SISTEMA SISTEMA DIEDRICO DE DIEDRICO DE

MONGEMONGE

PERPENDICULARIDADPERPENDICULARIDAD

Ing. José GASPANELLOIng. José GASPANELLO

SISTEMA DE SISTEMA DE REPRESENTACIONREPRESENTACION

Estudiaremos la PERPENDICULARIDAD entre tres tipos de combinaciones

PERPENDICULARIDAD

1.- ENTRE RECTAS.-2.- ENTRE RECTAS Y PLANOS.-3.- ENTRE PLANOS.-

Dos planos o rectas son perpendiculares si entre ellos forman un ángulo rectos, o sea un ángulo de 90º, en realidad se forman cuatro ángulos rectos.

PARA QUE DOS RECTAS PARA QUE DOS RECTAS SEAN PERPENDICULARES SEAN PERPENDICULARES ENTRE SI, ES CONDICION ENTRE SI, ES CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE NECESARIA Y SUFICIENTE QUE SEAN QUE SEAN PERPENDICULARES ENTRE SI PERPENDICULARES ENTRE SI SUS PROYECCIONES, SOBRE SUS PROYECCIONES, SOBRE UN PLANO PARALELO A UNA UN PLANO PARALELO A UNA DE ELLAS.-DE ELLAS.-

1.- PERPEND. ENTRE RECTAS DEFINICIONES:

Por el punto “A” trazar una recta perpendicular a la recta HORIZONTALHORIZONTAL “h”.-

PH

PV

L T

1h

1v

hh

Av

Ah

hv

Como la recta “hh” es paralela al plano horizontal de proyección el ángulo de 90º se proyectara en verdadera magnitud .-Entonces por “Ah” trazamos la proyección horizontal de la recta perpendicular “ph”.-

ph

90º

pv

Por “Av” y “1v” trazamos la proyección vertical de la recta perpendicular “pv”.-

1.- PERPEND. ENTRE RECTAS

Por el punto “A” trazar una recta perpendicular a la recta FRONTALFRONTAL “f” dada .-

PH

PV

L T

1h

1v

fh

Av

Ah

fv

Como la recta “fv” es paralela al plano vertical de proyección, el ángulo de 90º se proyectara en verdadera magnitud .-

Entonces por “Av” trazamos la proyección vertical de la recta perpendicular “pv”.-

ph

90º

pv

Por “Ah” y “1h” trazamos la proyección horizontal de la recta perpendicular “ph”.-

1.- PERPEND. ENTRE RECTAS

PARA QUE UNA RECTA SEA PERPENDICULAR A UN PLANO, ES CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE QUE DEBA SERLO A DOS RECTAS DEL PLANO; EN PARTICULAR LO SERA A UNA RECTA HORIZONTALHORIZONTAL Y A OTRA FRONTALFRONTAL DEL PLANO DADO.-

Basta definir entonces, una recta horizontal y otra frontal al plano dado y por ella trazar las perpendiculares desde el punto solicitado.-

2.- PERPEND. ENTRE RECTAS Y PLANO

Por el punto “A” trazar una recta perpendicular al plano dado por dos rectas (a y b) que se cortan en el punto “B”

PH

PV

L T

Bv

Bh bh

Av

Ah

bv

Trazamos una recta horizontal “h” y otra frontal “f” que pertenezcan al plano dado .-Entonces por “Ah” pasamos una recta perpendicular a la proyección horizontal de “hh”, resultando la “”ph”.-

ah

av

Por “Av” trazamos la una recta perpendicular a la proyección vertical de “fv”, obteniéndose la recta “pv” buscada.-

hv

hh

fh

fv

ph

pv

90º

90º

2.- PERPEND. ENTRE RECTAS Y PLANO

Por el punto “A” trazar una recta perpendicular al plano oblicuo “β” dado por sus trazas.-

PH

PV

L T

Av

Ah

La recta será perpendicular al plano dado por sus trazas cuando sus dos proyecciones sean respectivamente perpendiculares a dichas trazas.-

thβ

tvβ

Por lo que por “Av” trazamos una recta perpendicular a la proyección vertical de la “tvβ”, y por “Ah” la perpendicular a la “thβ”.-

ph

pv

90º

90º

2.- PERPEND. ENTRE RECTAS Y PLANO

Por el punto “A” trazar una recta perpendicular al plano de punta “β” dado por sus trazas.-

PH

PV

L T

Av

Ah

La recta será perpendicular al plano dado por sus trazas cuando sus dos proyecciones sean respectivamente perpendiculares a dichas trazas.-

thβ

tvβ

Por lo que por “Av” trazamos una recta perpendicular a la proyección vertical de la “tvβ”, y por “Ah” la perpendicular a la “thβ”.-

fh

fv

90º

2.- PERPEND. ENTRE RECTAS Y PLANO

90º

Por el punto “A” trazar una plano perpendicular a la recta “r” dada.-

PH

PV

L T

Av

Ah

Trazar por el punto “A”, una recta horizontalhorizontal y otra frontalfrontal perpendiculares a la recta “r” dada.-

ah

av

De esta forma definimos un plano mediante dos rectas (f y h) concurrentes en “A” y que es perpendicular a la recta dada.-

hh

fv

90º

90º

hv

fh

2.- PERPEND. ENTRE PLANO Y RECTA

1°: SOLUCIÓN:

Por el punto “A” trazar una plano perpendicular a la recta “r” dada.-

PH

PV

L T

Av

Ah

Definiendo un plano mediante sus trazas.-

ah

av

hh

tv

90º

90º

hv

Para ello trazamos por “A” una recta horizontal del plano, haciendo “hh” perpendicular a ‘ah”.-

Bh

Bv

th // hh

2.- PERPEND. ENTRE PLANO Y RECTA

2°: SOLUCIÓN:

La perpendicular por “Bv” a “av” dan la traza vertical del plano buscado.- La traza horizontal del plano es paralela a “hh”.-

ββ

PARA QUE DOS PLANOS SEA PERPENDICULARES ENTRE SI, ES CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE QUE UNO DE ELLOS CONTENGA UNA RECTA PERPENDICULAR AL OTRO.-

Si por un punto en el espacio trazamos una recta perpendicular al plano β, todos los planos que contengan a la recta, serán perpendiculares al mismo.-

Luego por un punto se podrán trazar infinitos planos perpendiculares a otro.-

3.- PERPEND. ENTRE PLANOS

Por el punto “A” trazar un plano perpendicular al plano oblicuo “ββ” dado por sus trazas.-

PH

PV

L T

1º-Por el punto A trazamos una recta “r” perpendicular al plano “β” dado.-

thβ

tvβ

rh

rv

2º-Obtenemos las trazas de la recta “r” trazada.-

th

tv

Av

Ah

3º-Hacemos pasar por las trazas de la recta, las trazas del plano del mismo nombre. Por la “th” de la recta pasamos la “thα” del plano.-

thα

tvα

4º-Por la “tv” y el punto interseccion de la “th” y la LT trazamos la “tvα”.-

3.- PERPEND. ENTRE PLANOS

90°

90°

Hacer pasar por una recta “a” un plano perpendicular a otro dado por dos rectas concurrentes “b” y “c”.-

PH

PV

L T

ah

av

cv

1º-Debemos encontrar una recta que sea perpendicular al plano dado y que forme un plano con la recta “a”.-

2º-Definimos entonces una recta horizontal y otra frontal del plano dado.-

bh

bv

3º-Por el punto “P” perteneciente a la recta “a” trazamos las perpendiculares a la “hh” y a la “fv” del plano dado.-

ch

hv

hh

fh

fv

Ph

Pv

90º

90º

dv

dh

3.- PERPEND. ENTRE PLANOS

Resolvamos el mismo problema anterior, pero con el plano dado por sus trazas, o sea:Hacer pasar por una recta “a” un plano perpendicular a otro dado por sus trazas.-

PH

PV

L T

ah

av

1º-Por el punto “P” de la recta “a” trazamos la perpendicular “b” al plano “α”.-

2º-Si queremos expresarlo con sus trazas, se determinan luego las trazas del plano “β”, definido por las rectas “a” y “b”.-

tvα

thα

Ph

Pv

90º

90º

bv

bh

Tah

Tav

TbhTbv

tvβ

thβ

3.- PERPEND. ENTRE PLANOS

Trazar por un punto “P” dado, una recta perpendicular a otra recta “a” dada.-

4.- PERPEND. ENTRE RECTAS DESDE UN PUNTO DADO

1º- Para resolver este problema hacemos pasar por el punto “P” un plano “α” perpendicular a la recta “a” dada, definiéndose el punto de intersección “Q”.-

a

P

Q

α

2º-uniéndose el punto “P” con el “Q” tendremos la recta buscada.-

Veamos en el EPURADO

PH

PV

L T

1º-Por el punto “P” conformamos un plano con una recta horizontal y otra frontal, perpendicular a la recta “a”.-

3º-Uniendo el punto “Q” con el punto “P”, obtenemos la recta buscada.-

ah

av

90º

2º-Obtenemos la interseccion del plano con la recta “a” dada, usando un plano vertical auxiliar, resultando el punto “Q”.-

hv

hh

fh

90º

fv

βh

βv

ih

1h

1v

2h

2v

iv

Qv

QhPh

Pv

4.- PERPEND. ENTRE RECTAS DESDE UN PUNTO DADO

FIN DE LA CLASE

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