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Sistema de ecuaciones algebraicas

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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Introduccion Notacion matricial Solucion de sistemas de ecuaciones pequenos (n ≤ 3)

Topicos

1 IntroduccionEcuaciones algebraicas linealesAntecedentes matematicos

2 Notacion matricialRepresentacion de una matrizOperaciones con matricesRepresentacion matricial de un sistema de ecuacionesalgebraicas

3 Solucion de sistemas de ecuaciones pequenos (n ≤ 3)Metodo graficoRegla de CramerLa eliminacion de incognitas

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Ecuaciones algebraicas lineales

Forma General

a11 x1 + a12 x2 + · · ·+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + · · ·+ a2n xn = b2...

......

an1 x1 + an2 x2 + · · ·+ ann xn = bn

dondea son los coeficientes constantes,b son constantes,n es el numero de ecuaciones,x son las incognitas.

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Ecuaciones algebraicas lineales

Metodo de solucion sin computadoraSi son pocas ecuaciones (n ≤ 3), las ecuaciones linealespueden resolverse con rapidez mediante tecnicas simples,Con 4 o mas ecuaciones, la solucion se vuelve laboriosa ydebe usarse una computadora,El surgimiento de las computadoras hizo posible resolvergrandes sistemas de ecuaciones algebraicas.

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Antecedentes matematicos

En esta parte, el algebra y la notacion matricial son muy utiles,ya que proporcionan una forma concisa de representar ymanejar ecuaciones algebraicas lineales.

Por esta razon, en esta clase estudiaremos las matrices y susoperaciones.

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Topicos




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Representacion de una matriz

MatrizUna matriz consiste en un arreglo rectangular de elementosrepresentado por un solo sımbolo. Por ejemplo, una matriz A lapodemos representar como:

A =

a11 a12 a13 · · · a1ma21 a22 a23 · · · a2m...

......

. . ....

an1 an2 an3 · · · anm

donde

aij designa un elemento individual,El conjunto horizontal de elementos se llama fila,El conjunto vertical de elementos se llama columna,El elemento a23 esta en la fila 2 y la columna 3,Se dice que la matriz A tiene dimension n×m

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Vector fila: n = 1

B =[b1 b2 b3 · · · bm

]Vector columna: m = 1

C =

c1c2c3...cn

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Matriz cuadrada: n = m

Ejemplo de matriz cuadrada de 4× 4

A =

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

La diagonal que contiene los elementos: a11, a22, a33 y a44 se lellama diagonal principal.

Matriz cuadradaLas matrices cuadradas resultan particularmenteimportantes cuando se resuelven sistemas de ecuacionesalgebraicas,El numero de ecuaciones corresponden a las filas,El numero de incognitas corresponden a las columnas.

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Operaciones con matrices

Matrices igualesLa matriz Anm es igual a la matriz Bnm si y solo si, cadaelemento de la matriz Anm es igual a cada elemento de lamatriz Bnm, es decir aij = bij para todo i y j.

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Suma y resta de dos matricesCnm = Anm +Bnm, se obtiene al sumar los terminoscorrespondientes a cada matriz, es decir: cij = aij + bij ,para i = 1, 2, · · · , n y j = 1, 2, · · · ,mCnm = Anm −Bnm, se obtiene al restar los terminoscorrespondientes a cada matriz, es decir: cij = aij − bij ,para i = 1, 2, · · · , n y j = 1, 2, · · · ,m,La suma y la resta solo pueden realizarse entre matricesque tengas las mismas dimensiones.

Propiedades de la suma y resta de matricesLa suma es conmutativa: Anm +Bnm = Bnm +Anm,La resta no es conmutativa: Anm −Bnm 6= Bnm −Anm,La suma es asociativa:(Anm +Bnm) + Cnm = Anm + (Bnm + Cnm),La resta no es asociativa:(Anm −Bnm)− Cnm 6= Anm − (Bnm − Cnm)

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Multiplicacion de una matriz (A) por un escalar (α)

D = αA =

αa11 αa12 αa13 · · · αa1mαa21 αa22 αa23 · · · αa2m

......

.... . .

...αan1 αan2 αan3 · · · αanm

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Multiplicacion de matrices

Cn×l = An×mBm×l

Multiplicacion de matrices

cij =

n∑k=1

aik bkj

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Propiedades de la multiplicacionLa multiplicacion matricial es asociativa: (AB)C = A (BC),La multiplicacion matricial es distributiva:A(B + C) = AB +AC,La multiplicacion matricial no es conmutativa: AB 6= BA

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Matriz inversa

AA−1 = A−1A = I

Matriz inversa de A2×2

A−12×2 =

1

a11a22 − a12a21

[a22 −a12−a21 a11

]

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Matriz transpuesta A4×4

A4×4 =


At4×4 =


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Representacion matricial de un sistema de ecuaciones algebraicas

Sistema de ecuaciones algebraicas

AX = B

donde

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 an3 ann

Bt =

[b1 b2 · · · bn

]Xt =

[x1 x2 · · · xn

]

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Topicos




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Metodo grafico

Dada las ecuaciones:

a11 x1 + a12 x2 = b1a21 x1 + a22 x2 = b2

Despejando en las dos ecuaciones x2, tenemos:

x2 = −(a11a12

)x1 + b1

a12

x2 = −(a21a22

)x1 + b2

a22

Metodo graficoSe puede obtener la solucion al graficar las dos funcioneslineales en coordenadas cartesianas con un eje quecorresponde a x1 y el otro a x2, y se busca el punto deinterseccion.

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Metodo grafico

Ejemplo: Metodo grafico

3x1 + 2x2 = 18−x1 + 2x2 = 2

Despejando en las dos ecuaciones x2, tenemos:

x2 = −32 x1 + 9

x2 = 12 x1 + 1

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Metodo grafico

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Regla de Cramer

DeterminanteDado el sistema de ecuaciones:

AX = B

donde A es la matriz de los coeficientes:

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

El determinante del sistema (de la matriz A) es:

D = Det(A) =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

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Regla de Cramer

Determinante

D =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣D = a11

∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

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Regla de Cramer

Determinante

D = a11

∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣D = a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)

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Regla de Cramer

Regla de Cramer

x1 =

∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣D

x2 =

∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣D

x3 =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣D

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Regla de Cramer

Ejemplo: Aplicacion de la regla de Cramer

0.3x1 + 0.52x2 + x3 = −0.010.5x1 + x2 + 1.9x3 = 0.670.1x1 + 0.3x2 + 0.5x3 = −0.44

En forma matricial:AX = B,

donde

A =

0.3 0.52 10.5 1 1.90.1 0.3 0.5

,Bt =

[−0.01 0.67 −0.44

],

Xt =[x1 x2 x3

].

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Regla de Cramer

Solucion ejemplo: Aplicacion de la regla de CramerDeterminante:

D = a11

∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣D = 0.3

∣∣∣∣ 1 1.90.3 0.5

∣∣∣∣− 0.52

∣∣∣∣ 0.5 1.90.1 0.5

∣∣∣∣+ 1

∣∣∣∣ 0.5 10.1 0.3

∣∣∣∣D = 0.3(−0.07)− 0.52(0.06) + 1(0.05) = −0.0022

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Regla de Cramer

Solucion ejemplo: Aplicacion de la regla de Cramer

x1 =

∣∣∣∣∣∣−0.01 0.52 10.67 1 1.9−0.44 0.3 0.5

∣∣∣∣∣∣−0.0022

=0.03278

−0.0022= −14.9

x2 =

∣∣∣∣∣∣0.3 −0.01 10.5 0.67 1.90.1 −0.44 0.5

∣∣∣∣∣∣−0.0022

=0.0649

−0.0022= −29.5

x3 =

∣∣∣∣∣∣0.3 0.52 −0.010.5 1 0.670.1 0.3 −0.44

∣∣∣∣∣∣−0.0022

=−0.04356−0.0022

= 19.8

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La eliminacion de incognitas

Eliminacion de incognitas para un sistema de 2× 2

a11 x1 + a12 x2 = b1a21 x1 + a22 x2 = b2

Multiplicando la primera ecuacion por a21Multiplicando la segunda ecuacion por a11

a11a21 x1 + a12a21 x2 = b1a21a21a11 x1 + a22a11 x2 = b2a11

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Restando y despejando x2:

x2 =a11b2 − a21b1a11a22 − a12a21

Finalmente, sustituyendo la solucion de x2 en la primeraecuacion, tenemos:

x1 =a22b1 − a12b2a11a22 − a12a21

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Observe que esta respuesta es equivalente a la solucion dadapor Regla de Cramer

x1 =

∣∣∣∣ b1 a12b2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ =a22b1 − a12b2a11a22 − a12a21

x2 =

∣∣∣∣ a11 b1a21 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ =a11b2 − a21b1a11a22 − a12a21

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Ejemplo: Sistema de 2× 2

3x1 + 2x2 = 18−x1 + 2x2 = 2

Solucion:x1 =

(2)(18)− (2)(2)

(3)(2)− (2)(−1)= 4

x2 =(3)(2)− (−1)(18)(3)(2)− (2)(−1)

= 3

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