Sistema de ecuaciones lineales

Profesora: L.E.S. Gemma Hernández Escobar

Escuela Secundaria General «Justo sierra Méndez»

Matemáticas

3° grado

«Álgebra»

«Sistema de

Ecuaciones

Lineales»

Sistemas de Ecuaciones

Se llama Sistemas de Ecuaciones a unconjunto de dos o más ecuaciones que

tienen idénticas soluciones, es decir, que las

soluciones satisfacen a cada una de las

ecuaciones dadas.

Sis

tem

a d

e E

cu

ac

ion

es:

La solución de un sistema de ecuaciones

requiere de tantas ecuaciones

independientes como incógnitas se tengan

por determinar; así un sistema de ecuacionesde primer grado con dos incógnitas,

constará de dos ecuaciones independientes;

de igual forma un sistema de ecuaciones

con tres incógnitas, constará de tresecuaciones independientes,…

Sis

tem

a d

e E

cu

ac

ion

es:

Resolver un sistema de ecuaciones lineales

con dos incógnitas, significa determinar los

valores de las incógnitas que generalmente

son « x » y « y » que satisfacen a cada

ecuación del sistema.

El proceso consiste en eliminar una de las dos

incógnitas, dando lugar a una ecuación linealcon una incógnita; una vez determinado el

valor de una de las incógnitas, se sustituye en

cualquiera de las ecuaciones del sistema,

obteniéndose el valor de la otra incógnita.


Los principales métodos de solución para

éste sistema de ecuaciones lineales con dosincógnitas son:

Mé

tod

os

de

So

luc

ión

:

Método de Adición o Sustracción

(Reducción)

Método de Igualación

Método de Sustitución

Método Gráfico


El Método de Suma y Resta consiste en

modificar las ecuaciones del sistema dado,de tal manera que se igualen en valor

absoluto los coeficientes en una de las

incógnitas y tenga signos contrarios, por lo

que al sumarse algebraicamente las

ecuaciones se eliminan una de las incógnitasdando lugar a una ecuación lineal con una

incógnita que es fácil de resolver.

Mé

tod

os

de

Re

du

cc

ión

:


Procedimiento:M

éto

do

s d

e R

ed

uc

ció

n:


a) Se multiplican los miembros de una o de las

dos ecuaciones por una cantidad

constante apropiada para obtener

ecuaciones equivalentes que tengan igual

coeficiente para una de las incógnitas.

b) Por suma o resta se elimina una de las

incógnitas.

c) Se resuelve la ecuación lineal resultante.

d) Se sustituye el valor determinado en

cualquiera de las ecuaciones originales

para encontrar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo:M

éto

do

s d

e R

ed

uc

ció

n:


2x + 3y = 8

4x + y = 6

2x + 3y = 8

4x + y = 6

( -1 )

( 3 )

-2x - 3y = - 8

12x + 3y = 18

10 xDividiendo

x = 10

10

x = 1

2 x + 3y = 8

2 + 3y = 8( 1 )

2 + 3 y = 8

3 y = 6

Restando

Dividiendo

x = 3

6

x = 2

3 y = 8 - 2= 10

Procedimiento:M

éto

do

s d

e I

gu

ala

ció

n:


a) Se despeja la misma incógnita en cada una

de las ecuaciones del sistema dado.

b) Se igualan entre sí las expresiones

obtenidas, consiguiendo eliminar una de las

incógnitas y dando lugar a una ecuación

con una incógnita.

c) Se resuelve la ecuación de primer grado

resultante.

d) Se sustituye el valor determinado en

cualquiera de las ecuaciones originales

para encontrar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo:M

éto

do

s d

e I

gu

ala

ció

n:


2x + 3y = 8

4x + y = 6

2x + 3y = 8

3 y = 8 - 2x

Restando

Dividiendo

y = 3

8 – 2x

4x + y = 6

y = 6 - 4x

Restando

3

8 – 2x

y = y

= 6 – 4x Multiplicando

8 – 2x = ( 6 – 4x )3

8 – 2x = 18 – 12x

- 2x + 12x =

Restando

Sumando

18 - 8

10 x = 10 Dividiendo

x = 10

10

x = 1

Continuación:

Mé

tod

os

de

Ig

ua

lac

ión

:


y = 6 - 4x

y = 6 - 4( 1 )

y = 6 - 4

y = 2

Solución:

x = 1

y = 2

Procedimiento:M

éto

do

s d

e S

ust

itu

ció

n:


a) Despejar en cualquiera de las ecuaciones del

sistema una de las incógnitas en términos de la

otra.

b) Se sustituye la expresión para la incógnita

despejada en la otra ecuación que no se ha

utilizado, se obtiene una ecuación con una

incógnita.

c) Se resuelve la ecuación de primer grado

resultante.

d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera

de las ecuaciones originales para encontrar el

valor de la otra incógnita, también se sustituye

en la expresión de la primera incógnita

despejada, obteniéndose el valor de la otraincógnita, ambos procesos conducen al mismo

resultado.

Ejemplo:M

éto

do

s d

e S

ust

itu

ció

n:


2x + 3y = 8

4x + y = 6

4x + y = 6

y = 6 - 4x

Restando

2x + 18 – 12x = 8

- 10 x =

Restando

8 - 18

- 10 x = - 10 Dividiendo

x = - 10

- 10

x = 1

2x + 3 ( 6 – 4x ) = 8

y = 6 - 4x

y = 6 - 4( 1 )

y = 6 - 4

y = 2

Ejercicios:

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

lineales utilizando cualquiera de los métodos

vistos:

Sis

tem

a d

e E

cu

ac

ion

es:

8x - 9y = 7

3x + 2y = 8a)

Ecuaciones Lineales

6a + 5b = - 8

-3a + 4b = 17b)

3x + 2y = 13

5x + 4y = 23c)

Tarea:

Resuelve los siguientes problemas, planteando

un sistema de ecuaciones lineales y dale

solución por todos los métodos vistos:

Sis

tem

a d

e E

cu

ac

ion

es:

Ecuaciones Lineales

1. Adrián tiene 25 animales, entre borregos y

pavos. Un día se da cuenta de que las patas

de todos ellos suman 72. ¿cuántos borregos y

cuántos pavos tiene?

2. La suma de 2 números es 150 y su diferencia es

de 30, ¿cuáles son los números?

3. La suma de 2 números es 15 y su diferencia es

de 3, ¿cuáles son esos números?

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