UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN HUMANAS Y

TECNOLOGICAS

CARRERA DE BIOLOGIA QUÍMICA Y LABORATORIO

ASIGNATURA

ALGEBRA

TEMA:

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

SEMESTRE:

SEGUNDO

PROFESORA:

ING. NARCISA SANCHEZ

ESTUDIANTES:

CARRILLO CARLA

LLAMUCA JACQUELINE

MERINO ALEXIS

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales.  Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno.  Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.

DescripciónSon ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1. 

Definición:  Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero. 

SISTEMA DE ECUACIONES CUADRATICAS

Ejemplos:  x2 - 9 = 0;  x2 - x - 12 = 0;  2x2 - 3x - 4 = 0 La condición de que a es un número diferente deceroenla definición asegura que exista el término x2 en la ecuación.  Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuacióncuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver.  En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.  

Factorización:

 

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero.  Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores.  Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Ejemplos para discusión en clase:  Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización: 1)  x2 - 4x = 02)  x2 - 4x = 123)  12x2 - 17x + 6 = 0 Nota:  No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros.  Por eso tenemos que conocer otros métodos.  

Raíz cuadrada:

 

Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación. Propiedad   de la   raíz   cuadrada:   Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a :

 Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada: 1)  x2 - 9 = 02)  2x2 - 1 = 0

3)  (x - 3)2 = -8  

Completando el cuadrado: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto  cuando conocemos los primeros dos.   Esto es, trinomios de la forma:  x2 + bx + ? Regla   para   hallar   el   último   término   de x 2   +   bx   + ?:    El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio.   Esto es;  el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primerostérminos son x2 + bx  es :

  Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfectoaun lado.  Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado: 1)  x2 + 6x + 7 = 02)  x2 – 10x + 5 = 03)  2x2 - 3x - 4 = 0  

Fórmula cuadrática:

 La solución de una ecuación ax2 + bx +c con a diferente decero está dada por la fórmula cuadrática:

La expresión:

 

Conocida como el discriminante determina el número yel tipo de soluciones.  La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones yel tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.  

Valor de:Tipo de solución

positivo dos soluciones realescero una solución realnegativo dos soluciones imaginarias

  Ejemplos para discusión en clase:  Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática: 1)  x2 + 8x + 6 = 02)  9x2 + 6x + 1 = 03)  5x2 - 4x + 1 = 0 Nota:  Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática. Práctica:  Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: 1)  x2 - x - 20 = 0    (por factorización)2)  x2 - 8 = 0           (por raíz cuadrada)3)  x2 - 4x + 5 = 0   (completando el cuadrado)4)  9x2 + 6x = 1      (fórmula cuadrática) 

Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:

forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas .

El conjunto de ecuaciones:

forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.

Por ejemplo,

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2  (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas. 

El sistema de ecuaciones   es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).

Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:

Método de sustitución

Lo que debemos hacer:

1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

3.- Resolver la ecuación resultante.

4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.

Ejemplo:

Resolver

Se despeja x en la segunda ecuación:

x = 8 – 2y

Se sustituyen en la primera ecuación:

3(8 – 2y) – 4y = – 6

Operando:

24 − 6y − 4y = − 6

24 – 10y = – 6

− 10y = − 6 − 24

− 10y = − 30

Se resuelve:

y = 3

Se sustituye este valor en la segunda:

x  + 2(3) = 8

x + 6 = 8

x = 8 – 6 = 2

Solución del sistema:

x = 2, y = 3

Método de reducción

Lo que debemos hacer:

1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos.

2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.

3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.

4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

Resolver

Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x . Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra  (la y ).  Luego hacemos lo mismo con la y .

Se elimina la x :Se elimina la y :

Ver: PSU: Matemática.

Método de igualación

Lo que debemos hacer:

1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

Resolver

 

Despejamos x en la primera ecuación:

Despejamos x en la segunda ecuación:

x = –1 – 2y

Igualamos ambas expresiones:

 :Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:

x = 3 + 2(−1)

x = 3 − 2

x = 1

Solución del sistema:

x = 1, y = –1

Otro ejemplo:

Resolver, por el método de igualación, el sistema

 

Despejamos Por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

 

Igualamos ambas expresiones:

 Luego, resolvemos la ecuación:

 

Sustituimos el valor de y , en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x :