SISTEMA DE NUMERACIN DECIMALValor posicional o valor relativo(V.R)Descomposicin de un nmero.

SISTEMA DE NUMERACIN DECIMALLos nmeros naturales son los que usamos para contar y forman un conjunto infinito, un conjunto que no se acaba. Esto lo simbolizamos con puntos suspensivos que indican que esta coleccin sigue de la manera indicada, es decir sumando uno cada vez:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, , 86, 87, 88, ..., 399, 400, 401,...,1273, 1274, 1275, ...

Para escribir los nmeros naturales usamos el sistema de numeracin decimal. Recordemos cmo funciona. Necesitamos diez smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Estos nmeros se llaman dgitos y se combinan para escribir otros nmeros.Si los objetos que contamos son nueve o menos usamos los dgitos para expresar esa cantidad. Si los objetos que contamos son ms de nueve, formamos grupos de diez en diez, llamados decenas. Anotamos cuntas decenas armamos y cuntas unidades sobraron, en ese orden

Por ejemplo, si tenemos treinta y siete soles escribimos s/. 37, es decir: tres grupos de diez, y siete unidades.Observa el siguiente esquema:

37 = Por ejemplo, si tenemos trescientos ochenta y cuatro soles escribimos s/. 384, es decir: tres grupos de cien, ocho grupos de diez, y cuatro unidades, como se muestra en el siguiente esquema:

384 =

Por ejemplo, si tenemos dos mil novecientos cuarenta y ocho soles escribimos s/. 2948, es decir dos grupos de mil, nueve grupos de cien, cuatro grupos de diez, y ocho unidades.

1000

1000 2 9 4 810010010010010010010010010010

101010

Nosotros usamos el sistema de numeracin decimal o de base 10 ya que cada 10 unidades de un determinado orden forman una unidad del orden superior.

El sistema de numeracin decimal es posicional ya que cada cifra tiene un valor relativo que depende de su posicin dentro del nmero.

Este sistema lo dieron a conocer los rabes al ejercer el comercio en todo el mundo, pero se tienen registros de que se invent en la India. As pues, nuestro sistema de numeracin decimal y posicional recibe tambin el nombre de "Sistema de numeracin Indo-Arbigo".

VALOR POSICIONAL O VALOR RELATIVO (V.R) DE UNA CIFRACuando escribimos un nmero de varias cifras, por ejemplo: 42874, cada cifra tiene un valor relativo que depende del lugar que ocupa. Veamos:Nos indica el n de unidadesNos indica el n de unidadesNos indica el n de unidadesNos indica el n de unidadesNos indica el n de unidades4 2 8 7 4V.R = 4V.R = 8 x 100 = 800V.R = 2 x 1 000 = 2000V.R = 4 x 10 000 = 40 000V.R = 7x 10 = 70

DESCOMPOSICIN DE UN NMEROTodo nmero se puede expresar como la suma de los valores relativos de sus cifras.Ejemplo:Descomponer los siguientes nmeros, sumando los valores relativos de sus cifras:a) 42874 = 40 000 + 2 000 + 800 + 70 + 4b) 5036 = 5 000 + 0 + 30 + 6c) 742507 = 700 000 + 40 000 + 2 000 + 500 + 0 + 7

Cuando la descomposicin se realiza expresando los valores relativos en potencias de 10, se llama descomposicin polinmica.

a) 42874 = 4(10)4 + 2(10)3 + 8(10)2 + 7(10)1 + 4(10)0b) 5036 = 5(10)3 + 0(10)2 + 3(10)1 + 6(10)0c) 742507 = 7(10)5 + 4(10)4 + 2 (10)3 + 5(10)2 + 0(10)1 + 7(10)0

Observa las descomposiciones del nmero 87 264 383. En el cuadro de doble entradaNmeroDMUMcmdmumCDU

87 26438387264383

Valor relativo800000007000000200000600004000300803

D. polinmica8 x (10 )77 x(10 )62 x(10 )56 x(10 )44 x(10 )33 x(10 )28 x(10 )13

ACTIVIDAD REFORZADORA DE LAS CAPACIDADES MATEMTICASRAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIN

1) Exprese cada uno de los siguientes nmeros como la suma de los valores relativos de sus cifras.a) 674 403 =.b) 2314587 =.c) 1547892 = d) 6479312 = e) 9731468= .

2) Descomponer polinmicamente cada uno de los siguientes nmeros:a) 59 886 =.........................................................................................b) 789456123 =...c) 321456789 = ..d) 64973258 = .e) 25143679 = . 3) Indicar el valor relativo (V.R) del mayor y menor dgito de los siguientes nmeros:a) 164 352 =.. ; ... b) 284937 = . ....c) 314697 = . ....d) 976531 = .. ......e) 147369 = .. ......

4) Indicar el valor relativo de las cifra resaltadas en los siguientes nmeros: 63424 5180 =

7946130973 =

1346799510 =

654821973 =

197354692 =

5) Completa los cuadros de doble entrada con los datos que faltan.NmeroDMUMcmdmumCDU

698 701

Valor Relativo

D. Polinmica

NmeroDMUMcmdmumCDU

6 874 578

Valor Relativo

D. Polinmica

NmeroDMUMcmdmumCDU

97 865 412

Valor Relativo

D. Polinmica

Escribe en los recuadros: Literalmente los nmeros en base 10 y escribe 5 numeros. DescripcinRepresentacin literalnmeros

Nmeros de dos cifras en base 10ab10; 11; 97; 98; 99

Nmeros de tres cifras en base 10

Nmeros de cuatro cifras en base 10

Nmeros de cinco cifras en base 10

SISTEMAS DE NUMERACIN EN BASES 2;3;4;5;6;7;8;9; NPrincipales sistemas numeracinPrincipio de la base y otros principiosLectura de nmeros en cualquier baseRepresentacin literal de nmerosNumero CapicaDescomposicin polinmica.Cambios de base

Principales sistemas de numeracinNOMBRE DEL SISTEMABASECIFRAS DISPONIBLESCIFRA MAXIMA

Binario20; 1.1

Terciario30; 1; 2.2

Cuaternario40; 1; 2; 3.3

Quinario50; 1; 2; 3; 4.4

Senario60; 1; 2; 3; 4; 5.5

Heptanario70; 1; 2; 3; 4; 5; 6.6

Octanario80; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.7

Nonario90; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.8

Decimal100; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.9

Undecimal110; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;

Duodecimal120; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;;.

Principio de la baseLa base de un sistema de numeracin es un nmero natural mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior.

En el sistema de Base 2 se usan dos smbolos (0; 1) y 2 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

En el sistema de Base 3 se usan tres smbolos (0; 1; 2) y 3 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

En el sistema de Base 4 se usan cuatro smbolos(0; 1; 2; 3) y 4 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior, y as sucesivamente; luego en la Base n se usaran n smbolos (1; 2; 3; 4;;(n-1))

Para todos los sistemas de numeracin la ms alta cifra que posee es una unidad menor a la base, es decir: (n-1) Otros principio que debemos recordarEn todo sistema de numeracin se utiliza la cifra 0.La mayor cifra disponible en un sistema de numeracin es la base menos uno, es decir: (n-1) En el sistema de base n se utilizan n0 cifras o smbolos.Por convenio en los sistemas de numeracin cuyas bases son mayores que la base 10, se representan a las cifras 10; 11; 12;.; por las letras griegas:; ; respectivamente.Ejemplo Duodecimal:Cifra ceroCifra mxima 12 cifrasBase 12: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ;.

Lectura y Escritura de nmeros en cualquier baseBASENOMBREESCRITURA DE NUMEROLECTURA DE NUMERO

2Binario100101(2)Uno, cero, cero, uno, cero, uno; en base dos

3Terciario210121(3)Dos, uno, cero, uno, dos, uno; en base tres

4Cuaternario13201(4)Uno, tres, dos, cero, uno; en base cuatro

5Quinario32401(5)Tres, dos, cuatro, cero, uno; en base cinco

6Senario450123(6)Cuatro, cinco, cero, uno, dos, tres; en base seis

7Heptanario36501(7)Tres, seis, cinco, cero, uno; en base siete

8Octanario374015(8)Tres, siete, cuatro, cero, uno, cinco; en base ocho

9Nonario58701(9)Cinco, ocho, siete, cero, uno; en base nueve

10Decimal689012(10)Seiscientos ochenta y nueve doce

11Undecimal4301(11)Cuatro, tres, alfa, cero, uno; en base once

12Duodecimal6102(12)Seis, alfa, uno, cero, beta, dos; en base doce

DESCOMPOSICIN POLINMICA DE UN NMERO EN CUALQUIER BASE.La descomposicin polinmica es la suma de los valores relativos de las cifras que forman el nmero, expresados como una potencia de la base. El resultado de esta descomposicin es el valor equivalente del nmero en base 10.Ejemplo:

467 = 4. + 6.10 + 7

51043(6) =5. + 1. + 0. + 4.6 + 3

28931=2. + 8. + 9. + 3.10 + 1

aaabba (4)=a. + a. + a. + b. + b.4 + a

342(7) =3. + 4.7 + 2

DESCOMPOSICIN POLINMICA POR BLOQUES:Consideremos el nmero abcdef(n) = a. + b. + c.+ d. + e.n + fAgrupamos en bloques de 2 (de dos en dos)abcdef(n) = (a. + b. ) + (c.+ d.) + (e.n + f) = (a.n+ b) . + (c.n + d) . + (e.n + f)

abcdef(n) = ab(n). + cd(n). + ef(n)

Agrupamos en bloques de 3abcdef(n) = a. + b. + c.+ d. + e.n + f = (a. + b. + c.) + (d. + e.n + f) = (a. + b. + c) + (d. + e.n + f)

abcdef(n) = abc(n). + def(n)

Luego:En la descomposicin por bloques, cada bloque, se multiplica por la base elevado a un exponente igual al nmero de cifras que quedan a la derecha del bloque considerado. abcdefg(n ) = ab8n). + cde(n). + fg(n)

CAMBIOS DE BASE1 CASO: DE BASE (N) A BASE (10)El procedimiento que sigue puede ser la descomposicin polinmica o el mtodo de Ruffini.Convertir 236(8) al sistema decimal.

Por descomposicin Polinmica

236(8=2 (8)2+3(8)+6

=2(64)+24+6

=128+30

=158

Por el mtodo de Ruffini.236

816152

219158

1588

78198

(6)(3)2

Por divisiones sucesivas2 CASO: DE BASE (10) A BASE (N)El procedimiento que se sigue es de divisiones sucesivas.

3 CASO: DE BASE (N) A BASE (M)En este caso, primeo se pasa a base decimal y luego a la base deseadaBase (n) Base (10) Base(m)

Expresar 236(8) en base 5236(8) a base 10 Por descomposicin Polinmica o Ruffini

236(8=2 (8)2+3(8)+6

=2(64)+24+6

=128+30

=158

1585

08315

(3)(1)65

(1)1

1113(5)

Representacin literal de los nmerosCuando no se conocen los valores de las cifras que simbolizan a un nmero, esta se representa con letras minsculas, teniendo en cuenta las siguientes observaciones:I. Las letras diferentes no necesariamente representan a cifras diferentes, salvo que se indique.II. Las letras iguales si representan a cifras iguales.III. Toda extensin entre parntesis representa a una cifra.IV. La cifra de mayor orden debe ser diferente de cero.V. Para que un nmero este correctamente escrito, toda cifra siempre debe ser un nmero natural menor que la base.

Numero capicaSon aquellos nmeros cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. O tambin son aquellos nmeros que se leen igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

ACTIVIDAD FORTALECEMOS NUESTRAS CAPACIDADES MATEMTICAS

Indicador: Identifica sistemas de numeracin, descompone nmeros en diferentes bases y aplica cambios de base.1) Completa en los cuadros de doble entrada a) Descompone nmeros: Valor relativo, descomposicin polinmicaNmeroDMUmiCMDMUMCDU

6874578

Valor relativo

Desc.. Polinmica

b) Identifica sistemas de numeracin en diferentes bases, nombre, cifras disponibles.BASENOMBRE DEL SISTEMACIFRAS DISPONIBLES

2Binario01

Terciario012

40123

Quinario

6

Heptanario

8

9Nonario

10

11

12

Escribe en los recuadros: Literalmente los nmeros en diferentes bases y escribe 5 ejemplosDescripcinRepresentacin literalnmeros

Nmeros de dos cifras en base 7

ab(7)

Nmeros de tres cifras iguales en base 6

Nmeros de cuatro cifras en base 7, que comienza con4

Nmeros de tres cifras consecutivas en base 10

Descompn polinmicamente los nmeros en diferentes basesNmerosDescompn Polinmicamente

28574

3254(6)

211021(3)

Aaabbm(8)

3254(6)

211021(3)

Escribe en el recuadro como se lee un nmero en cualquier base.BASENMEROLECTURA

10328Trescientos veintiocho

548736

25687

210110

542132

12729

En el cuadro: Responda las preguntas 1) Para descomponer un numero de base n a base 10 se pueden descomponer por.

2) La mayor cifra disponible en un sistema de numeracin es base menos uno. Por qu?

3) En todo sistema de numeracin se utiliza la cifra cero, por qu?

4) En el sistema de base n se utilizan n cifras o smbolos por qu?

5) Un nmero de varias cifras, por ejemplo 65872, cada cifra tiene un valor relativo que depende de la posicin que ocupa por qu?

Resuelve aplicando los casos cambios de baseDe base (n) a base (10)Proceso de desarrollo

Convertir 3516(8) a base 10

De base (10) a base (n)

Convertir 8516a base 7

De base (n) a base (m)

Convertir 32136(7) a base 5

Halla la cifra desconocidaexpresinProceso de desarrollo

aab(4) = 23

abbc(6) = 2345(7)

35 (x) + 24(x) =60(x)