Simulación de Sistemas

Modelado y Simulacin de Sistemas

Curso de Simulacin de Sistemas

MSc. Julio Rito Vargas A.2013

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Mapa Conceptual de la Clase

Utilidad

Modelo de

Simula

cin

S

I

S

T

E

M

A

M

O

D

E

L

O

Modelo

Analgi

coTipos de

Model

os

Tipos de

Simula

cinModelo

Matem

tico

continuo

discreto

Modelo

Fsico

continuo

eventos

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Objetivo de la conferencia

Definir los conceptos de sistema y modelo.

Identificar los tipos de modelos.

Definir el concepto de simulacin.

Identificar los tipos de modelos de simulacin.

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Tabla de Contenido

Objetivo

Sistemas

Modelos

Tipos de Modelos

Simulacin

Pertinencia de la simulacin

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Qu es un sistema?

Es un conjunto de partes inter-relaciondas.

Existe en un medio ambiente separado por sus lmites.

Persigue un objetivo.

Dependen del observador.

Lmite del sistema

Parte del sistema

Relacin

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Ejercicio 1

Todos los sistemas son iguales?

De qu depende?

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Definicin de los sistemas

Estructural

Se define el sistema identificando y describiendo cada una de sus partes.

Se considera que luego de hacer esto se puede conocer al sistema.

Funcional

Se define el sistema considerando cada una de sus partes como una caja negra y conociendo las interrelaciones que

existen entre ellas.

Se conoce al sistema, si es que se conoce su dinmica.

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Ejercicio 2

Diga a qu tipo de definicin corresponde cada uno de los

siguientes sistemas.

1. Diagrama de un circuito electrnico.

2. Plano de una casa.

3. Diagrama de procesos de una organizacin.

4. Organigrama.

5. Modelo de control de una planta.

6. Modelo epidemiolgico de una enfermedad.

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Propiedades de los sistemas

Sinergia.

La interrelacin de las partes es mayor o menor que lasimple suma de las partes.

Entropa

Indica el grado de desorden del sistema. Se puede reducirla entropa ingresando informacin al sistema.

Equilibrio homeosttico.

Equilibrio dinmico

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Ejercicio 3

Cul es un sistema?

11 /62

Dnde estn los sistemas?

Sistema?

12 /62

Dnde estn los sistemas?

Los sistemas son

constructos mentales.

Corresponden a la

representacin mental

de los objetos del mundo

real.

Cada sistema depende del

punto de vista del

observador (modelador).

Corresponden a modelos de

la realidad (modelo

mental)Diferentes Personas Diferentes Visiones Diferentes Sistemas

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Ejercicio 4

Qu observa?

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Ejercicio 5

Cul es el sistema?

el plano de la casa, la casa, ambos o ninguno

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MODELOS

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Modelos

Es una abstraccin de la realidad.

Es una representacin de la realidad que ayuda a entendercmo funciona.

Es una construccin intelectual y descriptiva de una entidaden la cual un observador tiene inters.

Se construyen para ser transmitidos.

Supuestos simples son usados para capturar elcomportamiento importante.

Un modelo es un sistema desarrollado para entender la realidad y en

consecuencia para modificarla.

No es posible modificar la realidad, en cierta direccin, si es que no se

dispone de un modelo que la interprete.

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Ejercicio 6

1. Indica mtodos/procedimientos alternativos para modificar

la realidad, sin necesidad de usar modelos abstractos.

Qu tan confiables son?

Se puede desarrollar una teora que las respalde?

2. Indique dominios del conocimiento humano donde todava

no se dispone de modelos que la interpreten.

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Ejercicio 7

Modelar la siguiente realidad

Qu aspecto es importante?

De quin depende la importancia?

19 /62

Modelos

Modelo

Sistema

RealObservador

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Para qu sirve un modelo?

Ayuda para el pensamiento

Ayuda para la comunicacin

Para entrenamiento

e instruccin

Ayuda para la experimentacin

Herramienta de prediccin

el modelo o la realidad?

Modelos Mentales y Formales

Modelos Mentales. Dependede nuestro punto de vista,

suele ser incompletos y no

tener un enunciado preciso,

no son fcilmente

transmisibles.

Ideas, conceptualizaciones

Modelo Formales. Estnbasados en reglas, son

transmisibles.

Planos, diagramas,

maquetas

Piedra de Sayhuite, Abancay

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Ejercicio 8

Diga a qu categora (mental o formal) pertenecen los

siguientes sistemas:

1. Opinin sobre el nuevo gabinete.

2. Opinin sobre el nuevo gabinete escrito en El Comercio.

3. Dibujo hecho a mano acerca de la nueva casa.

4. Plano de la nueva casa.

5. Modelo de clases o objetos del rea de ventas.

6. Orden en que llegan los insumos a una mquina.

7. Distribucin de probabilidad del orden en que llegan los

insumos a una mquina.

8. Orden que sigue un documento para ser aprobado.

9. Flujograma de aprobacin de documentos.

Mo

de

los fs

ico

s

Mo

de

los a

esca

la

Mo

de

los a

na

lg

ico

s

Sim

ula

ci

n p

or

com

puta

dora

Modelo

s

ma

tem

tico

s.

Modelos Icnicos y Abstractos

Exactitud Abstraccin

1. Planta piloto

2. Modelo de un tomo, globo terrqueo, maqueta

3. Reloj, medidores de voltaje, grfica de volumen/costo

4. Modelos de colas, modelos de robots

5. Velocidad, ecuaciones diferenciales.

icnico abstracto

Modelo analgico. Son aquellos en los que una propiedad del objeto real est representa-

da por una propiedad sustituida, por lo que en general se comporta de la misma

manera.

Ejercicio 9

1. Oficina Bancaria

2. Temperatura

3. Edificio

4. Pas

5. Empresa

6. Software

7. Epidemia

8. Reaccin Nuclear

9. Energa

1. Termmetro

2. Mapa

3. Plano

4. Organigrama

5. Flujograma

6. Diagrama Causal

7. Cola M/M/1

8. Modelo Matemtico

9. E = mc2

Relaciona las siguientes dos listas.

Identificar qu modelo(s) se usa(n) para representar los

siguientes aspectos de la realidad.

Indicar el tipo de modelo.

realidad modelo

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TIPOS DE MODELOS

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Tipos de modelos

Estocstico. Uno o ms parmetros aleatorios. Entradas fijas produce salidasdiferentes

Determinstico. Entradas fijas producen salidas fijas Esttico. Estado del sistema como un punto en el tiempo Dinmico. Estado del sistema como cambios en el tiempo Tiempo-continuo. El modelo permite que los estados del sistema cambien en

cualquier momento.

Tiempo-discreto. Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretosdel tiempo.

estocstico

determinstico

esttico dinmico

tiempo-discreto

tiempo-continuo

curso

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Determinstico

Si el estado de la variable en el

siguiente instante de tiempo se

puede determinar con los datos

del estado actual

Mtodo numrico: algn mtodo de

resolucin analtica

Estocstico - Determinstico

Estocstico (*)

Si el estado de la variable en el

siguiente instante de tiempo no se

puede determinar con los datos del

estado actual

Mtodo analtico: usa probabilidades

para determinar la curva de

distribucin de frecuencias

xi yi xi yi

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Discreto (*)

El estado del sistema cambia en

tiempos discretos del tiempo

e = f(nT)

Mtodo numrico: usa

procedimientos computacionales

para resolver el modelo

matemtico.

Continuo - Discreto

Continuo

El estado de las variables cambia

continuamente como una funcin del

tiempo

e = f (t)

Mtodo analtico: usa razonamiento de

matemticas deductivas para definir y

resolver el sistema

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Dinmico (*)

Si el estado de las variables puede

cambiar mientras se realiza algn

clculo

f [ nT ] f [ n(T+1) ]

Mtodo numrico: usa

procedimientos computacionales

para resolver el modelo

matemtico.

Esttico - Dinmico

Esttico

Si el estado de las variables no

cambian mientras se realiza algn

clculo

f [ nT ] = f [ n(T+1) ]

Mtodo analtico: algn mtodo de

resolucin analtica.

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Esttica versus Dinmica

Juega el tiempo un papel en el Modelo?

Cambios Continuos versus Cambios Discretos

Puede el estado cambiar continuamente o slo cambiar en algunos instantes del tiempo?

Determinstico versus Estocstico

Es todo cierto o existe incertidumbre?

La Mayora de los modelos Operacionales son:

Dinmicos, Cambios-Discretos y Estocsticos

Tipos de Simulacin

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Ejercicio 10

Para los siguientes sistemas, determine la variable de inters

y el tipo de sistema:

Sistema Variable de

Inters

Continu

a /

Discret

a

Estocst

ica/

Determi

nstica

Esttica

/

Dinmi

ca

Control de

inventarios

Demanda,

Pedido

Control de peaje Tiempo entre

Llegada

Diagnstico

mdico

Tiempo de

atencin

Despacho de

combustible

Tiempo entre

llegadas

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SIMULACION

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Simulacin

Es la construccin de modelos informticos quedescriben la parte esencial del comportamiento de un

sistema de inters, as como disear y realizar

experimentos con el modelo y extraer conclusiones de sus

resultados para apoyar la toma de decisiones.

Se usa como un paradigma para analizar sistemascomplejos. La idea es obtener una representacin

simplificada de algn aspecto de inters de la realidad.

Permite experimentar con sistemas (reales o propuestos)en casos en los que de otra manera esto sera imposible o

imprctico.

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Simulacin

El sistema simulado imita la operacin del sistema actual sobre eltiempo.

La historia artificial del sistema puede ser generado, observado yanalizado.

La escala de tiempo puede ser alterado segn la necesidad.

Las conclusiones acerca de las caractersticas del sistema actualpueden ser inferidos.

Sistema Actual

Sistema Simulado

parmetros

entrada(t)

salida(t)

=??

salida(t)

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Estructura de un modelo de simulacin

si = f(ci, ni)

ci: variable exgena controlable

ni: variable exgena no controlable

ei: variable endgena (estado del sistema)

si: variable endgena (salida del sistema)

ci

ni

ni

si

si

ei

ei

ei

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Ejercicio 11

Simular el comportamiento del siguiente sistema para 10 unidades de tiempo, k = 2 y y0 = -2

A qu tipo de modelo corresponde?

k

y0

yt = yt-1 + k yt

t Y

t

Yt-

1

0 -2 -4

1 0 -2

2 2 0

3 4 2

4 6 4

5 8 6

6 10 8

7 12 10

8 14 12

9 16 14

10 18 16

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PERTINENCIA

38 /62

Cuando es apropiado simular?

No existe una completa formulacin matemtica delproblema (lneas de espera, problemas nuevos).

Cuando el sistema an no existe (aviones, carreteras).

Es necesario desarrollar experimentos, pero su ejecucinen la realidad es difcil o imposible (armas, medicamentos,campaas de marketing)

Se requiere cambiar el periodo de observacin delexperimento (cambio climtico, migraciones, poblacin).

No se puede interrumpir la operacin del sistema actual(plantas elctricas, carreteras, hospitales).

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Tiempo

Costos de OperacinCON Simulacin

Costo Costos de OperacinSIN Simulacin

Justificacin Econmica

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Cundo no es apropiado simular?

El desarrollo del modelo de simulacin requiere muchotiempo.

El desarrollo del modelo es costoso comparado con susbeneficios.

La simulacin es imprecisa y no se puede medir suimprecisin. (El anlisis de sensibilidad puede ayudar).

41 /62

Maneras de estudiar un sistema

Segn Law y Kelton

Sistema

Experimentarcon el

sistema

Experimentarcon un modelo

del sistema

Modelo

fsicoModelo

matemtico

Solucin

analticaSIMULACIN

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Ejercicio 12

Diga qu problemas pueden ser estudiados mediante el uso

de modelos de simulacin:

1. Decidir si construir o no la carretera interocenica entre

Per y Brasil.

2. Decidir la aplicacin de una nueva vacuna.

3. Probar la efectividad de un sistema de armamento.

4. Decidir si es conveniente o no construir un puente.

5. Decidir cuantas ventanillas de atencin colocar en una

nueva oficina bancaria.

6. Decidir cuantos puntos de atencin a clientes colocar.

7. Decidir si construir o no una central nuclear en el Per.

8. Decidir si vender o no el puerto del Callao.

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Ejercicio 13

Sistema real:

Seccin de caja de un supermercado.

Identificar:

Elementos o entidades.

Actividades por cada entidad.

Variables exgenas:

Controlables.

No controlables.

Variables endgenas:

De estado

De salida

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Ejercicio 14

Sistema de colas con un solo canal, por ejemplo una cajaregistradora.

El tiempo de llegada entre clientes esta distribuido uniformementeentre 1 y 10 minutos.

El tiempo de atencin de cada cliente esta distribuido uniformementeentre 1 y 6 minutos.

Calcular: Tiempo promedio en que un cliente permanece dentro del sistema.

Porcentaje de tiempo desocupado del cajero.

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Solucin10 0 6

No

tiempo

llegada

Hora

llegada

Hora

inicio

servicio

tiempo

servicio

Hora fin

servicio

Tiempo

espera

Tiempo

cajero

inactivo

0

1 9 9 9 3 12 3 9

2 2 11 12 2 14 3 0

3 6 17 17 4 21 4 3

4 8 25 25 6 31 6 4

5 6 31 31 4 35 4 0

6 9 40 40 4 44 4 5

7 4 44 44 3 47 3 0

8 3 47 47 3 50 3 0

9 5 52 52 4 56 4 2

10 5 57 57 4 61 4 1

11 5 62 62 6 68 6 1

12 10 72 72 3 75 3 4

13 2 74 75 1 76 2 0

14 2 76 76 4 80 4 0

15 4 80 80 3 83 3 0

16 8 88 88 2 90 2 5

17 8 96 96 2 98 2 6

18 3 99 99 3 102 3 1

19 6 105 105 5 110 5 3

20 3 108 110 2 112 4 0

68 72 44

5.4 3.4 3.6 2.2

46 /62

Conclusiones

Los modelos se construyen para entender la realidad.

Los modelos de simulacin hacen uso intensivo del computador

El tipo comportamiento de las variables determinan el comportamiento del sistema.

Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 1

Anlisis Dinmico de Sistemas2 Ing. Telecomunicacin

Tema 1. Concepto de Sistema


Concepto de seal

Seal: funcin de una o ms variables quetransportan informacin acerca de la naturaleza deun fenmeno [Haykin].

t

x(t)

tiempo


Concepto de sistema

Sistema [Haykin]: entidad que manipula una o msseales para llevar a cabo una funcin, produciendode ese modo nuevas seales.

Sistema [Puente]: conjunto de elementos, fsicos oabstractos, relacionados entre s de forma quemodificaciones o alteraciones en determinadasmagnitudes (variables, seales) de uno de ellospuedan influir o ser influidos por las de los dems.


Concepto de sistema

Elemento1

Elemento3

Elemento2

Elemento4

Sistema

Ejemplos desistemas:

Telfono mvil

Red decomputadores

Reactor qumico

Fuente dealimentacin

Filtro de seal

Sistema deposicionamientode satlite

Seal 1

Seal 2

Seal 3

Seal 4

Seal 5

Seal 6

Seal 7

Seal 0


Representaciones interna yexterna

Representacin externa: anlisis a partir de lasmanifestaciones externas del sistema. Filosofa de caja negra.Relacin entrada/salida funcin de transferencia.

Representacin interna: descripcin del sistema a travs devariables internas denominadas variables de estado: conjuntode variables tales que siendo conocidas para t=t0, y conocida laentrada para t>=t0, permite obtener la salida tambin para todot>=t0.


Representaciones interna yexterna

SistemaEntradas Salidas

Perturbaciones

Vbles. de estado: x1,x2,...,xn

u1u2u3...up

y1y2y3...yq

z1 z2 z3 ... zr

No usadas conrepresentacin externa


Tipos de sistemas

En bucle abierto / Realimentados Lineales / No lineales De parmetros concentrados / distribuidos Estacionarios / Variantes Deterministas / Estocsticos Monovariables / Multivariables Continuos / Discretos


Sistemas en Bucle Abierto

Bucle abierto: la seal de entrada actua directamentesobre el controlador del sistema.

Elementos decontrol Planta o proceso

Entrada Salida


Sistemas Realimentados

Bucle cerrado (realimentados): la seal de entrada, antesde ser introducida en el controlador del sistema, esmodificada en funcin de la salida.

Elementos decontrol Planta o proceso

Entrada Salida

Elementos derealimentacin

+


Sistemas Realimentados

Cerebro Ducha

Preferencia detemperatura Temperatura

piel

+

mano

actuadorregulador

sensor

consigna

proceso

Apertura grifo

agua fra

Seal nerviosa

mov. msculo

Seal nerviosa

sensacin

Error

Esquema tpico de control. Ejemplo de la ducha: el grifo del agua caliente est

abierto al mximo. Ajustamos temperatura del agua con el grifo de agua fra.

Ejemplo de perturbacin: alguien abre el grifo de agua caliente en otra parte de la casa, llega menos

agua caliente a la ducha y la mezcla se enfra. Gracias a la realimentacin el cerebro detecta la nueva

situacin y da la orden de cerrar un poco el grifo de agua fra.


Sistemas Lineales/No LinealesLos sistemas lineales cumplen el

Principio de Superposicin:

si

entonces


Sistemas de ParmetrosConcentrados/Distribuidos

Sistemas de parmetros concentrados: aquellos enlos que no es necesario considerar la distribucinespacial de sus parmetros (p.ej. la masa en unsistema mecnico) sino que se puede considerarconcentrados en un punto.

Sistemas de parmetros distribuidos: aquellos en losque es necesario considerar la distribucin espacialde sus parmetros.


Sistemas Estacionarios/Variantes

Sistemas estacionarios: sus parmetros sonconstantes. Ante la misma entrada en distintosinstantes responden igual.

Sistemas variantes: su comportamiento (parmetros)vara con el tiempo.


SistemasDeterministas/Estocsticos

Sistemas deterministas: su salida es predecible. Sedispone de modelos explcitos.

Sistemas estocsticos: su salida es impredecible.Estudio estadstico.


SistemasMonovariables/Multivariables

Sistemas monovariables: tienen una sola entrada yuna sola salida (SISO=Single Input Single Output).

Sistemas estocsticos: tienen ms de una entrada(MISO=Multiple Input Single Output) o ms de unasalida (SIMO=Multiple Input Single Output) o ambas(MIMO=Multiple Input Multiple Output).


Sistemas Continuos/Discretos

Sistemas continuos: sus seales son variablescontinuas en el tiempo.

Sistemas discretos: sus seales son consideradas oexisten slo a intervalos discretos de tiempo. Suelenser resultado de un muestreo de seales continuas.

x(t)

t

xk

k


Bibliografa

Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 1 de 30

Tema 2

Anlisis Dinmico de Sistemas2 Ing. Telecomunicacin


Ecuaciones Diferenciales y Dinmicadefinicin de la RAE

4. m. Esquema terico, generalmente en formamatemtica, de un sistema o de una realidadcompleja, como la evolucin econmica de un pas,que se elabora para facilitar su comprensin y elestudio de su comportamiento.

Modelo: (definicin de la RAE)


Ecuaciones Diferenciales y Dinmicamodelo dinmico

Uno de los modelos dinmicos ms tpicos en Ingenieraes la Ecuacin Diferencial

En muchos procesos y sistemas son necesarias variasecuaciones diferenciales para describir adecuadamentela dinmica

Modelo DinmicoUn modelo dinmico constituye una descripcin,generalmente matemtica,del comportamiento dinmico un sistema.


Ecuaciones Diferenciales y Dinmicaprincipio de simplicidad Casi siempre, los modelos son aproximaciones ms o menos precisas del

proceso. Depende de qu se tenga en cuenta y qu se desprecia en el modelo (ej. a

veces se desprecia el rozamiento del aire, etc.)

simplicidad precisin

Navaja de Occam:Buscar el modelo ms simple posible

que describa suficientementelos factores que necesitamos analizar

en funcin de nuestro problema

qu debemos despreciar?

Estudiar el contexto del problema qu factores importan? qu factores pueden despreciarse? qu simplificaciones son asumibles?


Ecuaciones Diferenciales y Dinmicaecuacin diferencial

De una forma muy general, un sistema SISOpuede modelarse segn una ecuacin diferencial del tipo

Grficamente,


Ecuaciones Diferenciales y Dinmicaejemplo de sistema dinmico: masa en movimiento

segunda ley de Newton:

mF(t)

x(t)

Sistema(masa)

Sistema(masa)

F(t) x(t)

causa(entrada)

respuesta(salida)


Ecuaciones Diferenciales y Dinmicaejemplo de sistema dinmico: depsito

caudalde

entrada

caudalde

salida qs(t) depsitodepsitoqe(t) h(t)

causa(entrada)

qs(t)

respuestas(salidas)

[Ogata, p. 125]


Ecuaciones Diferenciales y Dinmicaejemplo de sistema dinmico: sistema de amortiguacin

m

K bx0

xi

[Ogata, p. 114]

vehculovehculoxi(t) xo(t)

causa(entrada)

respuesta(salida)


Linealidad y Superposicin

Un sistema es lineal si y solo si verifica el principio de superposicin:

si

entonces



La siguiente ecuacin diferencial

se denominaEcuacin Diferencial Lineal de coeficientes constantes (EDL-CC)

Este modelo matemtico: verifica la propiedad de superposicin describe con precisin la dinmica de muchos sistemas fsicos

Ejercicio:Demostrar la linealidad de la EDL-CCcomprobando que verifica el principio de superposicin



Tambin muchos sistemas son nolineales (ej: el depsito: demostrar queel depsito es un sistema lineal y quelos ejemplos de la masa y del sistemade amortiguacin son lineales)

Para sistemas no lineales no sonaplicables muchos de los mtodos deanlisis y modelado

Muchos sistemas son lineales pornaturaleza

Existen mtodos eficientes paratrabajar con sistemas lineales

Sistemas Lineales Sistemas No Lineales

LinealizacinObtener un modelo lineal aproximado

a partir de un modelo no lineal


Sistema Fsico

Modelo lineal

Mtodos aplicables asistemas lineales

Modelo no lineal simulacin

leyes de la Fsica

Linealizacin

Clculo operacionalmodelos grficostcnicas frecuenciales

Validacin

Computador(simulink, Matlab)

Metodologa de trabajo


Procedimiento de Linealizacin

Una funcin f(x) puede aproximarse por Taylor:

Tomando trminos de primer orden trminosde orden superior

(punto de equilibrio)


Para una funcin de varias variables,

siendo

el punto de equilibrio, en torno al cual es vlida la aproximacin


la aproximacin lineal (trminos de orden 1) sera:

Residuo(trminos de orden 2)


para el caso



Punto de equilibrioEl punto en torno al cual se linealizadebe ser un punto de equilibro del sistema

Procedimiento de Linealizacinpunto de equilibrio

Dado que en el equilibrio el sistema no varalas derivadas temporales son cero en dicho punto

... entonces se cumple que

0

0

En general,se cumple, por tanto,



definiendo:

queda finalmente:



puesto de otra forma (redefiniendo las constantes) queda:

o bien,

que es de la forma


Procedimiento de Linealizacininterpretacin grfica

x0

y0 punto de equilibrio

y = f(x)y-y0 = K(x-x0)

modelo linealizado

modelono lineal

puntode equilibrio

error muypequeo

proximidades del pto de equilibrio

(x0,y0)

error grandesi nosdesviamosdel ptode equilibrio


Procedimiento de Linealizacinaspectos prcticos El punto de trabajo es el estado de funcionamiento del sistema en

torno al cual vamos a trabajar, y debe ser un estado de equilibrio lasderivadas temporales son cero

d/dt = 0

Validez El modelo lineal describe bien al real cuando el sistemaevoluciona cerca del punto de equilibrio. Lejos del punto de equilibrio elmodelo linealizado pierde precisin.

Eleccin del punto de equilibrio El punto de equilibrio debe elegirselo + prximo posible a los puntos de funcionamiento previsibles delsistema en las condiciones de funcionamiento habituales

cunto me puedo alejar? experiencia, sentido comn, simulacin...


caudalde

entrada

caudalde

salida qs(t)

Procedimiento de Linealizacinejemplo del depsito / enunciado

Linealizar en torno a un punto de equilibrio definido por h0 = 1

datos:


Procedimiento de Linealizacinejemplo del depsito / aproximacin por Taylor


Procedimiento de Linealizacinejemplo del depsito / punto de equilibrio


Procedimiento de Linealizacinejemplo del depsito / modelo lineal

sustituyendo, queda al final

o utilizando la notacin de las deltas,


Procedimiento de Linealizacinejemplo del depsito / simulacin

variacin respectoal punto de equilibrio


Procedimiento de Linealizacinejemplo / enunciado

Linealizar la siguiente ecuacin

en torno al punto de equilibrio dado por x0 = 4


La aproximacin por Taylor de la funcin es:

Solucin:

Procedimiento de Linealizacinejemplo / aproximacin por Taylor


Procedimiento de Linealizacinejemplo / aproximacin por TaylorCalculando las parciales de f respecto a las variables...

Queda el siguiente modelo

Utilizando la otra notacin: donde denotamos


Procedimiento de Linealizacinejemplo / determinacin del punto de equilibrio

Tenemos dos soluciones hay dos puntos de equilibrio

Nota:Si el modelo tuviese un sentido fsico,deberamos elegir el punto ms verosmily descartar los que no tengan sentido.

En este caso es matemtica pura y los dos pueden valer.

Eligiendo un pto de equilibrioen el que se anulen las derivadasqueda,


Procedimiento de Linealizacinejemplo / modelo lineal

Si elegimos y0=2,

Si elegimos y0=-2,

Modelado de Sistemas usando Modelado de Sistemas usando Diagramas de BloquesDiagramas de Bloques

Autor: Dr. Juan Carlos Gmez

Teora de Sistemas y SealesTeora de Sistemas y Seales

TeSyS J. C. Gmez 2

Sistemas a Parmetros ConcentradosSistemas a Parmetros Concentradosy a Parmetros Distribuidosy a Parmetros Distribuidos

Parmetros Concentrados:Parmetros Concentrados:Las variables que parametrizan las relaciones constitutivas de los componentes del sistema se asumen independientes de coordenadas espaciales (los parmetros estn concentrados espacialmente)

Ejemplo:Modelo de un circuito elctrico a bajas frecuencias:

Los fenmenos resistivo, inductivo ycapacitivo se concentran en un nico elemento.

R LC

TeSyS J. C. Gmez 3

Los sistemas LE a parmetros concentrados pueden ser modelados con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de la forma:

)(.)(.)(.)(.)(.)( 0)1(

1)(

0)1(

1)( tubtubtubtyatyaty mm

mm

nn

n +++=+++ LL

Ej.: Circuito RLC

R LC

i(t)UL(t)

U

C

(

t

)

U

(

t

)

)(1)()(.)(

)()(y )()()( :donde

)()()(.)(

2

2

2

2

tqCdt

tqdLdttdqRtu

Ctqtu

dttqdL

dttdiLtu

tututiRtu

CL

CL

++=

===++=

)(1)(1)()( tuL

tqLC

tqLRtq =++ &&&

TeSyS J. C. Gmez 4

Parmetros Distribuidos:Parmetros Distribuidos:Las variables que parametrizan las relaciones constitutivas estn distribuidas espacialmente, es decir dependen tambin de coordenadas espaciales.

Ejemplo:Lnea de Transmisin: Fenmenos resistivo, capacitivo e inductivo

distribuidos a lo largo de la lnea.

Los sistemas a parmetros distribuidos pueden ser modelados por Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP)

Ejemplo 1: Ecuaciones de Maxwell de Teora Electromagntica

tDJH

+=

TeSyS J. C. Gmez 5

Ejemplo 2:

x

V

D

h(t,x) h(t,D)

)0,(),(VDthDth =

Retardo de Transmisin

La evolucin de h(t,x) es descripta por una EDP

TeSyS J. C. Gmez 6

Modelos de Sistemas DinmicosModelos de Sistemas Dinmicos

SistemaFsico

SistemaFsico

Idealizado

Modelo MatemticoHiptesis

Simplificatorias

Principios Fsicos y/o

Identificacin

Modelos Matemticos:

Grficos:

Anliticos:

Computacionales:

Diagramas de BloquesGrafosDiagramas de Flujo de Potencia (Bond Graphs)

EDOEDPEcuaciones de EstadoFuncin TransferenciaEcuaciones en Diferencias

algoritmos

TeSyS J. C. Gmez 7

Modelado con Diagramas de BloquesModelado con Diagramas de Bloques

Elementos Constitutivos de un DBElementos Constitutivos de un DB

Bloques operacionalesBloques operacionales caracterizados por la relacin causal entrada/salida

Lneas de conexinLneas de conexin donde viven las variables. Tienen flechas que indican el flujo de informacin (seal) entre las distintas componentes del sistema.

Puntos de DerivacinPuntos de Derivacin

F()u(t) y(t)

y(t)y(t)

x(t)

TeSyS J. C. Gmez 8

Ejemplo 1: Sistema Mecnico

M

b

k

x

F(t)

( ))(.)(.)(1)()(.)(.)(.)(

txbtxktFM

tx

txMtxbtxktF

&&&

&&&

==

Se causaliza la EDO

M1 b

k

+

- -

F(t) )(tx&& )(tx& )(tx

DB1

TeSyS J. C. Gmez 9

k1

dtd

dtd

b

M

+

- -

F(t) )(tx )(tx& )(tx&&

DB2

Otra posible forma de causalizacin de la EDO podra ser:

( ))(.)(.)(1)()(.)(.)()(.

txMtxbtFk

tx

txMtxbtFtxk

&&&

&&&

==

Los DB1 y DB2 son equivalentes, pero se prefiere un DB sin derivadores por: Problemas de Implementacin Relacin Seal-Ruido del derivador mala

TeSyS J. C. Gmez 10

En general, para obtener un diagrama de bloques sin derivadores, se causaliza la EDO de manera de despejar la derivada de mayor orden en la variable de salida de inters, y luego se lee esta ecuacin en forma causal para construir el diagrama de bloques.

El nmero de integradores est asociado con el nmero de elementos almacenadores de energa del sistema. En el caso del ejemplo, los elementos almacenadores de energa son la masa (inercia) (energa cintica de movimiento) y el resorte (energa potencial elstica).

El nmero de integradores en el DB est tambien asociado con lo que se denomina orden del modelo. En el caso del ejemplo, el sistema resulta de segundo orden .

TeSyS J. C. Gmez 11

Ejemplo 2: Sistema Hidrulico

Q1(t) Patm

h(t)Q2(t)

Orificio

A: Area Transversal del tanque

Orificio:

P

Q2

Q2 = f(P)

( )atmT

atmTatmT

PthgPPPPthAPPftQ

thAVoldtdVoltQtQ

+===

==

)(.. :Donde )(.)(

Lquido deVolumen )(.

dContinuida deEcuacin )()(

1

21

&

( ) )(.)(..)(1 thAthgftQ &= De donde resulta:

( )[ ])(..)(1)( 1 thgftQAth =&

PT

TeSyS J. C. Gmez 12

Diagrama de Bloques:

A1 +

-

Q1(t)

f() .g

h(t)

La pltica del da de hoy forma parte de unesfuerzo conjunto que busca, principalmente,el motivar y promover el estudio de lasmatemticas.

El tema a tratar est relacionado con lostemas de ecuaciones diferenciales y el de latranformada de Laplace.

Tu presencia el da de hoy nos motiva aseguir participando en este esfuerzoconjunto.

Comit organizador

Modelacin y Estudio de lasecuaciones diferenciales l.c.c.c. enel dominio de Laplace (frecuencia)

utilizando MATLAB-SIMULINK

Maestro: Francisco Palomera Palacios

Departamento de Mecatrnica y Automatizacin,

ITESM, Campus Monterrey

[email protected]

Motivacin Anlisis y estudio intuitivo (no formal) de las

ecuaciones diferenciales lineales c.c.c. a travsde la transformada de Laplace.

Ilustrar el comportamiento de la respuesta desistemas fsicos con la ayuda del programacomputacional MATLAB-SIMULINK.

El que haya personas interesadas en promover,motivar y escuchar sobre el tema de ecuacionesdiferenciales y la Transformada de Laplace.

Modelacin de Sistemas Dinmicos utilizandoEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Sistema

Fsico

Sistema (Fsico)

a modelarFuncin forzante

y(t)u(t)

Respuesta del sistema

-Sistema Mecnico (sistema de suspensin en los autos)

- Sistema Hidrulico (llenado de un tanque)

- Sistema trmico (temperatura en un horno)

-Sistema Elctrico (velocidad de motores)

- Sistema Fisiolgico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )

- Sistema Econmico ( inflacin)

- Sistema de produccin (produccin entre mquinas)

Relacin causal

Para obtener una ecuacin diferencial,podemos utilizar:

Leyes fsicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,rigen la relacin causal entre las variables de inters.

Pruebas experimentales (anlisis de la respuesta transitoriadel sistema ante una funcin forzante conocida).

Por analogas de comportamientos entre sistemas que guardanun comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.

Aplicacin de algoritmos y recursos computacionales paraprocesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.

Sistemas fsico: Temperatura en un horno

Horno

Flujo de

Combustible:

qi(t)

Temperatura:

T(t)horno

Temperatura

Flujo de gas

Relacin causal

Sistema Fsico:Llenado de un tanque

qo(t): Caudal de salida

qi(t): Caudal de entrada

A:rea del tanque

p(t): seal que regula el caudal hacia el tanque.

h(t): altura del tanque

Rh: resistencia Hidrulica

TanqueCaudal deentrada

qi(t)

Nivel: h(t);

Caudal de

Salida, qo(t)

Relacin causal

Anlisis de una ecuacin diferenciallineal c. c. c.

2-3t

2d y(t) dy(t)

+ 0.4 + 0.03 y(t) = 1.5 + Sen10tdtdt e

Sistema (Fsico)

a modelar

u(t): Comportamiento deseado

La respuesta y(t) de un sistemamecnico ante una funcin forzanteu(t) est definida por la ecuacindiferencial; y(0)= 2; y(0) = 0

Funcin forzante

y(t)u(t)Respuesta del sistema

)()(13.0)(4.0)(22

tutydt

tdyd

tyt

d

Funcin forzante: u(t)

deFun macin e gnitudscaln 1.5;

multiplicada porFuncin una expoSenoid nenal cial

-3t= 1.5 + Senu(t) 10te

Analoga de Sistemas de Primer OrdenR

Cvi(t): fuente de voltaje

i(t):vo(t)

vi(t): fuente de voltajevo(t): voltaje de salidaC: CapacitorR: Resistencia



A:rea del tanque




i

i

oo

oo

v (t)v (t) v (t)v (

ddt

ddt

v (t) t) )t v (

R.C

dc(t) + c(t) = .

dt K u(t) K: Ganancia en estado estable

: Constante de tiempo

qi(t)

0(t)

dq0(t)

qdt

ddt

qi(t)+ q0(t) =

R.A + q0(t) =

La transformada de Laplace en la

modelacin, estudio y solucin de

las ecuaciones diferenciales.

Relacin entre f(t) y su equivalente F(s).

{ }f(t)L 0-st

df(t) te

{ } 1s 6

-6te L

f(t)

tiempoj: Eje Imaginario

: Eje real

F(s)

Plano Complejo: s = + j

16 16

4 82 22 Se{ }

s

t =4s

n 2 L

2 6s 9 6s4 132-3t 2 10 10

2 2 2(s+3) sSen2t5 =

s

{ } 5e L

Ejemplos

Principales funciones a obtener de unaecuacin diferencial: G(s) y Y(s)

Y(s)U(s)

c.i.= 02) G(s )

Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuacin diferencial, dosexpresiones son de gran inters:

1) Y(S): La funcin respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a lafuncin forzante)

; Funcin de transferencia del sistema (considera c.i.=0 yno se sustituye la funcin forzante.

n(s)

n(s) 0;ceros

K( K

K : ganancia

:

ds a)...

;(s b)(s (s)

d(s) 0;p

c)...

olos (o)

: (X)

jw

x

o o x

x

Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los trminos:

G(s) y Y(s)

0.,.2)(;..8.0)0(

);(2.1)()(10

tparaideutuideuy

tutydt

tdy

No se puede mostrar la imagen en este momento.

ciaTransferendeFuncinss

sGsUsY

sUyssYsUsYyssY

tutydt

tdy

ic :1.012.0

1102.1)()(

)();()0(10]110)[(

);()()0(10)(10)}({)}()(10{

| 0..

LLjw

X

-0.1

Para la ecuacin diferencial

Solucin:

RespuestaFuncin:)1.0()3.0(8.0

)110(4.28)(

4.28822.1]110)[(

;22.1)8.0(10]110)[(

);(2.1)()0(10)(10)}(2.1{)}()(10{

ss

s

ss

ssY

s

s

sssY

sssY

sUsYyssY

tutydt

tdy LL

jw

o X X

-0.3 -0.1 0

Obtener: a) G(s) y, b) Y(s)

Obtencin del valor inicial y final de y(t)

RespuestaFuncin:)1.0()3.0(8.0

)110(4.28)(

ss

s

ss

ssY

1.06.14.2

1.0)( sss

bs

asY

0. 8

1

8.0)1.0(

)3.0(8.0)1.0()3.0(8.0

.)(.)0(:

limlimlimlimssss s

s

ss

sssYsy

inicialvalordelTeorema

jw

o X X

-0.3 -0.1 0

4.1.0

)3.0)(8.0()1.0(

)3.0(8.0)1.0()3.0(8.0

.)(.)(:final valordelTeorema

limlimlim000

2

s

s

ss

sssYsy

sss

2.4

0.8

t

Polo dominante

Grfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)

12001600)(

1600]1200)[(;0)()0(200)(200

80)0(;0)()(200

ssY

ssYsYyssY

Cytydt

tdy

80200

16001200

1600)()0( limlim ssssYy ss

01200

1600)()( limlim00

ssssYy ss

Un horno que se encuentra a 80C se apaga para su enfriamiento.Considere que la relacin Temperatura-flujo combustible, es representadapor la ecuacin Diferencial: 200y(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y()

Teorema de valor inicial:

Teorema del valor final:

t

80 C

0 C

Programa MATLAB-SIMULINK (basado enla representacin a bloques)

Para modelar y analizar los elementos de unaecuacin diferencial a partir de las ecuaciones de unsistema fsico.

Obtener la respuesta en el tiempo para una funcinY(s).

Obtener las grficas de las diferentes variablesdentro de mismo sistema fsico, sin requerir obtenersu representacin en el tiempo.

Modelacin de una ecuacin diferencialmediante Diagrama a bloques.

1As

o 0iH(s)(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i. Rh

1Rh

Caudal desalida

Caudal

Acumulado=

Qi(s) +

Qo(s)

H(s) Qo(s)Qi(s) Qo(s)



A:rea del tanque




Caudal deentrada

)1(......dt

dh(t)AAv(t)(t)(t)(t) qqqacum0i

(2).....Rhh(t)(t)q0

Simulacin del sistema hidrulico utilizandola herramienta computacional Matlab-Simulink

Dos Tanques

dttdhAtttt qqqq

acumi

)()()()()( 0201

Rq

Rq

h

h

tht

tht

202

101

)()(

;)()(

As1

)()()()()( 0201 sHsAssss QQQQ acumi

RQ

RQ

h

h

sHs

sHs

202

101

)()(

;)()(

Rh11

Rh21

H(s)Qi(s)Qi(s) Q01(s) Q02(s)

Q01(s)

Q02(s)

-

+

-

h(t)

qi(t)

Rh1Rh2q01(t)

A

p(t)

q02(t)V1 V2

Modelacin y simulacin del sistema dedos tanques mediante SIMULINK.

Grficas de Simulacin(tanque_1entrada_2salidas)

Flujo de salida q02(t)

Flujo de salida q02(t)

h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque

Qi(t): Flujo de entrada

Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensin de un auto

Masa: m

AmortiguadorResorte

z(t): desplazamiento

o respuesta del sistema

f(t)entrada: fuerza de entrada

td

d

tzmmafuerzas

i2

2

1

)(

Aplicacin del sistema bsico:masa-resorte-amortiguador

Simulacin mediante SIMULINK

t

dd

tzmmaFuerzas 2

2 )(

dtdz(t)B

)()(

)()(

)()(

tftf

tftff

oramortiguad

resorte

oramortiguadresortei

tzk

tfuerzas

Z(s)

k

B s

sm2

1Fi(s)

F(s)resorte

F(s)amortiguador

Fi(s) - F(s)resorte F(s)amortiguador = m s2 Z(s)

-

+

-

)()(

)()(

ssZB

sZk

sFsF

oramortiguad

resorte

fi(t)

z(t)

Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK

Paso por un bache sencillo

Masa-Resorte-Amortiguador en terrenoscon superficie rugosa.

Agradecimiento Agradezco la invitacin a este evento y me

uno al esfuerzo y al inters mostrado noslo de los profesores del Departamento de

Matemticas, sino tambin el de losalumnos de los cursos de ecuaciones

diferenciales, y a los voluntarios proactivospara la organizacin de este evento.

En lo personal: gracias a los organizadores, y a laaudiencia que nos acompaa, por su tiempo parapermitirme compartir un poco sobre el tema de laTransformada de Laplace.

Quedo a sus rdenes

Maestro Francisco Palomera Palacios

[email protected]

Departamento de Mecatrnica yAutomatizacin, Campus Monterrey

Parte 1: Actividad en equipo(modificar el archivo correspondiente)

Para el caso del tanque con dos vlvulas dedescarga:

1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de salidaen ambas vlvulas, si las dos vlvulas estnigualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2

2. Considere que Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 Cmo se afectala altura del llenado del tanque, h(t), si se disminuyeel valor del rea del tanque de un valor A = 4 m2, porel de A = 2 m2?

Parte 2: actividad

Para la funcin )5)(2(40210)(

2

sss

ssY s

Obtenga:1) Su expansin en fracciones parciales sin

calcular el valor de los coeficientes.2) A qu funcin en el tiempo corresponde cada

uno de los trmino de la expansin realizadaen el inciso anterior?

3) Obtenga el valor de y(0) y de y() a partir de lafuncin Y(s).

1.pdf (p.1-46)2.pdf (p.47-63)3.pdf (p.64-93)4.pdf (p.94-105)5.pdf (p.106-137)

Simulación de Sistemas

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