REVISTA MEXICANA DE FlslCA 4-1SUI'U;MENTO 3. 182-185 DICIEMBRE 1998

Simulación Monte Cario de transporte dispersivo transitorio con efecto de cargaatrapada

A. Picos-Vega"', O. Zelaya-Angel', R. Ramírez-Bon' y F.J. Espinoza-Beltrán'1Depanamento de F(sica. Centro de Investigación y de Estudios Avanzados de/Instituto Politécnico Nacional

Apartado postal 14-740, 07000 México, D.F., Mexico

2 Centro de Investigación en F(sica. Universidad de SonoraApartado postal 5-88, 83/90 Hermosillo, Sallara, Mexico

Recibido el 13 de marzo de 1998; aceptado elide julio de 1998

Utilizando la técnica de Monte Cario se hizo la simulación del mecanismo que da lugar a la dispersión de los portadores de carga en eltransporte eléctrico de sistemas desordenados. La técnica experimental simulada fue la de medición de tiempo de tránsito (time of flight.TOF). Se logró reproducir la forma de las corrientes transitorias para el caso cuando la carga excitada es atrapada en la región de excitación,provocando la aparición de un máximo de corriente transitoria y se encontró una buena coincidencia con los resultados experimentales.

Descriptores: Defectos puntuales; sistemas desordenados; recombinaci6n y atrapamiento

MonteCario Icchniquewas employed to explain the mechanismof charg:ecarriers dispersion on the electrical transport in disordered systems.The time of night (TDF) measurement method was the experimental technique simulated.The simulation succeded in the fiuing oftransitorycurrent Iineshapesin the case when the excited charge is trapped in [heexcitation region. In this situation a maximum in the transilorycurrentappears, which is also fiued by the simulation of TOF.

Keywords: Point dcfects; disordcrcd systcms; rccombination and trapping

PAes: 73.50.Gr; 72.IO.-d; 73.50.Yg

1. Introducción

La técnica de medición de tiempo de Iránsito (time of Ilight,TOF) es de gran utilidad cuando se requiere medir propieda-des de transporte eléctrico en sólidos. El experimento típicode TOF consiste en arrastrar mediante un campo eléctrico aelectrones o huecos, excitados previamente por un pulso deluz, a través del material y medir el Jiempo que tardan enatravesarlo (tiempo de tránsito t T)' En los materiales desor.denados (sólidos amorfos, polímeros, ele.) el transp0rle esdominado por la presencia de estados localizados, dándoleuna forma característica a la corriente transitoria, de la for-ma [1-4J

(1)

al Y 02 se definen como los parámetros de dispersión. ires el tiempo de tránsito, el cual identifica el cambio de pen-diente de decaimiento de la corriente. y se determina como elpunto de corte entre las dos rectas resultantes de la gráfica delag I(t) \'s. lag t. Al transporte eléctrico transitorio con lascaracterísticas del transporte en materiales desordenados sele conoce como transporte dispersivo. Sin embargo. en cier-tos materiales la corriente transitoria presenta un máximo queimpide la identificación del tiempo de tránsilo. Algunos auto-res han reportado que este fenómeno se debe a la existenciade trampas en la interfase que forman los contactos con la

película y que es la región donde se ilumina para excitar a losportadores [5-8]. El retardo que sufren los portadores al seratrapados y posteriormente liherados provoca que la corrienteinducida tenga un máximo.

2. Teoría

El transporte dispersivo se ha estudiado en base a la teoría deprocesos estocásticos por varios autores [3,5.6]. En el marcogeneral de esta teoría el transporte dispersi\'o no depende endetalle de ningún mecanismo específico, sino que se conside-ra a los portadores sujetos a una distribución de tiempos deevento. Estos eventos pueden ser tunelamiento asistido porfonones (hopping) de un portados que pasa de un estado lo-calizado a otro, su liberación desde una trampa a un estadode transporte, elc.

En el presente trabajo utilizamos un modelo de transportedispersivo, propuesto en 1992 por Murayama [9J, basado enla teoría de percolación y la existencia de estados localiza-dos conectados entre sí por la probabilidad de tunelamientoentre éstos. El movimiento de los portadores se simula conuna caminata aleatoria introduciendo la información del en-torno (material) y de las condiciones experimentales, en laexpresión para la probabilidad de salto y en el arreglo de si-tios que puede usar el caminante aleatorio. En este sentido lateoría de percolación es muy útil debido a que predice que enun arreglo aleatorio de sitios se pueden obtener caminos de

SIMULACiÓN MONTE CARLO DE TRANSPORTE DISPERSIVO TRANSITORIO CON EFECTO DE CARGA ATRAPADA 183

(2)

4. Simulación de la corriente

En el caso de las probabilidades de salto del caminantealeatorio tenemos solo seis sub-conjuntos {p.}, uno por cadadirección. Sin embargo para evaluar la probabilidad de libe-ración de las partículas 1I(t) dt alliempo t usamos 2500 ele-mentos. Para ello se dividió el rango de la función de densi-dad de probabilidad 1I(t) en segmentos iguales tit y se de-terminó el área bajo la curva en cada intervalo. Es decir elconjunto de probabilidades en este caso está forroado por loselementos {{1I(t¡)tit} ,{q,(t2)tit}, .. ,{1I(tn)titl}.

La simulación de las condiciones de transporte es muy senci-lla. Utilizamos por simplicidad una red cúbica para simular elarreglo tridimensional de sitios localizados y formamos pri-mero los caminos de percal ación posibles con el método deHoshen and Kopelman [16]. Las partículas realizan la cami-nata aleatoria, a una temperalura (P) y campo eléctrico (E)aplicado constantes, sobre el cúmulo de percolación.

Para simular el efecto de atrapamiento y liberación decarga en la región de falO-generación de portadores fuera deequilibrio se supone que todas las partículas están atrapadasal principio (n = O). Con la ayuda de la distribución de tiem-pos de liberación 11(n) se evalúa para cada partícula cuanlospasos son necesarios para que ésta sea liberada y pueda acce-der a los estados de transporte (cúmulo). Una vez que se haliberado una partícula ésta se introduce al cúmulo de perco-lación donde puede evolucionar moviéndose en una caminataaleatoria. La probabilidad de salto de una partícula está dadapor [15]

(4)P;ty = P:J:z =

e:J:~Faj2kT

(4 + e:J::eFa/2ftT + e;teFaj2kT)'

1(4 + é,Pa/2kT + eZ,Pa/2kT)'

donde F es el campo aplicado en la dirección -x y a es unaconstante de red.

Para cada salto la evaluación de la probabilidad p/' nosdice hacia que dirección debe moverse la partícula. Si el sitioseleccionado para saltar no pertenece al cúmulo de percola-ción entonces la partícula permanece en la misma posicióny se evalúa la probabilidad de salto nuevamente. El tiempose simula por el número de pasos que da una partícula y esindependiente de si la partícula se mueve o no. es decir cadaevaluación de probabilidad (realización) se cuenta un paso.

La partícula deja de moverse cuando llega al extremoopuesto de donde fue introducida, es decir es absorbida poruna pared absorbente que simula un contacto.

La corriente inducida por el movimiento del paquete departículas se calcula de la expresión I(n) ~ N(n)(V(n»),donde N(n) es el número de partículas que toman parte enel movimiento a los n pasos y (V(n) es la velocidad mediade ellas. Se calcula varias veces la corriente 1(11) variandola configuración del cúmulo de pcrcolación para un mismovalor de p, promediando finalmente la corriente.

p _ f~oog(E) dE

- f~;:'g(E) dE'

EM es el borde de movilidad, definido para semiconducto-res amorfos como el borde de energfa para el cual los esta-dos electrónicos ya no se comportan como estados localiza-dos. Usando el modelo de Murayama se puede demostrar queP ex T /Te para una densidad de estados localizados del tipog(E) = A exp(E/ kTe), donde Te es su pendiente [15J.

Por otra parte, para estudiar el efecto de atrapamicnto decarga que retarda a los portadores y determina su distribu-ción de tiempos de acceso a los estados de transporte, algu-nos autores [5,6] proponen una función con dos parámetrostI y t2. que controlan la forma del crecimiento y decaimientode la distribución de tiempos de liberación de la carga alrapa-da 1I(t)

3. El método Monte Cario

1I(t) = (tI ~ t2) (1 _ e-t/t, )e-t/t,. (3)t2

percolación. sitios conectados entre si que se extienden sobretodo el sistema, aún cuando se conecte solo una fracción (P)del número total de sitios, no menor que el umbral de per-colación (Pe)' Por abajo de Pe no existe ningún camino queconecta al sistema completo.

Análogamente, en el caso de un sólido amorfo, un porta-dor podrá transitar por los caminos de percolación (cúmulo)que formen los estados localizados disponibles a una detenni-nada temperatura, sin tomar en cuenta los estados que quedanfuera de este cúmulo [10, 13]. A los estados que forman el ca-mino de percolaci6n se les conoce como estados de transpor-te [14]. Generalmente se acepta que los materiales amorfostienen una densidad de estados del tipo exponencial y estosse encuentran distribuidos aleatoriamente en el espacio for-mado por un arreglo no periódico [14], por lo que se puededecir que la fracción de sitios ocupados P es equivalente a lafracción de estados localizados disponibles para un portadoren un estados de energía E [15J

Para evaluar las probabilidades de salto y de liberación departículas atrapadas, se tomó en cuenta que la probabilidadde que ocurra un evento está normalizada y que está confor-mada por elementos (sub-conjunlos) de probabilidad {p.},de tal forma que el conjunto de probabilidad total sea {{PI),{P2}, ... ,{Pn}}' Cada sub-conjunto debe ser mútuamenteexcluyente de manera que {p.} n {Pi} = 0, y además debecumplirse que {p¡) U {P2} ... U {Pn} ; {O, ... , I}. De éstafoona podernos utilizar un generador de números aleatoriosen e/ rango {O, ... ,I}. Para determinar cual evento ocurrepara cada realización, se toma un número al azar (rnd) y secompara con el conjunto de probabilidades ({p¡), {P2 l, ...,{Pn} l.Dependiendo del valor de md podemos identificar elsub-conjunto {Pl} al que pertenece, o lo que es igual sabre-mos que evento debe ocurrir.

Rev. Mex. Fís. 44 S3 (1998) 182-185

184 A. PICOS. VEGA. O. ZELAYA-ANGEL. R. RAMiREZ-BON y F.J. ESPINOZA-BELTRÁN

o I(n)

o N(n)

;(n)

1000 2000

Pasos (n)

O

ee

""10'la'

Pasos (n)

la'

o f(n)

o N(n)

10'

•'O•N'iiE<;z'O•'O'.C•É

(a) (b)

FIGURA l. Corriente transitoria l(n) y número de panfculas dentro del cúmulo N(n) en función del número de pasos de la simulación. a)cuando no hay carga atrapada. b) y cuando hay carga atrapada.

6

Experimenta

1 T = 403 K

2 T = 39B K

3

4

Tiempo (mseg)

2,62,42,2

;< 2,01,8.s 1,6

2c 1,4

• 1,2."<; 1.0u 0.8

0,60,40,20,0

O 2

Simulación

1 ¡¡T," 500

2 t¡T1 '" 2,50

3 t,A," 1.66

4 t¡tl:: 125

5 t,!t, Z 100

6 t,lt,=066

7 t,l/1 '" 0.50

500 , 000 1500 2000 2500

Pasos (n)

O

•i•'O",.~(J)

•'é•"<;u

(a) (b)

FIGURA 2. a) Com¡x>rtamiento de la corriente transitoria simulada con los parámetros t2/t¡ de la distribución ~(t). b) Corrientes transitoriasobtenidas experimentalmente para diferentes temperaturas.

Por otro lado, para simular la distribución de tiempos deliberación 4>(n) de la carga atrapada en la región de foto- ge-neración se calculó la distribución delliempo que tardan laspartículas en alravesar un cúmulo de percal ación 4>(n). Es de-cir, 4>(n) representa el número de partículas que logran atra.yesar un cúmulo en n pasos.

5. Resultados

En la Fig. I a se muestra una curva de corriente simulada yel número de partículas dentro del cúmulo en función delnúmero de pasos. Como puede verse, al disminuir la canti-dad de partículas dentro del cúmulo la corriente decae másrápido determinando el tiempo de tránsito. El mismo efectose presenta cuando existe carga atrapada en la región de ex-citación de los portadores fuera de equilibrio. En la Fig. lbvemos que el tiempo del máximo de corriente (tm) está de-terminado por el tiempo de tránsito. es decir la corriente em-pieza a disminuir cuando los portadores son absorbidos por

el contacto una vez que han atravesado el cúmulo. La distri-bución de tiempos de liberación de carga atrapada 4>(t) le dala forma característica a la corriente transitoria.

Aumentando la razÓn de tiempos t,/tl en la distribuciónde tiempos de liberación de carga atrapada 4>(1) se observóque la posición del máximo de la corriente transitoria se co-rre a valores mayores a la vez que su intensidad ¡(tm) dis-minuye. como se muestra en la Fig. 2a. La Fig. 2b muestralas corrientes transitoria~ obtenidas experimentalmente parapelículas policristalinas de CdTe a diferentes temperaturas.El comportamiento de tm con la temperatura es el mismoque el de la simulación mostrada en la Fig. 2a, indicando queel cociente t2/tl actúa como una temperatura. Es decir, laforma de la distribución de tiempos de liberación de la cargaalrapada 4>(1) cambia con la temperatura,

Por otro lado, analizamos la distribución <I>(t) de los tiem-pos en que las partfculas atraviesan el cúmulo de pcrcolacióny encontramos que esta es igual a la distribución de tiemposde liberación de carga atrapada 4>(t) (Fig, 3a). Dado que 4>(t)

Rev. Mex. Fís. 44 53 (1998) 182-185

SIMULACIÓN MONTE CARLO DE TRANSPORTE DISPERSIVO TRANSITORIO CON EFECTO DE CARGA ATRAPADA 185

l/p

a Experimento o

2.5

1.0• o <p(n) (simulada).=- 0.8• -- ;(n) (analitica)"• O .•,;;E:; 0.4z" 0.2•:2•e

0.0~E

•o••Eo":" 10-'

1.0 '.5

o •

oo

2.0

• Simulaci6nlO'

'3••"'.

o 1000 2000 3000 4000

Pasos (n)

(a)

28 30 32l/kT

(b)

FIGURA 3. a) Comparación de la distribución de tiempos de liberación de carga atrapada c/J(t) con la distribución de los tiempos 1>(t) quetardan las panículas en atravesar un cúmulo de percoJación. b) Dependencia con la temperatura (p) de la posición de los picos (tm) decorriente transitoria simulada y experimental.

Se logró simular el efeclo del atrapamiento de carga en la re-gi6n de excitaci6n de 105portadores de carga para las corrien-tes transitorias medidas por la técnica de TOF. El mecanismocausante del atrapamicnto se puede simular haciendo pasar lacarga a través de un cúmulo de percolación antes de que éSlaentre a los estados de transpone. La explicación del mecanis-

fue propuesta solamente por la forma, siendo totalmentecm. pírica, podemos substituirla con la distribución simulada1>(1)sin perder generalidad. Además, si la posición del picode corrienle transitoria depende de la posición del máximo dela corrienle simulada <1>(1), podemos estudiar la dependenciacon la temperatura de la corriente simulada y compararla conlos resultados experimentales de la Fig. 2b. Los resultados semuestran en la Fig. 3b. donde se observa como la posicióndel máximo de corriente tiene una dependencia exponencialcon la temperatura de la forma

6. Conclusiones

1 - t,-leEacl/k7'm - o. . (5)

010 de transporte se puede resumir de la siguiente mancra: losportadores generados por el pulso de luz quedan atrapados enla,; regiones que están desconcctadas del cúmulo de percola-ción formado por los estados de transporte y que se expandea través de todo el sistema. La causa de esta falta de conexi6npuede deberse a una distancia de salto (hopping) muy gran-de o a una diferencia de energía entre estados localizados lalque la probabilidad de lunelamiento es muy pequeña. De eslaforma aunque un portador de carga pueda moverse dentro delas regiones desconectadas, éste no puede salir a los estadosde transporte hasta después de un cierto tiempo.

Corno la conectividad de los estados localizados del sis-lema es mayor para lemperaturas más elevadas (p _ 1), es deesperarse que la corriente transitoria a temperaturas altas seamás intensa al existir más caminos de transporte que permitanque los portadores atraviesen más rápido la muestra.

Agradecimientos

Este trabajo fue elaborado con el apoyo parcial del ConsejoNacional de Ciencia y Tecnologfa,

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