Simulacin de Monte CarloMartn Lpez, SoniaI.CONCEPTOLa Simulacin de Monte Carlo es una tcnica que permite llevar a cabo la valoracin de los proyectos de inversin considerando que una, o varias, de las variables que se utilizan para la determinacin de los flujos netos de caja no son variables ciertas, sino que pueden tomar varios valores. Por tanto, se trata de una tcnica que permite introducir el riesgo en la valoracin de los proyectos de inversin.La tcnica de la simulacin de Monte Carlo se basa en simular la realidad a travs del estudio de una muestra, que se ha generado de forma totalmente aleatoria. Resulta, por tanto, de gran utilidad en los casos en los que no es posible obtener informacin sobre la realidad a analizar, o cuando la experimentacin no es posible, o es muy costosa. As, permite tener en cuenta para el anlisis un elevado nmero de escenarios aleatorios, por lo que, se puede decir que hace posible llevar la tcnica del anlisis de escenarios al infinito ampliando la perspectiva de los escenarios posibles. De esta forma, se pueden realizar anlisis que se ajusten en mayor medida a la variabilidad real de las variables consideradas. La aplicacin de esta tcnica se basa en la identificacin de las variables que se consideran ms significativas, as como las relaciones existentes entre ellas (aunque esto puede resultar realmente complejo), para explicar la realidad a estudiar mediante la sustitucin del universo real, por un universo terico utilizando nmeros aleatorios.La simulacin de Monte Carlo data del ao 1940, cuando Neuman y Ulam la aplicaron en el campo de la experimentacin de armas nucleares. A partir de entonces, se ha demostrado que es una tcnica que puede ser aplicada en campos de diversa ndole, utilizndose por primera vez para el anlisis de inversiones en el ao 1964 por Hertz. Hay algunas aplicaciones informticas especficas, como es el caso del programa"@Risk"de Palisade, o el"Cristal Bowl", que permiten tener en cuenta la correlacin existente entre las variables, y realizar el anlisis del riesgo en la valoracin de proyectos de inversin utilizando la simulacin de Monte Carlo.II.METODOLOGA DE CLCULOLa aplicacin del mtodo de Monte Carlo para valorar inversiones plantea dos aspectos fundamentales; la estimacin de las variables y la determinacin del tamao de la muestra.1.La estimacin de las variablesPara la aplicacin de la simulacin de Monte Carlo se han de seguir los siguientes pasos: -En primer lugar hay que seleccionar el modelo matemtico que se va a utilizar, siendo en el caso de la valoracin de proyectos de inversin los ms habituales el Valor Actual Neto (VAN), y la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR). Segn el valor obtenido para estos mtodos de valoracin se tomar la decisin de si el proyecto es rentable y se lleva a cabo, o no.Z = f(x), donde "x" es la variable desconocida a simular -A continuacin habr que identificar las variables cuyo comportamiento se va a simular (x). Es decir, aquellas que se consideran que no van a tomar un valor fijo, sino que pueden tomar un rango de valores por no tratarse de variables ciertas, as como las relaciones que existen entre ellas (por lo que sera deseable definir los coeficientes de correlacin existentes entre las variables (posibilidad que ofrece el programa"@Risk"). Si no se tuvieran en cuenta dichas interrelaciones, y se simularan las variables de forma independiente, se estara incurriendo en un error en los resultados obtenidos, y se reducira la variabilidad de los resultados al tener lugar el efecto de compensacin en la interaccin de las variables. -Una vez identificadas las variables que se van a simular, hay que determinar la funcin de densidad de probabilidad f(x) asociada a cada una de ellas. -Posteriormente, se obtendrn las funciones de distribucin asociadas a las variables (o variable). -A continuacin se procede a la generacin de nmeros aleatorios (nmeros tomados al azar) comprendidos entre cero y uno. Estos nmeros pueden obtenerse utilizando un ordenador, siendo necesarios tantos como variables se consideren en el modelo multiplicado por el nmero de simulaciones que se deseen realizar. -Una vez se dispone de los nmeros aleatorios, stos se llevan sobre el eje de ordenadas, y se proyectan horizontalmente sobre las correspondientes funciones de distribucin F(x) de las variables (o la variable) del modelo. -El valor as calculado de "x" ser el primer valor de la muestra simulada. -Este proceso habr de repetirse el nmero de veces necesario para poder disponer del nmero adecuado de valores muestrales. -A continuacin, se sustituyen los valores simulados en el modelo matemtico para ver el resultado obtenido para las simulaciones realizadas. En el caso del anlisis de proyectos de inversin en los que se utiliza como mtodo de valoracin el VAN, hay que tener en cuenta que la tasa de descuento a utilizar en las simulaciones es la tasa libre de riesgo, porque en caso contrario se estara penalizando doblemente al proyecto de inversin, tanto en el numerador como en el denominador por el riesgo. No obstante, en contra de esta posicin que es la que se utiliza habitualmente en la prctica empresarial, se encuentra la de los autores Brealey y Myers, quienes limitan la utilidad de la simulacin de Monte Carlo a la mejor estimacin de los flujos netos de caja, y proponen aplicar para el descuento de los mismos la tasa de descuento ajustada por el riesgo, y no la tasa libre de riesgo, porque consideran que hay un nico VAN. -Posteriormente, se agrupan y clasifican los resultados. Se comparan los casos favorables, con los casos posibles, y se agrupan por categoras de resultados. -Para finalizar, se lleva a cabo el anlisis estadstico y de inferencia sobre el comportamiento de la realidad, siendo interesante calcular la media, la varianza y la desviacin tpica. Por ejemplo, en la valoracin de proyectos de inversin, es habitual llevar a cabo el anlisis de la viabilidad de un proyecto de inversin analizando la probabilidad de que el Valor Actual Neto (VAN) sea positivo (P(VAN>0)), as como el anlisis de sensibilidad con el objetivo de identificar aquellas variables que son consideradas crticas por tener mayor impacto sobre el VAN.2.Estimacin del tamao de la muestraPara determinar el tamao de la muestra, se empezar utilizando un nmero no demasiado elevado de simulaciones, que se sustituirn en el modelo matemtico seleccionado, y se calcular la media y la desviacin tpica correspondiente al mismo. A continuacin, se ir ampliando el tamao de la muestra hasta que la media y la desviacin tpica no varen significativamente en relacin con los resultados obtenidos con la muestra anterior.Se pueden aplicar dos procedimientos: -Procedimiento aditivo: se parte de un nmero inicial de simulaciones (n), y se calcula la media y la desviacin tpica del modelo matemtico utilizado. A continuacin se procede a aadir un nmero de nuevas simulaciones equivalente al bloque inicial (n), de tal forma que ahora se calcula la media y la desviacin tpica del modelo matemtico utilizando para ello un nmero de simulaciones que asciende a "2n". La nueva media y desviacin tpica as calculadas se comparan con las anteriores, repitindose el proceso hasta que la media y la desviacin tpica no diverjan en ms de un 0,5 1 por ciento. El inconveniente que presenta este mtodo es que segn se van aadiendo nuevos bloques de simulaciones, las simulaciones antiguas tienen mayor peso que las nuevas.Ejemplo:Paso 1: Tamao del bloque de simulaciones "n".Paso 2: Tamao del bloque de simulaciones "n+n = 2n". Si no hay convergencia, entonces paso 3, sino finalizar.Paso 3: Tamao del bloque de simulaciones "2n+n = 3n". Si no hay convergencia, entonces paso 4, sino finalizar.Y as, sucesivamente hasta alcanzar la convergencia. -Procedimiento multiplicativo: se parte de un nmero inicial de simulaciones (n), y se calcula la media y la desviacin tpica del modelo matemtico utilizado. A continuacin se procede a aadir un nmero de nuevas simulaciones equivalente a las acumuladas hasta ese momento, de tal forma que ahora se calcula la media y la desviacin tpica del modelo matemtico utilizando para ello un nmero de simulaciones que es el doble de las utilizadas en el paso anterior. La nueva media y desviacin tpica as calculadas se comparan con las anteriores, repitindose el proceso hasta que la media y la desviacin tpica no diverjan en ms de un 0,5 1 por ciento. De esta forma se soluciona el inconveniente presentado por el procedimiento anterior, dado que los nuevos bloques de simulaciones que se van agregando tienen el mismo peso que el existente en el paso anterior, por lo que la variabilidad del nuevo bloque de simulaciones tiene el mismo peso sobre el total que la del bloque anterior, siendo por tanto en un mtodo ms perfecto.Ejemplo:Paso 1: Tamao del bloque de simulaciones "n".Paso 2: Tamao del bloque de simulaciones "2xn = 2n". Si no hay convergencia, entonces paso 3, sino finalizar.Paso 3: Tamao del bloque de simulaciones "2x2n = 4n". Si no hay convergencia, entonces paso 4, sino finalizar.Y as, sucesivamente hasta alcanzar la convergencia.III.APLICACIN A UN CASO PRCTICOUna empresa est analizando la posibilidad de llevar a cabo un proyecto de inversin que requiere una inversin inicial que puede oscilar entre los 10.000 y los 14.000 euros, siendo las probabilidades asociadas a cada uno de los posibles desembolsos iniciales las que aparecen recogidas en la siguiente tabla:Desembolso inicialProbabilidad

10.000 0,20

12.000 0,45

14.000 0,35

Adems, se sabe que la duracin del proyecto de inversin es de 4 aos.Se estima que el valor del primer flujo neto de caja puede tomar cualquier valor comprendido entre los 5.000 y los 9.000 euros, siendo equiprobables los valores intermedios. Los flujos netos de caja que se generan en los aos sucesivos podrn oscilar entre un 15 por ciento por encima, o por debajo, del valor del flujo neto de caja del ao anterior. Adems, se sabe que la rentabilidad del activo libre de riesgo es del 10 por ciento.Con estos datos se desea conocer la viabilidad del proyecto de inversin analizado segn el mtodo de valoracin del Valor Actual Neto (VAN), utilizando para ello la tcnica de simulacin de Monte Carlo realizando un total de cinco simulaciones.Solucin:- En primer lugar hay que seleccionar el modelo matemtico que se va a utilizar, que en este caso ser el Valor Actual Neto (VAN).Por tanto:Mostrar/Ocultar, donde i = 1..4La tasa de descuento a utilizar en las simulaciones es la tasa libre de riesgo (10 por ciento).- A continuacin habr que identificar las variables cuyo comportamiento se va a simular.En este caso las variables que se van a simular son tres: El desembolso inicial del proyecto de inversin. El valor del primer flujo neto de caja. El valor del resto de flujos netos de caja.- Posteriormente hay que determinar la funcin de densidad de probabilidad asociada a cada una de ellas.- El desembolso inicial del proyecto de inversin: se trata de una variable discreta que slo puede tomar los valores 10.000, 12.000 y 14.000, con unas probabilidades asociadas respectivamente del 20, 45 y 35 por ciento. La representacin grfica de su funcin de densidad es la siguiente:Mostrar/Ocultar- El valor del primer flujo neto de caja: se trata de una variable contina que puede tomar cualquier valor comprendido entre 5.000 y 9.000 euros, siendo cualquier valor intermedio comprendido entre dicho mnimo y mximo equiprobable, por lo que sigue una distribucin uniforme o rectangular. Los valores superiores o inferiores a los extremos anteriormente citados tienen una probabilidad de ocurrencia nula. La representacin grfica de su funcin de densidad es la siguiente:Mostrar/Ocultar- El resto de flujos netos de caja: son variables continas cuyos valores pueden oscilar entre un 15 por ciento por encima o por debajo del valor del flujo neto de caja inmediatamente anterior, por lo que tambin siguen una distribucin uniforme o rectangular. Los valores superiores o inferiores a los extremos anteriormente citados tienen una probabilidad de ocurrencia nula. La representacin grfica de su funcin de densidad es la siguiente:Mostrar/Ocultar- El siguiente paso consiste en obtener las funciones de distribucin asociadas a las variables.- Para el desembolso inicial del proyecto de inversin, la funcin de distribucin viene dada por la probabilidad acumulada, de tal forma que:Desembolso inicialProbabilidadProbabilidad Acumulada

10.000 0,200,20

12.000 0,450,65

14.000 0,351,00

Representacin grfica:Mostrar/Ocultar- Para el valor del primer flujo neto de caja, al seguir una distribucin uniforme o rectangular, la representacin grfica de su funcin de distribucin de probabilidad es una recta, tal y como se muestra en la figura siguiente:Mostrar/Ocultar- Para el valor del resto de flujos netos de caja, al seguir tambin una distribucin uniforme o rectangular, la representacin grfica de su funcin de distribucin de probabilidad es una recta, tal y como se muestra en la figura siguiente:Mostrar/Ocultar- A continuacin se procede a la generacin de nmeros aleatorios comprendidos entre cero y uno, siendo necesarios tantos como variables se consideren en el modelo multiplicado por el nmero de simulaciones que se deseen realizar. Para el desembolso inicial del proyecto de inversin se necesitan cinco nmeros aleatorios, siendo en este caso los siguientes: 0,22; 0,62; 0,81; 0,07 y 0,45. Para el valor del primer flujo neto de caja se necesitan tambin cinco nmeros aleatorios, siendo en este caso los siguientes: 0,21; 0,03; 0,12; 0,80 y 0,66. Para el valor del resto de flujos netos de caja se necesitan 15 nmeros aleatorios, siendo en este caso los siguientes: 0,10; 0,43; 0,17; 060; 0,05; 0,18; 0,38; 0,39; 0,72; 0,12; 0,66; 0,97; 0,48; 0,56 y 0,25.- Una vez se dispone de los nmeros aleatorios, stos se llevan sobre el eje de ordenadas, y se proyectan horizontalmente sobre las correspondientes funciones de distribucin. De tal forma que el valor as calculado para cada variable ser el valor de la muestra simulada. Este proceso debe repetirse el nmero de veces necesario para poder disponer del nmero adecuado de valores muestrales, en este caso, cinco veces.- Para el desembolso inicial del proyecto de inversin, cada nmero aleatorio se lleva sobre la columna de la probabilidad acumulada, obtenindose as el desembolso inicial simulado.- Para la primera simulacin el nmero aleatorio generado ha sido 0,22; nmero que est comprendido entre 0,20 y 0,65; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversin para la primera simulacin sera de 12.000 euros.- Para la segunda simulacin el nmero aleatorio generado ha sido 0,62; nmero que est comprendido entre 0,20 y 0,65; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversin para la segunda simulacin sera de 12.000 euros.- Para la tercera simulacin el nmero aleatorio generado ha sido 0,81; nmero que est comprendido entre 0,65 y 1,00; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversin para la tercera simulacin sera de 14.000 euros.- Para la cuarta simulacin el nmero aleatorio generado ha sido 0,07; nmero que est comprendido entre 0,00 y 0,20; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversin para la cuarta simulacin sera de 10.000 euros.- Para la quinta simulacin el nmero aleatorio generado ha sido 0,45; nmero que est comprendido entre 0,20 y 0,45; por tanto, el desembolso inicial del proyecto de inversin para la quinta simulacin sera de 12.000 euros.Los resultados obtenidos para el valor del desembolso inicial para cada una de las cinco simulaciones aparecen recogidos en la tabla siguiente:SimulacinNmero aleatorioDesembolso inicial simulado

Primera0,2212.000

Segunda0,6212.000

Tercera0,8114.000

Cuarta0,0710.000

Quinta0,4512.000

- Para el valor del primer flujo neto de caja se procede a proyectar horizontalmente los nmeros aleatorios sobre la correspondiente funcin de distribucin, debindose calcular, en este caso, la ecuacin de la recta correspondiente.Al seguir el flujo neto de caja asociado al primer ao una distribucin rectangular o uniforme se proyectan los nmeros aleatorios generados sobre la recta (es posible calcular su ecuacin dado que tenemos dos puntos: (5.000,0) y (9.000,1)) y se despeja el valor de la variable "x" (FNC1), de tal forma que:Mostrar/OcultarAs, para el caso del primer nmero aleatorio obtenido (0,21) se sustituye en la ecuacin anterior en la variable "y", obtenindose el valor de la variable "x" (flujo de caja asociado al primer ao) para la primera simulacin, siendo:FNC1= 4.000 x (0,21) + 5.000 = 5.828,48 Grficamente:Mostrar/OcultarEl proceso se repetir tantas veces como simulaciones sean necesarias, en este caso cinco veces.Segunda simulacin: FNC1= 4.000 x (0,03) + 5.000 = 5.129,28 Tercera simulacin: FNC1= 4.000 x (0,12) + 5.000 = 5.491,59 Cuarta simulacin: FNC1= 4.000 x (0,80) + 5.000 = 8.185,57 Quinta simulacin: FNC1= 4.000 x (0,66) + 5.000 = 7.623,24 Los resultados obtenidos para el valor del flujo neto de caja asociado al primer ao para cada una de las cinco simulaciones aparecen recogidos en la tabla siguiente:SimulacinNmero aleatorioFNC1

Primera0,215.828,48

Segunda0,035.129,28

Tercera0,125.491,59

Cuarta0,808.185,57

Quinta0,667.623,24

- Para el valor del resto de flujos netos de caja se procede de forma similar al caso anterior, pero teniendo en cuenta que el valor del correspondiente flujo neto de caja podr estar un 15 por ciento por encima, o por debajo, del valor del flujo neto de caja estimado para el ao anterior. De tal forma que:FNCi-1x (1-0,15) FNCi FNCi-1x (1+0,15)Donde i = 2, 3 y 4.En este caso, las variables tambin siguen una distribucin rectangular o uniforme, siendo la ecuacin de la recta:Mostrar/OcultarEs decir: FNCi= 0,3 x FNCi-1x y + 0,85 x FNCi-1Por tanto: FNCi= FNCi-1x (0,3 x y + 0,85)Para la primera simulacin, hay que tener en cuenta que el valor asociado al flujo neto de caja del primer ao era de 5.828,48 , por tanto:FNC2= FNC1x (0,3 x y + 0,85) = 5.828,48 x (0,3 x 0,10 + 0,85) = 5.128,27 FNC3= FNC2x (0,3 x y + 0,85) = 5.128,27 x (0,3 x 0,43 + 0,85) = 5.022,55 FNC4= FNC3x (0,3 x y + 0,85) = 5.022,55 x (0,3 x 0,17 + 0,85) = 4.521,04 Para la segunda simulacin, hay que tener en cuenta que el valor asociado al flujo neto de caja del primer ao era de 5.129,28 , por tanto:FNC2= FNC1x (0,3 x y + 0,85) = 5.129,28 x (0,3 x 0,60 + 0,85) = 5.276,87 FNC3= FNC2x (0,3 x y + 0,85) = 5.276,87 x (0,3 x 0,05 + 0,85) = 4.570,43 FNC4= FNC3x (0,3 x y + 0,85) = 4.570,43 x (0,3 x 0,18 + 0,85) = 4.137,41 El procedimiento se repetir con las cinco simulaciones. Los resultados obtenidos aparecen recogidos en la tabla siguiente:SimulacinNmero aleatorioFNC2Nmero aleatorioFNC3Nmero aleatorioFNC4

Primera0,105.128,270,435.022,550,174.521,04

Segunda0,605.276,870,054.570,430,184.137,41

Tercera0,385.296,200,395.116,140,725.449,19

Cuarta0,127.258,620,667.597,000,978.677,76

Quinta0,487.573,520,567.706,290,257.132,44

- A continuacin, se sustituyen los valores simulados en el modelo matemtico, que en este caso es el VAN, para ver el resultado obtenido para las simulaciones realizadas.Primera simulacin:Mostrar/OcultarSegunda simulacin:Mostrar/OcultarTercera simulacin:Mostrar/OcultarCuarta simulacin:Mostrar/OcultarQuinta simulacin:Mostrar/OcultarLos resultados obtenidos para cada una de las cinco simulaciones aparecen recogidos en la tabla siguiente:SimulacinFNC0FNC1FNC2FNC3FNC4VAN

Primera-12.000,005.828,485.128,275.022,554.521,044.398,30

Segunda-12.000,005.129,285.276,874.570,434.137,413.283,77

Tercera-14.000,005.491,595.296,205.116,145.449,192.935,09

Cuarta-10.000,008.185,577.258,627.597,008.677,7615.075,05

Quinta-12.000,007.623,247.573,527.706,297.132,4411.850,73

- En las cinco simulaciones realizadas el valor del VAN es positivo, siendo el valor del VAN medio de 7.508,59 euros, por lo que interesara llevar a cabo el proyecto de inversin.Sonia Martn Lpez