SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

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SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE OXÍGENO DISUELTO EN UN BIORREACTOR HUGO ESTEBAN ARÉVALO VANEGAS FREDY IGNACIO SÁNCHEZ VANEGAS PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA BOGOTÁ 2014

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SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE

OXÍGENO DISUELTO EN UN BIORREACTOR

HUGO ESTEBAN ARÉVALO VANEGAS

FREDY IGNACIO SÁNCHEZ VANEGAS

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

BOGOTÁ

2014

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SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE

OXÍGENO DISUELTO EN UN BIORREACTOR

HUGO ESTEBAN ARÉVALO VANEGAS

FREDY IGNACIO SÁNCHEZ VANEGAS

INFORME FINAL TRABAJO DE GRADO

ING. FREDY ORLANDO RUIZ PALACIOS

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

BOGOTÁ

2014

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El presente trabajo de grado lo dedicamos a

nuestras familias, pues gracias a su apoyo

incondicional pudimos concluir con éxito nuestra

carrera.

A nuestros padres y hermanos por su apoyo y

confianza en todo lo necesario para cumplir nuestros

objetivos como personas y profesionales.

A todas aquellas personas que de una u otra forma

hicieron parte de este proceso, por darnos la

sabiduría y entereza para dar este importante paso.

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AGRADECIMIENTOS

Primero y como más importante nos gustaría agradecer al Ingeniero Fredy Orlando Ruiz Palacios por su

esfuerzo y dedicación. Sus conocimientos, sus orientaciones, su paciencia y su motivación han sido

fundamentales para la culminación de este proyecto.

También agradecemos a la Pontificia Universidad Javeriana y al Instituto de Errores Innatos del

Metabolismo que permitieron el desarrollo de esta tesis con el financiamiento y préstamo de sus

instalaciones.

De manera particular agradecemos a Carlos Javier Alméciga Díaz y Edwin Alexander Rodríguez por su

constante presencia y colaboración a lo largo del proceso, gracias a sus conocimientos en el área de

Química y procesos biológicos en el biorreactor. También a la Ingeniera Mónica Rocío Díaz Tribaldos

por su apoyo y acompañamiento en la etapa final del proyecto.

Y un agradecimiento especial a Dios por todas las bendiciones recibidas, pues solo él es el responsable

de la culminación exitosa de nuestra carrera.

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

RECTOR MAGNÍFICO:

JORGE H. PELÁEZ, S.J.

DECANO ACADÉMICO:

Ing. JORGE L. SÁNCHEZ, M.Ed.

DECANO DEL MEDIO UNIVERSITARIO:

ANTONIO J. SARMIENTO, S.J.

DIRECTOR DE CARRERA:

Ing. JAIRO A. HURTADO, Ph.D.

DIRECTOR DEL PROYECTO:

Ing. FREDY O. RUIZ Ph.D.

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ARTÍCULO 23 DE LA RESOLUCIÓN No. 13 DE JUNIO DE 1946

"La universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en sus

proyectos de grado. Sólo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral

católica y porque los trabajos no contengan ataques o polémicas puramente personales. Antes

bien, que se vea en ellos el anhelo de buscar la verdad y la justicia".

Artículo 23 de la Resolución No. 13, del 6 de julio de 1946, por la cual se reglamenta lo

concerniente a Tesis y Exámenes de Grado en la Pontificia Universidad Javeriana.

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ÍNDICE DE CONTENIDO

Pág.

ÍNDICE DE CONTENIDO .......................................................................................................................... 7

ÍNDICE DE TABLAS ................................................................................................................................. 9

ÍNDICE DE FIGURAS .............................................................................................................................. 10

ÍNDICE DE ANEXOS ............................................................................................................................... 13

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 14

OBJETIVOS .............................................................................................................................................. 15

GENERAL ............................................................................................................................................. 15

ESPECÍFICOS ....................................................................................................................................... 15

1. GENERALIDADES DEL PROCESO DE TRANSFERENCIA DE OXÍGENO ............................... 16

1.1 PRESENTACIÓN DE LA DINÁMICA .................................................................................... 16

1.2 RELACIONES DEL MÉTODO DE GASSING-OUT ................................................................ 17

2. IDENTIFICACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO ...................................................................... 18

2.1 ESTIMACIÓN DETERMINÍSTICA DE 𝐾𝐿𝑎 ............................................................................ 18

2.2 RESULTADOS EXPERIMENTALES ...................................................................................... 20

2.3 VALIDACIÓN ........................................................................................................................... 24

3. INTRODUCCIÓN A LAS ARQUITECTURAS DE CONTROL MULTIVARIADO ...................... 27

3.1 CONTROL POR PROGRAMACIÓN DE GANANCIAS ......................................................... 27

3.1.1 Procedimiento de diseño: .................................................................................................... 28

3.1.2 Características y ventajas de la estrategia: .......................................................................... 28

3.2 CONTROL POR SOBRE-MANDO .......................................................................................... 29

3.2.1 Selectores de controlador: ................................................................................................... 30

3.2.2 Sintonización de controladores: .......................................................................................... 30

4. DISEÑO DEL ALGORITMO DE CONTROL .................................................................................. 30

4.1 CONSIDERACIONES PREVIAS AL DISEÑO DEL CONTROL ............................................ 30

4.2 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO LINEAL ........................................................................... 32

4.2.1 Estimación de ganancias ..................................................................................................... 32

4.2.2 Desarrollo de la ecuación de estado .................................................................................... 35

4.2.3 Escogencia de los puntos de equilibrio: .............................................................................. 36

4.2.4 Linealización de la ecuación de estado: .............................................................................. 39

4.2.5 Función de transferencia y gráficos de bodes: .................................................................... 39

4.3 SINTONIZACIÓN DEL CONTROLADOR .............................................................................. 43

4.3.1 Controlador para el caso ideal ............................................................................................ 43

Page 8: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

4.3.2 Controlador para el caso real .............................................................................................. 45

4.4 VALIDACIÓN EN PEQUEÑA SEÑAL DEL MODELO NO-LINEAL ................................... 49

4.5 VALIDACIÓN EN SISTEMA INTEGRADO DEL MODELO NO-LINEAL .......................... 51

4.5.1 Esquema general: ................................................................................................................ 51

4.5.2 Máquina de estados para selección de condición de flujo: .................................................. 52

4.5.3 Subsistema para la selección del controlador: ..................................................................... 53

4.5.4 Protocolo de pruebas: ......................................................................................................... 55

5. VALIDACIÓN EN SISTEMA REAL ............................................................................................... 57

5.1 ESQUEMA GENERAL EN LABVIEW Y RESULTADOS DE SIMULACIÓN: ..................... 58

5.2 RESULTADOS FINALES EN EL BIORREACTOR: ............................................................... 59

CONCLUSIONES ..................................................................................................................................... 63

BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................................... 65

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ÍNDICE DE TABLAS

Pág.

Tabla 1. Resultados para 𝜖 = 3% .............................................................................................................. 23

Tabla 2. Resultados para 𝜖 = 4% .............................................................................................................. 24

Tabla 3. Resultados para 𝜖 = 5% .............................................................................................................. 24

Tabla 4. Resultados para 𝜖 = 6% .............................................................................................................. 24

Tabla 5. Resultados para 𝜖 = 7% .............................................................................................................. 24

Tabla 6. Aproximación lineal garantizando inicio de la recta en el dato menor ........................................ 35

Tabla 7. Aproximación lineal garantizando mínimo error ......................................................................... 35

Tabla 8. Máximo 𝜇(𝑡) ∙ 𝑋(𝑡) para diferentes condiciones de flujo a la entrada ......................................... 39

Tabla 9. Valores mínimo y máximo del polo y la ganancia para cada condición de flujo y rangos de

𝜔 = 200 a 900 rpm y % 𝐶𝑂𝐷 = 10% a 90% ............................................................................................. 42

Tabla 10. Valores mínimo y máximo del polo y la ganancia para cada condición de flujo y rangos

𝜔 = 500 a 900 rpm y % 𝐶𝑂𝐷 = 10% a 50% ............................................................................................. 43

Tabla 11. Características de los controladores diseñados para el caso ideal .............................................. 44

Tabla 12. Características de los controladores diseñados para los casos 1 y 4 en el caso real ................... 46

Tabla 13. Características de los dieciséis controladores diseñados para los casos 1, 2, 3 y 4 en el caso

real ............................................................................................................................................................. 46

Tabla 14. Valores de equilibrio de 𝑂𝑈𝑅% para cada uno de los dieciséis casos a controla ....................... 51

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ÍNDICE DE FIGURAS

Pág.

Figura 1. Ilustración del proceso de transferencia de oxígeno ..................................................... 17

Figura 2. Diagrama de bloques del proceso de transferencia de oxígeno .................................... 18

Figura 3. Evolución del COD para distintas rpm y distintos flujos.............................................. 20

Figura 4. Número de resultados factibles para diferentes valores de 𝜖 ........................................ 21

Figura 5. Gráfico comparativo para condiciones de operación de 500 rpm y 2 vvm ................... 21

Figura 6. Gráfico comparativo para condiciones de operación de 700 rpm y 1 vvm ................... 22

Figura 7. Intervalos de incertidumbre para 𝐾𝐿𝑎 (para 𝜖 = 7%) .................................................. 22

Figura 8. Gráfico 3D del comportamiento de 𝐾𝐿𝑎 para las distintas condiciones de operación . 23

Figura 9. Gráfico comparativo para condiciones de operación de 700 rpm y 2 vvm ................... 25

Figura 10. Gráfico comparativo para condiciones de operación de 950 rpm y 2 vvm ................. 25

Figura 11. Intervalo de 𝐾𝐿𝑎 para una condición de operación de 900 rpm y un flujo de 1 vvm. 26

Figura 12. Gráfico comparativo para condiciones de operación de 900 rpm y 1 vvm ................. 27

Figura 13. Relación del parámetro 𝐾𝐿𝑎 con el flujo de aire entrante .......................................... 31

Figura 14. Relación del parámetro 𝐾𝐿𝑎 con la velocidad de agitación ....................................... 31

Figura 15. Aproximación lineal para la curva de 0,2 vvm ........................................................... 32

Figura 16. Aproximación lineal para la curva de 0,4 vvm ........................................................... 33

Figura 17. Aproximación lineal para la curva de 1 vvm .............................................................. 33

Figura 18. Aproximación lineal para la curva de 1,5 vvm ........................................................... 34

Figura 19. Aproximación lineal garantizando mínimo error ........................................................ 34

Figura 20. Superficie para escogencia de puntos de operación para 0,2 vvm .............................. 36

Figura 21. Superficie para escogencia de puntos de operación para 0,5 vvm .............................. 37

Figura 22. Superficie para escogencia de puntos de operación para 1 vvm ................................. 37

Figura 23. Superficie para escogencia de puntos de operación para 1,5 vvm .............................. 38

Figura 24. Respuesta en frecuencia para escogencia de puntos de operación para 0,2 vvm........ 40

Figura 25. Respuesta en frecuencia para escogencia de puntos de operación para 0,5 vvm........ 41

Figura 26. Respuesta en frecuencia para escogencia de puntos de operación para 1 vvm........... 41

Figura 27. Respuesta en frecuencia para escogencia de puntos de operación para 1,5 vvm........ 42

Figura 28. Esquema de control para el caso ideal ........................................................................ 44

Figura 29. Señal de salida Y(s) para cada condición en el caso ideal .......................................... 45

Figura 30. Esquema de control para el caso real .......................................................................... 45

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Figura 31. Señales de salida y control de los cuatro casos para condición de flujo de 0,2 vvm en

el caso real ..................................................................................... ¡Error! Marcador no definido.

Figura 32. Señales de salida y control de los cuatro casos para condición de flujo de 0,5 vvm en

el caso real ..................................................................................................................................... 47

Figura 33. Señales de salida y control de los cuatro casos para condición de flujo de 1,0 vvm en

el caso real ..................................................................................................................................... 48

Figura 34. Señales de salida y control de los cuatro casos para condición de flujo de 1,5 vvm en

el caso real ..................................................................................................................................... 48

Figura 35. Esquema de control del modelo no-lineal para validación en pequeña señal de los

dieciséis controladores ................................................................................................................... 49

Figura 36. Señales de salida y control de la primera condición de operación (Caso 1) para las

cuatro condiciones de flujo entrantes en el modelo no-lineal ....................................................... 49

Figura 37. Señales de salida y control de la segunda condición de operación (Caso 2) para las

cuatro condiciones de flujo entrantes en el modelo no-lineal ....................................................... 50

Figura 38. Señales de salida y control de la tercera condición de operación (Caso 3) para las

cuatro condiciones de flujo entrantes en el modelo no-lineal ....................................................... 50

Figura 39. Señales de salida y control de la cuarta condición de operación (Caso 4) para las

cuatro condiciones de flujo entrantes en el modelo no-lineal ....................................................... 51

Figura 40. Esquema general del lazo de control automático para la concentración de oxígeno del

biorreactor ...................................................................................................................................... 52

Figura 41. Máquina de estados para la escogencia de la condición de flujo entrante .................. 52

Figura 42. Esquema del subsistema para la selección del controlador......................................... 53

Figura 43. Esquema del controlador PI implementado en Simulink ............................................ 53

Figura 44. Máquina de estados para la selección de ganancias a partir de una condición de flujo

entrante .......................................................................................................................................... 54

Figura 45. Regiones de operación e intervalos de histéresis ........................................................ 54

Figura 46. Máquina de estados para la selección de ganancias a partir de una condición de

operación particular ....................................................................................................................... 55

Figura 47. Señales de disturbio, control, salida y flujo de entrada para referencia de

% 𝐶𝑂𝐷 = 10% .............................................................................................................................. 56

Figura 48. Señales de disturbio, control, salida y flujo de entrada para referencia de

% 𝐶𝑂𝐷 = 30% .............................................................................................................................. 56

Page 12: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

Figura 49. Señales de disturbio, control, salida y flujo de entrada para referencia de

% 𝐶𝑂𝐷 = 50% .............................................................................................................................. 57

Figura 50. Esquema de control implementado en LabView ........................................................ 58

Figura 51. Resultado de la simulación en LabView ..................................................................... 59

Figura 52. Señales de salida, control y conmutación de los controladores para la totalidad del

cultivo ............................................................................................................................................ 60

Figura 53. Detalle de las señales de salida, control y conmutación de los controladores para la

primera hora de cultivo .................................................................................................................. 60

Figura 54. Detalle de las señales de salida, control y conmutación de los controladores para la

segunda hora de cultivo ................................................................................................................. 61

Figura 55. Detalle de las señales de salida, control y conmutación de los controladores para la

tercera hora de cultivo ................................................................................................................... 62

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ÍNDICE DE ANEXOS

ANEXO A. Datos de experimentos para estimación del 𝐾𝐿𝑎.

ANEXO B. Código estimación determinística.

ANEXO C. Proyecto herramienta rltool de Matlab.

ANEXO D. Esquema de simulación en Simulink.

ANEXO E. Esquema de simulación en Labview.

ANEXO F. Diagrama P&ID del sistema de control de oxígeno.

ANEXO G. Datos del cultivo de prueba.

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INTRODUCCIÓN

Un biorreactor es un sistema que mantiene un ambiente biológicamente activo, es decir, un recipiente

en el que se produce una interacción química entre una población de microorganismos, o cepa, y las

sustancias bioquímicas que se derivan del funcionamiento biológico de los mismos. La dinámica de los

procesos biotecnológicos está determinada por las propiedades de los microorganismos, la construcción

del reactor, así como las condiciones y el medio de cultivo. La flexibilidad en el desarrollo metabólico de

los microorganismos y las condiciones ambientales al interior del biorreactor conducen a

comportamientos dinámicos muy complejos, que no permiten asegurar una alta estabilidad y

reproducibilidad en los resultados del proceso. Así mismo, en algunos procesos industriales el sustrato

implementado no está plenamente definido.

Los métodos analíticos en línea empleados por norma general no son lo suficientemente completos ni

rápidos para caracterizar el proceso. Por otro lado, debido a la competencia internacional en constante

crecimiento, los márgenes de ganancia reducidos y las regulaciones a nivel ambiental y de seguridad, se

hacen necesarios procesos de control y optimización basados en métodos analíticos avanzados para los

sustratos, los productos finales y el comportamiento del microorganismo [1].

Los modelos matemáticos toman una parte importante en el proceso de análisis, sin embargo, los

procesos biotecnológicos son complejos y solo pueden ser descritos de una manera simplificada. La

complicada estructura metabólica y su mecanismo de regulación no están comprendidos y estudiados en

su totalidad. Además del proceso intracelular del microorganismo, las variaciones al interior del

biorreactor, producidas por la dinámica del fluido en un sistema multi-fase se deben analizar igualmente

de manera simplificada.

A pesar de que se debe manejar un enfoque simplificado, y que los modelos matemáticos son

incompletos e imprecisos por su propia naturaleza, resultan ser una herramienta muy útil para describir

dichos efectos, que son de gran importancia para el control, optimización y entendimiento del proceso.

Los modelos matemáticos proveen una relación funcional entre las variables de entrada, salida y aquellas

variables propias de la dinámica del proceso, cuyo comportamiento puede ser observado y evaluado

fácilmente a través de un computador [1]. Así, las soluciones numéricas a estos modelos son el

fundamento para el desarrollo de métodos económicamente poderosos para soluciones industriales.

El objetivo de la biotecnología es obtener productos metabólicos útiles a partir de materiales

biológicos. Para el cultivo de microorganismos en condiciones óptimas, deben ser desarrollados

procedimientos de fermentación como son el desarrollo de cepas mediante manipulación genética y/o la

regulación del metabolismo mediante la optimización del medio de cultivo así como el control adecuado

de los factores físico-químicos que afectan al rendimiento de las fermentaciones industriales.

La gran mayoría de bio-procesos son operados bajo condiciones no estacionarias en modo de

fermentación discontinua (batch mode) o fermentación alimentada (fed-batch mode). Una fermentación

discontinua puede ser considerada como un "sistema cerrado". Al inicio de la operación se añade la

solución esterilizada de nutrientes y se permite que se lleve a cabo la incubación en condiciones óptimas

de fermentación. A lo largo de toda la fermentación solo se añade oxígeno (en forma de aire), un agente

antiespumante y ácidos o bases para controlar el pH. Por otro lado, en los procesos alimentados, los

sustratos se añaden escalonadamente a medida que progresa la fermentación [2]. El hecho que dichos

procesos operen bajo estas condiciones, conduce a complejos perfiles de tiempo para las variables de

control, que son en ocasiones imposibles de determinar de manera puramente experimental. Por esta

razón, los métodos numéricos y matemáticos para la estimación de variables de control pueden ser

empleados para reducir el esfuerzo experimental y el tiempo requerido para optimizar el proceso.

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15

OBJETIVOS

GENERAL

Desarrollar un sistema de control de concentración de oxígeno para el biorreactor del Instituto de Errores

Innatos del Metabolismo.

ESPECÍFICOS

Para cumplir con el objetivo general se establecen los siguientes objetivos específicos:

Caracterizar la dinámica del proceso de transferencia de oxígeno e identificación del Coeficiente de

transferencia de masa volumétrica (𝐾𝐿𝑎), con base en los principios físicos y mediciones realizadas a

partir de la instrumentación ya implementada.

Diseñar los algoritmos de control basados en las técnicas de Gain Scheduling y control por sobre-

mando que regulen la concentración de oxígeno disuelto en el biorreactor manipulando las variables

de flujo de aire entrante y velocidad de agitación.

Seleccionar el algoritmo de mejor desempeño teniendo en cuenta la minimización del error en estado

estable y la característica de suavidad en el esfuerzo de control.

Implementar el algoritmo seleccionado en el sistema embebido CompactRio y validar su desempeño

de manera experimental.

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16

1. GENERALIDADES DEL PROCESO DE TRANSFERENCIA DE

OXÍGENO

En el proceso de transferencia de oxígeno, la variable fundamental a regular se denomina

Concentración de oxígeno disuelto (COD) que corresponde a la cantidad de gramos de oxígeno presentes

en un volumen de agua para un tiempo determinado, expresada en 𝑔/𝑙ℎ. Dicha variable depende de la tasa

de transferencia de oxígeno desde una corriente de aire hacia la fase liquida del biorreactor y de la tasa de

absorción de oxígeno por parte de la biomasa presente en el biorreactor, y se regula manipulando el flujo

de aire inyectado al biorreactor y la velocidad de agitación que produce la ruptura de las burbujas de aire

al interior del biorreactor [3] [4]. Por otra parte, teniendo en cuenta que existe una limitante con respecto a

la cantidad de oxígeno que puede albergar el volumen de agua, se define la Concentración de oxígeno

disuelto de saturación (COD*) expresada bajo las mismas unidades de 𝑔/𝑙ℎ.

El parámetro que define la tasa de transferencia de oxígeno en el biorreactor se denomina Coeficiente

de transferencia de masa volumétrica (𝐾𝐿𝑎), que se ve afectado por el flujo de aire entrante y la velocidad

de agitación, y es característico de cada biorreactor [5] [6]. La respuesta dinámica del sistema se puede

representar con un modelo matemático, que resulta útil en las etapas de diseño de controladores para

garantizar puntos óptimos de operación de los parámetros ambientales anteriormente mencionados, en este

caso particular, del proceso de transferencia de oxígeno.

Para realizar el ajuste del modelo matemático, es necesario definir un proceso experimental de

adquisición de datos que permita realizar una comparación de resultados y efectuar el ajuste de los

parámetros que minimicen el error de modelamiento. Dicho proceso debe considerar la capacidad de

respuesta del dispositivo de detección (sonda de prueba) y su respuesta dinámica.

El proceso experimental por excelencia para la adquisición de datos se conoce como gassing–out y

consiste en registrar la concentración de oxígeno disuelto en el biorreactor con medio de cultivo, pero sin

microorganismos, a una velocidad de agitación y un flujo de aire constantes, comenzando desde un medio

sin oxígeno, hasta conseguir la saturación. Dichos datos se registran para diferentes valores de velocidad

de agitación y flujo de aire.

Una vez se define un conjunto de datos experimentales obtenidos a partir de dicho proceso, se puede

establecer una función que represente la dinámica del sistema y permita realizar una comparación con el

modelo deducido. En ese orden de ideas se debe minimizar la función del error, alrededor de 𝐾𝐿𝑎 como

variable de diseño.

1.1 PRESENTACIÓN DE LA DINÁMICA

El proceso de transferencia de oxígeno se ilustra en la Figura 1. En ella, se ingresa una corriente de

aire que, a su vez, genera una serie de burbujas que se desplazan por el biorreactor por efecto de la

velocidad de agitación producida por el giro de una turbina. Así, la evolución del COD en la fase líquida

del biorreactor en presencia de un grupo numeroso de microorganismos, obedece la siguiente relación de

conservación de la masa:

𝑑𝐶𝑂𝐷(𝑡)

𝑑𝑡= {𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑥í𝑔𝑒𝑛𝑜} − {𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑥í𝑔𝑒𝑛𝑜}

𝑑𝐶𝑂𝐷(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑂𝑇𝑅(𝑡) − 𝑂𝑈𝑅(𝑡) (1)

Page 17: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

17

Donde OTR es la tasa de transferencia de oxígeno de la fase gaseosa al medio líquido y OUR la tasa

de absorción de oxígeno de la biomasa presente en el biorreactor, ambos medidos en 𝑔/𝐿ℎ. Así mismo, el

OTR se puede modelar como:

𝑂𝑇𝑅(𝑡) = 𝐾𝐿𝑎 (𝐶𝑂𝐷∗ − 𝐶𝑂𝐷(𝑡)) (2)

De manera que la diferencia entre la concentración de oxigeno de saturación (𝐶𝑂𝐷∗) y la

concentración actual produce la transferencia de oxígeno deseada. Si bien 𝐶𝑂𝐷∗ depende de una serie de

factores ambientales, para este caso se asumirá como fijo, pues las condiciones de cultivo de la biomasa se

mantienen constantes durante el proceso.

𝐾𝐿 y a definen el coeficiente de transferencia volumétrico de masa, y depende de la geometría y la

dinámica del fluido al interior del biorreactor. Sin embargo, en la literatura se analiza el comportamiento

de 𝐾𝐿𝑎 como un solo factor, que toma unidades de 1/ℎ. El valor de 𝐾𝐿𝑎 se modifica manipulando la

velocidad de agitación 𝑤 (rpm) y el flujo de aire entrante 𝐹𝑎𝑖𝑟 (𝐿/𝑚𝑖𝑛). Para efecto de análisis, se

asumirán que la función que describe a la variable 𝐾𝐿𝑎 es creciente con 𝑤 y 𝐹𝑎𝑖𝑟 y solo toma valores

positivos.

Figura 1. Ilustración del proceso de transferencia de oxígeno

1.2 RELACIONES DEL MÉTODO DE GASSING-OUT

El método más común para la estimación del 𝐾𝐿𝑎 se conoce como gassing-out que consiste en

someter el biorreactor a condiciones de operación constantes para luego desplazar el oxígeno mediante

nitrógeno gaseoso. Una vez alcanzado el 0% se detiene el flujo de nitrógeno y posteriormente la agitación.

Luego se devuelve la agitación a la condición anterior y finalmente se airea el caudal establecido y se

registra el aumento de 𝐶𝑂𝐷. Dicho proceso se realiza en un biorreactor con medio de cultivo (sustrato)

pero sin biomasa. Como no hay microorganismos presentes entonces 𝑂𝑈𝑅 = 0, y por tanto la evolución

de la concentración de oxígeno es:

𝑑𝐶𝑂𝐷(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐾𝐿𝑎 (𝐶𝑂𝐷∗ − 𝐶𝑂𝐷(𝑡)); 𝐶𝑂𝐷(0) = 0 (3)

Page 18: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

18

La solución de la ecuación diferencial de primer orden, presentada en (3), es la siguiente:

𝐶𝑂𝐷(𝑡) = 𝐶𝑂𝐷∗ (1 − 𝑒−𝐾𝐿𝑎𝑡), 𝑡 ≥ 0 (4)

Sin embargo, para realizar la medición de la concentración de oxígeno presente en el biorreactor se

utiliza un sensor o sonda que posee su propio comportamiento dinámico. El registro de estos valores se

realiza sobre el sistema que describe el siguiente diagrama de bloques de la Figura 2.

Figura 2. Diagrama de bloques del proceso de transferencia de oxígeno

Para caracterizar la sonda se utiliza un modelo de primer orden como el que se observa a

continuación:

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛼(𝐶𝑂𝐷(𝑡) − 𝑦(𝑡)); 𝑦(0) = 0 (5)

Donde 𝛼 es el inverso de la constante de tiempo de la sonda y 𝑦(𝑡) es la salida del sensor, que toma

las mismas unidades de 𝐶𝑂𝐷(𝑡). Combinando la ecuación (4) con la (5), se obtiene la solución a la

ecuación diferencial que se muestra a continuación:

𝑦(𝑡) = 𝐶𝑂𝐷∗ (1 +𝛽

1−𝛽 𝑒−𝐾𝐿𝑎𝑡 +

1

𝛽−1 𝑒−𝛼𝑡) , 𝑡 ≥ 0 (6)

Sin embargo, la ecuación (6) es solo una aproximación de lo que ocurre realmente al interior del

biorreactor. La diferencia entre los datos experimentales y el modelo se debe, no solo a ruido aleatorio en

el proceso de medición, sino también a dinámica no modelada.

2. IDENTIFICACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

2.1 ESTIMACIÓN DETERMINÍSTICA DE 𝑲𝑳𝒂

Una aproximación que considera el error debido a dinámica no modelada es el de UBB (Unknown

But Bounded). En este caso, el proceso de transferencia se puede describir con un modelo de la forma:

𝑑𝐶𝑂𝐷(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐾𝐿𝑎(𝑤, 𝐹𝑎𝑖𝑟) (𝐶𝑂𝐷∗ − 𝐶𝑂𝐷(𝑡)) + 𝛾(𝑤, 𝐹𝑎𝑖𝑟, 𝑥) (7)

Donde 𝛾(𝑤, 𝐹𝑎𝑖𝑟 , 𝑥) es la función del error de dinámica no modelada y 𝑥 el vector de estados que

describe el comportamiento del biorreactor, incluyendo 𝐶𝑂𝐷(𝑡). Asumiendo estabilidad, las medidas �̃�(𝑡)

son soluciones de la ecuación (5) más una señal UBB de error 𝜂(𝑡), que tiene la siguiente forma:

�̃�(𝑡) = 𝐶𝑂𝐷∗ (1 +𝛽

1−𝛽 𝑒−𝐾𝐿𝑎𝑡 +

1

𝛽−1 𝑒−𝛼𝑡) + 𝜂(𝑡); 𝑡 ≥ 0 (8)

Donde se cumple que la norma infinito del error debe ser menor a una cota definida previamente,

esto es:

Page 19: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

19

‖𝜂(𝑡)‖∞ ≤ 𝜖 (9)

Definido el nuevo modelo, se debe determinar el conjunto factible de valores que relacionen la

respuesta real con la modelada. Para ello, se define un conjunto de medidas experimentales 𝑦(𝑘∆𝑡), donde

𝑘 es el número de muestras a registrar por cada experimento y ∆𝑡 el tiempo de adquisición de cada una de

ellas.

El conjunto de parámetros factibles 𝐹𝑃𝑆 corresponde a todos los posibles valores de 𝐾𝐿𝑎 que se

corresponden con 𝑦(𝑘∆𝑡) y el modelo de la ecuación (8), esto es:

𝐹𝑃𝑆 = {𝐾𝐿𝑎 ∈ Ω ∶ |𝑦(𝑘∆𝑡) − �̃�(𝑘∆𝑡)| ≤ 𝜖; 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 } (10)

Donde Ω = [𝐾𝐿𝑎𝑀𝐼𝑁, 𝐾𝐿𝑎𝑀𝐴𝑋] es el intervalo que aporta los valores del límite inferior y superior de

los posibles coeficientes de transferencia. La ecuación (10) quiere decir que cualquier valor de 𝐾𝐿𝑎 que

produce una respuesta cuya desviación con respecto a la respuesta experimental sea menor a 𝜖 es

parámetro factible. La escogencia de la cota de error 𝜖 se hace buscando que 𝐹𝑃𝑆 ≠ 0, es decir, que los

resultados experimentales validen el modelo deducido.

Para determinar los límites superior e inferior para los valores de 𝐾𝐿𝑎, se formulan los siguientes

problemas de optimización:

𝑚𝑖𝑛𝐾𝐿𝑎 𝐾𝐿𝑎 (𝟏𝟏)

𝑠. 𝑡 |�̃�(𝑘∆𝑡) − 𝐶𝑂𝐷∗ +𝐾𝐿𝑎

𝛼 − 𝐾𝐿𝑎𝑒−𝛼𝑘∆𝑡 +

𝛼

𝐾𝐿𝑎 − 𝛼𝑒−𝐾𝐿𝑎(𝛼𝑘∆𝑡)| ≤ 𝜖 ; 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑁

𝑚𝑎𝑥𝐾𝐿𝑎 𝐾𝐿𝑎 (𝟏𝟐)

𝑠. 𝑡 |�̃�(𝑘∆𝑡) − 𝐶𝑂𝐷∗ +𝐾𝐿𝑎

𝛼 − 𝐾𝐿𝑎𝑒−𝛼𝑘∆𝑡 +

𝛼

𝐾𝐿𝑎 − 𝛼𝑒−𝐾𝐿𝑎(𝛼𝑘∆𝑡)| ≤ 𝜖 ; 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑁

Donde 𝐾𝐿𝑎𝑀𝐼𝑁 es la solución del problema de optimización de la ecuación (11) y 𝐾𝐿𝑎𝑀𝐴𝑋 la

solución del definido en la ecuación (12). Así, el conjunto de incertidumbre 𝐹𝑃𝑆 contiene todos los

valores del coeficiente de transferencia que explican el comportamiento observado en las medidas

experimentales, y cualquier valor que pertenezca a éste conjunto es también válido en el modelo deducido.

Por último, según el método de estimación UBB, el valor óptimo estimado de 𝐾𝐿𝑎 correspondería al

promedio de los extremos del intervalo de incertidumbre, es decir, al centro del intervalo. Esto es:

𝐾𝐿�̂�∗ =𝐾𝐿𝑎𝑀𝐼𝑁+𝐾𝐿𝑎𝑀𝐴𝑋

2 (13)

Finalmente, el proceso de estimación determinístico se puede resumir en el siguiente algoritmo:

1) Caracterización de la sonda y estimación de su constante de tiempo 1/𝛼.

2) Para cada experimento, definido por una velocidad de agitación y un flujo de aire entrante particulares

obtener la curva de respuesta de COD desde cero hasta el punto de saturación.

3) Escoger una cota de error 𝜖 tal que 𝐹𝑃𝑆 ≠ 0.

4) Para cada experimento obtener el intervalo de incertidumbre resolviendo los problemas de

optimización formulados en (11) y (12).

5) Para cada experimento obtener el valor óptimo de 𝐾𝐿�̂�∗ y su valor de incertidumbre.

Page 20: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

20

2.2 RESULTADOS EXPERIMENTALES

Con la colaboración del Instituto de Errores Innatos del Metabolismo del departamento de Ciencias

de la Pontificia Universidad Javeriana se realizó la adquisición de datos para distintos flujos y distintas

velocidades de agitación, obteniendo de esta manera la curva de respuesta del comportamiento de la

concentración de oxigeno del biorreactor para diferentes condiciones de operación (ver Anexo A para más

detalle del banco de datos utilizado en el proceso de estimación). La gráfica que describe el

comportamiento de dichos experimentos se muestra en la Figura 3. Así mismo, fue necesario un análisis

detallado de los datos, extrayendo de cada uno de los 25 experimentos el conjunto de parámetros que

describen la respuesta exponencial, para de esta forma iniciar el proceso de estimación del 𝐾𝐿𝑎.

Figura 3. Evolución del COD para distintas rpm y distintos flujos

Para ello se extrajo una matriz de datos que comprendía los valores de los parámetros de: Tiempo

inicial, Tiempo final, Velocidad de agitación en rpm, Valor final y Flujo de aire entrante en vvm1. Definida

dicha matriz y el valor de la constante de tiempo de la sonda (𝛼), que para este caso es de 50 segundos, se

procede a encontrar los valores óptimos de 𝐾𝐿𝑎 y los gráficos resultantes para una serie de parámetros

definidos. Repitiendo el proceso para distintos valores de 𝜖 (% de incertidumbre) y realizando el conteo de

valores factibles en la estimación se obtiene la distribución mostrada en la Figura 4.

Una vez ejecutado el código del Anexo B para diferentes porcentajes de incertidumbre, se obtiene el

gráfico de la Figura 4, del cual se puede determinar que un valor adecuado de tolerancia, para el cual

coincide el total de valores factibles con la cantidad de experimentos corresponde a un 𝜖 del 7%.

Teniendo en cuenta lo anterior, se compara el comportamiento real de la evolución del COD con respecto

al comportamiento modelado para un porcentaje de incertidumbre del 7%, obteniéndose los gráficos de las

Figuras 5 y 6.

Por otro lado, se muestran los resultados de los intervalos de incertidumbre de 𝐾𝐿𝑎 obtenidos para las

condiciones de operación descritas al principio y un porcentaje de incertidumbre del 7%. Dichos

resultados se muestra en la Figura 7.

1 La unidad vvm hace referencia a volúmenes de aire por unidad de volumen del medio (en este caso agua) por minuto.

Page 21: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

21

Figura 4. Número de resultados factibles para diferentes valores de 𝝐

Figura 5. Gráfico comparativo para condiciones de operación de 500 rpm y 2 vvm

Page 22: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

22

Figura 6. Gráfico comparativo para condiciones de operación de 700 rpm y 1 vvm

Figura 7. Intervalos de incertidumbre para 𝑲𝑳𝒂 (para 𝝐 = 𝟕%)

Page 23: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

23

Para poder apreciar de manera más clara la variación del valor de 𝐾𝐿𝑎 de una condición de operación a

otra se realiza un gráfico 3D para un porcentaje de incertidumbre del 7%, puesto que para dicho

porcentaje se obtiene la totalidad de resultados factibles. Dicho gráfico, junto con los puntos de interés, se

muestra en la Figura 8.

Figura 8. Gráfico 3D del comportamiento de 𝑲𝑳𝒂 para las distintas condiciones de operación

A partir del gráfico de la Figura 8 se puede concluir que existe una dependencia del parámetro 𝐾𝐿𝑎

con respecto a las variables agitación y flujo de aire entrante. Lo anterior permite suponer que para regular

el valor del parámetro 𝐾𝐿𝑎 se requiere de estrategias de control que manipulen múltiples variables de

entrada para regular el valor de una única variable a la salida, es decir, estrategias de control multivariado

del tipo MISO (múltiples entradas – única salida). Para ello, a continuación se expondrá una visión

general de las arquitecturas de control multivariado, así como las especificaciones particulares de algunas

de ellas.

Finalmente, se registraron los valores óptimos de 𝐾𝐿𝑎 y el valor de la incertidumbre para cada uno de

las condiciones de velocidad de agitación y flujo de aire entrante, es decir, para los 25 experimentos y

distintos valores de 𝜖, obteniéndose los resultados que se detallan en las Tablas 1 a 5.

Tabla 1. Resultados para 𝝐 = 𝟑%

W(rpm)/Fair(vvm) 0,2 0,5 1 1,5 2 W(rpm)/Fair(vvm) 0,2 0,5 1 1,5 2

200 INF INF INF 9,662 INF 200 NA NA NA 0,484 NA

500 22,073 34,035 48,637 59,447 61,067 500 0,426 1,291 3,558 3,444 5,393

700 34,133 61,818 85,114 129,653 122,742 700 1,389 4,834 7,455 12,637 10,953

850 36,180 66,613 93,296 147,484 132,158 850 1,903 5,283 2,503 14,831 10,952

950 INF INF INF 150,718 143,519 950 NA NA NA 11,591 8,272

Kla - Error del 3% Incertidumbre - Error del 3%

Page 24: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

24

Tabla 2. Resultados para 𝝐 = 𝟒%

Tabla 3. Resultados para 𝝐 = 𝟓%

Tabla 4. Resultados para 𝝐 = 𝟔%

Tabla 5. Resultados para 𝝐 = 𝟕%

2.3 VALIDACIÓN

Una vez definido el modelo de la transferencia de oxígeno en el biorreactor, se procede a realizar un

proceso de validación del modelo con un grupo de experimentos de un banco de datos nuevo. Dicho banco

de datos comprende: 5 experimentos para una agitación de 700 rpm, 5 para 950 rpm y un flujo entrante

variable para ambos casos que toma los valores previamente definidos.

Así mismo, se tomó un experimento adicional para una velocidad de agitación de 900 rpm para

verificar que el valor de 𝐾𝐿𝑎 óptimo obtenido para dicho experimento se encuentra contenido entre los

resultados de los experimentos de 850 y 950 rpm del banco de datos utilizado originalmente.

En primer lugar, se tomaron los valores de 𝐾𝐿𝑎 óptimo para cada uno de los experimentos de 700 y

950 rpm del banco de datos original, graficando con dichos valores la respuesta del modelo y

comparándola con la respuesta real de los datos nuevos. Los resultados para dos de los 10 casos

comparados se muestran en las Figuras 9 y 10 (en las que se especifica las condiciones bajo las cuales se

realizó el experimento).

W(rpm)/Fair(vvm) 0,2 0,5 1 1,5 2 W(rpm)/Fair(vvm) 0,2 0,5 1 1,5 2

200 INF 4,336 INF 9,641 INF 200 NA 0,040 NA 0,808 NA

500 22,218 34,170 48,798 59,683 61,319 500 1,227 2,532 5,233 5,785 7,432

700 34,392 62,055 86,275 131,160 125,564 700 2,753 6,894 11,319 19,128 18,185

850 37,109 67,525 95,162 149,673 134,257 850 3,826 8,212 7,686 22,811 18,020

950 29,568 INF INF 152,632 155,304 950 0,168 NA NA 19,855 27,253

Kla - Error del 4% Incertidumbre - Error del 4%

W(rpm)/Fair(vvm) 0,2 0,5 1 1,5 2 W(rpm)/Fair(vvm) 0,2 0,5 1 1,5 2

200 INF 4,299 INF 9,656 INF 200 NA 0,263 NA 1,100 NA

500 22,312 34,316 49,067 60,058 61,668 500 1,947 3,720 6,913 8,204 9,474

700 34,503 62,381 87,601 132,276 127,785 700 3,906 8,965 15,214 25,015 24,615

850 37,279 67,911 97,261 152,467 135,701 850 4,960 10,544 12,921 30,766 24,022

950 30,130 INF INF 154,995 157,426 950 1,734 NA NA 28,025 34,864

Kla - Error del 5% Incertidumbre - Error del 5%

W(rpm)/Fair(vvm) 0,2 0,5 1 1,5 2 W(rpm)/Fair(vvm) 0,2 0,5 1 1,5 2

200 3,699 4,273 INF 9,674 12,426 200 0,151 0,454 NA 1,389 0,634

500 22,428 34,507 49,468 60,588 62,108 500 2,662 4,896 8,576 10,724 11,540

700 34,610 62,794 88,621 INF 129,403 700 4,999 11,052 18,682 NA 30,168

850 37,469 68,394 99,255 155,576 137,367 850 6,085 12,909 17,894 38,768 30,001

950 30,873 39,553 109,219 157,245 160,166 950 3,345 1,308 21,532 35,441 42,837

Kla - Error del 6% Incertidumbre - Error del 6%

W(rpm)/Fair(vvm) 0,2 0,5 1 1,5 2 W(rpm)/Fair(vvm) 0,2 0,5 1 1,5 2

200 3,758 4,271 9,964 9,698 12,422 200 0,309 0,594 0,384 1,679 1,015

500 22,566 34,740 49,823 61,412 62,643 500 3,374 6,064 10,149 13,250 13,638

700 34,805 63,296 89,767 135,628 131,372 700 6,041 13,162 22,165 37,327 35,834

850 37,695 68,966 100,856 158,387 139,405 850 7,218 15,301 22,330 46,229 36,129

950 31,664 40,556 110,949 159,962 163,335 950 4,984 3,439 26,513 43,057 51,005

Kla - Error del 7% Incertidumbre - Error del 7%

Page 25: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

25

Figura 9. Gráfico comparativo para condiciones de operación de 700 rpm y 2 vvm

Figura 10. Gráfico comparativo para condiciones de operación de 950 rpm y 2 vvm

Page 26: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

26

Como se observa, el comportamiento real se encuentra dentro de los límites establecidos por los

valores mínimo y máximo determinados a partir del problema de optimización, con lo cual es posible

afirmar que el modelo es capaz de representar el comportamiento del proceso de transferencia de oxígeno

por medio del valor de 𝐾𝐿𝑎 óptimo para cada uno de los puntos de operación particulares.

Finalmente, tomando como referencia el rango de valores óptimos para 850 y 950 rpm, se verificará

el intervalo de posibles valores de 𝐾𝐿𝑎 que se obtendría para una condición de operación de 900 rpm (y un

flujo entrante de 1 vvm, pues bajo ésta condición se registró el resultado en el banco de datos). Para lo

anterior, se debe tener en cuenta el gráfico de la Figura 11.

Como se observa en la Figura 11, el límite máximo del valor óptimo de 𝐾𝐿𝑎 para 900 rpm es

𝐾𝐿𝑎 (𝑚𝑎𝑥) = 132,5 ℎ−1, el límite mínimo es 𝐾𝐿𝑎 (𝑚𝑖𝑛) = 82,5 ℎ−1 y el valor óptimo sería 𝐾𝐿𝑎∗ =107,5 ℎ−1.

Figura 11. Intervalo de 𝑲𝑳𝒂 para una condición de operación de 900 rpm y un flujo de 1 vvm

Según lo anterior, se procede a graficar las respuestas modeladas para estos valores de 𝐾𝐿𝑎 y así

verificar que el comportamiento real registrado en el experimento de 900 rpm en el banco de datos se

ajuste a los límites impuestos por el modelo. El resultado se observa en la Figura 12.

A partir de los resultados obtenidos, se puede concluir que el modelo es capaz de deducir el

comportamiento real de la transferencia de oxígeno, para condiciones de operación diferentes a las

empleadas en un proceso de medición particular; de manera que es posible extrapolar los resultados y

predecir el comportamiento del fenómeno de transferencia para cualquier condición de operación dentro

de los rangos de trabajo.

Page 27: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

27

Figura 12. Gráfico comparativo para condiciones de operación de 900 rpm y 1 vvm

3. INTRODUCCIÓN A LAS ARQUITECTURAS DE CONTROL

MULTIVARIADO

De manera general, se puede indicar que, para determinadas problemáticas, existen estructuras o

procedimientos que, teniendo en cuenta los datos iniciales y mediante una determinada distribución

permiten dar solución al problema. A este concepto por lo general se le denomina estrategia. Cuando se

habla de estrategia, se determina una distribución de piezas o componentes, las cuales tienen ciertas tareas

que efectuar y en algún orden, para alcanzar un objetivo final.

En el mundo de los sistemas de control automático también existe este concepto, al que se denomina

estrategia de control y está relacionado con la distribución de los dispositivos o equipos a los que se asocia

un proceso o máquina. Las estrategias de control determinan la estructura que sigue la información o señal

en el lazo.

Como ya se mencionó, para el caso particular de este proyecto se requieren de estrategias de control

de tipo MISO, en las que se dispone de un grado de libertad adicional para alcanzar una única solución y

satisfacer el objetivo de control [7]. En ese orden de ideas, se describirán las particularidades de las

arquitecturas de control de Programación de ganancias (Gain Scheduling) y de control por sobre-mando

(Override), como posibles estrategias de control a implementar en el sistema real.

3.1 CONTROL POR PROGRAMACIÓN DE GANANCIAS

Muchas nociones de diseño diferentes se pueden ver como Gain Scheduling. Por ejemplo, el switcheo

y el blending o mezcla de controladores permiten una interpretación amplia de esta estrategia de control.

De hecho Gain Scheduling parece ser principalmente un punto de vista en el proceso de diseño.

Ciertamente existen algunos ejemplos de controladores diseñados por Gain Scheduling que, con un poco

de manipulación en su diagrama, no serían reconocidos como controladores de ganancia programada [8].

Page 28: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

28

La visión más usual del Gain Scheduling se centra en la programación de ganancias en el sentido de

la variación continua de los coeficientes del controlador de acuerdo con el valor actual de señales de

programación, también llamadas variables de programación, que pueden ser bien señales exógenas

(ajenas) o endógenas (propias) de la planta.

3.1.1 Procedimiento de diseño:

En términos generales, el diseño de un controlador de ganancia programada para una planta no lineal

puede ser descrito en un procedimiento de cuatro pasos, con diferentes acercamientos en cada uno de

ellos:

I) El primer paso es calcular un modelo de parámetro lineal variante para la planta. Históricamente,

el método más común se basa en la linealización jacobiana sobre una familia de puntos de

equilibrio, también llamados puntos de trabajo o puntos de ajuste. Esto produce una familia

parametrizada de plantas que conforman la base de lo que llamamos programación linealizada.

Típicamente, la parametrización corresponde a valores fijos de las variables de programación que,

a su vez, son funciones de variables internas de la planta y señales exógenas.

Otro enfoque es la planificación cuasi-LPV (Linear Parameter Varying), en la que la dinámica de

la planta se reescribe para disfrazar las no linealidades y se presenta como distintos intervalos de

tiempo que se utilizan como variables de programación.

II) El segundo paso es usar métodos de diseño lineales para diseñar controladores lineales sobre el

modelo de la planta que surge de cualquiera de los procesos de linealización anteriores. Este

proceso de diseño puede resultar directamente en una familia de controladores lineales que

corresponde a la planta de dependencia con los parámetros lineales, o puede haber un proceso de

interpolación para llegar a una familia de controladores lineales a partir de un conjunto original

aplicado a valores aislados de las variables de programación. Tradicionalmente, los diseños son de

tal manera que para cada valor x del parámetro, el sistema lineal de lazo cerrado exhibe un

comportamiento deseado.

III) El tercer paso corresponde a la programación de ganancia real, lo que implica implementar la

familia de controladores lineales de manera que los coeficientes del controlador (ganancias) son

variadas (programadas) de acuerdo con el valor actual de las variables de programación.

IV) El cuarto paso es la evaluación del desempeño. En el mejor de los casos, donde las

consideraciones de rendimiento analítico son parte del proceso de diseño, esta puede ser

relativamente sencilla. Más típicamente, la estabilidad y el desempeño local del controlador de

ganancia programada son objeto de una investigación analítica adicional, mientras que la

evaluación del desempeño no local se basa en estudios de simulaciones.

3.1.2 Características y ventajas de la estrategia:

Existe una serie de aspectos a considerar con respecto a la estrategia de planificación de ganancias. A

continuación, se incluyen los aspectos que han estimulado su uso generalizado en diversas aplicaciones,

así como limitaciones del enfoque que han motivado la investigación reciente [9]:

a) Se emplean potentes herramientas de diseño lineales en problemas no lineales de elevada dificultad.

b) La mayoría de las especificaciones de desempeño que están escritas en forma lineal e involucran

parámetros en el dominio del tiempo y la frecuencia, son direccionados generalmente al enfoque de

programación de ganancias.

Page 29: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

29

c) No se requiere de suposiciones severas sobre el modelo de la planta. En particular, la linealización

Scheduling se puede utilizar cuando la información de la planta es limitada a unos pocos puntos de

equilibrio y a sus correspondientes linealizaciones.

d) El proceso de diseño preserva una intuición de linealidad bien entendida y se lleva a cabo utilizando

variables físicas del modelo de la planta.

e) Los enfoques de diseño son compatibles con descomposiciones del problema general de control.

Dichas descomposiciones son típicamente no jerárquicas, y las interacciones de los sub-problemas son

capturados por variables de programación.

f) Gain Scheduling permite a un controlador responder rápidamente a las cambiantes condiciones de

operación. Para ello, es importante que las variables de programación seleccionadas reflejen cambios

en la dinámica de la planta cuando las condiciones de funcionamiento cambien.

g) El esfuerzo computacional a menudo es mucho menor que para otros procesos de diseño no lineal. Por

otro lado, si bien el enfoque cuasi-LPV es computacionalmente intensivo, garantiza estabilidad y

propiedades de rendimiento.

h) Esta estrategia de control implica varios pasos especiales, comenzando con la formulación del

problema. Esto puede ser adecuado en situaciones simples, pero incrementa su complejidad cuando se

diseñan controladores más complicados.

i) El enfoque clásico de Gain Scheduling depende de reglas empíricas y extensos procesos de simulación

para la evaluación de la estabilidad y el rendimiento. Típicamente, la estabilidad puede ser asegurada

sólo a nivel local y con variaciones lentas, y por lo general no hay garantías de rendimiento. El

enfoque cuasi-LPV tiene el potencial que garantiza estabilidad y rendimiento.

3.2 CONTROL POR SOBRE-MANDO

El control por sobre-mando (override) es una técnica mediante la cual las variables de proceso son

mantenidas dentro de ciertos límites. Dichos límites suelen surgir de problemas de seguridad, problemas

con la eficiencia y economía del proceso.

Sin embargo, no es una estrategia de operación drástica, pues mantiene el proceso en operación pero

dentro y bajo condiciones seguras, sin llegar a condiciones más extremas como la parada de la planta para

enfrentar estados de disfunción grave de los equipos (acciones hacia las cuales se orientan otras estrategias

de control).

Se pueden distinguir dos modos de operación dentro de la misma estrategia de control por sobre-

mando [10]:

1) Operación Normal: Cuando la variable manipulada es la misma variable controlada.

2) Operación Anormal: Cuando otras variables de proceso se convierten en las variables manipuladas

para prevenir que la variable controlada exceda los límites establecidos por el equipo o el proceso.

La estrategia de control por override no sustituye a otro tipo de controladores dinámicos (por

ejemplo, PID). En cambio, estos controladores son utilizados en los casos en los que se debe escoger entre

un conjunto de entradas para, por ejemplo, solucionar algún problema de emergencia. Los límites

(máximos o mínimos) se utilizan para seleccionar una salida. Para la implementación de esta estrategia de

control, se requiere de dos controladores y un selector de controlador. La salida del selector se alimenta de

nuevo al controlador para prevenir un reinicio por windup cuando el controlador no está seleccionado.

Page 30: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

30

3.2.1 Selectores de controlador:

El selector de controlador es utilizado para ajustar el proceso a los límites establecidos en los criterios

de diseño. Existen dos tipos básicos de estos selectores conocidos como selectores de alta y selectores de

baja, que se encuentran disponibles, generalmente, como selectores electrónicos y neumáticos. De manera

general, dos o más entradas ingresan al selector y se selecciona una sola variable a la salida.

a) Selectores de alta: Están diseñados para que filtren todo exceptuando el mayor valor de una serie de

elementos múltiples a la entrada. El selector envía entonces este único valor alto a través de la señal

de salida.

b) Selectores de baja: De manera contraria al anterior, filtran todo exceptuando el menor valor de una

serie de elementos múltiples a la entrada. El selector envía este valor bajo a la señal de salida.

c) Selectores de valor medio: En muchas ocasiones no se desea seleccionar sólo el valor más alto o más

bajo de un conjunto de entradas. En lugar de ello, lo que se requiere es seleccionar un valor medio.

Para ello se emplea una combinación de selectores de alta y de baja con el fin de seleccionar este

valor.

Para hacer esto posible, primero se compara cada señal de entrada con las demás una-a-una,

utilizando todos los selectores de alta o todos los selectores de baja. Las salidas de estos selectores son

enviados a un selector final, que será del tipo opuesto al del selector inicial.

3.2.2 Sintonización de controladores:

Con respecto a los controladores que se emplean en esta estrategia de control, es necesario precisar

algunas cuestiones relacionadas con su sintonización [11]:

1) Los dos controladores que se utilizan en la estrategia de control Override deben ser sintonizados de

manera independiente.

2) La respuesta dinámica de la variable controlada será, en general, diferente para un cambio en la

variable manipulada.

3) La sintonización del controlador que se encuentra en operación se debe realizar teniendo en cuenta

que el lazo de control es manual y que el valor a la salida no se seleccionará. Este proceso se repite

para el segundo controlador.

4. DISEÑO DEL ALGORITMO DE CONTROL

4.1 CONSIDERACIONES PREVIAS AL DISEÑO DEL CONTROL

En primer lugar, se debe tener en cuenta la dependencia de la variable a controlar con respecto a cada

una de las variables a manipular. Para apreciar dichas variaciones se realizaron las curvas que relacionan

el parámetro 𝐾𝐿𝑎 con el flujo de aire y la velocidad de agitación como se observa en las Figuras 13 y 14.

En un análisis general se tiene que para un valor muy bajo de velocidad de agitación, en este caso de

200 rpm, sin importar la cantidad de flujo de aire entrante, se obtiene un valor muy bajo de transferencia

de oxígeno. Sin embargo, a partir de la curva de 500 rpm se empieza a presentar un incremento

considerable en la transferencia de oxígeno con la variación del flujo de entrada. Por otro lado, en cuanto a

las curvas de flujo de aire entrante, se puede observar que para flujos superiores a 1,5 vvm las curvas

tienden a tener un comportamiento muy similar, es decir, el proceso de transferencia de oxígeno tiende a

saturarse. Sin embargo, para valores menores se pueden diferenciar claramente las variaciones en las

curvas para cada uno de los flujos y su incremento con la velocidad de agitación.

Page 31: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

31

Figura 13. Relación del parámetro 𝑲𝑳𝒂 con el flujo de aire entrante

Figura 14. Relación del parámetro 𝑲𝑳𝒂 con la velocidad de agitación

Page 32: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

32

Además de los detalles del comportamiento mostrado anteriormente, se debe tener en cuenta los

límites de operación segura, conociendo que si se eleva demasiado el valor de la velocidad de agitación

(por encima de 900 RPM) se pueden generar daños sobre la integridad de la cepa. Por otra parte, es

necesario considerar también el costo de operación y mantenimiento de los actuadores en cada una de las

variables a manipular, pues es más conveniente efectuar cambios de valores considerables en la velocidad

de agitación, en la medida en que el variador de velocidad que manipula los cambios de ésta última sufre

menos desgaste que la válvula de control de la regulación de flujo de aire.

Teniendo en cuenta los análisis realizados anteriormente y las estrategias de control descritas, se

planteará una arquitectura de control mediante la cual se variarán los puntos de operación de flujo de aire

entrante, para garantizar que las dos variables manipuladas no lleguen a saturarse; así, sobre cada uno de

estos puntos de operación, se diseñarán una serie de controladores lineales por medio de la técnica Gain

Scheduling para cada una de las curvas asociadas a cada punto de operación particular de flujo de aire.

4.2 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO LINEAL

4.2.1 Estimación de ganancias

Una vez validado el modelo y habiendo presentado las consideraciones en cuanto a los límites de

operación para el sistema y los controladores, se procede a calcular las ganancias de cada una de las

curvas de flujo de aire entrante. Para dicho cálculo se tendrán en cuenta los puntos de operación de 0.2,

0.5, 1 y 1,5 vvm con sus respectivos puntos de velocidad de agitación (200, 500, 700 y 850 rpm).

Para una primera aproximación se tomará el dato de menor valor y a partir de dicho punto se

extenderá una recta de tal forma que esté comprendida entre los rangos de incertidumbre de cada uno de

los puntos de operación tal como se muestra en las Figuras 15, 16, 17 y 18.

Figura 15. Aproximación lineal para la curva de 0,2 vvm

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Figura 16. Aproximación lineal para la curva de 0,4 vvm

Figura 17. Aproximación lineal para la curva de 1 vvm

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Figura 18. Aproximación lineal para la curva de 1,5 vvm

Figura 19. Aproximación lineal garantizando mínimo error

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35

Posteriormente, habiendo obtenido cada una de las rectas dentro de las regiones de tolerancia se

procede a calcular las ecuaciones que describen cada una de ellas, obteniendo expresiones de la forma

𝐾𝐿𝑎 = 𝑎𝜔 + 𝑏, las cuales se encuentran registradas en la Tabla 6.

Tabla 6. Aproximación lineal garantizando inicio de la recta en el dato menor

Fin (vvm) Aproximación

0,2 𝐾𝐿𝑎 = 0,059 𝜔 − 8,160

0,5 𝐾𝐿𝑎 = 0,099 𝜔 − 15,635

1 𝐾𝐿𝑎 = 0,140 𝜔 − 18,006

1,5 𝐾𝐿𝑎 = 0,216 𝜔 − 33,47

Por otro lado, se realizó una aproximación lineal de los puntos de cada curva garantizando el mínimo

error, independientemente de que la recta iniciara o no en el punto de menor valor como se observa en la

Figura 19. Las expresiones obtenidas para cada aproximación se registraron en la Tabla 7.

Tabla 7. Aproximación lineal garantizando mínimo error

Fin (vvm) Aproximación Factor 𝑹𝟐

0,2 𝐾𝐿𝑎 = 0,0542 𝜔 − 5,8093 0,9762

0,5 𝐾𝐿𝑎 = 0,1047 𝜔 − 16,1007 0,9792

1 𝐾𝐿𝑎 = 0,1461 𝜔 − 19,5924 0,9849

1,5 𝐾𝐿𝑎 = 0,2399 𝜔 − 43,6744 0,9727

4.2.2 Desarrollo de la ecuación de estado

Definidos los valores de ganancia en cada una de las curvas de flujo de aire entrante se procede a

deducir las variables y la ecuación de estado del sistema a controlar. De las ecuaciones (1), (2) y (3) de la

sección 1.2 (Relaciones del método de Gassing – Out) se sabe que existe una relación directa entre la

concentración de oxígeno disuelto (COD), el parámetro 𝐾𝐿𝑎 y el término OUR, que para efectos de

control, se manejará como una perturbación.

Así mismo, de los resultados del numeral anterior se dedujo que existe una relación lineal entre 𝐾𝐿𝑎

y la velocidad de agitación 𝑤, que se puede escribir de la forma:

𝐾𝐿𝑎(𝑡) = 𝑎𝜔(𝑡) + 𝑏 (14)

Donde 𝑎 y 𝑏 son los parámetros de la ecuación que varían con el valor del flujo entrante. Uniendo los

resultados de las ecuaciones (1), (3) y (14) se obtiene la ecuación (15).

𝑑𝐶𝑂𝐷(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐶𝑂𝐷(𝑡)̇ = [𝑎𝜔(𝑡) + 𝑏] [𝐶𝑂𝐷∗ − 𝐶𝑂𝐷(𝑡)] − 𝑂𝑈𝑅(𝑡) (15)

Para el tratamiento del factor 𝑂𝑈𝑅(𝑡) es necesario trabajar la ecuación descrita en (15) como una

expresión en términos de porcentaje. Para ello se divide cada término de la ecuación entre 𝐶𝑂𝐷∗, que

corresponde al 100% de contenido de oxígeno disuelto en el biorreactor, obteniéndose la ecuación (16).

100% (𝐶𝑂𝐷(𝑡)̇

𝐶𝑂𝐷∗ ) = % 𝐶𝑂𝐷(𝑡)̇ = 100% ([𝑎𝜔(𝑡) + 𝑏] [𝐶𝑂𝐷∗−𝐶𝑂𝐷(𝑡)

𝐶𝑂𝐷∗ ] −𝑂𝑈𝑅(𝑡)

𝐶𝑂𝐷∗ )

% 𝐶𝑂𝐷(𝑡)̇ = [𝑎𝜔(𝑡) + 𝑏] [100% − % 𝐶𝑂𝐷(𝑡)] − 𝑂𝑈𝑅%(𝑡) (16)

Page 36: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

36

4.2.3 Escogencia de los puntos de equilibrio:

La ecuación diferencial descrita en (16) es una ecuación no – lineal, por lo tanto se requiere de un

proceso de linealización alrededor de un punto de equilibrio descrito como �̅� = [% 𝐶𝑂𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑂𝑈𝑅̅̅ ̅̅ ̅̅%, �̅�] que

satisface la igualdad de la ecuación (17).

[𝑎�̅� + 𝑏] [100% − % 𝐶𝑂𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ] − 𝑂𝑈𝑅̅̅ ̅̅ ̅̅% = 0 (17)

Para cada una de las condiciones de flujo de aire entrante, es decir, para cada uno de las valores de 𝑎

y 𝑏 de la aproximación lineal obtenida en el proceso de estimación de 𝐾𝐿𝑎, se escogerán una serie de

ternas definidas a partir de:

a) Un conjunto de valores para el porcentaje de oxígeno disuelto en equilibrio desde 0% hasta el 100%,

en intervalos de 10%.

b) Un conjunto de valores para la velocidad de agitación 𝜔 en equilibrio desde 0 hasta 900 rpm.

c) Un conjunto de valores de 𝑂𝑈𝑅% en equilibrio que, junto con los valores de los conjuntos descritos en

a) y en b), satisfacen la ecuación (17).

Los conjuntos definidos en a), b) y c) conforman, para cada condición de flujo entrante, una

superficie de la cual se extraerán los puntos de equilibrio sobre los que se linealizará la ecuación de estado

del sistema. En las Figuras 20 a 23 se muestran las superficies obtenidas para cada uno de los flujos

entrantes a considerar.

Figura 20. Superficie para escogencia de puntos de operación para 0,2 vvm

Page 37: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

37

Figura 21. Superficie para escogencia de puntos de operación para 0,5 vvm

Figura 22. Superficie para escogencia de puntos de operación para 1 vvm

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38

Figura 23. Superficie para escogencia de puntos de operación para 1,5 vvm

Para efectos prácticos, el porcentaje de concentración de oxígeno disuelto (% 𝐶𝑂𝐷) usualmente se

maneja por debajo del 50%, además, ya se tiene un rango de velocidades de agitación que permitirán

deducir cual es el máximo valor de consumo (OUR) para diferentes casos realizables; hecho que se

traducirá en la máxima cantidad de biomasa posible al interior del biorreactor, como se detallará a

continuación.

Según la literatura [12], el factor 𝑂𝑈𝑅(𝑡) se puede escribir como en la ecuación (18), donde 𝑟𝑜2(𝑡) es

la tasa de consumo de oxígeno para el microorganismo Pichia Pastoris (medida en 𝑔𝑜2/𝑔𝑏𝑖𝑜ℎ) y 𝑋(𝑡) es

la cantidad de biomasa presente en el biorreactor (medida en 𝑔𝑏𝑖𝑜/𝑙).

𝑂𝑈𝑅(𝑡) = 𝑟𝑜2(𝑡) ∙ 𝑋(𝑡) (18)

Así mismo, para este tipo de cepa, se encontró que la tasa de consumo de oxígeno se relaciona con la

tasa de crecimiento del microorganismo, denotada como 𝜇(𝑡) y medida en 1/ℎ, a través de un valor

constante, tal como se muestra en la ecuación (19).

𝑟𝑜2(𝑡) = 1,97 𝜇(𝑡) (19)

Por otra parte, el coeficiente de saturación 𝐶𝑂𝐷∗ se relaciona con el peso molar (medido en

𝑔𝑜2/𝑚𝑜𝑙) y el coeficiente de saturación de oxígeno (medido en 𝑚𝑜𝑙/𝑙) y se obtiene, para las condiciones

particulares de este sistema, un valor de:

𝐶𝑂𝐷∗ = 8,48 × 10−3 [𝑔𝑜2/𝑙]

Uniendo los resultados de las ecuaciones (18) y (19) con el valor de 𝐶𝑂𝐷∗, se obtiene la ecuación

(20).

𝑂𝑈𝑅%(𝑡) =1,97∙𝜇(𝑡)∙𝑋(𝑡)

𝐶𝑂𝐷∗ = (2,3 × 104) ∙ 𝜇(𝑡) ∙ 𝑋(𝑡) (20)

Page 39: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

39

Como parámetro de referencia, se tiene que según experimentos realizados sobre el biorreactor en

estudio y registrados en [12], el máximo valor de biomasa obtenido en el cultivo correspondió a 𝑋𝑚𝑎𝑥 =300 [𝑔𝑏𝑖𝑜/𝑙]; además se encontró que la tasa de crecimiento máxima para esta cepa es de 𝜇𝑚𝑎𝑥 =2,27 × 10−2 [1/ℎ]. Según lo anterior el valor máximo de la tasa de consumo de oxígeno correspondería a:

𝑶𝑼𝑹%𝒎𝒂𝒙 = 156,63 × 103 [1/ℎ]

Sin embargo, evaluando este factor como variable dependiente de las condiciones deseadas de

operación, se obtiene a partir de la ecuación (20) y las Figuras 20 a 23, los valores máximos de la relación

𝜇(𝑡) ∙ 𝑋(𝑡) que serán de utilidad para futuros cultivos y que se muestran en la Tabla 8.

Tabla 8. Máximo 𝝁(𝒕) ∙ 𝑿(𝒕) para diferentes condiciones de flujo a la entrada

Fin (vvm) Máximo 𝑶𝑼𝑹%𝒎𝒂𝒙

(𝟏/𝒉)

Máximo 𝝁(𝒕) ∙ 𝑿(𝒕)

(𝒈𝒃𝒊𝒐/𝒍𝒉)

0,2 4297 0,1868

0,5 7813 0,3697

1 11190 0,4865

1,5 17220 0,6486

4.2.4 Linealización de la ecuación de estado:

Definidos los puntos de equilibrio en cada uno de los casos, se procede a realizar el proceso de

linealización siguiendo el proceso descrito en la ecuación (21) y obteniendo como resultado la ecuación

(22).

% 𝐶𝑂𝐷̇ (𝑡)̂ =𝜕(% 𝐶𝑂𝐷(𝑡))̇

𝜕 % 𝐶𝑂𝐷(𝑡) % 𝐶𝑂�̂�(𝑡) +

𝜕(% 𝐶𝑂𝐷(𝑡))̇

𝜕 𝑂𝑈𝑅%(𝑡) 𝑂𝑈𝑅%̂(𝑡) +

𝜕(% 𝐶𝑂𝐷(𝑡))̇

𝜕 𝜔(𝑡) �̂�(𝑡) (21)

𝜕(% 𝐶𝑂𝐷(𝑡))̇

𝜕 % 𝐶𝑂𝐷(𝑡)= −(𝑎�̅� + 𝑏)

𝜕(% 𝐶𝑂𝐷(𝑡))̇

𝜕 𝑂𝑈𝑅%(𝑡)= −1

𝜕(% 𝐶𝑂𝐷(𝑡))̇

𝜕 𝜔(𝑡)= 𝑎 [100% − 𝐶𝑂𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ (𝑡)]

% 𝐶𝑂𝐷̇ (𝑡)̂ = −[𝑎�̅� + 𝑏 ] % 𝐶𝑂�̂�(𝑡) − 𝑂𝑈𝑅%̂(𝑡) + 𝑎 [100% − 𝐶𝑂𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ] �̂�(𝑡) (22)

4.2.5 Función de transferencia y gráficos de bode:

Finalizado el proceso de linealización de la ecuación de estado, se procede a calcular la función de

transferencia que relaciona la concentración de oxígeno disuelto con la velocidad de agitación y la tasa de

absorción de oxígeno de la biomasa. La función de transferencia resultante se muestra en la ecuación (23).

% 𝐶𝑂�̂�(𝑠) [𝑠 + (𝑎�̅� + 𝑏)] = 𝑎 [100% − 𝐶𝑂𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ] �̂�(𝑠) − 𝑂𝑈�̂�%(𝑠)

% 𝐶𝑂�̂�(𝑠) =𝑎 [100% − 𝐶𝑂𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ]

𝑠 + (𝑎�̅� + 𝑏) �̂�(𝑠) −

1

𝑠 + (𝑎�̅� + 𝑏) 𝑂𝑈�̂�%(𝑠)

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% 𝐶𝑂�̂�(𝑠) =𝑎 [100% − 𝐶𝑂𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ]

(𝑎�̅� + 𝑏) [𝑠

(𝑎�̅� + 𝑏)+ 1]

�̂�(𝑠) −1

(𝑎�̅� + 𝑏) [𝑠

(𝑎�̅� + 𝑏)+ 1]

𝑂𝑈�̂�%(𝑠)

% 𝐶𝑂�̂� =𝑘1

𝜏𝑠+1 �̂�(𝑠) +

𝑘2

𝜏𝑠+1 𝑂𝑈�̂�%(𝑠) (23)

𝒌𝟏 =𝑎 [100%−𝐶𝑂𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ]

𝑎�̅�+𝑏 (Ganancia respecto a agitación)

𝒌𝟐 = −1

𝑎�̅�+𝑏 (Ganancia respecto a perturbación)

𝝉 =1

𝑎�̅�+𝑏 (Constante de tiempo del sistema)

Definida la función de transferencia del sistema, se procede a graficar, para cada condición de flujo

de aire entrante, un conjunto de gráficos de bode para los distintos puntos de operación. Teniendo en

cuenta esto, y obviando el término correspondiente a la perturbación, es decir 𝑂𝑈�̂�%, se muestra en las

Figuras 24 a 27 cada una de las familias de gráficos de bode para cada flujo entrante a considerar y

variando la velocidad de agitación y el porcentaje de COD en todo su rango.

El objetivo de conocer la respuesta en frecuencia del sistema para diferentes puntos de operación, es

determinar cómo varía la ganancia y el polo con cambios en la velocidad de agitación y el % 𝐶𝑂𝐷 y así

definir el número de controladores a diseñar para cubrir la totalidad de los casos. Para ello, se utilizará la

ecuación (23) y se determinará la expresión del polo, descrita en (24), y de la ganancia, descrita en (25).

𝜏𝑠 + 1 = 0 → 𝑠 = −1

𝜏= −𝑎�̅� − 𝑏 (24)

𝑘1 =𝑎 [100%−𝐶𝑂𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ]

𝑎�̅�+𝑏 (25)

Figura 24. Respuesta en frecuencia para escogencia de puntos de operación para 0,2 vvm

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Figura 25. Respuesta en frecuencia para escogencia de puntos de operación para 0,5 vvm

Figura 26. Respuesta en frecuencia para escogencia de puntos de operación para 1 vvm

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42

Figura 27. Respuesta en frecuencia para escogencia de puntos de operación para 1,5 vvm

Teniendo como referencia las ecuaciones (24) y (25), para cada condición de flujo a la entrada, se

determinará el valor mínimo y máximo que puede tomar tanto el polo como la ganancia, para los distintos

valores ya especificados de velocidad de agitación y % 𝐶𝑂𝐷. Los resultados se resumen en la Tabla 9.

Tabla 9. Valores mínimo y máximo del polo y la ganancia para cada condición de flujo y rangos de 𝝎 = 200 a 900 rpm y

% 𝑪𝑶𝑫 = 10% a 90%

RANGOS: 𝝎 = 200 – 900 rpm y % 𝑪𝑶𝑫 = 10% – 90%

Fin

(vvm)

Valor mínimo

Polo (𝑷𝑴𝑰𝑵)

Valor máximo

Polo (𝑷𝑴𝑨𝑿)

Valor mínimo

Ganancia (𝒌𝟏−𝑴𝑰𝑵)

Valor máximo

Ganancia (𝒌𝟏−𝑴𝑨𝑿)

0,2 - 5,0307 - 42,9707 0,0126

- 37,9835 dB

0,9696

- 0,2677 dB

0,5 - 4,8393 - 78,1293 0,0134

- 37,4573 dB

1,9472

5,7881 dB

1,0 - 9,6276 - 111,8976 0,0131

- 37,6834 dB

1,3658

2,7075 dB

1,5 - 4,3056 - 172,2356 0,0139

- 37,1219 dB

5,0146

14,0048 dB

Sin embargo, debido a que las diferencias entre los valores mínimo y máximo tanto para la ganancia

como para el polo son tan grandes, se hizo necesario reducir los límites de operación para facilitar el

proceso de diseño del controlador. Teniendo en cuenta que una velocidad de agitación de 200 rpm no

genera una transferencia de oxígeno considerable y que una concentración de oxigeno superior al 50% es

difícilmente alcanzable en la realidad, los nuevos rangos de trabajo corresponden a:

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43

Concentración de oxígeno disuelto (% COD) del 10% al 50%

Velocidad de agitación (𝜔) de 500 rpm a 900 rpm

Para estos nuevos rangos de trabajo los valores mínimos y máximos actualizados del polo y la

ganancia del sistema para cada condición de flujo entrante se muestran en la Tabla 10.

Tabla 10. Valores mínimo y máximo del polo y la ganancia para cada condición de flujo y rangos 𝝎 = 500 a 900 rpm y

% 𝑪𝑶𝑫 = 10% a 50%

RANGOS: 𝝎 = 500 – 900 rpm y % 𝑪𝑶𝑫 = 10% – 50%

Fin

(vvm)

Valor mínimo

Polo (𝑷𝑴𝑰𝑵)

Valor máximo

Polo (𝑷𝑴𝑨𝑿)

Valor mínimo

Ganancia (𝒌𝟏−𝑴𝑰𝑵)

Valor máximo

Ganancia (𝒌𝟏−𝑴𝑨𝑿)

0,2 - 21,2907 - 42,9707 0,0631

- 24,0041 dB

0,2291

- 12,7990 dB

0,5 - 36,2493 - 78,1293 0,0670

- 23,4779 dB

0,2599

- 11,7022 dB

1,0 - 53,4576 - 111,8976 0,0653

- 23,7040 dB

0,2460

- 12,1823 dB

1,5 - 76,2756 - 172,2356 0,0696

- 23,1425 dB

0,2831

- 10,9623 dB

4.3 SINTONIZACIÓN DEL CONTROLADOR

Tomando como referencia los resultados de la Tabla 8, se procede a calcular la función de

transferencia del controlador, a partir de la herramienta rltool de Matlab ®, para dos casos: el primero, el

caso ideal, que solo considera la función del proceso de transferencia de oxígeno y el segundo, el caso

real, en el que se incluye la dinámica del sensor.

Antes de comenzar con el proceso de cálculo, es necesario primero definir, de manera general, el tipo

de arquitectura de control a utilizar. Debido a que la transferencia de oxígeno corresponde a un proceso de

capacidad sencilla, la arquitectura más apropiada para este tipo de procesos es un controlador proporcional

– integral (PI). Además, no se agrega acción derivativa en el controlador, pues no es conveniente cuando

se tiene una señal muy ruidosa medida por el sensor (como en este caso) y, además, debido a que se

requiere que la estrategia de control sea capaz de responder a cambios tipo paso en la referencia. La

función de transferencia de un controlador PI se muestra en la ecuación (26).

𝑃𝐼(𝑠) = 𝑘𝑝 +𝑘𝑖

𝑠=

𝑘𝑝𝑠+𝑘𝑖

𝑠= 𝑘1 (

1+𝑘2𝑠

𝑠) = 𝐾 (

𝑠−𝑍

𝑠) (26)

4.3.1 Controlador para el caso ideal

Para este primer caso, se considerará un esquema de control como el mostrado en la Figura 28. A

partir de la herramienta rltool, se incluyó como función de transferencia de la planta 𝐺(𝑠) cada una de las

cuatro posibles configuraciones para los rangos mínimos y máximos de los puntos de operación, a saber:

1) Velocidad de agitación mínima (500 rpm) - % COD mínimo (10%)

2) Velocidad de agitación mínima (500 rpm) - % COD máximo (50%)

3) Velocidad de agitación máxima (900 rpm) - % COD mínimo (10%)

4) Velocidad de agitación máxima (900 rpm) - % COD máximo (50%)

Page 44: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

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Figura 28. Esquema de control para el caso ideal

Mediante la ubicación manual del polo y el cero del controlador y el ajuste de ganancia, realizados en

la herramienta, se obtuvo una serie de características de desempeño en lazo cerrado junto con sus

parámetros de respuesta transitoria en el mejor de los casos, obtenidos para cada una de las condiciones de

flujo entrantes. Dichos resultados se resumen en la Tabla 11.

Tabla 11. Características de los controladores diseñados para el caso ideal

Fin

(vvm)

Posición

Cero Ganancia

Sobrepico Tiempo de Establecimiento

Caso

mínimo

Caso

máximo Caso mínimo Caso máximo

0,2 - 33 1265 3,01 % 0 % 2,766 minutos 4,260 minutos

0,5 - 64 1265 5,20 % 0 % 2,526 minutos 3,396 minutos

1 - 85 1265 4,46 % 0 % 2,100 minutos 3,468 minutos

1,5 - 100 1265 2,28 % 0 % 1,272 minutos 3,498 minutos

A partir de los resultados de la Tabla 11 y el esquema de control de la Figura 28, se obtuvo el

comportamiento mostrado en la Figura 29, que corresponde a las señales de salida 𝑌(𝑠) para cada uno de

los casos. Como ya se había mencionado en el resumen de resultados de la Tabla 11, y como se puede

observar en la Figura 29, el tiempo de establecimiento en todos los casos se encuentra alrededor de los 3

minutos, que es un tiempo deseable si se considera que la duración del proceso de inducción de la cepa

(etapa durante la cual se requiere un control más riguroso debido a la presencia constante del disturbio

debido al consumo por parte de los microorganismos) se encuentra alrededor de las 48 horas.

Así mismo, el porcentaje de sobrepico no supera un valor de 5% que, debido a su corta duración, no

alcanzará a ser percibido por la cepa, por lo que no resulta un factor decisivo a la hora de diseñar el

controlador.

Por otro lado, para cada condición de flujo a la entrada, se tiene un valor máximo de concentración

de oxígeno que se puede alcanzar sin que se sature la señal de control, es decir, sin que supere las 900

rpm. Dichos límites máximos de la referencia de % COD para cada flujo entrante se mencionan a

continuación:

Para 0,2 vvm – Referencia máxima del 20%

Para 0,5 vvm – Referencia máxima del 35%

Para 1,0 vvm – Referencia máxima del 45%

Para 1,5 vvm – Referencia máxima del 50% al 55%

Page 45: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

45

Figura 29. Señal de salida Y(s) para cada condición en el caso ideal

Teniendo en cuenta los resultados anteriores, se tiene que para el caso ideal, la estrategia de control

correspondería a un Gain Scheduling aplicado a 4 controladores PI, cuya variable de selección

corresponde al Set Point de concentración de oxígeno disuelto, que a su vez se relaciona con el flujo de

aire entrante.

4.3.2 Controlador para el caso real

Como ya se mencionó, para el caso real se debe considerar la dinámica que impone la sonda, que

corresponde a un sistema de primer orden. El esquema de control empleado en este caso se observa en la

Figura 30.

Figura 30. Esquema de control para el caso real

Sobre dicho esquema se procedió a evaluar, en primer lugar, el desempeño de los anteriores

controladores. Sin embargo, lo que se obtuvo fue una respuesta muy diferente a la obtenida previamente,

pues el polo que adiciona la sonda afecta de manera muy importante el tiempo de establecimiento de la

respuesta total. En ese orden de ideas, se procede a replantear el proceso de diseño de los controladores.

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46

Tomando como referencia los puntos de operación y los límites de % 𝐶𝑂𝐷 establecidos para cada

condición de flujo, se procede a diseñar un controlador para la función de transferencia de la planta para

los valores mínimos de % 𝐶𝑂𝐷 y de velocidad de agitación (caso 1) y la función de transferencia para los

valores máximos de dichos parámetros (caso 4). Los resultados de las características de desempeño en

lazo cerrado junto con sus parámetros de respuesta transitoria para cada uno de los casos se muestran en la

Tabla 12.

Tabla 12. Características de los controladores diseñados para los casos 1 y 4 en el caso real

Caso % 𝑪𝑶𝑫 mínimo y 𝝎 mínimo

(Caso 1) Caso % 𝑪𝑶𝑫 máximo y 𝝎 máximo (Caso 4)

Flujo

(vvm) Ganancia

Posición

Cero

Tiempo

Establecimiento % OV Ganancia

Posición

Cero

Tiempo

Establecimiento % OV

0,2 80 -16 4,58 minutos 0,67% 286 -35 5,43 minutos 0%

0,5 74 -28 4,72 minutos 1,63% 397 -33 2,17 minutos 1,72%

1,0 95 -31 3,07 minutos 1,95% 408 -37 2,82 minutos 0%

1,5 92 -32 2,25 minutos 1,02% 363 -55 3,54 minutos 1,98%

Diseñados los ocho controladores, se procede a evaluar su desempeño para los dos casos no

considerados en el proceso de diseño, es decir, los casos 2 y 3. Sin embargo, la respuesta que se obtuvo no

fue consistente para los cuatro casos, de manera que se decidió diseñar un controlador para cada uno de

ellos y cada uno de los cuatro flujos entrantes, es decir, un total de 16 controladores (para más detalle del

procedimiento de sintonización de los controladores en rltool, ver Anexo C). Los resultados de las

características de desempeño de los dieciséis controladores se muestran en la Tabla 13.

Tabla 13. Características de los dieciséis controladores diseñados para los casos 1, 2, 3 y 4 en el caso real

Características del Controlador

Flujo (vvm) # Caso

(P) Ganancia

Posición

Cero

Tiempo

Establecimiento % OV

0,2

1 80 -16 4,58 minutos 0,67%

2 175 -32 4,47 minutos 1,89%

3 140 -18 5,14 minutos 1,57%

4 286 -35 5,43 minutos 0,00%

0,5

1 74 -28 4,72 minutos 1,63%

2 211 -36,5 2,69 minutos 1,44%

3 126 -30 5,23 minutos 1,77%

4 397 -33 2,17 minutos 1,72%

1,0

1 95 -31 3,07 minutos 1,95%

2 200 -50 3,80 minutos 1,76%

3 162 -33 3,60 minutos 1,50%

4 378 -47 3,43 minutos 1,60%

1,5

1 92 -32 2,25 minutos 1,02%

2 220 -47 3,01 minutos 1,11%

3 169 -33 2,18 minutos 1,99%

4 363 -55 3,54 minutos 1,98%

En las Figuras 31 a 34 se muestra la señal de salida y la señal de control para cada uno de los

dieciséis esquemas de control diseñados. La respuesta que se obtiene para todos los casos corresponde a

una respuesta paso unitario para el modelo en pequeña señal, cuyas variaciones se analizan a partir del

punto de equilibrio particular de cada uno de los casos, rotulado en cada gráfico (y previamente detallado

en el documento).

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47

Figura 31. Señales de salida y control de los cuatro casos para condición de flujo de 0,2 vvm en el caso real

Figura 32. Señales de salida y control de los cuatro casos para condición de flujo de 0,5 vvm en el caso real

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48

Figura 33. Señales de salida y control de los cuatro casos para condición de flujo de 1,0 vvm en el caso real

Figura 34. Señales de salida y control de los cuatro casos para condición de flujo de 1,5 vvm en el caso real

Diseñados los controladores para cada uno de los puntos de operación, se procederá a evaluar la

estrategia de control sobre el modelo no-lineal. Este proceso de validación tendrá dos componentes: el

primero corresponderá a la validación en pequeña señal del desempeño de cada uno de los 16

controladores incorporando el modelo no-lineal y las condiciones de operación para cada uno de los casos;

el segundo corresponderá a la validación sobre el sistema completo, incluyendo el esquema de selección

de los controladores para hacerlo completamente automático.

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49

4.4 VALIDACIÓN EN PEQUEÑA SEÑAL DEL MODELO NO-LINEAL

Para este primer proceso de validación se utilizó el esquema de la Figura 35. Sobre este esquema se

incluyó el valor de 𝑂𝑈𝑅% en cada punto de operación o de Bias (los cuatro casos ya descritos), para cada

una de las condiciones de flujo, una referencia tipo paso a la entrada de amplitud uno (con respecto al Bias

de %𝐶𝑂𝐷) y la escogencia manual del controlador. Dichos valores de 𝑂𝑈𝑅%, extraídos de las superficies

de operación de las Figuras 20 a 23, se detallan en la Tabla 14. Por otra parte, en las Figuras 36 a 39 se

detallan las señales de control y salida, obtenidas para cada uno de los dieciséis controladores. En este

caso, se agruparon las respuestas de acuerdo a cada uno de los casos (1 a 4) y se identificó, por gráfico, la

respuesta de cada flujo.

Figura 35. Esquema de control del modelo no-lineal para validación en pequeña señal de los dieciséis controladores

Figura 36. Señales de salida y control de la primera condición de operación (Caso 1) para las cuatro condiciones de flujo

entrantes en el modelo no-lineal

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50

Figura 37. Señales de salida y control de la segunda condición de operación (Caso 2) para las cuatro condiciones de flujo

entrantes en el modelo no-lineal

Figura 38. Señales de salida y control de la tercera condición de operación (Caso 3) para las cuatro condiciones de flujo entrantes

en el modelo no-lineal

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51

Figura 39. Señales de salida y control de la cuarta condición de operación (Caso 4) para las cuatro condiciones de flujo entrantes

en el modelo no-lineal

Tabla 14. Valores de equilibrio de 𝑶𝑼𝑹% para cada uno de los dieciséis casos a controlar

Como se observa, la respuesta que se obtiene es muy similar a la obtenida en el caso real con la

inclusión de la sonda (que se detalla en las Figuras 31 a 34).

4.5 VALIDACIÓN EN SISTEMA INTEGRADO DEL MODELO NO-LINEAL

Verificado el correcto funcionamiento de los controladores previamente diseñados en el sistema no-

lineal, se procede a implementar el esquema de control completo para la selección automática de los

controladores dependiendo de la condición actual del sistema. A continuación se describe dicho esquema,

junto con cada uno de los sub-bloques necesarios para hacer posible el proceso de validación (Ver Anexo

D para más detalle del esquema de simulación en Simulink).

4.5.1 Esquema general:

En la Figura 40 se observa el esquema general del lazo de control para la concentración de oxígeno

en el biorreactor. En él, se observan cuatro bloques importantes: una máquina de estados para la selección

de la condición de flujo (bloque azul claro), un subsistema que determina el controlador a emplear

dependiendo de la condición de operación del sistema (bloque naranja), un bloque para la selección del

# Caso

𝑶𝑼𝑹%

para 0,2

vvm

𝑶𝑼𝑹%

para 0,5

vvm

𝑶𝑼𝑹%

para 1,0

vvm

𝑶𝑼𝑹%

para 1,5

vvm

1 1916 3262 4811 6865

2 3867 7032 10070 15500

3 1065 1812 2673 3814

4 2149 3906 5595 8612

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52

tipo de disturbio (bloque violeta) y el bloque del sistema no-lineal (bloque rojo), además del bloque de la

dinámica de la sonda y la referencia.

Figura 40. Esquema general del lazo de control automático para la concentración de oxígeno del biorreactor

4.5.2 Máquina de estados para selección de condición de flujo:

Figura 41. Máquina de estados para la escogencia de la condición de flujo entrante

La primera etapa a diseñar corresponde a una máquina de estados que determine los valores de 𝑎 y 𝑏

de la aproximación lineal asociada a cada condición de flujo (identificado en el esquema general de la

Figura 40 como el bloque azul claro).

Page 53: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

53

El gráfico que resume la operación de la máquina de estados, se puede observar en la Figura 41. A

partir de un estado inicial, correspondiente al flujo de 0,2 vvm, se generará la transición a un estado de

espera una vez la señal de control alcance su valor máximo (899 rpm); desde este estado se avanzará al

siguiente, correspondiente al flujo de 0,5 vvm, transcurridos 18 minutos (tiempo prudente para procurar la

estabilización del sistema). Esta dinámica se presenta continuamente, para las cuatro condiciones de forma

ascendente hasta llegar a 1,5 vvm. De manera similar, se generarán transiciones en el sentido contrario,

una vez la velocidad de agitación alcance su valor mínimo (501 rpm), hasta llegar a la mínima condición

de flujo de 0,2 vvm.

4.5.3 Subsistema para la selección del controlador:

Una segunda etapa corresponde a un esquema de selectores para escoger uno de los dieciséis

controladores para una condición particular de operación (identificado en el esquema general de la Figura

40 como el bloque naranja). En la Figura 42 se observa el esquema de dicho subsistema.

Figura 42. Esquema del subsistema para la selección del controlador

En este subsistema, se pueden diferenciar cuatro bloques importantes, que se detallarán a continuación:

1) Esquema de controlador PI (bloque verde): En la Figura 43 se encuentra el esquema del

controlador PI implementado según la ecuación (26). El bloque recibe la señal de error, y las

ganancias 𝑘1 y 𝑘2 determinadas a partir de la condición de flujo, la concentración de oxígeno y la

velocidad de agitación actual.

Figura 43. Esquema del controlador PI implementado en Simulink

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54

2) Bloque de ganancias de los dieciséis controladores (bloque amarillo): En este bloque se

encuentran almacenadas todos los valores de ganancias, como duplas 𝑘1, 𝑘2 para cada uno de los

dieciséis controladores diseñados en la etapa previa.

3) Bloque de selección de ganancias por condición de flujo (bloque magenta): En la Figura 44 se

observa la máquina de estados implementada para seleccionar las 4 duplas de ganancias para una

condición de flujo particular, a partir del parámetro 𝑎 de entrada. De manera similar a la máquina de

estados anterior, a partir de un estado inicial, correspondiente al flujo de 0,2 vvm, se generará la

transición a un estado de espera una vez el parámetro 𝑎 supere el valor del umbral (al que se adicionó

un valor de 0,01 de histéresis para evitar oscilaciones en el punto de decisión). Desde este estado se

avanzará al siguiente, correspondiente al flujo de 0,5 vvm, transcurridos 12 minutos. Esta dinámica

continúa hasta llegar a la condición de 1,5 vvm. Así mismo, se generarán transiciones en el sentido

contrario una vez el parámetro 𝑎 disminuya su valor.

Figura 44. Máquina de estados para la selección de ganancias a partir de una condición de flujo entrante

4) Bloque de selección de ganancias por condición de operación (bloque azul): Para este caso, se

deben tener en cuenta los gráficos de las Figuras 45 y 46. En la Figura 45 se observan las cuatro

regiones de operación, junto con sus intervalos de histéresis, tanto para el parámetro 𝐶𝑂𝐷 como para

la velocidad de agitación.

Figura 45. Regiones de operación e intervalos de histéresis

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55

Figura 46. Máquina de estados para la selección de ganancias a partir de una condición de operación particular

Teniendo en cuenta dichas regiones, se procede a describir el funcionamiento de la máquina de

estados implementada para seleccionar la dupla de ganancias para una condición de operación particular,

determinada por el valor del 𝐶𝑂𝐷 y de velocidad de agitación actual 𝜔. Como se observa en la Figura 46,

partiendo de la región 1, se evalúa el valor de los parámetros 𝐶𝑂𝐷 y 𝜔 y se genera el paso a un estado de

espera una vez se cumpla una determinada condición relacionada con el valor de dichos parámetros de

entrada. De este estado de espera se generará el paso al siguiente estado, transcurridos 9 minutos (este

tiempo de espera se fijó en un valor más pequeño que el de la máquina de estados para condición de flujo,

para asegurar que los cambios de este subsistema se generen en un estado estable del sistema

inmediatamente anterior). Estas transiciones se pueden generar entre las cuatro regiones una vez se

superen los valores de la región de histéresis de la Figura 45 (en color gris).

4.5.4 Protocolo de pruebas:

Una vez implementado el sistema completo en bloques, se procede a verificar su correcto

funcionamiento a través de un protocolo de pruebas, con el cual se buscará que el sistema siga

correctamente varias referencias y que conmute de manera adecuada dependiendo de la región de

operación.

El conjunto de pruebas realizado comprende un disturbio en OUR creciente escalonado (señal rampa

muestreada cada 2 horas), tal como se presentaría en la etapa de crecimiento de la cepa, y una referencia

constante de 10%, 30% y 50% en % 𝐶𝑂𝐷. El objetivo de estas pruebas es evaluar la robustez del sistema

para perturbaciones constantes crecientes y corroborar el correcto funcionamiento de los diferentes

esquemas de conmutación, tanto para los controladores como para la condición de flujo a la entrada.

En las Figuras 47, 48 y 49 se observan las señales de disturbio, control, salida y flujo de entrada para

cada uno de las tres referencias de % 𝐶𝑂𝐷.

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Figura 47. Señales de disturbio, control, salida y flujo de entrada para referencia de % 𝑪𝑶𝑫 = 𝟏𝟎%

Figura 48. Señales de disturbio, control, salida y flujo de entrada para referencia de % 𝑪𝑶𝑫 = 𝟑𝟎%

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57

Figura 49. Señales de disturbio, control, salida y flujo de entrada para referencia de % 𝑪𝑶𝑫 = 𝟓𝟎%

Como se observa en las Figura 47, 48 y 49, el sistema es capaz de seguir cada uno de los valores de

referencia en presencia del disturbio (absorción continua y creciente por parte de la biomasa). Así mismo,

a partir de la señal de control se concluye que se realiza la acción de regulación en los cambios de

“setpoint” mientras compensa el efecto del disturbio. Por otra parte, se observa que para un tiempo

prolongado de actividad (40 horas), se generan las cuatro conmutaciones de flujo posibles y se realizan de

manera coherente los cambios en las ganancias del controlador con respecto a las condiciones de

operación presentes en el sistema, debidas al incremento constante del consumo por parte de la biomasa

(𝑂𝑈𝑅).

Finalmente, se observa en la Figura 49, que para un tiempo aproximado de 39 horas, se alcanza una

condición de saturación debido a que se alcanza el máximo valor de 𝑂𝑈𝑅 a regular para el punto de

operación particular del momento, es decir, 𝐶𝑂𝐷 = 50%; 𝜔 = 900 𝑟𝑝𝑚; 𝐹𝑖𝑛 = 1,5 𝑣𝑣𝑚, tal como se

observa en la región de la Figura 23.

5. VALIDACIÓN EN SISTEMA REAL

Verificado el correcto funcionamiento de los controladores en el sistema completo, se procede a

implementar el esquema de control en el software LabView para posteriormente ser adicionado al

proyecto general del biorreactor real para realizar las pruebas finales (El detalle del proyecto general en

LabView se encuentra en el documento de la tesis de la referencia [13]). A continuación se describe el

esquema implementado en LabView a partir del esquema en Simulink del numeral anterior (ver Anexo E

para más detalle del esquema de simulación en LabView). Así mismo, para un mayor entendimiento del

lazo de control de oxígeno, en el Anexo F se presenta un diagrama P&ID del sistema de control de interés.

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58

5.1 ESQUEMA GENERAL EN LABVIEW Y RESULTADOS DE SIMULACIÓN:

En primer lugar, para la implementación en LabView de las máquinas de estado se utilizó el bloque

de estructura de casos (Case Structure) en el que se incluyeron las tres máquinas de estado

correspondientes a la selección de flujo, de condición de operación y de selección de ganancias; todo lo

anterior dentro de una estructura secuenciada (Flat Secuence Structure), para evitar que los cambios de

estado de las máquinas se presenten en un mismo instante de tiempo. Así mismo, los estados de espera

entre transiciones, se implementaron mediante el bloque Elapsed Time.

Por otro lado, se implementó el modelo no lineal de la planta, junto con el bloque de PID – Gain

Scheduling del software, en el que se programaron las ganancias encontradas en el proceso de diseño, y se

interconectó con las máquinas de estado a través de variables locales. Dicha implementación se observa en

la Figura 50.

Adicionalmente, para efectos de visualización, se agregó un tiempo de retardo en el ciclo del modelo

del biorreactor para poder observar la respuesta del modelo a una velocidad apreciable; además, debido a

que el tiempo de integración en el modelo es de una milésima de hora, cada división de la escala de

tiempo del gráfico corresponderá a dicho valor. Así mismo, los retardos de las máquinas de estado se

manejarán en segundos para este mismo propósito.

Figura 50. Esquema de control implementado en LabView

A partir del esquema de la Figura 50, se obtuvo el gráfico de la Figura 51 en el que se observan los

cambios en el número del controlador, la condición de flujo y la agitación en RPM necesaria para

mantener un setpoint de 𝐶𝑂𝐷 del 30% y variaciones en la variable del disturbio OUR.

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59

Figura 51. Resultado de la simulación en LabView

La utilidad de esta prueba consiste en corroborar que el funcionamiento de las máquinas y la

conmutación de los controladores fuesen adecuados. Sin embargo, los resultados que incluyen la dinámica

real del sistema se muestran en el siguiente numeral.

5.2 RESULTADOS FINALES EN EL BIORREACTOR:

Antes de detallar los gráficos resultantes finales, es importante mencionar los ajustes realizados al

esquema de control antes de adicionarlo al esquema general del biorreactor real. En primer lugar, se

amplió el intervalo de histéresis para las regiones de operación y así evitar cambios repentinos en las

ganancias del controlador, se ajustaron los tiempos de espera en las transiciones de las máquinas de estado

de acuerdo al comportamiento de la cepa y se estableció un mínimo de agitación de 300 RPM por

sugerencia de los responsables del cultivo, para garantizar la integridad de los microorganismos.

Así mismo, se modificó el esquema general para permitir el paso de control manual a automático,

debido a que en la etapa de crecimiento de la cepa no se requiere de la acción de control diseñada, ya que

esta consiste en iniciar con un 100% de COD y esperar a que la totalidad del oxígeno se agote, para

indicar que el crecimiento de la cepa ha finalizado, y a partir de este punto iniciar la etapa de inducción

(producción de proteína) en la que sí es útil el control automático.

Realizados dichos ajustes, y finalizada la etapa de crecimiento, se procedió a activar el control

automático y ubicar diferentes setpoint de COD a lo largo de las tres horas de duración de la prueba, tal

como se observa en la Figura 52 (ver Anexo G para más detalle del banco de resultados obtenido a partir

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60

de la prueba en el biorreactor). Así mismo, se incluyeron en este gráfico las dos señales de control

(Agitación y Flujo de aire entrante) y las conmutaciones de los controladores según su condición de

operación.

Figura 52. Señales de salida, control y conmutación de los controladores para la totalidad del cultivo

Figura 53. Detalle de las señales de salida, control y conmutación de los controladores para la primera hora de cultivo

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61

Para un análisis más detallado, se fragmentarán los resultados en tres secciones y se comentarán los

resultados particulares en cada una de ellas. En primer lugar, se tiene la primera hora de duración de la

prueba. En esta primera sección se observan tres setpoint de COD diferentes: 20%, 30% y 15% (tal como

se observa en la Figura 53). Como era de esperarse se alcanzaron los diferentes setpoint de oxígeno

mediante la variación de las dos señales de control, en la que se emplearon tres de los cuatro flujos

disponibles y la conmutación entre seis de los controladores para las diferentes condiciones de operación.

Es importante aclarar que las variaciones que se presentan alrededor de cada uno de los setpoint no

son consecuencia de procesos errados de sintonización de los controladores, ya que dichas variaciones no

están centradas en el valor del setpoint, no se genera ninguna conmutación entre los casos de control, y

además, la señal de control de agitación no presenta una forma sinusoidal perfecta. El verdadero causante

de dichas variaciones es el consumo elevado por parte de los microorganismos, lo cual conlleva a que el

sistema sea más rápido que la acción de control, de manera que una vez la señal de COD supere el valor

del setpoint y el controlador intente corregir esta condición, el consumo será tal que el descenso sea mayor

al esperado y requiera nuevamente de la acción de control para corregir en el otro sentido.

La respuesta que se observa en la Figura 53, se debe a que en el ajuste de un setpoint de COD de un

valor elevado se pone a disposición una cantidad elevada de oxígeno para consumir, y en ese mismo

sentido, motiva un consumo mayor por parte de la cepa.

El segundo caso, se da para la segunda hora de cultivo. En la Figura 54 se observa el caso con

respuesta ideal, en el cual se logra un seguimiento del setpoint con un error de estado estable

aproximadamente nulo. Lo anterior se da debido a que los valores de setpoint son cercanos a cero, lo cual

conlleva a que la dinámica sea más lenta y más cercana a la descrita por el modelo. Lo anterior, se explica

debido a que la cantidad de oxígeno disponible es menor y así lo es también el consumo. Debida a estas

mismas condiciones, se requirieron menos cambios en las señales de control y en las conmutaciones de los

controladores (se utilizó una sola condición de flujo de entrada de 1 vvm y los controladores 9 y 11).

Figura 54. Detalle de las señales de salida, control y conmutación de los controladores para la segunda hora de cultivo

Page 62: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

62

El tercer y último caso, se da para la tercera hora de cultivo. El objetivo de esta tercera sección es

corroborar los resultados obtenidos en los dos anteriores procesos. Como se observa en la Figura 55, en

primer lugar, se elevó el valor del setpoint a 12% y se observaron variaciones similares a las obtenidas en

la primera hora de cultivo. Una vez se redujo el setpoint a 5%, se presentó una dinámica más lenta y se

logró alcanzar la referencia con un error nulo, tal como se observó en la segunda sección. Todo el proceso

anterior, se obtuvo para una sola condición de flujo a la entrada (1,5 vvm) y dos controladores (13 y 15).

Además, se observa que alrededor de los 140 minutos, se presentó un disturbio debido a la ausencia

de glicerol (alimento de la cepa). En caso de no haber dispuesto de un control automático, el valor de

COD se hubiese elevado de manera drástica sin dar la posibilidad de adicionar nuevamente el alimento

para corregir dicha situación. Por el contrario, debido a la acción de control, dicho incremento no se alejó

considerablemente del setpoint, permitiendo de esta forma adicionar el sustrato necesario y recuperar el

valor deseado dentro de los primeros 10 minutos y mantener nuevamente constante el valor del COD hasta

el final de la prueba.

Figura 55. Detalle de las señales de salida, control y conmutación de los controladores para la tercera hora de cultivo

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63

CONCLUSIONES

Se diseñó un modelo determinístico del proceso de transferencia de oxígeno a partir de datos

experimentales generados en el biorreactor. Así mismo, se diseñó un algoritmo de control de múltiple

entrada y una única salida, basado en las técnicas de control de Gain-Scheduling y control por sobre-

mando, realizando un monitoreo constante de las variables de proceso para determinar el punto de

operación, y con ello, realizar la selección de las ganancias a implementar en el esquema de control para

manipular el flujo de aire entrante y la velocidad de agitación al interior del biorreactor para regular la

concentración de oxígeno disuelto. Finalmente se realizó la implementación de dicho algoritmo de control

en el sistema embebido CompactRio del biorreactor del Instituto de Errores Innatos del Metabolismo

(IEIM) de la facultad de Ciencias de la Pontificia Universidad Javeriana.

Del proceso de estimación se dedujo que existe una relación directa entre el coeficiente de

transferencia de oxígeno al biorreactor y las variables de agitación y flujo entrante. Además, se observó

que para agitaciones menores a 500 RPM el proceso de transferencia de oxígeno era casi nulo y para

agitaciones mayores a 900 RPM el proceso alcanzaba una condición de saturación.

Por otro lado, debido al alto contenido de dinámica no modelada no fue posible ajustar el modelo al

comportamiento real manteniendo un error menor al 7%. Sin embargo, el modelo obtenido posee dos

propiedades de suma utilidad: la primera, que es extrapolable a diferentes puntos de operación dentro de

los límites especificados para el proceso de transferencia de oxígeno, pues el modelo se realizó alrededor

de cinco puntos particulares y se validó para condiciones diferentes, obteniéndose resultados

satisfactorios. La segunda propiedad, es que puede llegar a ser aplicable a dinámicas biológicas diferentes,

pues el modelo fue deducido a partir de datos obtenidos de pruebas realizadas en el biorreactor sin

microorganismos y los resultados experimentales se obtuvieron para una cepa particular (levadura Pichia

Pastoris).

Tomando como referencia las técnicas de Gain Scheduling y control por sobre-mando, se realizó un

esquema de control basado en máquinas de estado que verifican las condiciones de operación actuales del

sistema y conmutan entre los dieciséis conjuntos de ganancias para finalmente realizar la acción de

control. Dicha implementación fue realizada teniendo en cuenta que el sistema a controlar es no-lineal, y

requiere de un proceso de linealización alrededor de diferentes regiones de operación, tomando en

consideración que las diferencias entre las dinámicas presentadas para cada una de las regiones son

considerables. Por otro lado, se estableció una jerarquía entre las variables de control, para la cual la

velocidad de agitación se trabajó de manera continua y el flujo entrante en valores discretos, teniendo en

cuenta que ambas variables aportan al incremento de la concentración de oxígeno disuelto en el

biorreactor, que el costo de mantenimiento del variador de velocidad es menor que el de la válvula y que

el proceso de transferencia es más sensible a los cambios en la agitación.

Teniendo en cuenta lo anterior, es importante considerar que la aplicación al sistema real se está

realizando sobre un organismo vivo que puede manifestar condiciones de respuesta que se escapan a lo

contemplado en el modelo. Factores como la falta de alimento, el estrés generado por las variaciones en

las condiciones al interior del biorreactor y la falta de reacción oportuna a dichos estímulos una vez se ha

alcanzado una condición particular en el entorno, aumentan o disminuyen la rapidez con la que se

observan los efectos de dichos estímulos.

Finalmente, de los resultados obtenidos en el sistema real se concluyó que el algoritmo de control

funciona de manera adecuada para setpoint de valor bajo, y precisamente, esto es una característica

deseable si el objetivo final del cultivo es la producción de proteína, pues esto supone que el oxígeno

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transferido al medio es consumido por los microorganismos casi en su totalidad, para acelerar el proceso

metabólico y producir más proteína.

A partir de los resultados finales obtenidos del proyecto, se puede considerar que un setpoint bajo es

menor al 10%. Sin embargo, debido a que el objetivo de la prueba era evaluar la robustez del control para

disturbios de magnitud elevada, se adicionó una mayor cantidad de glicerol para motivar un mayor

consumo por parte de la cepa y así generar una condición atípica en el proceso. Para un cultivo regular, el

consumo sería mucho menor y los resultados observados en la segunda sección de la prueba (figura 54)

pueden ser alcanzados para valores de setpoint incluso menores al 25%. No obstante, estos valores siguen

siendo inusuales para la etapa de inducción, pues como ya se mencionó, se pretende que todo el oxígeno

transferido sea consumido.

Por último, es importante proponer una serie de mejoras para ampliar la región de operación efectiva

del control y, por ende, su desempeño. En primer lugar, se plantea la posibilidad de integrar una sonda que

estime el valor del 𝑂𝑈𝑅 para contemplarlo en el modelo, y de esta manera poder implementar una técnica

de control feed-forward para corregir el efecto del disturbio antes de que se vea reflejado en la salida. En

segundo lugar, se propone una estrategia de control no-lineal que varíe su comportamiento respecto a los

cambios en la dinámica del proceso, y de esta forma regular el valor de la salida en el rango del 0% al

100%.

Page 65: SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIADO PARA LA CONCENTRACIÓN DE ...

65

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