SINTITUL-6

TRILCE

71

Capítulo

6 MOVIMIENTO RELATIVOGRÁFICAS DEL MOVIMIENTO

GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME GRÁFICA POSICIÓN - TIEMPO

En un movimiento rectilíneo con velocidad constante, particularmente desarrollado sobre el eje x, la ecuación de movimien-to está dada por la siguiente expresión.

)tt(vxx iiF donde xi es la posición inicial de la partícula para el instante to. Considerando que el movimiento se empezó a estudiar ento = 0, tenemos:

vtxx iF Esta ecuación nos representa la dependencia lineal de la posición en función del tiempo. Si graficamos esta ecuaciónrepresentando la posición en el eje (y) y el tiempo en el eje (x) de un plano cartesiano, notamos que la pendiente de la rectanos representa la velocidad del móvil.

Vo

t

x

t

pendienteV tx t

t

x

x

x

Pendiente positiva

Pendiente negativa

GRÁFICA VELOCIDAD-TIEMPOComo la velocidad en el MRU es constante. Una gráfica en el plano cartesiano, ubicando la velocidad en el eje (y) y el tiempoen el eje (x), sera una recta horizontal paralela al eje de las abscisas.

V1 > 0

V2 < 0

V1

V2

V

t

Física

72

En esta gráfica, el área del rectángulo sombreado es igual al desplazamiento x en el intervalo t .

V

t

A

Vi

Vi

t

A = x = desplazamiento

x1 x2xO

t

x = x - x2 1

GRÁFICA ACELERACIÓN-TIEMPOComo sabemos, la aceleración nos indica la variación de la velocidad por unidad de tiempo; pero si la velocidad es

constante como en el MRU. Esta variación tv es igual a cero. Por lo tanto, si representamos la aceleración en el eje (y) y

como es ya acostumbrado el tiempo en (x). Encontraremos que esta gráfica es una recta horizontal que coincide con el ejede las abscisas.

a=0t

a

GRÁFICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADOEn este movimiento rectilíneo la velocidad varia uniformemente. Por lo tanto para cualquier instante de tiempo la acelera-ción es constante. Es decir la aceleración instantánea y la aceleración media son iguales.

tenatconsaitFtiVFV

Por conveniencia se elige to = 0 y tF cualquier tiempo arbitrario t. Con esta notación, se puede expresar la aceleración como:

tiVFVa

VF = Vi + at ................ (1)

Esta expresión será útil para obtener la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo, t. Como esta variación eslineal, es posible expresar la velocidad media en cualquier intervalo de tiempo como la media aritmética de la velocidadinicial Vo, y de la final VF.

2FViVV

Utilizando esta ecuación, podemos calcular el desplazamiento de la partícula como una función de la velocidad media y eltiempo.

TRILCE

73

)tt)((tVx i2FViV , considerando to = 0

t)(x2

FViV

Si reemplazamos la ecuación (1), en esta expresión, obtendremos la ecuación de movimiento para una partícula que semueve con aceleración constante.

t)atVV(xx ii21

i

221

ii attVxx ................ (2)

GRÁFICA POSICIÓN-TIEMPODe la ecuación 2, notamos que la posición en función del tiempo varia cuadráticamente. Esta expresión representa unaparábola.

t

x

xo

221

iiF attVxx

En toda gráfica x - t, la pendiente de la recta tangente trazada en cualquier punto de dicha curva nos representa la velocidadinstantánea.

V=0

P

Q

R

x

t

En el gráfico mostrado, en el vértice de la parábola lapendiente es cero, por lo tanto la velocidad en dicho puntoes cero.

Analicemos ahora la aceleración en la gráfica x - t.

t

x

A

B

t

x

A

B

Como la velocidad está aumentandoen magnitud de "A" hacia "B", elmovimiento es acelerado.

Como la velocidad está disminuyendoen magnitud de A hacia B, el movimientoes retardado.

Física

74

GRÁFICA VELOCIDAD-TIEMPOLa variación de la velocidad en función del tiempo está dada por la ecuación (1). Si graficamos esta ecuación lineal,notaremos que la pendiente de la recta es igual a la aceleración.

Vo

t

v

t

pendientea tv

t

t

V

V

Pendiente positiva

Pendiente negativa

V acelerado

retardado

Como ya hemos visto, el área comprendida entre la curva y el eje de las abscisas, en una gráfica v-t, nos representa eldesplazamiento. Este criterio se cumple para cualquier curva v-t.

V

t

AVi

t

A = x = desplazamiento

VF = Vi + at

El área sombreada bajo la curva es el desplazamiento de la partícula en el intervalo t .

GRÁFICA ACELERACIÓN-TIEMPOComo sabemos en este movimiento la velocidad varía uniformemente; la aceleración tiene un valor diferente de cero. Siahora representamos esta magnitud constante en función del tiempo, obtendremos una recta horizontal paralela al eje de lasabscisas.

ai

t

a

a=cte

ai

El área comprendida bajo esta curva nos representa la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo t .

TRILCE

75

a

t

A

ai

t

ai

A = v = Variación de la velocidad

Física

76

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. En el diagrama, halle las velocidades relativas de A y Crespecto de B, respectivamente.

VA=3 m/s VB=2 m/s VC=1 m/s

10m 12m

a) 1 m/s y 2 m/s en direcciones opuestas.b) 2 m/s y 1 m/s en direcciones opuestas.c) 1 m/s y 1 m/s en direcciones opuestas.d) 1 m/s y 1 m/s en la misma dirección.e) 2 m/s y 2 m/s en la misma dirección.

02. En el gráfico mostrado, determinar las velocidadesrelativas de "P" y "Q" respecto de "R".

VR=3 m/s VQ=4 m/s VP=6 m/s

a) 3 m/s y 2 m/s en direcciones opuestas.b) 1 m/s y 1 m/s en la misma dirección.c) 3 m/s y 1 m/s en la misma dirección.d) 2 m/s y 2 m/s en la misma dirección.e) 1 m/s y 3 m/s en direcciones opuestas.

03. Una manzana cae verticalmente con una aceleraciónde 10 m/s2 respecto a tierra; para una persona quesube en un ascensor a razón de 2 m/s2. ¿Cuál será laaceleración de la manzana?

a) 6,5 m/s2 b) 10,0 m/s2 c) 12,0 m/s2

d) 11,2 m/s2 e) 3,7 m/s2

04. Un perno se desprende del techo de un ascensor quebaja con una aceleración de 6 m/s2. ¿Cuál es laaceleración del perno respecto del ascensor.(g=10 m/s2).

a) 6 m/s2 b) 10 m/s2 c) 16 m/s2

d) 4 m/s2 e) 2 m/s2

05. Por la ventana de un tren que se mueve a 6 m/s, unapersona observa caer la lluvia a razón de 10 m/s yformando con la vertical un angulo de 37°, en la formaque se indica. Halle la rapidez de la lluvia respecto atierra.

37°

Vtren = 6m/s

a) 8 m/s b) 12 m/s c) 134 m/sd) 6 m/s e) 3 m/s

06. Por los cristales de un ascensor panorámico que subecon 2 m/s, una persona ve caer la lluvia en la formamostrada, con una rapidez de 28 m/s. Halle la rapidezde la lluvia respecto a tierra.

45°Vascensor = 2 m/s


07. Un barco A navega en dirección N23°E a razón de 21km/h y otro barco B navega en dirección S67°E a razónde 28 km/h. Halle la velocidad relativa del barco Brespecto del barco A.

a) 35 km/h en dirección N60°E.b) 45 km/h en dirección S60°E.c) 35 km/h en dirección N30°O.d) 25 km/h en dirección N60°O.e) 35 km/h en dirección S30°E.

08. Una bandera ubicada en el mástil de un barco flameahaciendo un ángulo de 60° como se indica; pero unabandera ubicada en la orilla se extiende en direcciónS30°O. Halle la rapidez del viento respecto a tierra, si elbarco se mueve a 36 km/h.

S

O

N

E

36 km/h

60°

a) 18 km/h b) 9 km/h c) 3 km/hd) 12 km/h e) 6 km/h

09. En la figura, el bloque "B" se mueve con una aceleracióncuyo valor es aB=6 m/s2. Se pide calcular la aceleraciónrelativa del bloque "A" respecto al bloque "B", si entodo instante las cuerdas que los une se mantienentensas. Los dos iniciaron sus movimientossimultáneamente.

A

B

a) )(s/m3 2 b) )(s/m3 2

c) )(s/m6 2 d) )(s/m6 2

e) )(s/m2 2

TRILCE

77

10. Determinar la magnitud de la aceleración relativa delbloque "A" respecto el bloque "B", sabiendo que elbloque "B" desciende con 2 m/s2. (Poleas de pesodespreciable).

A

B

a) 5 m/s2 b) 10 m/s2 c) 8 m/s2

d) 2 m/s2 e) 12 m/s2

11.Hallar la velocidad del cuerpo que se mueve a lo largodel eje de las abcisas.

x(m)

10

2

4 t(s)

a) -2 i m/s b) -i m/s c) 2 i m/sd) 4 j m/s e) 8 j m/s

12. Calcular la velocidad de móvil si se sabe que se desplazahorizontalmente.

x(m)

10

t(s)

-6

8

a) 3 i m/s b) 2 i m/s c) -3 i m/s

d) -2 i m/s e) 8 i m/s

13. En la gráfica mostrada, se pide calcular la distanciarecorrida por el móvil entre los instantes: t=1 s y t=6 s.

2

4

t(s)3

V(m/s)

a) -6 m b) 1 m c) 6 md) 8 m e) 10 m

14. En el gráfico mostrado, se pide determinar eldesplazamiento en el intervalo de 2 s a 8 s.

2

4

t(s)5

V(m/s)

4

a) 5 i m b) 8 i m c) -5 i md) -8 i m e) 10 i m

15. La gráfica mostrada corresponde al MRUV de un cuerpo.Halle: to.

4

to t(s)

tangente

parábolax(m)

74º

a) 6/5 s b) 12 s c) 5/6 sd) 16 s e) 10 s

16. En la gráfica mostrada, se pide determinar el instantedonde la velocidad es igual a 4/3 m/s ("O" punto detangencia); Tg=9

to t(s)

x(m)

8 O

a) 1 s b) 2 s c) 4 sd) 5 s e) 10 s

17. En la gráfica "x" Vs "t" si la velocidad del móvil B es 10km/h. Calcular la velocidad del móvil A.

2

10

t(h)

6

x(km) AB


Física

78

18. Dado el gráfico "x" Vs "t", calcular la diferencia de larapideces de los móviles "A" y "B".

t(s)

x(m) AB

37º 53º5

a) 4/3 m/s b) 3/4 m/s c) 25/12 m/sd) 7/12 m/s e) 10 m/s

19. Se muestra la gráfica "v" Vs "t" para los móviles A y B; si:

2B s/m333,1a ; halle la aceleración de "A".

t(s)

V(m/s)

AB

200 8

a) 0,6 m/s2 b) 0,7 m/s2 c) 0,8 m/s2

d) 1 m/s2 e) 2 m/s2

20. A partir del gráfico mostrado, para los móviles A y B, sepide calcular la aceleración de "B", si "A" tiene unaaceleración de 1 m/s2

t(s)

V(m/s)

A

B

5

7

0 2

a) 0,2 m/s2 b) 0,5 m/s2 c) 0,8 m/s2

d) -0,5 m/s2 e) -0,8 m/s2

21. Dos autos que se desplazan en caminosperpendiculares viajan hacia el norte y el esterespectivamente. Si sus velocidades con respecto a latierra son de 60 km/h y de 80 km/h, calcular su velocidadrelativa, uno respecto del otro.

a) 100 km/h b) 90 km/h

c) 150 km/h d) 110 km/h

e) 50 km/h

22. Sobre la plataforma de un ferrocarril que está corriendoa razón de 12 km/h, un hombre camina con unavelocidad de 5 km/h respecto a la plataforma, endirección perpendicular a la dirección de los rieles. Laverdadera velocidad del hombre respecto al suelo firmees igual a:


23. Un automóvil que viaja por una carretera con neblinacon una rapidez de 30 m/s avista repentinamente uncamión a 52 m delante de él viajando en la mismadirección y a la rapidez constante de 10 m/s. Elconductor del auto pierde 0,6 s mientras reacciona yaplica los frenos. ¿Cuál debe ser la desaceleraciónmínima que debe aplicar el auto para evitar el choque?

a) 3 m/s2 b) 5 m/s2 c) 7 m/s2

d) 9 m/s2 e) 11 m/s2

24. Un pasajero de un automóvil observa que los trazosde las gotas de lluvia forman un ángulo de 37° con lavertical en un momento dado, y luego de 10 s éstosforman otro ángulo de 53° con la misma vertical. ¿Cuálfue el valor de la aceleración media que experimentó elautomóvil, si se sabe además que las gotas caenuniformemente a razón de 24 m/s respecto a Tierra yen forma vertical?

a) 0,6 m/s2 b) 0,8 m/s2 c) 1,2 m/s2

d) 1,4 m/s2 e) 1,6 m/s2

25. Desde un globo que sube a 7 m/s constante; un hombrelanza verticalmente hacia arriba una piedra a 3 m/s. Sien ese instante, la altura del globo era 75 m. Hallar lavelocidad relativa de la piedra respecto al globo cuandola piedra llegue al piso. (g=10 m/s2).

a) )(s/m10 b) )(s/m40 c) )(s/m50 d) )(s/m30

e) )(s/m30

26. Un globo aerostático inicia su movimiento de ascensoen tierra y con aceleración constante de 6 m/s2. Si justoen el momento en que el globo está a una altura de 75m, el piloto del globo lanza una piedra con unavelocidad respecto del globo (0; 10 m/s) mientras quedesde la tierra se lanza otro cuerpo con velocidad de(0; 65 m/s), hallar la magnitud de la velocidad relativaentre ellos en el momento en que chocan amboscuerpos. (g=10 m/s2).


TRILCE

79

27. El ascensor asciende con velocidad constante y delpunto "A" se desprende un perno. ¿Luego de cuántossegundos pasa frente a la visual horizontal del niño?(g=10 m/s2).

(A)

2,5m

a) 2 s b) 2/2 s c) 2 s

d) 3 s e) 2/3 s

28. Un bote sale desde "A" hacia "B", que se encuentra enla orilla opuesta del río de 24 m de ancho. Las aguasdel río se desplazan a razón de 2,5 m/s respecto a tierra.¿Con qué rapidez mínima, respecto al agua, debemoverse el bote para llegar a (B) situado a 7 m de "C"?

A

BC

Vrío

a) 0,7 m/s b) 1,5 m/s c) 2,0 m/sd) 2,4 m/s e) 2,5 m/s

29. Si la barra vertical desciende con rapidez constante de0,3 cm/s, hállese la rapidez de la cuña respecto a unciclista que se mueve con 0,6 cm/s. (No hay rozamientoentre las superficies).

37°

V

a) 0,4 cm/s b) 0,6 cm/s c) 0,8 cm/sd) 2 cm/s e) 1 cm/s

30. Una cuña (1) se encuentra entre 2 muros horizontalesy se apoya sobre la cara inclinada de una cuña (2), laque se desplaza horizontalmente con una aceleracióncuyo valor es a2=8 m/s2. Calcular el valor de la

aceleración con la cual desciende la cuña (1). )37(

(1)

(2)

a1a2

a) 2 m/s2 b) 4 m/s2 c) 6 m/s2

d) 8 m/s2 e) 10 m/s2

31. Una cuña (2) se desplaza con una velocidad V2=6 m/s.¿Cuál será la velocidad con la cual el bloque (1) sedeslizará sobre la cara inclinada de la cuña (2), desde

un sistema de referencia ubicado en el piso? )60(

(1)(2)

V2

a) 3 m/s b) 6 m/s c) 33 m/s

d) 36 m/s e) 12 m/s

32. Dos móviles A y B se mueven desde las posicionesmostradas VA=6 m/s y VB=10 m/s. ¿Luego de quétiempo la separación entre los móviles es de 25 m?

VBVA 53°

7 m

a) 1 s b) 1,5 s c) 3 sd) 4,5 s e) 6 s

33. Dos móviles parten simultáneamente de los puntos(A) y (B) de dos carreteras con V1=3m/s y V2=4m/s,respectivamente ¿Cuál es la mínima distancia deseparación entre estos móviles? (OA=OB=5 m).

V1

V2

(0)(A)

(B)

a) 1 m b) 2 m c) 2 m

d) 22 m e) 5 m

34. En el problema anterior. ¿Luego de qué tiempo laseparación entre los móviles es mínima?

a) 0,4 s b) 0,8 s c) 2 sd) 1,4 s e) 1,6 s

Física

80

35. En la figura mostrada, los móviles experimentan MRUen vías que forman un ángulo de 60°. Determine lamenor distancia posible entre los móviles.

20 m/s

80 m

20 m

/s

60°

a) 20 m b) 320 m c) 40 m

d) 340 m e) 380 m

36. Dos móviles presentan rapidez constante de 5 m/s y4 m/s, respectivamente y se dirigen en la direcciónindicada. ¿Después de qué tiempo estarán separados20?

37°4 m/s

5 m/s

(A)

(B)

20

a) 1 s b) 3 s c) 8 sd) 7 s e) 9 s

37. Dos proyectiles son lanzados con la misma rapidez.Determine la menor distancia que logran acercarse.(g=10 m/s2)

A B

V

75° 15°V

2 d

a) 2 d b) 3d c) 1,5 dd) d e) 0,8 d

38. Dos móviles parten simultáneamente desde los puntosM y N hacia un punto "O"; cada uno con una velocidadde 5 m/s. ¿Después de cuántos segundos de haberpartido estarán separados por la mínima distancia?Determine también la mínima distancia entre ambosmóviles. (MO=60 m; NO=80 m).

M

N

O53°

a) 14 s; 28 m b) 12 s; 56 m

c) 12 s; 28 m d) 14 s; 58 me) 16 s; 5 m

39. Según la gráfica, indique si las afirmaciones sonverdaderas (V) o falsas (F):

x(m)

t(s)

20

0I. El móvil se acerca al origen.II. El móvil posee velocidad decreciente.III. El móvil posee velocidad constante.

a) VVF b) VFV c) FVVd) FVF e) VFF

40. Según la gráfica, señale la afirmación incorrecta:

x(m)

t(s)200

5

15

a) Su posición inicial es x=5 m.b) Su rapidez es 0,5 m/s.c) La distancia recorrida en los primeros 20 s es 10 m.d) El móvil se aleja del origen con velocidad constan-

te.e) El móvil recorre 15 m en los primeros 20 s.

41. Halle el módulo de la velocidad media y la rapidezmedia, en el intervalo de tiempo: [0,10] segundos.

x(m)

t(s)0 5

30

8

a) 8 m/s y 5 m/s b) 8 m/s y 4 m/sc) 6 m/s y 5 m/s d) 5 m/s y 8 m/se) 2 m/s y 8 m/s

42. ¿En qué instante de tiempo la posición del móvil esx = -4m?

x(m)

t(s)0

10

-6

2 4

2

a) t = 7 s b) t = 8 s c) t = 6 sd) t = 5 s e) t = 9 s

TRILCE

81

43. Determine la posición del móvil en el instante t = 18 s.x(m)

t(s)0

12

-2

28

14

a) x = 10 m b) x = 8 m c) x = 4 md) x = 12 m e) x = 16 m

44. En el gráfico mostrado, la velocidad media en el

intervalo [0,6] segundos es igual a -1m/s i y lavelocidad media en el intervalo [0,3] segundos fue +2

m/s i . Halle: (2x1+x2).

x(m)

t(s)0 3 6

x1

x2

a) 10 b) 15 c) 20d) 24 e) 28

45. Halle la rapidez del móvil en el instante t=3s.x(m)

t(s)0 2 4

14

36


46. En el gráfico se muestran las velocidades de 3 móvilesen función del tiempo. Halle la relación entre laaceleración menor y la mayor.

V(m/s)

t(s)0 3 6

1234

a) 4 b) 5 c) 2d) 1/5 e) 1/4

47. ¿Cuál es el desplazamiento del móvil en el intervalo[0,10] segundos?

V(m/s)

t(s)0

10

86

a) 60 b) 50 c) 32d) 10 e) 17

48. Un móvil se mueve en línea recta con una velocidadque varía según se indica en el gráfico. Halle la distanciarecorrida en km durante las primeras 4 horas.

V(km/h)

t(h)0 3

80

40

a) 200/3 b) 400/3 c) 600/3d) 800/3 e) 900/3

49. ¿Cuál es la velocidad del móvil en el instante t=6s?

V(m/s)

t(s)0

Cuadrante decircunferencia10

10


50. Si el desplazamiento del móvil en los 20 segundos esnulo, halle: V.

V(m/s)

t(s)0

10

-5

5

V

20

a) 2,3 m/s b) 2,5 m/s c) 3,0 m/sd) 3,3 m/s e) 4,0 m/s

Física

82

51. Una partícula se desplaza a lo largo del eje x, según lagráfica. Si para t=0 su posición fue x=90 m, halle suposición para t=7s.

V(m/s)

t(s)0

10

2

20

34,5 7

a) x=110 m b) x=150 m c) x=160 md) x=160 m e) x=70 m

52. Dos móviles A y B parten de un mismo punto, según seindica en el gráfico. Halle la distancia que los separa enel instante t=10 s.

V(m/s)

t(s)

10

0

40

-1010

B A

a) 20 m b) 80 m c) 100 md) 120 m e) 250 m

53. Si en la gráfica mostrada, la distancia recorrida fue de20 m y el desplazamiento +10m, sobre el eje x.Halle: t1 y t2.

V(m/s)

t(s)0

t1 t2

2

-2

a) 10 y 15 b) 7 y 9 c) 7,5 y 10d) 5,5 y 8 e) 2,5 y 7

54. Si los móviles parten del mismo punto, en la mismarecta; para qué instante de tiempo se vuelven a encontrar,si el móvil A acelera con 1 m/s2.

V(m/s)

t(s)0

B

A

4

a) 12 s b) 4 s c) 6 sd) 8 s e) 10 s

55. Determine la distancia de separación entre los móvilesA y B al cabo de 4 segundos de partir del mismo punto,sobre el eje x.

V(m/s)

t(s)0

45°

37°

A

B

2

6

4

a) 6 m b) 7 m c) 8 md) 9 m e) 10 m

56. Dos móviles A y B se desplazan sobre la misma recta,según la gráfica mostrada. ¿Qué distancia los separabainicialmente, si el encuentro entre ambos sucede parat=6 s?

V(m/s)

t(s)0

BA

8

4 6

a) 16 m b) 20 m c) 24 md) 32 m e) 48 m

57. Una partícula que se mueve sobre el eje x, para x=0tiene una velocidad de -10 m/s i . ¿Cuál será su rapidezpara t=10 s?

a(m/s2)

t(s)0

3


58. La gráfica espacio-tiempo mostrada, describe eldesplazamiento correspondiente a un vehículo. Lamagnitud de la velocidad media en el intervalo detiempo [5,13] y la mayor velocidad adquirida en elmismo intervalo son, respectivamente:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112131415

5

10

15

202530

x(m)

TRILCE

83

a) 3 m/s, 15 m/s b) 5/2 m/s, 25 m/sc) 15/4 m/s, 25 m/s d) 5/4 m/s, 15 m/se) 15/8 m/s, 25 m/s

59. Un motociclista en Lima y otro en Chepén, situado enel km 600 de la Panamericana Norte, parten a las 06:00a.m. El primero hacia Chepén y el segundo hacia Lima.El desplazamiento de cada uno de ellos está descritoen las gráficas adjuntas. ¿A qué hora y a qué distanciade Chepén (en km) se encuentran?

x(km)

t(h)0

600

12Lima

d(km)

t(h)

0 166

600

6Lima

a) 12:00; 222 b) 9:45; 225c) 10:30; 375 d) 10:00; 375e) Ninguna de las anteriores

60. Las velocidades y de tres partículas, 1, 2 y 3 en funcióndel tiempo t, son mostradas en la figura:La razón entre las aceleraciones mayor y menor es:

0

1 2

3t

V

a) 8 b) 1/2 c) 10d) 1 e) 3

Física

84

Claves Claves

c

c

c

d

c

a

e

a

d

b

c

d

d

d

c

b

b

d

c

e

a

c

b

d

c

c

b

d

e

c

b

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