Dr. Luis Paihua 1En la fabricacin de tres tipos de automviles. Se requieren tres clases de materiales (metal, plstico y caucho). Para producir cada automvil se necesita (en kg):160 42 1900 3120 33 1700 2100 25 1500 1Caucho Plstico Metal AutoSi disponemos de 106,2.17,8.2 toneladas respectivamente de cada material, cuntos automviles se pueden producir?Dr. Luis Paihua 2Al interpretar las condiciones dadas, si llamamos x=(x1, x2, x3) las cantidades de automviles de cada tipo que se producen, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:((((

=((((

2 . 817 . 2106160 120 10042 33 251900 1700 1500xDr. Luis Paihua 3TIPOS DE MTODOS para resolver un S.E.L.DIRECTOSSe obtiene la solucin exacta (si no se realizan redondeos) en un nmero finito de pasosITERATIVOSSe genera una sucesin de soluciones aproxima-das que converge hacia la solucin del sistemaDr. Luis Paihua 4NORMA MATRICIAL||.|

\|==EFxEFxAxASup0F E A :Dr. Luis Paihua 5( )FxEFAx ASupE1 ==Cuando E=F es comn tomar la misma norma, en el dominio como en el rango de A.Notaciones:1 , 1 1A A =2 , 2 2A A= =,A ADr. Luis Paihua 6===nij in ja AMax1,,..., 11== =njj in ia AMax1,,..., 1Norma del valor absoluto:Norma infinita:Dr. Luis Paihua 7 MaxA de p vA. .) ( =) (2A A At =Norma Espectral:Norma Euclidiana:Dr. Luis Paihua 8NMERO DE CONDICIN DE UNA MATRIZA1) (= A A A Condx A b r x x e = = ,brA CondxebrA Cond) () (1s sDr. Luis Paihua 9((((

=160 120 10042 33 251900 1700 1500A((((

=130 / 7 13 / 1 1300 / 3260 / 31 13 / 5 650 / 11300 / 87 65 / 22 1625 / 31A448152323 . 2 , 01697624 . 32 , 534871 . 1658 . . p v5 . 677 ) ( ~ A CondSolucin exacta: 10,20,30Dr. Luis Paihua 10SISTEMA TRIANGULARINFERIOR(((((

=(((((

(((((

n n nn n nbbbxxxa a aa aa 21212 122 211100 .. 00 0n iax a bxabxiiijj ij ii , 2) (111111====Dr. Luis Paihua 11SISTEMA TRIANGULARSUPERIOR(((((

=(((((

(((((

n n nnnnbbbxxxaa aa a a 21212 221 12 110 .. 0 0001 , 1) (1 ===+ =n iax a bxabxiini jj ij iinnnnDr. Luis Paihua 12Sea A una matriz de orden n, la submatriz que se forma tomando las primera k filas y columna de A se denotar por Ak,k. Llamamos MENORES PRINCIPALES de A, al determinante de la matriz Ak,kk=1, 2, ...,nSi una matriz A tiene todos sus menores principales distintos de cero entonces existe una matriz L triangular inferior y una matriz R triangular superior que verifica: A=LRFACTORIZACIN LRDr. Luis Paihua 13Una matriz A se dice que es diagonal dominante si verifica la siguiente condicin:n i a ai jij ii, , 1 , = >=Toda matriz diagonal dominante es no singular y tiene una factorizacin LRDr. Luis Paihua 14Notacin:A de i fila Ai -A de j columna Aj -El procedimiento consiste en aplicar secuencialmente el par de operaciones matriciales ==- - -- - -k k kk k kL hallar para A LRR hallar para A R LDr. Luis Paihua 15= == =n i r a ln j a ri ij j, , 2, , 111 1 11 1Valores iniciales:n i lii, , 1 1 = =Dr. Luis Paihua 16+ === ===n k irr l aln k j r l a rkkkppn ip ikikkppj kp kj kj,.., 1,...,1111n k ,..., 2 =Dr. Luis Paihua 17Halle la descomposicin LR de la matriz y resolver Ax=bA242 61 1106 3851126713|

\|||||.= b43 41 9|

\|||||.=Dr. Luis Paihua 18FACTORIZACIN QR111--- =AAQjjjbbQ=-jtk kjjkkj k j jA Q r r Q A b- -=- -= =,11n j , , 2 =Dr. Luis Paihua 19Halle la descomposicin QR y resolver Ax=bA11 11511 526 087537|

\|||||.= b91 1115|

\|||||.=Dr. Luis Paihua 20ELIMINACIN SIMPLE DE GAUSSAplicacin ordenada de las operaciones elementales entre las filas de la matriz aumentada, con el objetivo de escalonar dicha matriz. Las operaciones que pueden realizarse son: intercambiar dos filas,sumar a una fila un mltiplo de otra fila.En el sistema Ax=b sea la matriz aumentada:| |i n in jn ij i bb a a A = =++ ==1 ,1 ,.., 1,.., 1,

Dr. Luis Paihua 21Paso 0: u=1 (ida)Paso 1 : Llamamos a la fila u, fila pivote fu y pivote P=au,u(al elemento de la fila u que se encuentra en la diagonal de la matriz A ( la modificada en los pasos) .Paso 2: Si P=0 buscar el 1er elemento diferente de cero que est en la columna u y debajo P, sea t dicha fila luego se intercambia la fila u con la fila t, y se prosigue con el paso 3.Paso 3: Se eliminan los elementos que se encuentran debajo del pivote P, mediante las operaciones elementales, el algoritmo es:Dr. Luis Paihua 22n u k fPaf fuu kk k,..., 1 ,+ = ,..., 11 ,..., ,,, ,n u kn u taPaa at uu kt k t k+ =+ = Paso 4: incrementar u en una unidad, si es menor a n continuar con paso 1, si es n se termin con la fase de escalonar, el sistema triangular se resuelve con el algoritmo siguiente (regreso):Dr. Luis Paihua 23i ini tt t i n iin nn nnax a axn iaax,1, 1 ,,1 ,1 ,..., 1 + =++= = =Dr. Luis Paihua 24b43 41 9|

\|||||.= A242 61 1106 3851126713|

\|||||.=Resolver Ax=b siendo:Dr. Luis Paihua 25ITERACIN LINEALC MX Xk k+ =+ ) ( ) 1 (La sucesin de vectores X(k)converge sii (M)