𝐽p𝐼+1,𝐽′ + (𝜌𝑑𝐴)𝑖,𝐽p𝐼−1,𝐽

′ + (𝜌𝑑𝐴)𝐼,𝑗+1p𝐼,𝐽+1′ + (𝜌𝑑𝐴)𝐼,𝑗+1p𝐼,𝐽−1

+ [(𝜌𝑢∗𝐴)𝑖,𝐽 − (𝜌𝑢∗𝐴)𝑖+1,𝐽 + (𝜌𝑣

∗𝐴)𝐼,𝑗 − (𝜌𝑣∗𝐴)𝐼,𝑗+1] = 0

(4.12)

𝑑𝑖,𝐽 =

𝐴𝑖,𝐽𝑎𝑖,𝐽

𝑑𝐼,𝑗 =𝐴𝐼,𝑗

𝑎𝐼,𝑗 𝑑𝑖+1,𝐽 =

𝐴𝑖+1,𝐽𝑎𝑖+1,𝐽

Por último, una vez desarrollado esto se obtiene la presión corregida y se aplica en la

formulación (4.10). Si las variables supuestas coinciden con las obtenidas en este punto,

entonces son correctas, sino será necesario iterar hasta que coincidan con una tolerancia

especificada.

Page 24: Simulación MHD en el campo del plasma confinado ...

Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 24

Una vez explicado el SIMPLE, se puede explicar el algoritmo PISO simplemente

mencionando que entre la formulación (4.9) y (4.10) existe una segunda corrección que da

lugar a estas ecuaciones.

𝑢𝑖𝐽

∗∗∗ = 𝑢𝑖,𝐽∗∗ +

∑𝑎𝑛𝑏(𝑢𝑛𝑏∗∗ − 𝑢𝑛𝑏

∗)

𝑎𝐼𝑗+𝐴𝑖𝐽

𝑎𝑖𝐽(p𝐼−1,𝐽

′′ − p𝐼,𝐽′′)

𝑣𝐼𝑗∗∗∗ = 𝑣𝐼,𝑗

∗∗ +∑𝑎𝑛𝑏(𝑣𝑛𝑏

∗∗ − 𝑣𝑛𝑏∗)

𝑎𝐼𝑗+𝐴𝐼𝑗

𝑎𝐼𝑗(p𝐼,𝐽−1

′′ − p𝐼,𝐽′′)

(4.13)

La ecuación de la continuidad del PISO, análogamente a lo descrito en el SIMPLE es como

se muestra a continuación.

[(ρ𝑢∗∗𝐴)𝑖+1,𝐽 − (ρ𝑢∗∗𝐴)𝑖,𝐽] + [(ρ𝑣

∗∗𝐴)𝐼,𝑗+1 − (ρ𝑣∗∗𝐴)𝐼,𝑗] = 0 (4.14)

4.3. Acoplamiento B/U

Según Versteeg [11], cuando existe un acoplamiento diferente al observado en el apartado

anterior entre presión y velocidad, como sucede con el flujo magnético y la velocidad del

fluido MHD, se dan cabida a otras ecuaciones complementarias que satisfacen todas las

variables acopladas.

En este caso, el flujo magnético también se supone en una primera instancia. Dado que la

velocidad obtenida en el PISO descrito para el acoplamiento de la presión y la velocidad es

correcta, simplemente habrá que incorporar la condición de que la divergencia del campo

magnético es nula e iterar si el supuesto campo magnético no coincide con el valor obtenido

al final del algoritmo.

A modo de resumen, los pasos a seguir por el algoritmo vienen representados en el

siguiente diagrama.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 25

Figura nº 6. Algoritmo PISO. Fuente: [14].

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 26

4.4. MHDFoam

En el presente proyecto, como ya se ha ido anunciando en los apartados previos se ha

utilizado el código MHDFoam del software OpenFOAM®. Este permite poder resolver

problemas de magnetohidrodinámica. A continuación se detalla paso a paso el recorrido que

realiza el solver para iterar y calcular los resultados.

En primer lugar, se habilitan todos los archivos necesarios para poder leer o escribir datos y

configurar el código para cada caso en cuestión. En esta explicación se muestra la

formulación para una única componente (i) aunque en realidad existen tres componentes ya

que en el proyecto se estudia un caso tridimensional.

La formulación física implementada en MHDFoam es la siguiente:

𝜕𝑈

𝜕𝑡+ ∇ · (𝒖𝑈) = −∇𝑝 + 𝜈∇2𝑈 +

1

𝜌(𝒋 × 𝑩)𝑖

𝑓𝑣𝑚(𝑑𝑑𝑡(𝑈)) + 𝑓𝑣𝑚(𝑑𝑖𝑣(𝜙, 𝑈)) − 𝑓𝑣𝑐(𝑑𝑖𝑣(𝜙𝐵, 𝐵)) − 𝑓𝑣𝑚(𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑖𝑎𝑛(𝜈, 𝑈))

+ 𝑓𝑣𝑐(𝑔𝑟𝑎𝑑(0,5 · B2)) = −𝑓𝑣𝑐(𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝))

(4.15)

Como se puede observar, hay una diferencia entre la formulación observada y la

implementación en MHDFoam. La fuerza de Lorentz no se implementa en un único término,

sino en dos. A continuación, mediante el uso de la ley de Ampere-Maxwell y considerando

que 𝛁 · 𝑩 = 𝟎, se desarrolla la expresión.

(𝒋 × 𝑩)𝑖 =

1

𝜇((∇ × 𝑩) × 𝑩)𝑖 =

1

𝜇∇ · (𝐵𝑩) −

1

2𝜇∇𝑩𝟐

(4.16)

Se aplica entonces, el término de la velocidad de Alfén (1

√𝜇𝜌) en la implementación de

MHDFoam tanto en los términos de B como en los de 𝜙𝐵. De este modo se obtiene un

campo magnético con las mismas unidades que la velocidad y se evita el uso de la

permeabilidad y la densidad en la ecuación, tal y como realiza Morales en [1].

𝜕𝑈

𝜕𝑡+ ∇ · (𝒖𝑈) − ∇2(𝜈𝑈) = ∇(𝜙𝐵𝐵) −

1

2∇𝜙𝐵

2 − ∇𝑝 (4.17)

Donde la caída de presión ∇𝑝 =𝑝

𝜌.

Se realiza la discretización tal y como se ha descrito para las variables de velocidad y

presión en los subcapítulos anteriores.

Page 27: Simulación MHD en el campo del plasma confinado ...

Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 27

En la forma Ax=b, los términos acompañados de fvc van a la parte fuente (b), dado que son

conocidos en un paso anterior. Fíjese que estos son justamente los términos de la fuerza de

Lorentz. Los acompañados por fvm, por su parte, conforman la matriz de coeficientes A que

se obtienen de la discretización.

�̅� · 𝑼 = −𝑺𝝓 − 𝛁𝒑 (4.18)

Se resuelve el sistema y se obtiene el resultado del vector de incógnitas U que cumple con

esta expresión. A este paso del algoritmo de PISO se le denomina predictor.

Sin embargo, el campo de velocidades puede que llegado este punto no cumpla con la

divergencia cero de la velocidad y es necesario corregirlo.

MHDFoam separa la matriz A en una matriz con los términos de la diagonal (Ad) y otra

matriz (R) con el resto de los términos fuera de la diagonal. Esta última se agrupa con el

vector fuente en un vector denominado (H), como se muestra.

𝑯 = −�̅�𝑼− 𝑺𝝓 (4.19)

Incorporando (4.19) en (4.18) y realizando la inversa de 𝐴𝑑 se aísla la velocidad U:

𝑼 = 𝑨𝒅−𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅𝑯 − 𝑨𝒅

−𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅∇𝒑 (4.20)

El término 𝑨𝒅−𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅𝑯 se proyecta en las caras de cada una de las celdas como la interpolación

entre los valores obtenidos en el predictor y que residen en los centros de las celdas.

Posteriormente, se consigue corregir el campo de velocidades de acuerdo con el flujo en las

caras y conseguir que su divergencia sea cero.

Por último, se evalúa la velocidad en el centro de las celdas de nuevo y se ajusta acorde con

las condiciones de contorno especificadas.

Una vez calculadas las velocidades corregidas y la presión correspondientes para el paso

en cuestión, es preciso resolver la siguiente ecuación para determinar el campo magnético.

Análogamente al desarrollo anterior, se muestra la expresión para solo una componente (i).

𝜕𝐵

𝜕𝑡= ∇ × (𝒖 × 𝑩)𝑖 + λ∇

2𝑩 = ∇ · (𝑈𝑩) − ∇ · (𝐵𝑼) +1

𝜇𝜎∇2𝑩

𝜕𝐵

𝜕𝑡= ∇ · (𝜙𝑩) − ∇ · (𝜙𝐵𝑼) +

1

𝜇𝜎∇2𝑩

(4.21)

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 28

𝑓𝑣𝑚(𝑑𝑑𝑡(𝐵)) − 𝑓𝑣𝑚(𝑑𝑖𝑣(𝜙, 𝐵)) + 𝑓𝑣𝑐(𝑑𝑖𝑣(𝜙𝐵, 𝑈)) − 𝑓𝑣𝑚(𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑖𝑎𝑛(λ, 𝐵)) = 0

Donde λ tiene también las unidades de 𝜈 y evita el uso de la conductividad y permeabilidad,

siendo λ =1

𝜇𝜎.

Nuevamente, se evalúa la expresión de acuerdo también con la divergencia cero del campo

magnético mediante otro algoritmo llamado BPISO.

Se introduce la nueva variable 𝜙𝐵 que acompañada de fvc se sabe que es conocida del

paso anterior. Esta variable se obtiene de la interpolación del campo magnético entre los

centros de cada una de las celdas y se almacena en las caras de éstas.

Al haber obtenido la velocidad mediante el algoritmo PISO, el campo magnético se puede

resolver simplemente mediante la discretización del BPISO.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 29

5. Desarrollo

5.1. Caso de estudio

Para poder validar el código de MHD en el plasma confinado magnéticamente se ha

simulado el caso de un cubo como en el trabajo de Morales [1] siguiendo las mismas

condiciones y analizando la física que explica su simulación.

El cubo representa una parte infinitesimal hexaédrica de un campo de plasma infinito. Se ha

conseguido este efecto mediante contornos cíclicos entre las caras. Este contorno implica

que la información que sale del fluido por una de las caras entra por la cara opuesta. Las

dimensiones del cubo son de 2𝜋 por arista.

5.1.1. Estado inicial

Para poder validar el comportamiento del plasma se han establecido unas condiciones

iniciales de velocidad y campo magnético predefinidas que se describen a continuación.

Estas condiciones se inicializaron de acuerdo con el trabajo de Morales [1], que a su vez

está referenciado en la aproximación de Orszag-Tang [15].

𝒖(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 0) = [−2 sin(𝑦) , 2 sin(𝑥) , 0]

𝑩(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 0) = 𝛽[−2 sin(2𝑦) + sin(𝑧) , 2 sin(𝑥) + sin(𝑧) , sin(𝑥) + sin (𝑦)]

(5.1)

Figura nº 7. Campo de velocidades y magnético inicial para el caso cubo.

Como se puede observar en la figura, la velocidad en el instante 0 sigue una distribución

sinusoidal con un máximo de 2m/s (situado en 𝜋

2) para el plano XY, a la izquierda de la

figura. Asimismo, el campo magnético, sigue una suma de distribuciones sinusoidales como

se observa a la derecha de la figura para el plano XZ ,con un máximo también situado en un

cuarto de arista.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 30

5.1.2. Parámetros de interés

Dado que de aquí en adelante se muestran los resultados de las simulaciones realizadas, se

precisa mencionar cuáles son los parámetros característicos de estas y de donde se

obtienen.

Tanto la difusividad magnética 𝜆 como la viscosidad cinemática 𝜈 serán dos parámetros

que identificaran el plasma en las diferentes simulaciones, siendo sus unidades de m2/s.

Es importante saber cuál es la energía total teniendo en cuenta que ésta se constituye de

dos energías complementarias, magnética (𝐸𝑚) y cinética (𝐸𝑘).

𝐸𝑘 =

�̅�2

2 𝐸𝑚 =

�̅�2

2

(5.2)

Donde, el cuadrado de la magnitud de un vector �̅�2 = |𝒖|2 = (√𝑢𝑥2 + 𝑢𝑦

2 + 𝑢𝑧2)2

.

También es interesante observar cuál es la densidad de corriente (j) obtenida,

correspondiente a la corriente generada por el propio plasma o la disipación magnética con

la que se puede cuantificar el ritmo de desaparición el campo magnético.

𝐽𝑚𝑎𝑥 = max|𝛻 × 𝑩|

𝜀 = 𝜆|∇ × 𝑩|2 + 𝜈|∇ × 𝑼|2

(5.3)

También será interesante poder observar y graficar la vorticidad del plasma, siendo ésta

como:

𝝎 = ∇ × 𝑼 = (

𝜕𝑈𝑧𝜕𝑦

−𝜕𝑈𝑦

𝜕𝑧) 𝒊 + (

𝜕𝑈𝑥𝜕𝑧

−𝜕𝑈𝑧𝜕𝑥) 𝒋 + (

𝜕𝑈𝑦

𝜕𝑥−𝜕𝑈𝑥𝜕𝑦)𝒌

(5.4)

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 31

5.1.3. Resultados

Este apartado pretende dar una explicación física a la simulación obtenida del cubo,

apoyándose en los resultados obtenidos de las simulaciones y lo descrito en cuanto a la

física MHD en apartados anteriores.

Los resultados obtenidos se han realizado para una malla de 643, valores de 𝜆 y 𝜈 de 0.01

m2/s y timeStep de 0.001s. Se obtiene la siguiente figura.

Figura nº 8. Energía en el caso cubo 64

3.

Como se puede observar, dado que se han establecido convenientemente un campo

magnético y otro de velocidad en el instante inicial, las energías tanto magnética como

cinética no empiezan desde un valor nulo.

De esta gráfica se observa como en un inicio la energía cinética es superior a la energía

magnética. Esta energía cinética consigue generar corrientes capaces a su vez de generar

campos magnéticos internos, y que se denomina efecto dinamo.

Estos nuevos campos magnéticos conllevan un aumento de la energía magnética y una

pérdida de energía cinética como se aprecia en la figura. Sin embargo, se puede observar

como la energía total (la suma de ambas energías magnética y cinética) disminuye

continuamente. Se explica a continuación mediante las figuras de densidad de corriente (j) y

disipación magnética (𝜀) cuál es el desarrollo del plasma en el cubo.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 32

Figura nº 9. Densidad de corriente y disipación magnética en cubo 64

3.

Una vez se han generado las corrientes, se genera más energía magnética y contrariamente

disminuye la energía cinética como ya se ha mencionado, por lo que las partículas cargadas

del plasma tienden a eliminar esta perturbación de campo magnético generada por las

corrientes según la ley de Faraday.

Según esta ley, las propias partículas cargadas del plasma se contrapondrán a cualquier

variación de campo magnético existente, con el fin de hacer prevalecer el principio de

conservación de la energía.

En el instante 1.1s se puede observar que se consigue neutralizar la perturbación

observándose también la saturación de la densidad de corriente. Coinciden los picos de

ambas gráficas, energía magnética y densidad de corriente.

Posteriormente a este fenómeno, las partículas también habrán perdido energía cinética

pero aun así serán nuevamente capaces de generar densidad de corriente como se puede

observar en el instante 2s de la figura. Esta vez, sin embargo, lo hacen con tan poca fuerza

que no podrán generar un nuevo campo magnético y ambas energías irán disminuyendo

progresivamente.

Por su parte, la disipación magnética se observa que es alta cuando ambas energías llevan

una dinámica con una pendiente pronunciada hacia su disipación. Esto se puede observar a

partir del instante 1.5s. Por consiguiente, el valor máximo de disipación magnética es

justamente después de la saturación de la mencionada densidad de corriente. Cuando la

energía magnética cae conjuntamente con la cinética.

Es conveniente mencionar que toda la energía perdida se traduce en energía térmica.

Nuevamente, para poder explicar de forma más detallada el fenómeno observado se han

Page 33: Simulación MHD en el campo del plasma confinado ...

Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 33

graficado cada uno de los parámetros de la formulación MHD de modo que se pueda

observar su influencia relativa en el caso. Para ello se ha utilizado el promedio de peso

volumétrico de cada una de las celdas para cada uno de los términos.

Estos términos son los que constituyen las dos ecuaciones MHD. Cada gráfica hace

referencia a cada una de las ecuaciones, respectivamente.

𝑓𝑣𝑚(𝑑𝑑𝑡(𝑈))⏟ 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜

+ 𝑓𝑣𝑚(𝑑𝑖𝑣(𝜙, 𝑈))⏟ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜

− 𝑓𝑣𝑚(𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑖𝑎𝑛(𝜈, 𝑈))⏟ 𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜

−𝑓𝑣𝑐(𝑑𝑖𝑣(𝜙𝐵, 𝐵)) + 𝑓𝑣𝑐(𝑔𝑟𝑎𝑑(0,5 · B2))⏟

𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧

= −𝑓𝑣𝑐(𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝))⏟ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛

(5.5)

𝑓𝑣𝑚(𝑑𝑑𝑡(𝐵))⏟ 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜

− 𝑓𝑣𝑚(𝑑𝑖𝑣(𝜙, 𝐵)) + 𝑓𝑣𝑐(𝑑𝑖𝑣(𝜙𝐵, 𝑈))⏟ 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎

− 𝑓𝑣𝑚(𝑙𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑖𝑎𝑛(λ, 𝐵))⏟ 𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜

= 0

Figura nº 10. Evolución cubo 64

3 término a término.

En la figura se observan primeramente los dos términos transitorios que caracterizan cuanto

se varia la velocidad (izquierda) y campo magnético (derecha) con respecto al tiempo. Se

puede observar como el campo magnético al estar inducido solo en el instante inicial, su

tendencia es siempre descendiente.

También en la figura, se observa que un parámetro que afecta mucho en la disipación de

energía es la fuerza de Lorentz. Cuando un campo magnético interacciona con un fluido

MHD a una cierta velocidad, se genera una fuerza a razón del producto vectorial de estas

dos magnitudes que consigue frenar el avance del fluido. Como dicha fuerza depende del

campo magnético generado por las corrientes, se observa su relación con el efecto dinamo

ya mencionado.

Como se observa, dicha fuerza junto con la presión y la fuerza magnética son tres términos

fuente que actúan en contra de flujo del propio fluido lo que conlleva a la pérdida tanto de

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 34

energía cinética como magnética en el plasma.

El término difusivo magnético y cinético siguen una misma trayectoria, al igual que la

disipación magnética antes mostrada. Sin embargo, se observa también que su influencia

no es tan remarcable como los términos fuente antes mencionados.

Por último en cuanto a la explicación física, dada la dependencia del término convectivo con

el flujo del fluido, éste sigue una trayectoria muy similar a la observada por la energía

cinética y resulta más destacable su papel que el término difusivo en relación a la ecuación

del momento.

A continuación se muestran algunas las simulaciones obtenidas del cubo tanto para el

parámetro velocidad como para el parámetro del campo magnético.

Figura nº 11. Evolución del campo magnético y la velocidad en el cubo.

Esta simulación se ha dado por finalizada cuando el valor residual ha tendido a estabilizarse

asintóticamente en el cero. Se han graficado estos residuales como se muestran.

Figura nº 12. Residuales de la simulación del cubo.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 35

Estos valores son una característica del software que permiten observar el valor del error

arrastrado en las diferentes iteraciones según la tolerancia especificada [13], es decir, es la

diferencia entre el valor esperado y el valor de la iteración anterior.

𝑟 =1

𝑛∑|𝑏 − 𝐴𝑥| 𝑛 = ∑(|𝐴𝑥 − 𝐴�̅�| + |𝑏 − 𝐴�̅�|) (5.6)

Donde r es el valor residual, A es la matriz diagonal de coeficientes y �̅� el vector promedio

de la solución.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 36

5.1.4. Convergencia de malla

Para analizar la convergencia de malla, se han realizado una serie de simulaciones como

estudio de benchmark para determinar que malla es lo suficientemente refinada como para

proporcionar buenos resultados.

Partiendo de un timeStep de 1ms y considerando que ambos parámetros 𝜈 y 𝜆 son de valor

0,01 como se establece en el trabajo de Morales [1], se han obtenido las siguientes

simulaciones doblando el número de celdas en cada refinamiento.

Simulación N3

Ntotal Línea Tiempo (h) CPUs

1ª simulación 323

32.768 ______ 3 3

2ª simulación 643 262.144 -.-.-.-.-. 45 3

3ª simulación 1283

2.097.152 ……… 264 7

4ª simulación 2563 16.777.216 --------- 816 8

Tabla nº 1. Simulaciones de benchmark.

En cuanto a los términos de energías, disipación magnética y densidad de corriente se han

obtenido los siguientes resultados y considerando los parámetros mostrados en la tabla

anterior hasta 8s.

Figura nº 13. Resultados de refinado del caso cubo, energía.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 37

Figura nº 14. Resultados de refinado del caso cubo, densidad de corriente.

Figura nº 15. Resultados de refinado del caso cubo, disipación magnética.

Se observa como el refinado va convergiendo a un valor determinado. Valorando

cualitativamente las gráficas se observa también que la diferencia entre la simulación de

1283 y 2563 es mínima. Dado que la diferencia en cuanto a tiempo de simulación entre

ambas fue de veintitrés días, se concluye cualitativamente que con la de 1283 es suficiente

para obtener una buena resolución de resultados.

Sin embargo, se ha seguido un procedimiento cuantitativo con los valores máximos de la

variable de disipación magnética tal y como establece el procedimiento de Richardson [16].

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 38

El procedimiento es el que se muestra a continuación para dos conjuntos de mallas. Se

relaciona la longitud característica de cada celda (h) con la diferencia de resultados (𝜙) y se

consigue obtener el resultado correcto mediante extrapolación de los resultados del conjunto

de mallas.

ℎ𝑖 = (

𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜

𝑁)

1

3 𝑟𝑗𝑖 = (

ℎ𝑗

ℎ𝑖) 𝜀𝑗𝑖 = 𝜙𝑗 − 𝜙𝑖

(5.7)

𝑝 =1

ln (𝑟𝑗𝑖)· |𝑙𝑛 |

𝜀𝑘𝑗

𝜀𝑗𝑖| + 𝑞(𝑝)| 𝑞(𝑝) = ln (

𝑟𝑗𝑖𝑝−𝑠

𝑟𝑘𝑗𝑝−𝑠) 𝑠 = 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 (

𝜀𝑘𝑗

𝜀𝑗𝑖) (5.8)

𝜙𝑒𝑥𝑡

𝑖𝑗 =(𝑟𝑖𝑗

𝑝𝜙𝑗 − 𝜙𝑖)

(𝑟𝑖𝑗𝑝 − 1)

(5.9)

Al ser un refinamiento doble cada vez, r es constante por lo que q es nula y se facilitan los

cálculos. El error relativo y el grado de convergencia, se obtiene como se describe.

𝐺𝐶𝐼𝑖𝑗 =

1.25·𝑒𝑎𝑖𝑗

𝑟𝑖𝑗𝑝−1

𝑒𝑎𝑖𝑗 = |

𝜙𝑗−𝜙𝑖

𝜙𝑗|

(5.10)

Parámetro Mallas 32,64,128

Mallas 64,128,256

𝒉𝟏, 𝒉𝟐, 𝒉𝟑 0.021, 0.042, 0.083 0.010, 0.021, 0.042

𝝓𝟏, 𝝓𝟐, 𝝓𝟑 0.7669, 0.6897, 0.5134

0.8007, 0.7669, 0.6897

𝒓𝟐𝟏, 𝒓𝟑𝟐 2, 2 2, 2

𝜺𝟐𝟏, 𝜺𝟑𝟐 -0.077, -0.176 -0.034, -0.077

𝒑 1.190 1.193

𝝓𝒆𝒙𝒕 0.827 0.827

𝒆𝒂𝟐𝟏, 𝒆𝒂

𝟑𝟐 0.101, 0.256 0.042, 0.101

𝑮𝑪𝑰𝟐𝟏, 𝑮𝑪𝑰𝟑𝟐 0.098, 0.249 0.041, 0.098

𝑮𝑪𝑰𝟑𝟐/𝑮𝑪𝑰𝟐𝟏 2.537 2.387

𝒓𝟐𝟏𝒑 2.282 2.286

Tabla nº 2. Resultados del índice de convergencia de malla.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 39

Se ha realizado el procedimiento para dos agrupaciones de mallado como se observa, las

menos y las más refinadas, dado que el procedimiento solo tiene en cuenta la convergencia

de hasta tres mallas diferentes.

El valor extrapolado 𝜙𝑒𝑥𝑡 por ambos conjuntos de mallas es el mismo, por lo que la

convergencia es buena tanto para un conjunto como para el otro. También el índice de

grado de convergencia es muy próximo lo cual es un indicio de que la convergencia del

procedimiento es excelente, y que los resultados reales pueden tomarse de la extrapolación

del conjunto de mallas computacionalmente menos exigente.

De hecho, si se calcula el error relativo de las dos mallas más potentes, partiendo del valor

extrapolado obtenido, se obtienen valores de 3,18% para la más potente y 7,26% para la

segunda más potente. Por consiguiente, aun siendo la malla con el mayor refinamiento

realizado, la desviación sigue siendo alta.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 40

5.1.5. Validación del código

En este apartado se pretende validar el código mediante el trabajo realizado por Morales [1].

Se comprueba si el código utilizado de MHDFoam valida que OpenFOAM® puede ser

utilizado para este tipo de simulaciones de acuerdo con los resultados obtenidos.

Simulación N3

𝝊 𝝀 Línea

1ª simulación 643

0,01 0,01 ______

2ª simulación 1283 0,005 0,005 -.-.-.-.-.

3ª simulación 2563

0,001 0,001 ………

Tabla nº 3. Simulaciones comparativas referente a [1].

Figura nº 16. Validación del código OpenFOAM.

Figura nº 17. Validación del código, referencia. Fuente: [1].

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 41

Se puede observar como los valores de la gráfica de densidad de corriente son casi

idénticos a los obtenidos por Morales [1]. De hecho, si se realiza una ampliación de la zona

que indica Morales cuya pendiente es de t3, se puede observar que también se obtiene

dicha pendiente en los resultados del presente trabajo.

Figura nº 18. Validación densidad de corriente. Fuente: [1].

Por su parte, la gráfica de la disipación magnética no coincide en cuanto a los valores

obtenidos, pero si en la forma. El error relativo con respecto a los resultados de Morales [1]

para las dos primeras simulaciones es de alrededor del 66% mientras que la última

simulación tiene un error relativo aproximado del 25%.

Dado esta divergencia de resultados, se ha observado el artículo que utilizó Morales para la

validación de su código, el artículo de Mininni [15]. Los valores no encajan con respecto al

trabajo de Morales [1] en cuanto a disipación magnética con un error relativo del 29%

aproximadamente pero la densidad de corriente sí que encaja. Por consiguiente, se

concluye que la disipación magnética es un parámetro realmente sensible al código

utilizado.

Figura nº 19. Validación de la disipación magnética. Fuente: [15].

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 42

El orden de magnitud de los errores antes indicados, demuestran que los resultados para

las dos primeras simulaciones con respecto a los trabajos de referencia Morales [1] y Mininni

[15] no son correctos en cuanto al parámetro de disipación magnética, mientras que la

última simulación sí que parece tener un mismo orden de magnitud diferencial.

Cabe destacar que para dicha simulación se utilizó una opción para conseguir evitar la

divergencia de resultados en la simulación.

Se decidió no hacer uso del timeStep de 1ms, sino de un timeStep que se pudiera adaptar al

número de Courant establecido como máximo y así controlar su convergencia evitando un

excesivo tiempo de cálculo. Esta opción se denomina adjustTimeStep. El número de

Courant se expresa de la siguiente manera, estableciendo una relación entre el timeStep y

el tiempo de residencia en un volumen finito.

𝑢𝑥 · ∆𝑡

∆𝑥+𝑢𝑦 · ∆𝑡

∆𝑦+𝑢𝑧 · ∆𝑡

∆𝑧< 𝐶

(5.11)

Dado que Morales en su trabajo consigue validar sus resultados alegando que obtiene la

misma forma gráfica de las disipaciones magnéticas, con un retraso entre ellas

característica en estos casos, se valida el código utilizado en el presente proyecto.

Se concluye también, que dados los resultados obtenidos, sería interesante (fuera del

alcance de este proyecto), poder explicar porque el adjustTimeStep proporciona unos

resultados más cercanos a los de Morales [1].

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 43

5.1.6. Función de densidad de probabilidad (PDF)

En el presente apartado, se realiza un postanálisis de un parámetro importante en las

simulaciones, la vorticidad. El análisis consiste en estudiar la densidad de probabilidad de

dicha variable. Para ello se estudia la vorticidad de todas las celdas de una simulación de

643. El objetivo de este análisis es encontrar la probabilidad relativa según la cual la

vorticidad se encuentra entre un rango de valores determinado.

Se han extraído todos los valores de cada una de las celdas para cada segundo de la

simulación. Sabiendo el número de celdas (643) se han dispuesto los resultados en forma

porcentual. Se ha decidido solo estudiar el rango de [0,10] s-1 dada la poca probabilidad

(<0.8%) que había en los rangos de valores superiores a éste.

Figura nº 20. Funciones de densidad de probabilidad, PDF-vorticidad.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 44

De este análisis se ha obtenido que el valor más alto de vorticidad encontrado es de 33,715

s-1 mientras que el más bajo es de 0,015 s-1.

Se puede observar como la probabilidad de obtener vorticidades en una celda con valor de

0 a 5 s-1 es siempre alta en cada instante de tiempo.

Obsérvese que en el instante 2s la población del muestro está bastante repartida en todos

los rangos de valores lo que significa que su probabilidad es bastante parecida. De hecho, el

rango con un porcentaje de celdas más elevado tiene tan solo 8,8%.

Posteriormente a este instante las vorticidades empiezan a concentrarse en los rangos de 0

a 5 s-1. En el instante 8s ya no existe ninguna celda con valor de 7,5s-1 o superior y en un

24,2% de las celdas, la vorticidad está en el rango de 1 a 1,5s-1 lo que constata que el fluido

está perdiendo fuerza y se está frenando.

Nótese que la vorticidad depende de la velocidad, y la energía cinética también, por lo que

no es de extrañar que cuando empieza a concentrarse la vorticidad cada vez a valores más

bajos también se empieza a perder energía cinética, en la figura 13.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 45

5.1.7. Transformada rápida de Fourier (FFT)

En este apartado se realiza un análisis del espectro de la vorticidad. En primer lugar, se ha

postprocesado la información del caso anterior para obtener los valores de vorticidad en un

muestreo lineal como se indica, a lo largo del eje Z y en el centro del plano XY.

Figura nº 21. Localización de la línea de sondeo.

Se han obtenido los siguientes datos en cuanto a vorticidad, desde el instante 1s al 8s, a la

izquierda de las figuras. Una vez obtenidos estos datos, se ha procesado esta información

para hacer la transformada rápida de Fourier correspondiente a cada vorticidad de cada

timeStep, a la derecha de las figuras.

Figura nº 22. Transformadas rápidas de Fourier 1-2s de la vorticidad sobre el eje Z.

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Figura nº 23. Transformadas rápidas de Fourier 3-6s de vorticidad sobre el eje Z.

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Figura nº 24. Transformadas rápidas de Fourier 7-8s de vorticidad sobre el eje Z.

El objetivo de realizar la transformada de Fourier de los valores de vorticidad encontrados en

una línea del cubo, consiste en observar los espectros de la vorticidad. Es decir, mediante la

transformada de Fourier se consigue pasar la señal obtenida de la vorticidad en el dominio

espacial de un cubo al dominio de frecuencia y así obtener los picos del espectro de ésta

cuando a simple vista en el primer dominio no son visibles.

La definición de la transformada de Fourier es la que se muestra a continuación.

𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡) · 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡𝜕𝑡

−∞

(5.12)

Donde 𝑓(𝑡) es la función integrable en el dominio espacial que se ha obtenido del muestreo

mencionado en el eje Z con punto en el centro del plano XY.

Observando las primeras gráficas se destaca como para cada instante de tiempo, se

presentan altos cambios de vorticidad a lo largo del eje Z. Se puede ver como la forma de la

vorticidad empieza muy suave y a lo largo de la simulación empieza a retorcerse en

amplitudes cada vez más pequeñas. Esta señal de vorticidad parece sinusoidal pero con

algunas distorsiones que impiden valorar a que frecuencia está proyectándose.

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Aplicando la FFT se obtienen los espectros de la vorticidad. Puede observarse que a lo largo

de la simulación, las señales convertidas en espectros van pareciéndose cada vez más a

una tendencia exponencial, de acuerdo con la expresión que define la FFT.

Como se observa para las transformadas de Fourier observadas, en los instantes iniciales, a

frecuencias espaciales muy bajas el espectro es más alto que en los instantes posteriores.

Posteriormente a este primer impulso, reaparece una segunda magnitud aún en frecuencias

bajas. Este sigue siendo alto en los instantes iniciales, de acuerdo con la alta vorticidad del

caso al principio de la simulación, pero en los últimos instantes su valor disminuye hasta la

unidad. Cabe destacar que en otras frecuencias mayores también empiezan a resaltar otras

amplitudes menos importantes y también cercanas a la unidad.

Por lo tanto, la mayor amplitud del espectro se encuentra siempre a bajas frecuencias

aunque sea en instantes iniciales. En estos instantes mencionados incluso su amplitud es

mayor y como ya se ha mencionado antes, va disminuyendo por lo que vuelve a constatarse

que la vorticidad pierde fuerza a lo largo de la simulación. Esta vez se puede añadir

mediante este análisis que su disminución, acorde con la energía cinética del cubo y la por

tanto de la velocidad, siempre lo hace a una frecuencia predominante, alrededor de 1Hz.

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6. Proyecto

En el presente apartado se detallan los diferentes costes requeridos para hacer el proyecto

así como la planificación llevada a cabo para poder presentar el proyecto a tiempo y el

impacto que este tiene en el medioambiente.

6.1. Planificación

La planificación del proyecto se ha realizado en base a las diferentes reuniones semanales

con el tutor a cargo del proyecto.

Aunque en el diagrama que se muestra a continuación no se ve reflejado, las primeras

reuniones empezaron en Julio de 2019 con el primer contacto con el tutor y las primeras

tareas se realizaron a lo largo de los meses de Julio y Agosto con la búsqueda no intensiva

de información relacionada con el proyecto. Sin embargo, en el esquema de Gantt las tareas

empiezan con el principio del curso académico. Como se puede apreciar y dado que las

simulaciones ocupan la mayor parte del trabajo pero no requieren de un control constante,

otras tareas más dedicadas a la indagación e interpretación de resultados se vieron

solapadas con estas.

La guía principal del trabajo como se ha mencionado anteriormente fueron las reuniones

semanales con la finalidad de chequear continuamente el transcurso del proyecto.

Destacar que, la mayor dedicación del proyecto desde el punto de vista de confección fue el

aprendizaje del software ya que está presente en cada una de las tareas realizadas.

Figura nº 25. Diagrama de Gantt del proyecto.

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6.2. Presupuesto

En esta sección se detallan los costes que han sido necesarios para la confección del

presente proyecto. Se establecen dos tipos de recursos, teniendo en cuenta que el

equipamiento no ha sido comprado expresamente para el proyecto, existe el recurso

humano y el energético, en forma de electricidad para ejecutar las simulaciones necesarias.

Para la realización del proyecto se han utilizado un total de dos ordenadores tanto para la

redacción de la memoria como para el lanzamiento de los casos en paralelo y un tercer

equipo prestado por la escuela con un mayor número de subdominios.

Recurso Potencia (kW)

Tiempo (h) Precio unit. (€) TOTAL (€)

Humano -- 980 18 17.640

Curso OpenFOAM -- 35 600 600

Electricidad 0,33 1785,6 0,11 64,8

IVA (21%) 3.844

TOTAL 22.149

Tabla nº 4. Presupuesto para el desarrollo del proyecto.

6.3. Impacto medioambiental

Desde el punto de vista medioambiental y dado que el consumo energético necesario tal y

como se ha mencionado anteriormente para la realización del proyecto es únicamente de

electricidad para la alimentación de los ordenadores, se consiguen las emisiones de CO2

generadas mediante el factor de conversión establecido por la Orden FOM 1635 [17].

𝐸𝑚𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝐶𝑂2 = 589,25𝑘𝑊ℎ · 0,357 𝑘𝑔

𝐶𝑂2𝑘𝑊ℎ

= 210,36 𝑘𝑔𝐶𝑂2 (6.1)

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 51

7. Conclusiones

En el presente trabajo se ha dado cabida a un campo científico en completa investigación a

día de hoy como lo es la fusión nuclear. Más específicamente se han realizado simulaciones

en el campo del plasma para verificar que el código MHDFoam en el entorno OpenFOAM®

en la investigación es fiable y válido.

Uno de los objetivos de este proyecto consistía en indagar sobre magnetohidrodinámica

para su aplicación en el campo del plasma. Se han podido explicar los fenómenos físicos

que aparecen en las diferentes simulaciones de acuerdo con los resultados obtenidos y la

teoría detallada.

Posteriormente, se han hecho una serie de análisis de convergencia de malla para obtener

aquella con mayor resolución posible sin un exceso de tiempo de computación. También se

han realizado otros tipos de análisis según los resultados de vorticidad obtenidos.

Se ha realizado una validación del código, que ha contrastado los resultados obtenidos en el

proyecto con los publicados en el trabajo de Morales [1]. Se ha concluido que el código es

válido.

Por último, se ha realizado un análisis del parámetro de la vorticidad mediante la función de

densidad de probabilidad de esta variable y la transformada rápida de Fourier con el objetivo

de analizar cuantitativamente los resultados cualitativos iniciales.

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8. Agradecimientos

Yo, Gerard López Cabrera, quisiera agradecer a Daniel, por su dedicación en este

trabajo, ya que sin su ayuda, la confección de este trabajo, no hubiese sido posible.

Gracias a su conocimiento y entrega, he podido desarrollar un proyecto para un campo

totalmente diferente al que me dedico profesionalmente y agradezco que me lo

propusiese en su día, porque ha sido una gran experiencia.

También me gustaría agradecer a mi compañero David, su ayuda insaciable e

incondicional en los días en los que sobretodo costaba entender algunos conceptos o

las simulaciones no iban como uno esperaba. Ha sido un placer trabajar con David y le

deseo lo mejor en su carrera profesional.

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 54

9. Índice de tablas e ilustraciones

9.1. Índice de ilustraciones

Figura nº 1. Proyecto experimental ITER. Fuente: [9]. ......................................................... 12

Figura nº 2. Futuro de los proyectos ITER y DEMO. Fuente: [8]. ......................................... 13

Figura nº 3. Discretización difusión. Fuente: [11]. ................................................................. 18

Figura nº 4. Discretización convección-difusión. Fuente: [13]............................................... 20

Figura nº 5. Algoritmo PISO, discretización de u. Fuente: [11]. ............................................ 22

Figura nº 6. Algoritmo PISO. Fuente: [14]. ........................................................................... 25

Figura nº 7. Campo de velocidades y magnético inicial para el caso cubo. ......................... 29

Figura nº 8. Energía en el caso cubo 643. ............................................................................ 31

Figura nº 9. Densidad de corriente y disipación magnética en cubo 643. ............................. 32

Figura nº 10. Evolución cubo 643 término a término. ............................................................ 33

Figura nº 11. Evolución del campo magnético y la velocidad en el cubo. ............................. 34

Figura nº 12. Residuales de la simulación del cubo. ............................................................ 34

Figura nº 13. Resultados de refinado del caso cubo, energía. ............................................. 36

Figura nº 14. Resultados de refinado del caso cubo, densidad de corriente. ....................... 37

Figura nº 15. Resultados de refinado del caso cubo, disipación magnética. ........................ 37

Figura nº 16. Validación del código OpenFOAM. ................................................................. 40

Figura nº 17. Validación del código, referencia. Fuente: [1].................................................. 40

Figura nº 18. Validación densidad de corriente. Fuente: [1]. ................................................ 41

Figura nº 19. Validación de la disipación magnética. Fuente: [15]. ....................................... 41

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 55

Figura nº 20. Funciones de densidad de probabilidad, PDF-vorticidad. ............................... 43

Figura nº 21. Localización de la línea de sondeo. ................................................................ 45

Figura nº 22. Transformadas rápidas de Fourier 1-2s de la vorticidad sobre el eje Z. .......... 45

Figura nº 23. Transformadas rápidas de Fourier 3-6s de vorticidad sobre el eje Z............... 46

Figura nº 24. Transformadas rápidas de Fourier 7-8s de vorticidad sobre el eje Z............... 47

Figura nº 25. Diagrama de Gantt del proyecto. .................................................................... 49

9.2. Índice de tablas

Tabla nº 1. Simulaciones de benchmark. ............................................................................. 36

Tabla nº 2. Resultados del índice de convergencia de malla. .............................................. 38

Tabla nº 3. Simulaciones comparativas referente a [1]. ........................................................ 40

Tabla nº 4. Presupuesto para el desarrollo del proyecto. ..................................................... 50

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 56

10. Bibliografía

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magnétiques, Lyon, 2013.

[2] WIKIPEDIA, «Historia Fusión Nuclear,» 24 Diciembre 2019. [En línea]. Available:

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[3] WIKIPEDIA, «Fisión Nuclear,» [En línea]. Available:

http://www.wikipedia.org/wiki/Fisión_nuclear. [Último acceso: 24 Diciembre 2019].

[4] UPC PHYSICS DPT., «Nuclear power plants,» Barcelona, 2018.

[5] M. FUSTER, Application of the edge-based finite element method for fusion plasma

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[7] ECURED, «Plasma,» [En línea]. Available: http://www.ecured.cu/Plasma. [Último

acceso: 16 Noviembre 2019].

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fusion.org/eurofusion/roadmap. [Último acceso: 11 Noviembre 2019].

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[10] D. FLEISCH, A student's guide to Maxwell's equation, Cambridge, 2008.

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[12] L. MANGANI y F. MOUKALLED, The finite volume in computational fluid dynamics,

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[13] D. SUAREZ, «Hands on OpenFOAM CFD simulations for heat and mass transfer in

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Simulación MHD en el campo del plasma confinado magnéticamente Pág. 57

industrial processes,» Barcelona, 2019.

[14] E. IRAOLA y C. LAMPÓN, «MHD applied to nuclear fusion reactors,» de Parametric

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fusion reactors, Barcelona, 2019.

[15] P. MININNI y D. MONTGOMERY, Small scale structures in three-dimensional

magnetohydrodynamic turbulence, Hanover, 2008.

[16] I. CELIK, «Procedure for estimation and reporting of discretization error in CFD,»

Virginia.

[17] IDAE, «Factores de emisión de CO2 y coeficientes de paso a energía primaria de

diferentes fuentes de energía final condumidas en el sector de edificios de España,»

Madrid, 2016.