Para trabajar con los nios el sistema de numeracin decimal se debe considerar que se presentan dos grandes retos:

La comprensin de un conocimiento principalmente social como lo son las reglas que rigen nuestro sistema de numeracin y, fundamentalmente el lgico-matemtico como lo es la adicin y, posteriormente, las dems operaciones fundamentales.Estos conocimientos poseen naturalezas diferentes y, por lo tanto, requieren una manera tambin distinta de abordar su enseanza.El conocimiento social es arbitrario. As, nuestro sistema de numeracin podra haber tomado de base a otros nmeros como en efecto a lo largo de la historia muchas culturas lo hicieron. De este modo, sistemas como el binario, quinario, sexagesimal y vigesimal han dejado rastros que permanecen en la actualidad, por lo tanto no es nica forma de representar nmeros sino como parte de un conjunto mayor que incluya otras maneras de representacin, muchos adultos consideran que usamos el sistema de numeracin decimal porque es ms fcil trabajar con nmeros redondos, es decir, que terminan en cero. Ignoran que dicha ventaja no es privativa del sistema decimal sino que es inherente a cualquier sistema de numeracin posicional sea cual sea su base.

En el trabajo los nios deberan tener 1. La oportunidad de ejercitarse en agrupaciones diferentes a diez describiendo sus resultados, por ejemplo, con el uso de configuraciones y 2. en una etapa posterior, comprender y trabajar con las equivalencias entre las diferentes unidades que en este proceso se obtengan Usamos el sistema decimal porque los primeros hombres usaron los dedos de sus manos para contar. Cmo crees que contaban? La pregunta anterior, formulada a un auditorio de nios har surgir en ellos el planteamiento de mltiples hiptesis, fomentar su creatividad, el intercambio de ideas entre sus pares y permitir al docente reconocer que tipo de saberes traen sus nios a la escuela.

Si estamos de acuerdo en que el ser humano construye su conocimiento, la idea de que podra existir un paralelismo entre la manera en que los nios lo construyen hoy y la manera en que la humanidad lo construy a travs de la historia debera dejar de ser solo una conjetura apasionante y convertirse en la idea fundamental que gue el desarrollo de la prctica docente. Cmo contaban nuestros antepasados cantidades que excedan con creces la cantidad de dedos de sus manos? Cmo contaban, por ejemplo, los pastores a sus ovejas? El estudio de la numeracin se torna ms significativo si se relaciona su aprendizaje con la historia de la Matemtica.La idea de nmero y la accin de contar viene desde la prehistoria, cuando ellos convertan su vida de nmade en sedentaria, dedicndose a la agricultura, la ganadera, es as que surgi la necesidad de marcar sus pertenencias, para as evitar las discusiones, peleas. Probablemente cada animal era identificado con una piedra, de modo que coincida la cantidad de piedras con la cantidad de animales que tena, si sobraba alguna piedra significaba que faltaba un animal.

La importancia el de cuidar sus animales era que cada animal significaba alimento para seguir viviendo

Una vez establecida la idea de nmero surge la necesidad de inventar nombres y smbolos para representar dichos nmeros. A travs del tiempo surgieron diversos sistemas de numeracin, una de las primeras ideas utilizadas para representar los nmeros de manera ms breve fue la agrupacin, en la cual un smbolo representa un grupo de nmeros, los antiguos egipcios agrupaban los nmeros de 10 en 10. No se consideraba el valor posicional, el nmero se poda escribir de deferente manera como vemos en el ejemplo, el valor de cada smbolo no cambiaba al variar su posicin

El sistema numrico maya fue uno de los primeros en utilizar al mismo tiempo el principio posicional y el cero.

Los mayas contaban con los dedos de manos y pies, por eso sus primeros nmeros iban del 0 al 19. El sistema maya era vigesimal, El uno seguido de cero significa 20

La mayora de los sistemas de numeracin cada nmero tena siempre el mismo valor, estuviera donde estuviera situado.Pero en el sistema hind no: exista un lugar para las unidades, las decenas, las centenas... Tenan un smbolo para cada nmero, del 1 al 9. Para calcular no tenan problemas sin la existencia del Cero, pues usaban un tipo de baco dibujado en la arena, en el que mediante bolitas situadas en surcos alineadas, iban anotando cantidades. Ah podan dibujar una cantidad como 509, dejando un surco central vaco: 5 bolitas para centenas, un vaco para las decenas y 9 bolitas para unidades.

El problema surga al escribirlas: No tenan signo para el surco vaco! Qu hicieron? Pues se inventaron el smbolo del vaco, el 0, que en hind significa eso, vaco. Ejemplo de representacin del 29 en diferentes sistemas de numeracin:

Con el desarrollo del comercio se impulsa el desarrollo de la Matemtica, donde presenta una gran dificultad representar grandes nmeros. Cuando se trata de conjuntos de gran magnitud es necesario recurrir a la accin de hacer grupos para encontrar solucin al problema. Se agrupan las unidades en conjuntos primarios que contienen una cantidad conocida de ellas. Luego se agrupan estos primarios en otros secundarios, segn un mismo principio y as sucesivamente. El hind-arbigo dio origen al sistema de numeracin decimal que usamos en la actualidad.Cada smbolo o cifra posee dos valores: un valor absoluto relacionado con el signo y un valor relativo que depende de su posicin en el numeral. El cero indica la ausencia de agrupaciones de cierto orden, emplearlo, asegura el valor relativo de las dems cifras.

El sistema de numeracin consta de un nmero finito de smbolos, principios y reglas para combinar esos smbolos que permiten comunicar los nmeros, logrando una economa en su representacin.

En orden a esta economa de la representacin, se considera que tres han sido las innovaciones ms poderosas (Guitel,1975; Ifrah, 1987):

La utilizacin de agrupamientos, que permiti superar la mera notacin por correspondencia uno-a-uno, que es slo la traduccin de una enumeracin que anuncia un grupo de objetos sin implicar para ello el desarrollo de la nocin de cuantificacin. La idea de agrupar las cantidades constituy un primer paso en la economa de la representacin.

La utilizacin del principio de la base, que convirti los agrupamientos en regulares. Este principio permiti superar la dificultad de tener que recordar, para comprender cada nivel de agrupamiento, el principio de agrupamiento utilizado. Los sistemas de base son sistemas de agrupamientos regulares, donde el nmero de elementos que se agrupa es igual al nmero de smbolos utilizados en la escritura.

El valor posicional de las cifras: esta creacin ha sido el principio fundamental para la economa en la notacin numrica, en tanto permiti eliminar en la escritura la representacin de los exponentes de las potencias de la base. Cuando, con nuestro sistema posicional de base diez, escribimos 4627, estamos diciendo: (4 x 10) + (6 x 10) + (2 x 10) + (7 x 100)ESTRUCTURA DEL SISTEMA Y VALOR POSICIONALRecordemos la estructura de las rdenes y clases en el sistema de numeracin decimal

Clase de las unidades de milln Clase de los millaresClase de las unidades

9no Orden 8vo Orden7mo Orden 6to Orden5to Orden 4to Orden 3er Orden 2do Orden 1er Orden

Centenas

de MillnDecenas

de MillnUnidades

de MillnCentenas

de MillarDecenas

de MillarUnidades

de MillarCentenasDecenasUnidades

CMiDMiUMiCMDMUMCDU

100 000 00010 000 0001 000 000100 00010 0001 000100101

108107106105104103102101100

Para construir una unidad decimal y en general un nmero, en un determinado orden, es necesario recurrir aditivamente o multiplicativamente a unidades y nmeros de rdenes anteriores. Por ejemplo, definir la unidad de orden 4 (103) exige recurrir aditivamente o multiplicativamente a las unidades de rdenes 3 (102), 2(10) y 1(100)

Anlogamente, se puede demostrar que la unidad de orden 4 (103) es 100 veces 10 y 1 000 veces 1. En otras palabras, la unidad de orden 4 es una unidad compuesta de unidades de orden 3, las cuales a su vez son unidades compuesta de unidades de orden 2 y 1. El numeral 243 (en el tercer orden), consta de las unidades de rdenes 2 y 1 y nmeros o numerales, veamos

243 = 2C + 4D + 3U

200 + 40 + 3

2 x 100 + 4 x 10 + 3 x 1

2 x 102 + 4 x 101 +3 x 100En el trabajo del valor de posicin una primera consideracin es que existe una gran diferencia que se constituye como problema a la hora de apropiarse del sistema, que refiere a la numeracin oral y la escrita. La primera de ellas tiene una estructura aditiva (20 + 5 = 25) (pensemos en los dieci, los veinti, etc.), en tanto la segunda es polinmica (y posicional), es decir el valor que representa cada cifra se obtiene multiplicando esa cifra por cierta potencia de 10 (735 =7102 + 3101 + 5100 = 700 + 30 + 5).

Basndose en la naturaleza polinmica del sistema, los nios elaboran estrategias tanto para escribir los nmeros, como para operar con ellos.

De la propiedad polinmica se desprenden algunas regularidades. Lerner y Sadovsky (1997) detectaron su importancia en el proceso de aprendizaje, demostrando que aparecen tempranamente y proponen algunas pautas de trabajo: Cobran especial importancia adems de los criterios para ordenar nmeros leyes como los dieces van con dos, los cienes van con tres; despus de nueve viene cero y el otro nmero pasa al siguiente; hay diez nmeros (de dos cifras) que empiezan con uno, diez que empiezan con dos. A su vez, el manejo de esta ltima regularidad por parte de los nios nos muestra la importancia de trabajar con los llamados nudos (potencias de 10 multiplicadas por determinado coeficiente, 10, 20, 100, 1000).

En los sistemas posicionales el cero cumple una funcin esencial ya que cuando forma parte de un nmero de dos o ms cifras plantea, al mismo tiempo la ausencia de elementos y la presencia de una posicin (en 104, la potencia 10 se multiplica por cero, pero a su vez marca que el 1 debe multiplicarse por 102 , 104 = 1 x 102 + 0 x 10 + 4 x 100). Por ello constituye a su vez un problema y un elemento a trabajar (Lerner, D., 1992).El manejo de algunas cantidades como unidades, les permite desarrollar estrategias para descomponer al momento de operar, tales como la vuelta al 5 y vuelta al 10. De esta manera utilizan formas conocidas. Un ejemplo: al resolver 8+2 (mediante la vuelta al 5) descomponen el 8 en 5+3, para luego sumar 2. Esto mismo se ve con el 10. Tambin se aplica con otros nudos mayores, lo que se describe como suma natural, p.ej. 23+42 = 20+40+3+2.

De manera anloga, en el paso a la decena, se compone la decena a partir de la descomposicin previa tomando como base el nmero mayor y formas conocidas. Ej. 8+4 = 8+2+2, donde se descompuso el 4 en 2+2, de manera de aplicar la forma conocida 8+2=10.Constance Kamii en su obra El nio reinventa la aritmtica nos presenta los resultados de estudios realizados sobre el valor de posicin en nios de 4 a 9 aos, establece 5 niveles

Nivel I (4 a 5 aos) Para los nios de este nivel, los guarismos de los nmeros son marcas que estn unidad a los objetos del mundo real en que se encuentran. Por ejemplo, 6 puede representar el canal 6. Nivel II (4 a 5 aos) Los nios tratan de encontrar algn tupo de correspondencia entre los guarismos que han escrito y alguna otra cosa en su papel que pueda ser cuantitativa. Por ejemplo, un nio puede establecer una correspondencia entre los colores usados para escribir guarismos y para dibujar objetos Nivel III (6 a 7 aos) Los guarismos, y especialmente los nmeros de una sola cifra, pueden representar cantidades de los objetos de que se trate. Sin embargo, operan otras ideas al mismo tiempo, que dan como resultado respuestas confusas e incoherentes. La nocin de que los nmeros de una y dos cifras se refieren a cantidades especficas (cardinales) en una entre muchas ideas que no estn completamente diferenciadas. He aqu tres ejemplos:1 Los nmeros de dos cifras no pueden ser diseccionadas en sus cifras constituyentes. El nmero desaparece cuando se descompone en sus partes escritas.2 El 6 de 16 significa la sexta rueda, o todo el nmero 16 significa la decimosexta rueda.

3 El 6 se 16 se refiere a 6 ruedas, pero el 1 del 16 significa un coche ( es decir, seis ejemplares de una cosa, y uno de otra cosa distinta) Nivel IV (7 a 9 aos) Los nmeros enteros de dos cifras significan sistemticamente la totalidad de los objetos presentados, pero cada una de las cifras es transformada en un nmero por derecho propio y es tratado de una de las siguientes maneras:1 El 6 de 16 significa seis objetos, y el 1 de 16 significa un objeto. El hecho de que sobren nueve objetos no tiene importancia para estos nios.

2 El 6 de 16 significa conjunto de seis, y el 1 de 16 conjuntos de un objeto

Nivel V (7 a 9 aos) Cada una de las cifras que conforman un nmero de dos cifras representa cantidades que vienen determinadas por el lugar o posicin que ocupa la cifra. Los mecanismos que conducen a esta compresin del valor de la posicin consisten en una sntesis de tres ideas construidas gradualmente.1 regla de notacin: El 1 de 16 significa 10 porque se escribe en la columna de las decenas.

2 Relaciones numricas parte-todo: El 1 de 16 significa 10 porque 6 y 10 suman 16.

3 Multiplicacin: El 1 de 16 significa 10 porque 1 x 10 = 10.

Estas experiencias muestran que la nocin del valor posicional de las cifras se va construyendo lentamente y que los nios aprenden a escribir nmeros sin ser enteramente conscientes del valor que representa cada cifra. De hecho, los nios saben que cuarenta y dos se escribe con un cuatro y un dos porque los dos nmeros empiezan por la slaba "cua". Son las similitudes de los sonidos las que permiten escribir y leer correctamente nmeros de dos cifras, ms que una correcta interpretacin del nmero en trminos de decenas y unidades.

ESTRATEGIAS METODOLGICAS PARA EL SISTEMA DE NUMERACIN DECIMAL

1. Una propuesta didcticaPrimero el nio debe aprender que el nmero tiene dos contextos de significacin, cardinal y ordinal, y sirve para contar y calcular. Adems debe manejar las decenas en tanto agrupacin de unidades (en 1o) y de centenas como agrupacin de 10 decenas y 100 unidades (en 2o). Para trabajar dentro del contexto cardinal el nio debe agrupar, comparar, aparear, clasificar; manipulando objetos, utilizando el cuerpo, etc., permitindole relacionar lo experimentado con representaciones de un mayor orden simblico.En relacin a los recursos didcticos presentamos la importancia de las colecciones de muestra, el uso de los dedos, de constelaciones como elementos que facilitan la comparacin y la cuantificacin.Se puede trabajar con: canciones en las que se recite parte de la serie numrica; juegos y juegos cancionados en los que se represente parte de la serie numrica con los dedos; caceras de nmeros (buscar cosas que tengan); trabajar con el nmero de la fecha representndolo con los dedos (cmo resolverlo luego del 10 de cada mes?); juegos de agregar; de quitar; ya sea de a uno o ms elementos; trabajar con los nmeros de la clase (cuntos son, cuntos faltaron, cuntas sillas necesitamos, cuntas mesas); utilizar el calendario; trabajo con dados, tetraedros (numerados o con constelaciones), ruletas numricas (con constelaciones numricas o signos arbigos). En varios de estas actividades se pueden plantear problemas, introduciendo trampas didcticas, distractores.Algunos de estos recursos sirven tambin para trabajar en el contexto ordinal. Incluimos algunos especficos: trabajar en coordinacin con la construccin de la nocin de tiempo; seriar acciones; figuras; identificar una cantidad entre otras en una serie numrica oral o escrita; ordenar una serie de nmeros (que en un segundo momento puede ser no correlativa).Para descubrir las funciones de contar y calcular, proponemos actividades y estrategias que deben guiar la prctica a: descubrir regularidades, producir escrituras y otras representaciones, as como interpretarlas, componer y descomponer nmeros. Descubrir leyes del sistema numrico, promover el clculo mental.2. Sugerencias para la aplicacin del material de bloques multibase de Dienes

a) Dar a cada nio la oportunidad de jugar con el material en forma libre, particularmente al comienzo de las actividades.b) Promover la originalidad en la solucin de los problemas y estimular cuando se presente.

c) Procurar que los estudiantes efecten previamente algunos juegos con fichas, dados y otros materiales en los que est presente el principio de valor posicional.

d) Dar a cada nio la ocasin de practicar juegos y ejercicios con bloques diseados para distintas bases.

e) Utilizar fichas de colores y bacos de modo que los estudiantes efecten con ellos actividades semejantes a las que realizan con bloques.

f) No esperar que el tiempo de aprendizaje de un concepto sea el mismo para todos los estudiantes del curso.

g) No identificar rapidez con habilidad de pensamiento.

h) No usar premios o castigos durante la etapa en que el nio trabaja, pues ello interfiere el funcionamiento natural del pensamiento del nio.

i) No introducir un nuevo concepto sin que el nio haya aprendido bien el que lo conducir a ste. (Conceptos puros que los notacionales).

j) No imponer mtodos particulares de solucin o notacin.

k) No apurar el registro escrito de una actividad realizada. Algunos nios necesitan ms experiencias antes de tener algo significativo que anotar.

l) No obligar a un nio a ejercitar un mecanismo que no corresponde.

3. La secuencia oral. Ejemplo de actividades que el docente puede poner en prctica. Nios de 4 y 5 aos.

a. Decir los nmeros a partir de un nmero dado.

b. Pedir a algn nio que diga un nmero, y a partir de ese continuar el recitado. . c. Detenerse ante un nmero dado.

Esto har, que el nio tenga que memorizar el nmero ante el cual debe detenerse y luego recomenzar la serie.

d. Recitar los nmeros en ambos sentidos.

e. Jugar una carrera, cuando los nios estn listos en la lnea de partida, contar 3, 2, 1 y parten.

f. Detectar errores u omisiones en el recitado de otro compaero y de la docente. . Por ejemplo: ante el recitado 1,2,3,5. La docente preguntar, qu nmero falta, cul es el anterior a ese y el que le sigue?. 4. Existen pginas en internet que puede ayudar el trabajo con los nios, as tenemos: Para trabajar en internet centenas, decenas y unidades con material multibase:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2005/34/unidecen.htmlhttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2005/34/etiquetas.html

MDULO: MATEMTICA SESIN 10 SEMESTRE: II 2010

SISTEMA DE NUMERACIN DECIMAL

Referencias Bilbiogrficas:

Monografa sobre didctica de la matemtica, disponible en internet en HYPERLINK "http://www.monografias.com/trabajos25/didactica-de-matematica/didactica-de-matematica.shtml#hacia" http://www.monografias.com/trabajos25/didactica-de-matematica/didactica-de-matematica.shtml#hacia Recuperado el 15 / 01 / 2010

KAMII, Constance (2000) El nio reinventa la aritmtica. Madrid: Aprendizaje Visor

COFR, Alicia (2003) Cmo desarrollar el razonamiento lgico y matemtico. Chile: Editorial Universitaria.

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