Singularidades en fluídos perfectos incompresibles con ...
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Marco A. Fontelos
Singularidades en fluídos perfectos incompresibles con frontera libre: ruptura
de olas y formación de burbujas
Índice
1.-Evolución de la interfaz entre fluídos de distinta densidad.2.- Singularidades en Mecánica 3.- El problema de ondas superficiales de gravedad4.- Singularidades en ondas superficiales de gravedad:crestas y ruptura de olas.5.- Formación de burbujas.
Evolución de la interfaz entre dos fluídosde distinta densidad
Billow clouds
Kelvin-Helmholtz Water Waves
Rayleigh-Taylor
Crab Nebula
Modelo matemático (2D)
Condición Cinemática:
Balance de esfuerzos:
Ec. Bernoulli:
Flujo Potencial:
Incompresible +
Irrotacional
Campo de velocidades
c.c.
Análisis de estabilidad:
Inestabilidad si
Problema clásico de olas:
U =0, s=0, r =0i 2
Algunos resultados conocidos:
- Existencia de ondas progresivas, Siglos XVIII, XIX
Helmholtz, Stokes, Airy, Thomson, Rayleigh,...
- Existencia de ondas solitarias, 1834, Scott Russell.
Teoría de solitones (KdV, Korteweg-de Vries), 1895
- Existencia de ondas estacionarias, Siglo XIX.
Prueba rigurosa de existencia, Plotnikov y Toland 2000-2005
Zabusky, Kruskal ‘60
- Teoría de la turbulencia débil (ecuaciones cinéticas de
Solitones), Zakharov ‘90
Cuestiones matemáticas sobre el correcto planteamiento del
Problema:
- S. Wu, 1997, existencia de soluciones locales en tiempo para
perturbaciones iniciales arbitrarias pero muy regulares H 4
- D.Ambrose y N. Masmoudi, 2005, existencia de soluciones
locales en tiempo para perturbaciones iniciales arbitrarias más
regulares e incluyendo tensión superficial.
- S. Wu, 2008, existencia de soluciones para tiempos muy largos (del orden de exp(1/e)) para elevaciones de orden e
¿Pueden desarrollarse singularidades en tiempo finito?
Posible relación con las “Freak waves”.
c
Solitón extremal de Stokes
120º
Singularidades en ondas de gravedad
Solitones con un ángulo:
¿Existen singularidades que se forman espontáneamente?
Invariancia de escala: Leyes de Potencia
L
Escalas de longitud y tiempoen la evolución separadas de la
escala externa L
Invariancia de escala:
min 0( )h t t α−:
Singularidades (ideas generales)
-6 -4 -2 0 2 4 6-2
-1
0
1
2
0
-10 0 10 20 30 40 50
0
5
10
15
20
h(z,t)
Cilindro fluido con cond. Contorno periódicas, J. Eggers, 1993
Una onda de choque
0u uut x
∂ ∂+ =
∂ ∂
t,u
x
0( , ) ( )u z t u x=
Curvas características:
0 ( )u xz t x= +
0 ( ) 1dz u x tdx
′= + 0=!
{ }0 01/ ( )xt Min u x′= −
Tiempo de la singularidad
Solución de similaridad
0u uut x
∂ ∂+ =
∂ ∂
[ ]1 2 0t U U t UUα α βα βξ− −′ ′ ′ ′− + + =
xu t Ut
αβ
⎛ ⎞′= ⎜ ⎟′⎝ ⎠x t βξ ′=
0t t t′ = −
11 xu t U x t
tα α
α ξ ++
⎛ ⎞′ ′= =⎜ ⎟′⎝ ⎠
(1 ) 0U U UUα α ξ ′ ′− + + + =
0ξ =
regular en 1 1/i
1, , 0,1, 2,2 2
, =0
U CU ii
U
α αξ
α
+⎧− − = =⎪= +⎨⎪−⎩
K...
Matching condition0t t t′ = −
11 xu t U x t
tα α
α ξ ++
⎛ ⎞′ ′= =⎜ ⎟′⎝ ⎠
1x t α+′∆ :tamaño región crítica:
finit( 0) as
e!0
u xt>′→
1 1/i
1, , 0,1, 2,2 2
iU CU ii
αξ α+= − − = =+
K...
Singularidad
Consideremos perturbación periódica de la superficie plana con
y= e sin(2px) y velocidad inicial nula. Tomamos g=10.
e = 0.06 e = 0.02
Singularidades en ondas superficiales de gravedad
Crestas
Ruptura
Potencial complejo
Velocidad compleja
Cauchy:
q
Ecuación para la “vorticidad” (a partir de Bernoulli)
Ec. tipo Burgers
Buscamos solución
De la ecuación de tenemos
max ~ 1.32
Apertura de unos 30º
Variable autosimilar
Buscamos soluciones
Espiral logarítmica
~ 0.39
Ruptura de burbujas
nuevo exponente de escala?
α
Bergmann et al. PRL `06
Compto. no-universal?
S.T. Thoroddsen
Keim et al. PRL `06
0.56α ≈
0h At α′=
' ( s)t µ
21 /2t pφ φ ρ∂ + ∇ =
Cuerpos delgados
z
fluido φ= ∇u
0φ∆ =
x x x x x x x x x x2 2
( )( )
C dz r
ξ ξφξ
=− +
∫
;
rvth∂ ≈2
t 4h C∂ ≈ −
2a h≡
aire
tension superficial subdominante
Si v >> v r z
Expansión
( ) ( )lhs rhs=′′ ′′
cuerpo delgado: ∆0 ( )a a g η=&& &&
/z ∆
2
1( ) , 1
zg η ηη
= =+ ∆
24
0 2( , ) 1 ( )za z t a O z⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟∆⎝ ⎠0 02 /a a′′∆ =
en z=0: = 0
0
Punto fijo: marginal
02 (ln )a τα = − 022 ln a
τ
δ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟∆⎝ ⎠
1 ( ),2
uα τ= + v( )δ τ=linearizo:
defino:
Aproximaciónmuy lenta!
11/ 24
ατ
= + +K1
4δ
τ= +K
0ln( )t tτ = − −
3v 8vτ = −vu uτ = −...
...
depende de condicionesinitiales
0τLos exponentes
( )00
1 11/ 244
ατ ττ τ
= + +++
0
14
δτ τ
=+
τδ
1/ 2α −
• exponente “anómalo”1/ 2α >
• depende de condicionesiniciales α
J. Eggers, MAF, D. Leppinen, J. Snoeijer, PRL 2007
- Hydrodynamic Stability (Cambridge Mathematical
Library) by P. G. Drazin , W. H. Reid.
- Worlds of Flow, Oxford University Press, by O. Darrigol
- J. Eggers, M. A. Fontelos The role of self-similarity in
singularities of PDE’s , Nonlinearity 22 , R1 (2009)
- J. Eggers, M.A. Fontelos, D. Leppinen, J.H. Snoeijer Theory of the collapsing axisymmetric cavity , Phys. Rev. Lett. 98 , 094502 (2007).
- M. A. Fontelos, F. de la Hoz, Singularities in Water Waves
and Rayleigh-Taylor instability, submitted.