Sistema de Medida Angulae 2

PRE TALENTOS

PROFESOR. HUGO QUISPE VELÀSQUEZ

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

1. ANGULO TRIGONOMÉTRICO.

Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.

L.I.: Lado inicialL.F.: Lado Final

1.1 CONVENCIÓN :Angulos PositivosSi el rayo gira en sentido Antihorario

Angulos NegativosSi el rayo gira en sentido horario.

Ejemplo:

Nótese en las figuras: “” es un ángulo trigonométrico de

medida positiva. “x” es un ángulo trigonométrico de

medida negativa. Se cumple: x=-

Observación:a) Angulo nulo

Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero.

b) Angulo de una vuelta

Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez.

c) Magnitud de un ángulo

Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo.

2. SISTEMAS ANGULARES

Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada, para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición.

2.1 Sistema Sexagesimal

Su unidad ángular es el grado sexagesimal(1º); el cual es equiva-lente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta.

1 º= 1V360 1V = 360º

Equivalencias:

1º=60’ 1’=60’’ 1º=3600’’

L.I.

L.F

x

00

0

1V

1

0

-1V

3V

El ángulo mide 3 vueltas

-2V

El ángulo mide -2 vueltas

3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V3V

-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V-2V

PRE TALENTOS


2.2 Sistema CentesimalSu unidad angular es el grado centesimal (1g), el cual es equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta.

1g= 1V400 1V= 400g

Equivalencias:

1g=100m 1m=100s 1g=10000s

2.3 Sistema Radial o Circular o InternancionalSu unidad es el radian, el cual es un ángulo que subtiene un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva.

1 rad=1V2π 1V=2rad 6,2832

NotaComo = 3,141592653... Entonces:

π≃3 ,1416≃227

≃√10≃√3+√2

3. CONVERSION DE SISTEMASFactor de Conversión Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes.

Magnitudes angulares equivalentes

1 vuelta : 1 v 360º=400g=2rad

Llano : 1/2v 180º=200g=rad

Grados : 9º =10g

Ejemplos: Convertir a radianes la siguiente

magnitud angular =12ºResolución:

Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: =15ºResolución:

Convertir a sexagesimal la sgte. magnitud angular: =40g

Hallar: E=1 º

1 '+ 1g

1m+ 9 º

5g

Resolución:

Hallar: a+b sabiendo

π8rad=aºb '

Resolución:

2

A

B

r

1 radr

r

0

mAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1radmAOB=1rad

PRE TALENTOS


Si : aº b’ c” = 3º40’30”+2º50’43” Determine: “a + b + c”

4. FORMULA GENERAL DE CONVERSIONSean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números.

De la fig. Sº = Cg = Rrad ... (1)

Además 180º = 200g = rad ... (2)

Dividiendo (1) entre (2) tenemos:

S180

= C200

=Rπ

Fórmula particulares:

S9= C

10

S180

=Rπ

C200

=Rπ

Siendo S, C y R lo conocido, calcular:

E=√ C+SC−S

+√C+2SC−S

+√C+6 SC−S

Determine un ángulo en radianes si se cumple:

SC

=C+205

Las medidas en los sistemas sexagesimal , centesimal y radial de un ángulo verifica:

S+C+R=95+ π4

Calcular la medida radial de dicho ángulo.

3

0 RradCgSº

Fórmula o Relación de

Conversión

Sexagesimal y Centesimal

Sexagesimal y Radian

Centesimal y Radian

PRE TALENTOS


EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Simplificar la expresión:

E =

a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 83

2. Determinar la medida de un ángulo en radianes, tal que verifique la siguiente condición:

a) π/2 b) π/3 c) π/4d) π/5 e) π/6

3. Calcular: J.C.C.H.

Si: 68g <> JCºCH’

a) 6 b) 12 c) 24d) 30 e) 22

4. Hallar el valor de “m” si:

a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 19

5. Hallar el valor de “k” en:

3C – 2S = k(C – S)

a) 6 b) 12 c) 18d) 20 e) 24

6. Si:

π64rad=xºy ' z} {¿

Calcular el complemento de (x + y - z)º

a) 80º b) 81º c) 85ºd) 82º e) 54º

7. Simplificar: E=aºb ' + bºa'

(a+b )'

a) 60 b) 61 c) 120

d) 121 e) 180

8. La medida de los ángulos iguales de un triángulo isósceles son (6x)º y (5x+5)g. Calcular el ángulo desigual en radianes.

a)

2π5rad

b)

3π5 c)

4 π5rad

d)

π10rad

e)

π5rad

9. Siendo S y C lo convencional de un ángulo para el cual se cumple:

5S+3C=1g2m

2m+ 1 º 12'

3 'Hallar el número de grados sexagesimales.

a) 10 b) 81 c) 72d) 9 e) 18

10. Reducir: E= 1g

10m+ 1º

3 '+1m

2s

a) 10 b) 40 c) 50

4

PRE TALENTOS


d) 70e) 80

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Convertir a radianes 30º

a)

π3 b)

π4 c)

π6

d)

π12 e)

π15

2. Convertir a centesimales

3π10 rad.

a)40g b) 60g c) 70g

d)30g e) 45g

3. Si :

2π5rad=ab º

Determine √a+b

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Calcular :

E=60g−4 ºπ

18rad

a) 2 b) 5 c) 25d) 15 e) 10

5. Del gráfico. Hallar : “x”

a) 1 b) 2 c) 3

d)

12 e)

32

6. La diferencia de dos ángulos

suplementarios es π5 rad.

Determine el mayor de ellos.

a) 100º b) 106º C) 108ºd) 112º e) 116º

7. Determine : “m”; si :

(5m+3) º=7π20

rad

a) 7 b) 9 c) 12d) 18 e) 20

8. Si:

π24

=aºb'

Determinar :E=√6−2a

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

1. Convertir a radianes 80g

a)

π6rad

b)

5π12

radc)

2π5

d)

3π4 e)

2. Convertir a centesimales 54º

a) 50g b) 60g c) 70g

d) 72g e) 56g

3. Del gráfico hallar x

a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 81

4. Simplificar :

E=42g+ π

15rad+2 º

π18rad

a) 2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 10

5. Determine “a + b + c”, si:3π4rad=abcº

a) 7 b) 9 c) 11

5

PRE TALENTOS


d) 12 e) 13

6. Dos ángulos suman

5π12

rad y se

diferencian en 30g. Determinar el mayor de ellos

a) 47º b) 51º c) 53º d) 60º e) 65º

7. En un cuadrilátero los ángulos internos están en proporción a los números 2, 3, 5 y 8. Determine el menor de ellos a) 20º b) 40º c) 60º d) 80º e) 100º

8. Determinar ( π5 +18 º

10g )o

en radianes

a)

π15rad

b)

π20 c)

π25

d)

π30 e)

π45

9. Calcular :

E= aº+bº(a+b ) '

a) 30 b) 60 c)

130

d)

160 e) 3600

10. Determine (a+b-c)º en radianes si:aºb’c” = 3º30’30”+4º40’40”

a)

π10rad

b)

π20 c)

π30

d)

π15 e)

π5

11. Determine

aba+c

, si:

aºb’c” = 2º45’50ª + 1º35’20”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. Señalar verdadero (V) o falso (F):I. 180º<>II. 1º<>1g

III. 1g<>360º

A) VVV B) VVF C) VFF

D) VFV E) FFF

13. Simplificar: A) 4 B) 6 C) 10D) 12 E) 14

14. La medida del ángulo desigual en un

triángulo isósceles es

π5rad

. Hallar la medida de uno de los ángulos iguales.A) 60g B) 70g C) 75g

D) 80g E) 85g

15. Los ángulos de un triangulo son: 48º ;

80g ; y

xπ6 rad

Hallar: “k”A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

16. En un triángulo rectángulo sus ángulos

agudos se diferencian en

π3rad

. Hallar la medida del menor ángulo agudo.A) 5º B) 10º C) 15ºD) 20º E) 25º

17. Calcular el valor de: siendo S y C lo convencional para una medida angular.A) 18 B) 17 C) 15D) 16 E) 14

18. Calcular: S , C y R lo convencional para una medida angular

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

19. Calcular el valor de la expresión:

A=

π3S+20R

π4C−10 R

A) 5 B) 4 C) 3

6

PRE TALENTOS


D) 2E) 1

20. Calcular el suplemento de un ángulo en grados sexagesimales:

S3+C

2=40

A) 120º B) 130º C) 140ºD) 135º E) 155º

21. De la relación:

kπ12rad<>50g+30 º

Hallar: “K”A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

22. De la relación: (5n+1)º <> (6n-2)g

Hallar: “n”A) 1 B) 2 C) 5D) 7 E) 9

23. La suma de dos ángulos es

1000g

9 y

su diferencia es

π3rad

. Hallar la medida del menor de los ángulos en grados sexagesimales.A) 80º B) 45º C) 30ºD) 20º E) 15º

24. Calcular : RS+R

180+π+ C+R

200+π=1

A) rad B) /2rad C) /3radD) /5rad E) /4rad

11. Calcular la medida de un ángulo en radianes si:

C−S2

+ 5 Rπ

=10

S, C y R son números convencionalesA) /3rad B) 2/3rad C) radD) /5rad E) /7rad

12. Si: aºb’c” = 5º48’23” + 6º25’40”

Calcular: √a+b+c−4

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

25. El doble del número de grados sexagesimales excede al número de grados centesimales de un mismo ángulo en 16. Determine el número de radianes de dicho ángulo

A)

π5 B)

π4 C)

π10

D)

π7 E)

2π7

26. Convertir 780’ a grados sexagesimales

A) 10º B) 11º C) 12º

D) 13º E) 15º

27. Simplifique

A=

π5rad+18 º

60g

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

28. Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales de un mismo ángulo es igual a 3.Determine el ángulo en el sistema radial.

A)

3π20 B)

5π20 C)

3π10

D)

7π20 E)

9π20

29. Si :

2S+C2S−C

=40 R Calcule “R”

Siendo S,C y R lo convencional

A)

580 B)

980 C)

1180

D)

1380 E)

780

7

PRE TALENTOS


30. Calcular el valor de A, siendo S y C lo convencional

A) 17 B) 18 C) 19D) 20 E) 21

8

Sistema de Medida Angulae 2

Documents

Transcript of Sistema de Medida Angulae 2