Simulacion y Programacio Dinamica

Modelos y Mtodos de Investigacin deOperaciones. Procedimientos para Pensar.

(Modelado y Resolucin de Problemas de Organizacin Industrial mediante Programacin Matemtica)

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Mtodos Cuantitativos de Organizacin Industrial

Jos Pedro Garca Sabater, Julien Maheut Grupo de Investigacin ROGLE Departamento de Organizacin de Empresas Curso 2011 / 2012

1 1 MODELOS.................................................................................................................................... 12

2 1.1 Qu es un Modelo? .................................................................................................................. 12

3 1.2 Para qu sirve un modelo? ..................................................................................................... 13

4 1.2.1 Aprender / Entender .............................................................................................................. 13

5 1.2.2 Implementar en un ordenador ............................................................................................... 14

6 1.2.3 Toma de decisiones .............................................................................................................. 14

7 1.3 El Cliente y el Problema ............................................................................................................. 15

8 1.4 El Problema, y el Concepto de Solucin.................................................................................. 15

9 1.5 Ciclo de Vida de la construccin de Modelos ......................................................................... 16

10 1.5.1 Definir el Problema ................................................................................................................ 16

11 1.5.2 Modelar y Construir la Solucin ............................................................................................ 16

12 1.5.3 Utilizar la Solucin ................................................................................................................. 17

13 1.6 Generacin de Soluciones Informticas para la resolucin de Problemas que se abordan

14 mediante mtodos matemticos ............................................................................................................. 17

15 1.7 Algunos principios para tener xito en el modelado.............................................................. 18

16 1.7.1 Los Modelos han de ser simples, su anlisis debe ser complejo ......................................... 18

17 1.7.2 Ir paso a paso ........................................................................................................................ 18

18 1.7.3 Usar al mximo metforas, analogas y similitudes .............................................................. 19

19 1.7.4 Los datos disponibles no deben conformar el modelo.......................................................... 19

20 1.7.5 Principio Subyacente: Modelar es Explorar .......................................................................... 20

21 2 TIPOS DE MODELOS. LOS MODELOS DE PROGRAMACIN MATEMTICA ...................... 21

22 2.1 Clasificacin de modelos segn el efecto de su resolucin ................................................. 21

23 2.1.1 Modelos Normativos.............................................................................................................. 21

24 2.1.2 Modelos Descriptivos ............................................................................................................ 21

25 2.2 Modelos Matemticos ................................................................................................................ 22

26 2.3 Modelos de Programacin Matemtica .................................................................................... 22

27 2.3.1 Por qu se llama Programacin Matemtica? .................................................................... 23

28 2.3.2 Una clasificacin de Modelos de Programacin Matemtica ............................................... 24

29 2.3.3 Los Componentes de un Modelo Matemtico....................................................................... 27

30 2.4 Modelos de Optimizacin Combinatoria .................................................................................. 28

1 2.5 Otros Modos de Modelar. Otros Modos de Pensar ................................................................. 29

22.5.1Teora de Grafos ................................................................................................................... 29

32.5.2Programacin Dinmica ........................................................................................................ 30

42.5.3Teora de Colas ..................................................................................................................... 30

52.5.4Dinmica de Sistemas........................................................................................................... 31

62.5.5Simulacin ............................................................................................................................. 31

72.5.6Teora de Juegos .................................................................................................................. 32

8 3 PROGRAMACIN MATEMTICA .............................................................................................. 33

9 3.1 Introduccin ................................................................................................................................ 33

10 3.2 La construccin de un Modelo de Programacin Matemtica .............................................. 33

11 3.3 Implementacin de un Modelo de Programacin Matemtica (Validacin) ......................... 34

12 3.3.1 Modelo de sintaxis errnea ................................................................................................... 34

13 3.3.2 Modelo incompatible ............................................................................................................. 35

14 3.3.3 Modelos no acotados ............................................................................................................ 36

15 3.3.4 Modelo Resoluble.................................................................................................................. 36

16 3.4 Caractersticas de un buen modelo de Programacin Matemtica ...................................... 37

17 3.4.1 Facilidad para entender el modelo ........................................................................................ 37

18 3.4.2 Facilidad para detectar errores en el modelo........................................................................ 37

19 3.4.3 Facilidad para encontrar la solucin ..................................................................................... 38

20 4 MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL ................................................................................ 39

21 4.1 Qu es la Programacin Lineal?............................................................................................. 39

22 4.2 La importancia de la Linealidad ................................................................................................ 40

23 4.3 Situaciones que pueden modelarse mediante Programacin Lineal ................................... 40

24 4.4 Los parmetros ........................................................................................................................... 41

25 4.5 Definicin de Objetivos (por acabar) ........................................................................................ 42

26 4.5.1 Problemas Mono Objetivo ..................................................................................................... 42

27 4.5.2 Programacin Multi-Objetivo ................................................................................................. 42

28 4.5.3 Programacin Fuzzy Multiobjetivo ........................................................................................ 44

29 4.5.4 Programacin Multinivel ........................................................................................................ 44

Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones30 4.6 Las restricciones ........................................................................................................................ 44

Pgina 11 de 181

1 4.6.1 Tipos bsicos de Restricciones en Direccin de Operaciones ............................................. 44

2 4.6.2 La relacin de las restricciones con la realidad, con las otras restricciones y con el propio

3 modo de resolver ..................................................................................................................................... 45

4 4.7 Anlisis de resultados ............................................................................................................... 48

5 4.7.1 Interpretaciones econmicas ................................................................................................ 48

6 4.7.2 Anlisis de Sensibilidad......................................................................................................... 49

7 4.7.3 El Modelo Dual ...................................................................................................................... 50

8 4.7.4 Modelos Estables .................................................................................................................. 51

9 5 LINEALIZANDO LO NO-LINEAL ................................................................................................ 52

10 5.1 Objetivos no-lineales fcilmente linealizables ........................................................................ 53

11 5.1.1 Objetivo Minimizar un valor absoluto .................................................................................. 53

12 5.1.2 Objetivo Minimizar el Mximo o Maximizar el Mnimo ..................................................... 53

13 5.1.3 Objetivos de Ratio ................................................................................................................. 54

14 5.1.4 Objetivos Maximizar el Mximo (o Minimizar el Mnimo) ...................................................... 55

15 5.2 El uso de variables discretas para representar relaciones condicionales........................... 55

16 5.2.1 Funciones no continuas ........................................................................................................ 56

17 5.2.2 Relacin Lgica = 1 a j x j b .............................................................................. 56j

18 5.2.3 Relacin Lgica a j x j < b = 1 ................................................................................ 56j

19 5.2.4 Relacin Lgica a j x j b j

= 1 ................................................................................ 57

20 5.2.5 Relacin Lgica = 1 a j x j b : ............................................................................. 57j

21 5.2.6 Relacin Lgica a j x j > b = 1 .............................................................................. 58j

22 5.2.7 Relacin Lgica a j x j b = 1 .............................................................................. 58j

23 5.3 Ms Relaciones Lgicas y su representacin ......................................................................... 58

24 5.4 Conjuntos especiales de variables ordenadas ....................................................................... 61

25 6 MODELOS DE PROGRAMACIN ENTERA .............................................................................. 64

26 6.1 Introduccin ................................................................................................................................ 64

27 6.2 Diferentes reas de aplicacin de la Programacin Entera ................................................... 64

1

6.2.1

Problemas con inputs (u outputs) discretos .......................................................................... 64

26.2.2Problemas con condiciones lgicas ...................................................................................... 64

36.2.3Problemas de combinatoria................................................................................................... 64

46.2.4Problemas No-lineales .......................................................................................................... 65

5 6.3 Otras condiciones aplicadas a Modelos de Programacin Lineal ........................................ 65

66.3.1Restricciones disyuntivas ...................................................................................................... 65

76.3.2Regiones No-Convexas ........................................................................................................ 66

86.3.3Limitar el nmero de variables en una solucin .................................................................... 66

96.3.4Decisiones Secuencialmente Dependientes ......................................................................... 66

106.3.5Extensiones discretas de capacidad ..................................................................................... 66

11 6.4 Tipos Especiales de Modelos de Programacin Entera ......................................................... 67

126.4.1El problema de la mochila ..................................................................................................... 67

136.4.2Problemas de cubrimiento..................................................................................................... 67

146.4.3Problemas de empaquetado ................................................................................................. 68

156.4.4El Problema del viajante de comercio ................................................................................... 69

166.4.5El problema de asignacin cuadrtica .................................................................................. 70

17 6.5 Buenas y malas formulaciones de un modelo de PE ............................................................. 71

18 6.6 Simplificacin de un modelo de Programacin Entera .......................................................... 71

19 6.6.1 Ms Restricciones y Ms Ajustadas...................................................................................... 71

20 6.6.2 Simplificar una restriccin entera con otra restriccin........................................................... 72

21 6.6.3 Restricciones discontinuas .................................................................................................... 73

22 6.7 Informacin econmica y sensibilidad en los modelos de PE .............................................. 73

23 7 PROGRAMACIN NO-LINEAL................................................................................................... 74

24 7.1 ptimos locales y globales ....................................................................................................... 74

25 7.2 Programacin Separable ........................................................................................................... 75

26 7.3 Cmo convertir un modelo no-separable en un modelo separable ...................................... 77

27 8 PROGRAMACIN ESTOCSTICA ............................................................................................ 79

28 8.1 Introduccin ................................................................................................................................ 79

29 8.2 Formulacin de Problema Estocstico .................................................................................... 79

1 9 PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN MATEMTICA81

2 9.1 Introduccin ................................................................................................................................ 81

3 9.2 Resolucin de problemas de programacin matemtica mediante el uso de paquetes ya

4 disponibles ................................................................................................................................................ 81

5 9.2.1 Algoritmos y paquetes ........................................................................................................... 81

6 9.2.2 El uso de la Hoja de Clculo Excel ....................................................................................... 82

7 9.2.3 El uso de Lenguajes de Modelado ........................................................................................ 84

8 9.3 El uso de paquetes para la resolucin de modelos de Programacin Lineal...................... 85

9 9.3.2 Sistemas de Apoyo en la Decisin y Sistemas Expertos...................................................... 86

10 9.4 Procedimientos de Resolucin de Programacin Lineal ....................................................... 87

11 9.4.1 El algoritmo Simplex.............................................................................................................. 87

12 9.4.2 Los Mtodos del Punto Interior ............................................................................................. 88

13 9.5 Procedimientos de Resolucin en Programacin Lineal Entera........................................... 88

14 9.5.1 Ramificacin y acotacin....................................................................................................... 88

15 9.5.2 Enumeracin implcita ........................................................................................................... 91

16 9.5.3 Mtodos del plano cortante ................................................................................................... 92

17 9.6 Procedimientos de Resolucin en Programacin 0-1 ............................................................ 92

18 10 OPTIMIZACIN COMBINATORIA. INTRODUCCIN ................................................................ 93

19 10.1 Introduccin ............................................................................................................................ 93

20 10.2 Complejidad en la Optimizacin Combinatoria ................................................................... 95

21 10.2.1 Optimizacin Combinatoria................................................................................................ 95

22 10.2.2 Variaciones (con y sin) Repeticin, Combinaciones, Permutaciones ............................... 95

23 10.2.3 Las clases de complejidad P y NP .................................................................................... 96

24 10.3 Algoritmos bsicos................................................................................................................. 97

25 10.4 Problemas de Optimizacin Combinatoria .......................................................................... 97

26 10.4.1 Segn su aplicacin........................................................................................................... 97

27 10.4.2 Segn su clasificacin formal ............................................................................................ 99

28 10.4.3 Segn las soluciones que se buscan ................................................................................ 99

29 10.5 Evaluacin de Procedimientos.............................................................................................. 99

1 11 OPTIMIZACIN COMBINATORIA. LA BSQUEDA RPIDA DE SOLUCIONES ................. 100

2 11.1 Introduccin .......................................................................................................................... 100

3 11.2 Procedimientos de Resolucin Aleatorios......................................................................... 101

4 11.2.1 Para qu sirven? ........................................................................................................... 101

5 11.2.2 Pueden funcionar? ........................................................................................................ 101

6 11.2.3 Un procedimiento de generacin aleatoria de soluciones............................................... 103

7 11.3 Algoritmos Heursticos. ....................................................................................................... 103

8 11.3.1 Concepto de Heurstica ................................................................................................... 103

9 11.3.2 Procedimientos Constructivos ......................................................................................... 104

10 12 ALGORITMOS ENUMERATIVOS ............................................................................................. 106

11 12.1 Concepto de Algoritmo Enumerativo ................................................................................. 106

12 12.2 Algoritmo de Enumeracin Completa ................................................................................ 106

13 12.3 Estructura de un algoritmo de exploracin completa basado en exploracin de nodos107

14 12.3.1 Conceptos previos: Nodo ................................................................................................ 107

15 12.3.2 Estructura general de un procedimiento de exploracin completa basado en nodos..... 108

16 12.3.3 Funciones de evaluacin ................................................................................................. 108

17 12.3.4 Seleccin del Nodo a explotar ......................................................................................... 109

18 12.3.5 Generacin de nodos (explosin).................................................................................... 109

19 12.3.6 Eliminacin (o cierre) de Nodos....................................................................................... 110

20 12.4 Otras tcnicas de Enumeracin basadas en la exploracin por nodos ......................... 110

21 13 PROCEDIMIENTOS DE MEJORA LOCAL ............................................................................... 111

22 13.1 Vecindario .............................................................................................................................. 111

23 13.1.1 Intercambio de 2 elementos ............................................................................................ 111

24 13.1.2 2-opt ................................................................................................................................. 111

25 13.1.3 Insertar ............................................................................................................................. 111

26 13.2 Algoritmos de Mejora basados en Vecindario ................................................................... 112

27 13.2.1 Nomenclatura................................................................................................................... 112

28 13.2.2 Mejora Iterativa Simple. Procedimiento ........................................................................... 112

29 13.2.3 Descenso Rpido. Procedimiento ................................................................................... 112

30 13.2.4 Mejora Iterativa Aleatorizada. Procedimiento .................................................................. 112

1 14 PROCEDIMIENTOS META-HEURSTICOS.............................................................................. 113

2 14.1 Procedimientos de poblacin .............................................................................................. 113

3 14.1.1 Algoritmos Genticos....................................................................................................... 114

4 14.1.2 Scatter Search y Algoritmos Memticos.......................................................................... 119

5 14.2 Meta-heursticas de Bsqueda de Entornos ...................................................................... 119

6 14.2.1 GRASP ............................................................................................................................ 119

7 14.2.2 ILS y VNS ........................................................................................................................ 120

8 14.2.3 Recocido Simulado .......................................................................................................... 121

9 14.2.4 Bsqueda Tab (Tabu search) ........................................................................................ 121

10 14.3 Meta-heursticas basadas en el reconocimiento de patrones ......................................... 122

11 14.3.1 Redes Neuronales ........................................................................................................... 122

12 14.3.2 Algoritmo de Colonia de Hormigas (ACO)....................................................................... 122

13 15 ALGUNOS EJERCICIOS DE PROGRAMACION MATEMTICA ............................................ 124

14 15.1 Cunto gana la Empresa?.................................................................................................. 124

15 15.2 Problema de Corte ................................................................................................................ 124

16 15.3 Centralita Telefnica............................................................................................................. 124

17 15.4 Varios Turnos ........................................................................................................................ 125

18 15.5 Plan de Produccin .............................................................................................................. 125

19 15.6 Localizacin........................................................................................................................... 126

20 15.7 Vinos Don Pepn............................................................................................................... 126

21 15.8 Plan de Produccin de Zapatillas........................................................................................ 128

22 15.9 Problema de Distribucin .................................................................................................... 129

23 15.10 PKJu Electricidad .............................................................................................................. 130

24 15.11 Equilibrado de Lneas ....................................................................................................... 131

25 15.12 Jorge y Nuria...................................................................................................................... 132

26 15.13 Operacin Brisca............................................................................................................... 133

1 15.14 Carga de Aviones .............................................................................................................. 134

2 16 ALGUNOS EJERCICIOS DE OPTIMIZACIN COMBINATORIA ............................................ 136

3 16.1 Problema del FlowShop de 3 mquinas ............................................................................. 136

416.1.1Descripcin del Problema ................................................................................................ 136

516.1.2Definicin de la estructura de la solucin ........................................................................ 136

616.1.3Definicin del modo de evaluar la solucin ..................................................................... 136

716.1.4Un procedimiento de generacin aleatoria de soluciones............................................... 136

816.1.5Un procedimiento enumerativo de resolucin ................................................................. 137

916.1.6Un procedimiento heurstico ............................................................................................ 137

1016.1.7Un procedimiento de mejora local ................................................................................... 137

1116.1.8Un algoritmo gentico ...................................................................................................... 138

12 16.2 Problema del viajante de comercio..................................................................................... 138









21 16.3 Problema de Secuenciacin JIT .......................................................................................... 141









30 16.4 Corte de Piezas rectangulares............................................................................................. 144

31 16.5 Quinielas ................................................................................................................................ 147

32 16.6 SUDOKU................................................................................................................................. 151

33 16.7 Secuenciando en la Lnea de Montaje ................................................................................ 152

1 17 CASOS ....................................................................................................................................... 157

2 17.1 Asignacin de Fechas y Aulas para Exmenes................................................................. 157

3 17.2 La Ruta de Llanes ................................................................................................................. 157

4 17.3 Sistema Elctrico .................................................................................................................. 158

5 17.4 Optimizacin en la Refinera ................................................................................................ 162

6 17.5 Red de Metro de Valencia .................................................................................................... 165

7 17.6 Rutas de Distribucin ........................................................................................................... 166

8 17.7 Fabricacin de Zapatillas ..................................................................................................... 167

9 17.8 Las Farmacias de Alcudia, Benimodo y Carlet .................................................................. 169

10 17.9 Planificacin Agregada en una Planta de Motores ........................................................... 171

11 17.10 Karbonatadas JUPE (III).................................................................................................... 174

12 17.11 Central Pendiente Dominicana ........................................................................................ 175

13 18 BIBLIOGRAFA.......................................................................................................................... 180

14

1 1 MODELOS

2 1.1 Qu es un Modelo?

3 Segn una de las definiciones ms simples de modelo es la propuesta por Colin Lee (1972)

4 Un modelo es una representacin de la realidad

5 Esta definicin es llamativa por su simplicidad pero no aclara el porqu de los modelos.

6 Pidd (1996) propone la siguiente definicin mucho ms completa:

7 Un modelo es una representacin explcita y externa de parte de la realidad

8 como la ven las personas que desean usar el modelo para entender, cambiar,

9 gestionar y controlar dicha parte de la realidad

10 De esta definicin se pueden extraer muchas reflexiones interesantes sobre los Modelos y su uso en

11 Investigacin de Operaciones. Quiz la ms relevante es que los modelos son representaciones (no son

12 la realidad, que, por cierto, se asume que existe).

13 En palabras de George Box (1987)

14 Bsicamente todos los modelos son errneos, aunque algunos son tiles

15 Desgraciadamente el ser humano tiende a confundir el modelo con la realidad. En un proceso de

16 metonimia el ser humano tiende a crear modelos y tergiversar la realidad hasta que esta se adapta a

17 ellos. Pero eso es un defecto de la mente humana, no del proceso de modelar.

18 Los modelos son explcitos se construyen manejan y modifican como tales. Y aunque no se debe

19 confundir el modelo con la realidad, el modelo debe tener una imagen fsica sobre la que los diferentes

20 actores puedan opinar.

21 Los modelos son externos. Mientras no tienen una representacin externa respecto del modelador

22 son simplemente una teora mental del mismo. En esa presentacin externa radica una de las grandes

23 ventajas de los modelos: ponen negro sobre blanco los pensamientos, los datos, las hiptesis y las

24 intuiciones. Este esfuerzo es ms que suficiente, en algunas ocasiones, para reconocer que no hay tal

25 modelo sino un conjunto de prejuicios. En la mayor parte de las ocasiones la mera representacin

26 explcita y externa de partes del modelo, permite a los actores del proceso tomar decisiones en beneficio

27 del sistema que alteran sustancialmente el propio sistema modelado.

28 Los modelos representan parte de la realidad. Afortunadamente la realidad es siempre ms compleja

29 que cualquier modelo por sofisticado que ste sea. El modelador discrimina qu aspectos son relevantes

30 y cules no, en funcin del objetivo que pretende alcanzar.

31 Los modelos los realizan los modeladores. Son su esfuerzo y son su resultado. En muchas ocasiones,

32 al construir modelos, el modelador ha de atender comentarios que le obligan a incorporar uno u otro

33 aspecto de la realidad. Entonces el modelador es otro. Si a un pintor le dijeran el color con el que ha de

34 pintar una puesta de sol, no sera su puesta de sol sino la del observador impertinente. En este caso la

1 realidad representada se limita a ser la que quiere ver, manejar controlar o cambiar el que dirige el

2 modelo. En muchas ocasiones una empresa solicita un modelo a un consultor externo para poderlo

3 utilizar internamente. Es uno de los caminos ms adecuados para que el modelo no se pueda utilizar,

4 pues siempre habr matices que podran haber sido representados de otra manera y que pueden entrar

5 en conflicto con las expectativas de lo que tiene que hacer el modelo. Pero por otro lado la visin de un

6 espectador externo permite plantear e incluso resolver conflictos que subyacan implcitamente en la

7 versin que cada actor tena de los hechos.

8 Los modelos, al representar externa y explcitamente parte de la realidad, permiten fundamentalmente

9 entender. Una etapa bastante habitual en el ciclo de vida de un modelo exige, tras uno (o varios) intentos

10 de modelado, cambiar de herramienta de modelado, puesto que el mejor entendimiento del problema

11 provoca cambios radicales en la percepcin de la realidad.

12 La inteligencia de la realidad a travs del modelo, permitir asesorar sobre la oportunidad de cambios

13 en la realidad modelada. Dichos cambios sern ms adecuados cuantos ms aspectos de la realidad se

14 hayan podido modelar.

15 La gestin de la realidad a travs de los modelos es una herramienta de continua, pero no percibida,

16 aplicacin de los mismos. La gestin financiera de una empresa es uno de los modos ms extendidos de

17 uso de un modelo (la contabilidad) sin una percepcin clara del modelo utilizado. Pero tambin el uso de

18 las tcnicas Material Requirement Planning (MRP) en la gestin de materiales responden a la

19 implementacin informtica de modelos en funcin de los cuales se toman decisiones. Incluso la

20 implementacin informtica es en ocasiones inadecuada porque no se conoca suficientemente bien la

21 realidad (o lo que es peor, el modelo que lo representaba).

22 Por ltimo, aunque probablemente uno de los aspectos ms relevantes: el modelo, al anticipar

23 resultados, permite establecer referencias en funcin de las cuales medir o controlar el rendimiento de un

24 sistema. Con las evidentes implicaciones que esto tiene en el control y mejora de los procesos.

25 1.2 Para qu sirve un modelo?

26 En atencin a lo anterior se pueden definir tres mbitos de utilidad de los modelos en la Investigacin

27 de Operaciones:

28 Aprender / Entender

29 Implementar en un ordenador

30 Tomar decisiones

31 1.2.1 Aprender / Entender

32 En primer lugar hay que destacar que la experiencia demuestra que el principal beneficio en la

33 generacin de un modelo es el entendimiento que el modelador adquiere del comportamiento de la

34 realidad. Puede ocurrir, y de hecho ocurre con frecuencia, que una vez finalizado el modelo, los

1 objetivos perseguidos inicialmente se hayan alcanzado sin hacer ningn tipo de experimento. Modelar

2 como proceso puede tener ms valor que el modelo en s mismo

3 Es habitual que para desarrollar un modelo se tenga que acceder a informacin a la que nunca se le

4 habra prestado atencin. Asimismo es comn que la generacin de modelo haga aparecer datos reales

5 y contradictorios entre diferentes elementos de la realidad.

6 Una vez construido el modelo, se puede utilizar su ejecucin para conocer como el sistema acta y

7 reacciona. Es, por ejemplo, el caso de los simuladores de vuelo utilizados para el entrenamiento de los

8 futuros pilotos.

9 Adems el modelo, como representacin externa y explcita, puede permitirnos conocer errores y

10 fundamentalmente (de)mostrarlos. De tal modo que el responsable del error pueda reconocer sus

11 equivocaciones sin que nadie tenga que decrselo a la cara (lo dice el ordenador).

12 Por ltimo, dentro de este epgrafe, podemos destacar la utilidad de los modelos como base de

13 discusin. Si el modelo representa la realidad, los gestores de sta podrn probar las ventajas de sus

14 opiniones sobre el modelo, centrando de este modo la discusin hacia aspectos realizables y rentables.

15 1.2.2 Implementar en un ordenador

16 La automatizacin de procesos exige el modelado previo. Si se desea gestionar la informacin que

17 genera una empresa, o implementar un sistema de gestin de recursos humanos es necesario realizar

18 un modelo de dicha empresa que comprenda de la manera ms eficiente posible toda la informacin

19 vinculada. Cuanto ms general sea el modelo, mayor ser la cantidad de empresas a las que se las

20 podr aplicar el mismo software.

21 Del mismo modo la utilidad de los modelos de Programacin de Produccin viene justificada, en gran

22 medida, por la capacidad de stos de ser implementados y resueltos mediante sistemas informticos

23 que puedan automatizar el proceso de toma de decisin.

24 1.2.3 Toma de decisiones

25 Los modelos construidos permiten mediante su resolucin ayudar a la toma de decisiones generando

26 soluciones ptimas dado un objetivo establecido.

27 Asimismo pueden ser utilizados para evaluar el impacto de tomar decisiones, antes de tomarlos, y de

28 este modo elegir la que ms se ajuste a la solucin.

29 Pero adems, desarrollar el modelo, ejecutarlo y analizar las soluciones permite objetivar el proceso

30 de anlisis, permite pintar una realidad que todos tienen que aceptar, o aportar datos que mejoren el

31 modelo.De este modo, al objetivar el proceso de anlisis, los participantes en el proceso de toma de

32 decisiones entran en una dinmica de objetivacin y aporte de datos, que simplifica y favorece el propio

33 proceso y su resultado.

34

1 1.3 El Cliente y el Problema

2 En general el cliente no conoce suficientemente bien su problema. Si lo conociera no nos solicitara

3 ayuda para resolverlo, porque en muchas ocasiones ser capaz de explicitar el problema es hacer

4 evidente una solucin.

5 En general se puede afirmar que el cliente tiene una nebulosa sobre un problema a la que damos

6 una cierta forma con la construccin del modelo. Es por ello que muchos problemas de organizacin

7 industrial no se resuelven sino que se disuelven.

8 Pero adems el nmero de actores implicados en un problema es en general alto y con perfiles muy

9 diferenciados entre s. En la mayor parte de las ocasiones el conocimiento sobre el problema real, sobre

10 las circunstancias del mismo es pobre. Escassimo es el conocimiento sobre las herramientas para

11 resolver dicho problema. Y ese desconocimiento sobre la herramienta es un factor a tener en cuenta

12 porque permite vender la solucin, pero impide la compra.

13 Sin nimo de ser exhaustivo se pueden identificar al menos 4 tipos de implicados en la generacin de

14 una solucin. Quiz el principal de los actores es el pagano: el que paga el anlisis, desarrollo y puesta

15 en marcha de la solucin. Las motivaciones del pagano son diferentes a las del usuario, la persona

16 cuya vida se ver mejorada por la solucin y resolucin del problema. Toda aproximacin tiene

17 siempre uno o varios sufridores. Los sufridores vern afectada su vida por la modificacin de su

18 entorno y es imposible para alguien que no sea ellos mismos (e incluso para ellos mismos) saber hasta

19 que punto su calidad de vida empeorar por la resolucin del problema. Por ltimo existe, generalmente,

20 una tipologa de cliente que recibe el nombre de prescriptor. En principio este personaje (bsico en el

21 funcionamiento de la economa moderna) no gana nada con una resolucin adecuada del problema,

22 pero pierde en el caso de que (como esperan los sufridores) la solucin no sea finalmente adoptada.

23 1.4 El Problema, y el Concepto de Solucin

24 A partir de la descripcin del problema, generamos informacin que podr ser capturada en forma de

25 datos, dichos datos son analizables de tal modo que generan unos datos conocidos como variables de

26 salida. Esos datos por lo general son intiles salvo que se transformen en informacin, y slo sta ltima

27 puede ayudar a resolver el problema.

Solucin

Informacin

DatosProcedii- miiento Datos

Informacin

28 Problema

Solucin

Informacin

Problema

29 As pues existen tres significados para la palabra solucin en nuestro entorno. Una solucin es un

30 conjunto de variables que han adquirido un determinado valor. Una solucin es tambin el programa que

1 generar informacin a partir de los datos disponibles (generalmente se le denomina solucin

2 informtica) Y por ltimo est lo que el cliente considera que es la solucin a su problema, que

3 bsicamente se da cuando el problema desaparece.

4 1.5 Ciclo de Vida de la construccin de Modelos

5 No existe un mtodo para construir un modelo perfecto de modo directo. En cualquier caso se puede

6 decir que en la definicin de cualquier modelo hay tres etapas o hitos bsicos que se concretan en:

7 1. Definir el Problema. Esta fase incluye entender el problema y acordar con el cliente los

8 resultados a obtener.

9 2. Modelar y Construir la Solucin. Esta fase incluye definir el tipo de tcnica a utilizar, generar

10 el modelo (implementarlo informticamente si es el caso) y por ltimo validarlo.

11 3. Utilizar la Solucin. Un modelo perfecto que no se utilice es un modelo perfectamente intil.

12 Ser capaz de implementar el modelo de tal manera que el cliente lo utilice, y mantener

13 un concreto sistema de actualizacin son los dos elementos bsicos de esta fase.

14 Cualquiera de las etapas citadas exige replantearse siempre la vuelta al principio del proceso. La

15 mejor comprensin de la realidad puede llevar (lleva) a cambiar el tipo (o tipos) de tcnica a utilizar para

16 alcanzar el objetivo propuesto.

17 1.5.1 Definir el Problema

18 1. Entender el problema: Hay que estructurar el problema para entenderlo. Cualquier

19 herramienta es buena. En ocasiones con esta etapa el problema a resolver queda

20 resuelto. Y en general tambin ocurre que el primer problema planteado no era el

21 problema real.

22 2. Acordar con el cliente los resultados a obtener. No significa necesariamente que el cliente

23 deba definir el resultado concreto del trabajo. Pero es interesante conocer si pretende

24 una respuesta del tipo s o no o una hoja Excel.

25 1.5.2 Modelar y Construir la Solucin

26 3. Definir el tipo de tcnica. La decisin del tipo de tcnica que mejor se ajusta al problema

27 puede ser revocada en cualquier instante, pero da por perdido todo el trabajo anterior.

28 Esto incluye el anlisis de datos disponibles y resultados requeridos.

29 4. Generar el modelo. Esta etapa incluye estimar los parmetros para modelar o calcular

30 resultados, adems de dar forma fsica al modelo. En este punto es de destacar la

31 aplicacin del principio Ir paso a paso. Esto implica abordar escalonadamente los

32 diferentes aspectos de la realidad que se pretenden modelar.

1 5. Validar el modelo. Decidir si el modelo vale para algo, si se puede usar y si el cliente lo

2 encontrar aceptable. Fundamentalmente esta fase exige comprobar que se comporta

3 como se pretenda que se comportara.

4 1.5.3 Utilizar la Solucin

5 6. Implementar el modelo. Trabajar con el cliente para poder extraer los mximos beneficios

6 del trabajo realizado.

7 7. Actualizar el modelo. Es evidente que si la realidad es cambiante el modelo debe adaptarse

8 a las nuevas circunstancias de manera continua si se pretende que siga teniendo

9 utilidad.

10 1.6 Generacin de Soluciones Informticas para la resolucin de Problemas

11 que se abordan mediante mtodos matemticos

12 A continuacin se ofrece una estructura til para ayudar a plantear herramientas que resuelven

13 problemas reales de clientes reales.

14 1) Anlisis del Problema. En general el cliente no es capaz de definir su problema. A veces,15 pensar que lo puede definir pero seguramente a lo largo del proceso se redefinir el16 problema en varias ocasiones.

17 2) Preproceso de Datos. Analizar los datos disponibles nos permite tener una visin detallada

18 del problema. En general, si los datos no han sido previamente utilizados sern

19 probablemente errneos. Este paso, igual que los siguientes, puede suponer analizar de

20 nuevo el problema.

21 3) Generar resultados a mano. Si somos capaces de entender el problema seguro que somos

22 capaces de generar una hoja de clculo donde representar una posible solucin, calculada a

23 mano.

24 a. Definir la Estructura de la Solucin

25 b. Disear e implementar un Representador de una Solucin

26 c. Diseo del Mtodo de Evaluacin de Resultados (definir cmo se va a presentar que

27 un resultado es mejor que otro)

28 d. Implementar el Evaluador de Solucin

29 4) Comprobar que los resultados son inteligibles por parte del cliente. Y que lo que creemos que

30 es peor es realmente peor.

31 5) Generar un modelo de programacin matemtica (preferiblemente lineal).

32 6) Seleccin de la Herramienta o Tecnologa de resolucin adecuada.

33 7) Definir el Procedimiento de Resolucin

1 8) Diseo de Procedimientos de Resolucin para clientes no-expertos.

2 a. Diseo de Estructura de Datos de Entrada

3 b. Definir los Procedimientos de Lectura y captura de Datos

4 Desde bases de datos estructuradas existentes y/o nuevas

5 Desde ficheros de texto

6 Desde pantalla

7 c. Generar Algoritmos para generar soluciones

8 Generacin aleatoria de Soluciones

9 Heursticas Voraces

10 Diseo de Mtodos de Enumeracin

11 Diseo de Meta-heursticas

12 1.7 Algunos principios para tener xito en el modelado

13 Aunque como se ver posteriormente existen mltiples tipos de modelos (y por tanto de procesos de

14 modelado) se pueden extraer algunos principios generales tiles en cualquier caso:

15 Los Modelos han de ser simples, su anlisis debe ser complejo16 Ir paso a paso17 Usar metforas, analogas y similitudes18 Los datos disponibles no deben conformar el modelo.19 Modelar es explorar.

20 1.7.1 Los Modelos han de ser simples, su anlisis debe ser complejo

21 Al modelar se puede tener la tendencia de trasladar toda la complejidad de la realidad al modelo.

22 Esto, aunque suele agradar al que mira el modelo, no es til para quien lo debe utilizar por dos

23 motivos: un modelo de este tipo es difcil de construir y tambin es difcil de utilizar.

24 Antes de comenzar el proceso de modelado se debera responder a la pregunta: Para qu quiero y

25 necesito el modelo? de un modo concreto. De este modo se puede garantizar que para hacer un

26 simulador de coches, no se pierde tiempo modelando el funcionamiento del turbo cuando lo que se

27 pretende es hacer una herramienta para comprender el funcionamiento del volante.

28 1.7.2 Ir paso a paso

29 Es habitual observar que se pretende construir un modelo considerando todos los aspectos

30 simultneamente. La ciencia avanza paso a paso, los modelos, si pretenden estar dentro de ella,

31 tambin.

1 Metafricamente hablando, intentar construir un modelo completo desde el principio puede llevar a

2 que, al intentar dibujar las hojas en los rboles, se olvide que el objeto a pintar era el bosque.

3 Un corolario de este principio exige Dividir para Vencer. Empezar generando pequeos modelos de

4 una parte reducida y determinada del proceso para aumentar su scope gradualmente.

5 De este principio se deriva que estrategia recomendable es evitar tener todos los aspectos en cuenta

6 desde el principio. El proceso de modelado puede comenzar aislando una pequea parte y realizando

7 un modelo detallado, que permita su reproduccin en otras secciones. Tambin se puede realizar al

8 principio un modelo muy general, e ir mejorando etapa a etapa la exactitud del mismo.

9 1.7.3 Usar al mximo metforas, analogas y similitudes

10 Un buen modelador, ms que quedar restringido por la realidad tal y como se percibe a primera vista,

11 es interesante abordarla, e incluso modelarla desde otros puntos de vista.

12 El punto anterior se pretenden ilustrar con este ejemplo: Si al hacer un modelo de secuenciacin para

13 lneas de montaje en sistemas Justo-a-Tiempo se cae en la cuenta de que el problema matemtico es

14 bsicamente el problema de repartir escaos de una manera proporcional, se habr conseguido resolver

15 un problema actual (secuenciacin JIT) con herramientas desarrolladas desde el siglo XVIII. Todas las

16 propiedades analizadas para el segundo problema, pueden ser adaptadas para el primero ms nuevo.

17 Adems, el abandonar de modo explcito la realidad puede simplificar el problema o representarlo de

18 un modo ms sencillo. Cualquier plano de metro de cualquier ciudad no representa cada lnea y cada

19 estacin tal cual es sino que une mediante lneas, los puntos, que representan estaciones, que en casi

20 ningn caso pueden superponerse sobre un plano detallado y proporcional de la ciudad. La

21 representacin exacta de la realidad incrementara la dificultad en la lectura de dichos planos.

22 1.7.4 Los datos disponibles no deben conformar el modelo

23 Un fallo comn a la hora de plantear un modelo es retrasar el comienzo del modelado hasta que se

24 disponga de los datos. El planteamiento debe ser el contrario, el modelo debe requerir datos, no los

25 datos conformar el modelo.

26 El analista debe desarrollar las lneas bsicas sobre el modelo y una vez hecho esto, debiera

27 definirse la estructura de datos necesarios. Si hubiera tiempo lo lgico sera que a la luz de estos

28 resultados preliminares se redefiniera el modelo y por tanto los datos necesarios, y as sucesivamente.

29 Se pueden distinguir tres conjuntos bsicos de datos necesarios para crear y validar un modelo:

30 - Datos que aportan informacin preliminar y contextual. Permitirn generar el modelo.

31 - Datos que se recogen para definir el modelo. Estos datos nos permitirn

32 parametrizar el modelo.

33 - Datos que permiten evaluar la bondad del modelo.

1 Hay que destacar la importancia de que los datos del segundo y el tercer tipo sean distintos, porque

2 en caso contrario el modelo no se habr realmente validado.

3 Una ltima recomendacin respecto a los datos es evitar aquellos que ya estn recogidos. Sirva el

4 siguiente clsico ejemplo como ilustracin.

5 Para desarrollar un modelo para la programacin de produccin puede ser necesario desarrollar

6 submodelos de demandas de los clientes para los productos fabricados. La mayor parte de las

7 empresas guardan esta informacin en sistemas.

8 El modo obvio de recoger la informacin de la demanda es acudir a los sistemas informticos que se

9 usan para introducir rdenes y enviar facturas. Pero no es conveniente tomar ese camino tan evidente.

10 Los sistemas slo recogen lo que se vende, no lo que el cliente quiere. Por tanto las ventas muchas

11 veces simplemente reflejan lo que hay en stock, pues se obliga al cliente a comprar lo que existe.

12 1.7.5 Principio Subyacente: Modelar es Explorar

13 Dado que un modelo es el resultado de intentar representar parte de la realidad para tomar

14 decisiones, implementar o entender, se podra pensar que el proceso de modelar es un proceso lineal.

15 Sin embargo, la experiencia muestra que en el proceso de modelar hay muchas vueltas atrs,

16 cambios de direccin o cambios de perspectiva, incluso es bastante habitual que haya cambios de

17 herramientas.

18 Modelar es explorar la realidad. Y en especial la realidad desconocida. Por ello siempre aplica el

19 siguiente corolario de la ley de Murphy: Si se consigue que el modelo funcione a la primera, es que se

20 ha errado el problema.

21

Pgina 21 de 181

1 2 TIPOS DE MODELOS. LOS MODELOS DE PROGRAMACIN

2 MATEMTICA

3 2.1 Clasificacin de modelos segn el efecto de su resolucin

4 Shapiro (2001) clasifica los modelos segn el efecto de su resultado en Normativos o Descriptivos.

5 Son normativos los modelos matemticos (a su vez estos se pueden clasificar en modelos de

6 optimizacin y modelos de resolucin mediante heursticas).

7 Los modelos descriptivos que engloban al resto (Previsin, Data Mining, Simulacin, Dinmica de

8 Sistemas,).

9 2.1.1 Modelos Normativos

10 Los modelos normativos exigen el planteamiento de un modelo matemtico (probablemente en forma

11 de funcin objetivo y restricciones). Los modelos cuya estructura se ajusta a algunos de los patrones

12 clsicos para los que es factible la optimizacin (programacin lineal por ejemplo) forman el subconjunto

13 de modelos de optimizacin.

14 En ocasiones la estructura del modelo impide el uso de algn mtodo de optimizacin conocido, es

15 por ello que se plantean los procedimientos heursticos de resolucin que, si bien no garantizan ptimos,

16 permiten encontrar soluciones en espacios cortos de tiempo.

17 Es evidente que el trabajo en el primer caso se debe centrar en el proceso de modelado, mientras

18 que en el segundo grupo el esfuerzo se hace en la definicin del mtodo heurstico de resolucin.

19 En este libro se despliega uno de los tipos de modelos normativos, la Programacin Matemtica, y

20 ms concretamente la Programacin Lineal Entera. La Programacin Matemtica no es el nico modo

21 de modelar matemticamente, ni el nico modo normativo de hacerlo. Por ello en los puntos siguientes

22 se har una presentacin de algunos de estos modos.

23 2.1.2 Modelos Descriptivos

24 Los modelos descriptivos abarcan todas aquellas tcnicas de modelado que no comportan la

25 definicin de estructuras matemticas que definen una solucin como la deseable para ser

26 implementada.

27 Entre los modelos descriptivos se pueden citar los modelos de simulacin, la teora de colas e incluso

28 las tcnicas de previsin entre otras. Algunos de los modelos descriptivos llevan aparejada una carga

29 matemtica importante, mientras que otros su estructura no es de tipo matemtico. Aunque ello no les

30 quita ni un pice de formalidad. Por poner un ejemplo los modelos IDEF-0 son altamente formales y

31 estndar. Aunque tienen aspecto de grafo, no necesariamente debieran ser incluidos entre los que se

32 denominan Modelos Matemticos.

1 2.2 Modelos Matemticos

2 Los modelos matemticos son modelos formales que utilizan el lenguaje de las matemticas para

3 describir un sistema, expresando parmetros, variables, relaciones. El lenguaje matemtico no se limita

4 a la expresin de nmeros y operadores aritmticos que los relacionan. As por ejemplo la teora de

5 grafos, ampliamente utilizada en aplicaciones prcticas, es un subconjunto de la ms general teora de

6 conjuntos.

7 Los modelos matemticos se pueden clasificar de mltiples maneras. A continuacin se describen

8 algunas que se consideran relevantes.

9 Los modelos pueden ser estticos o dinmicos. Un modelo esttico no tiene en cuenta el tiempo,

10 mientras que los modelos dinmicos s. Los modelos dinmicos se suelen representar con ecuaciones

11 en diferencias o ecuaciones diferenciales.

12 Los modelos pueden ser lineales o no-lineales. Si todos los operadores de un modelo son lineales el

13 modelo es lineal, si al menos uno es no-lineal el modelo es no-lineal. Aunque hay excepciones, los

14 modelos lineales son mucho ms fciles de manejar que los modelos no-lineales. En general los

15 modelos no-lineales pueden ser linealizados, pero entonces, es posible, que se estn perdiendo

16 aspectos relevantes del problema.

17 Un modelo puede ser determinista o estocstico. Un modelo determinista es aquel en que cada

18 conjunto de variables en un estado est definido por los parmetros del modelo y por los estados

19 anteriores. Un modelo determinista se comporta siempre igual para un conjunto de parmetros de

20 entrada. En un modelo estocstico las variables de estado se representan por distribuciones de

21 probabilidad, y por tanto el modelo es capaz de recoger aleatoriedad o incertidumbre.

22

23 2.3 Modelos de Programacin Matemtica

24 La caracterstica comn que comparten todos los modos de modelar matemticamente es que

25 representan la realidad mediante variables y parmetros (y algunos otros artificios como funciones o

26 conjuntos). De este modo la realidad queda cuantificada. Entre ellos estn la Programacin Dinmica o

27 la Teora de Grafos.

28 Los modelos de Programacin Matemtica se distinguen por que representan la realidad mediante

29 funciones. Estas son combinacin de variables y parmetros en forma de restricciones y/o funciones

30 objetivo. En general, las restricciones se deben respetar y las funciones objetivo establecen la diferencia

31 entre una solucin y otra mejor..

32 Este tipo de modelos matemticos pertenecen al grupo de los modelos normativos (qu indican el

33 camino a seguir) frente a la categora de los descriptivos (que describen la situacin actual o futura).

34

1 2.3.1 Por qu se llama Programacin Matemtica?2

2 Tres nombres de tres cientficos ilustres van asociados al origen del extrao nombre de3 Programacin Matemtica: Koopmans, Dantzig y Kantorovich3.

4 Los tres parecen haber diseado mtodos de Planificacin y Programacin de Operaciones

5 (produccin y transporte) utilizando modelos matemticos.

2 Fue el profesor Companys de la Universidad Politcnica de Catalunya quien me puso detrs de la pista de esta interesante historia. A l le debe uno de los autores de este libro muchas cosas interesantes que he aprendido, y esta es slo una de ellas.

3 Al finalizar el primer tercio del siglo XX, Kantorovich, premio Nobel de Economa en 1975, se enfrenta al problema de planificacin desde una ptica de Optimizacin Matemtica. Kantorovich, que viva en la Unin Sovitica enfoca cmo combinar la capacidad productiva de una fbrica para maximizar la produccin. Para ello utiliza un mtodo de anlisis que posteriormente se llam Programacin Lineal. Aunque entonces no tena nombre.

En el ao 1951 Koopmans (que fue premiado junto con Kantorovich con el Nobel) edita un libro de ttulo "Activity Analysis of Production and Allocation", (Wiley, New York (1951)). Dicho libro recoge trabajos que sus autores dicen que son ampliaciones o reduccin de trabajos publicados entre 1947 y 1949.

En un libro que l mismo edita, Koopmans, escribe dos captulos relevantes. El captulo III "Analysis of production as an efficient combination of activities" donde expone un "problema de produccin" de manera matemtica, y el captulo XIV de ttulo "A model of transportation" donde plante el problema de "programar el transporte de barcos" tambin desde una ptica de optimizacin matemtica. Unos aos antes haba planteado el problema pero de modo terico segn l mismo indica.

De hecho en los artculos indica que estaba influenciado por una corta entrevista que tuvo con Dantzig. El propio Dantzig escribe el captulo II del citado libro de ttulo: "The programming of interdependent activities: Mathematical Model" que indica que es una revisin de un artculo de 1949. En ese captulo se distingue la palabra programming que hace referencia a la programacin y Mathematical que hace referencia al modelo. Dantzig se concentra en los modelos donde las relaciones son lineales pues tienen unas propiedades interesantes, entre otras que no hay ptimos locales, y de repente en la pgina 30 los problemas de programacin con modelos lineales se convierten en "problemas de programacin lineal. Aparentemente el nombre de Programacin Lineal fue sugerido por Koopmans en 1948 en una reunin que tuvieron Koopmans y Dantzig en RAND Corporation.

La nota de entrada del captulo nos recuerda que est "republicando un trabajo de 1949". Porque ya en 1947 Dantzig haba diseado el algoritmo del Simplex, que es un procedimiento eficaz de resolucin del problema de programacin lineal.

Segn una historia paralela, el trmino programacin lineal habra surgido porque "programacin" era a lo que se dedicaba el departamento en la USAF para el que trabajaba Dantzig. El propio Dantzig, sugiere que inicialmente su mtodo se utiliz para calcular las dietas ptimas.

Y Kantorovich? En su autobiografa para el Premio Nobel, Kantorovich escribe: "In 1939, the Leningrad University Press printed my booklet called The Mathematical Method of Production Planning and Organization which was devoted to the formulation of the basic economic problems, their mathematical form, a sketch of the solution method, and the first discussion of its economic sense. In essence, it contained the main ideas of the theories and algorithms of linear programming. The work remained unknown for many years to Western scholars. Later, Tjalling Koopmans, George Dantzing, et al, found these results and, moreover, in their own way. But their contributions remained unknown to me until the middle of the 50s."

1 Se podra decir pues que se lo que se conoce como Programacin Matemtica fue originariamente

2 un modo de resolver problemas de Programacin mediante mtodos matemticos.

3 Los modelos de programacin cuyas variables tenan relaciones lineales, tenan la interesante

4 propiedad de no tener ptimos locales por lo que la Programacin Lineal se convirti pronto en un

5 lugar comn de encuentro de modeladores y solucionadores.

6 2.3.2 Una clasificacin de Modelos de Programacin Matemtica

7 Una clasificacin de los modelos de programacin matemtica podra tener en cuenta las siguientes

8 caractersticas:

9 - Estructura, objetivos y restricciones (lineales o no-lineales)

10 - Caractersticas de las Variables (Reales, Discretas -Enteras-, Binarias)

11 - Certidumbre de los Parmetros (Ciertos e Inciertos)

12 - Nmero de Objetivos (Ninguno, Uno o ms de Uno)

13 - Nmero de Restricciones (Ninguna, Ms de Cero)

14 El objeto de esta descripcin no es establecer una perfecta clasificacin de todos los modelos de

15 programacin matemtica. En realidad se pretende fijar un marco que sirva de referencia en el contexto

16 de estos apuntes.

17 2.3.2.1 Programacin Lineal

18 Entre los tipos de modelos de uso ms generalizado en Programacin Matemtica se encuentra la

19 denominada Programacin Lineal. sta, en su forma ms bsica, consiste en un conjunto de variables

20 reales, que mediante combinacin lineal de parmetros ciertos, permite establecer un objetivo y

21 restricciones lineales.

22 Los fundamentos matemticos de los modelos lineales se encuentran en la teora de las

23 desigualdades lineales desarrollada en el siglo XIX como se puede leer en (Poler 2001). Aunque se

24 encuentran precedentes en distintos campos (teora de juegos, definicin de dietas, problemas de

25 transporte...), la formulacin y resolucin general de los problemas de Programacin Lineal fue realizada

26 en el proyecto SCOOP, lanzado en 1947 por el ejrcito del aire de los Estados Unidos de Norteamrica,

27 dando lugar al algoritmo denominado Simplex expuesto inicialmente por Dantzig en 1947. En menos de

28 10 aos la Programacin Lineal experimento un fuerte desarrollo con trabajos que abordaron, entre

29 otros temas, la degeneracin, la dualidad y las formas compactas.

30 Actualmente es posible encontrar en el mercado, incluyendo aplicaciones gratuitas en internet,

31 aplicaciones comerciales para la resolucin eficiente de problemas de Programacin Lineal (GUROBI,

32 CPLEX, XPRESS, LINDO, QSB...), siendo un avance significativo de los ltimos aos el desarrollo de

33 paquetes que facilitan la introduccin del modelo y la integracin de ste con los Sistemas de

34 Informacin de la empresa.

1 La mayor parte de estos paquetes utilizan (o han utilizado) el denominado mtodo Simplex. Dicho

2 mtodo, aunque computacionalmente ineficiente, tiene la ventaja docente de ser metdico y que permite

3 explicar, mediante el propio mtodo, algunos conceptos como precios-sombra o costes reducidos.

4 Hasta finales de la dcada de los 80 del siglo XX no surgen como alternativa vlida los denominados

5 mtodos del punto interior. El menor coste computacional de este tipo de algoritmos hace que su

6 implantacin en los paquetes comerciales sea creciente.

7 Por ltimo parece necesario destacar que aunque para el observador no experimentado la exigencia

8 de linealidad puede parecer excesivamente restrictiva, la realidad es que un gran nmero de problemas

9 reales puedan ser modelados con esa consideracin (Williams, 1999). La ventaja de los Programacin

10 Lineal frente a la Programacin No-Lineal es que para esta no se conocen modelos generales de

11 resolucin eficientes. Curiosamente el trabajo que se desarrolla en resolucin de Programacin No-

12 Lineal est colaborando en mejorar la eficiencia de la Programacin Lineal.

13 2.3.2.2 Programacin Lineal Entera

14 Si a alguna de las variables de un problema lineal se le impone la condicin de integridad el problema

15 pasa a ser de Programacin Lineal Entera Mixta. Si todas son variables enteras, el problema pasa a ser

16 de Programacin Lineal Entera.. La condicin de integridad puede venir impuesta, entre otros motivos,

17 por el imposible fraccionamiento de determinados recursos. Uno de los procedimientos ms efectivos

18 para la resolucin de este tipo de problemas se fundamenta en el concepto de ramificacin y cota.

19 Desgraciadamente aunque la lgica de este procedimiento es eficaz, conduciendo necesariamente al

20 ptimo, el coste computacional en algunos problemas es, an hoy en da, excesivo. Otro procedimiento

21 para la resolucin de estos problemas se basa en los mtodos de planos cortantes, aunque este mtodo

22 levant grandes expectativas por ahora no han fructificado de modo eficiente.

23 Una variante especial de los problemas de Programacin Lineal Entera lo constituyen aquellos donde

24 algunas variables son bivalentes. El uso de este tipo de variables tiene su origen en la representacin de

25 aquellas decisiones que slo admiten dos valores, pero tambin aquellos problemas que exigen

26 restricciones de tipo lgico. La pretensin de resolver estos problemas de modo eficiente ha dado lugar

27 a mtodos como el de enumeracin implcita o tcnicas ms generales de enumeracin como las

28 descritas en (Kauffmann y Henry-Labordere, 1976).

29 Hay que destacar la existencia de algunos tipos especiales de problemas con variables bivalentes,

30 que se abordan mediante mtodos especficos de resolucin, ptimos en algunos casos y ms eficientes

31 por haber sido desarrollados ex profeso. Algunos de estos problemas son los de cubrimiento,

32 asignacin, particin, mochila y rutas (Williams, 1999).

33 2.3.2.3 Programacin Estocstica

34 Si a los problemas de Programacin Matemtica (en general) se les incorpora la incertidumbre en los

35 parmetros, esta incertidumbre se puede abordar mediante la denominada Programacin Estocstica.

1 Una variante de la misma especialmente interesante es la Programacin Lineal Estocstica, que puede

2 ser resuelta de modo ptimo, aunque con un coste computacional elevado.

3 Uno de los mecanismos para abordar la incertidumbre en los datos es el uso de los denominados

4 escenarios. Estos constituyen un posible conjunto de valores para los parmetros. Cada uno de estos

5 escenarios pueden tener una probabilidad asociada aunque no necesariamente (Dembo, 1991).

6 Existen diferentes modos de formular mediante un problema de Programacin Lineal un Problema

7 Estocstico aunque bsicamente consiste en obtener una decisin para el instante actual teniendo en

8 cuenta los escenarios futuros. De este modo la decisin a tomar no ser ptima, en general, para

9 ninguno de los escenarios aunque s para el conjunto de ellos. Este modo de plantear y resolver el

10 problema tiene un elevado coste computacional pero se puede abordado mediante descomposiciones y

11 computacin en paralelo con ndice de paralelizacin elevado.

12 Otro modo de abordar la estocasticidad en los parmetros es obtener el ptimo para cada escenario

13 y comparar el valor que esta decisin tendra para el resto de escenarios, eligiendo como decisin

14 definitiva la ms buena, o la menos mala o cualquier otro mecanismo que se considere oportuno.

15 2.3.2.4 Programacin No-Lineal

16 Si a los modelos de Programacin Lineal se les elimina el requerimiento de que la funcin objetivo o

17 las restricciones sean lineales, se obtienen modelos de Programacin No-Lineal. La eliminacin del

18 requerimiento de linealidad se suele fundamentar en la estructura no-lineal del objeto, o parte de l, a

19 modelar. En realidad debiera ser planteado al revs, la realidad es generalmente no lineal y al linealizar

20 estamos constriendo el modelo.

21 Sin embargo muchas de las circunstancias aparentemente no-lineales pueden ser linealizadas sin

22 prdida de su significado. El motivo de la aparente obsesin por la linealidad se basa,

23 fundamentalmente, en la falta de eficacia en la obtencin de ptimos mediante el uso de los

24 procedimientos actualmente existentes para la resolucin de problemas no-lineales en general.

25 De hecho la no linealidad impide garantizar siempre la deteccin de un ptimo an tras haberlo26 encontrado. El teorema de optimalidad de Karush Kuhn y Tucker4 (ms conocidas por condiciones

27 KKT) que establecen las condiciones necesarias de optimalidad en problemas no lineales. Es de

28 destacar que dichas condiciones no son suficientes sino necesarias.

29 Una variante de la programacin No-Lineal la constituyen aquellos problemas sin restricciones, para

30 los que el clculo del ptimo tiene su origen en el desarrollo del clculo matemtico del siglo XVIII.

4 Para los que tenemos una cierta edad, las condiciones son de Kuhn y Tucker. Kuhn y Tucker pretendan extender las bondades de la Programacin Lineal a principios de los 50. Y publicaron sus condiciones. Segn el propio Kuhn explica, cuando las probaron no saban que Karush las haba desarrollado como tesina fin de master en 1939 pero que nunca las haba publicado, y que se dieron cuenta de ello 25 aos despus.

1 En general se puede admitir que la resolucin de grandes problemas de optimizacin en

2 programacin No-Lineal an hoy no es eficiente. Sin embargo el esfuerzo realizado no es infructuoso,

3 por poner un ejemplo algunos de los algoritmos que actualmente permiten que la programacin Lineal

4 sea hoy en da tan rpida en su resolucin fueron desarrollados para buscar soluciones en entornos No-

5 Lineales. Posteriormente se han revelado eficientes en los problemas de Programacin Lineal.

6 2.3.3 Los Componentes de un Modelo Matemtico

7 Los modelos matemticos tienen dos componentes bsicos:

8 Datos: Valores conocidos y constantes.

9 Variables: Valores que se calculan.

10 Mediante la combinacin lineal de los mismos se generan:

11 Funcin Objetivo que debe minimizarse o maximizarse.

12 Restricciones que establece lmites al espacio de soluciones.

13 Tanto la funcin objetivo como las restricciones se expresan matemticamente mediante el uso de

14 variables o incgnitas. Se pretende definir unos valores a dichas variables de tal modo que se obtiene la

15 mejor valoracin de la funcin objetivo mientras se cumplen todas las restricciones.

16

17 En su formulacin bsica los modelos matemticos tienen una funcin objetivo y una o ms

18 restricciones. Sin embargo existen excepciones como:

19 Mltiples Objetivos

20 Objetivos No existentes

21 No existencia de restricciones

22 2.3.3.1 Mltiples objetivos

23 Un modelo de Programacin Matemtica exige una nica funcin objetivo que tiene que ser

24 maximizada o minimizada. Esto sin embargo no implica que no se puedan abordar los problemas con

25 mltiples funciones objetivo. De hecho, como se ha comentado, existen diferentes mtodos de

26 modelado y posterior resolucin que se pueden aplicar en estos tipos de problemas.

27 Numerosos autores relacionan la Programacin Multi-Objetivo con la Teora de la Decisin que se

28 aborda ms adelante.

29 2.3.3.2 Objetivos no existentes

30 En ocasiones al plantear el problema es difcil establecer un objetivo para el problema, ms all de

31 encontrar una solucin que satisfaga las restricciones. En ese caso es conveniente fijar un objetivo

32 sencillo ligado a una nica variable. Aunque la experiencia muestra una y otra vez, que una vez se

1 obtiene una solucin factible el usuario acaba encontrando un modo de distinguir una solucin de otra

2 peor.

3 2.3.3.3 Optimizacin sin restricciones

4 Los problemas de optimizacin sin restricciones pretenden minimizar (o maximizar) una funcin real5 f(x) donde x es un vector de n variables reales. Es decir se buscan un x* tal que f(x*) f(x) para todos los6 x cercanos a x*.

7 En el caso de un problema de optimizacin global, el x* buscado es el que minimiza f para todo el8 espacio xRn.

9 2.4 Modelos de Optimizacin Combinatoria

10 La Optimizacin Combinatoria es una rama de la Investigacin Operativa que consiste en encontrar la

11 solucin ptima a un problema en que cada solucin est asociada a un determinado valor (el valor de la

12 solucin).

13 El trmino Combinatoria hace a la rama de la matemtica que estudia colecciones finitas de objetos que

14 satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas

15 colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "ptimo" existe

16 (combinatoria extremal).

17 El trmino Optimizacin hace referencia a este segundo aspecto de la bsqueda del mejor valor. En

18 muchos de esos problemas la bsqueda exhaustiva no es factible y por la estructura de los problemas

19 tanto no es posible.

20 La optimizacin combinatoria acta en el campo de los problemas de optimizacin en los que el conjunto

21 de soluciones factibles es discreto (o reducible a discreto). En algunos casos se tiende la tendencia a

22 asumir que la OC es la programacin lineal entera con variables binarias.

23 La bsqueda (o la definicin de la existencia) de un ptimo para tipos especficos de p

Simulacion y Programacio Dinamica

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