TRILCE

243

Captulo

COMPARACIN CUANTITATIVA2123.1 NOCIONES BSICAS

Desde pocas remotas, la Matemtica ha estado en la vida del hombre. Todo lo que le rodeaba no haca sinoconducirlo por un camino incipiente e inevitable de la Matemtica: Comparar, agrupar y contar. Al comparar dosconjuntos de elementos diferentes (dedos y animales por ejemplo) y querer comunicarlos, el hombre ilumina sumente, inventa sonidos y voces que lo llevarn a calcular, interpretar y ensear para que lo entendiesen. As, supera suetapa primitiva aprendiendo y transformando constantemente la naturaleza de acuerdo a sus necesidades.En la actualidad, algunas universidades estn redefiniendo el perfil del profesional que desean que ingresen a ellas.Esto a su vez ha obligado a modificar la estructura y contenido del examen de ingreso, en los que las preguntas ya noslo se elaboran para establecer el nivel de conocimientos de parte del postulante, sino reconocer las habilidades queestos poseen ante situaciones polmicas contextualizadas. El presente captulo de comparacin cuantitativa tienecomo objetivo en mayor medida el de evaluar la habilidad del alumno para reconocer propiedades entre los nmeros,que un dominio de las tcnicas operativas.

23.2 LA HABILIDAD MATEMTICA DE COMPARARCabe indicar que comparar tiene varias acepciones; pero para los fines de este captulo, la definiremos como unahabilidad matemtica que consiste en estimar las diferencias y semejanzas entre cantidades de una misma especie.

23.3 LEY DE TRICOTOMA:Dados dos nmeros reales a y b, slo puede haber entre ellos la siguiente relacin de orden :

ba ba ba

23.4 COMPARACIN CUANTITATIVA:Es un tipo de tem con cuyas preguntas se logra evaluar la comprensin matemtica que posee una persona, alcomparar dos cantidades dadas mediante aproximacin, clculo simple o sentido comn.El modelo de este tipo de preguntas es:Se dan dos cantidades, algunas veces precedidas por un enunciado, una en la columna A y otra en la columna B.Se trata de comparar estas dos cantidades y luego discriminar, debers marcar:A. Si la cantidad de A es mayor a la de B.B. Si la cantidad de B es mayor a la de A.C. Si ambas cantidades son iguales.D. Si falta informacin para decidir.E. No debe usar esta opcin!

Observacin: Segn la ley de tricotoma slo existen tres relaciones posibles entre A y B, si sta no se puede establecer,entonces se apela a la alternativa D; la ltima alternativa no es relevante ni trascendente, esta cumple slo el papel dedistractor.Veamos algunos problemas sobre comparacin de cantidades conocidas:

Raz. Matemtico

244

Ejemplos:

2

3

xx5

20042003

200520044

323

41

91

21

312

191413

211718

122329

122318

191429

2117131

B ColumnaA ColumnaEnunciado

Sea x un nmero

positivo

Resolucin:1. Se podra operar los trminos de ambas columnas, lo cual nos llevara mucho tiempo. Recuerda que un nmero mixto

es la suma de un entero y una fraccin.

191413

211718

1223B = 29

122318

191429

2117A = 13

Por lo tanto A = BClave C

2. Una forma de comparar las expresiones dadas, es calculando el valor de cada columna:

65

21

31A 6

133613

41

91B

Ambos resultados tienen el mismo denominador, slo debemos comparar los numeradores:

13 5 , si 39 y 416 ; 13 es un valor que est entre 3 y 4.Por lo tanto A > BClave A

3. Dado que no puede usar calculadora para comparar radicales, se recomienda elevar ambos trminos a un mismoexponente tal que se elimine el radical.

8 9323 2363 2

6

Por lo tanto A < BClave B

4. Si se dividen ambas fracciones, resultara tedioso buscar la diferencia entre ambos cocientes dado que dichas cantidadesson aproximadamente iguales.Analizando ambas columnas se observa que ambas fracciones estn formadas por trminos consecutivos. Se podraprobar con nmeros ms pequeos (Induccin Matemtica) para observar lo que se presenta al compararlos.

Vemos: 32

43

Por una propiedad de las fracciones, podemos compararlas mediante la multiplicacin en aspa:

3(3) 4(2) 9 > 8Intentemos con otro caso :

2425)4(6)5(554

65

En ambos, el resultado de la primera columna es mayor por lo cual podemos inducir que : 20042003

20052004

Por lo tanto A > BClave A

TRILCE

245

2

2

2

2

21

22

11

00

BA

21

Observacin: Si se apela al lgebra, se puede llegar a demostrar la resolucin anterior de la siguiente forma :

1)2004()2004()2005()2003()2004(20042003

20052004 22

1200412004

2

A B

5. Para comparar cantidades desconocidas expresadas en forma de variables, es conveniente probar un juego de valorespara dichas variables, y ver cmo vara la relacin entre las columnas. Como "x" es un real positivo, probemos con:

x = 0 ; 1 ; 2 ; 21

Se observa que el orden no se mantiene igual para todos los valoressupuestos. Por lo tanto, para saber cul de las columnas tiene una cantidadmayor se requiere de mayor informacin.Clave D

COMPARACIN CUANTITATIVA IEn estas preguntas se dan dos cantidades, una en la columna A y la otra en la columna B. Tienes que determinar la relacinentre ambas y marcar:

A. Si la cantidad en A es mayor que en B. B. Si la cantidad en B es mayor que en A. C. Si ambas cantidades son iguales. D. Si falta informacin para poder determinarlo. E. NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIN!

Columna A Columna B

01. 1h 40min 30s 99min 90s

02. Si M es el triple de N (M y N positivos) 2M 5N

03. Si A excede en 100 a B. A B

04. Si x excede en 180 a y. x 140 y + 140

05. Si x excede en 50 al doble de y. x y y

06. Si a y b son positivos, la solucin de 117x+2a+15b = 0 119x a 3b=0

07. Si a > 0 y b > 0, a + b33 (a + b)3

08. (ax+by) + (ay bx)2 2 (a + b ) (x + y )2 2 2 2

Raz. Matemtico

246

09. El nmero de elementos de }17x31/Zx{A }6x28/Zx{B

10. 2489 8 + 2 (3 4)

COMPARACIN CUANTITATIVA IIEn estas preguntas, se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tienes que determinar la relacinentre ambas y marcar:

A. Si la cantidad en A es mayor que en B. B. Si la cantidad en B es mayor que en A. C. Si ambas cantidades son iguales. D. Si falta informacin para poder determinarlo. E. NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIN!

Columna A Columna B

11. 777 7752 2 778 7762 2

12. Dada la expresin: 3x 2y = 5El valor de x cuando

y = 5El valor de y cuando

x = 6

13. 524 78454 78

523 78453 78

14. Si r y s son las races de 9)3x( 2 r + s rs

15.Nmero de subconjuntos de

A = {m ; n ; p ; q}Nmero de elementos de

}18x2/Nx{B

16. Si:

A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}B = {1 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7} )CB(n )BA(n)CBA(n

C = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9}

17. La menor de las races de (x+3)(x+4)(x 5)=0 (x+2)(x+5)(x 3)=0

18. Si:

0cb

0ba2

2

c b

19.100 m ms 220 cm ms

5000 mm90 m ms 1700 cm

20. En la figura, se tienen dos circunferen-

cias tangentes exteriores

10

OO

2Distancia entre los centros Longitud de la

circunferencia menor

TRILCE

247

COMPARACIN CUANTITATIVA IIIEn estas preguntas, se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tienes que determinar la relacinentre ambas y marcar:

A. Si la cantidad en A es mayor que en B. B. Si la cantidad en B es mayor que en A. C. Si ambas cantidades son iguales. D. Si falta informacin para poder determinarlo. E. NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIN!

Columna A Columna B

21. 4 naranjas = 5 pltanos 13 naranjas 9 pltanos

22. 2 787 2 785 2 7862

23. Si BA n(A) n(B)

24. 10 docenas de decenas 12 decenas de docenas

25. 1562 693

26. Si :

0cb

0ba510

36

c b

27. Si : 0abc

0bca 22

ac b

28. Si : 321 L//L//L

L1

L2

L3

x

y

z

w

x + w y + z

29. Se tiene una esfera inscrita en un

cubo de volumen 3m64 rea de la superficie

esfricarea lateral del cubo

30. 9km2 999Ha

Raz. Matemtico

248

COMPARACIN CUANTITATIVA IVEn estas preguntas, se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tienes que determinar la relacinentre ambas y marcar:

A. Si la cantidad en A es mayor que en B. B. Si la cantidad en B es mayor que en A. C. Si ambas cantidades son iguales. D. Si falta informacin para poder determinarlo. E. NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIN!

Columna A Columna B

31. Una moneda de "A" equivale a 2,5

de "B", una de "B" a 0,3 de "C"Tengo : dos monedas de A,tres de B y cuatro de C

Tengo : una moneda de A,cuatro de By tres de C

32. Si 7 CUPOS = 8 POCUS 12 CUPOS 13 POCUS

33. n (A B) n(A) )BAn(

34. n B C)A(

35. Si:

20)BA(n n (A B) = 8 n(A) )BA(n)BA(n

n (B - A) = 6

36. Si:

A * B = A - BA = {1 ; 2 ; 3 ; 4}

Nmero de elementos de : B A

Nmero de elementos de : A B

B = {1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 7}

37. Si: 0cbxax2 , tiene dos races

reales e iguales 2b2 8ac

38. Si:

abcd > 0ab < 0 bc bdac > 0

39. Dada la figura:

A

B

R

O R

AO + OB AB

El doble de la longitud de

40. Si: 3A = 5B y 7B = 9C 119A 256C

TRILCE

249

COMPARACIN CUANTITATIVA VEn estas preguntas, se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tienes que determinar la relacinentre ambas y marcar:

A. Si la cantidad en A es mayor que en B. B. Si la cantidad en B es mayor que en A. C. Si ambas cantidades son iguales. D. Si falta informacin para poder determinarlo. E. NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIN!

Columna A Columna B

41. ( 2) 3+30 3 ( 2) 2 2 2

42. 21510 1

43. Si un producto A se vende a 3

unidades por 8 soles y un producto B 10 unidades de A 15 unidades de Bse vende a 4 unidades por 7 soles.

44.El costo de un artculo cuando se

gana $60.

La ganancia es un cuartodel costo

La ganancia es un quinto del precio de venta

45. Si a es un nmero natural de una cifra a3a

38aa

46. MCD (17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31) MCD (2 ; 4)

47. Si x - y = z , y = 2z , z > 0 3x 9z

48. Si 0a y 0b a + b4 6 2a b2 3

49.

A Cw

M

B

x

y z

BM es mediana

x z y w

50. Dados los puntos A; B, C y D,

colineales y consecutivos, con CD ABAC = 10 y BD = 12

Raz. Matemtico

250

COMPARACIN CUANTITATIVA VIEn estas preguntas, se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tienes que determinar la relacinentre ambas y marcar:

A. Si la cantidad en A es mayor que en B. B. Si la cantidad en B es mayor que en A. C. Si ambas cantidades son iguales. D. Si falta informacin para poder determinarlo. E. NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIN!

Columna A Columna B

51. 520 518 518(20)

52. Si: 2250 es el 2,5% de "x" x 45000 2 x

53. Si: 0 a ; a9

9a a + 1 10

54. Si: a = 0,1818... 11118.0 0,2929... a

55. 40% de 25 25% de 40

56. Si: 43

yx x

yx y

xy

57. Comparar las reas de las regiones

sombreadas.

r

rr2

58. Comparar el dimetro de la circunfe-

rencia y la diagonal del cuadrado,siendo "L" la longitud de la circunfe-rencia y "L" el permetro del cuadrado.

59. x

y z

21

1

2

2y z

60. "L" es un nmero real: L > 0 rea del cuadrado de permetro L

rea del tringulo equilterode permetro L

TRILCE

251

Claves Claves

c

a

a

b

a

b

b

c

b

b

b

b

a

b

c

b

a

b

a

b

a

c

b

b

a

a

a

c

a

b

a

a

c

a

c

a

c

b

b

b

c

b

a

c

d

b

c

d

c

a

a

c

b

b

c

b

c

b

c

a

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.