Sistema de referencia en el espacio. PUNTOS, RECTASiesaricel.org/javierpl/Archivos/Bac2cn/2Bto_Tema...

PUNTOS, RECTAS

Y PLANOS

EN EL ESPACIOEN EL ESPACIO

2º Bachillerato

SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO

Un sistema de referencia para el plano consiste en el conjunto R = {O, {i , j , k}}

formado por:

- Un punto fijo O, llamado origen.- Una base {i , j , k}

→ →

→ →

Sistema de referencia en el espacio.

→

→

→k

→j

O

P

→OP

(a , b ,c)

→

a i

→

b j

→OP =

→p =

→i

→

c k

P

(a , b ,c)

APLICACIONES DE LOS VECTORES

Coordenadas del vector que une dos puntos.

→→

i

→a

A (x1,y1, z1 )

B (x2,y2,z2)

→b

→AB

→

k→

j→

i O

→OA + AB = OB

→ →

→AB = OB – OA = (x2 , y2 , z2) – (x1 , y1 , z1) = (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 − z1)

→ →

→AB = (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 −z1)

Coordenadas del vector que une dos puntos.

Ejemplo:

Hallar las coordenadas de PQ y de QP sabiendo que P(–5 , 3 , 2) y Q(7 , 1 , −3)→ →

→PQ = (7 , 1 , −3) – (–5 , 3 , 2) = (12 , –2 , −5)


→QP = (–5 , 3 , 2) – (7 , 1 , −3) = (–12 , 2 , 5)

Condición para que tres puntos estén alineados.

Los puntos A(x1 , y1 , z1), B(x2 , y2 , z2) y C(x3 , y3 , z3) están

alineados siempre que los vectores AB y BC sean paralelos. Es decir,

cuando sus coordenadas son proporcionales:

→

2 1 2 1 2 1x x y y z z

x x y y z z

− − −= =

− − −

→


3 2 3 2 3 2x x y y z z− − −

→AB = OB – OA = (x2 , y2 , z2) – (x1 , y1 , z1) = (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 − z1)

→ →

→BC = OC – OB = (x3 , y3 , z3) – (x2 , y2 , z2) = (x3 – x2 , y3 – y2 , z3 − z2)

→ →

2 1 2 1 2 1

3 2 3 2 3 2

x x y y z z

x x y y z z

− − −= =

− − −

Comprobar si los puntos A(5,–1,–4), B(3,3,2) y C(2,5,5) están

alineados.

Ejemplo:

( )AB 2,4,6 = −

��

Condición para que tres puntos estén alineados.


( )

( )

AB 2,4,62 4 6

1 2 3BC 1,2,3

= − −

→ = =−

= −

��

Como las coordenadas son proporcionales, los puntos están

alineados.


Punto medio de un segmento.

→a

A (x1,y1,z1)

B (x2,y2,z2)

→b

M (m, m’,m’’)

→m

→AB = 2 AM

→

(x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1) = 2(m – x1 , m’ – y1 , m’’ – z1)→

j→

i O

→

k

( )

( )

( )

2 1 2 1 1 2 11

2 1 1

2 1 2 1 1 2 12 1 1 1

2 1 12 1 2 1 1 2 1

1

x x x x 2x x xm x

2 2 2x x 2 m xy y y y 2y y y

y y 2 m ' y m ' y2 2 2

z z 2 m '' z z z z z 2z z zm '' z

2 2 2

− − + + = + = =

− = − − − + +

− = − → = + = =

− = − − − + + = + = =

1 2 1 2 1 2x x y y z zM , ,

2 2 2

+ + + =

Ejemplo: Hallar el punto medio del segmento de extremos:

A(7 , –1 , 4), B(1 , 5 , –3)

→a

A(7 , –1 , 4)

B(1 , 5 , –3)

M (m , m’ , m’’)

7 1 1 5 4 3 1+ − + −


aB(1 , 5 , –3)

→b

→m

7 1 1 5 4 3 1M , , 4,2,

2 2 2 2

+ − + − = =

→

j→

i O

→

k


Simétrico de un punto respecto de otro.

→a

A (x , y , z)

A’ (x’ ,y’ , z’)

→a’

P (α , β , γ)

→p

x x '

2

y y '

2

z z '

+ α =

+

β =

+ γ =

→

k→a’

z z '

2

+ γ =

x ' 2 x

y ' 2 y

z ' 2 z

= α −

= β − = γ −

→

j→

i O

k


Simétrico de un punto respecto de otro.

Ejemplo: Hallar el punto simétrico del punto A(7 , 4 , −2) respecto

de P(3 , –11 , 7).A(7 , 4 , −2)

A’ (x’ ,y’ , z’)

P(3 , –11 , 7)

7 x '3

2 x ' 14 y '

11 y ' 26 A ' ( 1, 26,16)2

z ' 162 z '

72

+ =

= − +

− = → = − → = − − = − +

=

A’ (x’ ,y’ , z’)

ECUACIONES DE LA RECTA

Ecuación vectorial de la recta.

→p

P

X

→d

X

→x

x p d= + λ��

→

j→

i O

→

k


Ecuaciones paramétricas de la recta.

x p d= + λ��

(x, y, z) (p ,p ,p ) (d ,d ,d )= + λ

→p

P (p1 , p2 , p3)

X (x , y , z)

→d (d1 , d2 , d3)

1 2 3 1 2 3(x, y, z) (p ,p ,p ) (d ,d ,d )= + λX (x , y , z)

→x

→

j→

i O

→

k

1 1

2 2

3 3

x p d

y p d

z p d

= + λ

= + λ = + λ


Ecuación de la recta en forma continua.

→p

P (p1 , p2 , p3)

X (x , y , z)

→d (d1 , d2 , d3)

11 1

1

22 2

2

x px p d

d

y py p d

d

y p

−= + λ → λ =

−

= + λ → λ = −

X (x , y , z)

→x

→

j→

i O

→

k3

3 3

3

y pz p d

d

−= + λ → λ =

31 2

1 2 3

z px p y p

d d d

−− −= =


Forma implícita de la ecuación de la recta.

→p

P (p1 , p2 , p3)

X (x , y , z)

→d (d1 , d2 , d3)

31 2

1 2 3

z px p y p

d d d

−− −= =

( )

( )2 1 2 1 1 2d x d y d p d p 0− + − + =

X (x , y , z)

→x

→

j→

i O

→

k

ax by cz d 0

a x b y c z d 0

+ + + =

′ ′ ′ ′+ + + =

( )3 2 3 2 2 3d y d z d p d p 0

− + − + =


Vectorial:

Paramétricas:

x p d= + λ��

1 1

2 2

3 3

x p d

y p d

z p d

= + λ

= + λ = + λ

Implícita:

Continua: 31 2

1 2 3

z px p y p

d d d

−− −= =

ax by cz d 0

a x b y c z d 0

+ + + =

′ ′ ′ ′+ + + =

Ejemplo: Expresar de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa

por A(6 , –1 , 4), y B(–3 , 5 , 7).


Vectorial: x (6, 1, 4) (3, 2, 1) (6 3 , 1 2 ,4 )= − + λ − − = + λ − − λ − λ�

x 6 3 x 6 3= + λ ⋅ = + λ

AB ( 3,5,7) (6, 1,4) ( 9,6,3) (3, 2, 1) d (3, 2, 1)= − − − = − − − → = − −��

�

Paramétricas:

Implícita:

Continua:

( )

y 1 ( 2) y 1 2

z 4z 4 1

= − + λ ⋅ − → = − − λ

= − λ= + λ ⋅ −

x 6 y 1 z 4

3 2 1

− + −= =

− −

2x 3y 9 0

y 2z 9 0

− − + =

− + − =


Ejemplo: Obtener las ecuaciones paramétricas, continuas e implícitas de la recta

que pasa por P(0 , 1 , – 3) y es paralela al vector d(1 , –5 , 0).→


Ejemplo: Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(1 , 7 , 3)

y B(2 , –1 , –8), y obtener otros dos puntos de ella.


Ejemplo: Comprobar si alguno de los puntos A(3,2,−1),

B(−2,17,–1), C(1,5,0) y D(2,8,–1) pertenece a la recta r.

x 3

r : y 2 3

z 1

= − λ

= + λ = −

ECUACIONES DEL PLANO

Ecuación vectorial del plano.

P

X

→u

→v

→λu

→µv

u vλ + µ� �

→p →

x

x p u v= + λ + µ��

O→

j→

i

→

k

v µv


Ecuaciones paramétricas del plano.

→

P

X

x p u v= + λ + µ��

→u

→v

→λu

→µv

u vλ + µ� �

→p →

x

O→

j→

i

→

k

1 2 3 1 2 3 1 2 3(x, y, z) (p ,p ,p ) (u ,u ,u ) (v , v , v )= + λ + µ

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x p u v

y p u v

z p u v

= + λ + µ

= + λ + µ = + λ + µ


Ecuación implícita del plano.

1 1 1

2 2 2

3 3 3

u v x p

u v y p

u v z p

λ + µ = −

λ + µ = − λ + µ = −

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x p u v

y p u v

z p u v

= + λ + µ

= + λ + µ = + λ + µ

Sistema de ecuaciones con tres ecuaciones y dos incógnitas λ y µ.

Para que tenga solución tiene que cumplirse que:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

u v x p

u v y p 0

u v z p

−

− =

−

ax by cz d 0+ + + =


Halla las ecuaciones paramétricas e implícita del plano que pasa por

A(2,3,5), B(1,1,2) y C(3,6,10)

Punto A(2,3,5)

AB ( 1, 2, 3)

AC (1,3,5)

= − − −

=

��

��

x 2

y 3 2 3

z 5 3 5

= − λ + µ

= − λ + µ= − λ + µ

Paramétricas:

Implícita:

1 1 x 2− −− − −

1 1 x 22 3 1 1 1 1

2 3 y 3 0 (x 2) (y 3) (z 5) 03 5 3 5 2 3

3 5 z 5

− −− − −

− − = → − − − + − =− − −

− −

u v ( 1,2, 1) vector normal del plano.

1(x 2) 2(y 3) 1(z 5) 0 x 2y z 1 0

× = − −

− − + − − − = → − + − =

� �

1(x 2) 2(y 3) 1(z 5) 0

x 2y z 1 0

− − + − − − =

− + − =

Implícita:


Ecuación normal del plano.

0P X��

n(a,b,c)�

0 0 0 0P (x , y , z )

X(x, y,z)

0 0 0 0 0n P X n P X 0 (a, b,c) (x x , y y , z z ) 0⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ − − − =��

0 0 0a(x x ) b(y y ) c(z z ) 0− + − + − =


Relación entre la ecuación normal y la implícita del plano.

0P X��

n(a,b,c)�

0 0 0 0P (x , y , z )

X(x, y,z)

0 0 0

0 0 0

a(x x ) b(y y ) c(z z ) 0

ax ax by by cz cz 0

− + − + − =

− + − + − =

0 0 0ax by cz ( ax by cz ) 0

ax by cz d 0

+ + + − − − =

+ + + =

En la ecuación implícita del plano (a,b,c) es un vector normal del plano.


Halla la ecuación implícita del plano que pasa por A(2,3,5), B(1,1,2) y

C(3,6,10)

Punto A(2,3,5)

AB ( 1, 2, 3)

AC (1,3,5)

= − − −

=

��

��

AB AC ( 1,2, 1) vector normal del plano.

1(x 2) 2(y 3) 1(z 5) 0 x 2y z 1 0

× = − −

− − + − − − = → − + − =

�� Implícita:

POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y RECTAS

Recta y plano:

Son paralelos

n�

n�

d�

n d⊥��

Se cortan en un punto

Recta contenida en plano

d�

n�

d�

n ⊥�

d�

n d⊥��

Estudia la posición relativa del plano y recta:

: x 3y 5z 11 0π − + + =

x 3 2

r y 1

z 4 6

= − λ

≡ = − λ = + λ


( )

( )

P 11,0,0:

n 1, 3,5

π

π

π

−�

( )

( )

r

r

P 3,1,4r :

d 2, 1,6

− −�

Por lo tanto la recta y el plano se cortan en un punto. Para calcularlo:

( ) ( )rn d 1, 3,5 2, 1,6 2 3 30 31 0 nπ π⋅ = − ⋅ − − = − + + = ≠ → ⊥��

rd�

( ) ( ) ( )x 3y 5z 11 0 3 2 3 1 5 4 6 11 0 1− + + = → − λ − − λ + + λ + = → λ = −

( )1 P 5, 2, 2λ = − → = −


Paralelos

Dos planos:

Se cortan en una recta

Paralelos

Coincidentes


Dos planos:

ax by cz d 0

a x b y c z d 0

+ + + =

′ ′ ′ ′+ + + =

a b cM

=

a b c dM

′ = M

a b c

= ′ ′ ′

Ma b c d

′ = ′ ′ ′ ′

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ran M ran M 2 Los planos se cortan en una recta.

ran M 1; ran M 2 Los planos son paralelos.

ran M ran M 1 Los planos son coincidentes.

′= = →

′= = →

′= = →

POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

: ax by cz d 0 a b c a b c d

: a x b y c z d 0 M a b c M a b c d

: a x b y c z d 0 a b c a b c d

π + + + = − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′π + + + = → = = − ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′π + + + = −


POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

Estudia la posición relativa de los planos:


Estudia la posición relativa de los planos:

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Sean dos rectas r y s con ecuaciones:

( )

( )

1 2 3

1 2 3

P p ,p , pr :

d d ,d ,d

�

( )

( )

1 2 3

1 2 3

P p , p ,ps :

d d ,d ,d

′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′�

Pueden darse cuatro situaciones:

Coincidentes Paralelas Secantes Se cruzan



( )

( )

1 2 3

1 2 3

P p ,p , pr :

d d ,d ,d

�

( )

( )

1 2 3

1 2 3

P p , p ,ps :

d d ,d ,d

′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′�

P

P′d�

d′�

Si P s Las rectas son coincidentesCaso d d

Si P s Las rectas son paralelas

∈ →′

∉ →

� ��

P

P′

d�

d′�

Si los vectores directores no son paralelos puede ocurrir dos casos:

Caso 1:



( )

( )

1 2 3

1 2 3

P p ,p ,pr :

d d ,d ,d

�

( )

( )

1 2 3

1 2 3

P p ,p , ps :

d d ,d ,d

′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′�

d,d y PP son coplanarios (linealmente dependientes)′ ′��

P

P′

d�

d′�

PP′��

R y s son secantes.

Si los vectores directores no son paralelos puede ocurrir dos casos:

Caso 2:



( )

( )

1 2 3

1 2 3

P p ,p ,pr :

d d ,d ,d

�

( )

( )

1 2 3

1 2 3

P p ,p , ps :

d d ,d ,d

′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′�

d,d y PP no son coplanarios (linealmente independientes)′ ′��

P

P′

d�

d′�

PP′��

R y s se cruzan.


Posición relativa de las rectas:

x 3 5

r : y 2

z 5

= − λ

= + λ = − λ

x 1 10

s : y 4 2

z 2

= + µ

= − µ = µ

( )

( )

P 3, 2,5r :

d 5,1, 1

− −�

( )

( )

P 1, 4,0s :

d 10, 2, 2

′

′ −� ( )PP 2,2, 5′ = − −

��

( )r :

d 5,1, 1

− −�

( )s :

d 10, 2, 2

′ −� ( )PP 2,2, 5= − −

d d′� ��

x 1 10x 1 y 4 z 3 1 2 4 5

s : y 4 2 P s10 2 2 10 2 2

z 2

= + µ− − − −

= − µ → = = → ≠ ≠ → ∉− − = µ

r y s son paralelas.



x 2 3

r : y 3 5

z

= − λ

= + λ = λ

x 1

s : y

z 5

= − µ

= µ =

( )

( )

P 2,3,0r :

d 3,5,1

−�

( )

( )

P 1,0,5s :

d 1,1,0

′

′ −� ( )PP 1, 3,5′ = − −

��

( )r :

d 3,5,1

−�

( )s :

d 1,1,0

′ −� ( )PP 1, 3,5= − −

d��d′�

3 1 1

5 1 3 14 0 Los vectores son linealmente independientes.

1 0 5

− − −

− = ≠ →

r y s se cruzan.



x 2 3

r : y 3 5

z

= − λ

= + λ = λ

x 1

s : y 2

z 5

= − µ

= µ =

( )

( )

P 2,3,0r :

d 3,5,1

−�

( )

( )

P 1,0,5s :

d 1, 2,0

′

′ −� ( )PP 1, 3,5′ = − −

��

( )r :

d 3,5,1

−�

( )s :

d 1, 2,0

′ −� ( )PP 1, 3,5= − −

d��d′�

3 1 1

5 2 3 0 Los vectores son linealmente dependientes.

1 0 5

− − −

− = →

r y s son secantes.


POR RANGOS.

( )

( )

1 2 3

1 2 3

P p ,p , pr :

d d ,d ,d

�

( )

( )

1 2 3

1 2 3

P p , p ,ps :

d d ,d ,d

′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′�

1 1

2 2

3 3

d d

M d d

d d

′ ′= ′

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

d d p p

M d d p p

d d p p

′ ′ − ′ ′ ′= − ′ ′ −

( ) ( )d d y P s ran M ran M 1 r y s coincidentes′ ′∈ ⇔ = = ⇔� �� ( ) ( )d d y P s ran M ran M 1 r y s coincidentes′ ′∈ ⇔ = = ⇔�

( ) ( )d d y P s ran M 1;ran M 2 r y s paralelas′ ′∉ ⇔ = = ⇔� ��

d�� ( ) ( ) ( )d y det d,d ,PP 0 ran M ran M 2 r y s se cortan′ ′ ′ ′= ⇔ = = ⇔

��

d�� ( ) ( ) ( )d y det d,d ,PP 0 ran M 2;ran M 3 r y s se cruzan′ ′ ′ ′≠ ⇔ = = ⇔

��


x 3 5

r : y 2

z 5

= − λ

= + λ = − λ

x 1 10

s : y 4 2

z 2

= + µ

= − µ = µ

( )

( )

P 3,2,5r :

d 5,1, 1

− −�

( )

( )

P 1,4,0s :

d 10, 2,2

′

′ −� ( )PP 2,2, 5′ = − −

��

POSICIONES RELATIVAS POR RANGOS

( )r :

d 5,1, 1

− −�

( )s :

d 10, 2,2

′ −� ( )PP 2,2, 5′ = − −

r y s son paralelas.

5 10

M 1 2

1 2

−

= − −

5 10 2

M 1 2 2

1 2 5

− − ′ = − − −

( )

( )

ran M 1

ran M 2

=

′ =


x 2 3

r : y 3 5

z

= − λ

= + λ = λ

x 1

s : y

z 5

= − µ

= µ =

( )

( )

P 2,3,0r :

d 3,5,1

−�

( )

( )

P 1,0,5s :

d 1,1,0

′

′ −� ( )PP 1, 3,5′ = − −

��


( )d 3,5,1− ( )d 1,1,0′ −

3 1 1

5 1 3 14 0

1 0 5

− − −

− = ≠

r y s se cruzan.

3 1

M 5 1

1 0

− −

=

3 1 1

M 5 1 3

1 0 5

− − − ′ = −

( )

( )

ran M 2

ran M 3

=

′ =


x 2 3

r : y 3 5

z

= − λ

= + λ = λ

x 1

s : y 2

z 5

= − µ

= µ =

( )

( )

P 2,3,0r :

d 3,5,1

−�

( )

( )

P 1,0,5s :

d 1,2,0

′

′ −� ( )PP 1, 3,5′ = − −

��


( )r :

d 3,5,1

−�

( )s :

d 1,2,0

′ −� ( )PP 1, 3,5= − −

r y s son secantes.

3 1 1

5 2 3 0

1 0 5

− − −

− =

3 1

M 5 2

1 0

− −

=

3 1 1

M 5 2 3

1 0 5

− − − ′ = −

( )

( )

ran M 2

ran M 2

=

′ =

HAZ DE PLANOS PARALELOS HAZ DE PLANOS PARALELOS

Ejemplo:

Dado el plano π : 2x − y + z − 3 = 0 , escribe la expresión de un plano

paralelo a él.

Todos los planos paralelos al plano π : 2x − y + z − 3 = 0 pueden

expresarse mediante la ecuación 2x − y + z + d = 0 .

Para elegir uno de ellos, únicamente hay que dar un valor fijo a d.

Por ejemplo:

d = 2→ el plano π’ : 2x − y + z + 2 = 0 es paralelo al plano π

d = −4→ el plano π’’ : 2x − y + z − 4 = 0 es paralelo al plano π

HAZ DE PLANOS DE BASE UNA RECTA.

r

El haz de planos de base la recta r es el

conjunto de todos los planos que contienen

a la recta r. Sea r:

ax by cz d 0r :

a x b y c z d 0

+ + + =

′ ′ ′ ′+ + + =

La ecuación del haz de planos es:La ecuación del haz de planos es:

( ) ( )ax by cz d a x b y c z d 0′ ′ ′ ′α + + + + β + + + =

Y simplificada dividiendo por α ≠ 0 (Ojo: falta el segundo plano de r):

( ) ( )ax by cz d a x b y c z d 0

a x b y c z d 0

′ ′ ′ ′+ + + + λ + + + =

′ ′ ′ ′+ + + =

HAZ DE PLANOS SECANTES

HAZ DE PLANOS DE BASE UNA RECTA.Utiliza el haz de planos de base una recta para hallar la ecuación del

plano que contiene a r y pasa por P(1 , 2, 3)

2x y z 3 0r :

x y z 2 0

+ − + =

+ + − =

La ecuación del haz de planos es (x + y + z −2 = 0 no es la solución)La ecuación del haz de planos es (x + y + z −2 = 0 no es la solución)

( ) ( )2x y z 3 x y z 2 0+ − + + λ + + − =

Como P está en el plano:

( ) ( )2 2 3 3 1 2 3 2 0 4 4 0 1+ − + + λ + + − = → + λ = → λ = −

( ) ( ): 2x y z 3 x y z 2 0 : x 2z 5 0π + − + − + + − = → π − + =

Sistema de referencia en el espacio. PUNTOS, RECTASiesaricel.org/javierpl/Archivos/Bac2cn/2Bto_Tema...

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