Sistema binario

El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que

los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que

se utiliza en los ordenadores, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por

lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

Pasar de un Decimal a binario

Ejemplo 1.

El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82 se puede representar de la siguiente manera:

Entonces se suma los números 64, 16 y 2:

Pasar de un número decimal a binario

Se divide el número entre dos y se divide hasta que se terminen los valores enteros

luego el cociente que sale se divide entre dos y así hasta que el cociente quede con el

resultado de 1. Luego empezando desde abajo se coge ese cociente y todos los restos

que han ido saliendo y se juntan:

Ejemplo 1.

68 2                                        Tras realizar la división, se coge desde el cociente (1)   0   34 2                              y se va subiendo cogiendo los restos y queda entonces              0    17 2                        este resultado:  1000100 y así se representa el 68                    1    8 2                            en binario. Siempre serán cifras de 1.                                        0   4 2                               0   2 2                                    0    1 1000100

Otra forma

Ejemplo 2.Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:

131 2

131 dividido por 2 da 65 y el resto es igual a 1 65 dividido por 2 da 32 y el resto es igual a 1 32 dividido por 2 da 16 y el resto es igual a 0 16 dividido por 2 da 8 y el resto es igual a 0 8 dividido por 2 da 4 y el resto es igual a 0 4 dividido por 2 da 2 y el resto es igual a 0 2 dividido por 2 da 1 y el resto es igual a 0 1 dividido por 2 da 0 y el resto es igual a 1

Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

Ejemplo 3.

Transformar el número decimal 100 en binario:

100 |_2 0 50 |_2 0 25 |_2 1 12 |_2 0 6 |_2 0 3 |_2 1 1 |_2 1 0 -> (100)10 = (1100100)2

Pasar de un número decimal a octal

Se hace lo mismo que con los binarios solo que dividiéndolos entre ocho:

Ejemplo 1. 68 |_8                                  Tras realizar la división y hacer el mismo proceso que 4    8 |_8                           antes, el número 68 en octal se representa en 104.       0   1                                          Siempre serán cifras entre 0 y 7.

104

Pasar un número de Binario a octal

Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al

terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario

000 001 010 011 100 101 110 111

Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7

3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.

Ejemplos 1.

110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:

111 = 7110 = 6Agrupe de izquierda a derecha: 67

11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:

111 = 7001 = 111 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3Agrupe de izquierda a derecha: 317

1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:

011 = 3000 = 01 entonces agregue 001 = 1Agrupe de izquierda a derecha: 103

Pasar un número decimal a hexadecimal

Se hace lo mismo que con los binarios y octales solo que dividiéndolos entre dieciséis.

Ahora aquí hay que tener una cosa: A partir del 10 (incluyéndose éste), se enumeran los

números con las letras del abecedario por su orden. Entonces quedaría así:

 

0 = 01 = 12 = 23 = 34 = 45 = 56 = 67 = 78 = 89 = 910 = A; 11 = B; 12 = C; 13 = D; 14 = E; 15 = F Ejemplo 1.

68 |_16             Queda entonces que el número 68 en hexadecimal se representa 4   4                      con el 44. Siempre serán cifras entre 0 y 14 ( o sea, entre cero y F ).

44

Ejemplo 2.

872139|_1611 54508|_16

12 3406|_1614 212|_16 4 13

R// 13 4 14 12 11D 4 E C B

Prueba del ejercicio.

11 B 160 = 1 X 11 = 11 = 11

12 C 161 = 16 X 12 = 11 = 192

14 E 162 = 256 X 14 = 11 = 3584

4 4 163 = 4096 X 4 = 11 = 16384

13 D 164 = 5536 X 13 = 11 = 851968

892139Tabla del Sistema decimal, Binario, Octal y Hexadecimal

Decimal Binario Octal Hexadecimal

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

Operaciones binarias

Suma de números Binarios

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10 (lleva 1)

Ejemplo 1.

10011000

+ 00010101

10101101

Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y

después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema

decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10,

entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o

arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y

seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

Ejemplo 2.

15 +12

27

1111

+ 1100

11011

Ejemplo 3.

25

+ 18

43

25 dividido por 2 da 12 y el resto es igual a 112 dividido por 2 da 6 y el resto es igual a 0 6 dividido por 2 da 3 y el resto es igual a 0 3 dividido por 2 da 1 y el resto es igual a 1 1 dividido por 2 da 0 y el resto es igual a 1

Ordenamos los restos, del último al primero: 11001

18 dividido por 2 da 9 y el resto es igual a 0 9 dividido por 2 da 4 y el resto es igual a 1 4 dividido por 2 da 2 y el resto es igual a 0 2 dividido por 2 da 1 y el resto es igual a 0 1 dividido por 2 da 0 y el resto es igual a 1

Ordenamos los restos, del último al primero: 10010

16 8 4 2 1 1 1 0 1 1

24

26

27

11001+ 10010 101011

Resta de números Binarios

El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero

conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación

binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman

minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada

de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema

decimal, 2 - 1 = 1.

Ejemplo 1.

17 - 10 7

32 16 8 4 2 1 1 0 1 0 1 1

40

42

43

00111

- 01010 10001

Ejemplo 2.

217

- 171

46

Prueba del ejercicio

Ejemplo 3.

36

- 6

30

Comprobación del ejercicio

11011001 - 10101011 ————— 00101110

128 64 32 16 8 4 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0

40

44

46

100100 - 110 ——— 011110

32 16 8 4 2 1 0 1 1 1 1 0

24

28

30

Multiplicación de números binarios

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva

cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el

elemento neutro del producto.

Ejemplo 1.

22x 9198

10110 x 1001 10110 00000 00000 10110 11000110

Ejercicio 2.

12x 4 48

1100 x 100 0000 0000 1100 110000

División de números binarios

La división en binario es similar al decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer

las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario.

128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 0 0 0 1 1 0

192

196

198

32 16 8 4 2 1 1 1 0 0 0 0

48

Ejemplo 1.

32 |_2 En binario es 100000 |_10

100000 |_1010 10000000000

Conversión entre binario y octal

Ejemplos

0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 18 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1

2 12 6 12 13 13

2 13 6 13

R// 2 D 6 D

16 8 4 2 1 1 0 0 0 0

16

16 x 2 = 32