TEMA 22. REPRESENTACION EN SISTEMA DIEDRICOINDICE: 1. Fundamentos del Sistema Didrico 1.1.- Cdigos habituales de Notacin 2. Representacin del punto 2.1.- Alfabeto del punto 3. La recta 3.1.- Tipos de rectas. 4. El plano 4.1.- Formas de definir un plano 4.2.- Alfabeto del plano 5. Intersecciones 5.1.- Interseccin de dos planos 5.1.1.- Mtodo para hallar puntos de la interseccin de dos planos y 5.1.2.- Interseccin de dos planos proyectantes 5.1.3.- Interseccin de un plano cualquiera 1- 2 con otro paralelo a la lnea de tierra 1- 2. 5.1.4.- Interseccin de dos planos paralelos a la lnea de tierra (1er mtodo). 5.1.5.- Interseccin de dos planos paralelos a la lnea de tierra (2 mtodo). 5.1.6.- Interseccin de un plano cualquiera 1- 2 con otro perpendicular al segundo plano bisector 1- 2. 5.1.7.- Interseccin de los planos 1- 2 y 1- 2. 5.2.- Interseccin de una recta cualquiera con un plano. 6. Paralelismo 6.1.- Rectas paralelas entre s. 6.2.- Rectas paralelas a un plano. 6.3.- Rectas paralelas. 7. Perpendicularidad 7.1.- Recta perpendicular a un plano. 7.2.- Recta perpendicular a un plano que est definido por dos rectas cualesquiera. 7.3.- Plano perpendicular a una recta. 7.4.- Rectas perpendiculares entre s., 7.5.- Planos perpendiculares entre s.

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8. Distancias 8.1.- Distancia entre dos puntos. 8.1.1.- Distancia entre dos puntos si estos estn en distintos diedros. 8.2.- Distancia de un punto a una recta. 8.3.- Distancia de un punto a un plano. 8.4.- Distancia entre dos rectas paralelas. 8.5.- Distancia entre dos planos paralelos. 9.- Abatimientos 9.1.- Abatimiento de un punto. 9.1.1.- Abatimiento de un punto sobre el horizontal 9.1.2.- Abatimiento de un punto sobre el vertical. 9.1.3.- Abatimiento de un punto sobre un plano paralelo a uno de los de proyeccin. 9.2.- Abatimiento de una recta 9.2.1.- Abatimiento de una recta en diedrico 9.3.- Abatimiento de un plano 9.3.1.-Abatimiento de planos proyectantes 9.4.- Abatimiento de una figura plana 10.- Principios generales de representacin 10.1.- Vistas necesarias de una pieza 10.2.- Denominacin de las vistas 10.3.- Posiciones relativas de las vistas 10.4.- Eleccin de las vistas 10.4.1.- Vistas particulares 10.4.2.- Vistas auxiliares simples 10.4.3.- Vistas auxiliares dobles 10.4.4.- Vistas locales

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SISTEMA DIEDRICO.I.-FUNDAMENTOS DEL SISTEMA DIEDRICO.El sistema didrico de representacin surge por la necesidad de representar elementos tridimensionales en el papel, formato de dos dimensiones. En el sistema didrico el espacio queda dividido en cuatro partes iguales, por medio de dos planos perpendiculares entre s, llamados plano de proyeccin VERTICAL y plano de proyeccin HORIZONTAL. Estos dos, como cualquier par de planos que no presenten la particularidad de ser paralelos entre s, se cortarn en una recta, recta conocida por LINEA DE TIERRA (LT).

De modo que el espacio debido ha estos dos planos queda dividido en cuatro partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de DIEDRO CUADRANTE. Adems de estos dos planos existen otros dos, no menos importantes, que dividen los diedros mencionados en dos partes iguales. Estos planos forman 45 con los planos de proyeccin y se cortan entre ellos y a los planos de proyeccin en la LT. De este modo nuestro sistema queda dividido en ocho partes iguales a las que llamaremos OCTANTES, y a los dos nuevos planos causantes de esta segunda divisin planos BISECTORES.

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Lo expuesto hasta el momento nos da una visin del sistema de representacin en el espacio. Pasemos, pues a continuacin a representarlo al plano, para ello tendremos que abatir el plano de proyeccin horizontal sobre el plano de proyeccin vertical utilizando como eje de giro la propia LT. De este modo, quedar como nico elemento de referencia la LT.

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En ocasiones, es necesario realizar una tercera vista o proyeccin del elemento que estamos representando para su total definicin y comprensin, esta proyeccin se realiza sobre un tercer plano de proyeccin denominado plano de PERFIL.

1.1.- CODIGOS HABITUALES DE NOTACIN.La LT se representar en el presente trabajo mediante una lnea llena fina con dos segmentos bajo sus extremos. La nomenclatura del punto a travs de letras maysculas, diferenciando si se trata de una proyeccin horizontal (mediante el subndice 1 ()), de una proyeccin vertical( mediante el subndice 2 ()) o de una tercera proyeccin, la de perfil( mediante el subndice 3 ()). La nomenclatura de las rectas mediante letras minsculas, diferenciando como en el caso del punto si se trata de una proyeccin horizontal, vertical o de perfil mediante los subndices 1, 2 y 3 respectivamente. Para la nomenclatura del plano utilizaremos el alfabeto griego en minscula, diferenciando como en los dos casos anteriores las tres proyecciones mediante los subndices 1, 2 y 3.

2.-REPRESENTACIN DEL PUNTO.El sistema didrico de representacin consiste en obtener las distintas proyecciones de un elemento, en este caso un punto, mediante la proyeccin de haces proyectantes perpendiculares a los planos de proyeccin. De modo que proyectando perpendicularmente el punto A sobre el plano de proyeccin Horizontal obtendremos la proyeccin horizontal del punto A (A 1). Repitiendo la misma operacin sobre el plano de proyeccin vertical obtenemos la proyeccin vertical del punto A, que es A2 y lo mismo con la tercera proyeccin o de perfil A3.

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El punto A se puede definir mediante las distancias hasta los tres planos de proyeccin: A(d,a,c). La primera coordenada nos indica la distancia al plano de proyeccin de perfil (denominada como distancia), la segunda coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyeccin vertical( denominada alejamiento) y la tercera coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyeccin horizontal (denominada cota).

2.1- ALFABETO DEL PUNTO.Obtendremos ahora en proyeccin las distintas posiciones que puede ocupar un punto en el espacio.

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Caractersticas de los puntos segn los distintos diedros que ocupan: Los puntos situados en el 1er diedro tienen la caracterstica de tener su proyeccin horizontal por debajo de la L.T. o en ella y su proyeccin vertical por encima de la L.T. o en ella. Los puntos situados en el 2 diedro tienen la caracterstica de tener tanto su proyeccin vertical como la horizontal por encima de la L.T. o en ella. Los puntos situados en el 3er diedro tienen la caracterstica de tener su proyeccin horizontal por encima de la L.T. o en ella y su proyeccin vertical por debajo de la L.T. o en ella. Los puntos situados en el 4 diedro tienen la caracterstica de tener tanto su proyeccin horizontal como la vertical por debajo de la L.T. o en ella.

3.- LA RECTA

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La proyeccin de una recta sobre un plano, es otra recta. Esta recta est formada por la proyeccin de todos los puntos de la recta que se quiere proyectar. Una recta est definida cuando se conocen sus dos proyecciones, horizontal y vertical. Donde la recta corta a los planos de proyeccin, tenemos sus trazas H ( traza horizontal) y V (traza vertical).H 1 es la proyeccin horizontal dela traza horizontal, se la conoce con el nombre de traza horizontal, y la proyeccin vertical de la traza horizontal H2 se encuentra sobre la L.T. Del mismo modo V2 es la proyeccin vertical de la traza vertical de la recta, se le denomina traza vertical y la proyeccin horizontal de la traza vertical V1 est sobre la L.T. De esta forma la proyeccin vertical de la recta r 2 queda definida al unir V2 con H2 y la proyeccin horizontal r1 al unir H1 con V1.

3.1- TIPOS DE RECTASa) Recta horizontal: recta paralela al P.H. todos sus puntos deben de tener la misma cota.

b) Recta frontal: recta paralela al P.V. todos sus puntos deben de tener el mismo alejamiento.

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c) Recta de punta al P.H. es una recta perpendicular al P.H. y slo tiene traza horizontal.

d) Recta de punta al P.V. es una recta perpendicular al P.V. y slo tiene traza vertical.

e) Recta paralela a L.T. sta recta es paralela a los dos planos de proyeccin P.H. y P.V.

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f) Recta de perfil es una recta paralela al plano de perfil ( plano auxiliar).

4.- EL PLANOLas trazas de un plano son los vrtices en los que dicho plano corta a P.H y P.V. Un plano tiene dos trazas: vertical (2) y horizontal (1). Como se indica el figura las dos trazas del plano siempre se han de cortar en un punto y en la linea de tierra.

Para que una recta pertenezca a un plano, es decir est contenida en l, es necesario que la traza vertical de la recta v 2 est sobre la traza vertical del10

plano 2 y del mismo modo la traza horizontal de la recta h1 deber estar sobre la traza horizontal del plano 1.

4.1.-FORMAS DE DEFINIR UN PLANOEn la geometra del espacio un plano lo podemos definir de cuatro formas diferentes: a) Mediante dos rectas que se cortan. b) Mediante tres puntos no alineados. c) Mediante una recta y un punto que no se pertenezcan. En realidad los tres casos anteriores son el mismo. En todos ellos debemos conseguir dos rectas que se corten un un punto, puesto que stas siempre formarn un plano. Partiendo de tres puntos no alineados, bastar con unir los puntos de dos en dos y as obtendremos dos rectas que se cortan en un punto. Partiendo de una recta y un punto que no est contenido en dicha recta, batar con hacer pasar otra recta por el punto dado y por un punto perteciente a la recta dada, obteniendo as el primer caso. Una vez reducidos los casos b) y c) al caso a) bastar con obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales y las verticales de las rectas, para unir entre s las proyecciones

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horizontales de la traza horizontal de las rectas(H1) y obtener as la traza horizontal del plano 1, para obtener la traza vertical 2 del plano deberemos proceder del mismo modo con las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas.

d) Mediante dos rectas paralelas. Obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales de las rectas y unirlas entre s para obtener la traza horizontal del plano. Obtener las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas y unirlas entre s para obtener la traza vertical del plano.

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e) mediante la linea de mxima pendiente de mxima inclinacin. En el sistema didrico tenemos para cada plano dos tipos de lneas de mxima pendiente. Una con respecto al plano horizontal y otra con respecto al plano vertical (denominada tambin LINEA DE MXIMA INCLINACIN). En la figura se muestra un plano y contenida en l una recta m perpendicular a la traza 1. Al proyectar dicha recta sobre el plano horizontal, la proyeccin m 1 ser perpendicular a 1. Esta recta ser l.m.p. del plano con respecto al plano horizontal y cualquier otra recta contenida en el plano formar con el plano horizontal un ngulo menor que sta. En la siguiente figura se muestran las proyecciones de la l.m.p. m (con respecto al plano horizontal) de un plano . La nica condicin que debe cumplir es que la proyeccin m1 sea perpendicular a la traza 1. Cualquier recta paralela a m1 y contenida en el plano ser tambin l.m.p del plano con respecto al plano horizontal.

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En la figura de la derecha se muestra el caso de la l.m.p. con respecto al plano vertical. En este caso m2 es perpendicular a la traza 2.

4.2.-ALFABETO DEL PLANO

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El plano es un plano oblicuo cualquiera. El plano es un plano proyectante horizontal: la proyeccin horizontal de todos los puntos y rectas que contiene coincide con su traza horizontal. El plano es un plano proyectante vertical: las proyecciones verticales de todos sus puntos y rectas que contiene coinciden con su traza vertical. El plano es un plano de perfil.

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El plano es un plano paralelo a la L.T: las trazas que contiene tambin son paralelas a la L.T. Si la cota y alejamiento es diferente existen diversas posiciones. Si la cota y el alejamiento es la misma entonces estaremos ante un plano perpendicular a su bisector. El plano es un plano paralelo al P.V: las rectas y puntos, sus proyecciones horizontales, coinciden con su traza horizontal. Las rectas y puntos en su proyeccin vertical va ha estar en verdadera magnitud. El plano es un plano paralelo al P.H: no existe traza horizontal. La proyeccin vertical coincide con la traza vertical. Las rectas y puntos en su proyeccin horizontal las vemos en verdadera magnitud. El plano es un plano que contiene a la L.T: si la cota y alejamiento del punto es igual pertenece al 1er bisector, en caso de que sea diferente estamos ante un plano que contiene a la lnea de tierra.

5.- INTERSECCIONES5.1.-INTERSECCION DE DOS PLANOSSean dos planos 1- determinar.2

y 1-

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cuya interseccin I vamos a

Elijamos como plano auxiliar el horizontal de proyeccin PH, que al contener las trazas horizontales 1 1 nos da el punto H1H2, de la interseccin, eligiendo as mismo el plano vertical de proyeccin PV, con las trazas verticales 2- 2, obtenemos el punto V1-V2, con lo cual queda definida la interseccin I,16

cuyas proyecciones i1-i2 sern las rectas de unin de las proyecciones homnimas H1V1 y H2V2 respectivamente. 5.1.1.- METODO PARA HALLAR PUNTOS DE LA INTERSECCION DE DOS PLANOS Y . Trazo un plano auxiliar (el ms sencillo posible, paralelo al horizontal o al vertical etc). b) & = r r&s oI & = s a)

5.1.2.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PROYECTANTES

Uno es un plano proyectante horizontal 1 - 2 y el otro proyectante vertical 1- 2. Es indudable que utilizando los planos de proyeccin como planos auxiliares, obtenemos dos puntos de la interseccin buscada, que son sus trazas H1-H2 y V1-V2, pudiendo por tanto anotar la interseccin i1-i2. Como se observa, las proyecciones de esta interseccin se confunden con las trazas de los planos; lo cual concuerda con las caractersticas de los planos en cuestin, que al ser proyectantes tienen la propiedad de que todo elemento que contengan se proyecta segn su traza. 5.1.3.- INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA 1- PARALELO A LA LINEA DE TIERRA 1- 2.2

CON OTRO

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Hallamos las trazas de la recta de interseccin: H1-H2 y V1-V2 que nos determinan i1-i2. 5.1.4.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA (1er. Mtodo). El primer mtodo consiste en apoyarnos en el plano de perfil. Calcular u obtener las trazas de los planos y en el plano de perfil y obtener su interseccin I3. A continuacin deshabatirlo y obtener las rectas I1 e I2.puesto

que ya sabemos de antemano que la interseccin de dos planos paralelos a la lnea de tierra va ha dar una recta I tambin paralela a la L.T. 5.1.5.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA (2 Mtodo).

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El 2 mtodo consiste en utilizar el procedimiento general. Trazamos un plano cualquiera que corta a los planos y . A continuacin trazamos la recta de interseccin del plano con que ser r. Despus trazamos la recta de interseccin del plano con que es s. Estas dos rectas r y s se cortarn en un punto porque pasar la recta I interseccin de los planos y . Sabiendo que dicha recta I debe ser paralela a L.T. la trazamos. 5.1.6.- INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA 1- 2 CON OTRO PERPENDICULAR AL SEGUNDO PLANO BISECTOR 1- 2.

5.1.7.- INTERSECCION DE LOS PLANOS PERPENDICULARES AL 2 PLANO BISECTOR.

1-

2

Y

1-

2

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Al utilizar el plano horizontal de proyeccin, como plano auxiliar, obtenemos el punto H1-H2 y empleando el vertical, el V1-V2, resultando as determinadas las proyecciones de la recta de interseccin I1-I2, recta de perfil que podemos manejar pues conocemos sus puntos.

5.2.- INTERSECCION DE UNA RECTA CUALQUIERA CON UN PLANO

El plano dado lo est por sus trazas P1-P2, y la recta r por sus proyecciones r1-r2. De todos los planos que pudiramos elegir pasando por la recta r, uno de los que nos dan solucin sencilla es el proyectante. Hemos elegido, en este caso, el proyectante vertical 1- 2 que tendr por interseccin con el dado P la recta i1-i2 determinada por los puntos h1-h2 y v1-v2. (i2 confundida con 2 y, por tanto, con r2). Por hallarse en el mismo 1- 2, las rectas r1-r2 e i1-i2 nos dan el punto solucin a1-a2.

6.- PARALELISMO6.1.- RECTAS PARALELAS ENTRE SSi dos rectas r y s son paralelas en el espacio, sus proyecciones homnimas r1,s1 y r2,s2 tambin son paralelas. Recprocamente cuando dos

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rectas tienen sus proyecciones tanto horizontales como verticales paralelas, stas son paralelas en el espacio. Pasar por un punto una recta paralela a otra dada.

Basta con trazar por P2 una recta s2 paralela a r2, y por P1 una recta s1 paralela a r1. Pasar por un punto P1-P2 una recta s1-s2 paralela a otra dada r1-r2, ambas de perfil. No basta con el paralelismo de sus proyecciones verticales y horizontales. Sabemos que la recta s1-s2 paralela a la de perfil r1-r2 ser una recta perpendicular a la L.T. y que pasa por P1-P2, es decir otra recta de perfil, pero no basta con esto, sino que hay que comprobar que ambas rectas tienen la misma inclinacin, y para ello nos vamos a basar en la tercera proyeccin o de perfil. En primer lugar trazamos r3. A continuacin P3. El siguiente paso es trazar por P3 una recta s3 paralela a r3. A continuacin llevamos las trazas V3s y

h3s a la recta s1-s2. Quedando as totalmente definida la recta s1s2 paralela a r1r2.

6.2.- RECTA PARALELA A UN PLANO

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Una recta es paralela a un plano cuando es paralela al menos a una recta contenida en dicho plano. Si la recta no cumple otra condicin hay infinitas soluciones. Trazar por un punto dado P1-P2 la recta paralela a un plano dado ( 1- 2).

Se dibuja una recta r1-r2 cualquiera contenida en el plano . Para que una recta est contenida en un plano las trazas de r1(h1) y la de r2(v2) deben estar en las trazas del plano 1- 2 respectivamente. Una vez hecho esto se traza por P2 una recta s2 paralela a r2 y por P1 una recta s1 paralela a r1. Si hay que trazar por un punto P una recta paralela a un plano definido por dos rectas s y t que se cortan, basta con trazar por el punto dado otra recta r paralela a cualquiera de las dos anteriores.

Si queremos pasar por un punto P un plano ( 1- 2) paralelo a una recta r1-r2 dada, hacemos pasar por el punto una recta s1-s2 paralela a la anterior. Todo plano cuyas trazas pasen por las correspondientes de la recta s1-s2 ser paralelo a r1-r2 hay por tanto infinitas soluciones.

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6.3.-PLANOS PARALELOSAl ser cortados dos planos paralelos por un tercer plano, las rectas de interseccin son necesariamente paralelas entre s. Condicin necesaria y suficiente para que dos planos sean paralelos, es que sus trazas diedricas sean paralelas respectivamente. Trazar por un punto P un plano ( 1- 2) paralelo a otro dado .

Hay que recordar que las horizontales de plano tienen su proyeccin horizontal paralela a la traza horizontal del plano. Segn esto, se pasa por el punto dado P1-P2 la horizontal r1-r2, siendo r1 paralela a 1, la traza vertical de la recta r es el punto v2 y por ste pasa la traza 2, paralela a 2. La traza horizontal paralela a 1 pasa por el punto donde 2 corta a la L.T.

Si los planos son paralelos a la L.T., no basta con el paralelismo de sus trazas homnimas, por lo que para saber si son realmente paralelas en el23

espacio, es necesario hallar la tercera proyeccin y comprobar en ella si sus trazas mantienen el paralelismo. Trazar un plano ( 1- 2) paralelo a otro dado ( 1- 2) (que es paralelo a su vez a la L.T.) por el punto P (P1-P2).

Hay que obtener la tercera proyeccin del plano dado y del punto. En esta proyeccin dibujaremos el plano pedido, paralelo a y pasando por P; por ltimo se vuelve a las proyecciones horizontal y vertical. Si el plano est definido por dos rectas que se cortan r y s, y queremos pasar por un punto P un plano paralelo al anterior, se traza por el punto dado dos rectas m y n, paralelas respectivamente a las anteriores.

7.- PERPENDICULARIDAD7.1.-RECTA PERPENDICULAR A UN PLANOPara trazar por un punto dado una recta perpendicular a un plano: por cada proyeccin del punto se traza la recta perpendicular a la traza homnima del plano. As siendo el punto P y el plano , por P1 perpendicular a 1, y24

por P2 perpendicular a 2. La recta as obtenida es la solucin nica. Si el punto pertenece al plano, deber estar contenido en una horizontal o frontal de dicho plano, de ser exterior a dicho plano se resuelve de forma idntica. Trazando por sus proyecciones las perpendiculares a las trazas, aunque el punto dado ya no sera el de interseccin de la recta y el plano.

7.2.- RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO QUE ESTA DEFINIDO POR DOS RECTAS CUALESQUIERAEl plano dado est definido por las rectas r (r1-r2) y s (s1-s2); el plano 2, paralelo al horizontal de proyeccin, corta al anterior segn la horizontal h1-h2, que pasa por los puntos 1 (1-1) y 2 (2-2). La proyeccin horizontal de la recta buscada es t1, perpendicular por P1 a h1.

El plano 1 paralelo al vertical de proyeccin corta al dado segn la frontal f1-f2 que pasa por los puntos 3(3-3) y 4(4-4). La proyeccin vertical t2 es perpendicular a f2 trazada pro P2. La recta t(t1-t2) es la pedida.

7.3.- PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTATenemos la recta r(r1-r2) y hay que trazar el plano ( 1- 2) perpendicular a ella. Para resolverlo, basta recordar que las trazas sern

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perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta. Por ello, se hace pasar por un punto P1-P2 una recta del plano que se busca y de la cual sabemos la direccin; sta recta es la horizontal h1-h2, su proyeccin vertical h2 pasa por P2 y es paralela a L.T: y h1 pasa por P1 y es perpendicular a r1; se halla su traza vertical v2 y por este punto pasa la traza 2 perpendicular a r2; la traza 1 pasa por el punto N y es perpendicular a r1.

Igualmente se puede operar con una recta frontal f1-f2, siendo f2 perpendicular a r2.

7.4.- RECTAS PERPENDICULARES ENTRE SILa perpendicularidad entre rectas no se manifiesta en sus proyecciones, salvo posiciones paralelas a los planos de proyeccin, debido a la deformacin angular que se experimenta en toda proyeccin por lo que hay que recordar que toda recta f o s contenida en un plano perpendicular a la recta r dada, lo es tambin a ella, pase o no por su interseccin.

Para resolver el problema, basta con trazar un plano que sea perpendicular a r y cualquier recta contenida en l es directamente perpendicular a r sin ms condiciones. La propia recta m(m1-m2) frontal utilizada para obtener el plano perpendicular a la recta r(r1-r2) servira por estar contenida en ( 1- 2).

7.5.- PLANOS PERPENDICULARES ENTRE SI

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Este problema tambin admite infinitas soluciones, puesto que dos planos son perpendiculares cuando uno de ellos contiene, al menos, una recta que es perpendicular al otro. Dicho de otra forma: si una recta r es perpendicular a un plano , todo plano que pase por r, o sea, paralelo a ella, ser perpendicular al .

Dado el plano 1- 2 y el punto P1-P2, se traza la recta r1-r2, perpendicular por P al plano ; las trazas de esta recta son los puntos h1 y v2 y para trazar un plano cualquiera que pasa por la recta r, basta tomar un punto M en la L.T: y unirla con h1 y v2. Un plano solucin es el 1- 2.

8.- DISTANCIAS8.1.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos A y B es el segmento rectilneo AB que los une. La proyeccin ortogonal de los puntos A1,B1 sobre el plano H determinan la proyeccin horizontal d1 y se forma el tringulo rectngulo B-A1-A, cuyos catetos son la proyeccin horizontal d1 del segmento AB y la diferencia de

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cotas h = A-A1 de los puntos A,B respecto al plano H. La hipotenusa de este tringulo es la distancia buscada. Para determinar la distancia entre dos puntos de proyecciones ortogonales conocidas, basta con determinar la hipotenusa de un tringulo rectngulo, cuyos catetos son, respectivamente, el segmento de proyeccin d1 y la diferencia de distancias de cada uno de los puntos al plano de proyeccin, o lo que es igual, la diferencia de cotas de los puntos dados. En el sistema didrico, para determinar la distancia se puede operar con la proyeccin horizontal d1, en cuyo caso las proyecciones de los puntos son A1-A2 y B1-B2, la distancia d1-d2. Por B1 se traza la perpendicular a d1 y sobre ella se lleva la diferencia de cotas h=B1N. El segmento A1N es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

Igualmente se puede operar con la proyeccin vertical d2, en cuyo caso h sera la diferencia de los alejamientos. En ambos casos el resultado es idntico.

8.1.1.-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS, SI ESTOS ESTAN EN DISTINTOS DIEDROS.Hay que considerar las cotas y los alejamientos con los dos signos. El punto B1-B2 es del primer diedro y el punto A1-A2 es del tercer diedro. La cota de B es positiva y la cota de A es negativa, por lo que la diferencia de cotas se transforma en una suma, es decir, en el segmento h. En este caso la distancia es el segmento D=B1N.

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8.2.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTASegn el procedimiento general dado un punto P y la recta r por el punto se traza el plano perpendicular a r a la que corta en el punto I. El segmento IP es la distancia D, en verdadera magnitud, del punto a la recta.

En diedrico se resuelven siguiendo el mismo orden: por (P1-P2), perpendicular a r (r1-r2), por medio de la horizontal h1-h2, siendo h1 perpendicular a r1. El plano corta a la recta en I (I1-I2), que se obtiene29

empleando el proyectante vertical de la recta, 1- 2, siendo i1-i2 la interseccin de ambos planos y sta corta a r en el punto I1-I2. La distancia IP tiene por proyecciones d1-d2 y la verdadera magnitud es D.

8.3.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANOLa distancia D de un punto P a un plano , se determina trazando la perpendicular r por el punto P al plano;se halla el punto de interseccin I de la recta y del plano y el segmento PI es la distancia pedida.

Segn ello,si se trata de hallar la distancia de un punto del espacio P a un plano , se procede en primer lugar a trazar una perpendicular desde P al plano determinando su interseccin I por medio de un plano auxiliar que contenga a la recta perpendicular trazada por P y que puede ser, para mayor facilidad, un proyectante. La recta de interseccin de ambos planos al cortar a la perpendicular en I, nos determina el extremo de interseccin. En diedrico, sea el punto P (P1-P2) y el plano 1- 2.Apoyndonos en un plano proyectante vertical que contenga a la recta perpendicular r trazada por P, obtenemos los puntos de corte de las trazas de los planos y de este modo la recta interseccin i1-i2 (que pertenece a y a ).

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De este modo se observa que las rectas i y r se cortan en un punto I (interseccin entre r y el plano ).La distancia PI tiene por proyecciones d1-d2 y la verdadera magnitud es el segmento P1-I0 = D obtenido como en anteriores ocasiones.

8.4.- DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS PARALELASLa distancia D entre dos rectas paralelas se determina trazando un plano perpendicular a ellas y hallando los puntos I e I1 de interseccin de ambas con el plano.

En diedrico tenemos dos rectas r (r1-r2) y s (s1-s2) paralelas.Trazamos el plano ( 1- 2) perpendicular a ellas (por cualquier punto). Tenemos ahora que calcular el punto de corte del plano con r y s y uniendo esos puntos obtendremos la distancia D. Para ello utilizamos el procedimiento del caso

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anterior. Para la recta r trazo un plano proyectante auxiliar ( 1- 2) que contenga a la recta r. Por la caracterstica de este plano sabemos que r1 estar contenido en 1 y que 2 es perpendicular a L.T. Por tanto obtenemos la recta interseccin i1-i2 entre los planos y . Como la recta i pertenece tanto a como a el punto donde i y r se corten ser el punto I de interseccin entre r y .

Utilizamos el mismo procedimiento para la recta s, pero en esta ocasin nos ayudamos del plano proyectante w1-w2. Obteniendo en este caso los puntos I2s-I1s. Uniendo I2r con I2s obtengo la proyeccin vertical d2 de la distancia D y uniendo I1r con I1s obtengo d1. La verdadera magnitud D se obtiene como en casos anteriores. Para obtener en el plano horizontal la distancia h, se procede del siguiente modo. Se obtiene la diferencia de cotas I2r I2s y se lleva esa distancia sobre la perpendicular que pasa por I1r obteniendo el punto N. N I1s ser la distancia D en verdadera magnitud (en el esquema est mal trazado).

8.5.- DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOSEl procedimiento general es trazar una recta r perpendicular a los planos y se hallan los puntos de interseccin de ella con los planos dados. La distancia es el segmento I-I1.

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En diedrico los planos son ( 1- 2) y ( 1- 2). Se traza la recta r (r1r2) perpendicular a ambos (por cualquier punto). Empleando un plano auxiliar, proyectante vertical (w1-w2) que contenga a r y por tanto, por las caractersticas de dicho plano la proyeccin r2 estar sobre w2 y w1 ser perpendicular a L.T. El plano w cortar al y obtenemos como se indica en la figura la recta interseccin i (i1 -i2 ), donde r corta a i tendr el punto I de interseccin. El procedimiento es el mismo para obtener el otro punto I pero con los planos w y . Por tanto uniendo I2 con I2 obtengo b2 y uniendo I1 con I1 obtengo d1 de forma que la verdadera magnitud D se obtiene como hemos indicado en el caso anterior y como se representa en la figura.

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9.- ABATIMIENTOSAbatir un plano es hacer coincidir ste con otro que se considera de proyeccin, girndose alrededor de la recta interseccin de ambos. Esta traza alrededor de la cual se abate el plano recibe el nombre de charnela. Todos los elementos, puntos, segmentos, polgonos, etc., contenidos sobre el plano abatido, se sitan, tras el abatimiento, sobre el plano de proyeccin, por lo que se proyectan sin deformacin alguna, con lo cual se obtienen sus verdaderas magnitudes, tanto lineales como angulares. Siendo ste el motivo principal para el empleo del abatimiento. Siempre se abate un plano sobre otro y slo pueden abatirse planos. Las expresiones de abatir un punto o una recta carecen de exactitud, no obstante se emplean por sencillez de la expresin, entendindose por tal que el abatimiento se realiza con un plano que contenga a estos elementos.

El tringulo ABC situado en el plano P se proyecta segn abc. Si abatimos el plano P sobre el horizontal, tendremos el tringulo (a),(B), (C), que es la verdadera magnitud del tringulo citado. Se dice que un plano se abate sobre otro Q cuando hace coincidir el primero sobre el segundo, hacindole girar alrededor de su recta de interseccin, la cual recibe el nombre de charnela. Generalmente se tomar como plano de abatimiento uno de los planos de representacin o del dibujo, con lo cual se conseguir que venga sobre ste y su verdadera magnitud todo lo que contenga el plano abatido.

9.1.- ABATIMIENTO DE UN PUNTOSupongamos que es el plano de abatimiento o plano de representacin, y que un punto A cuya proyeccin ortogonal sobre l es a, va a ser abatido; mejor dicho, se va a batir el plano (s) que pasa por el punto A tomando como eje de giro su traza s, que tambin llamaremos ch, por ser la charnela.

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Sabemos que el punto A describe en el espacio una circunferencia cuyo plano es perpendicular a la charnela, siendo su radio r la distancia del punto de referencia a dicho eje de giro y su centro el punto t. Este artificio del abatimiento va a consistir en determinar las posiciones Aa-1 y Aa-2, que puede ocupar el punto A cuando se abate dicho plano (s), en funcin de los elementos determinativos del punto y del plano. Como el plano de la circunferencia que describe el punto tiene por traza la recta Aa-1 y Aa-2, perpendicular a la charnela, y la proyectante A-a es perpendicular tambin al plano , resulta que las rectas A-t y A-a se hallan tambin en el de la circunferencia ya citada; o lo que es lo mismo, los puntos a y t pertenecen a la traza Aa-1 Aa-2. Conocida, por tanto, la situacin de la recta sobre la cual se van a encontrar las posiciones abatidas Aa-1 y Aa-2, nos ser preciso adems, conocer el radio de la circunferencia descrita. Este radio es la hipotenusa del tringulo A-t-a, rectngulo en A, que siempre podemos determinar cuando conozcamos la proyeccin ortogonal del punto A y su cota A-a=h A sobre el plano del abatimiento. El tringulo de referencia, hecho coincidir con el plano del dibujo, ocupa la posicin t-a-u y su hipotenusa ser el radio r que nos permitir situar los puntos Aa-1 y Aa-2, pudindose establecer la regla general siguiente: Para obtener el abatimiento de un punto se trazarn desde su proyeccin ortogonal sobre el plano del abatimiento la perpendicular y la paralela a la charnela; en la paralela se tomar la altura del punto sobre dicho plano de abatimiento para determinar el radio, y haciendo en el punto de interseccin de la charnela con su perpendicular se obtendrn en estas dos posiciones el punto abatido.

9.1.1.- ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE EL HORIZONTAL

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Se traza por a1 una paralela y una perpendicular a la charnela, sobre la paralela llevaremos la cota del punto obteniendo M. Con centro en O y abertura de comps OM se traza un arco que corta en (A) a la perpendicular inicial. El abatimiento puede realizarse tambin sobre el vertical.

9.1.2.- ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE EL VERTICALEl abatimiento puede realizarse tambin sobre el vertical tomando como charnela la traza vertical del plano que le contiene. El procedimiento es idntico al anterior sin ms variacin que en este caso, ha de operarse con la proyeccin vertical del punto y ha de tomarse el alejamiento en sustitucin de la cota.

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9.1.3.- ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO PARALELO A UNO DE LOS DE PROYECCION

Puede ser til a veces, el artificio de tomar como plano de abatimiento, no ya uno de los de proyeccin, sino otro que sea paralelo, por ejemplo, un horizontal o un vertical, lo cual, a parte de la ventaja que trae consigo el simplificar las construcciones o de darnos puntos situados dentro de los limites del dibujo, tiene la propiedad de que el abatimiento viene proyectado en

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verdadera magnitud sobre el plano de proyeccin a que es paralelo, lo que equivale, en definitiva, a haber operado sobre l como plano de abatimiento. As, por ejemplo, en el caso de la figura, utilizamos como plano abatimiento el horizontal ( 2), y entonces la regla sigue aplicndose; decir, que la charnela en este caso es la ch (i 1-i2), pero la altura del punto medir desde la proyeccin vertical a2 a la traza vertical 2 del plano abatimiento. de es se de

9.2.- ABATIMIENTO DE UNA RECTALa recta tampoco se puede abatir, como ya hemos aclarado. Se entender que se abate un plano (s), que la contiene sobre el de representacin .

Como la recta est integrada por dos puntos, bastar conocer el abatimiento de dos de ellos para as tener el de la recta; pero si tenemos presente que todos los puntos del eje de giro, o sea de la charnela, permanecen invariables, la traza B de la recta R con la charnela ser punto que pertenecer a las posiciones abatidas Ra-1 o Ra-2, que se conseguirn conociendo el abatimiento de uno slo de sus puntos A que ocupa las posiciones Aa-1 o Aa-2, segn sea el sentido del giro del plano abatido.

9.2.1.- ABATIMIENTO DE UNA RECTA EN DIEDRICOLa recta r est situada en el plano y vamos a abatirla sobre el plano horizontal considerndola que est en el citado plano abatir. La charnela de abatimiento es la traza horizontal 1.

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Se abaten dos puntos de la recta. El punto H, traza horizontal de la recta coincide con su abatido por pertenecer a la charnela. Tomamos otro punto cualquiera de la recta, el a1-a2 y lo abatimos sabiendo su cota sobre el horizontal; obtenemos (A) que unido con (H) nos da la recta ( r), abatimiento de r. Si la traza horizontal H de la recta queda fuera del papel se abate otro punto de ella y se unen los abatimientos de los puntos para obtener la recta abatida.

9.3.- ABATIMIENTO DE UN PLANODado el plano vamos a batirlo sobre el horizontal. Tomamos un punto A(a1-a2) de la traza vertical. La charnela es la interseccin de los dos planos, es decir, la traza horizontal 1. El punto N, de corte de las trazas, por ser de la charnela, coincide con su abatido; se abate el punto A, para lo cual por la proyeccin a1, se traza una paralela y una perpendicular con radio M-A 0 se traza el arco que corta a la perpendicular en el punto (A), abatimiento del punto A sobre el plano H. La recta N(A) es ( 1) abatimiento de la traza vertical 1 del plano. El ngulo es la amplitud del plano, es decir, el ngulo de las trazas en el espacio. En la figura se observa que el tringulo Na 2M, rectngulo en M1 y el tringulo NM(A) son iguales, por tener el cateto a2M=M(A) y el cateto NM comn; luego las hipotenusas tambin son iguales; es decir Na1 = N(A). Segn esto, se puede obtener el punto (A) haciendo centro en N y con abertura de comps Na2, cortan en (A) a la perpendicular a la charnela a1M.39

Como se ve en la figura adjunta tambin podemos abatir el plano sobre el vertical de proyeccin. El proceso seguido es el mismo. La charnela es la traza vertical 2; el punto N es doble. Se toma un punto B(B 1-B2) de la traza horizontal y se abate sobre el vertical. Unimos N con (B) y tenemos ( 2).

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9.3.1.- ABATIMIENTOS DE PLANOS PROYECTANTESEn diedrico, la operacin de abatir un plano proyectante horizontal tomando como charnela su traza 2 se reduce a situar la traza 1 coincidente con L.T.

Se ha realizado abatimiento del mismo plano horizontal. La charnela es la traza horizontal 1 del plano. La traza 2 quedar, despus del abatimiento perpendicular a la charnela.

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9.4.- ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANASe desea hallar la verdadera magnitud del tringulo dado para lo cual se abate el plano 1-2 sobre el horizontal. Abatmos el punto A obteniendo (A).

Nos basamos en la afinidad existente entre la proyeccin horizontal de la figura plana y su abatida. El eje ser la traza 1 y la pareja de puntos afines A1 y (A). Hallando la afn del tringulo dado, se tiene el abatido, para lo cual se ha unido A1 con B1 mediante una recta que corta al eje (traza 1) en un punto que

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se une con (A) mediante una recta que corta a la paralela a A1(A) trazada por B1 en (B). Obtenemos el tringulo buscado.

10.- PRINCIPIOS GENERALES DE REPRESENTACINVamos a representar un cuerpo sobre un plano empleando proyecciones ortogonales sobre los tres planos del sistema didrico. Cada una de las proyecciones, en lo sucesivo, recibir el nombre de vista. Tenemos el plano horizontal PH y el plano vertical PV, que son perpendiculares y se cortan segn la lnea de tierra, L.T. Se considera un tercer plano, perpendicular a los anteriores, llamado plano de perfil, y designado por PP. Vamos a representar un cuerpo muy sencillo, como el de la figura. A cada vrtice se le puede nombrar con una letra o con un nmero.

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Proyeccin vertical o alzado: para hallar esta proyeccin se mira la pieza desde el infinito en la direccin F1, perpendicular al plano V; como ejemplo, los vrtices 1,2,3 y 4 se proyectan segn 1,2,3 y 4. El alzado es la vista principal de la pieza y es la que tiene que dar mejor idea de la forma de dicha pieza. Esta debe colocarse en la posicin de uso o montaje. Proyeccin horizontal o planta: para hallar esta proyeccin se mira la pieza desde el infinito en la direccin F2, perpendicular al plano H, es decir, segn la direccin vertical, como ejemplo, los vrtices 1,2,3 y 4 se proyectan segn los puntos 1,2,3 y 4. Como el alzado y la planta esta pieza no queda definida ya que no se conoce la forma de sus caras de perfil; por ello, hay que hacer una tercera proyeccin. Proyeccin de perfil o perfil: para hallar esta proyeccin se mira la pieza desde el infinito en la direccin F3, perpendicular al plano de perfil PP; los puntos 1,2,3, y 4 se proyectan segn 1,2,3 y 4. Esta es la tercera proyeccin o perfil o vista de perfil de la pieza.

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Se han empleado tres proyecciones perpendiculares una a cada uno de los planos de proyeccin. Veamos la forma de hacer coincidir estos tres planos PH,PV y PP en uno solo, precisamente el plano horizontal PH, que es el plano del dibujo. 1 Se supone mentalmente, que el plano de perfil PP gira alrededor de la recta OA hasta coincidir con el plano vertical. Segn esto, el rectngulo OARB gira alrededor de OA, que hace de bisagra o charnela, y viene a confundirse con el OAGC. En este giro, la proyeccin tercera o perfil pasa a estar situada en el plano vertical. 2 Ahora slo quedan el plano H y el plano V. Se supone de nuevo que el plano gira alrededor de L.T:, como charnela, hasta confundirse con el horizontal. Segn lo anterior, las tres vistas o proyecciones ya estn en un solo plano, el plano H, como se muestra en la figura.

Es muy importante observar a la vez estas dos figuras hasta comprenderlas perfectamente. Esta pieza queda representada o definida con estas tres vistas y el conjunto de ellas es lo que forma el plano o dibujo de taller de la pieza. - El alzado y la planta se han de corresponder en la direccin perpendicular a la lnea de tierra L.T. - El alzado y el perfil se han de corresponder en la direccin paralela a la lnea de tierra L.T. - La planta y el perfil se han de corresponder tambin, lo que se comprueba con los arcos de 90 de la figura o bien con rectas a 45 con la L.T. Si a estas vistas se agregan las cotas o medidas necesarias tendremos el plano completo. Cuando la pieza o el cuerpo a representar sea ms complicado, habr necesidad de dibujar ms vistas, ayudarse de smbolos, dar alguna seccin o corte, agregar leyendas explicativas, etc. El estudio de todos estos convencionalismos, normalizados internacionalmente, es lo que realmente constituye el dibujo Industrial y, paso a paso, se irn estudiando, a fin de familiarizarse con ellos.

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10.1.- VISTAS NECESARIAS DE UNA PIEZAHay que hacer el plano de una pieza. El proceso es el siguiente: Estudio lo ms detallado posible de la misma. Decidir en qu posicin se va a dibujar, eligiendo para ello como alzado la vista que manifieste el mayor nmero de detalles y la mejor idea de la forma de la pieza. Se dibuja el alzado. Deducir el nmero de vistas necesarias para la determinacin completa de la pieza. Se dibujar la planta, debajo el alzado y correspondindose con l; luego, si es preciso, un perfil y si la complejidad de la pieza lo requiere, se dibujarn hasta un total de seis vistas. Todo cuerpo se puede proyectar sobre las seis caras de un paraleleppedo rectngulo que lo envuelva. Se tienen as, el alzado, la planta, el perfil, un segundo perfil, la vista desde abajo y la vista por detrs.

10.2.- DENOMINACIN DE LAS VISTAS

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Las vistas reciben los nombres siguientes: Vista segn A = Vista de frente o alzado. Vista segn B = Vista por encima o planta superior. Vista segn C = Vista desde la izquierda o perfil izquierdo. Vista segn D = Vista desde la derecha o perfil derecho. Vista segn E = Vista desde abajo o planta inferior. Vista segn F = Vista por detrs o alzado posterior.

10.3.- POSICIONES RELATIVAS DE LAS VISTASPueden utilizarse dos variantes de proyeccin ortogonal de la misma importancia. - El mtodo de proyeccin del primer diedro (antiguamente mtodo E:Europeo). - El mtodo de proyeccin del tercer diedro (antiguamente mtodo A:Americano). - Mtodo de proyeccin del primer diedro: la pieza se supone situada en el primer diedro. Se dibuja la vista de frente o alzado (Vista A). A partir de sta, las dems vistas se colocan como indica la figura.

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La vista por encima o planta superior, vista B, se coloca debajo de A y correspondindose con ella. La vista desde la izquierda o perfil izquierdo, vista C, se coloca a la derecha del alzado A. La vista desde la derecha o perfil derecho, vista D, se dibuja a la izquierda del alzado A. La vista desde abajo o planta inferior, vista E, se dibuja encima del alzado A. La vista por detrs o alzado posterior, vista F, se puede colocar indistintamente a la izquierda del perfil D o a la derecha del perfil C. Para indicar que un plano est situado en este sistema, se dibuja el smbolo que se indica en la figura, que son las vistas de un tronco de cono, dibujado en este sistema. Este smbolo se coloca en la casilla de escala y despus de ella.

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Mtodo de proyeccin del tercer diedro: se dibuja la vista de frente o alzado (vista A). A partir de sta, las dems vistas se colocan como indica la figura.

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La vista por encima o planta superior, vista B, se dibuja en cima del alzado A.

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La vista desde la izquierda o perfil izquierdo, vista C, se coloca a la izquierda del alzado A. La vista desde la derecha o perfil derecho, vista D, se coloca a la derecha del alzado A. La vista desde abajo o planta inferior, vista E, se dibuja debajo del alzado A. La vista por detrs o alzado posterior, vista F, se puede poner indistintamente a la izquierda de C o a la derecha de D. Si un plano est dibujado en este sistema, se puede indicar con el simbolo de la siguiente figura. Es el mismo tronco de cono, pero obsrvese que la vista desde la izquierda se pone a la izquierda, al contrario que en el sistema anterior.

10.4.- ELECCIN DE LAS VISTASLa vista ms caracterstica del objeto debe elegirse como vista de frente o vista principal. Generalmente, esta vista representa al objeto en su posicin de utilizacin. Las piezas utilizables en cualquier posicin se representan preferentemente en su posicin principal de mecanizacin o de montaje. Cuando sean necesarias otras vistas (incluidas las secciones), deben elegirse de manera que: - Se limite el nmero de vistas y de secciones al mnimo necesario, pero suficiente para definir el objeto sin ambigedad. - Se evite la representacin de numerosos contornos o aristas ocultas. - Se evite la repeticin intil de detalles.

10.4.1.-VISTAS PARTICULARESCuando una vista no se puede hacer en una de las seis direcciones indicadas, o si la posicin no est de acuerdo con los sistemas estudiados, se debe indicar la direccin de observacin con una flecha y una letra.

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En la figura se puede observar que el perfil est visto desde la derecha y tendra que ir dibujado a la izquierda del alzado. La excepcin est en dibujarlo a la derecha del alzado y por ello se indica con la flecha y la letra A y debajo del perfil se pone la leyenda vista en direccin A. Cualquiera que sea la direccin de observacin de las vistas, las letras maysculas de identificacin de vistas deben colocarse siempre en la posicin normal de lectura del dibujo. Las vistas particulares, tambin llamadas vistas auxiliares se emplean sobre todo cuando la pieza tiene partes oblicuas a los planos de proyeccin. Se obtiene as, por medio de un cambio de plano, una nueva proyeccin ortogonal que permite una mayor claridad y rapidez en el dibujo.

10.4.2.- VISTAS AUXILIARES SIMPLES1.- Las vistas auxiliares simples se utilizan para definir con claridad la verdadera forma de superficies o caras de las piezas contenidas en planos inclinados, es decir; planos perpendiculares a una de los principales de proyeccin y formando ngulo cualquiera con los otros dos.

2.- Una vista auxiliar simple se dibuja proyectando la superficie o cara cuya forma se desea definir sobre un plano auxiliar paralelo a ella y abatiendo la proyeccin sobre el plano del dibujo.

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3.- En las vistas auxiliares las superficies inclinadas definidas por ellas aparecern en su verdadera forma, pero el resto de la pieza quedar deformado por la proyeccin. Por ello, las vistas auxiliares se limitarn a las zonas interesadas, prescindiendo del resto. Por la misma razn en alguna de las vistas normales podr prescindirse de las superficies o zonas ya definidas en las vistas auxiliares o en otra vista normal.

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Se deduce de esto que las vistas auxiliares y alguna de las normales son parciales. En cualquier caso es totalmente necesario dibujar una vista normal completa de la pieza.

10.4.3.- VISTAS AUXILIARES DOBLES1.- Las vistas auxiliares dobles se utilizan para definir con claridad la verdadera forma de superficies o caras exteriores de las piezas contenidas en planos oblicuos, es decir, planos formando ngulos cualesquiera con los tres escogidos como principales de proyeccin.

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2.- Se llaman vistas auxiliares dobles porque para llegar a la vista que define la verdadera forma de la zona interesada, vista auxiliar segunda, es necesario el dibujo previo de una auxiliar primera.

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3.- Las vistas auxiliares dobles se dibujan realizando las siguientes operaciones: Operacin A: Elegidos los planos principales de proyeccin se dibujan las vistas normales correspondientes. Operacin B: Se proyecta la pieza sobre un plano auxiliar, perpendicular a la superficie a definir y a uno de los principales. En esta proyeccin la superficie aparecer como una lnea. Operacin C: Se abate dicha proyeccin sobre el plano principal, tomado como el del dibujo. Esta proyeccin abatida ser la vista auxiliar primera y en ella la superficie a definir seguir apareciendo como una recta. Operacin D: Con la ayuda de esta auxiliar primera y de las otras vistas normales se dibuja la auxiliar segunda, en la que se aprecia la verdadera forma de la superficie o cara oblicua a definir. 4.- En las vistas auxiliares primera y segunda, no ser preciso dibujar ms que aquellas zonas no definidas ya en las normales. Por idntica razn podr prescindirse en las vistas normales de aquellas zonas ya definidas en las auxiliares. Se ve por tanto que, en ocasiones, las vistas normales o auxiliares son vistas parciales. De todas formas deber dibujarse siempre una vista completa, por lo menos, de la pieza.

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10.4.5.- VISTAS LOCALESEn los elementos simtricos se permite dar una vista local en lugar de una vista completa, con la condicin de que la representacin no sea ambigua. Las vistas locales deben realizarse segn el mtodo elegido para la ejecucin del dibujo. Las vistas locales se dibujan con lnea llena gruesa y deben estar unidas a la vista principal por medio de una lnea fina de trazos y puntos.

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